Tài liệu Luận văn phân lớp các nhóm hữu hạn với cấp nhỏ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THẾ QUỲNH NGA PHÂN LỚP CÁC NHÓM HỮU HẠN VỚI CẤP NHỎ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THẾ QUỲNH NGA PHÂN LỚP CÁC NHÓM HỮU HẠN VỚI CẤP NHỎ Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Tiến Mạnh HÀ NỘI, NĂM 2017 Mục lục MỤC LỤC 1 LỜI CẢM ƠN 2 LỜI MỞ ĐẦU 3 1 Các định lí Sylow và tích nửa trực tiếp các nhóm 4 1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Nhóm con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Một số nhóm đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Nhóm cyclic cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Nhóm đối xứng Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Nhóm thay phiên An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Nhóm nhị diện Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.5 Nhóm quaternion Q8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 p-nhóm và các định lí Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Tích nửa trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2 2 Phân lớp nhóm Abel hữu hạn 36 2.1 Cấu trúc nhóm Abel hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Sự phân lớp các nhóm Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Phân lớp nhóm hữu hạn 58 3.1 Phân lớp các nhóm cấp p2 và 2p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Phân lớp nhóm cấp pq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Phân lớp nhóm cấp 8, 12, 18, 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 72 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Tiến Mạnh và TS. Trương Thị Hồng Thanh, những người đã luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt các thầy cô trong bộ môn Đại số đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô Khoa đào tạo Sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện cho tác giả trong thời gian học tập tại trường. Cuối cùng, xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đặc biệt là các thành viên trong lớp Đại số K25, đã động viên và cổ vũ tác giả rất nhiều trong suốt thời gian vừa qua. Do hạn chế về trình độ và thời gian, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả rất mong nhận được những góp ý quý giá của thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Học viên Nguyễn Thế Quỳnh Nga LỜI MỞ ĐẦU Phân lớp các đối tượng toán học là một công việc rất cần thiết mà các nhà Toán học luôn muốn nghiên cứu. Trong lí thuyết nhóm, việc phân lớp các nhóm hữu hạn đóng một vai trò quan trọng. Một kết quả rất quan trọng của Đại số đã được chứng minh rằng: Mọi nhóm Abel hữu hạn đều có phân tích tiêu chuẩn duy nhất, sai khác một đẳng cấu. Ngoài ra, người ta có thể phân lớp các nhóm hữu hạn bất kì có cấp lên tới khoảng 500, tức là đi tìm hết tất cả các dạng nhóm cấp n, với n nào đó, sai khác một đẳng cấu. Trên cơ sở các tài liệu có ở phần tài liệu tham khảo, tác giả sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của nhóm, một vài nhóm làm chất liệu cho việc phân lớp nhóm; các định lí, kết quả làm cơ sở cho cách phân lớp một nhóm Abel hữu hạn cấp n và thực hiện việc phân lớp cho các nhóm hữu hạn với cấp cụ thể. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm các chương sau: Chương I: Các định lí Sylow và tích nửa trực tiếp các nhóm, trình bày các khái niệm và một vài tính chất cơ bản của nhóm: p-nhóm và các định lí Sylow; tích nửa trực tiếp các nhóm và một số nhóm đặc biệt làm chất liệu cho việc phân lớp nhóm. Chương II: Phân lớp nhóm Abel hữu hạn, trình bày về sự phân tích trong nhóm Abel hữu hạn, các khái niệm và kết quả liên quan. Trình bày phương pháp tìm tất cả các nhóm Abel cấp n cho trước (sai khác một đẳng cấu) và một số ví dụ cụ thể. Chương III: Phân lớp nhóm hữu hạn, trình bày về sự phân lớp các nhóm không Abel, từ đó trình bày về bài toán phân lớp nhóm với cấp n ≤ 23. Chương 1 Các định lí Sylow và tích nửa trực tiếp các nhóm Chương này tập trung trình bày các định lí Sylow về các p-nhóm và trình bày một số kết quả về tích trực tiếp các nhóm, đồng thời trình bày về một số nhóm hữu hạn đặc biệt. Các kết quả này được sử dụng cho bài toán phân lớp nhóm ở Chương 2 và Chương 3. Trước hết để tiện theo dõi, ta nhắc lại các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm. 1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm Mục này trình bày sơ lược các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm mà không trình bày các chứng minh. Chi tiết các chứng minh bạn đọc có thể xem trong [4] và [5]. 1.1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1.1. Tập G được trang bị phép toán ∗, được kí hiệu bởi (G, ∗), được gọi là một nhóm nếu thỏa mãn 3 tiên đề: (i) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) với mọi x, y, z ∈ G. (ii) Tồn tại phần tử trung hòa e ∈ G, tức là e ∗ x = x ∗ e = x với mọi x ∈ G. (iii) Với mỗi x ∈ G đều tồn tại phần tử đối xứng x0 , tức là x ∗ x0 = x0 ∗ x = e. Nếu ∗ có tính chất giao hoán thì G được gọi là một nhóm giao hoán hay nhóm Abel. Nếu nhóm G có vô hạn phần tử thì G gọi là có cấp vô hạn. Nếu 1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm 5 G có n < ∞ phần tử thì G được gọi là một nhóm cấp n, kí hiệu cấp của G là |G|. Ta thường sử dụng dấu cộng "+" hay dấu nhân "." thông thường để kí hiệu phép toán ∗ trong nhóm. (i) Nếu phép toán được kí hiệu theo dấu cộng "+" thì phần tử trung hòa được gọi là phần tử không, kí hiệu là 0. Phần tử đối xứng của x được kí hiệu bởi −x, gọi là phần tử đối của x. Với n nguyên dương thì kí hiệu nx = x + x + · · · + x là tổng của n phần tử x, (−n)x = −(nx) và 0x = 0. (ii) Nếu phép toán được kí hiệu theo dấu nhân "." thì phần tử trung hòa được gọi là phần tử đơn vị, kí hiệu bởi e. Phần tử đối xứng của x được kí hiệu bởi x−1 , gọi là phần tử nghịch đảo của x. Tích x.y có thể viết gọn là xy. Với n nguyên dương thì kí hiệu xn = xx · · · x là tích của n phần tử x, x−n = (xn )−1 và x0 = e. Ví dụ 1.1.2. (i) Tập các số nguyên Z, các số hữu tỉ Q, các số thực R, các số phức C với phép cộng thông thường đều là các nhóm Abel cấp vô hạn. (ii) (Zn , +) là một nhóm Abel cấp n, ở đó Zn là tập tất cả các lớp đồng dư modulo n. (iii) Kí hiệu Sn là tập tất cả các song ánh từ tập A = {1, 2, ..., n} vào chính nó. Sn lập thành một nhóm với phép nhân ánh xạ, gọi là nhóm đối xứng bậc n, mỗi phần tử của Sn được gọi là một phép thế bậc n. Nhóm này là một nhóm không Abel cấp n!. (iv) Tập các ma trận vuông cấp n không suy biến trên trường số thực R, kí hiệu bởi GLn (R), lập thành một nhóm với phép nhân ma trận, gọi là nhóm tuyến tính tổng quát bậc n. Nhóm này là một nhóm không Abel. 1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm 6 (v) Nếu G1 , G2 là 2 nhóm thì G1 × G2 = {(a, b) | a ∈ G1 , b ∈ G2 } cũng là một nhóm với phép toán: (a, b).(c, d) = (ac, bd). Nhóm này gọi là tích trực tiếp của G1 và G2 . Mệnh đề 1.1.3. Nếu trong nhóm (G, .) luôn có a2 = e với mọi a ∈ G thì G là một nhóm Abel. Chứng minh. Với mọi a ∈ G thì a2 = e, do đó a = a−1 . Mặt khác, với mọi a, b ∈ G thì ab ∈ G và (ab)2 = e. Do đó ab = b−1 a−1 = ba. Vậy G là một nhóm Abel. 1.1.2 Nhóm con Định nghĩa 1.1.4. Bộ phận A không rỗng của nhóm G được gọi là một nhóm con của G nếu tập A cùng với phép toán trong G thu hẹp trên A tạo thành một nhóm. Mệnh đề 1.1.5. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm (G, .). Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) A là một nhóm con của G. (ii) Với mọi x, y ∈ A thì xy ∈ A và x−1 ∈ A. (iii) Với mọi x, y ∈ A thì x−1 y ∈ A. Ví dụ 1.1.6. (i) Đối với nhóm G, bản thân G và E = {e} là những nhóm con, được gọi là nhóm con tầm thường của G. (ii) Tập SLn (R) các ma trận vuông thực cấp n có định thức bằng 1 là một nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GLn (R). Nhóm SLn (R) được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt. (iii) Trong nhóm (Z, +), tập nZ = {x | x = na, a ∈ Z} là một nhóm con với mỗi n ∈ N. (iv) Nhóm đối xứng Sn là nhóm con của nhóm Sm với n ≤ m. (v) Nhóm tuyến tính tổng quát GLn (R) là một nhóm con của nhóm GLm (R) với n ≤ m. 1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm 7 Định lý 1.1.7. Giao của một họ tùy ý các nhóm con của một nhóm G cũng là một nhóm con của G. Định nghĩa 1.1.8. Giả sử S là một tập con khác rỗng của nhóm G. Nhóm con bé nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi S và kí hiệu là hSi. Trong trường hợp hSi = G thì ta nói rằng S là một hệ sinh của G hay G được sinh bởi S. Hệ sinh S của G được gọi là hệ sinh cực tiểu nếu như mọi tập con thực sự của S đều không là hệ sinh của G. Nhận xét 1.1.9. Xét nhóm G có phần tử trung hòa e và a ∈ G. Nếu không có một số nguyên dương n sao cho an = e thì nhóm con sinh bởi a là vô hạn. Trái lại, gọi m là số nguyên dương bé nhất sao cho am = e, thế thì nhóm con sinh bởi a có m phần tử. Định nghĩa 1.1.10. Xét nhóm G có phần tử trung hòa e và a ∈ G. Gọi A là nhóm con sinh bởi a. Phần tử a gọi là có cấp vô hạn nếu A vô hạn; trong trường hợp này không có số nguyên dương n nào sao cho an = e. Phần tử a được gọi là có cấp m nếu A có cấp m; trong trường hợp này m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho am = e. Phần tử a có cấp 1 khi và chỉ khi a = e. Cấp của phần tử a được kí hiệu bởi o(a). 1.1.3 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương Giả sử H là một nhóm con của nhóm (G, .) và x ∈ G. Khi đó các tập con của G xH = {xa | a ∈ H} và Hx = {ax | a ∈ H} lần lượt gọi là một lớp ghép trái và lớp ghép phải của H trong G có đại diện x. Khi đó hai lớp ghép trái (phải) bất kì hoặc trùng nhau hoặc rời nhau. Kí hiệu tập các lớp ghép trái của H là G/H := {x = xH | x ∈ G} , và gọi là tập thương của G theo nhóm con H. Định lý 1.1.11 (Định lí Lagrange). Cho G là một nhóm hữu hạn và H là nhóm con của G. Khi đó, cấp của G chia hết cho cấp của H. 1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm 8 Số x các lớp ghép trái đúng bằng |G|/|H| và được gọi là chỉ số của nhóm con H trong G, kí hiệu bởi [G : H]. Hệ quả 1.1.12. Mỗi phần tử của nhóm hữu hạn G có cấp chia hết cấp của G. Để tập thương G/H là một nhóm với phép toán cảm sinh từ phép toán của G thì điều kiện cần và đủ là H phải là một nhóm con chuẩn tắc, như định nghĩa dưới đây. Định nghĩa 1.1.13. Một nhóm con A của nhóm (G, .) được gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu g −1 ag ∈ A với mọi a ∈ A và với mọi g ∈ G. Ví dụ 1.1.14. (i) Trong một nhóm G, bản thân G và nhóm con chỉ gồm phần tử trung hòa là những nhóm con chuẩn tắc. (ii) Đối với nhóm Abel G, mọi nhóm con đều là nhóm con chuẩn tắc. (iii) Mọi nhóm con có chỉ số bằng 2 của một nhóm G đều là nhóm con chuẩn tắc. Thật vậy, giả sử H là nhóm con có chỉ số bằng 2 trong G. Khi đó trong G có sự phân lớp theo lớp ghép trái {H, gH} và sự phân lớp theo lớp ghép phải {H, Hg} với g là một phần tử không thuộc vào H. Từ đó gH = Hg và ta có H là nhóm con chuẩn tắc của G. Định lý 1.1.15. Cho H là một nhóm con của nhóm (G, .). Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) H là một nhóm con chuẩn tắc của G. (ii) xH = Hx với mọi x ∈ G. (iii) Quy tắc . : G/H × G/H −→ G/H (xH, yH) 7−→ xyH là một phép toán trong G/H. (iv) (G/H, .) lập thành một nhóm. Định nghĩa 1.1.16. Giả sử H là một nhóm con của nhóm G. Nhóm G/H với phép toán như trong Định lí 1.1.15 được gọi là nhóm thương của nhóm G trên nhóm con chuẩn tắc H. 1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm 9 Ví dụ 1.1.17. Trong nhóm cộng Abel các số nguyên Z thì nZ = {na | a ∈ Z} là một nhóm con của Z với mọi số nguyên dương n. Do đó nZ là một nhóm con chuẩn tắc của Z. Khi đó ta có nhóm thương Z/nZ = {x = x + nZ | x ∈ Z} . Nhóm thương này chính là nhóm các lớp đồng dư modulo n, kí hiệu là (Zn , +). 1.1.4 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.1.18. Giả sử (G, .) và (G0 , .) là hai nhóm. Một ánh xạ f từ G đến G0 được gọi là một đồng cấu nhóm nếu f (xy) = f (x)f (y) với mọi x, y ∈ G. Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là một đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh). Khi f là một đẳng cấu thì ta nói rằng G và G0 là hai nhóm đẳng cấu và kí hiệu G ∼ = G0 . Ta kí hiệu Imf = {f (x) | x ∈ G} Kerf = {x ∈ G | f (x) = e0 } = f −1 (e0 ), và lần lượt gọi Imf là ảnh, Kerf là hạch hay hạt nhân của đồng cấu f . Ví dụ 1.1.19. (i) Ánh xạ θ : G −→ G0 biến mọi phần tử của G thành phần tử đơn vị của G0 là một đồng cấu, gọi là đồng cấu tầm thường. (ii) Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó, ánh xạ i : H −→ G a 7−→ a là một đơn cấu và được gọi là đơn cấu chính tắc hay phép nhúng chính tắc. Nói riêng, phép đồng nhất idG : G −→ G trên nhóm G là một đơn cấu, hơn nữa là một đẳng cấu, và idG được gọi là đẳng cấu đồng nhất của G. (iii) Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm (G, .). Khi đó ta có nhóm thương (G/H, .). Ánh xạ p : G −→ G/H x 7−→ xH 1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm 10 là một toàn cấu, gọi là phép chiếu chính tắc hay toàn cấu chính tắc. (iv) Đẳng cấu f : G −→ G được gọi là tự đẳng cấu của G. Tập các tự đẳng cấu của G kí hiệu bởi Aut(G), lập thành một nhóm với phép nhân ánh xạ. Định lý 1.1.20. Cho hai nhóm (G, .) và (G0 , .) cùng một đồng cấu f : G −→ G0 . Khi đó: (i) f (e) = e0 , ở đó e và e0 lần lượt là phần tử đơn vị của G và G0 . (ii) f (x−1 ) = (f (x))−1 với mọi x ∈ G. (iii) Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {e}. (iv) M là một nhóm con của G thì f (M ) là một nhóm con của G0 , đặc biệt Imf là một nhóm con của G0 . (v) N là một nhóm con chuẩn tắc của G0 thì f −1 (N ) là một nhóm con chuẩn tắc của G, đặc biệt Kerf là một nhóm con chuẩn tắc của G. (vi) Tồn tại duy nhất một đồng cấu f : G/Kerf −→ G0 x 7−→ f (x) sao cho f = f p, trong đó p : G −→ G/Kerf là toàn cấu chính tắc. Khi đó, f là một đơn cấu và Imf = Imf . (vii) Ta luôn có G/Kerf ∼ = Imf. Ta có một số kết quả quan trọng sau về tự đẳng cấu nhóm. Ví dụ 1.1.21. Aut(Z) ∼ = Z2 . Thật vậy, để xác định Aut(Z), đầu tiên ta thấy rằng tất cả các tự đồng cấu của một nhóm Abel là tầm thường; tiếp theo, một đẳng cấu giữa các nhóm cyclic biến phần tử sinh thành phần tử sinh. Vì vậy nếu α ∈ Aut(Z) thì α(1) = ±1. Do đó có 2 tự đẳng cấu được cho bởi α(n) = n hoặc α(n) = −n với mọi n ∈ Z. Ta suy ra được ngay Aut(Z) ∼ = Z2 . × Ví dụ 1.1.22. Aut(Zn ) ∼ = Z× n , ở đó Zn = {a | gcd(a, n) = 1}. Thật vậy, xét tự đẳng cấu α của Zn , α(1) = a. Do 1 là phần tử sinh của Zn nên a là phần tử sinh 1.2 Một số nhóm đặc biệt 11 của Zn , vậy thì gcd(a, n) = 1. Khi đó α được cho bởi công thức α(m) = am, với mọi m ∈ Zn . Vì hợp thành của các ánh xạ tương ứng với phép nhân hệ số nên ta thu được Aut(Zn ) ∼ = Z× . n 1.2 Một số nhóm đặc biệt 1.2.1 Nhóm cyclic cấp n Định nghĩa 1.2.1. Một nhóm G được gọi là cyclic nếu G có một hệ sinh gồm 1 phần tử {a} ⊂ G. Phần tử a khi đó được gọi là một phần tử sinh của G. Kí hiệu G = hai. Dễ thấy rằng: Nếu G là nhóm với phép toán "." thì G có các phần tử là các lũy thừa aλ , λ ∈ Z; còn nếu G là nhóm với phép toán "+" thì G có các phần tử là na, n ∈ Z. Ví dụ 1.2.2. (i) Nhóm cộng các số nguyên Z là cyclic: Z = h1i = h−1i.  (ii) Nhóm (Zn , +) là một nhóm cyclic: Zn = 1 . (iii) Nhóm các phép quay của một đa giác đều n đỉnh trong mặt phẳng là nhóm cyclic cấp n, sinh bởi phép quay góc 2π/n rađian. Nhóm này kí hiệu bởi Cn . (iv) Nhóm nhân các căn phức bậc n của đơn vị là một nhóm cyclic cấp n, sinh 2π 2π bởi w = cos + isin . n n Nhận xét 1.2.3. Dễ thấy rằng, một nhóm cyclic thì là nhóm Abel. Mệnh đề 1.2.4. Nhóm con của một nhóm cyclic cũng là một nhóm cyclic. Chứng minh. Giả sử G là nhóm cyclic sinh bởi phần tử g và H là một nhóm con của G. Nếu H = {e} thì H là nhóm cyclic sinh bởi e. Trong trường hợp H 6= {e}, gọi s là số nguyên dương bé nhất sao cho g s ∈ H. Ta đi chứng minh rằng mọi phần tử thuộc H đều là lũy thừa của g s . Giả sử g k ∈ H. Ta có k = sq + r, với s, q, r là các số nguyên dương và 0 ≤ r < s. Khi đó, r = k − sq, g r = g k .(g sq )−1 ∈ H. Nếu r 6= 0 thì ta gặp mâu thuẫn với tính bé nhất của s. Vậy r = 0 và g k = (g s )q . Bởi vậy H là nhóm cyclic sinh bởi g s . 1.2 Một số nhóm đặc biệt 12 Mệnh đề 1.2.5. Mọi nhóm hữu hạn cấp nguyên tố đều là một nhóm cyclic và nhóm này được sinh bởi một phần tử bất kì khác phần tử trung hòa. Chứng minh. Giả sử G là nhóm cấp nguyên tố p. Xét a là phần tử khác phần tử trung hòa của G và H là nhóm con cyclic sinh bởi a có cấp n > 1. Theo Định lí 1.1.11, n là ước của p. Do p nguyên tố nên n = p, vậy thì G = H và ta có G là cyclic, được sinh bởi một phần tử bất kì khác phần tử trung hòa. Mệnh đề 1.2.6. Ta có các khẳng định sau: (i) Mọi nhóm cyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z. (ii) Mọi nhóm cyclic cấp n đều đẳng cấu với nhóm cộng Zn các lớp đồng dư modulo n. Chứng minh. (i) Xét A = hai là nhóm cyclic sinh bởi phần tử a có cấp vô hạn. Xét ánh xạ ϕ : Z −→ A x 7−→ ax . ϕ là một đồng cấu vì ϕ(x + y) = ax+y = ax .ay = ϕ(x).ϕ(y) và hơn nữa là một toàn cấu do mỗi phần tử của A là một lũy thừa của a. Do phần tử a có cấp vô hạn nên Kerϕ = {x ∈ Z | ax = e} = {0} . Vậy ϕ là đơn cấu và do đó là đẳng cấu. Suy ra một nhóm cyclic cấp vô hạn bất kì luôn đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z. (ii) Nếu A = hai là nhóm cyclic cấp n thì ánh xạ ϕ : Z −→ A x 7−→ ax là toàn cấu với Kerϕ = {x ∈ Z | ax = e} = {x ∈ Z | n | x} = nZ. Bởi vậy theo Định lí 1.1.20(vii) thì A ∼ = Z/nZ = Zn . 1.2 Một số nhóm đặc biệt 13 Mệnh đề 1.2.7. Giả sử G1 , G2 là hai nhóm cyclic có cấp lần lượt là n1 , n2 . Khi đó G1 × G2 là một nhóm cyclic khi và chỉ khi n1 và n2 nguyên tố cùng nhau. Trường hợp đặc biệt, Zn1 × Zn2 là một nhóm cyclic khi và chỉ khi n1 và n2 nguyên tố cùng nhau. Chứng minh. Giả sử Gi = hai i có cấp là ni với i = 1, 2. Nhóm G1 × G2 có cấp là n1 n2 . Nếu G1 × G2 là nhóm cyclic thì phần tử sinh là (a1 , a2 ) và ta suy ra cấp của (a1 , a2 ) bằng n1 n2 . Ta gọi m là bội chung nhỏ nhất của n1 và n2 . Khi m đó, am 1 = e1 và a2 = e2 do n1 | m và n2 | m. Vậy thì: m (a1 , a2 )m = (am 1 , a2 ) = (e1 , e2 ). Do đó m chia hết cho n1 n2 . Hiển nhiên cũng có n1 n2 chia hết cho m. Vậy m = n1 n2 và suy ra n1 , n2 nguyên tố cùng nhau. Đảo lại, giả sử n1 và n2 nguyên tố cùng nhau, ta chứng minh rằng (a1 , a2 ) có cấp n1 n2 và do đó G1 × G2 = h(a1 , a2 )i. Thật vậy, nếu (a1 , a2 )k = (e1 , e2 ) thì (ak1 , ak2 ) = (e1 , e2 ), tức là ak1 = e1 , ak2 = e2 . Vậy thì k chia hết cho n1 và n2 . Vì n1 và n2 là nguyên tố cùng nhau nên ta suy ra k chia hết cho n1 n2 . Rõ ràng (a1 , a2 )n1 n2 = (e1 , e2 ), suy ra n1 n2 chia hết cho k. Vậy cấp của (a1 , a2 ) bằng n1 n2 và G1 × G2 là nhóm cyclic sinh bởi (a1 , a2 ). Áp dụng cho Zn1 và Zn2 là hai nhóm cyclic có cấp lần lượt là n1 và n2 ta có ngay trường hợp đặc biệt của mệnh đề. Mệnh đề 1.2.8. Giả sử G là một nhóm và a, b ∈ G thỏa mãn ab = ba. Nếu o(a) và o(b) là hai số nguyên tố cùng nhau thì o(ab) = o(a)o(b). Chứng minh. Giả sử o(a) = m và o(b) = n. Do giả thiết ab = ba nên ta có (ab)mn = amn bmn = (am )n (bn )m = e. Vậy thì ab có cấp hữu hạn, giả sử o(ab) = k. Vì (ab)mn = e nên k | mn. Lại do (ab)k = ak bk = e nên ak = b−k . Ta có akn = (ak )n = (b−k )n = (bn )−k = e. Vậy thì m | kn. Vì (m, n) = 1 nên m | k. Tương tự ta có n | k. Lại do (m, n) = 1 nên mn | k. Vậy thì k | mn và mn | k, suy ra k = mn.  Mệnh đề 1.2.9. Với p là một số nguyên tố thì nhóm Z× p = Zp \ 0 là một nhóm cyclic. 1.2 Một số nhóm đặc biệt 14 Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh rằng trong một nhóm Abel G cấp hữu hạn, nếu a ∈ G là phần tử có cấp cực đại thì mọi phần tử của G đều có cấp là ước của o(a). Thật vậy, giả sử x ∈ G khác phần tử đơn vị. Giả sử o(x) - o(a). Khi đó tồn tại số nguyên tố q sao cho ta có phân tích o(a) = q α m, o(x) = q β n với α q - m, q - n, α < β. Ta có o(aq ) = m và o(xn ) = q β . Vì q - m nên (q β , m) = 1. α Bởi Mệnh đề 1.2.8 thì o(aq xn ) = q β n > o(a), mâu thuẫn. Vậy thì o(x) | o(a).  Ta có Z× p = 1, 2, . . . , p − 1 là một nhóm Abel cấp p − 1. Gọi a là phần tử × của Z× p có cấp cực đại và giả sử o(a) = m ≤ p − 1. Khi đó mọi phần tử x của Zp đều có cấp là ước của m, vậy thì x là nghiệm của đa thức xm − 1. Với p nguyên tố thì Zp là một trường, khi đó đa thức xm − 1 có nhiều nhất m nghiệm, suy ra m ≥ p − 1. Vậy o(a) = m = p − 1 và suy ra Z× p là nhóm cyclic. 1.2.2 Nhóm đối xứng Sn Định nghĩa 1.2.10. Gọi Sn là tập tất cả các song ánh từ tập {1, 2, . . . , n} đến chính nó. Mỗi song ánh σ ∈ Sn được gọi là một phép thế bậc n và ta viết ! 1 2 ... n σ= . σ(1) σ(2) ... σ(n) Sn cùng với phép nhân ánh xạ lập thành một nhóm, gọi là nhóm các phép thế bậc n hay nhóm đối xứng bậc n. Phần tử đơn vị e của nhóm là ánh xạ đồng nhất. Dễ thấy nhóm Sn có cấp là n!. Ví dụ 1.2.11. Nhóm đối xứng S3 gồm ! 1 2 3 1 e= , f1 = 1 2 3 2 ! 1 2 3 1 f3 = , f4 = 2 1 3 3 6 phần tử là ! 2 3 , f2 = 3 1 ! 2 3 , f5 = 2 1 1 2 3 3 1 2 ! 1 2 3 1 3 2 ! . Định nghĩa 1.2.12. Một phép thế σ được gọi là một k-vòng xích hay một vòng xích cấp k nếu tồn tại i1 , i2 , . . . , ik ∈ {1, 2, . . . , n} (n > 1) sao cho σ(i1 ) = i2 , σ(i2 ) = i3 , . . . , σ(ik−1 ) = ik , σ(ik ) = i1 , còn σ(i) = i với mọi i ∈ / {i1 , i2 , . . . , ik }. Kí hiệu σ = (i1 i2 · · · ik ). Một 2-vòng xích (ij) được gọi là một chuyển vị. 1.2 Một số nhóm đặc biệt 15 Nhận xét 1.2.13. Ta thấy ngay rằng, mọi phép chuyển vị đều là một phần tử cấp 2 trong nhóm Sn . Mệnh đề 1.2.14. Nhóm đối xứng Sn với n ≥ 2 được sinh bởi tập các phép chuyển vị. Nói cách khác, mọi phép thế σ ∈ Sn đều là tích của một số hữu hạn phép chuyển vị: σ = τ1 τ2 · · · τr , trong đó τ1 , τ2 , . . . , τr là các phép chuyển vị. Chứng minh. Gọi số các phần tử bất động của σ (tức là số các phần tử i sao cho σ(i) = i) là p. Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo k = n − p. Với k = 0, tức là có n phần tử bất động, thế thì σ là ánh xạ đồng nhất e. Khi đó mệnh đề đúng vì σ = e = τ τ với mọi phép chuyển vị τ . Ta thấy ngay rằng, trường hợp k = 1 là không xảy ra, vì rõ ràng nếu có n − 1 phần tử bất động thì phần tử còn lại cũng bất động. Nếu k = 2 thì σ là một phép chuyển vị, do đó mệnh đề đúng. Giả sử k > 2 và mệnh đề đúng với mọi phép thế có nhiều hơn n − k phần tử bất động. Vì k > 2 nên tồn tại i để σ(i) = j 6= i. Xét phép chuyển vị τ = (ij). Khi đó σ = τ (τ σ). Vì các phần tử bất động của σ đều khác i, j và mọi phần tử khác i, j đều bất động dưới τ nên các phần tử bất động của σ đều là các phần tử bất động của τ σ. Hơn nữa τ σ(i) = τ (j) = i. Do đó i là một phần tử bất động của τ σ. Vì vậy số các phần tử bất động của τ σ nhiều hơn n − k. Theo giả thiết quy nạp ta có τ σ = τ τ1 τ2 · · · τr là tích của các phép chuyển vị. Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.2.15 (Dấu của phép thế). Với mỗi phép thế σ ∈ Sn , đặt sgn(σ) = σ(j) − σ(i) . j − i 1≤i - Xem thêm -