Tài liệu luận văn báo cáo tốt nghiệp chuyên nghành vật lý.

Lêi C¶m ¬n Em xin ch©n thµnh c¶m ¬n c« gi¸o Th.S NGUYÔN THÞ PH¦¥NG LAN - ngêi tËn t×nh chØ b¶o, híng dÉn em hoµn thµnh kho¸ luËn nµy. §ång thêi, em xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong tæ vËt lý lý thuyÕt cña khoa VËt lý trêng §¹i häc S ph¹m Hµ Néi 2 ®· t¹o ®iÒu kiÖn gióp ®ì em, c¶m ¬n c¸c b¹n sinh viªn ®· ®ãng gãp ý kiÕn cho luËn v¨n nµy. MÆc dï cã nhiÒu cè g¾ng, song do tr×nh ®é nghiªn cøu, n¨ng lùc cã h¹n vµ sù phøc t¹p cña vËt lý chÊt r¾n, do vËy trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn v¨n sÏ kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. VËy em kÝnh mong c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o vµ c¸c b¹n sinh viªn ®ãng gãp ý kiÕn gióp em hoµn thµnh kho¸ luËn nµy. Hµ Néi, th¸ng 5 n¨m 2007 Sinh viªn Vò ThÞ Nhinh Më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi. Trong c«ng cuéc c¸ch m¹ng khoa häc c«ng nghÖ hiªn nay, hîp kim ®ãng mét vai trß ®Æc biÖt quan träng, nã ®îc øng dông rÊt réng r·i trong c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau cña khoa häc kü thuËt. V× vËy viÖc nghiªn cøu vÒ hîp kim lµ mét trong nh÷ng lÜnh vùc cÊp thiÕt cña vËt lý ch©t r¾n,tõ ®ã ngêi ta cã thÓ chÕ t¹o ra ®îc nh÷ng hîp kim cã tÝnh chÊt mong muèn ®¸p øng ®îc nhu cÇu thùc tiÔn.ChÝnh nh÷ng øng dông u viÖt cña hîp kim ®· kÝch thÝch t«i muèn t×m hiÓu vÒ hîp kim mµ cô thÓ lµ t×m hiÓu vÒ ¶nh hëng cña c¸c thµnh phÇn hîp kim,cña ®é trËt tù vµ cña nhiÖt ®é lªn h»ng sè m¹ng cña hîp kim hai thµnh phÇn .V× vËy t«i ®· chän ®Ò tµi:’’X¸c ®Þnh h»ng sè m¹ng cña hîp kim hai thµnh phÇn b»ng ph¬ng ph¸p thèng kª momen”. 2. Môc ®Ých nghiªn cøu: N©ng cao tr×nh ®é kiÕn thøc vÒ m«n häc “vËt lý chÊt r¾n” nãi chung vµ vÊn ®Ò hîp kim nãi riªng. 3. NhiÖm vô nghiªn cøu: - Kh¸i qu¸t vÒ ph¬ng ph¸p thèng kª momen. - ¸p dông ph¬ng ph¸p thèng kª momen, dùa vµo ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña thÕ n¨ng t¬ng t¸c, vµo viÖc tÝnh h»ng sè m¹ng cña hîp kim hai thµnh phÇn cã cÊu tróc lËp ph¬ng t©m diÖn(LPTD),lËp ph¬ng t©m khèi(LPTK) sau ®ã ¸p dông tÝnh h»ng sè m¹ng cña mét sè hîp kim cô thÓ vµ so s¸nh kÕt qu¶ thu ®îc víi thùc nghiÖm. 4. ®èi tîng nghiªn cøu: Nghiªn cøu sù ¶nh hëng cña nång ®é nguyªn tö, th«ng sè trËt tù lªn h»ng sè m¹ng cña hîp kim ®«i cã cÊu tróc lËp ph¬ng t©m diÖn,lËp ph¬ng t©m khèi. 5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: Ph¬ng ph¸p thèng kª momen vµ dùa vµo ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña thÕ n¨ng t¬ng t¸c. 6. Gi¶ thiÕt khoa häc: NÕu sö dông thµnh c«ng ph¬ng ph¸p thèng kª momen vµ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña thÕ n¨ng t¬ng t¸c vµo viÖc tÝnh h»ng sè m¹ng khi cã ¶nh hëng cña nång ®é nguyªn tö, th«ng sè trËt tù lªn hîp kim hai thµnh phÇn cã cÊu tróc lËp ph¬ng t©m diÖn,l©p ph¬ng t©m khèi th× sÏ n©ng cao ®îc møc ®é hiÓu biÕt vÒ vËt lý chÊt r¾n nãi chung mµ tríc hÕt lµ hîp kim. 7. CÊu tróc luËn v¨n: Ngoµi phÇn më ®Çu, kÕt luËn, tµi liÖu tham kh¶o, luËn v¨n gåm cã hai ch¬ng: Ch¬ng 1: Ph¬ng ph¸p thèng kª momen. Ch¬ng 2: TÝnh h»ng sè m¹ng cña hîp kim ®«i cã cÊu tróc lËp ph¬ng t©m diÖn vµ lËp ph¬ng t©m khèi b»ng ph¬ng ph¸p thèng kª momen ë T=OK. 2 Néi dung CH¬NG 1: Ph¬ng ph¸p thèng kª momen. 1.1. Momen vµ hµm sè t¬ng quan: Gi¶ sö cã mét tËp hîp c¸c biÕn sè ngÉu nhiªn q 1, q2,…qn tu©n theo quy luËt thèng kª ®îc m« t¶ bëi hµm ph©n bè  ( q1, q2,…qn ). Hµm nµy tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chuÈn. Trong lý thuyÕt x¸c suÊt momen cÊp m ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: < q1m>=  …  q1m  ( q1, q2,…qn ) dq1, dq2,…dqn (1.1) ( q1, q2,…qn ) Momen nµy cßn ®îc gäi lµ momen gèc. Ngoµi ra cßn cã ®Þnh nghÜa momen trung t©m cÊp m. <(q1 - < q1>)m > =  …  ( q1 - < q1>)m  ( q1, q2,…qn ) dq1, dq2,…dqn (1.2) ( q1, q2,…qn ) Nh vËy ®¹i lîng trung b×nh thèng kª chÝnh lµ momen cÊp mét vµ ph¬ng sai <( q1 - < q1>)2> chÝnh lµ momen trung t©m cÊp hai. Tõ c¸c ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy r»ng, vÒ nguyªn t¾c nÕu biÕt hµm ph©n bè  ( q1, …qn ) hoµn toµn cã thÓ x¸c ®Þnh c¸c momen. Trong vËt lý thèng kª còng cã c¸c ®Þnh nghÜa t¬ng tù. Riªng ®èi víi hÖ lîng tö ®îc m« t¶ bëi to¸n tö thèng kª ̂ c¸c momen x¸c ®Þnh nh sau: < q̂ m> = Tr ( q̂ m ̂ ) (1.3) 3  qˆ   qˆ    <( q̂ - < q̂ >)m > = Tr  m  ˆ   To¸n tö ̂ tu©n theo ph¬ng tr×nh Liuvin lîng tö. ih  ˆ  ˆ   H, ˆ t    Trong ®ã […,…] lµ dÊu ngoÆc Poisson lîng tö. Nh vËy nÕu biÕt to¸n tö thèng kª ̂ th× cã thÓ t×m ®îc momen. Tuy nhiªn viÖc tÝnh c¸c momen kh«ng ®¬n gi¶n. Gi÷a c¸c momen cã mèi quan hÖ víi nhau. Momen cÊp cao cã thÓ biÓu diÔn qua momen cÊp thÊp h¬n. XÐt mét hÖ lîng tö chÞu t¸c ®éng cña c¸c lùc kh«ng ®æi ai theo híng täa ®é suy réng Qi. Nh vËy Hamiltonian cña hÖ cã d¹ng: ˆ ˆ  ˆ  a Q  0 i i i Víi ̂ 0 (1.4) lµ Hamiltonian cña hÖ khi kh«ng cã ngäai lùc t¸c dông. Díi t¸c dông cña ngo¹i lùc kh«ng ®æi, hÖ chuyÓn sang tr¹ng th¸i c©n b»ng nhiÖt ®éng míi , ®îc m« t¶ bëi ph©n bè chÝnh t¾c:  ˆ   ˆ  exp   ;  kB   (1.5). Trong ®ã:  lµ n¨ng lîng tù do cña hÖ kB lµ h»ng sè Boltzmann 1.1.1. HÖ thøc liªn hÖ gi÷a gi¸ trÞ trung b×nh cña täa ®é suy réng vµ n¨ng lîng tù do. Thùc hiÖn ®¹o hµm theo ngo¹i lùc ak ®èi víi ®iÒu kiÖn chuÈn cña to¸n tö thèng kª. Tr ̂ =1 (1.6) Sö dông c¸c c«ng thøc to¸n tö: 4 ˆ     n1   cˆ  bˆ... cˆ  bˆ, bˆ ...      bˆ  ˆ ˆ c   b     ˆ         n  1 !     n1     ˆ  ˆ     bˆ      n1 cˆbˆ cˆbˆ... cˆbˆ,bˆ ...     n1 n1 !                          (1.7)      Trong ®ã :   ˆ     exp  cˆ  bˆ  ; , ĉ lµ c¸c to¸n tö tuú ý;  vµ  lµ c¸c th«ng sè.     b̂ §¹o hµm theo ak biÓu thøc (1.6) ta ®îc:   ˆ r ˆ  0  r a a k k ˆ  ˆ 0   ak Q k ˆ k        r e  r e  ak  ak  ˆ      r  e .e    ak  ˆ   e   e .  ak     ˆ ˆ 0   ak Q   k   ˆ  k  1    r  .e  e  . .e    a  a k k    (1.8)       1 ˆ  cˆ,    a vµ $=Q . ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm §Æt  = ; -  0 b k  k k theo th«ng sè cña to¸n tö (1.7) cho sè h¹ng thø hai trong (1.8) ta ®îc: n1   1  ˆ         1 ˆ  ˆ  1     ˆ  ˆ ˆ 0  r  .e e Q    0   ak Qk  0  Qk  k   a  n  1 !   n1 k   k     5 ˆ       � ...  � ,Q �  ...  e   ˆ  a Q  a Q  k k  0 k k k    k k      ˆ   Q ˆ , ˆ  nªn: ˆ ,Q V×:  k  k   n1  1     1  �  1 ˆ �     ˆ 0  r     Qk    Q k   a  n  1 !    n1    k        ˆ ˆ ˆ ...ˆ  � Q k ... Q k ,       1   ihn 1 1 1  $ $ ˆ ˆ  n  r r  .Q      . .Q k k  a n1     n  1 !  k Trong ®ã: ˆ  n   1 Q ˆ Q ˆ ... Q ˆ , ˆ ...  ˆ Q      k k    ih n  k  k V×: 1 1 ˆ r  Q ˆ   Qˆ  k a  k ˆ (n) ˆ  n  r  Q ˆ   Q a k k   Vµ: r ˆ  1 nªn (1.9) viÕt l¹i díi d¹ng: (1.10) n  1   1  ˆ 1  ih  ˆ  n     Q   . Q 0 k   a   k a n1  n  1 !    a  k Trong ®ã (1.9) (1.11) ˆ ˆ  a Q    0 k k k  ... biÓu thÞ trung b×nh theo ˆ  exp   a       ˆ  n ˆ , ˆ   0 vµ do ®ã Q §èi víi hÖ c©n b»ng nhiÖt ®éng ta cã    k 0   ˆ  Nh vËy ta thu ®îc hÖ thøc: Q (1.12) k a a k C«ng thøc (1.12) cho phÐp ta tÝnh n¨ng lîng tù do cña hÖ lîng tö khi cã ngo¹i lùc t¸c dông. 6 1.1.2. Hµm t¬ng quan gi÷a ®¹i lîng bÊt k× vµ to¹ ®é suy réng Q §Ó tÝnh hµm t¬ng quan gi÷a mét ®¹i lîng tuú ý F vµ to¹ ®é suy réng Q, tríc hÕt ta lÊy ®¹o hµm biÓu thøc gi¸ trÞ trung b×nh cña F theo ngo¹i lùc ak    ˆ  F  r Fˆ ˆ . a a a k k  F    ˆ  ˆ ˆ  r     r  Fˆ  ak    ak     (1.13)  ˆ   a Qˆ     0 k k   ˆ  F  k   r  Fˆ exp   . a a     k a k       §¹o hµm to¸n tö ̂ theo ak b»ng: n  ˆ 1   ˆ 1  ˆ ˆ  1  ih  ˆ  n  ˆ     Q    Q  a  a   k n1  n  1 !    k  k k Nªn ta cã: r n  ˆ 1   1 1  ih  ˆ ˆ  1  ˆ  n  ˆ  r ˆ  r Q r Q   k k a  a   n1  n  1 !    k k     (1.14) ThÕ (1.14) vµo (1.13) ta ®îc:  n    Fˆ 1  ˆ ˆ k ˆ   1  ih r  FQk  n  ˆ   Fˆ  a    r  Fˆ   ˆ r  FQ   a a     ak    n1 n1 !   k k a ˆ Tõ (1.12) ta cã: Q k a    a nªn: k  Fˆ n 1 1 ˆˆ 1  1  ih  ˆ ˆ  n  a   Fˆ ˆ  Fˆ Q  FQ   FQ k (1.15)    ak a  a a k a  k a  n1  n  1 !    a k KÕt qu¶ nµy cho phÐp x¸c ®Þnh hµm t¬ng quan gi÷a ®¹i lîng F vµ to¹ ®é suy réng Q díi d¹ng: 7 ˆˆ FQ k a  Fˆ a ˆ Q k a     F  n ˆ  1  ihn ˆ ˆ  a   Fˆ    FQ  a  ak a  n  1  n  1 !    k   k   a (1.16) XÐt trêng hîp F̂ = Q̂1 thay vµo (1.16) ta ®îc:   ˆ ˆ Q n n  Q  1  ih  ˆ ˆ 1 a 1    ˆ Q ˆ ˆ1 ˆ Q  Q Q   Q Q 1 k a  a  n1  n  1 !    a a k a 1 k k k a   a     (1.17). Cho k = 1 tõ ph¬ng tr×nh (1.16) ta cã: n   Fˆ   ˆ 1 i h    F   a ˆˆ ˆ ˆ FQ     1 a  F a Q1   a1  a1  n1 n  1 !   a   a     n   ˆˆ FQ (1.18). k a ˆ thu ®îc: Trong (1.18) thay Fˆ = Q k ˆ Q ˆ ˆ ˆ 1  Q  Q Q 1 a k k a a       ˆk Q ˆ a  Q k  a1  a1       n  1  ih  ˆ ˆ  n     Q k Q1 a n1  n  1 !    Céng vÕ víi vÕ c¸c ph¬ng tr×nh (1.17) vµ (1.19) ta ®îc: ˆ Q ˆ ˆ Q ˆ ˆ Q  Q 2 Q 1 k a k 1 a k a ˆ   Q1  ak a ˆ  Qk  a1 MÆt kh¸c: ˆ Q      a  n1 ˆ ˆ Q 1 a  Qk a    ak  a1 n 1  ih   ˆ ˆ  n  ˆ Q ˆ (n)   Q  Q1Q k   k 1 a  n  1 !    a ˆ Q  ˆ 1  0 vµ Q   a k a a a k 1 a k a k   2  2  a a  a a 1 k  k 1 Nªn    ˆ Q1    a  (1.19).   ˆ ˆ ˆ 1Q ˆ ˆ Q ˆ 1   2 Q Q   Q Q k k 1 a k a   a a   8 n  1  ih   ˆ ˆ  n  ˆ Q ˆ  n     Q  Q1Q k   a k 1 a n1  n  1 !     Tõ ®ã ta cã: n 1   ˆ 1  ih   ˆ ˆ  n   2 n   ˆ ˆ ˆ   Q k Q1 Q     Q Q   Q1 2 n0  n1 !     1 k a k a  ak a1 a a  (1.20) (1.20) lµ kÕt qu¶ thu ®îc bëi Cramononvich b»ng ph¬ng ph¸p th«ng sè trËt tù cña Feymann. Trong c«ng thøc (1.18) to¸n tö tö: Fˆ&  d Fˆ : ˆ&ˆ FQ k dt a  Fˆ& a - ˆ Q k F̂ lµ tïy ý, do ®ã cã thÓ thay F̂ bëi to¸n  Fˆ& a   a   ak 1  ak   a Suy ra Fˆ& ˆ&ˆ FQ k a a (1.21)  0 trong ®ã:  ˆ ˆ ˆ ...  ˆ . n F... F,   123 ih n      a n  1  ih  ˆ&ˆ  n     FQ k a n 1  n 1 !     n §èi víi hÖ c©n b»ng nhiÖt ®éng Fˆ  n Fˆ    Fˆ& (1.22)  0 . VËy ta cã:   ˆ  F&  ak n  1  ih  ˆ&ˆ  n      FQ k n  1 !     