Tài liệu Luận văn đo lường cấu trúc phụ thuộc giữa các tài sản tài chính và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ————————–o0o————————– LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐO LƯỜNG CẤU TRÚC PHỤ THUỘC GIỮA CÁC TÀI SẢN TÀI CHÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành Mã số Học viên Giảng viên hướng dẫn : : : : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học 60.46.01.06 Nguyễn Thị Thanh Loan PGS. TS. Trần Trọng Nguyên HÀ NỘI - 2017 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Trọng Nguyên, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau Đại Học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Lý thuyết Xác suất Và Thống kê Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ động viên để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Loan I Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Trần Trọng Nguyên, luận văn chuyên ngành Lý thuyết Xác suất Và Thống kê Toán học với đề tài:"Đo lường cấu trúc phụ thuộc giữa các tài sản tài chính và ứng dụng" được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Loan II Mục lục Lời cảm ơn I Lời cam đoan II Mở đầu 1 1 3 Kiến thức cơ bản 1.1 Một số kiến thức xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Các mô hình chuỗi thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Chuỗi thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Mô hình ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Mô hình GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Một số kiến thức về tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Giới thiệu về copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 1.4.1 Khái niệm copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Copula t đa biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Chuẩn đoán mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Lý thuyết đồ thị cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III 2 Mô hình sự phụ thuộc với copula 2.1 2.2 3 21 Cấu trúc phụ thuộc giữa hai chuỗi thời gian . . . . . . . . 21 2.1.1 Độ đo sự phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Copula hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Cấu trúc phụ thuộc giữa nhiều chuỗi thời gian . . . . . . . 29 2.2.1 Copula cặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Khái niệm copula vine . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Cấu trúc phụ thuộc của một số chỉ số tài chính 46 3.1 Cơ sở dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Lựa chọn một copula cặp thích hợp . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 So sánh với copula Student bốn chiều Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . 54 57 Danh sách bảng 3.1 Ước lượng số bậc tự do của copula Student hai biến cho các cặp biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Ước lượng tham số cho khai triển copula cặp bốn chiều . . . 52 3.3 Ước lượng số bậc tự do của copula Student hai biến cho các cặp biến ngẫu nhiên được mô phỏng . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Ước lượng tham số cho copula Student bốn chiều . . . . . . 54 3.5 Hệ số phụ thuộc đuôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Danh sách hình vẽ 2.1 Dãy copula vine thường trong ví dụ 2.2.1 . . . . . . . . . . 34 2.2 Dãy copula vine thường trong ví dụ 2.2.1 khi được rút gọn. 2.3 Dãy copula vine thường trong trường hợp năm chiều. . . . . 35 2.4 Biểu diễn thu gọn copula vine thường. . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Các bước tiếp theo của trình tự thu gọn copula vine thường 34 từ ma trận trong ví dụ 2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.6 Cấu trúc cây điển hình của C-Vine trong trường hợp năm chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.7 Cấu trúc cây điển hình của D-Vine trong trường hợp năm chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1 Log-lợi suất của các cặp tài sản trong khoảng thời gian từ ngày 04.01.1999 đến ngày 08.07.2003. . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Cấu trúc D-Vine cho dữ liệu đang xét . . . . . . . . . . . . 50 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trong thời đại kinh tế phát triển, vấn đề nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các tài sản tài chính có ý nghĩa rất lớn trong việc phân tích rủi ro và phòng hộ rủi ro khi đầu tư vào các tài sản đó. Hiện nay, hầu hết các hệ thống quản lí rủi ro vẫn còn nhiều hạn chế, làm tăng nguy cơ thua lỗ cho các nhà đầu tư. Điều này cho thấy sự cần thiết ra đời các công cụ quản lí rủi ro mới để đo lường rủi ro chính xác hơn. Trong nghiên cứu các vấn đề liên quan đến rủi ro danh mục đầu tư tài chính, chúng ta thường giả thiết lợi suất của các tài sản độc lập và cùng phân phối. Tuy nhiên, trong thực tế, các dữ liệu thường không thỏa mãn giả thiết này. Để giải quyết vấn đề này, luận văn này sẽ nghiên cứu về phương pháp tiếp cận mới dựa trên cơ sở copula để mô tả cấu trúc phụ thuộc giữa các tài sản trong một danh mục đầu tư tài chính. Phương pháp này đặc biệt hữu hiệu khi nghiên cứu sự phụ thuộc cực trị và sự phụ thuộc phi tuyến của các tài sản. Copula là phân phối đồng thời hay hàm phân phối đa biến từ các hàm phân phối biên duyên của các biến ngẫu nhiên một chiều. Từ đó, phương pháp tiếp cận dựa trên copula cũng cho phép xây dựng những mô hình cấu trúc riêng biệt. Phương pháp này cũng giúp cung cấp các thông tin chi tiết và quan trọng về cấu trúc phụ thuộc giữa các chuỗi lợi suất để đa dạng hóa danh mục đầu tư phù hợp. Cụ thể là dựa trên kết quả thực nghiệm, nhà đầu tư nên chọn các cổ phiếu có mức độ phụ thuộc thấp vào cùng một danh mục đầu tư. Chính vì những lý do trên, tôi đã chọn đề tài "Đo lường cấu trúc phụ thuộc giữa các tài sản tài chính và ứng dụng" để phục vụ cho nghiên cứu của mình. 2. Mục đích nghiên cứu • Sử dụng copula để mô hình hóa sự phụ thuộc giữa lợi suất của một số tài sản tài chính. • Đề xuất cách tiếp cận mới dựa trên phương pháp copula để mô tả 1 sự phụ thuộc thống kê trong một danh mục đầu tư: mô hình copula vine. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Cấu trúc phụ thuộc giữa các chuỗi lợi suất tài sản tài chính. • Ứng dụng các mô hình trên vào danh mục đầu tư gồm các cổ phiếu, trái phiếu trên thị trường chứng khoán Na Uy và thế giới. 4. Phương pháp nghiên cứu • Tổng hợp tài liệu. • Phân tích và xử lý số liệu dựa trên sự trợ giúp của phần mềm Matlab. 5. Nội dung Luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức cơ bản: Tổng hợp các lý thuyết cơ bản về xác suất, tài chính, chuỗi thời gian đồng thời giới thiệu về copula và lý thuyết đồ thị cơ bản. Chương 2: Mô hình sự phụ thuộc với copula: Đi sâu nghiên cứu các cấu trúc phụ thuộc giữa hai hay nhiều chuỗi thời gian dựa trên mô hình copula. Chương 3: Cấu trúc phụ thuộc của một số chỉ số tài chính: Ứng dụng mô hình sự phụ thuộc với copula vào thị trường chứng khoán Na Uy và thế giới. 6. Đóng góp mới Đi sâu nghiên cứu mô hình sự phụ thuộc với copula để đo lường cấu trúc phụ thuộc giữa các tài sản tài chính, đặc biệt là mô hình copula vine. 2 Chương 1 Kiến thức cơ bản 1.1 Một số kiến thức xác suất Cho không gian xác suất (Ω, F, P). Định nghĩa 1.1.1. Cho ánh xạ X : Ω → R = (−∞, ∞) và B(R) là σ -đại số các tập Borel của R. Khi đó, X được gọi là một biến ngẫu nhiên nếu X −1 (B) = {ω : X(ω) ∈ B} ∈ F với mỗi B ∈ B(R). Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F, P) và nhận giá trị trên R. Khi đó, hàm số FX (x) = P (X < x) với mọi x ∈ R được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X . Định nghĩa 1.1.3. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với các tham số µ, σ 2 (σ > 0) nếu hàm mật độ của nó có dạng 1 f (x) = √ σ 2π 3 (x − µ)2 − 2σ 2 .e với mọi x ∈ R. Xét không gian xác suất (Ω, F, P) với X = (X1 , ..., Xn ) là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên Rn và x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn . Ta có một số định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.4. Hàm F được gọi là hàm phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên X = (X1 , ..., Xn ) nếu F được xác định bởi "n # \ F (x) = P (X1 < x1 , ..., Xn < xn ) = P (Xi < xi ) , i=1 với mọi x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn . Định nghĩa 1.1.5. Hàm Fi được gọi là hàm phân phối biên của biến ngẫu nhiên X = (X1 , ..., Xn ) nếu Fi được xác định bởi Fi (xi ) = P [(X1 < +∞) (X2 < +∞) ... (Xi < xi ) ... (Xn < +∞)] = xlim F (x1 , ..., xn ) = P (Xi < xi ) . →∞ j j6=i với mọi x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn . Định nghĩa 1.1.6. Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj với i, j = 1, ..., n là độ đo sự biến thiên cùng nhau của hai biến ngẫu nhiên này, được tính bởi công thức Cov[Xi , Xj ] = E [(Xi − E[Xi ])(Xj − E[Xj ])] . Từ đó, vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , ..., Xn ) có ma trận hiệp phương P sai, ký hiệu là hay Cov[X] được xác định bởi   Cov(X1 , X1 ) ... Cov(X1 , Xn )   .. .. ... Cov[X] = Cov[Xi , Xj ] =  . .  (1.1) Cov(Xn , X1 ) ... Cov(Xn , Xn ) 4 Định nghĩa 1.1.7. Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj với i, j = 1, ..., n được tính bằng công thức ρ(Xi , Xj ) = ρXi Xj = Cov[Xi , Xj ] σXi σXj Khi đó, vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , ..., Xn ) có ma trận hệ số tương quan, ký hiệu là ρ[X], được xác định bởi   ρ(X1 , X1 ) ... ρ(X1 , Xn )   .. .. ... ρ[X] = ρ[Xi , Xj ] =  . .  ρ(Xn , X1 ) ... ρ(Xn , Xn ) (1.2) Tính chất 1.1.1. Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên có một số tính chất sau   i) ρXi Xj  ≤ 1. ii) Hệ số tương quan có tính chất đối xứng. Nghĩa là ρ(Xi , Xj ) = ρ(Xj , Xj ). iii) Nếu ρ(Xi , Xj ) = ±1 thì biến ngẫu nhiên này biểu diễn tuyến tính được qua biến ngẫu nhiên kia, cụ thể là tồn tại hai số thực a, b và a cùng dấu với ρ(Xi , Xj ) sao cho Xj = aXi + b. Ta nói rằng, Xi và Xj không tương quan nếu ρ(Xi , Xj ) = 0. Trái lại, chúng tương quan với nhau. 5 1.2 Các mô hình chuỗi thời gian 1.2.1 Chuỗi thời gian Định nghĩa 1.2.1. Họ (Xt )t∈T các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên Rn được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số T và không gian trạng thái Rn . Khi tập T là tập các số nguyên dương thì (Xt )t∈T được goi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, còn khi T là một tập liên tục thì (Xt )t∈T được goi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục. Với mỗi t ∈ T cố định, Xt (ω) là hàm đo được theo ω , với mọi ω ∈ Ω và được ký hiệu là (xt )t∈T . Một chuỗi thời gian là một quá trình ngẫu nhiên (Xt )t∈T . Mỗi số hạng trong chuỗi là một hàm đo được (xt )t∈T0 , T0 ⊆ T , tức là một tập hợp các quan sát với (xt1 , ..., xtn ), trong đó n ∈ N, t1 < ... < tn , t1 , ..., tn ∈ T . Khi đó, T được gọi là một miền thời gian. Định nghĩa 1.2.2. Cho (Xt )t∈T là một chuỗi thời gian. Nếu Var(Xt ) < ∞ với mọi t ∈ T thì hàm hiệp phương sai còn gọi là hàm tự hiệp phương sai của (Xt )t∈T và có biểu thức là γX (r, s) := Cov(Xr , Xs ) = E [(Xr − E[Xr ]) (Xs − E[Xs ])] , r, s ∈ T. Tương tự, hàm tương quan còn gọi là hàm tự tương quan của (Xt )t∈T và có biểu thức là ρX (r, s) := Corr(Xr , Xs ) = p 6 Cov(Xr , Xs ) Var(Xr )Var(Xs ) , r, s ∈ T. Định nghĩa 1.2.3. Cho (Xt )t∈T là một chuỗi thời gian. Chuỗi thời gian này được gọi là cótính dừng nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn   i) E |Xt |2 < ∞ ∀t ∈ Z; ii) E[Xt ] = m ∀ t ∈ Z; iii) γX (r, s) = γX (r + t, s + t) ∀ r, s, t ∈ Z. Cố định γX (r, s) = γX (r − s, 0) ∀ r, s ∈ Z theo định nghĩa. Chúng ta sẽ định nghĩa lại giá trị của hàm tự hiệp phương sai như sau γX (h) := γX (h, 0) = Cov (Xt+h , Xt ) ∀ t, h ∈ Z. Tương tự, giá trị của hàm tự tương quan được cho bởi ρX (h) := γX (h) = Corr (Xt+h , Xt ) ∀ t, h ∈ Z. γX (0) Đối với hàm tự hiệp phương sai, một số tính chất quan trọng sau cho phép dễ dàng tính toán hơn i) γ(0) ≥ 0; ii) |γ(h)| ≤ γ(0); iii) γ(h) = γ(−h). Để nhận thông tin liên quan đến cấu trúc phụ thuộc của chuỗi thời gian (Xt )t∈Z trong thực tế, ta cần đánh giá hàm tự hiệp phương sai và hàm tự tương quan từ các biến ngẫu nhiên (x1 , ..., xn ). Muốn làm được điều đó, ta sử dụng các hàm tự hiệp phương sai mẫu và hàm tự tương quan mẫu. Định nghĩa 1.2.4. Cho (x1 , ..., xn ) := (xt1 , ..., xtn ) là các giá trị thực của chuỗi thời gian (Xt )t∈Z . Khi đó, hàm tự hiệp phương sai mẫu được cho 7 bởi biểu thức n−h 1X (xi+h − x̄)(xi − x̄), |h| < n, γ(h) := n i=1 _ n 1X với x̄ = xi . Tương tự, hàm tự hiệp phương sai mẫu được cho bởi n i=1 _ γ(h) ρ(h) := _ . γ(0) _ Tiếp theo, ta đi tìm hiểu về quá trình nhiễu trắng. Đây là một quá trình rất quan trọng, nó cung cấp cơ sở cho việc xây dựng mô hình chuỗi thời gian. Định nghĩa 1.2.5. Cho (Zt )t∈Z là một quá trình ngẫu nhiên. Khi đó, (Zt )t∈Z được gọi là quá trình nhiễu trắng với trung bình không và phương sai σ 2 > 0 nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây i) E [Zt ] = 0; ii) γ(h) = σ 2 . Nếu (Zt )t∈Z ∼ N (0, σ 2 ) thì quá trình ngẫu nhiên được gọi là quá trình nhiễu trắng Gauss. 1.2.2 Mô hình ARMA Mô hình chuỗi thời gian cụ thể đầu tiên mà luận văn muốn giới thiệu là mô hình trung bình tự hồi quy (mô hình ARMA). Mô hình này giả sử rằng có một sự phụ thuộc tuyến tính của các giá trị hiện tại của một chuỗi 8 thời gian trên các giá trị quá khứ bao gồm các sai số nhiễu trắng. Trong các mô hình chuỗi thời gian, mô hình ARMA rất phổ biến. Định nghĩa của một quá trình ARMA được cho dưới đây: Định nghĩa 1.2.6. Cho (Xt )t∈Z là một chuỗi thời gian. Nếu Xt − Φ1 Xt−1 − ... − Φp Xt−p = t + η1 t−1 + ... + ηq t−q trong đó, cố định t ∈ Z, p, q ∈ N0 , Φ1 , ..., Φp , η1 , ..., ηq ∈ R đồng thời (t )t∈Z ∼ N (0, σ 2 ) thì (Xt )t∈Z được gọi là một quá trình ARM A(p, q). Quá trình này được gọi là một quá trình ARM A(p, q) với trung bình µ, nếu quá trình (Xt − µ)t∈Z là một quá trình ARM A(p, q). Ở đây, p, q biểu thị thứ tự của các tự hồi quy (AR) và các quá trình trung bình hồi quy tương ứng. Do đó, một quá trình AR(p) là một quá trình ARM A(p, 0) và tương tự, một quá trình M A(q) là một quá trình ARM A(0, q). Chúng ta cũng có thể biểu thị mô hình ARM A(p, q) theo cấu trúc sau µt = µ + Φ1 Xt−1 + Φ2 Xt−2 + ... + Φp Xt−p + η1 t−1 + η2 t−2 + ... + ηq t−q . 1.2.3 Mô hình GARCH Mô hình chuỗi thời gian cụ thể thứ hai là mô hình tự hồi quy tổng quát có điều kiện (mô hình GARCH). Mô hình này được công bố bởi Bollerslev [5] để mô hình hóa các chuỗi thời gian tài chính. Định nghĩa được đưa ra dưới đây Định nghĩa 1.2.7. Cho (t )t∈Z là một quá trình ngẫu nhiên và (Zt )t∈Z là một dãy đồng nhất các biến ngẫu nhiên với trung bình không và phương 9 sai đơn vị. Khi đó, (t )t∈Z được gọi là một quá trình GARCH(p, q) nếu t = σt Zt , Var (t \ Ft−1 ) =: σt2 = ω + q X αi 2t−i + i=1 p X 2 βj σt−j j=1 cố định t ∈ Z với p ≥ 0, q > 0, α1 , ..., αq , β1 , ..., βp ≥ 0, ω > 0 và E[t |Ft−1 ] = 0 và σt2 = σ2 với mọi t ∈ Z. Mô hình GARCH(p, q) giả sử rằng sự bất ổn là không đổi theo thời gian nhưng tập chung, nghĩa là, biến điều kiện σt2 phụ thuộc vào độ lệch p và giá trị bình phương q cho trước của quá trình này. Trong luận văn này, chúng ta chỉ xem xét mô hình GARCH(1, 1) . Định nghĩa 1.2.8. Quá trình (t )t∈Z được gọi là mô hình GARCH(1, 1) nếu (t )t∈Z thỏa mãn t = σt Zt ; 2 σt2 = ω + α2t−1 + βσt−1 . với α, β ≥ 0, ω > 0 và (Zt )t∈Z là dãy độc lập, tương tự phân phối của biến ngẫu nhiên với trung bình không và phương sai đơn vị. Quá trình t chỉ dừng khi và chỉ khi α + β < 1. Trong trường hợp này, phương sai không điều kiện của quá trình này được cho bởi Var(t ) =: σ 2 = 10 ω . 1−α−β Định nghĩa 1.2.9. Quá trình (t )t∈Z được gọi là mô hình ARMA (p, q)GARCH (1, 1) nếu (t )t∈Z thỏa mãn Xt = µ + Φ1 Xt−1 + ... + Φp Xt−p + η1 t−1 + ... + ηq t−q + ; t = σt Zt ; 2 σt2 = ω + α2t−1 + βσt−1 ; với Φ1 , ..., Φp , η1 , ..., ηq ∈ R, α, β ≥ 0 và ω > 0. Mô hình này giả sử rằng một quá trình được mô hình như một quá trình ARMA với các sai số GARCH. Để xác định một mô hình ARM A(p, q) − GARCH(1, 1), các tham số phải được ước lượng và lựa chọn một phân phối thích hợp. Sau đó, tính toán các phần dư chuẩn ˆt Ẑt = , trong đó σ̂t ˆt = Xt − µ̂ − Φ̂Xt−1 − ... − Φ̂p Xt−p − η̂1 σ̂t−1 Ẑt−1 − ... − η̂q σ̂t−q Ẑt−q . Mũ trên đầu của mỗi tham số biểu thị rằng đây là ước lượng của tham số tương ứng. 1.3 Một số kiến thức về tài chính Định nghĩa 1.3.1. Chứng khoán là các loại công cụ tài chính dài hạn, bao gồm các loại cổ phiếu và trái phiếu. • Cổ phiếu là bằng chứng xác nhận quyền và lợi ích hợp pháp của nhà đầu tư đối với một phần vốn chủ sở hữu của công ty cổ phần. 11 • Trái phiếu là một loại chứng khoán quy định nghĩa vụ của người phát hành (người đi vay) phải trả cho người đứng tên sở hữu chứng khoán (người cho vay) một khoản tiền nhất định bao gồm cả gốc lẫn lãi trong những khoảng thời gian nhất định. Định nghĩa 1.3.2. Chỉ số chứng khoán nói chung và chỉ số trái phiếu nói riêng được dùng để thể hiện sự phát triển của thị trường và các thành phần của nó. Các chỉ số này thường được thông báo trên các phương tiện thông tin đại chúng và các tờ nhật báo lớn ở các nước. Chỉ số chứng khoán phản ánh tình hình hoạt động của các công ty trên thị trường. Nếu các công ty làm ăn có lãi, giá chứng khoán của các công ty đó sẽ tăng và làm tăng theo chỉ số chứng khoán. Ngược lại, chỉ số chứng khoán sẽ giảm. Dựa vào chỉ số chứng khoán, các nhà đầu tư có thể xác định được hiệu quả của một cổ phiếu hoặc một danh mục các chứng khoán để đầu tư vào. Định nghĩa 1.3.3. Cho (Xt )t∈T là giá trị của tài sản tại thời điểm t. Khi đó, quá trình lợi suất được cho bởi Rt = Xt − 1 ∀t ∈ Z. Xt−1 Trong thực hành, người ta thường dùng quá trình log-lợi suất (rt )t∈Z như sau rt = ln(Xt ) − ln(Xt−1 ) ∀t ∈ R. Một mô hình chuỗi thời gian mô tả sự phát triển của một chuỗi thời 12 gian. Cấu trúc của một mô hình chuỗi thời gian trong tài chính được đưa ra trong định nghĩa sau. Định nghĩa 1.3.4. Cho (rt )t∈Z là một quá trình log-lợi suất và quá trình nhiễu trắng (Zt )t∈Z ∼ N (0, 1). Khi đó, cấu trúc của một mô hình chuỗi thời gian được cho bởi phương trình lợi suất rt = µt + εt . Và số hạng nhiễu là εt = σt Zt . Trong đó, µt là trung bình điều kiện, σt2 được gọi là phương sai điều kiện được cho bởi biểu thức µt = E [rt |Ft−1 ] ; σt2 h 2 i = E (rt − µt ) |Ft−1 . Với Ft là các thông tin thiết lập có sẵn tại thời điểm t. 1.4 Giới thiệu về copula 1.4.1 Khái niệm copula Các copula d-chiều là các hàm phân phối tích lũy trên Id với biên độ đồng đều. Do đó một copula miêu tả cấu trúc phụ thuộc giữa các phần tử của một vectơ ngẫu nhiên d-chiều. Ở đây, Id biểu thị hình siêu lập phương đơn vị d- chiều, nghĩa là Id = [0, 1]d . Định nghĩa 1.4.1. Hàm số C : Id → I được gọi là một copula d-chiều nếu C thỏa mãn các điều kiện sau 13