Tài liệu Luận văn khối lượng và trộn lẫn quark trong mô hình chuẩn với nhóm đối xứng d4

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI TẠ BÁ CƯỜNG KHỐI LƢỢNG VÀ TRỘN LẪN QUARK TRONG MÔ HÌNH CHUẨN VỚI NHÓM ĐỐI XỨNG D4 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ HÀ NỘI, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI TẠ BÁ CƯỜNG KHỐI LƢỢNG VÀ TRỘN LẪN QUARK TRONG MÔ HÌNH CHUẨN VỚI NHÓM ĐỐI XỨNG D4 Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và vật lí toán Mã số : 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Võ Văn Viên HÀ NỘI, NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực. Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trước đó. Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình. Hà Nội, ngày 10 tháng 6 năm 2017 Tác giả Tạ Bá Cường 1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Võ Văn Viên, người thầy đã tận tình hướng dẫn, truyền dạy, động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ bộ môn Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội đã giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các anh chị và các bạn trong lớp cao học k 25 đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu của mình. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới những người thân, bạn bè, đồng nghiệp luôn quan tâm, tạo điều kiện và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, ngày 10 tháng 6 năm 2017 Tác giả Tạ Bá Cường 2 MỤC LỤC Nội dung Trang DANH MỤC BẢNG, HÌNH ................................................................... 4 MỞ ĐẦU ................................................................................................. 5 Chương 1: GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH CHUẨN .............................. 9 1.1: Sự sắp xếp các trường quark trong mô hình chuẩn ............................ 9 1.2: Khối lượng và trộn lẫn quark ............................................................. 11 1.3: Những thành công và tồn tại của mô hình chuẩn trong phần quark .... 16 Chương 2: NHÓM ĐỐI XỨNG D4 ........................................................ 17 2.1: Giới thiệu về lý thuyết nhóm và nhóm gián đoạn .............................. 17 2.2: Tóm tắt các bước tìm hệ số Clebsch – Gordan................................... 18 2.3: Nhóm đối xứng D4 ............................................................................ 20 2.4: Kỹ thuật đưa nhóm đối xứng vào mô hình chuẩn ............................. 28 Chương 3 : KHỐI LƢỢNG VÀ TRỘN LẪN QUARK TRONG MÔ HÌNH CHUẨN VỚI NHÓM ĐỐI XỨNG D4 ................................ 30 3.1: Cấu trúc các trường quark của mô hình ............................................. 30 3.2: Khối lượng và trộn quark trong mô hình chuẩn với nhóm đối xứng D4 .............................................................................................. 32 KẾT LUẬN CHUNG ............................................................................. 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................... 44 PHỤ LỤC................................................................................................ 46 3 DANH MỤC BẢNG, HÌNH Bảng Trang Bảng 1.1: Các fermion trong mô hình chuẩn .......................................... 9 Bảng 1.2: Các đại lượng đặc trưng của fermion trong MHC ......... 10 Bảng 2.1: Bảng nhân nhóm của D4 ............................................... 21 Bảng 2.2: Đặc trưng tích các biểu diễn một chiều của D4 ....................... 22 Bảng 2.3: Đặc trưng tích biểu diễn một chiều và hai chiều của D4.......... 22 Bảng 2.4: Số biểu diễn tối giản trong các biểu diễn không tối giản của nhóm D4 ................................................................................................ 23 Bảng 3.1: Các trường quark và các vô hướng cần thiết sinh khối lượng và trộn quark .......................................................................................... 32 Bảng 3.2: Các giá trị thu được từ mô hình so với các giá trị của thực nghiệm năm 2016 và tham số hóa Wolfenstein ................................................... 41 Hình Hình 2.1: Nhóm đối xứng của hình vuông ...................................... 20 Hình 3.1: V21 , V22 , V31 , V32 là các hàm phụ thuộc vào s, s với s  (0.104659, 0.104658),s  (0.10493, 0.10492). ..................... 4 40 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Vật lý là một trong những ngành khoa học quan trọng của xã hội, nghiên cứu về vật chất, năng lượng, các chuyển động và mối liên hệ giữa chúng. Mục đích chung của vật lý lý thuyết là mô tả các hiện tượng tự nhiên hoặc dự đoán các hiện tượng đó bằng những lý thuyết có sẵn hoặc xây dựng những cơ sở lý thuyết mới để có thể chứng minh và khẳng định những vấn đề, kết quả và hiện tượng mới. Trong khi đó vật lý thực nghiệm có vai trò kiểm chứng các kết quả của lý thuyết, đồng thời phát hiện những tiên đoán có thể vượt xa lý thuyết hiện tại. Một trong những thành công lớn nhất của vật lý học trong thế kỷ XX là sự ra đời của mô hình chuẩn (MHC) mô tả thành công 3 trong 4 tương tác được biết đến là tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh. Trong MHC các hạt được sắp xếp thành 3 thế hệ, mỗi thế hệ gồm hai quark và hai lepton đã được kiểm chứng thực nghiệm. Vật chất được tạo thành từ các thế hệ nhẹ nhất, quark u và quark d được tạo nên từ các proton và neutron trong hạt nhân nguyên tử, các electron và neutrino electron được sinh ra trong quá trình rã  . Hai thế hệ còn lại của lepton mang điện là muon và tauon, các hạt này có cùng điện tích nhưng nặng hơn electron. Mỗi hạt có một phản hạt tương ứng, cùng khối lượng nhưng điện tích trái dấu. Cơ chế Higgs được khám phá vào năm 1964 bởi P. W. Higgs, F. Englert và R.Brout, G. S. Guralnik, C. R. Hagen và T. W. B. Kibble, cho phép các boson chuẩn không có khối lượng ban đầu trong MHC thu được khối lượng. Sự thành công của MHC càng được khẳng định hơn khi LHC thông báo đã tìm thấy một hạt có các đặc trưng tương tự hạt Higgs của MHC với khối lượng cỡ 125GeV. 5 Mặc dù được xem là mô hình nền tảng của vật lý hạt nhưng MHC vẫn còn bộc lộ những hạn chế nhất định. Một trong những hạn chế mà luận văn tập trung giải quyết đó là MHC không giải thích được tại sao các góc trộn lẫn quark nhỏ (ma trận trộn lẫn gần với ma trận đơn vị) trong khi các góc trộn neutrino lớn với các góc trộn xác định (ma trạn trộn neutrino có dạng gần với dạng trộn Tribimaximal). Theo MHC, ma trận trộn lẫn quark có dạng đơn vị. Tuy nhiên, dữ liệu thực nghiệm gần đây xác nhận độ lớn ma trận trộn lẫn quark có dạng [1]: exp VCKM  0.97417    0.220  8.2  103  0.2248 0.995 40  10 3 40.9  103   40.5  103  , 1.009  (1) và khối lượng các quark được xác định [1]: mu  2.2MeV , mc  1.27, mt  173.21GeV, md  4.7 MeV , ms  96MeV , mb  4.18GeV . (2) Trên thực tế sự trộn lẫn quark vẫn còn bỏ ngỏ, chưa có một mô hình nào có thể mô tả dạng trộn lẫn quark phù hợp với thực nghiệm (1) ở gần đúng thấp nhất mà không cần đến tương tác không tái chuẩn hóa hoặc không có sự vi phạm đối xứng. Khi đưa thêm nhóm gián đoạn vào MHC có thể thu được dạng tường minh về ma trận trộn lẫn quark như ở (1). Vì vậy, chúng tôi đã chọn đề tài “Khối lƣợng và trộn lẫn quark trong mô hình chuẩn với nhóm D4”. 2. Mục đích nghiên cứu - Trình bày tóm tắt nội dung mô hình chuẩn - Xây dựng mô hình mở rộng MHC với nhóm đối xứng D4 xác định khối lượng và dạng ma trận trộn lẫn quark. 6 3. Đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận văn là: - Mô hình chuẩn và những thành công, hạn chế của Mô hình chuẩn - Nhóm đối xứng D4 - Hạt Quark trong Mô hình chuẩn với nhóm D4 4. Giả thuyết khoa học Từ các kết quả thực nghiệm về khối lượng và trộn lẫn quark, chúng ta có thể xây dựng các mô hình lý thuyết để giải thích các kết quả đó. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng mô hình lý thuyết giải thích kết quả thực nghiệm về khối lượng và trộn lẫn của các quark. 6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu Có nhiều hướng mở rộng mô hình chuẩn khác nhau và có nhiều nhóm gián đoạn khác nhau nhưng đề tài chỉ giới hạn xây dựng mô hình chuẩn mở rộng nhằm giải thích khối lượng và trộn lẫn của các quark trong mô hình chuẩn với nhóm D4. 7. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu được sử dụng là phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Cụ thể, chúng tôi trình bày tóm tắt nội dung cơ bản của MHC bao gồm sự sắp xếp hạt trong mô hình, khối lượng và trộn lẫn của lepton mang điện, những thành công và hạn chế của mô hình, và trình bày các đặc trung cơ bản của nhóm D4. Từ đó, đưa nhóm gián đoạn D4 vào MHC để xây dựng biểu thức giải tích về khối lượng của quark. So sánh kết quả thu được từ mô hình với kết quả thực nghiệm để rút ra các tham số của mô hình. 7 8. Đóng góp mới của luận văn Đóng góp mới của luận văn là xây dựng mô hình lý thuyết giải thích được kết quả thực nghiệm về khối lượng và trộn lẫn quark phù hợp với kết quả thực nghiệm năm 2016. 9. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương chính. Chương 1 - Giới thiệu về mô hình chuẩn, trình bày về sự sắp xếp các trường quark trong mô hình chuẩn, khối lượng và trộn lẫn quark và một số tồn tại của mô hình chuẩn trong phần quark. Chương 2 - Nhóm đối xứng D4, giới thiệu tóm tắt về lý thuyết nhóm và nhóm gián đoạn, các bước tìm hệ số Clebsch – Gordan của nhóm gián đoạn, và nhóm đối xứng D4, cơ sở đưa nhóm D4 vào mô hình chuẩn. Chương 3 - Khối lượng và trộn lẫn quark trong mô hình chuẩn với nhóm đối xứng D4. Trong chương này chúng tôi đề xuất một sự mở rộng mô hình chuẩn với nhóm đối xứng D4 nhằm xác định khối lượng và trộn lẫn quark. Phần trình bày bao gồm cấu trúc các trường quark của mô hình, khối lượng và trộn lẫn quark trong mô hình. 8 Chƣơng 1. GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH CHUẨN 1.1. Sự sắp xếp các trƣờng quark trong mô hình chuẩn Mô hình chuẩn (MHC) là lý thuyết kết hợp lý thuyết điện - yếu (mô tả tương tác điện từ và yếu) và sắc động lực học lượng tử (mô tả tương tác mạnh) thành một lý thuyết duy nhất mô tả thành công 3 trong 4 tương tác được biết đến là tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh (trừ tương tác hấp dẫn). Các tương tác được thực hiện thông qua các hạt truyền tương tác có spin bằng 1: photon truyền tương tác điện từ, các boson W  và Z truyền tương tác yếu, các gluon truyền tương tác mạnh. Nhóm đối xứng chuẩn của MHC là: G  SU  3C  SU  2L  U 1Y , (1.1) trong đó, các kí hiệu C, L, Y lần lượt chỉ tích màu, phân cực trái và siêu tích yếu. Trong mô hình này có tất cả 12 boson chuẩn, trong đó, 8 boson ứng với 8 vi tử của nhóm SU  3 , 4 boson ứng với 3 vi tử của nhóm SU  2  và 1 vi tử của nhóm U 1 . Các fermion gồm các quarks và lepton được sắp xếp thành ba thế hệ 1, 2, 3 như trong bảng 1.1. Bảng 1.1: Các fermion trong mô hình chuẩn Thế hệ 1 Thế hệ 2 Thế hệ 3 Q u d    c s   t  b   2/3 Quarks 1 / 3 Lepton  e  e                0 1 9 Các đại lượng đặc trưng của các fermion trong MHC được xác định từ công thức [2], 2I  1  n , (1.4) trong đó, n chỉ số tuyến của đa tuyến được xét và I là spin đồng vị, và công thức Gell-Mann – Nishijima [2], Q  I3  Y 2, (1.5) trong đó, Q là điện tích, Y là siêu tích và I 3 là thành phần thứ ba của spin đồng vị. Kết quả được thể hiện trong bảng 1.2. MHC thừa nhận vật lý ở mỗi thế hệ là như nhau, do đó ta chỉ cần xét cho thế hệ thứ nhất và các kết quả tương ứng được suy ra cho các thế hệ còn lại. Ở  đây ta xét thế hệ quark Q =  uL d L  và lepton thứ nhất là L   eL eL T  T . Bảng 1.2. Các đại lượng đặc trưng của fermion trong MHC Các đa tuyến I u  Lưỡng tuyến quark phân cực trái QL   L   dL  1/2 I3 1/2 -1/2 Y 1/3 Q 2/3 -1/3 uR 0 0 4/3 2/3 dR 0 0 -2/3 -1/3 Các đơn tuyến quark phân cực phải  e  Lưỡng tuyến lepton phân cực trái LL   L   eL  Đơn tuyến lepton phân cực phải e R 1/2 0 10 1/2 -1/2 0 -1 -2 0 -1 -1 Với các lưỡng tuyến lepton và quark phân cực trái  LL , QL  , áp dụng các công thưc (1.4) và (1.5) ta thu được: 1 n = 2, YLL  1 , YQL  , 3 (1.6) nên chúng ta viết:  uL   1      2,  ,  dL   3   eL    ~ 2,1 , e   L   cL   1      2,  ,  sL   3   tL   1      2,   bL   3    L    ~ 2,1 ,    L   L    ~ 2,1 .    L  (1.7) Với các đơn tuyến lepton và quark phân cực phải ( QR và eR ), n=1, nên ta có: 4 2 YqR  , YqR   , YeR  2 , 3 3 (1.8) nên ta viết:  4  4  4 u R ~ 1,  , cR ~ 1,  , t R ~ 1,  ,  3  3  3  2  2  2 d R ~ 1,  , s R ~ 1,  , bR ~ 1,  ,  3  3  3 eR ~ 1,2 ,  R ~ 1,2 ,  R ~ 1,2 . (1.9) 1.2. Khối lƣợng và trộn lẫn quark Trong MHC, khối lượng của các fermion sinh ra như một kết quả của cơ chế Higgs nhờ tương tác Yukawa của các trường fermion với lưỡng tuyến Higgs. Trong lý thuyết trường [2], số hạng khối lượng Dirac của fermion  có dạng m , với m là khối lượng của trường  ,  là liên hợp Dirac của  , liên hệ với  theo hệ thức:     0 , (1.10) 11 và   là liên hợp Hermite của  ,     *  T (1.11) Một trường fermion bất kì luôn có thể tách làm hai thành phần phân cực trái và phân cực phải như sau:   L  R , (1.12) trong đó, L  1 5 1 5   PL ,  R     R , 2 2 (1.13) với  5  i 0 1 2 3 và  0 ,  1 ,  2 ,  3 là các ma trận Dirac, thỏa mãn các tính chất sau [2]:  5  2  1 ,  5   5 ,        0,1,2,3 ,    0*  .  T 0 (1.14) Từ biểu thức (1.14), chúng ta có mối liên hệ sau đây: 1 5  1 1 5 PL    PR   1  5  2 2 2     (1.15) PL PR  1 5 1 5 1 1  1   52   1  1  0 2 2 4 4 (1.16) PR PL  1 5 1 5 1 1  1   52   1  1  0 2 2 4 4 (1.17)  1   5  1   5  1  2 5  1 1   5 PL PL      PL   4 4 2  2  (1.18)  1   5  1   5  1  2 5  1 1   5 PR PR      PR   4 4 2  2  (1.19) 2 2 2 2 12 Thế hệ thứ nhất , các quark phân cực trái và phân cực phải có dạng như (1.1). Từ (1.13) ta có:     L   R  L  R    L L   L R   R L   R R , (1.20) trong đó,    L  L  PL  PL    P L PL   1   5 1   5  1   5  1   5            2 2  2  2    (1.21)  1   5  1   5        PR PL   0.  2  2  Tương tự chúng ta chứng minh được:  R R  0 (1.22) Kết hợp (1.21), (1.22), (1.23) ta suy ra:    L  R   R  L   L R  H .C, (1.23) trong đó ký hiệu “H.C” chỉ phép lấy liên hiệp Hermite (Hermitian conjugate). Khi đó, số hạng khối lượng Dirac của trường  được viết dưới dạng: m  m L  R  H .C. (1.24) Như vậy, để sinh khối lượng cho trường  cần có sự kết cặp giữa trường phân cực trái và trường phân cực phải. Một số hạng khối lượng quark phải bao gồm liên kết giữa một trường quark phân cực trái và một trường quark phân cực phải. Trong MHC, khối lượng quark được sinh ra từ các kết cặp Q LuR , Q L d R với các vô hướng, trong đó, sự kết cặp giữa các quark phân cực trái và phân cực phải Q L d R biến đổi như lưỡng 13 tuyến 2 của nhóm SU  2  , có siêu tích bằng -1, Q L d R   2, 1 . Vì vậy, để tạo thành bất biến dưới nhóm SU  2 L  U 1Y ta cần lưỡng tuyến của nhóm SU  2  L có siêu tích bằng 1,       0    2,1 .   (1.25) Mặt khác, sự kết cặp Q LuR biến đổi như lưỡng tuyến 2 của nhóm SU  2  , có siêu tích bằng 1. Để tạo thành bất biến dưới nhóm SU  2 L  U 1Y ta cần một lưỡng tuyến của nhóm SU  2  L có siêu tích bằng -1. Từ tính chất của nhóm SU(2), lưỡng tuyến này có được từ lưỡng tuyến Higgs  khi đưa vào định nghĩa1:   0*  *    i 2       2, 1 .    (1.26) Khi đó, tương tác Yukawa sinh khối lượng quark trong MHC có dạng tổng quát2:       q YYuk  hu Q LuR  u R  QL  h d Q L d R  d R QL  (1.27)  h Q LuR  h Q L d R  H .C. u d 0 i   *    là một ma trận Pauli;  , 0 lần lượt là liên hợp điện tích của  , 0 ;  i 0   0 I   2 2 Với  0 là một ma trận Dirac,  0    ,  0   0 ,  0  1. Ta có:  I 0 1     2   Q u  Q  d   L R L R     Q   u   Q    u    Q  u    Q  u    d   Q   d   Q    d   Q  d   Q  d  Q  H.C.  uR   R    R L   L  R     L 0   L 0  R   R 0  0 14 L  R 0   R 0 L  L L R  L R  0   . QL  H.C, Thay biểu thức tường minh của QL trong bảng 1.2 và  , ở (1.25), (1.26) vào (1.27) ta thu được:       q YYuk  hu Q Lu R  u R  QL  h d Q L d R  d R QL    0*   h  u L d L     u R  u R  0       u   u L          d L        u    h  u L d L   0  d R  d R    0*   L    d L      d   h  u d     (1.28)  d .  hu  0*u Lu R    d Lu R    0 u Ru L    u R d L d  L R   0d L d R  d Ru L   0* d R L Các trung bình chân không của  ,  được xác định:   1 0  1 v ,      . 2 v 2  0 (1.29) Nghĩa là chỉ có các thành phần trung hòa mới có trung bình chân không khác không, còn các thành phần mang điện có trung bình chân không bằng không, 0  v ,    0. Thay các giá trị trung bình chân không của  từ (1.29)vào 2 (1.28) chúng ta thu được số hạng Lagrange khối lượng của quark: Y q ,mass Yuk    hu v hd v  u Lu R  u Ru L  d Ld R  d Rd L 2 2 hu v hd v  uu  dd . 2 2  (1.30) Từ biểu thức (1.30) chúng ta thu được khối lượng các quark u, d như sau: hu v hd v mu  , md  . 2 2 (1.31) 15 1.3. Những thành công và tồn tại của mô hình chuẩn trong phần quark 1.3.1. Thành công Mô hình chuẩn đã đưa ra một số tiên đoán mới và có ý nghĩa quyết định: + Sự tồn tại của dòng yếu trung hòa và boson vector trung gian, cùng với những hệ thức liên hệ khối lượng của chúng đã được thực nghiệm xác nhận. + Các hệ số liên kết giữa các boson W  và Z với các quark và lepton có giá trị đúng như dự đoán của MHC. + Số liệu thực nghiệm năm 2012 cho biết sự tồn tại của một hạt boson có các đặc tính tương tự như hạt Higgs boson với khối lượng 125 – 126 GeV phù hợp với dự đoán của MHC. Điều đó góp phần khẳng định sự đúng đắn của mô hình này. 1.3.2. Hạn chế Một số hạn chế của MHC mà đề tài tập trung giải quyết , đó là: + MHC không giải thích được tại sao quark t lại có khối lượng quá lớn so với dự đoán. Theo MHC thì khối lượng của quark t vào khoảng 10 GeV, trong khi đó khối lượng của nó đo được theo thực nghiệm là khoảng 173 GeV. + MHC không giải thích được vấn đề khối lượng và chuyển hóa neutrino cũng như sự trộn quark. + Không tiên đoán được các hiện tượng vật lý ở thang năng lượng cao cỡ TeV, mà chỉ đúng ở mức năng lượng thấp vào khoảng 200 GeV. Từ những hạn chế của MHC, việc mở rộng mô hình này là nhu cầu tất yếu và mang tính thời sự của vật lý học hiện đại. Hiện nay có nhiều cách khác nhau để mở rộng MHC, trong đó hướng mở rộng với nhóm đối xứng gián đoạn nhằm giải thích dạng trộn lepton và trộn quark đang được các nhà khoa học quan tâm. Trong luận văn này chúng tôi mở rộng MHC với nhóm đối xứng D4. 16 Chƣơng 2. NHÓM ĐỐI XỨNG D4 2.1. Giới thiệu về lý thuyết nhóm và nhóm gián đoạn Các đối xứng và các nguyên lý bất biến dẫn đến các định luật bảo toàn là cơ sở của lý thuyết vật lý. Các đối xứng được mô tả bằng một cấu trúc toán học được biết đến như là một nhóm, lý thuyết nhóm nghiên cứu về đối xứng và đã có nhiều ứng dụng trong vật lý [2,3]. Các lý thuyết vật lý hiện đại đều dựa trên cơ sở lý thuyết nhóm, chẳng hạn như lý thuyết tương đối hẹp dựa trên nhóm biến đổi Lorentz hoặc nhóm tổng quát hơn là nhóm Poincare, Mô hình chuẩn (MHC) là một lý thuyết dựa trên nhóm đối xứng chuẩn định xứ SU  3C  SU  2 L  U 1Y ,…. Các phần tử của một nhóm có liên hệ mật thiết với nhau. Mỗi một nhóm cụ thể mô tả một cấu trúc cụ thể - có một tập hợp các đối tượng tương ứng, chúng liên hệ với nhau theo một quy luật riêng. Quy luật cho mối liên hệ giữa các phần tử của một nhóm được gọi là phép tác dụng của nhóm đó. Theo định nghĩa, nhóm G là một tập hợp các phần tử, với phép toán trên các phần tử đó thỏa mãn các tính chất sau [4]: (1) Với hai phần tử bất kì g1 , g 2  G thì phần tử g1 g 2 cũng thuộc G. Tính chất này được gọi là tính đóng của nhóm. (2) Với các phần tử g1 , g 2 , g3 bất kì thuộc G, chúng ta luôn có: g1  g2 g3  =  g1g 2  g3 . Tính chất này được gọi là tính kết hợp. (3) Tồn tại một phần tử đơn vị e  G thỏa mãn: eg = ge = g, g  G . (4) g  G luôn tồn tại một phần tử nghịch đảo của g, ký hiệu là g-1, thỏa mãn g 1g  gg 1  e. 17