Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Sư phạm Luận văn định lý giới hạn trung tâm cho các martingale...

Tài liệu Luận văn định lý giới hạn trung tâm cho các martingale

.PDF
61
693
120

Mô tả:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ————————–o0o————————– LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO CÁC MARTINGALE Chuyên ngành Mã số Học viên Giảng viên hướng dẫn : : : : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học 60.46.01.06 Đào Thị Vân Anh TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI - 2017 Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan . . . . . . . . . . 1.4.1 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 8 10 10 11 12 2 Định lý giới hạn trung tâm cho martingale 2.1 Martingale bình phương khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Định lý giới hạn trung tâm tổng quát . . . . . . . . . . 2.3 Một số mở rộng định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . . . . 2.3.1 Các kết quả dạng Raikov trong định lý giới hạn trung tâm matingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Martingale nghịch và tổng đuôi của martingale . . . . . 2.4 Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . . 14 14 Tài liệu tham khảo 60 16 16 29 33 33 40 44 MỤC LỤC 2 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Toán-Tin đã giúp đỡ em trong quá trình học tập cũng như trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Hùng, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu để khóa luận của em được hoàn thành đúng thời hạn. Mặc dù em đã có nhiều cố gắng song do thời gian và trình độ còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em mong thầy cô và các bạn nhận xét và đóng góp ý kiến để khóa luận này được phát triển và hoàn chỉnh hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Đào Thị Vân Anh MỤC LỤC 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi. Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực. Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trước đó. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình. Hà Nội, tháng 6 năm 2017. Tác giả luận văn Đào Thị Vân Anh MỤC LỤC 4 LỜI NÓI ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có lẽ một trong những thành tựu to lớn nhất của xác suất hiện đại là lý thuyết thống nhất về giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Thực tế thống kê toán học thường được xem là bắt nguồn từ rất sớm với các luật giới hạn của Bernoulli và Moivre. Lý thuyết toán về luật giới hạn trung tâm cho martingale có thể được xem là sự mở rộng của lý thuyết độc lập và nó cũng có nguồn gốc từ các kết quả giới hạn trong trường hợp độc lập. Trong luận văn này, em đã chọn đề tài "Định lý giới hạn trung tâm cho các martingale" để trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kết quả quan trọng của định lý giới hạn trung tâm martingale như là một trường hợp mở rộng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập và làm sáng tỏ một số kết quả trong chứng minh một số định lý giới hạn martingale. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống lại các kết quả quan trọng của định lý giới hạn trung tâm và nghiên cứu tốc độ hội tụ của định lý giới hạn trung tâm. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU • Martingale, martingale ngược, martingale bình phương khả tích. • Phương sai có điều kiện. • Định lý giới hạn trung tâm cho các martingale, các kết quả dạng Raikov. • Các tổng đuôi của martingale. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Đọc sách, các bài báo, luận văn liên quan đến đề tài, tìm tài liệu trên Internet. • Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề một cách chi tiết. • Sử dụng phương pháp tổng hợp, tổng hợp lại các kiến thức, trình bày vấn đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi. MỤC LỤC 5 V. CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và nội dung chính của luận văn bao gồm hai chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị, nội dung chương này là những kiến thức chuẩn bị của luận văn, những khái niệm và kết quả cơ bản về martingale, các dạng hội tụ, định lý giới hạn trung tâm cho các biến ngẫu nhiên độc lập và một số định lý hội tụ quan trọng của martingale. Chương II: Định lý giới hạn trung tâm cho martingale, chương này trình bày định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích. Phần 2.2.1 và 2.2.2 đã đưa ra những điều kiện đủ cho định lý giới hạn trung tâm. Vấn đề hội tụ của moment được đề cập trong phần 2.3.1 và phần 2.3.2 là trình bày định lý giới hạn trung tâm cho martingle nghịch, những tổng đuôi của martingle. Trong phần 2.4, luận văn nghiên cứu tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm cơ bản Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng. Ký hiệu 2Ω là tập hợp gồm tất cả các tập con của Ω. Định nghĩa 1.1.1. (σ -đại số). Lớp A ⊂ Ω được gọi là một đại số nếu: (i) Ω ∈ A; (ii) Nếu A ∈ A, thì Ac = Ω \ A ∈ A; (iii) Nếu A, B ∈ A thì A ∩ B ∈ A và A ∪ B ∈ A. Nếu A là một đại số và thỏa mãn: với mọi dãy (An ) ⊂ A, ta có ∞ [ An ∈ A, n=1 ∞ \ An ∈ A, n=1 thì A được gọi là một σ -đại số và (Ω, A) được gọi là một không gian đo. Định nghĩa 1.1.2. (Không gian xác suất) Bộ ba (Ω, F, P) được gọi là một không gian xác suất nếu (Ω, F) là một không gian đo và ánh xạ P : F → [0, 1] thỏa mãn: P(Ω) = 1, P(∅) = 0 và P( ∞ [ n=1 An ) = ∞ X P(An ), n=1 với mọi dãy (An ) các phần tử giao nhau đôi một bằng rỗng của F. Ánh xạ P được gọi là một độ đo xác suất trên không gian đo (Ω, F). Định nghĩa 1.1.3. (Kỳ vọng).Giả sử ξ là một biến ngẫu nhiên. Nếu tích R phân |ξ(w)|P(dw) tồn tại và hữu hạn thì biến ngẫu nhiên ξ được gọi là khả Ω R tích và ký hiệu E(ξ) = |ξ(w)|P(dw) là kỳ vọng của ξ . Ω 1.2 Các dạng hội tụ 7 Định nghĩa 1.1.4. (Tính độc lập). Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất. Họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} các σ -đại số con của F được gọi là độc lập nếu \ Y P( A i ) = P(Ai ) i∈I i∈I đối với mọi dãy Ai ∈ Fi , i ∈ I . Họ các biến ngẫu nhiên Xi , i ∈ I , được gọi là độc lập nếu họ các σ -đại số sinh bởi chúng {σ(Xi ), i ∈ I} là độc lập. Họ các biến cố Ai , i ∈ I , được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên {IAi , i ∈ I} là độc lập. 1.2 Các dạng hội tụ Với mỗi p>0 và biến ngẫu nhiên ξ , ký hiệu k ξ kp = (E[|ξ|p ])1/p . Nếu k ξ kp < ∞ thì ξ được gọi là khả tích bậc p và ký hiệu Lp là tập hợp tất cả các biến ngẫu nhiên khả tích bậc p. Giả sử (ξn ) là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P). Dãy (ξn ) được gọi là • hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến biến ngẫu nhiên ξ nếu P[ lim ξn = ξ] = 1, n→∞ h.c.c ký hiệu là ξn −→ ξ • hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên ξ nếu lim P[|ξn − ξ| > ] = 0 với n→∞ p mọi  > 0, ký hiệu là ξn −→ ξ . • hội tụ theo trung bình bậc p, p>0, đến biến ngẫu nhiên ξ nếu E|ξn |p < ∞ Lp và lim E[|ξn − ξ|p = 0, ký hiệu là ξn −→ ξ . Khi p=1, ta nói ξn hội tụ theo n→∞ trung bình đến ξ . d • hội tụ yếu hay hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên ξ , ký hiệu ξn −→ ξ , nếu với mọi hàm f : R → R liên tục và bị chặn, ta có lim E(f (ξn )) = n→∞ E(f (ξ)). Mệnh đề 1.2.1. Giả sử (ξn ) và ξ là các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P). h.c.c Lp p (i) Nếu ξn −→ ξ hoặc ξn −→ ξ thì ξn −→ ξ . h.c.c (ii) ξn −→ ξ khi và chỉ khi với mọi  > 0, ta có lim P[sup |ξk − ξ| > ] = 0. n k≥n 1.3 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập 8 p (iii) ξn −→ ξ khi và chỉ khi với mọi dãy con (nk ) của dãy các số tự nhiên, tồn h.c.c tại một dãy con (mk ) của dãy (nk ) sao cho ξmk −→ ξ . Định nghĩa 1.2.1. (Khả tích đều). Giả sử H là một họ các biến ngẫu nhiên khả tích trên không gian xác suất (Ω, F, P). Họ H được gọi là khả tích đều nếu Z lim sup |ξ|dP = 0 λ→∞ ξ∈H [|ξ|>λ] . Định nghĩa 1.2.2. (Hàm đặc trưng). Giả sử ξ = (ξ1 , ....ξd ) là một vectơ ngẫu nhiên. Hàm ϕξ : Rd → C xác định bởi ϕξ (t) = E(exp(i d X tj ξj )), t = (t1 , ....td ) ∈ Rd , j=1 được gọi là hàm đặc trưng của ξ . Hàm đặc trưng là công cụ quan trọng để nghiên cứu phân phối của vecto ngẫu nhiên do các kết quả sau: Mệnh đề 1.2.2. . (i) Giả sử ξ và η là hai vectơ ngẫu nhiên d-chiều. Khi đó ξ và η có cùng phân phối khi và chỉ khi ϕξ (t) = ϕη (t) với mọi t ∈ Rd . (ii) Giả sử ξn là dãy vectơ ngẫu nhiên d-chiều và ξ cũng là một vectơ ngẫu nhiên d-chiều. Khi đó ξn hội tụ yếu đến ξ khi và chỉ khi lim ϕξn (t) = ϕξ (t) n→∞ với mọi t ∈ 1.3 Rd . Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập Cho dãy tam giác (X1n , X2n , ...Xnn ), n = 1, 2, ... gồm các biến ngẫu nhiên sao cho đối với mỗi n, các biến ngẫu nhiên X1n , X2n , ...Xnn độc lập và  EXkn = 0, (k = 1, ..., n) n P (1.1)  D(Xkn ) = 1. k=1 Đặt Sn = n X k=1 Xkn , 2 σkn = D(Xkn ), k ≤ n. 1.3 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập 9 Định lí 1.3.1. Giả sử {Xkn , k = 1, ..., n}, n=1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn điều kiện (1.1). Khi đó, nếu với s>2 nào đó, (2) Mn = n X Emin(|Xkn |2 , |Xkn |s ) → 0 (1.2) k=1 thì Zx 1 FSn (x) → Φ(x) = √ 2π t2 e− 2 dt (1.3) −∞ đều theo x ∈ R. Định lí 1.3.2. (Định lý Lindeberg) Nếu dãy {Xkn , k = 1, ..., n} độc lập thỏa mãn (1.1) và điều kiện Lindeberg (2) Ln () → 0, (∀ > 0) thì FSn (x) → Φ(x) đều theo x. • Áp dụng. Ta xét n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công là p. Ký hiệu A là biến cố thành công. Đặt ( 1 nếu A xuất hiện tại phép thử thứ k Xk = 0 nếu A không xuất hiện tại phép thử thứ k, k = 1, ..., n. Ta thấy (Xk ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối chỉ nhận hai giá trị 0, 1 sao cho P(X1 = 1) = p, P(X1 = 0) = q = 1 − p, và n(A) = X1 + X2 + .... + Xn là số lần biến cố A xuất hiện trong n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công là p = P(A) • Bất đẳng thức Berri-Essen cho ta p2 + q 2 p2 + q 2 < √ sup |Fn (x) − Φ(x)| ≤ C. √ npq npq −∞ 0, ta có   p p n(A) − p| ≤  ∼ Φ( n/pq) − Φ(− n/pq). P | n 1.4 1.4.1 Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan Martingale Định nghĩa 1.4.1. (Kỳ vọng có điều kiện) (i) Giả sử ξ là biến ngẫu nhiên không âm, khả tích xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P).Giả sử G là một σ -đại số con của F. Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên suy rộng, không âm, ký hiệu là E(ξ|G), thỏa mãn (a) E(ξ|G) là G-đo được; (b) Với mỗi A ∈ G, Z Z ξdP = A E(ξ|G)dP. A Gọi E(ξ, G) là kỳ vọng điều kiện của ξ đối với σ -đại số G. (ii) Kỳ vọng điều kiện E(ξ|G) của biến ngẫu nhiên ξ bất kỳ đối với σ -đại số G là xác định nếu min(E(ξ + |G), E(ξ − |G)) < ∞ h.c.c, và được cho bởi công thức E(ξ|G) = E(ξ + |G) − E(ξ − |G), trong đó, trên tập có xác suất 0 mà E(ξ + |G) = E(ξ − |G) = ∞, ta có thể gán cho hiệu E(ξ + |G)− E(ξ − |G) một giá trị bất kỳ, ví dụ bằng 0 chẳng hạn. Chú ý: Khác với kỳ vọng thông thường là một số thực, kỳ vọng điều kiện của biến ngẫu nhiên. Một cách trực quan, coi σ -đại số G là các thông tin có được, tức là với mọi biến cố A ∈ G, ta có thể xác định A có xảy ra hay không. Khi đó E(ξ|G) là "dự báo tốt nhất" về giá trị của X dựa trên các thông tin mà ta có. Định nghĩa 1.4.2. (Martingale) Giả sử (Ω, G, P) là một không gian xác suất với lọc (Fn ). Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martingale nếu với mọi n ≥ 0, cả ba điều kiện sau được thỏa mãn: 1.4 Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan 11 (i) Xn là Fn -đo được; (ii) E|Xn | < ∞; (iii) E(Xn+1 |Fn ) = Xn h.c.c Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martingale dưới nếu các điều kiện (i), (ii) được thỏa mãn và (iii’) E(Xn+1 |Fn ) ≥ Xn h.c.c với mọi n ≥ 0 Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martingale trên nếu các điều kiện (i), (ii) được thỏa mãn và (iii”) E(Xn+1 |Fn ) ≤ Xn h.c.c với mọi n ≥ 0 Nhận xét Dãy (Xn , Fn ) là martingale trên khi và chỉ khi dãy (−Xn , Fn ) là martingale dưới. Dãy (Xn , Fn ) là martingale khi và chỉ khi nó vừa là martingale trên, vừa là martingale dưới. Định nghĩa 1.4.3. (Martingale hiệu) Dãy tương thích {Xn , Fn , n ∈ N} được gọi là martingale hiệu, nếu E|Xn | < ∞ đối với mọi n ∈ N và E(Xn+1 |Fn ) = 0 Rõ ràng nếu S = {Sn , Fn , n ∈ N} là martingale thì {Xn , Fn , n ∈ N} là martingale hiệu trong đó X0 = S0 , Xn = ∆Sn = Sn − Sn−1 , n = 1, 2, ... Ngược lại, nếu {Xn , Fn , n ∈ N} là martingale hiệu thì S = {Sn , Fn , n ∈ N} là martingale trong đó S 0 = X0 , 1.4.2 Sn = X0 + ... + Xn Các bất đẳng thức cơ bản Định lí 1.4.1. Nếu {Xn , Fn , n = 0, ...., N } là martingale dưới, thì với mọi λ ∈ R (λ > 0) + λP( max Xn > λ) ≤ E[XN I( max Xn > λ)] ≤ EXN ; 0≤n≤N 0≤n≤N λP( min Xn ≤ −λ) ≤ −EX0 + E[XN I( min Xn > −λ)]. 0≤n≤N 0≤n≤N Bất đẳng thức Kolmogorov. Nếu {Xn , Fn , n = 0, ...., N } là martingale với E|Xn |p < ∞, n = 0, ..., N, 1 ≤ p < ∞, thì với mọi λ > 0 λp P( max |Xn | > λ) ≤ E|XN |p 0≤n≤N 1.4 Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan 12 Bất đẳng thức Doob Nếu {Xn , Fn , n = 0, ...., N } là martingale dưới không âm với E|Xn |p < ∞, n = 0, ..., N, 1 < p < ∞, thì k XN kp ≤k max |Xn | kp ≤ q k XN kp , 0≤n≤N trong đó k X kp = (E|X|p )1/p , 1/p + 1/q = 1. Đối với p=1, thì k XN k1 ≤k max |Xn | k1 ≤ 0≤n≤N 1.4.3 e  1+ k XN ln+ XN k1 . e−1 Các định lý hội tụ Định lí 1.4.2. (Định lý Doob). Nếu {Xn , Fn , n ∈ N } là martingale dưới và L1 -bị chặn, tức là sup E|Xn | < ∞, n thì dãy (Xn ) hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên X∞ nào đó với E|X∞ | < ∞. Hệ quả 1.4.1. Giả sử {Xn } là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, và đặt Sn là dãy các tổng riêng của nó, tức là S0 = X0 , Sn = X0 + X1 + ... + Xn Khi đó, các điều kiện sau là tương đương (i) {Sn } hội tụ h.c.c (ii) {Sn } hội tụ theo xác suất (iii) {Sn } hội tụ theo phân phối Định lí 1.4.3. (Định lý hội tụ trong Lp ). Giả sử 1 < p < ∞. Nếu {Xn , Fn , n ∈ N } là martingale và Lp - bị chặn, tức là, sup E|Xn |p < ∞, n thì dãy (Xn ) hội tụ trong Lp , đồng thời hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên X∞ với E|X∞ |p < ∞. Định lí 1.4.4. (Định lý hội tụ trong L1 ). Nếu {Xn , Fn , n ∈ N } là martingale và dãy (Xn ) khả tích đều thì dãy (Xn ) hội tụ trong L1 , đồng thời hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên X∞ với E|X∞ | < ∞. 1.4 Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan 13 Định lí 1.4.5. (Định lý Levy). Giả sử X ∈ L1 và (Fn ) là dãy các σ -trường con không giảm của A. Khi đó, hầu chắc chắn lim E(X|Fn ) = E(X|F∞ ). n→∞ trong đó F∞ là σ -trường bé nhất chứa tất cả các σ -trường Fn , tức là [ F∞ = σ( Fn ). n Giả sử X ∈ L1 và (Fn ) là dãy các σ -trường con không tăng của A. Khi đó, hầu chắc chắn ^ lim E(X|Fn ) = E(X| Fn ). n→∞ trong đó V n Fn là σ -trường giao của tất cả các σ -trường Fn , tức là, n ^ n Fn = \ n Fn . Chương 2 Định lý giới hạn trung tâm cho martingale 2.1 Martingale bình phương khả tích Cho M = {Mn , Fn , n ∈ N} là martingale bình phương khả tích, tức là: E|Mn |2 < ∞ với mọi n ∈ N. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết  M0 = 0, vì nếu cần ta xét Mn −M0 thay cho Mn . Khi đó, M 2 = Mn2 , Fn , n ∈ N là martingale dưới. Ta viết khai triển Doob của nó dưới dạng Mn2 = mn + < M >n , trong đó, m = {mn , Fn , n ∈ N} là martingale, và < M >n = n P k=1 E[∆Mk2 |Fk−1 ] < M >= {< M >n , Fn−1 , n ∈ N} là dãy tăng dự báo được. Ta gọi < M > là biến phân bình phương (hoặc đặc trưng bình phương) dự báo được của M. Ta có < M >n+1 − < M >n = E[(∆Mn+1 )2 |Fn ], và nếu M0 = 0 thì EMn2 = E < M >n Định lí 2.1.1. Giả sử M = {Mn , Fn , n ∈ N} là martingale bình phương khả tích với M0 = 0. Khi đó, (i) Nếu E < M >∞ < ∞, thì martingale M = {Mn , Fn , n ∈ N} hội tụ trong L2 , và do đó là chính quy, hơn nữa ta có: E(sup Mn2 ) ≤ 4E < M >∞ n 2.1 Martingale bình phương khả tích 15 √ (ii) Nếu E < M >∞ < ∞ , thì martingale M = {Mn , Fn , n ∈ N} là chính quy và p E(sup |Mn |) ≤ 3E < M >∞ n √ tổng quát hơn, nếu E < M >τ < ∞ , thì τ là thời điểm Markov chính quy đối với {Mn , Fn , n ∈ N} (tức là {Mτ ∧n , Fn , n ∈ N} là martingale chính quy), và ta có p E(sup |Mn |) ≤ 3E < M >τ n≤τ (iii) Trong mọi trường hợp ta có {< M >∞ < ∞} ⊂ {Mn →} , tức là, martingale M = {Mn , Fn , n ∈ N} hội tụ hầu chắc chắn tới giới hạn trên tập {< M >∞ < ∞}. Chứng minh (i) suy ra từ sup EMn2 = E < M >∞ n và bất đẳng thức Doob với p=2. (iii) Đầu tiên chú ý rằng, với mọi thời điểm Markov τ , {< M >τ ∧n , Fn , n ∈ N} là biến phân cấp hai của martingale {Mτ ∧n , Fn , n ∈ N}. Thật vậy, ra có E[(Mτ ∧(n+1) − Mτ ∧n )2 |Fn ] = E[Iτ >n (Mn+1 − Mn )2 |Fn ] = I{τ >n} (< M >n+1 − < M >n ) = τ ∧(n+1) − < M >τ ∧n . Ta áp dụng điều này cho thời điểm Markov (  τa = min n :< M >n+1 > a2 ∞ nếu < M >∞ ≤ a2 Vì < M >τa ≤ a2 , nên theo (i)τa là thời điểm Markov chính quy đối với Martingale {Mn , Fn , n ∈ N}, do đó lim Mn tồn tại và hữu hạn (hầu chắc n→∞ chắn) trên tập {τa = ∞} = < M >∞ ≤ a2  Khi cho a → ∞ trên tập các số nguyên, ta nhận được (iii). 2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 16 (ii) Ta thấy     P sup |Mn | > a ≤ P {τa < ∞} + P τa = ∞, sup |Mn | > a n n   ≤ P {τa < ∞} + P sup |Mτ ∧n | > a n và  P sup |Mτ2a ∧n | n 2  >a ≤ a−2 lim ↑ EMτ2a ∧n = a−2 E < m >τa n Vì < M >τa bị chặn bởi < M >∞ và a2 , và do  {τa < ∞} = < M >∞ > a2 nên ta có    P sup |Mn | > a ≤ P < M >∞ > a2 + a−2 E[min(< M >∞ , a2 )] n Do đó E[sup |Mn |] = n ≤ R∞ 0 R∞ 0   P sup |Mn | > a da n R∞ P < M >∞ > a2 da + E[min(< M >∞ , a2 )] da a2  0 √ = 3E < M >∞ Từ đó rút ra (ii). 2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 2.2.1 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích Cho {Sn , Fn , n ≥ 1} là martingale có trung bình bằng không, bình phương khả tích và cho Xn = Sn − Sn−1 , n ≥ 2, với X1 = S1 là những martingale hiệu. Lévy đã đưa ra khái niệm phương sai có điều kiện cho các martingale. Vn2 = n X E(Xi2 |Fi−1 ) 1 Phương sai có điều kiện đóng góp một vai trò trong lý thuyết giới hạn Martingale hiện đại. Những kết quả ban đầu của Lévy đòi hỏi một giả thiết mạnh đó là với mỗi n, Vn2 là hằng số hầu chắc chắn và những giả thiết này cũng được đưa ra ngay cả trong cả lý thuyết hiện nay. 2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 17 Doob đã đưa ra hàm đặc trưng để chứng minh các kết quả của Lévy. Billingsley và Ibragimov một cách độc lập đã thiết lập định lý giới hạn trung tâm cho những martingale với hiệu được giả thiết dừng và thỏa mãn giả thiết ergodic. Các martingale như vậy có phương sai điều kiện tiệm cận hằng số p 2 s−2 n Vn −→ 1 (2.1) tại s2n = E(Vn2 ) = E(Sn2 ) Cho {Sni , Fni , 1 ≤ i ≤ kn } là một martingale có trung bình bằng không, bình phương khả tích với mỗi n ≥ 1, và cho Xni = Sni − Sn,i−1 , 1 ≤ i ≤ kn (Sn0 = 0) là maringale hiệu. (Giả sử kn → ∞ khi n → ∞). Ta sẽ gọi dãy kép i P 2 = 2 |F {Sni , Fni , 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} là một mảng martingale. Cho Vni E(Xnj n,j−1 ) j=1 2 = là phương sai điều kiện của Sni và cho Uni i P j=1 2 là biến phân bình phương. Xnj Những mảng martingale thường xuất phát từ những martingale thông thường {Sn , Fn , 1 ≤ n < ∞} theo cách sau: cố định kn = n, Fni = Fi , và Sni = s−1 n Si , 1 ≤ i ≤ n, với sn là độ lệch chuẩn của Sn . Trong trường hợp 2 E(Snkn ) = 1, việc tạo ra giả thiết này cho mảng martingel tùy ý là phổ biến. (i) Giả thiết về tiệm cận có thể bỏ qua Những giả thiết về tính có thể bỏ qua đã tạo ra martingale hiệu Xni trong định lý giới hạn trung tâm của martingale. Điều kiện cổ điển của tính có thể bỏ qua trong lý thuyết tổng của những biến ngẫu nhiên độc lập yêu cầu Xni là những tiệm cận đều có thể bỏ qua: max P(|Xni | > ε) → 0 Với mọi ε > 0, i khi n→∞ Nhìn chung điều này sẽ yếu hơn điều kiện tổng, X Với mọi ε > 0, P(|Xni | > ε) → 0 (2.2) (2.3) i Mặc dù khi đó những tổng Snkn hội tụ theo phân phối, (2.2) và (2.3) thường là tương đương với nhau. Khi những Xni độc lập thì (2.3) tương đương với: p max |Xni | −→ 0 (2.4) i P 2 Khi P(max |Xni | > ε) = P( Xni I(|Xni | > ε) > ε2 ), (2.4) sẽ tương đương với i i điều kiện Lindeberg yếu: Với mọi ε > 0, X i p 2 Xni I(|Xni | > ε) −→ 0 (2.5) 2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 18 McLeish (1974) đã chứng minh định lý giới hạn trung tâm với điều kiện bị chặn trong L2 và điều kiện (2.4). Nhìn chung điều kiện (2.5) yếu hơn điều kiện Lindeberg: X 2 Với mọi ε > 0, E[Xni I(|Xni | > ε)] → 0 (2.6) i P 2 p 2 ) = 1 và Xni −→ 1 hoặc một cách tổng quát hơn, Tuy nhiên, nếu E(Snk n i  2 nếu Unkn là khả tích đều thì (2.4) và (2.6) là tương đương. Để thấy được điều này, chú ý rằng với mọi λ > 0 , X 2 2 2 > λ)] + λP(max |Xni | > ε) I(Unk E[Xni I(|Xni | > ε)] ≤ E[Unk n n i i Với mỗi δ > 0, chọn λ đủ lớn sao cho với mọi n, giới hạn đầu tiên của vế phải sẽ bị chặn bởi δ/2. Tiếp đến, chọn N đủ lớn sao cho với mọi n ≥ N , thì giới hạn thứ hai của vế phải cũng bị chặn bởi δ/2. Tiếp đó, với mọi n ≥ N , X 2 E[Xni I(|Xni | > ε)] ≤ δ i (chứng minh (2.6)) Có thể sử dung điều kiện Lindeberg có điều kiện để thay thế cho (2.4) hoặc (2.6): Với mọi ε > 0, X p 2 E[Xni I(|Xni | > ε)|Fn,i−1 ] −→ 0 (2.7) i Trong phần lớn các trường hợp thì (2.6) và (2.7) là tương đương. (ii) Phương sai có điều kiện  P Ở đây, ta sẽ loại bỏ mảng tam giác. Cho Sn = ni=1 Xi , Fn , n ≥ 1 là một martingale có trung bình bằng không, bình phương khả tích và đặt Vn2 = n P E(Xi2 |Fi−1 ). Phương sai có điều kiện Vn2 là một trong một vài ước lượng i=1 của phương sai ESn2 . Trong một số trường hợp phương sai có điều kiện có thể biểu thị một lượng thông tin bao gồm những gì đã xảy ra trong suốt quá trình. Một cách khác để giới thiệu về Vn2 là thông qua sự phân tích của Doob cho  martingale con Sn2 , Fn . Ta có thể viết Sn2 = Mn + An 2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích 19 với {Mn , Fn } là một martingale và {An } là một dãy biến ngẫu nhiên tăng không âm. Nếu ta quy ước An là Fn−1 -đo được thì sự phân tích này được xác định duy nhất hầu chắc chắn bởi quan hệ An − An−1 2 = E(S2n |Fn−1 ) − Sn−1 = E[(Sn − Sn−1 )2 |Fn−1 ] = E(X2n |Fn−1 ) Do đó, An = Vn2 . 2 (iii) Quan hệ giữa Vni2 và Uni Phương sai có điều kiện Vni2 có thể thường được xấp xỉ bởi tổng những bình  2 . Ví dụ, cho (2.7) và chuỗi V 2 , n ≥ 1 : phương Uni nkn 2 > λ) → 0 sup P(Vnk n khi λ → ∞. (2.8) n≥1 Ta có: p 2 2 max |Uni − Vni | −→ 0, i (2.9)  2 , n ≥ 1 , Và nếu (2.8) được làm mạnh thành khả tích đều cho Vnk n 2 2 E|Ukn − Vnk |→0 n n Theo (2.9), điều kiện thông thường (2.1) có thể thường xuyên được thay thế bởi n X p s−2 n Xi2 −→ 1 1 Đôi khi, tổng những bình phương n P 1 Xi2 sẽ dễ xử lý hơn phương sai có điều kiện. Quan hệ (2.9) có tầm quan trọng đáng kể về mặt lý thuyết. Giả sử cho thời gian là những biến ngẫu nhiên Xni độc lập và Fni là trường σ được sinh bởi Sn1 , Sn2 , . . . , Sni . Thì những biến Vni2 là hằng số hầu chắc chắn, và nếu 2 ) = 1, thì V 2 = 1 hầu chắc chắn. Trong trường hợp này, (2.9) suy ra: E(Snk nkn n X p 2 Xni −→ 1. (2.10) i Với những điều kiện không quá phức tạp, (2.10) là cần và đủ cho định lý GHTT X d Snkn = Xni −→ N (0, 1). (2.11) i
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng