Tài liệu Luận văn thạc sĩ mặt cực hạn và dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  Đỗ Thị Phương Quỳnh MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60. 46. 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai Thái Nguyên – 2008 MỤC LỤC Mở đầu 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Ánh xạ chỉnh hình 6 1.2. Khoảng cách 7 1.3. Không gian Hyperbolic 12 1.4. Đa tạp phức 13 1.5. Miền giả lồi - giả lồi mạnh 14 1.6. Miền taut 17 Chương 2 MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 2.1. Mặt cực hạn 21 2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi 25 2.3. Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. 31 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Cho D là miền bị chặn trong  n và f : D  D là ánh xạ chỉnh hình. Khi đó định nghĩa dãy lặp f n  của f như sau: f 1  f  n n 1 f  f .f . Một vấn đề được đặt ra ở đây là dãy f n  có hội tụ đều trên các tập compact hay không, và nếu hội tụ thì có hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình h : D   n hay không ? Vào năm 1926 Wolff và Denjoy đã giải quyết vấn đề trên khi D   (  là đĩa đơn vị trong  ). Cụ thể họ đ ã chứng minh được định lí Denjoy – Wolff như sau: “ Cho f :    là một hàm chỉnh hình từ đĩa đơn vị  trong  lên chính nó. Khi đó dãy lặp  f  không hội tụ nếu và n chỉ nếu f là đẳng cấu của  có đúng một điểm cố định. Hơn nữa, giới hạn của  f  , khi nó tồn tại, là hằng số x   ”. Để chứng minh định lí này n trong trường hợp f có một điểm cố định z0  thì Denjoy và Wolff đã sử dụng bổ đề Schwarz. Tuy nhiên trong trường còn lại, f không có điểm cố định, thì không thể tiếp tục sử dụng bổ đề Schwarz được nữa mà cần một công cụ mới để thay thế. Để đáp ứng được yêu cầu đó, định nghĩa về đường cực hạn đã được sử dụng và bổ đề Wolff: “Cho f :    là hàm chỉnh hình không có điểm cố định. Khi đó tồn tại x  sao cho với mỗi R>0 có f  E  x, R    E  x, R  ” được thay thế cho bổ đề Schwarz. Về bản chất, đường cực hạn là một đường tròn tiếp xúc trong với biên của  tại x. Đến năm 1941 Heins đã mở rộng định lí Denjoy - Wolff trên một miền tổng quát hơn trong  : “ Cho D   là một miền hữu hạn liên thông 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn bị chặn bởi đường cong Jordan, và f : D  D là một hàm chỉnh hình. Khi đó dãy lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là tự đẳng cấu của D. Hơn thế nữa giới hạn, khi nó tồn tại, là một ánh xạ hằng x  D ”. Năm 1983, MacCluer đã mở rộng kết quả của Denjoy - Wolff đối với hình cầu đơn vị trong  n bằng việc đưa ra khái niệm mặt cực hạn cổ điển trong Bn . Đến năm 1988, Marco Abate đã dựa vào mối liên hệ giữa khoảng cách Kobayashi và mặt cực hạn cổ điển để định nghĩa mặt cực hạn trên một miền bất kì. Bây giờ, cho D là một miền bị chặn trong  n và xét một ánh xạ chỉnh hình f : D  D . Giả thiết f có một điểm cố định z0  D , và khả vi tại z 0 . Theo định lí Cartan - Carathéodory, giá trị riêng của df z thuộc vào  . 0 Sử dụng dạng chính tắc Jordan của df z , dễ dàng kiểm tra được rằng  df z 0 0  n hội tụ nếu và chỉ nếu giá trị riêng của nó nằm trong   1 và khi đó cho ta một kết quả như sau: “ Cho D là miền taut, compact tương đối trong  n , f : D  D là một ánh xạ chỉnh hình có đúng một điểm cố định z0  D . Khi đó dãy lặp  f  hội tụ nếu và chỉ nếu n df z không có giá trị riêng   1 và 0   1 ”. Định lí này đã mô tả một cách rõ ràng giới hạn điểm của dãy lặp f  . n Mục đích của luận văn là nghiên cứu về mặt cực hạn và sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình, nội dung của luận văn gồm hai chương : Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở có liên quan chặt chẽ với nội dung chính của luận văn như : ánh xạ chỉnh hình, các giả khoảng cách Kobayashi, giả khoảng cách Carathéodory, miền lồi, miền giả lồi mạnh, không gian hyperbolic, và miền taut. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 trình bày khái niệm và các tính chất của mặt cực hạn trên miền D bất kì và trên miền giả lồi mạnh, sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. Trong quá trình hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai. Với tấm lòng thành kính tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô. Nhân dịp này tôi cũng xin được chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê, GS.TSKH Lê Mậu Hải, TS Phạm Hiến Bằng, PGS.TS Phạm Việt Đức, cùng các thầy cô đã giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại Trường ĐHSP - ĐHTN. Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn Trường ĐHSP - ĐHTN, Trường ĐHYK - ĐHTN đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu của tôi. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp những người luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008 Đỗ Thị Phương Quỳnh 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Ánh xạ chỉnh hình [1] 1.1.1. Định nghĩa + Giả sử X là một tập mở trong  n , hàm số f : X   được gọi là khả vi phức tại x 0  X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính  :  n   sao cho lim f  x0  h   f  x0    h   0. h h 0 n Trong đó h   n ,h   h1 ,h 2 ,...,h n  , h  h i 1 2 i . + Hàm f được gọi là chỉnh hình tại x 0  X nếu tồn tại một lân cận mở U của x 0 sao cho f khả vi phức với x  Ux0 . + Hàm f được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X. + Cho ánh xạ f : X   n   m ; có thể viết dưới dạng f  f1 ,f 2 ,...,f m  . Trong đó fi  i  f : X   , i=1,...,m là các hàm toạ độ, và i :  m    f ,f ,...,f   f . 1 2 m i Khi đó f được gọi là chỉnh hình trên X nếu fi chỉnh hình trên X với mọi i=1,...,m. Chú ý : Ánh xạ f : X  f  X    n được gọi là song chỉnh hình nếu f là song ánh, chỉnh hình và f 1 cũng là ánh xạ chỉnh hình. 1.1.2. Tính chất Định lí : Giả sử U là tập con mở của  n , với mỗi ánh xạ f : U   các điều kiện sau đây là tương đương 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a. f là hàm chỉnh hình. b. f là liên tục c. f là liên tục và f |U M là chỉnh hình với M   n , M là không gian con hữu hạn chiều. 1.2. Khoảng cách 1.2.1. Định nghĩa [1] Khoảng cách d trên tập X là một hàm d:XX    x, y   d  x, y . thoả mãn điều kiện sau với mọi x, y thuộc X. i) d  x, y   0;d  x, y   0 x  y ; ii) d(x,y)=d(y,x); iii) d  x, y   d  x,z   d  z, y  ; Nếu d chỉ thoả mãn ii) và iii) và d  x, y   0 thì d được gọi là giả khoảng cách trên X. 1.2.2. Khoảng cách Bergman Poincaré [4]   z   :| z | 1 là đĩa đơn vị trên mặt phẳng phức  . Trên  , ta xét khoảng cách Bergman Poincaré cho bởi   0,z   log 1 | z | , z . 1 | z | Lấy a,b , phép biến đổi w= biến b thành 0 và biến a thành z-b là một tự đẳng cấu của  mà 1 - bz ab . Vậy 1  ab 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ab 1  ba   a,b   log . ab 1 1  ba 1 1.2.3. Giả khoảng cách Kobayashi [1] 1.2.3.1. Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tuỳ ý của X. Hol(D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị tôpô compact mở. Xét dãy các điểm p0  x,p1,...,pk  y của X, dãy các điểm a1,a 2 ,...,a k của D và dãy các ánh xạ chỉnh hình f1,f 2 ,...,f k trong Hol (D, X) thoả mãn fi  0  pi1,fi  a i   pi ; i  1,...,k . Tập hợp   p0 ,...,pk ,a1,a 2 ,...,a k ,f1,f 2 ,...,f k  thoả mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Ta định nghĩa k  d X  x, y   inf  D  0,a i  ,   x,y  ,   i1  trong đó  x,y là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Khi đó d X : X  X   là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. Tổng k    0,a  i 1 D i được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình. 1.2.3.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi + Nếu f : X  Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là d X  x, y   d Y  f  x  ,f  y   x, y  X , 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f là song chỉnh hình. Hơn nữa d X là giả khoảng cách lớn nhất trên X thoả mãn mọi ánh xạ chỉnh hình f : D  X là giảm khoảng cách. + Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi d X : X  X   là hàm liên tục. + Nếu D là đĩa đơn vị trong  thì giả khoảng cách Kobayashi trùng với khoảng cách Bergman Poincaré. 1.2.4. Giả khoảng cách Carathéodory [10] 1.2.4.1. Định nghĩa: Cho một không gian phức X, kí hiệu Hol(X,  ) là tập các ánh xạ chỉnh hình f: X   . Giả khoảng cách Carathéodory Cx trong X được định nghĩa như sau C x  p,q   sup   f  p  ,f  q   ; p,q  X . Trong đó supremum được lấy theo toàn bộ f  Hol  X,   . Khi  là đĩa đơn vị thuần nhất, nó thoả mãn để lấy supremum trên toàn bộ tập con F  f  Hol  X,D  ;f  p   0 1.2.4.2. Một số tính chất *Mệnh đề 1 Cho đa tạp phức X, ta có dX  p,q   CX  p,q  , p,q  X . Chứng minh: Như trong định nghĩa của d X  p,q  , chọn p  p0 ,p1,...,pk  q của X, và các điểm a1,a 2 ,...,a k ,b1,...,bk của  và các ánh xạ chỉnh hình f1,f 2 ,...,f k trong Hol(  ,X) thoả mãn fi  a i   pi1,fi  bi   pi . Cho f là một ánh xạ chỉnh hình của X vào  . Khi đó 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn k k i 1 i 1    a i ,bi     f  fi  a i  ,f  fi  bi      f  f1  a1  ,f  f k  b k     f  p  ,f  q   , Trong đó bất đẳng thức thứ nhất được suy ra từ bổ đề Schwarz và bất đẳng thức thứ hai là hệ quả của tiên đề tam giác. Do đó , k d X  p,q   inf    a i ,bi   sup   f  p  ,f  q    CX  p,q .  i=1 * Mệnh đề 2: Nếu X và Y là không gian phức thì CY  f  p  ,f  q    C x  p,q  f  Hol  X,Y  ;p,q  X thì f : X  Y có tính giảm khoảng cách. *Mệnh đề 3: Cho  là một đĩa mở trong  , C   . Chứng minh: Sử dụng bổ đề Schwarz đối với ánh xạ chỉnh hình f :    ta thu được   p,q   C  p,q  , p,q . Từ định nghĩa của C , xét phép biến đổi đồng nhất của  , ta thu được bất đẳng thức   p,q   C  p,q  , p,q .  * Mệnh đề 4: Cho X là không gian phức a) Nếu X là một giả khoảng cách như sau   f  p  ,f  q    X  p,q  f  Hol  X,   ;p,q  X thì CX  p,q   X  p,q  ; p,q  X b) Nếu X là một giả khoảng cách thoả mãn 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X  f  a  ,f  b      a,b  ; f  Hol  X,   ;a,b   thì X  p,q   d X  p,q  . 1.2.4.3. Bổ đề Schwarz [10] Cho f là hàm chỉnh hình biến hình tròn đơn vị  (0,r) thành chính nó thoả mãn f(0)=0. Khi đó : i) f  z   z ; z  D ii) Nếu f  z 0   z 0 với điểm z0  0 nào đó trong  thì f  z   z trong đó   1 . Chứng minh: Với r tuỳ ý , 00 sao cho U  là compact tương đối trong X. Xét 2 trường hợp: 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn +) z  X  U . Chọn x X sao cho d  z, X   z  x   . Khi đó x,z0  X   D, x,z0  z0   0 , ta có   CX  z0 ,z    x,z0  z0  , x,z0  z   log 1 1  x,z0  z  . Vì 1  x,z0  z   1  x,z0  z   M z  x  Md  z, X  . Nên CX  z0 ,z    logM  logd  z, X   c2  logd  z, X  . +) z  X  U . Vì d  z, X    . Do đó, CX  z0 ,z   0  log   logd  z, X   c2  logd  z, X   Miền giả lồi mạnh và miền taut có mối liên hệ khá chặt chẽ với nhau. 1.6. Miền taut [4] 1.6.1. Định nghĩa Giả sử M là một không gian phức: a. Dãy f k k 1  Hol(,M) được gọi là phân kì compact nếu với mỗi  tập compact K   và với mỗi tập compact L  M tồn tại số j0  j K,L  sao cho f j  K   L  , j  j0 (  là đĩa đơn vị). b. M được gọi là taut nếu mọi dãy f k k 1  Hol(,M) chứa một dãy  con hoặc hội tụ hoặc phân kì compact. 1.6.2. Định lí Kiernan Mỗi không gian phức taut M là hyperbolic. Mỗi không gian phức hypebolic đầy M cũng là taut. Các khẳng định ngược lại đều không đúng. Để chứng minh định lí ta đưa vào một số khái niệm sau : 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của không gian phức M. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p=0 và B   w1 , w 2 ,..., w n  ;| w1 |2 ... | w n |2  1 là một lân cận của p trong M sao cho q  B . Bs   w1 , w 2 ,..., w n  ;| w1 |2 ... | w n |2  s 2  1 . Vs  p'  M;   p, p'   s .   2    z  ; z    1 . 1.6.2.1. Định nghĩa : Một cặp có thứ tự  r,  các số dương được gọi là có tính chất A nếu với mỗi ánh xạ chỉnh hình f :   M với f  0   Br ta có f     B . 1.6.2.2. Bổ đề : Nếu tồn tại cặp  r,  có tính chất A thì dM  p, q   0 . Chứng minh bổ đề Chọn hằng số c > 0 sao cho d   0,a   cd   0,a  với mọi a  / 2 . Giả sử L  p  p0 ,p1,...,pm  q;a1,...,a m ;f1,...,f m  là một dây chuyền Kobayashi nối p và q. Theo giả thiết, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a1,...,a k  / 2 ,p0 ,p1,...,pk 1  Br ,pk Br . Khi đó : k k i 1 i 1 | L |  d   0,a i   c d   0,a i  k  c  d B  pi1 ,pi   cd B  0,p k   c'. i 1 trong đó c’ là hằng số lớn hơn 0. Do đó d M  p,q   c'  0 .  Chứng minh định lý Kiernan: 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i) Giả sử M là không gian hyperbolic. Khi đó tồn tại hai điểm phân biệt p và q sao cho d M  p,q   0 Theo bổ đề trên, cặp 1/ 2;1/ n  không thoả mãn tính chất A với bất kì n>0. Do đó tồn tại ánh xạ chỉnh hình f n :   M mà fn  0  B1/ 2 và fn  1/ n   B . Dãy fi  không có dãy con hội tụ đều trên tập compact hoặc phân kì compact. Do đó M không là taut. ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên Hol  ,M  là đồng liên tục. Mặt khác M là hyperbolic đầy nên mỗi tập con bị chặn trong M là compact tương đối. Vì vậy Hol  ,M  là chuẩn tắc, do  đó M là taut. 1.6.2.3. Nhận xét Mọi miền giả lồi mạnh và bị chặn X với biên C2 là hyperbolic đầy. Theo định lý Kiernan không gian hyperbolic đầy cũng là miền taut. Suy ra miền giả lồi mạnh cũng là miền taut. 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Denjoy và Wolff đã chứng minh được định lí sau:“ Cho f :    là một hàm chỉnh hình của đĩa đơn vị  trong  lên chính nó. Khi đó dãy lặp  f  không hội tụ nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu của  có đúng một điểm cố định. Hơn thế nữa, giới hạn của  f  , khi nó tồn tại, là hằng số x   ” n n + Nếu f có một điểm cố định z0  (và f  id  ) , xét f '  z0  : nếu f '  z 0   1 , theo bổ đề Schwarz f là phép quay (tức là đẳng cấu của  với đúng một điểm cố định) và dãy lặp không hội tụ. Mặt khác, nếu f '  z 0   1 thì f là ánh xạ co của  , vì vậy f n  z 0 .   + Nếu f không có điểm cố định thì mỗi giới hạn điểm của dãy f n phải là hằng số và thuộc vào biên của  . Vì thế chúng ta không thể ứng dụng bổ đề Schwarz để chứng minh được, mà ta cần một công cụ mới để thay thế. Khi đó Wolff đã sử dụng mặt cực hạn để thay thế cho bổ đề Schwarz, cụ thể bổ đề Wolff mang tên ông đã được sử dụng để chứng minh cho định lí trong trường hợp này : “Cho x  ; một đường cực hạn tại x là tập có dạng 2   1  z x   E  x, R    z   | 2  R, 1 z   mọi R>0. Về mặt hình học, E(x,R) là hình tròn tiếp xúc trong với biên  tại x”. 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn