Tài liệu Luận văn giải pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 thpt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ DUNG ĐỀ TÀI GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ DUNG ĐỀ TÀI GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành Mã số : LL và PPDH bộ môn Toán : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Dũng HÀ NỘI – 2017 LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. 7 LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 8 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ...................................................................... 9 MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 3 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .......................................................... 3 4. Giả thuyết khoa học và ý nghĩa của việc nghiên cứu ............................... 3 4.1 Giả thuyết khoa học ............................................................................ 3 4.2 Ý nghĩa khoa học của việc nghiên cứu ............................................... 3 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 4 6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu ............................................................... 4 7. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 5 8. Đóng góp của luận văn.............................................................................. 6 9. Cấu trúc của luận văn ................................................................................ 6 Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 7 1.1 Cơ sở lý luận .......................................................................................... 7 1.1.1 Định hướng đổi mới PPDH ............................................................. 7 1.1.2 Lý luận về dạy học định lý và dạy học khái niệm .......................... 8 1.2 Cơ sở thực tiễn ..................................................................................... 31 1.2.1 Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình môn Giải tích ở trường ĐHSP................................................................. 31 1.2.2 Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong phân phối chương trình môn Toán ở trường THPT ................................................. 33 1.2.3 Những điểm khác biệt cơ bản trong việc trình bày nội dung này ở phổ thông và đại học ............................................................................... 34 1.2.4 Một số điều cần lưu ý trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ......................................................................................... 36 TÓM TẮT CHƯƠNG I ............................................................................. 38 Chương 2 : GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ........................................................................ 39 2.1 Khó khăn và sai lầm mà giáo viên và học sinh có thể gặp phải trong dạy và học nội dung giới hạn và liên tục của hàm số ở lớp 11 trường THPT ... 40 2.1.1 Khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp phải trong dạy và học nội dung giới hạn và liên tục ......................................................................... 40 2.1.2 Một số sai lầm mà giáo viên và học sinh có thể mắc phải trong dạy và học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ............................. 42 2.2 Một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục một số khó khăn và sai lầm trong dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số................ 54 2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức seminar “Bàn về dạy học chủ đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số” trong tổ bộ môn Toán .................................... 54 2.2.2 Biện pháp 2: Tổ chức các hoạt động dự giờ hội giảng, giờ chuyên đề…, với mục đích hiện thực hóa những vấn đề đã thảo luận trong seminar .................................................................................................... 60 2.2.3 Biện pháp 3: Trực quan hóa các khái niệm trừu tượng trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số bằng việc sử dụng các phần mềm hỗ trợ dạy học môn Toán ..................................................... 62 2.2.4 Biện pháp 4: Tăng cường khai thác và sử dụng các phản ví dụ trong dạy học các khái niệm và định lí về giới hạn và tính liên tục của hàm số; với mục đích giúp HS tiếp nhận và củng cố nội hàm của mỗi khái niệm trừu tượng, ý nghĩa và điều kiện áp dụng mỗi định lí ............ 70 2.2.5 Biện pháp 5: Xây dựng hệ thống bài tập có tính chất phân bậc cho mỗi nội dung cụ thể trong dạy học chuyên đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số; với mục đích giúp HS dần dần tiếp nhận và củng cố các khái niệm trừu tượng ....................................................................................... 74 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2............................................................................ 80 Chương 3 : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM........................................................... 81 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm ........................................................... 81 3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm .......................................................................... 81 3.3 Nội dung, cách thức tổ chức thực nghiệm sư phạm.............................. 82 3.3.1 Thực nghiệm sư phạm đợt 1 .......................................................... 82 3.3.2 Thực nghiệm sư phạm đợt 2 .......................................................... 84 3.4 Kết luận chung về thực nghiệm ............................................................ 91 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 93 PHỤ LỤC ............................................................................................................ 95 Phụ lục số 1 : phiếu điều tra GV ................................................................. 95 Phụ lục số 2 : Phiếu thăm dò ý kiến GV ..................................................... 97 Phụ lục số 3 : Giáo án thực nghiệm .......................................................... 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 112 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích dẫn trong luận văn đều chính xác và trung thực.Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Dũng, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Xin cảm ơn quý lãnh đạo, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học trường ĐHSP Hà Nội đã tạo những điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học của mình. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến BGH trường THPT Mỹ Lộc cùng tập thể học sinh lớp 11A5 đã giúp đỡ tôi trong thời gian tiến hành thực nghiệm luận văn. Cuối cùng tôi xin chân thành biết ơn những người thân trong gia đình và những người bạn thân thiết đã cỗ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập của tôi. DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT SGK :Sách giáo khoa THPT : Trung học phổ thông GV : Giáo Viên HS : Học sinh TXĐ : Tập xác định MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Thứ nhất: Xuất phát từ mục tiêu, yêu cầu của giáo dục phổ thông. Trong công cuộc đổi mới đất nước, Đảng và Nhà nước ta đã nhấn mạnh yếu tố con người, phát triển con người toàn diện để đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước và thích nghi với xu thế toàn cầu. Điều 2 mục 27 chương 2 luật GD 2005 quy định: “Mục tiêu của giáo dục THPT là nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của THCS, hoàn thiện học vấn phổ thông, có hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng nghiệp, có điều kiện lựa chọn hướng phát triển và phát huy năng lực cá nhân, tiếp tục học CĐ-ĐH, trung học chuyên nghiệp hoặc học nghề và đi vào cuộc sống lao động”. Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học cho thấy việc dạy học không chỉ đơn giản là cung cấp tri thức có sẵn mà phải là giúp cho học sinh có tư duy, khả năng sáng tạo, năng lực tổng hợp chuyển đổi và ứng dụng thông tin vào hoàn cảnh mới để giải quyết các vấn đề đặt ra, thích ứng với những thay đổi trong cuộc sống, có năng lực hợp tác và chuyển đổi năng lực. Thứ hai: Xuất phát từ thực tiễn Một phần rất quan trọng của Toán học là Giải tích, Douglas(1986) đã viết: “Giải tích là nền tảng của Toán học, Giải tích là con đường là trung tâm của Toán học, là cơ sở cho việc nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác”. Đề cập đến vai trò của chủ đề Giới hạn SKG Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) đã viết: “Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích. Có thể nói không có Giới hạn thì không có Giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến Giới hạn”. Khi HS tiếp thu các tri thức của 1 Giới hạn đã xảy ra quá trình biến đổi về chất trong nhận thức của HS (vì ta đã biết Đại số đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại” còn khi học về Giải tích kiểu tư duy chủ yếu được vận dụng liên quan đến “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên”). Giới hạn là cơ sở cho việc nghiên cứu các vấn đề gắn liền với “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên”. Chủ đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số có vai trò hết sức quan trọng trong toán học phổ thông bởi lẽ: Khái niệm Giới hạn là cơ sở; hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm, vi phân và tích phân. Đó là những nội dung bao trùm chương trình Giải tích ở THPT. Đã có nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng nhiều HS khi học về chủ đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số, HS gặp phải khó khăn nghiêm trọng trong việc hiểu được bản chất của các khái niệm. Ngay cả những GV có kinh nghiệm cũng gặp nhiều khó khăn trong việc truyền thụ tri thức này cho HS, khi dạy về chủ đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số. Thông thường, các thầy chỉ dạy qua định nghĩa rồi đi thẳng vào luyện các bài tập. Hậu quả là rất nhiều HS phổ thông sau khi tốt nghiệp vẫn không nắm và hiểu được bản chất, nội hàm của các khái niệm về Giới hạn và tính liên tục của hàm số. Do đó, làm thế nào để khắc phục những khó khăn trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ? để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất của mỗi khái niệm là một nhu cầu của thực tiễn! Từ những lý do trên đây với mong muốn góp phần giúp cho học sinh và giáo viên khắc phục khó khăn, nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT, tôi chọn đề tài nghiên cứu : “Giải pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 trung học phổ thông” 2 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu quá trình dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 trường THPT, từ đó đề xuất một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục một số khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp phải trong dạy và học nội dung này 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu Quá trình dạy và học nội dung : “Giới hạn và tính liên tục của hàm số” ở lớp 11 trung học phổ thông. 4. Giả thuyết khoa học và ý nghĩa của việc nghiên cứu 4.1 Giả thuyết khoa học Nếu các biện pháp đề xuất trong luận văn được áp dụng một cách thường xuyên và hợp lý thì giáo viên và học sinh sẽ khắc phục được một số khó khăn đang gặp phải trong dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số; từ đó nâng cao hiệu quả việc dạy và học nội dung này. 4.2 Ý nghĩa khoa học của việc nghiên cứu  Đề tài nghiên cứu đề cập đến vấn đề đang được nhiều giáo viên dạy môn Toán ở trường THPT quan tâm.  Nếu việc nghiên cứu thành công thì kết quả nghiên cứu có thể áp dụng cho việc dạy học các nội dung khác trong môn Toán ở trường THPT.  Kết quả nghiên cứu có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp. 3 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục đích nghiên cứu trên luận văn có các nhiệm vụ sau:  Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học.  Nghiên cứu lý luận về dạy học định lý, dạy học khái niệm.  Nghiên cứu nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình môn Toán ở trường THPT.  Khảo sát, điều tra thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 các trường THPT hiện nay.  Nghiên cứu nội dung giới Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình môn Giải tích ở trường Đại học Sư phạm, để từ đó nhận ra mối liên hệ hữu cơ, nhận ra mức độ yêu cầu về mặt kiến thức đối với học sinh và sinh viên trong dạy học nội dung này và quan trọng hơn là để GV khi dạy học nội dung này ở lớp 11 THPT tránh được những sai lầm có thể mắc phải.  Đề xuất một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục một số khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp phải trong dạy và học nội dung này.  Tổ chức TNSP nhằm đánh giá hiệu quả và khả năng thực hiện một số biện pháp cụ thể đã đề xuất trong luận văn.  Viết luận văn và thông báo kết quả nghiên cứu trên các tạp chí khoa học về giáo dục (nếu có thể) 6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu Luận văn chỉ hạn chế trong việc nghiên cứu việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong Chương Giới hạn – Đại số và Giải tích lớp 11 THPT; với mục đích đánh giá thực trạng, xác định khó khăn trong việc 4 dạy và học nội dung này làm căn cứ đề xuất “Giải pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 trung học phổ thông”. 7. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận  Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH hiện nay.  Nghiên cứu lý luận về dạy học định lý, dạy học khái niệm.  Nghiên cứu một số phương pháp dạy học không truyền thống. Phương pháp quan sát điều tra Thông qua việc nghiên cứu phân bố chương trình nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT, thông qua việc dự giờ, thông qua việc trao đổi phỏng vấn một số GV đã và đang dạy lớp 11 THPT, thông qua việc điều tra (bằng phiếu điều tra) học sinh đang học ở lớp 11 tại một số trường THPT; để có thể:  Đánh giá được thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 một số trường THPT hiện nay.  Tìm hiểu và xác định một số khó khăn mà GV và HS đang gặp phải trong việc dạy và học nội dung này. Phương pháp thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm sư phạm và dùng phương pháp thống kê toán học đánh giá kết quả thực nghiệm nhằm xác định tính hiệu quả và khả năng thực hiện trong thực tiễn các biện pháp nêu ra trong luận văn. 5 8. Đóng góp của luận văn Luận văn đã đạt được một số kết quả chính sau đây:  Trình bày lại một cách có hệ thống những vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu như: định hướng đổi mới phương pháp dạy học, một vài vấn đề về lí luận dạy học môn toán, nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình môn Giải tích ở Đại học Sư phạm và trong chương trình môn Đại số và Giải tích ở lớp 11 THPT.  Điều tra khảo sát và nghiên cứu để xác định những khó khăn mà GV và HS đang gặp phải; tìm hiểu và nghiên cứu để có thể dự đoán những sai lầm mà HS và cả GV có thể mắc phải trong dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT  Đề xuất một giải pháp có tính chất tổng thể với một số biện pháp cụ thể dành cho GV và dành cho HS; với mục đích giúp cho GV và HS khắc phục khó khăn và tránh được sai lầm có thể mắc phải. 9. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Giải pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 trung học phổ thông Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 6 Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Định hướng đổi mới PPDH Đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh là yêu cầu tất yếu và cấp bách của Giáo dục. Để đáp ứng được những yêu cầu mới của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, sự thách thức trước nguy cơ tụt hậu trên con đường tiến vào thế kỷ XXI bằng cạnh tranh trí tuệ đang đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục, trong đó có việc đổi mới căn bản về phương pháp dạy và học, sớm tiếp cận trình độ giáo dục Phổ thông ở các nước phát triển trong khu vực và trên Thế giới (đây không phải vấn đề riêng của nước ta, mà là vấn đề đang được quan tâm ở mọi quốc gia) nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, phát triển nguồn nhân lực trong giai đoạn mới, phục vụ các yều cầu đa dạng của nền Kinh tế – Xã hội. Sự phát triển với tốc độ mang tính bùng nổ của khoa học công nghệ thể hiện qua sự ra đời nhiều thànhtựu mới cũng như khả năng ứng dụng chúng vào thực tế cao, rộng và nhanh cũng đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục. Trong bối cảnh hội nhập giao lưu, học sinh được tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, nên hiểu biết linh hoạt và thực tế hơn nhiều, so với các thế hệ cùng lứa trước đây mấy chục năm (đặc biệt là học sinh THPT). Vì vậy, đòi hỏi Giáo dục - Đào tạo phải xác định lại mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện, tổ chức, cách đánh giá, theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong các tài liệu sau:  Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1- 1993) đã đề ra nhiệm vụ ''đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp học, bậc học". 7  Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: ''Phương pháp Giáo dục - Phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh'. Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay (và cũng là một trong những xu thế dạy học hiện đại trên Thế giới), trong đó có phương pháp dạy học môn Toán đã được khẳng định, không còn là vấn đề để tranh luận nữa là giúp cho học sinh học tập một cách tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Đó là hướng tới học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tức là cho học sinh được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn, khi đứng trước một vấn đề của nội dung bài học hay một yêu cầu thực tiễn của cuộc sống. Đây chính là tiêu chí, thước đo, đánh giá sự đổi mới phương pháp dạy học. Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực hiện nhiệm vụ trang bị cho học sinh, những kiến thức cần thiết về môn dạy, mà điều có ý nghĩa to lớn còn ở chổ dần dần hình thành và rèn luyện cho học sinh tính tích cực, độc lập sáng tạo trong quá trình học tập, để học sinh có thể chủ động, tự lực, tự đào tạo, tự hoàn thiện tri thức trong hoạt động thực tiễn sau này. 1.1.2 Lý luận về dạy học định lý và dạy học khái niệm (phần này được viết dựa trên việc tham khảo tài liệu [3]) 1.1.2.1 Dạy học khái niệm toán học a. Đại cương về định nghĩa khái niệm Khái niệm 8 Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng do đó một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên còn toàn bộ thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính qui luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại. Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là khái niệm chủng của khái niệm B, còn khái niệm B được gọi là khái niệm loại của khái niệm A. Định nghĩa khái niệm Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó. Các định nghĩa thường có cấu trúc sau: Từ mới (biểu thị khái niệm mới) (Những ) từ chỉ miền đã biết Tân từ (loại) Ví dụ: “Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”. Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là hình chữ nhật còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau. Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng của khái niệm. Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó. Cố nhiều cách nêu đặc trưng của cùng 1 khái niệm tức là có thể định nghĩa cùng 1 khái niệm theo nhiều cách khác nhau. . Chẳng hạn, hình vuông 9 ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể được định nghĩa theo một cách khác, ví dụ như “Hình vuông là hình thoi có một góc vuông”. Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu từ chỉ miền đối tượng hay loại phải tương ứng với một khái niệm đã biết Khái niệm không định nghĩa Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết.Ví dụ để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật; để định nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành; để định nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác… Tuy nhiên quá trình nay không thể kéo dài vô hạn.Tức là phải có khái niệm không định nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thuỷ, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm nguyên thuỷ. Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô tả giảo thích thông qua các ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng 1 cách trực giác. b. Vị trí của khái niệm và yêu cầu của dạy học khái niệm Vị trí của dạy học khái niệm Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học cho học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học. Yêu cầu của dạy học khái niệm Việc dạy học khái niệm ở trường THPT phải làm cho học sinh dần đạt được những yêu cầu sau: 10  “Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.  Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước.  Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.  Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoại động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.  Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm. Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau với mọi khái niệm” (Nguyễn Bá Kim- Vũ Dương Thụy, 1997, tr.180). Chẳng hạn, khái niệm về "hướng của vecto" không được nêu thành định nghĩa một cách tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quan dựa vào kinh nghiệm sống của học sinh. Nhưng với các khái niệm "hàm số", "hàm số chẵn", "hàm số lẻ",... thì lại yêu cầu học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được khi giải toán. c. Những con đường tiếp cận khái niệm Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng, một tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không. Trong dạy học người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm đó là:  Con đường qui nạp.  Con đường suy diễn. 11