Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Luận văn đối đạo hàm và ánh xạ tập nghiệm của hệ ràng buộc tuyến tính...

Tài liệu Luận văn đối đạo hàm và ánh xạ tập nghiệm của hệ ràng buộc tuyến tính

.PDF
56
415
125

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BẠCH THU TRANG ĐỐI ĐẠO HÀM VÀ ÁNH XẠ TẬP NGHIỆM CỦA HỆ RÀNG BUỘC TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BẠCH THU TRANG ĐỐI ĐẠO HÀM VÀ ÁNH XẠ TẬP NGHIỆM CỦA HỆ RÀNG BUỘC TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 62.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Anh Dũng HÀ NỘI, NĂM 2017 Mục lục Lời nói đầu 1 1 Đối đạo hàm và ánh xạ Lipschitz đa trị 3 1.1 Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Đối đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Ánh xạ tập nghiệm của hệ ràng buộc tuyến tính 3 28 2.1 Tính chính qui mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Hệ ràng buộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Công thức đối đạo hàm của ánh xạ G và ánh xạ hằng M . . 33 2.4 Tính tựa Lipschitz và tính chính qui mêtric đối với ánh xạ tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Bài toán bù tuyến tính 41 3.1 Bài toán bù tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Một số bài toán tối ưu liên quan đến bài toán bù tuyến tính 42 3.2.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2 Bài toán tối ưu bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.3 Trò chơi song ma trận (Bimatrix Games) . . . . . . 43 i 3.3 Mối liên hệ bài toán bù tuyến tính với hệ ràng buộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 Tính tựa Lipschitz của tập nghiệm trong bài toán bù tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 ii Lời nói đầu Ánh xạ Lipschitz là khái niệm rất quen thuộc trong giải tích. Khi nghiên cứu đối với ánh xạ đa trị, một cách tự nhiên ánh xạ đa trị Lipschitz được định nghĩa thông qua khoảng cách giữa hai tập ảnh là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp. Tuy nhiên, để đảm bảo khoảng cách Hausdorff là mêtric đòi hỏi ảnh là tập đóng, bị chặn. Để mở rộng một cách tự nhiên hơn người ta đề cập đến khái niệm tựa Lipschitz. Để có "tính Lipschitz" đối với ánh xạ nghịch ảnh người ta đề cập tính chính qui mêtric. Đồng thời người ta chỉ ra điều kiện đủ để tính chính qui mêtric của ánh xạ đa trị F tương đương với tính tựa Lipschitz của ánh xạ ngược F −1 . Đối với ánh xạ tuyến tính liên tục, nghiên cứu ánh xạ liên hợp đóng một vai trò quan trọng trong giải tích hàm. Đối với ánh xạ đa trị, tính "liên hợp" được thay thế bởi đối đạo hàm thông qua nón pháp tuyến. Điều đặc biệt là ta vẫn có mối liên hệ giữa đối đạo hàm và tính tựa Lipschitz. Mục tiêu chính của luận văn thông qua công cụ đối đạo hàm ta nghiên cứu tính biến đổi liên tục của tập nghiệm: tính tựa Lipschitz của ánh xạ tập nghiệm, tính chính qui mêtric theo nghĩa Robinson. Luận văn sử dụng các tài liệu tham khảo [1] → [6] đặc biệt là các tài liệu [1], [2]. Luận văn tiêu đề "Đối đạo hàm và ánh xạ tập nghiệm của hệ ràng buộc tuyến tính" gồm 3 chương nội dung chính. Chương 1 đề cập đến khái niệm và tính chất của nón pháp tuyến, đối đạo 1 hàm và ánh xạ đa trị Lipschitz. Chương 2 đề cập đến tính chính qui mêtric, hệ ràng buộc tuyến tính, tính tựa Lipschitz và tính chính qui mêtric đối với ánh xạ tập nghiệm. Chương 3 đề cập đến bài toán bù tuyến tính và các mối liên hệ với một số bài toán tối ưu, hệ ràng buộc tuyến tính. Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của T.S Lê Anh Dũng. Tác giả xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán-Tin ĐHSP Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian, trình độ và điều kiện nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện và phát triển hơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Bạch Thu Trang 2 Chương 1 Đối đạo hàm và ánh xạ Lipschitz đa trị Trước khi đề cập đến đối đạo hàm, chúng tôi đề cập đến khái niệm và các tính chất của nón pháp tuyến. 1.1 Nón pháp tuyến Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là tập con khác rỗng trong không gian Banach X. (i) Với x ∈ Ω và ε ≥ 0, tập các ε-pháp tuyến của Ω tại x được xác định bởi: ( bε (x; Ω) := N x∗ ∈ X ∗ | lim sup Ω u→x ∗ ) hx , u − xi ≤ε . ku − xk (1.1) Khi ε = 0, phần tử x∗ trong (1.1) gọi là pháp tuyến Fréchet và tập b0 (x; Ω) gọi là nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x, ta kí hiệu gọn là N b (x; Ω). N bε (x; Ω) := ∅ với mọi ε ≥ 0. Nếu x ∈ / Ω, ta qui ước N (ii) Cho x̄ ∈ Ω, x∗ ∈ X ∗ là một pháp tuyến giới hạn của Ω tại x̄ nếu ∗ Ω w bε (xk ; Ω) với mọi tồn tại dãy εk ↓ 0, xk → x̄, và x∗k → x∗ sao cho x∗k ∈ N k 3 k ∈ N. Tập các pháp tuyến giới hạn bε (x; Ω), N (x̄; Ω) := lim sup N (1.2) x→ x̄ ε↓0 gọi là nón pháp tuyến (hay nón pháp tuyến giới hạn) của Ω tại x̄. Ta qui ước N (x̄; Ω) := ∅, với x̄ ∈ / Ω. Mệnh đề 1.1. Cho Ω1 , Ω2 lần lượt là tập con khác rỗng trong không gian Banach X1 và X2 . Lấy tùy ý điểm x̄ = (x̄1 , x̄2 ) ∈ Ω1 × Ω2 ⊂ X1 × X2 . Khi đó: b (x̄; Ω1 × Ω2 ) = N b (x̄1 ; Ω1 ) × N b (x̄2 ; Ω2 ) N (1.3) N (x̄; Ω1 × Ω2 ) = N (x̄1 ; Ω1 ) × N (x̄2 ; Ω2 ) (1.4) b (x̄; Ω) và N (x̄; Ω) không phụ thuộc vào việc chọn chuẩn Chứng minh. Do N trên X1 và X2 , nên ta có thể cố định một chuẩn trong các chuẩn tương đương của không gian đó. Trong không gian tích X1 × X2 ta chọn chuẩn tổng như sau: k(x1 , x2 )k := kx1 k + kx2 k Lấy tùy ý ε ≥ 0 và x̄ = (x̄1 , x̄2 ) ∈ Ω := Ω1 × Ω2 , ta khẳng định rằng bε (x̄1 ; Ω1 ) × N bε (x̄2 ; Ω2 ) ⊂ N b2ε (x̄; Ω) ⊂ N b2ε (x̄1 ; Ω1 ) × N b2ε (x̄2 ; Ω2 ). (1.5) N bε (x̄1 ; Ω1 ) × N̄ε (x̄2 ; Ω2 ), ta cần chứng Thật vậy, lấy tuỳ ý x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ N b2ε (x̄, Ω). minh rằng x∗ ∈ N bε (x̄1 ; Ω1 ) suy ra với mỗi γ > 0, tồn tại một lân cận U1 của x̄1 Do x∗1 ∈ N sao cho hx∗1 , x1 − x̄1 i ≤ ε + γ, kx1 − x̄1 k ∀x1 ∈ U1 ∩ Ω1 . Do đó hx∗1 , x1 − x̄1 i ≤ (ε + γ)kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k, 4 ∀x2 ∈ Ω2 . Suy ra hx∗1 , x1 − x̄1 i ≤ ε + γ, ∀x1 ∈ U1 ∩ Ω1 , x2 ∈ Ω2 . kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k bε (x̄2 ; Ω2 ) nên với γ > 0 đã chọn ở trên tồn tại một Tương tự, do x∗2 ∈ N lân cận U2 của x̄2 sao cho hx∗2 , x2 − x̄2 i ≤ ε + γ, kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k ∀x2 ∈ U2 ∩ Ω2 , x1 ∈ Ω1 . Suy ra với mọi γ > 0 hx∗1 , x1 − x̄1 i + hx∗2 , x2 − x̄2 i ≤ 2ε + 2γ, ∀(x1 , x2 ) ∈ (U1 , U2 ) × (Ω1 , Ω2 ). kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k b2ε (x̄, Ω) thì bao hàm thức thứ nhất trong (1.5) được Do đó với x∗ ∈ N chứng minh. Ta đi chứng minh bao hàm thức còn lại. b2ε (x̄; Ω), ta có: Lấy tuỳ ý x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ N hx∗ , x − x̄i lim sup kx − x̄k Ω → x = lim sup (x1 ,x2 ) (Ω1 ×Ω2 ) → (x̄1 ,x̄2 ) x̄ hx∗1 , x1 − x̄1 i + hx∗2 , x2 − x̄2 i ≤ 2ε. kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k b2ε (x̄1 ; Ω1 ) Bởi chọn x1 = x̄1 hoặc x2 = x̄2 ta dễ dàng suy ra rằng x∗1 ∈ N b2ε (x̄2 ; Ω2 ). Do đó bao hàm thức thứ hai trong (1.5) được chứng và x∗2 ∈ N minh. Dễ dàng thấy được (1.3) và (1.4) được suy ra trực tiếp từ (1.5). Mệnh đề 1.2. (Tập các ε-pháp tuyến đối với tập lồi) Cho Ω là tập lồi trong không gian Banach X. Khi đó bε (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ εkx − x̄k , ∀x ∈ Ω} N với ε ≥ 0 và x̄ ∈ Ω. Trường hợp đặc biệt với ε = 0, ta có b (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ 0, ∀x ∈ Ω} N là nón pháp tuyến được định nghĩa trong giải tích lồi. 5 Chứng minh. Chú ý rằng bao hàm thức “ ⊃ ” rõ ràng luôn đúng với mỗi tập Ω tùy ý. Ta sẽ chỉ ra bao hàm thức “ ⊂ ” khi Ω là tập lồi. bε (x̄; Ω) và cố định x ∈ Ω. Do Ω là tập lồi nên ta có Lấy tùy ý x∗ ∈ N xα := x̄ + α(x − x̄) ∈ Ω, ∀α ∈ [0; 1]. Rõ ràng xα → x̄ khi α ↓ 0. Lấy tùy ý γ > 0, từ (1.1) ta có: hx∗ , xα − x̄i ≤ (ε + γ)kxα − x̄k, với α > 0 đủ bé. Suy ra αhx∗ , x − x̄i ≤ (ε + γ)αkx − x̄k. Tương đương với hx∗ , x − x̄i ≤ (ε + γ)kx − x̄k. Do bất đẳng thức trên đúng với mọi γ > 0 nên ta có hx∗ , x − x̄i ≤ εkx − x̄k. Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.1.2. (Tập chính quy theo nghĩa pháp tuyến)Cho X là không gian Banach. Một tập Ω ⊂ X được gọi là chính quy (pháp tuyến) tại x̄ ∈ Ω b (x̄; Ω). nếu N (x̄; Ω) = N Mệnh đề 1.3. (Tính chính quy của tập lồi địa phương) Cho U là một lân cận của x̄ ∈ Ω ⊂ X sao cho tập Ω ∩ U là lồi. Khi đó Ω chính quy tại x̄ và N (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ 0; ∀x ∈ Ω ∩ U }. Chứng minh. Trong định nghĩa N (x̄; Ω), nếu ta lấy dãy {xk } là dãy hằng, b (x̄; Ω) ⊂ N (x̄; Ω). Ta chứng minh xk = x̄, với mọi k ∈ N∗ thì ta suy ra N 6 bao hàm thức ngược lại. Lấy x∗ ∈ N (x̄; Ω), tồn tại một dãy tương ứng (εk , xk , x∗k )trong định nghĩa 1.1(ii). Vì lim xk = x̄ nên tồn tại k0 ∈ N∗ sao cho xk ∈ U với mọi k ≥ k0 . Với k ≥ k0 , theo mệnh đề 1.2 ta có hx∗k , x − xk i ≤ εk kx − xk k, ∀x ∈ Ω ∩ U. Cho qua giới hạn khi k → ∞ trong bất đẳng thức trên ta được hx∗ , x − x̄ ≤ 0i, ∀x ∈ Ω ∩ U. Suy ra hx∗ , x − x̄i lim sup ≤ 0. kx − x̄k Ω → x x̄ b (x̄; Ω). Hơn nữa Do đó x∗ ∈ N b (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ 0; ∀x ∈ Ω ∩ U }. N (x̄; Ω) = N Mệnh đề được chứng minh. Tiếp theo ta trình bày hai dạng biểu diễn đặc biệt của nón pháp tuyến giới hạn đối với tập đóng trong không gian hữu hạn chiều X = Rn . Do tất cả các chuẩn trong không gian hữu hạn chiều là tương đương nên ta có thể chọn chuẩn Euclid kxk = q x21 + . . . + x2n . trong Rn , trong trường hợp này X ∗ = X = Rn . Trước hết, ta nhắc lại khái niệm hàm khoảng cách và phép chiếu điểm gần nhất. Cho một tập không rỗng Ω ⊂ Rn , hàm khoảng cách từ một điểm đến tập Ω được xác định bởi dist(x; Ω) := inf kx − uk, x ∈ Rn u∈Ω 7 (1.6) và hình chiếu của x trên Ω: Π(x; Ω) := {w ∈ Ω | kx − wk = dist(x; Ω)}. Nếu Ω là tập đóng, thì tập Π(x; Ω) là khác rỗng với mọi x ∈ R. Đặc biệt nếu Ω là tập lồi đóng thì Π(x; Ω) là tập một điểm. Ta kí hiệu coneΩ là nón sinh bởi Ω, nghĩa là coneΩ := {ax ∈ X|a ≥ 0, x ∈ Ω}. Định lý tiếp theo mô tả nón pháp tuyến đối với tập đóng địa phương quanh x̄. Định lí 1.1.1. (Nón pháp tuyến trong không gian hữu hạn chiều) Cho Ω ⊂ Rn là tập đóng địa phương quanh x̄ ∈ Ω, nghĩa là tồn tại lân cận U của x̄ sao cho U ∩ Ω là tập đóng. Khi đó ta có các khẳng định sau: b (x; Ω), N (x̄; Ω) = lim sup N (1.7) N (x̄; Ω) = lim sup[cone(x − Π(x; Ω))]. (1.8) x→x̄ x→x̄ Chứng minh. Trong định nghĩa N (x̄; Ω), nếu ta lấy dãy {εk } là dãy hằng bằng 0, ta có b (x; Ω) ⊂ N (x̄; Ω). lim sup N x→x̄ Ta chứng minh bao hàm thức “ ⊂ ” trong (1.7). Lấy x∗ ∈ N (x̄; Ω), từ định nghĩa 1.1(ii), tồn tại dãy εk ↓ 0, xk → x̄, x∗k → x∗ sao cho xk ∈ Ω bε (xk ; Ω) với mọi k ∈ N. Do X = X ∗ = Rn , Ω là tập đóng và x∗k ∈ N k địa phương quanh x̄ nên với mỗi k ∈ N∗ , ta lấy số α đủ nhỏ sao cho xk + αx∗k ∈ Ω và chọn wk ∈ Π(xk + αx∗k ; Ω). Theo cách định nghĩa wk ta có bất đẳng thức kxk + αx∗k − wk k2 ≤ α2 kx∗k k2 . 8 Suy ra kxk + αx∗k − wk k2 = kxk − wk k2 + 2αhx∗k , xk − wk i + α2 kx∗k k2 . Kết hợp bất đẳng thức này với bất đẳng thức trên ta nhận được kxk − wk k2 ≤ 2αhx∗k , wk − xk i (1.9) Sử dụng sự hội tụ của wk → xk khi α ↓ 0 và định nghĩa của εk -pháp tuyến bε (xk ; Ω), ta tìm một dãy số dương α = αk thỏa mãn x∗k ∈ N k hx∗k , wk − xk i ≤ 2εk kwk − xk k, ∀k ∈ N∗ . Điều này và (1.9) suy ra kxk − wk k ≤ 4αk εk . Do đó lim αk = x̄. k→∞ Đặt wk∗ := x∗k + 1 (xk − wk ). αk Ta có kwk∗ − x∗k k ≤ 4εk và wk∗ → x∗ khi k → ∞. Bây giờ ta chứng minh b (wk ; Ω), ∀k . Thật vậy, với mỗi x cố định thuộc Ω ta có wk∗ ∈ N 0 ≤ kxk + αk x∗k − xk2 − kxk + αk x∗k − wk k2 = hαk x∗k + xk − x, αk x∗k + xk − wk i + hαk x∗k + xk − x, wk − xi − hαk x∗k + xk − wk , x − wk i − hαk x∗k + xk − wk , αk x∗k + xk − xi = −2αk hwk∗ , x − wk i + kx − wk k2 , Do đó 1 kx − wk k2 , ∀x ∈ Ω. 2αk b (wk , Ω), ta có w∗ ∈ N b (wk ; Ω). Vì vậy ta có biểu diễn thứ Bởi định nghĩa N k hwk∗ , x − wk i ≤ nhất (1.7) của nón pháp tuyến giới hạn. Để chứng minh (1.8), ta chỉ cần chứng minh: b (x; Ω) = lim sup[cone(x − Π(x; Ω))]. lim sup N x→x̄ x→x̄ 9 Trước hết ta chứng minh rằng b (x; Ω) ⊂ lim sup[cone(u − Π(u; Ω))], ∀x ∈ Ω. N (1.10) u→x b (x; Ω), đặt xk := x + 1 x∗ và chọn wk ∈ Π(xk ; Ω) với Lấy x ∈ Ω, x∗ ∈ N k mỗi k ∈ N∗ . Theo định nghĩa wk , ta có 0 ≤ kxk − vk2 − kxk − wk k2 = hxk − v, xk − wk i + hxk − v, wk − vi − hxk − wk , v − wk i − hxk − wk , xk − vi = −2hxk − wk , v − wk i + kv − wk k2 , ∀v ∈ Ω. Do đó wk ∈ Π(xk ; Ω) khi và chỉ khi 1 hxk − wk , v − wk i ≤ kv − wk k2 , ∀v ∈ Ω. 2 Lấy v = x và sử dụng định nghĩa của xk ta có 1 1 kx − wk k2 + hx∗ , x − wk i ≤ kx − wk k2 . k 2 b (x; Ω) nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra Do x∗ ∈ N 2hx∗ , wk − xi kkx − wk k ≤ → 0 khi k → ∞. kx − wk k Kéo theo k(xk − wk ) = x∗ + k(x − wk ) → x∗ khi k → ∞. Suy ra x∗ ∈ cone(xk − Π(xk ; Ω)). Vậy (1.10) được chứng minh. Kết hợp với (1.7) ta có b (x; Ω) ⊂ lim sup[cone(x − Π(x; Ω)]. N (x̄; Ω) = lim sup N x→x̄ x→x̄ Để kết thúc định lý ta chứng minh bao hàm thức “ ⊃ ” trong (1.8). Với x ∈ Ω, ta kí hiệu hình chiếu ngược (nghịch ảnh) Π−1 (x; Ω) := {z ∈ X : x ∈ Π(z; Ω)}. 10 b (x; Ω) suy ra Từ tính chất của phép chiếu và định nghĩa của N b (x; Ω), ∀x ∈ Ω. cone[Π−1 (x; Ω) − x] ⊂ N Với x ∈ X, z = Π−1 (x; Ω), ta có b (x; Ω). cone[z − Π(z; Ω)] ⊂ N Suy ra b (x; Ω) = N (x̄; Ω). lim sup[cone(x − Π(x; Ω)] ⊂ lim sup N x→x̄ x→x̄ Định lý được chứng minh. 1.2 Đối đạo hàm Cho X, Y là các không gian Banach, xét ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y. Miền xác định thực sự và đồ thị của F được kí hiệu lần lượt bởi: domF := {x ∈ X | F (x) 6= ∅}. gph F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)}. Định nghĩa 1.2.1. Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y với domF 6= ∅. (i) Với (x, y) ∈ X × Y và ε ≥ 0, ta định nghĩa ε-đối đạo hàm của F tại b ∗ F (x, y)(y ∗ ) : Y ∗ ⇒ X ∗ được xác định bởi (x, y) là ánh xạ đa trị D ε b ∗ F (x, y)(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N bε ((x, y); gph F )}. D ε (1.11) Khi ε = 0 ta gọi là đối đạo hàm Fréchet của F tại (x, y) và kí hiệu gọn là b ∗ F (x, y)(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N b ((x, y); gph F )}. D 11 b ∗ F (x, y)(y ∗ ) = Theo quy ước của nón pháp tuyến, nếu (x, y) ∈ / gph F , ta có D ε ∅. (ii) Đối đạo hàm giới hạn của F tại (x̄, ȳ) ∈ gph F là ánh xạ đa trị ∗ DN F (x̄, ȳ) : Y ∗ ⇒ X ∗ được định nghĩa bởi ∗ DN F (x̄, ȳ)(ȳ ∗ ) := lim sup → (x,y) ∗ y∗ b ∗ F (x, y)(y ∗ ). D ε (1.12) (x̄,ȳ) w −− →ȳ∗ ε↓0 ∗ Nghĩa là, DN F (x̄, ȳ) là tập hợp các x̄∗ ∈ X ∗ sao cho tồn tại các dãy w∗ εk ↓ 0, (xk , yk ) → (x̄, ȳ) , dãy (x∗k , yk∗ ) → (x̄∗ , ȳ ∗ ) với (xk , yk ) ∈ gph F và b ∗ F (xk , yk )(y ∗ ). x∗k ∈ D εk k ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) := ∅, ∀y ∗ ∈ Y ∗ nếu (x̄, ȳ) ∈ / gph F . Ta quy ước DN Chú ý rằng, theo định nghĩa nón pháp tuyến giới hạn ta có ∗ DN F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((x̄, ȳ); gph F )}. (1.13) (iii) Đối đạo hàm hỗn hợp của F tại (x̄, ȳ) ∈ gph F là ánh xạ đa trị ∗ F (x̄, ȳ) : Y ∗ ⇒ X ∗ được định nghĩa bởi DM ∗ c∗ F (x, y)(y ∗ ). DM F (x̄, ȳ)(ȳ ∗ ) := lim sup D ε (1.14) (x,y)→(x̄,ȳ) y ∗ →y¯∗ ε↓0 Nghĩa là, tập hợp các x̄∗ ∈ X ∗ sao cho tồn tại dãy εk ↓ 0, (xk , yk , yk∗ ) → ∗ w b ∗ F (xk , yk )(y ∗ ). (x̄, ȳ, ȳ ∗ ) , x∗k → x̄∗ với (xk , yk ) ∈ gph F và x∗k ∈ D εk k ∗ Ta quy ước DM F (x̄, ȳ)(y ∗ ) := ∅, ∀y ∗ ∈ Y ∗ nếu (x̄, ȳ) ∈ / gph F . b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) ⊂ Nhận xét: Vì dãy hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu nên D ∗ ∗ DM F (x̄, ȳ)(y ∗ ) ⊂ DN F (x̄, ȳ)(y ∗ ). Khi Y là không gian hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh, yếu trên là tương đương nên ∗ ∗ DN F (x̄, ȳ) = DM F (x̄, ȳ). 12 Trong trường hợp này ta kí hiệu gọn là D∗ F (x̄, ȳ). Ví dụ 1 : ϕ(x) = |x| D∗ ϕ(0, 0)(λ) =   [−λ, λ] nếu λ ≥ 0 {−λ, λ} nếu λ < 0 Ví dụ 2: Cho 2 không gian X và Y , xét tập con khác rỗng Ω ⊂ X , ánh xạ hàm chỉ ∆ : X → Y của Ω đối với Y được xác định bởi  0 ∈ Y nếu x ∈ Ω ∆(x; Ω) :=  ∅ nếu x ∈ /Ω Với bất kỳ x̄ ∈ Ω và y ∗ ∈ Y ∗ ta có b ∗ ∆(x̄; Ω)(y ∗ ) = N bε (x̄; Ω), ε ≥ 0; D ε ∗ ∗ DN ∆(x̄; Ω)(y ∗ ) = DM ∆(x̄; Ω)(y ∗ ) = N (x̄; Ω). Chứng minh. Gph ∆ = Ω × {0}. Với x̄ ∈ Ω, y ∗ ∈ Y ∗ , ε ≥ 0, ta có b ∗ ∆(x̄; Ω)(y ∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N bε ((x̄, 0), Ω × {0})}. D ε ∗ ∗ (x̄, Ω)(y ∗ ) = N (x̄, Ω). ∆(x̄, Ω)(y ∗ ) = DM Do đó DN Sau đây chúng tôi nhắc lại khái niệm giảm nhẹ của tính liên tục đối với ánh xạ đa trị. Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y gọi là nửa liên tục trong tại x̄ ∈ domF nếu với mỗi y ∈ F (x̄) và mọi dãy xk → x̄, xk ∈ domF thì tồn tại yk ∈ F (xk ) sao cho yk → y, khi k → ∞. Định lí 1.2.1. Cho F : X ⇒ Y là nửa liên tục trong tại x̄ ∈ domF và có ∗ giá trị lồi xung quanh điểm đó. Giả thiết rằng y ∗ ∈ domDN F (x̄, ȳ), ȳ ∈ F (x̄).Khi đó hy ∗ , ȳi = min hy ∗ , yi. y∈F (x̄) 13 ∗ Chứng minh. Do DN F (x̄, ȳ)(y ∗ ) 6= ∅ và (1.13), tồn tại x∗ ∈ X ∗ sao cho (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((x̄, ȳ); gphF ). Theo định nghĩa 1.1.1, tồn tại dãy εk ↓ 0, (xk , yk ) → (x̄, ȳ) với yk ∈ F (xk ) w∗ và (x∗k , yk∗ ) → (x∗ , y ∗ ) sao cho hx∗k , x − xk i − hyk∗ , y − yk i ≤ εk , với mỗi k ∈ N. lim sup k(x, y) − (xk , yk )k (x,y)→(xk ,yk ),y∈F (x) bε (yk ; F (xk )). Theo giả thiết tập F (xk ) là tập lồi, Lấy x = xk , thì −yk∗ ∈ N k từ mệnh đề (1.2) ta có: hyk∗ , y − yk i ≥ −εk ky − yk k, ∀y ∈ F (xk ), k ∈ N∗ . Lấy ỹ ∈ F (x̄). Sử dụng tính nửa liên tục trong của F tại x̄, tồn tại dãy ỹk → ỹ với ỹk ∈ F (xk ), ∀k ∈ N. Sử dụng bất đẳng thức trên với y = ỹk , ta có hyk∗ , ỹk − yk i ≥ −εk kỹk − yk k, với k ∈ N đủ lớn. w∗ Do yk∗ → y ∗ , ỹk − yk → ỹ − ȳ, theo nguyên lý bị chặn đều ta có lim hyk∗ , ỹ − ȳi = hy ∗ , ỹ − ȳi, k→∞ lim [hyk∗ , ỹk − yk i − hyk∗ , ỹ − ȳi] = 0. k→∞ Do đó lim [hyk∗ , ỹk − yk i = hyk∗ , ỹ − ȳi]. k→∞ Kết hợp điều này với (1.15), cho k → ∞, ta nhận được hy ∗ , ỹ − ȳi ≥ 0. Hay hy ∗ , ỹi ≥ hy ∗ , ȳi. 14 (1.15) Vậy hy ∗ , ȳi = min hy ∗ , yi. y∈F (x̄) Định lý được chứng minh. Ta luôn có quan hệ giữa các đối đạo hàm b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) ⊂ D∗ F (x̄; ȳ)(y ∗ ) ⊂ D∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ). D M N b ∗ F (x̄, ȳ), D∗ F (x̄, ȳ), D∗ F (x̄, ȳ) là các đồng cấu Cả ba đối đạo hàm D M N dương từ Y ∗ ⇒ X ∗ . Các bao hàm trên trong một số trường hợp xảy ra thực sự và đặc biệt là bao hàm thứ nhất. Định nghĩa 1.2.3. Cho F : X ⇒ Y và (x̄, ȳ) ∈ gphF . Khi đó: ∗ b ∗ F (x̄, ȳ). F (x̄, ȳ) = D (i)F là N-chính quy tại (x̄, ȳ) nếu DN ∗ b ∗ F (x̄, ȳ). F (x̄, ȳ) = D (ii)F là M-chính quy tại (x̄, ȳ) nếu DM Sau đây chúng ta giới thiệu một vài điều kiện đủ đảm bảo cho tính chính quy trong định nghĩa 1.2.3. Định lí 1.2.2. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có gph F là tập lồi. Khi đó F là N-chính quy tại mọi điểm (x̄, ȳ) ∈ gph F và ta có công thức biểu diễn đối đạo hàm như sau ∗ ∗ b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) DN F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = DM F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = D = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x̄i − hy ∗ , ȳi = max [hx∗ , xi − hy ∗ , yi]}. (x̄,ȳ)∈gph F Chứng minh. Theo định nghĩa b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N b ((x̄, ȳ); gph F )}, D ∗ DN F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = {x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((x̄, ȳ); gph F )}. 15 Theo giả thiết gph F lồi, theo mệnh đề 1.3 ta có b ((x̄, ȳ), gph F ) = N ((x̄, ȳ), gph F ). N Suy ra ∗ ∗ b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ). DN F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = DM F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = D Theo định lý 1.2.1 ta có công thức biểu diễn đối đạo hàm ∗ ∗ b ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) DN F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = DM F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = D = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x̄i − hy ∗ , ȳi = max [hx∗ , xi − hy ∗ , yi]}. (x̄,ȳ)∈gph F Định lí được chứng minh. Tiếp theo chúng ta thiết lập quan hệ giữa đối đạo hàm và đạo hàm của ánh xạ đơn trị khả vi. Trước hết ta nhắc lại khái niệm ánh xạ đơn trị khả vi Fréchet. Định nghĩa 1.2.4. (i) Ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi (Fréchet) tại x̄ nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y sao cho kf (x) − f (x̄) − A(x − x̄)k = 0. x → x̄ kx − x̄k lim Ta kí hiệu A = ∇f (x̄) gọi là đạo hàm (Fréchet) của f tại x̄. (ii) Ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi chặt tại x̄ nếu f khả vi tại x̄ và kf (x) − f (u) − ∇f (x) (x − u)k = 0. x→x̄ kx − uk u→ū lim Chú ý khi f là ánh xạ đơn trị để cho tiện ta kí hiệu gọn đối đạo hàm b ∗ f (x̄, f (x̄)) = D b ∗ f (x̄). D Định lí 1.2.3. (đối đạo hàm của ánh xạ khả vi). Cho f : X → Y khả vi Fréchet tại x̄. Khi đó b ∗ f (x̄)(y ∗ ) = {∇f (x̄)∗ y ∗ }, ∀y ∗ ∈ Y ∗ . D 16
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan