Tài liệu Luận văn tán xạ khi các chùm không phân cực trong mô hình randall – sundrum

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN QUANG MINH TÁN XẠ    h KHI CÁC CHÙM  ,  KHÔNG PHÂN CỰC TRONG MÔ HÌNH RANDALL - SUNDRUM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN QUANG MINH TÁN XẠ    h KHI CÁC CHÙM  ,  KHÔNG PHÂN CỰC TRONG MÔ HÌNH RANDALL - SUNDRUM Chuyên ngành: Vật lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ NHƢ THỤC HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN ồng nghiệ bạn h c viên. Bằng tất cả lòng kính tr ng và s biế ờ ả ế Lê N ục– giả d n, chỉ dạ ó ũ ế ò ộ ộc s ng. Nhờ s s a mình. ồ V t lí, Tổ V t lí lí thuyết – ấ ờ y, cô giáo trong khoa Đại h S ạm Hà Nộ ề ữ kiến thức quý báu cho tôi trong quá trình h c t ể C ng ng d n nhiệt tình c a một giảng viên m u m c mà từ ể hoàn thành lu T ờ ng d tôi trong h c t ộng viên, khích lệ, s ó ê ỉ ạt những ó ó ời hạn. ồng nghiệp, các bạn h c viên l p v t lí lí thuyết K25, cùng những ờ ạo m hoàn thành lu ều kiệ ộ ê tôi trong h c t p và . Lời cu i cùng, kính chúc th y cô luôn dồi dào sức kh e, hạnh phúc và thành công. Chúc các bạn h c viên hoàn thành t t lu a mình. 2017 Hà Nộ HỌC VIÊN Nguyễn Quang Minh MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 3 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .......................................................... 3 4. Giả thuyết khoa học .................................................................................. 3 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 4 6. Giới hạn phạm vi nghiên cứu .................................................................... 4 7. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 4 8. Cấu trúc luận văn ...................................................................................... 4 9. Tóm tắt cô đọng những luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả .. 5 CHƢƠNG I: MÔ HÌNH RANDALL - SUNDRUM . Error! Bookmark not defined. 1.1. Dạng tác dụng và metric của mô hình .. Error! Bookmark not defined. 1.2. Thế năng hiệu dụng ................................................................................ 7 1.3. Đánh giá số trong mô hình ................................................................... 13 CHƢƠNG II: TIẾT DIỆN TÁN XẠ CỦA QUÁ TRÌNH CÁC CHÙM      h KHI KHÔNG PHÂN CỰC .................................................. 20 2.1. Biên độ tán xạ của quá trình    h theo kênh s ............................ 20 2.1.1. Giản đồ Feynman theo kênh s ....................................................... 20 2.1.2. Biên độ tán xạ của quá trình    h theo kênh s ..................... 21 2.2. Biên độ tán xạ của quá trình    h theo kênh u ........................... 22 2.2.1. Giản đồ Feynman theo kênh u ..................................................... 222 2.2.2. Biên độ tán xạ của quá trình 2.3. Biên độ tán xạ của quá trình      h theo kênh u .................... 22  h theo kênh t ............................ 24 2.3.1. Giản đồ Feynman theo kênh t ........................................................ 24 2.3.2. Biên độ tán xạ của quá trình    h theo kênh t ..................... 