Tài liệu Luận văn độ đo gauss trên không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ THỊ HƯỜNG Tên đề tài ĐỘ ĐO GAUSS TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Ngô Hoàng Long HÀ NỘI, NĂM 2017 Mục lục Lời mở đầu ii Lời cảm ơn 0 1 Kiến thức bổ trợ 1 1.1 Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Toán tử trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Độ đo Gauss trên không gian Hilbert 3 17 2.1 Sơ lược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Không gian Hilbert một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Không gian Hilbert hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Độ đo trên không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Độ đo Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Các biến ngẫu nhiên Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7 Không gian Cameron-Martin và tiếng ồn trắng . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Sự tương đương và kì dị của các độ đo Gauss trên không gian Hilbert 50 3.1 Giới thiệu và đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Tính tương đương và kì dị của tích các độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 Công thức Cameron-Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 Định lý Feldman-Hajek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Lời cảm ơn 62 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 i Lời mở đầu I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Độ đo Lebesgue đóng vai trò trung tâm trong giải tích trên không gian hữu hạn chiều. Một trong những đặc điểm quan trọng của độ đo Lebesgue đó là tính tịnh tiến bất biến, tức là độ đo của một tập sẽ không thay đổi khi ta tịnh tiến toàn bộ tập đó theo một véc tơ bất kì. Trong không gian vô hạn chiều, người ta đã chứng minh được rằng chỉ có độ đo tầm thường đồng nhất 0 là có tính chất tịnh tiến bất biến, tức là không tồn tại độ đo kiểu Lebesgue trên không gian vô hạn chiều. Do đó để nghiên cứu giải tích trên không gian vô hạn chiều người ta đã đưa vào độ đo Gauss. Với mong muốn được tìm hiểu kĩ hơn về độ đo Gauss, tôi quyết định chọn đề tài “Độ đo Gauss trên không gian Hilbert” cho luận văn thạc sĩ của mình. Trước tiên luận văn sẽ trình bày phương pháp xác định độ đo Gauss trên không gian chiều hữu hạn và sau đó lấy tích vô hạn các độ đo đó trên không gian Hilbert vô hạn chiều. Tiếp đó, cụ thể hóa độ đo Gauss không suy biến trên không gian Hilbert vô hạn chiều tách được sinh ra không gian Cameron-Martin và tiếng ồn trắng. Cuối cùng, luận văn trình bày về tính tương đương và kì dị của các độ đo Gauss và công thức Cameron-Martin, một công cụ cơ bản để xác định tính liên tục tuyệt đối và kì dị của các độ đo. II. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU Nghiên cứu về độ đo Gauss trong không gian Hilbert vô hạn chiều tách được, tính tương đương và kì dị của các độ đo. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU • Độ đo Gauss trên không gian Hilbert. • Tính tương đương và kì dị của các độ đo Gauss. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lý luận. ii V. CẤU TRÚC LUẬN VĂN Nội dung của luận văn bao gồm ba chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương II: Độ đo Gauss trên không gian Hilbert Chương III: Sự tương đương và kì dị của các độ đo Gauss trên không gian Hilbert 1 Lời cảm ơn Luận văn tốt nghiệp với đề tài "Độ đo Gauss trên không gian Hilbert" là công sức nghiên cứu của em trong hai năm học thạc sỹ tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội cùng với sự giúp đỡ của một số cá nhân và tập thế. " Một cây làm chẳng nên non". Đúng vậy, đề tài của em sẽ không thể có và không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ của thầy - TS. Ngô Hoàng Long. Vì vậy, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy - Người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Ngoài ra, em cũng xin gửi lời cảm ơn tập thể giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội - những người thầy đã truyền cho em tri thức, giúp em có kiến thức căn bản để hoàn thành luận văn một cách thuận lợi. Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình đã luôn ở bên, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện giúp em trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu. Em rất mong nhận được những góp ý đáng quý của các thầy cô, bạn bè và những người quan tâm để luận văn được hoàn thiện và phát triển hơn nữa. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 1 tháng 5 năm 2017 Sinh Viên Ngô Thị Hường 0 Chương 1 Kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian xác suất Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất. Với A ∈ F bất kỳ, ký hiệu Ac là phần bù của A và hàm chỉ tiêu 1A xác định như sau:  1 nếu ω ∈ A 1A (ω) = 0 nếu ω ∈ Ac . Cho E là không gian metric đầy đủ. Ký hiệu B(E) là σ−đại số sinh bởi tất cả các tập đóng (tương ứng mở) của E. Mỗi biến ngẫu nhiên trong (Ω, F, P) với giá trị trong E là một ánh xạ X : Ω → E sao cho với mọi I ∈ B(E) thì X −1 (I) ∈ F. Luật của X là độ đo xác suất X] P trên (E, B(E)) xác định như sau: X] P(I) = P(X −1 (I)) = P(X ∈ I), I ∈ B(E). Mệnh đề 1.1. Cho X là biến ngẫu nhiên trong (Ω, F, P) với giá trị trong E. Cho ϕ : E → R là ánh xạ Borel bị chặn. Khi đó, ta có: Z Z ϕ(X(ω))P(dω) = ϕ(x)X] P(dx). Ω (1.1) E Chứng minh. Do ϕ là ánh xạ Borel bị chặn nên ta chỉ cần chứng minh định lý khi hàm ϕ = 1I với I ∈ B(E). Ta có: với mọi ω ∈ Ω,   1 nếu X(ω) ∈ I 1 nếu ω ∈ X −1 (I) = 1X −1 (I) (ω). ϕ(X(ω)) = 1I (X(ω)) = = 0 nếu X(ω) 6∈ I 0 nếu ω ∈ 6 X −1 (I) 1 Chương 1. Kiến thức bổ trợ 2 Vì vậy, Z Z ϕ(X(ω))P(dω) = Ω 1X −1 (I) (ω)P(dω) Ω = E(1X −1 (I) ) = P(X −1 (I)) = X] P(I) Z Z = X] P(dx) = 1I (x)X] P(dx) E ZI = ϕ(x)X] P(dx). E Từ đó, ta có điều phải chứng minh. Định lý 1.2 (Định lý Randon-Nikodym). Giả sử µ và ν là hai độ đo xác suất trên (Ω, F). Nếu µ  ν thì tồn tại duy nhất một hàm ρ ∈ L1 (Ω, F, ν) sao cho: Z µ(A) = ρdν với mọi A ∈ F. A Ký hiệu: ρ= 1.1.1 dµ . dν Tính chất của phép biến đổi độ đo xác suất Giả sử P, Q là các độ đo xác suất trên (Ω, F) thỏa mãn P  Q. Theo Định lý 1.2, tồn tại dP hàm Z = . Khi đó, EP (X) = EQ (XZ) với mọi biến ngẫu nhiên X. dQ Một cách hình thức, ta có: Z Z XdP = Ω XZdQ. Ω R dP = Z tức là P (A) = ZdQ = EQ (Z1A ). dQ A P Bước 1: Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản thì X có dạng: X = ni=1 ai 1Ai . Ta có: Chứng minh. Ta có: P E (X) = = n X i=1 n X ai P(Ai ) ai EQ (Z1Ai ) i=1 = EQ n X i=1 ! ! ai 1Ai Z Chương 1. Kiến thức bổ trợ 3 = EQ (XZ). Bước 2: Nếu X > 0. Khi đó, tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản Xn ↑ X. Theo Bước 1 ta có: EP (Xn ) = EQ (Xn Z). Do Xn là các biến ngẫu nhiên đơn giản nên bị chặn. Áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có: EP (X) = EQ (XZ). Bước 3: Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó, X = X + − X − . Ta có: EP (X) = EP (X + ) − EP (X − ) = EQ (X + Z) − EQ (X − Z) = EQ (XZ). 1.1.2 Hàm đặc trưng và các tính chất Định nghĩa 1 Hàm số: ϕX (t) := EeitX = E cos tX + iE sin tX, t ∈ R, được gọi là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X. Nếu FX (x) là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X thì: Z ϕX (t) = eitx dFX (x), t ∈ R. R Nếu X có mật độ f (x) thì: Z ϕX (t) = eitx f (x)dx. R Định nghĩa 2 Giả sử X = (X1 , ..., Xn ) là véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong Rn . Hàm đặc trưng của X là hàm số: Z i(t,X) ϕX (t) = Ee = ei(t,x) dFX (x), t ∈ Rn . R Chương 1. Kiến thức bổ trợ 4 Một số tính chất của hàm đặc trưng Giả sử X có hàm phân phối F và ϕ(t) là hàm đặc trưng của nó. Khi đó, p a. |ϕ(t)| 6 ϕ(0) = 1, |ϕ(t + h) − ϕ(t)| 6 2 1 − Reϕ(h), trong đó Rez là phần thực của z. b. ϕ(t) liên tục đều trên R. c. ϕ(−t) = ϕ(t). d. ϕ(t) là hàm thực khi và chỉ khi X có phân phối đối xứng nghĩa là X và −X cùng phân phối hay tương đương PX (B) = PX (−B), ∀B ∈ B(R). e. Nếu X và Y độc lập thì: ϕX+Y (t) = ϕX (t).ϕY (t), t ∈ R. Do đó, nếu X1 , ..., Xn độc lập thì: ϕ(X1 ,...,Xn ) (t) = n Y ϕXk (t), t ∈ R. k=1 g. Nếu E |X|n < ∞ với n > 1 nào đó thì ϕ(t) có đạo hàm đến cấp n tại mọi điểm và: Z (k) ϕ (t) = (ix)k eitx dF (x) = ik E(X k eitX ), R ϕ(k) (0) , ik n X (it)n (it)k EX k + αn (t), ϕ(t) = k! n! k=0 EX k = trong đó, |αn (t)| 6 2E |X n | , αn (t) −→ 0 khi t → 0. Đảo lại, nếu ϕ(2m) (0) tồn tại và hữu hạn thì EX 2m < ∞, ở đây m là số nguyên dương nào đó. 1.1.3 Phân phối chuẩn nhiều chiều Mật độ chuẩn Véc tơ X = (X1 , ..., Xn ) có phân phối chuẩn n chiều nếu hàm mật độ của nó có dạng: √   det A 1 f (x) = − (A(x − a), (x − a)) , x ∈ Rn , (1.2) n exp 2 (2π) 2 Chương 1. Kiến thức bổ trợ 5 trong đó, A = (aij )ni,j=1 là ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó, hàm đặc trưng của X là:   1 ϕX (t) = exp i(t − a) − (M t, t) , 2 trong đó, M = A−1 . Định lý 1.3. Đối với véc tơ a ∈ Rn bất kỳ và ma trận đối xứng xác định dương M cấp n tùy ý, hàm: 1 ϕX (t) = exp{i(t − a) − (M t, t)}, t ∈ Rn , (1.3) 2 là hàm đặc trưng của phân phối chuẩn N (a, M ) với hàm mật độ tương ứng được cho bởi (1.2), trong đó M = A−1 . Ý nghĩa xác suất của phân phối chuẩn nhiều chiều: Giả sử X = (X1 , ..., Xn ) với hàm đặc trưng ϕ(t) có dạng (1.3), M = (mij )ni,j=1 . Khi đó, trong (1.3) ta có: a = (EX1 , ..., EXn )0 , còn M chính là ma trận covarian của X nghĩa là M = (cov(Xi , Xj ))ni,j=1 . Véc tơ X có phân phối N (a, M ) còn được gọi là véc tơ Gauss. Chú ý: Xét công thức (1.3) với M là ma trận suy biến, xác định không âm. Khi đó, ϕ(t) cũng là hàm đặc trưng của phân phối nào đó trên Rn ; với a, M được xác định như trên. Véc tơ X với hàm đặc trưng như vậy cũng được gọi là véc tơ Gauss. Tương quan giữa các véc tơ Gauss Giả sử X, Y là hai véc tơ ngẫu nhiên Gauss với giá trị trong Rn , Rm . Xét Z là véc tơ ngẫu nhiên với giá trị trong Rn+m có dạng Z = (X, Y )0 . Ký hiệu: MX , MY , MZ là các ma trận covarian của X, Y, Z tương ứng. Còn MX,Y là ma trận covarian của X và Y. Nghĩa là, MX,Y = E(X − EX)(Y − EY )0 = EXY 0 − (EX)(EY )0 . Lúc đó, MZ = MX MX,Y 0 MX,Y MY ! . Định lý 1.4. Nếu X, Y là các véc tơ Gauss độc lập thì Z cũng là véc tơ Gauss và MX,Y = 0. Ngược lại, nếu Z là véc tơ Gauss và MX,Y = 0 thì X và Y độc lập. Định lý 1.5. Giả sử MX không suy biến. Lúc đó: E(Y | X = x) = EY + MY,X MX−1 (x − EX). Chương 1. Kiến thức bổ trợ 1.2 6 Toán tử trong không gian Banach 1.2.1 Toán tử compact Định nghĩa 1.6. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính f được gọi là compact nếu f ({x ∈ E : kxk 6 1}) là compact tương đối trong F. Nghĩa là: bao đóng của nó là compact trong E. Mệnh đề 1.7. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn. Khi đó, đối với toán tử tuyến tính f : E −→ F, các khẳng định sau tương đương. i) f là compact. ii) Với mọi dãy bị chặn {xn } ⊂ E, tồn tại một dãy con {xnk } để f (xnk ) hội tụ trong F. Mệnh đề 1.8. Nếu f, g là các toán tử compact từ không gian định chuẩn E tới không gian định chuẩn F thì αf + βg cũng là toán tử compact. Mệnh đề 1.9. Nếu f ∈ L(E, F ), g ∈ L(F, G), ở đây E, F, G là các không gian định chuẩn. Khi đó, g ◦ f : E −→ G là compact nếu f hoặc g là compact. Định lý 1.10. Nếu {fn } ∈ L(E, F ) là dãy các toán tử compact giữa các không gian Banach E và F hội tụ tới f ∈ L(E, F ) thì f cũng là toán tử compact. Định lý 1.11. (Schauder) Giả sử f ∈ L(E, F ) với E và F là các không gian Banach. Khi đó, f là compact nếu và chỉ nếu f 0 là compact. 1.2.2 Phổ của toán tử Giả sử E là không gian Banach trên trường số thực hoặc phức. Ký hiệu L(E) là không gian Banach các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào chính nó. L(E) không chỉ là không gian Banach mà còn là đại số với phép nhân là phép hợp thành: g.f := g ◦ f, ∀g, f ∈ L(E). Khi đó: kgf k = kg ◦ f k ≤ kgkkf k, ∀g, f ∈ L(E). Định nghĩa 1.12. (Đại số các toán tử) Đại số như vậy ta thường gọi là đại số Banach. Đại số L(E) có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất 1E : E −→ E sao cho f.1E = 1E .F = f với ∀f ∈ L(E). Chương 1. Kiến thức bổ trợ 7 Định nghĩa 1.13. (Hàm giải tích giá trị Banach) Giả sử D là tập mở trong K và f : D −→ E là hàm trên D với giá trị trong không gian Banach E. Ta nói: a. f giải tích tại λ0 ∈ D nếu ∃δ > 0 sao cho: ∞ X f (λ) = an (λ − λ0 )n , ∀λ : |λ − λ0 | < δ, n=0 ở đây, an ∈ E ∀n > 0. b. f giải tích trên D nếu nó giải tích tại mọi λ ∈ D. Định nghĩa 1.14. Giả sử E là không gian Banach và f ∈ L(E) là toán tử trong E. Ta nói, λ ∈ K là giá trị chính quy của f nếu f − λ1E là khả nghịch trong L(E). Trong trường hợp ngược lại, λ được gọi là giá trị phổ của f. Từ nay về sau, ta viết f − λ thay cho f − λ1E . Ký hiệu, S(f ) là tập tất cả các giá trị chính quy của f, còn σ(f ) là tập tất cả các giá trị phổ của f. Ta có: σ(f ) = K \ S(f ). Trong không gian Banach hữu hạn chiều thì giá trị phổ còn được gọi là giá trị riêng. Định lý 1.15. Giả sử E là không gian Banach trên trường K thực hoặc phức. Khi đó, phổ σ(f ) của f ∈ L(E) là tập compact trong K và hàm λ 7→ (f − λ)−1 là giải tích trên S(f ). Định nghĩa 1.16. Ta gọi bán kính phổ của f ∈ L(E) là số: X rf = {|λ| : λ ∈ σ(f )}. Nếu K = R thì có thể σ(f ) = ∅. Và trong trường hợp này, ta coi rf = −∞. Mệnh đề 1.17. σ(A) = σ(A0 ), ∀A ∈ L(E). Định lý 1.18. Giả sử A ∈ L(E) là toán tử compact và λ ∈ K, λ 6= 0. Khi đó, Nλ := ker(A − λ) là không gian con hữu hạn chiều, còn Rλ = Im(A − λ) là không gian con đóng đối chiều hữu hạn tức là dim(ERλ ) < ∞. Định nghĩa 1.19. Giả sử A ∈ L(F ). Số λ ∈ K được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại x ∈ E, x 6= 0 để Ax = λx. Véc tơ x như vậy được gọi là véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ. Không gian Nλ = Ker(A − λ) gọi là không gian riêng của giá trị riêng λ. Định lý 1.20. Giả sử A ∈ L(E) là toán tử compact và λ 6= 0 là giá trị phổ của A. Khi đó, λ là giá trị riêng của A. Nhận xét 1. Nếu E là không gian Banach vô hạn chiều và A ∈ L(E) compact thì 0 ∈ σ(A). Nên ngoài giá trị phổ λ = 0, phổ σ(A) của A gồm toàn các giá trị riêng. Định lý 1.21. Phổ σ(A) của mọi toán tử compact A ∈ L(E) chỉ có một số hữu hạn hay đếm được các giá trị khác nhau. Trong trường hợp sau có thể viết σ(A) = {λn } với |λ1 | > ... > |λn | > ... và lim λn = 0. n→∞ Chương 1. Kiến thức bổ trợ 1.3 1.3.1 8 Không gian Hilbert Dạng Hermite và tích vô hướng Định nghĩa 1.22. Cho E là không gian véc tơ (phức). Dạng Hermite trên E là ánh xạ ϕ : E × E −→ C thỏa mãn: 1. ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y), 2. ϕ(λx, y) = λϕ(x, y), ∀x1 , x2 , y ∈ E. ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ C. ∀x, y ∈ E. 3. ϕ(x, y) = ϕ(y, x), Trong đó, với z ∈ C, z là số phức liên hợp của z. Từ đó, ta cũng có: 4. ϕ(x, y1 + y2 ) = ϕ(x, y1 ) + ϕ(x, y2 ), 5. ϕ(x, λy) = λϕ(x, y), ∀x, y1 , y2 ∈ E. ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ C. Định nghĩa 1.23. Dạng Hermite ϕ trên E gọi là dương và viết ϕ > 0 nếu ϕ(x, x) > 0 với mọi x ∈ E. Mệnh đề 1.24. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Giả sử ϕ là dạng Hermite không âm trên không gian véc tơ E. Khi đó, |ϕ(x, y)|2 6 ϕ(x, x)ϕ(y, y), ∀x, y ∈ E. Mệnh đề 1.25. (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu ϕ là dạng Hermite không âm trên không gian véc tơ E thì: p p p ϕ(x + y, x + y) 6 ϕ(x, x) + ϕ(y, y), ∀x, y ∈ E. 1.3.2 Tích vô hướng và không gian Hilbert Định nghĩa 1.26. Tích vô hướng trên không gian véc tơ E là dạng Hermite ϕ > 0 trên E thỏa mãn thêm điều kiện: ϕ(x, x) = 0 =⇒ x = 0. Sau đây, ta ký hiệu ϕ(x, y) bởi hx, yi và gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x và y. Bổ đề 1.27. Dạng Hermite ϕ > 0 trên E là tích vô hướng nếu và chỉ nếu ϕ không suy biến, có nghĩa là: x ∈ E, x = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y) = 0 ∀y ∈ E. Chương 1. Kiến thức bổ trợ 9 Định nghĩa 1.28. Không gian véc tơ E cùng với một tích vô hướng h., .i trên nó gọi là không gian tiền Hilbert. p Với x ∈ E, ta đặt kxk = hx, xi. Khi đó, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng: |hx, yi| 6 kxkkyk, ∀x, y ∈ E. Còn bất đẳng thức Minkowski viết là: kx + yk 6 kxk + kyk. Mặt khác, hiển nhiên: a. kxk > 0, ∀x ∈ E; b. kλxk = |λ| kxk, kxk = 0 thì x = 0. ∀λ ∈ C, ∀x ∈ E. Vậy nên mọi không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hướng: p kxk = hx, xi, x ∈ E. Nếu không gian định chuẩn này là đầy thì E gọi là không gian Hilbert. Mệnh đề 1.29. Nếu E là không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng của nó liên tục trên E × E. Mệnh đề 1.30. (Đẳng thức Pythagore) Nếu x ⊥ y thì: kx + yk2 = kxk2 + kyk2 Tổng quát: Nếu x1 , ..., xn ∈ E và xi ⊥ xj với mọi i 6= j thì: k n X 2 xi k = i=1 n X kxi k2 . i=1 Mệnh đề 1.31. (Đẳng thức hình bình hành) kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) ∀x, y ∈ E. 1.3.3 Hệ trực giao, trực chuẩn và phép chiếu trực giao Hệ trực giao và trực chuẩn Định nghĩa 1.32. Giả sử E là không gian Hilbert. Hệ các véc tơ {xα }α∈I được gọi là hệ trực giao nếu xα ⊥ xβ với mọi α 6= β và xα 6= 0 với mọi α. Ngoài ra nếu kxα k = 1 với mọi α ∈ I thì {xα }α∈I gọi là hệ trực chuẩn. Chương 1. Kiến thức bổ trợ 10 Như vậy, {xα }α∈I là hệ trực chuẩn nếu và chỉ nếu:  1 nếu α = β, hxα , xβ i = δαβ = 0 nếu α = 6 β. Mệnh đề 1.33. Mọi hệ trực giao đều độc lập tuyến tính. Định lý 1.34. (Gram-Schmidt) Giả sử, {xn }n>1 là một dãy các véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian Hilbert E. Khi đó, tồn tại một dãy trực giao {yn }n>1 sao cho yn là tổ hợp của x1 , ..., xn với mọi n > 1. Phép chiếu trực giao Định nghĩa 1.35. Giả sử E là không gian Hilbert. Toán tử tuyến tính liên tục p : E −→ E gọi là toán tử trực giao nếu: a. p2 = p; b. px ⊥ y − py ∀x, y ∈ E. Từ đó, ta cũng có: c. kpk = 1 khi p 6= 0. d. Im p đóng. e. 1E − p cũng là toán tử chiếu trực giao. f. Ker p = Im (1E − p) và Im p = Ker (1E − p). Định nghĩa 1.36. Giả sử M, N ⊂ E. Ta nói: M trực giao với N và viết M ⊥ N nếu: hx, yi = 0 ∀x ∈ M, y ∈ N. Rõ ràng, nếu M ⊥ N thì N ⊥ M. Với M ⊂ E tùy ý. Đặt: M ⊥ = {x ∈ E : x ⊥ M }, và gọi là phần bù trực giao của M. Bổ đề 1.37. Cho tập con M ⊂ E. Khi đó, a. M ∩ N ⊂ {0}, với mọi N ⊥ M. b. M ⊆ (M ⊥ )⊥ := M ⊥⊥ . Chương 1. Kiến thức bổ trợ 11 c. M ⊥ là không gian con đóng của E. Định nghĩa 1.38. Giả sử M, N là hai không gian con đóng của E. Ta nói E là tổng trực giao của M và N nếu thỏa mãn hai điều kiện: a. E = M + N. b. M ⊥ N. Định lý 1.39. (về sự tồn tại của phép chiếu trực giao) Giả sử F là không gian con đóng của không gian Hilbert E. Khi đó, tồn tại phép chiếu trực giao từ E lên F. Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert Định lý 1.40. (Riesz) Giả sử, E là không gian Hilbert. Khi đó: a. Với mọi a ∈ E, tương ứng x 7→ hx, ai xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục fa trên E với kfa k = kak. b. Ngược lại, với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E, tồn tại duy nhất a ∈ E để f = fa , tức là f (x) = hx, ai x ∈ E. Nhận xét 2. Nếu E là không gian Hilbert thì công thức: (RE x)(y) = hy, xi, x, y ∈ E, xác định một đẳng cấu phản tuyến tính giữ nguyên chuẩn giữa E và E 0 . Ngoài ra RE thỏa mãn: −1 u(x) = hx, RE ui, u ∈ E 0 , x ∈ E. Như vậy công thức: −1 −1 hu, vi = hRE v, RE ui, u, v ∈ E 0 , xác định một tích vô hướng trên E 0 thỏa mãn: kuk2 = hu, ui, u ∈ E 0. Vậy E 0 là không gian Hilbert. Định lý 1.41. Mọi không gian Hilbert là phản xạ. Chương 1. Kiến thức bổ trợ 12 Cơ sở trực chuẩn Định nghĩa 1.42. Giả sử {ei }i∈I là hệ các véc tơ trong E. Ta nói, {ei }i∈I là hệ đầy đủ nếu x ⊥ ei với mọi i ∈ I thì x = 0. Định nghĩa 1.43. Hệ {ei }i∈I gọi là cơ sở trực giao nếu nó là hệ trực giao và đầy đủ. Ngoài ra, nếu kxk = 1 với mọi i ∈ I thì cơ sở trực giao này được gọi là cơ sở trực chuẩn. Định lý 1.44. (Bất đẳng thức Bessel) Giả sử {en }n≥1 là hệ trực chuẩn trong E. Khi đó: ∞ X |hx, en i|2 ≤ kxk2 ∀x ∈ E. n=1 Định lý 1.45. Cho {en }n≥1 là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert E. Khi đó, các khẳng định sau tương đương: a. {en }n≥1 là cơ sở trực chuẩn. b. x = ∞ P hx, en ien với mọi x ∈ E. n=1 c. hx, yi = ∞ P hx, ek ihy, ek i với mọi x, y ∈ E. n=1 d. kxk2 = ∞ P |hx, ek i|2 với mọi x ∈ E. n=1 Định lý 1.46. Giả sử E là không gian Hilbert. Khi đó, các khẳng định sau tương đương: a. E có cơ sở trực chuẩn đếm được. b. E đẳng cấu giữ nguyên chuẩn với `2 . c. E là vô hạn chiều khả ly. Điều đó có nghĩa là E có một tập con đếm được trù mật khắp nơi. Định lý 1.47. Giả sử E là không gian Hilbert (khác 0.) Khi đó, E có một hệ trực chuẩn đầy đủ. 1.3.4 Toán tử trong không gian Hilbert Toán tử liên hợp Giả sử E, F là không gian Hilbert. Định lý Riesz 1.40 cho ta hai đẳng cấu phản tuyến tính giữ nguyên chuẩn RE : E −→ E 0 và RF : F −→ F 0 . Xét ánh xạ tuyến tính liên tục Chương 1. Kiến thức bổ trợ 13 A : E −→ F. Xem E, F như là các không gian Banach, ta có ánh xạ liên hợp A0 : F 0 −→ E 0 xác định bởi: (A0 f )(x) = f (A(x)), f ∈ F 0 , x ∈ E. −1 0 Xét A∗ = RE A RF : F −→ E. Cũng gọi A∗ là toán tử liên hợp của A. Từ đó, ta có các tính chất sau của toán tử liên hợp: a. hAx, yi = hx, A∗ yi, ∀x ∈ E, y ∈ F. b. (λA)∗ = λA∗ . c. Với B : F −→ G là ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian Hilbert. Khi đó: (A + B)∗ = A∗ + B ∗ và (B ◦ A)∗ = A∗ ◦ B ∗ . d. Nếu A là đẳng cấu thì A∗ là đẳng cấu và (A∗ )−1 = (A−1 )∗ . Định lý 1.48. Giả sử E là không gian Hilbert và A ∈ L(E). Khi đó, E là tổng trực giao của N (A) và R(A∗ ) cũng như N (A∗ ) và R(A). Ở đây N (A), N (A∗ ) và R(A), R(A∗ ) được ký hiệu là hạt nhân và ảnh của A và A∗ . Định lý 1.49. Giả sử A ∈ L(E) và n(A) là bao đóng của tập {hAx, xi : kxk = 1}. Khi đó, σ(A) ⊂ n(A). Sau này, n(A) được gọi là miền số của A. Toán tử tự liên hợp Định nghĩa 1.50. Giả sử E là không gian Hilbert và A ∈ L(E). Ta nói A là tự liên hợp nếu A = A∗ . Như vậy, A là tự liên hợp nếu và chỉ nếu: hAx, yi = hx, Ayi, ∀x, y ∈ E. Mệnh đề 1.51. Giả sử A, B ∈ L(E) tự liên hợp. Khi đó, A + B và λA (λ ∈ R) là tự liên hợp. Ngoài ra, nếu A và B là giao hoán với nhau, tức là AB = BA thì BA là tự liên hợp. Mệnh đề 1.52. Giả sử A ∈ L(E) là tự đẳng cấu.Khi đó, A là tự liên hợp nếu và chỉ nếu A−1 là tự liên hợp. Định lý 1.53. Toán tử A ∈ L(E) là tự liên hợp nếu và chỉ nếu: hAx, xi ∈ R ∀x ∈ E. Hệ quả 1.54. a. Giả sử A là tự liên hợp. Khi đó, σ(A) ⊂ R. Chương 1. Kiến thức bổ trợ 14 b. Nếu p : E −→ E là toán tử chiếu trực giao thì p là tự liên hợp. Định lý 1.55. Giả sử λ và µ là hai giá trị riêng khác nhau của toán tử tự liên hợp A ∈ L(E). Khi đó, các không gian con riêng: Nλ = {x ∈ E : Ax = λx}, Nµ = {x ∈ E : Ax = µx} trực giao với nhau. Định lý 1.56. Giả sử A ∈ L(E) là toán tử tự liên hợp. Khi đó, kAk = sup |hAx, xi| = sup |hAx, xi| . kxk≤1 kxk=1 Định lý 1.57. Giả sử A ∈ L(E) là toán tử tự liên hợp. Khi đó, σ(A) ⊂ [m, M ]. Ở đây, m = inf{hAx, xi : kxk = 1} và M = sup{hAx, xi : kxk = 1}. Hơn nữa: m, M ∈ σ(A). Toán tử tự liên hợp compact Ta coi, σ(A) là vô hạn. Đặt: qn = dim N (A − λn ) là số chiều của không gian riêng ứng với giá trị riêng λn . Khi đó, qn là hữu hạn với n ≥ 1. Giả sử, {e1 , ..., eq1 }, {eq1 +1 , ..., eq1 +q2 }, ..., {eqq +q2 +...+qn−1 +1 , ..., eq1 +q2 +...+qn } là cơ sở trực chuẩn của N (A − λ1 ), N (A − λ2 ), ..., N (A − λn ), ... Rõ ràng, {en }n≥1 là hệ trực chuẩn đầy đủ các véc tơ riêng của A. Đặt: µ1 = ... = µq1 = λ1 µq1 +1 = ... = µq1 +q2 = λ2 ... µq1 +q2 +...+qn−1 +1 = ... = µq1 +q2 +...+qn = λn . Khi đó, µn là giá trị riêng của véc tơ riêng en với mọi n ≥ 1. Định lý 1.58. (Hilbert-Schmidt) Giả sử A ∈ L(E) là toán tử tự liên hợp compact. Khi đó, với mọi x ∈ E tồn tại duy nhất x0 ∈ E sao cho Ax0 = 0 và: ∞ X x= hx, en ien + x0 , n=1 và như vậy: Ax = ∞ X n=1 µn hx, en ien , x ∈ E. Chương 1. Kiến thức bổ trợ 15 Định lý 1.59. (Phân tích phổ Hilbert-Schmidt) Giả sử A : E −→ F là toán tử compact giữa các không gian Hilbert E và F. Khi đó, tồn tại hai hệ trực chuẩn {en } ∈ E và {fn } ∈ F và một dãy số {λn } hội tụ về 0 sao cho: Ax = ∞ X λn hx, en ifn , x ∈ E. n=1 1.3.5 Một số lớp toán tử đặc biệt khác trong không gian Hilbert Toán tử dương Định nghĩa 1.60. Giả sử E là một không gian Hilbert và L(E). Ta nói, A là toán tử dương và viết A ≥ 0 nếu: hAx, xi ≥ 0 ∀x ∈ E. Mệnh đề 1.61. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Nếu A ∈ L(E), A ≥ 0 thì kAxk2 ≤ kAkhAx, xi với mọi x ∈ E. Đặc biệt, nếu hAx, xi = 0 thì Ax = 0. Cho A, B ∈ L(E). Ta viết A ≥ B nếu A − B ≥ 0. Mệnh đề 1.62. Quan hệ ≤ là một quan hệ thứ tự trên L(E). Ngoài ra, nếu A ≥ 0, B ≥ 0 và λ ≥ 0 thì A + B ≥ 0 và λA ≥ 0. Định lý 1.63. Giả sử {An } ∈ L(E) là dãy các toán tử tự liên hợp thỏa mãn các điều kiện sau: a. {An } đơn điệu tăng. b. {An } bị chặn bởi một toán tử tự liên hợp B ∈ L(E), tức là An ≤ B với mọi n. Khi đó, {An } hội tụ điểm tới một toán tử tự liên hợp A ∈ L(E). Định lý 1.64. Với mọi toán tử dương A ∈ L(E) tồn tại duy nhất toán tử dương ϕ ∈ L(E) sao cho ϕ2 = A. Hệ quả 1.65. 1 a. Nếu B giao hoán được với A thì nó giao hoán được với A 2 . b. Nếu A và B là các toán tử dương liên hợp được với nhau thì A ◦ B ≥ 0. Toán tử chiếu trực giao Định nghĩa 1.66. Giả sử E là không gian Hilbert. Toán tử P ∈ L(E) gọi là toán tử chiếu trực giao hay đơn giản là toán tử chiếu nếu F = ImP là không gian con đóng của E và P = PF là phép chiếu trực giao lên F.