25 2.4. Phần trộn giữa các kênh s, u, t .............................................................. 25 2.5. Tiết diện tán xạ của quá trình    h ........................................... 29 2.6. Kết luận……………………………………………………………………………………………………………………..33 CHƢƠNG III: TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 3.1. Tiết diện tán xạ vi phân ........................................................................ 34 3.2. Tiết diện tán xạ toàn phần .................................................................... 36 3.3. Kết luận ................................................................................................ 38 KẾT LUẬN .................................................................................................... 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 41 PHỤ LỤC ....................................................................................................... 42 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý hạt cơ bản có mục tiêu là tìm kiếm, phân loại sắp xếp các thành phần sơ cấp của vật chất và phám khá những tính chất cũng như những định luật cơ bản chi phối sự vận hành của chúng. Và các quy luật tự nhiên ấy được tóm tắt trong mô hình chuẩn. Mô hình này mô tả thành công bức tranh hạt cơ bản và các tương tác, góp phần quan trọng vào sự phát triển của vật lý hạt. Mô hình chuẩn là lý thuyết diễn tả và giải thích nhất quán những đặc trưng của những “viên gạch” sơ đẳng cấu tạo nên vật chất, dưới tác động của 3 trong 4 lực cơ bản của tự nhiên: lực điện-từ, lực hạt nhân mạnh và lực hạt nhân yếu để từ đó vạn vật được hình thành và biến hóa. Theo mô hình chuẩn, vũ trụ cấu tạo từ 6 hạt quark và 6 hạt nhẹ chia thành 3 nhóm. Kể từ khi Mô hình chuẩn ra đời, chúng ta đã chứng kiến những thành công nổi bật của nó. Mô hình này đã đưa ra một số tiên đoán mới và có ý nghĩa quyết định. Sự tồn tại của dòng yếu trung hòa và các vectơ boson trung gian cùng những hệ thức liên hệ về khối lượng của chúng đã được thực nghiệm xác định. Đã có, một loạt các phép đo kiểm tra giá trị của các thông số điện yếu đã được tiến hành trên các máy gia tốc Tevatron, LEP và SLC với độ chính xác rất cao, đạt tới 0,1% hoặc bé hơn [1]. Người ta xác nhận rằng các hệ số liên kết giữa W và Z với lepton và quark có giá trị đúng như mô hình chuẩn đã dự đoán. Hạt Higgs boson, dấu hiệu còn lại của sự phá vỡ đối xứng tự phát, những thông tin quan trọng được rút ra từ việc kết hợp số liệu tổng thể có tính đến các hiệu ứng vòng của hạt Higgs đảm bảo sự tồn tại của hạt này. Số liệu thực nghiệm cũng cho thấy rằng khối lượng của hạt Higgs phải bé hơn 260 GeV, phù hợp hoàn toàn với dự đoán theo lý thuyết [1]. Vào ngày 4 tháng 7 năm 2012 các nhà khoa học ở CERN đã phát hiện ra hạt mang khối lượng  125 GeV có những 1 đặc tính tựa Higgs boson từ máy gia tốc hạt LHC (Large Hadron Collider). Sự kiện lịch sử này được các nhà vật lý hồi hộp đón chờ từ năm 1994 khi CERN quyết định xây dựng máy gia tốc LHC có năng lượng cao nhất thế giới để săn tìm hạt Higgs và giải thưởng Nobel đã được trao cho hai nhà vật lí học (Peter Higgs, người Anh, và Francois Englert, người Bỉ) đã tiên đoán sự tồn tại của Higgs trong mô hình chuẩn. Tuy nhiên trong mô hình chuẩn còn tồn tại một số vấn đề cần giải quyết như: Mô hình chuẩn không thể trả lời về hơn 95% lượng vật chất tối và năng lượng tối của vũ trụ, vì những hạt trong mô hình chuẩn đều có thể quan sát được và không thỏa mãn điều kiện vật chất tối. Mô hình chuẩn cũng không trả lời được tại sao lại có chỉ có ba thế hệ fermion và mối liên hệ giữa các thế hệ như thế nào?, tại sao các điện tích quan sát thấy lại gián đoạn và bằng một số nguyên lần điện tích nguyên tố, tại sao quark t lại nặng hơn nhiều so với dự đoán (về mặt lý thuyết dựa theo mô hình chuẩn thì khối lượng của quark t vào khoảng 10 GeV, trong khi đó năm 1995, tại Fermilab người ta đo được khối lượng của nó là 175 GeV [1]). Đặc biệt là trong mô hình chuẩn, neutrino chỉ có phân cực trái nghĩa là không có khối lượng nhưng thực nghiệm chứng tỏ neutrino có dao động và có khối lượng nhỏ (bằng khoảng 1 phần triệu khối lượng electron)...Để có thể giải thích được đầy đủ các vấn đề trên, các hướng mở rộng mô hình chuẩn ra đời và nó hứa hẹn nhiều hiện tượng vật lí mới rất thú vị tại thang năng lượng cao. Có nhiều hướng mở rộng mô hình chuẩn, mỗi hướng đều có ưu và nhược điểm riêng. Ví dụ, các mô hình mở rộng đối xứng chuẩn không thể giải quyết được sự phân bậc khối lượng. Các mô hình siêu đối xứng có thể giải thích vấn đề này tuy nhiên lại dự đoán vật lý mới ở thang năng lượng rất thấp (cỡ TeV)…Có một hướng khả quan là lý thuyết mở rộng thêm chiều không gian. Lý thuyết đầu 2 tiên theo hướng này là lý thuyết Kaluza – Klein, mở rộng không thời gian bốn chiều thành không thời gian năm chiều, nhằm mục đích thống nhất tương tác hấp dẫn và điện từ. Lý thuyết này đã gặp một số khó khăn về hiện tượng luận, tuy nhiên ý tưởng của nó là cơ sở cho các lý thuyết hiện đại sau này như thống nhất Higgs- Gauge (GHU), lý thuyết mở rộng với không thời gian lớn, lý thuyết dây… Trong luận văn này, chúng tôi đề cập đến lý thuyết mở rộng thêm mà cụ thể đó là mô hình Randall – Sundrum (RS). Mô hình này có thể giải thích vấn đề phân bậc, giải thích tại sao hấp dẫn lại rất nhỏ ở thang điện yếu, giải thích tại sao chỉ có ba thế hệ fermion và có sự phân bậc giữa chúng, vấn đề neutrino…Một đặc điểm của mô hình RS là tính bền của bán kính compact cho giải quyết vấn đề phân bậc. Trường radion động lực gắn với bán kính này đảm bảo tính bền thông qua cơ chế Goldberger – Wise. Radion và vật lý gắn với nó là một yếu tố mới trong mô hình. Chứng minh sự tồn tại của radion là một trong những bằng chứng khẳng định tính đúng đắn của mô hình RS. Chính vì vậy chúng tôi chọn đề tài “ Tán xạ      h khi các chùm không phân c c trong mô hình Randall – Sundrum” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu quá trình tán xạ    h khi chùm  ,  không phân cực. Trên cơ sở đó chỉ ra các hướng có lợi ghi tín hiệu radion từ thực nghiệm, để khẳng định sự tồn tại của nó cũng như tính đúng đắn của mô hình mở rộng. 3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu quá trình tán xạ chùm  ,  không phân cực trong mô hình Randall – Sundrum. 3    h khi các 4. Giả thuyết khoa học Nếu luận văn thành công thì sẽ chỉ ra các hướng có lợi thu tín hiệu radion và Higgs từ thực nghiệm để khẳng định sự tồn tại của chúng, cũng như tính đúng đắn của mô hình mở rộng Randall-Sundrum. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu quá trình tán xạ    h khi các chùm  ,  không phân cực cụ thể : + Đưa ra biểu thức bình phương biên độ tán xạ và phần trộn giữa các kênh s, u, t khi các chùm   không phân cực + Từ đó tính được biểu thức tiết diện tán xạ vi phân và tiết diện tán xạ toàn phần trong hệ quy chiếu khối tâm. 6. Giới hạn phạm vi nghiên cứu Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, chúng tôi tính toán giải tích và đánh giá số tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ Higgs khi các chùm  ,   ,  tạo thành radion và không phân cực. 7. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp trường lượng tử với sự hỗ trợ của quy tắc Feynman để tính biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ. Sử dụng phần mềm Mathematica để tính số và vẽ đồ thị. 8. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 chương: Chương I: Mô hình Randall – Sundrum. Chương II: Tiết diện tán xạ của quá trình không phân cực. Chương III: Tính số và thảo luận. 4    h khi các chùm  ,  9. Tóm tắt cô đọng những luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả Khi nghiên cứu quá trình tán xạ    h khi các chùm   không phân cực, chúng tôi sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử và giản đồ Feynman để tính toán biên độ tán xạ theo các kênh s, u, t khi các chùm   không phân cực. Sau đó sử dụng phần mềm Mathematica để tính số và vẽ đồ thị. Sau khi luận văn hoàn thành, các kết quả nghiên cứu sẽ đóng góp vào thực nghiệm trong việc thu tín hiệu radion và Higgs. Đó là bằng chứng quan trọng về sự tồn tại của chúng và khẳng định tính đúng đắn của mô hình Randall – Sundrum. 5 CHƢƠNG I TỔNG QUAN MÔ HÌNH RANDALL – SUNDRUM 1.1 . Dạng tác dụng và metric của mô hình Năm 1999, Raman Sundrum và Lisa Randall đưa ra một mô hình năm chiều nhằm giải quyết vấn đề thứ bậc với chiều thứ năm compact. Thực ra là mở rộng thời gian 5 chiều (5D) trên cở sở mở rộng không - thời gian bốn chiều Minkowski. Trong không gian này, đối xứng Orbifold S1 / Z 2 có hai điểm cố định   0;   ; qua đối xứng S1 :   '    2k , qua đối xứng Z2 :   . Trong không - thời gian này một điểm xác định có tọa độ (x  , ) với y  rc    y . Hai Brane 3 chiều được đặt tại các điểm cố định   0 và    . rc Brane ở   0 là Brane ẩn hay Brane tử ngoại hay Brane Planck năng lượng cao. Barne ở    là Brane quan sát được hay brane hồng ngoại hay Brane TeV năng lượng thấp. + 3-brane tại   0 gọi là Gravity brane (UV-brane) hay gọi là brane ẩn hay brane ở thang năng lượng cao. Trong brane này tương tác chủ yếu là tương tác hấp dẫn. + 3-brane tại    gọi là Weak brane (IR-brane) hay gọi là brane hồng ngoại là brane quan sát được hay brane ở thang năng lượng thấp. Ở brane này tương tác chiếm ưu thế là các tương tác mạnh, yếu và tương tác điện từ. Hàm tác dụng 5D trong mô hình Randall – Sundrum có dạng [3]:  R  S    d 4 xdy gˆ     16G 5  6   d 4 x g hid  hid  Vhid    d 4 x g vis  vis  Vvis  , (1.1) trong đó:    R    : là hàm tác dụng của trường hấp dẫn,  16G 5  - Sgravity    d 4 x  d gˆ   - Shid   d 4 x g hid  hid  Vhid  : là hàm tác dụng trong brane mà ta không thể quan sát được, - Svis   d 4 x g vis  vis  Vvis  : là hàm tác dụng trong brane mà ta có thể quan sát được, - ĝˆ ˆ là tenxơ metric ( với ˆ, ˆ  0,1,2,3,4, và chỉ số 4 tương ứng với trục y của chiều thứ năm compact); tại y = 0 ta có tenxơ metric trên brane ẩn: g  hid (x), và tại y = 1/2 thì ta có tenxơ metric trên brane quan sát được: g vis (x), (,   0, 1, 2, 3) . Khi hằng số vũ trụ bulk và hằng số brane vũ trụ âm được liên quan với nhau bởi công thức:  / m0  Vhid  Vvis  12m0 / ở đây 2 2 ,  16G5  1 / M 3Pl , thì bắt buộc điều kiện biên tại chiều thứ năm compact âm là như nhau. Khi đó ta có khoảng tác dụng như sau: ds2  e2(y)vdx dx v  b02dy2 , (1.2) với (y)  m0 b0  y (2 (y)  1)  2(y  1/ 2) (y  1/ 2)  và b0 là tham số. Để xác định dao động hấp dẫn xung quanh các metric chúng ta dùng phép thay thế sau:     h   x, y  , (1.3) b0  b0  b  x  . 7 1.2. Thế năng hiệu dụng Thế năng hiệu dụng là yếu tố rất quan trọng để xác định được hiệu ứng thế năng sẽ góp phần vào việc tính mật độ Lagrangian, qua đó ta có thể định nghĩa chuẩn chân không theo thế năng tối thiểu (là điểm dừng của thế năng Higgs). Để tái hiện thế hấp dẫn chuẩn 4D và để nhận định độ vô hướng tự do có liên quan đến biên độ, thì ta có thể coi h  là hàm của x 2 . Ta có biểu thức tác dụng hiệu dụng sau: Seff   d 4 x g ( (1  b2 (x)) (4) R (g)  2 m0 6 ( b (x))( b (x)  ...), m0 2 (1.4) trong đó R (4) (g) là Ricci vô hướng và b (x)  e m [b  b(x )]/2 . 0 0 Thế hấp dẫn chuẩn 4D thỏa mãn phương trình: M 2Pl 1  02  2 , 2 m0 (1.5) với 0  e m b /2 là yếu tố warp, M Pl  1 / 8G 4 ~ 2.4 1018 GeV là khối lượng 0 0 Planck. Trong mô hình Randall - Sundrum trường radion không khối lượng 0 (x) được định nghĩa như sau [3]: 1/2  12  0 (x)   2  b (x)  m0  6M Plb (x), 0     6M Pl0 . (1.6) Ở công thức (1.4), ta coi radion là không khối lượng và không thế năng, từ đó thu được giá trị chân không của trường radion như mong đợi. Kết quả này thu được từ việc áp dụng lý thuyết Randall - Sundrum để giải phương trình Einstein. Do đó, thế năng V(0 ) cho trường radion là cần thiết để xác định giá trị chân không, đồng thời cũng có ảnh hưởng tới khoảng cách giữa các brane. 8 Hàm tác dụng của mô hình chuẩn đối với cặp Higgs Ĥ trên brane quan sát được biểu diễn như sau: Svis   d 4 x g vis (L vis  Vvis ) ˆ  D  4 (x) V(H) ˆ ,   d 4 x g b2 (x)D H b  (1.7) 1 2 ˆ  (H ˆ H ˆ  vˆ 2 ) 2 . với V(H) 1 2 ˆ  (H  H  v 2 ) 2 , ta có biểu thức của ˆ , v0  0 vˆ , V(H) Ta thay H0  0 H 0 0 0 tác dụng Svis trên brane quan sát được: Svis 4    2       d 4 x g  0  D H 0 D H 0   0  V(H 0 )  ,            (1.8) Bây giờ, chúng ta quan tâm đến radion và Higgs trong mở rộng 0   0  0 ; H0  1 (v0  h 0  ia 0 ), với a 0 đặc trưng cho Goldstone boson và có 2 đóng góp bởi hàm:    d x g    4 2 SM    1   (h 0 )  0 T (h 0 )   0     h 0  h 0  6V(h 0 )      2       3    0    ,         (1.9) 2    T (h 0 )  4V(h 0    h 0 h 0 );  h 2 V(h 0 )    v 0h 0  0  . 2   (1.10) Do đó, sự tồn tại của hệ số warp   0  đóng góp vào việc giải quyết vấn đề phân bậc cũng như giải thích được tỉ lệ lớn M Pl /1TeV. Sử dụng sự mở rộng của lí thuyết Kaluza- Klein (KK), cho ta biểu thức: 9 n (y) h  (x, y)   h  (x) , b0 n n (1.11) với y = 1/2 (trên brane quan sát được). Từ đó ta có: 1   g  1  h   h  h   h  h    2 4 2  2   1  1 ˆ  w trong đó,  1  n h   ˆ   w 2 n    3  n m 1 n m    h h  h h   2  n ,m   h n  3    , (1.12) ˆ     w   ˆ  2 b0 ~ 2M  , n (1/ 2) ~ m b /  .  w Pl 0 0 0 0 n (1/ 2) (1.13) Từ đó suy ra thế năng hiệu dụng đầy đủ cho radion và Higgs, vậy nên thu được thế năng ổn định cho một radion có khối lượng m  : 0 brane eff V  1  1  ˆ   w  1  h  ˆ  n  w  n  2  n m 1 n m     h  h   h  h   ... 2   n,m  4  0  1 2 2    1  V h  m  0 .   0 2 0        (1.14) Xét trong trường thăng giáng 0  0  0     0 của radion, với giả thiết rằng có tồn tại các giá trị chân không khác với giá trị tầm thường của b 0 , dẫn đến việc đưa ra trong trường thăng giáng tập hợp các khối lượng 1 2 2 m  0 xuất 2 0 hiện trong công thức (1.14). 1 4 n n ~  h , ta tính được thế hiệu dụng trên brane là: Trong trường hợp h    n n m 1 1 brane Veff  1  h  h h  ...  ˆ  ˆ 2  4 W n m  W n  10    4 1 2 2  0   1   V  h 0   m0 0 . 2        (1.15) Bỏ qua đạo hàm của b(x) và mở rộng năng lượng của h  , từ đó thu được hàm mật độ Lagrangian như dưới đây:  branes trong đó  branes bulk ,  bulk Giới hạn của  branes  bulk 1  y e4 ( y) ( y h   h  ')  , [b0  b(x)] (1.16) tương ứng là hàm mật độ Lagrangian của bulk và brane. 1 là:    2 1 e4   y h     y h      y h   . 4  b0  b  x  (1.17) Để tìm được hiệu ứng thế năng 4D thì ta phải mở rộng h  trong mô hình KK và sau đó tích phân toàn bộ trên y. Mô hình KK phải thỏa mãn với điều kiện trực giao dưới đây:  1/2 1/2 e 2  ( y) b(x ) 0  n (y) m (y)dy   nm . (1.18) Xét đến mối quan hệ trực giao, chúng ta mở rộng phương trình (1.17) với:   x bx 2  ln 1  0 . b0 m0 b0     (1.19) Vấn đề phân bậc được giải quyết khi thỏa mãn yêu cầu 2  m0 b0   1 35 , vì thế có thể bỏ qua b  x  b 0 [3]. Sau khi sử dụng các mối quan hệ trực giao, chúng tôi tìm ra kết quả cuối cùng cho tập hợp khối lượng hấp dẫn KK - graviton trong hiệu ứng tương quan giữa năng lượng và khối lượng như biểu thức sau: 11 VeffKK  1 n m 2n h  h n  h n h n  ,  4 n (1.20) với mn  m0 x n 0 là khối lượng hấp dẫn KK - graviton; và x n biểu thị những giá 1 4 n n ~  h . trị khác giá trị tầm thường của hàm Bessel J1 (x) , 0  em b 2 , h  0 0 Mặt khác ta có: VeffKK     n 3 m n2 h ,  16 n (1.21) từ đó thu được tổng thế năng hiệu dụng theo bốn chiều 4D là: brane KK Veff  Veff  Veff  1  1  ˆ  W h n n  1 ˆ2 4 W  h n m n  m h  ...   4  n 0  1 2 2  3   1  V  h 0   m0 0   m n2 h  2      16 n      ..., 2 Từ (1.22) ta thấy nếu giá trị nhỏ nhất của Veff thỏa mãn b  x  b0 1 , thì 0  (1.22)  n ˆ hn /  w 1. Xét tại các điều kiện biên, từ phương trình (1.22) ta được:  1 1 0  n ˆ ˆ2 h   W 2 W Veff 1, 4   0  1 2 2  3 2 n  h 1  V h  m 0  m n h  0,     n     0 2 0  8      n (1.23)  n n m  Veff   4V  h 0  1 1  0  1  h  h h  1  0   m20 0  0,   2   ˆ ˆ 0  4 W n m  W n     3 (1.24)  n n m  Veff   V  h 0  1 1  0  1  h  2  h h  1  0   0.    ˆ ˆ n m h 4 W  W n     h 0 4 (1.25) 12 Phương trình (1.25) chỉ có cách giải quyết duy nhất với 0   1 và  n ˆ  1 , tức là: V(h 0 ) h  0  0 . Do đó, để thỏa mãn đúng yêu cầu hn /  0 w h 0 của mô hình Randall - Sundrum thì V( h 0 )  0 , nếu không khi đó ta phải thay đổi cách giải phương trình Einstein với lý thuyết Randall - Sundrum. 1.3. Đánh giá số trong mô hình Sự trộn lẫn các yếu tố hấp dẫn với các yếu tố điện yếu được mô tả bởi biểu thức của tương tác sau [4]: ˆ  H, ˆ S    d 4 x g vis R  g vis  H (1.26) với R  g vis  là Ricci vô hướng trên brane khả kiến; Ĥ được gọi là trường Higgs trong không - thời gian 5 chiều trước khi có sự thay đổi kích thước trên brane. Sử dụng H0   Ĥ và Ω b  x  = Ω0Ω  x  , ta được: ˆ H ˆ  6   x      x   h      x   ... H  H , (1.27)  g vis R  g vis  H  0 0 để tách riêng số hạng động năng, chúng ta sử dụng phép mở rộng sau: H0  1  v0  h 0  ; 2 x  1 0 . 0 (1.28) Tập hợp h v không có đóng góp nào vào động năng vì  hv  0 , do đó h v v   h v v  0 . Từ đó ta thu được biểu thức động năng sau [5]: L=  1 1 1 1  6 2 0 0  0 m 20 0  h 0  2 2 2    m h2 0 h 0  60 h 0 , (1.29) với   v0   , (1.30) m 2h 0  2v 02 . (1.31) 13 Góc θ được xác định bởi công thức [4]: tan 2θ  12γξZ mh0 2 m0 2  m h0 2  Z2  36ξ 2  γ 2   , (1.32) Z2  1  6 2 1  6     362  2 . (1.33) Từ đó ta có giá trị chính tắc của h và  [4] được xác định: h 0  (cos   6 6 sin ) h  (sin   cos )   dh  c, Z Z 0  cos (1.34)  h  sin  a  bh . Z Z (1.35) Để động năng có giá trị xác định dương thì Z 2 > 0, tức là   362  2 , khi đó bình phương khối lượng có giá trị riêng tương ứng là: m2   2 1  2 2 2 2 2 2 2   m   m  m   m 0 h0 0 h 0   4Z m 0 m h 0 2   2Z   12  .  (1.36)  .  (1.37) Mở rộng [mh , m ] với m  , ta có phương trình dưới đây:  2 Z2  2 4m 2 m 2  2 2 2 m , m    m   m    m   m     2  Z2    12 2 h0 2 0 Ta thấy m 2 , m 2 đóng vai trò như nhau trong (1.37) và chúng hoàn toàn có thể hoán vị cho nhau. Chú ý: biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải xác định dương, tức là: m  2  m  2 2 4m 2 m 2   0, Z2 12 m 2 2  Z2  2  Z2   1  1    2 1   , m 2 Z2    Z   với 1  Z2   362  2   0 . Khi  và  nhỏ, ta có: 14 (1.38) m 2h0  m20  Z2  m 2  m 2  , m 2h0 m 20  Z2m 2 m 2 . (1.39) Khi   0 ta có m h 2  m h 2 . Như vậy thì: dấu (+) tương ứng với mh  m hay 0 tương ứng m h  m  và dấu (-) tương ứng với mh  m hay tương ứng m h  m  . Từ phương trình (1.39) chúng ta thu được [3]: sin 2  12m 2h0 Z  m2  m h2  (1.40) . Do sin 2 phụ thuộc vào việc m2  mh 2 hay m2  mh 2 , nên để thuận tiện thì ta chuyển về tính tan 2θ như sau: tan 2  12Z m 2h0 m20  m 2h0  Z2  362  2  . (1.41) Từ (1.40) và (1.41), chúng ta tìm được giá trị của . Nếu m  0 thì m   0 , 0 m2h0  Z2 m2h , sin   12Z / , cos   Z /  , từ đó ta tính được , , m h và m . Đồng thời tính được Z2 theo (1.33) và m 2h , m2 theo (1.37), đồng thời theo (1.32) 0 0 ta cũng tính được  . Kết hợp với (1.34) và (1.35), ta tính được a, b, c, d. Từ đó ta có được 4 tham số độc lập để tính được a, b, c, d là ,  , mh , m . Hai tham số nhằm đảm bảo yêu cầu hiệu chỉnh các yếu tố vô hướng, bao gồm cả sự phân rã là: ˆ và m ,  w 1 (1.42) ở đây ̂ w sẽ xác định cặp KK - graviton (Kaluza - Klein graviton) và được hiệu chỉnh trong   ; m1 là khối lượng của KK - graviton kích thích lần thứ nhất, phụ thuộc vào   và tham số độ cong M0/ MPl. Các tham số này liên hệ với nhau bởi các công thức sau [3]: 15