a n 1 (1.23) a ¸p dông tÝnh chÊt kh«ng phô thuéc thêi gian cña trung b×nh ®¹o hµm theo thêi gian ta ®îc: d dt ˆ ˆ  n FQ k Nªn: n 1 ˆ&ˆ  n  ˆˆ   FQ  FQ  0. k k a a a ˆ&ˆ  n  FQ k ˆˆ    FQ k a 9 n 1 (1.24) a §Æt n = 0 vµo (1.24) ta ®îc: ˆˆ    FQ k a ˆ&ˆ FQ k 1 ˆ ˆ&   FQ k a a KÕt hîp (1.23)(1.24)(1.25) ta ®îc: ˆ&ˆ  FQ k ˆ ˆ&   FQ k a  Fˆ&    ak a a (1.25) n  1  ih  ˆ ˆ  n1     FQ k n  1 !     n1 a T¬ng tù ta cã: 2 ˆ&& ˆ ˆˆ     FQ  FQ k a k a a Thùc vËy, v×:  Fˆ 2 ˆ Q k d dt ˆˆ & FQ k a   Fˆ 2 (1.26) ˆˆ &&  FQ k a 0 a ˆ Q k 2 2 ˆˆ && ˆ ˆ     Fˆ   Q ˆ ¸p dông (1.24) suy ra: FQ   FQ k a k k a a ˆ&= ˆ  2  vµo (1.23) ta ®îc: Thay Fˆ&bëi F & F 2 ˆ  ˆ F Qk a  Fˆ    2  ak n  1  ih  ˆ  2  ˆ  n      F Qk n  1 !     n1 a KÕt hîp (1.24);(1.26) vµ (1.27) ta ®îc: ˆ  2 ˆ FQ k ˆ  2 a  F Qˆ k a    Fˆ  2  ak a (1.27) a n  1  ih  ˆ ˆ  n  2      FQ k n  1 !     n 1 a T¬ng tù trªn, trêng hîp tæng qu¸t ta cã hµm t¬ng quan gi÷a ®¹i lîng F vµ Q  n  : ˆ  n FQ k a    1 n 1   Fˆ  n  ak n,  n+n,   1  ih  ˆ ˆ   FQ k (1.28)   n 1  n 1 !    a a (1.16) viÕt l¹i ®îc: 10   Fˆ    1 n n ˆ  F  ih   a    ˆˆ ˆ ˆ FQ  F Q       k a a k   ak  ak   n 1  n 1 !     a     n n,      n  n,       1  ih      , n 1 n, 1 n  1 ! n  1 !         Fˆ    1  ih    , ,,    n 1 n 1 n 1 n  1 ! n,  1 ! n,,  1 !       n   ak n  n,   ak  nn,  n,,      n  n,  n,,  Fˆ  Fˆ a n  n,  n,,  ...  ak a (1.29) NÕu céng c¸c sè h¹ng cïng bËc cña (1.29) ta ®îc:   Fˆ  m ˆ  m   1 m ˆ    F F  ih    a ˆFQ ˆ ˆ ˆ       k a  F a Q k a     m   ak  ak   ak   m1 m!  a  = Fˆ a ˆ Q k m ˆ  m   1 m F  ih  a -  + m   a  ak   m 1 m!  ak a  Fˆ a (1.30) T¬ng tù ta cã: ˆ Fˆ Q k m ˆ  m  Fˆ  F a    1 m  m  i h  ˆF   (1.31)     a a a m!     ak  ak m 0 a Céng c¸c ph¬ng tr×nh (1.30) vµ (1.31) ta ®îc: ˆ  Q k 2m ˆ  2m   Fˆ  F a    2 m  ih  ˆ ˆ ˆ ˆ F, Q k   F Qk    a  a a  ak 2  ak m0  2 m  !    1 (1.32) a Víi B2m lµ hÖ sè Becnulli. HÖ thøc nµy cho phÐp x¸c ®Þnh sù t¬ng quan gi÷a ®¹i lîng F vµ täa ®é Qk. ˆ ta cã biÓu thøc chÝnh x¸c ®èi víi ph¬ng sai: Trêng hîp Fˆ = Q k 11  Qˆ  k  ˆ  Q 2 ˆ  Q k   a  a 2m   k a  ih  2 m     a 2m !    m  0 k   ˆ Q  2m  k a k a (1.33) ˆ kh«ng phô thuéc vµo a nªn ®èi víi hÖ cæ ®iÓn: V× Q k k  Qˆ k  Qˆ k a  ˆ  Q k a   ak 2 (1.34) ˆ& ta thu ®îc hÖ thøc cho phÐp x¸c ®Þnh th¨ng gi¸ng cña §Æc biÖt Fˆ = Q k xung lîng: 2m   ˆ  2 m 1 Q i h   2 ˆ 2 m k & Q      k a  ak m 0  2 m  !    (1.34a) a ˆ ®èi víi Ngoµi ra tõ (1.32) cã thÓ x¸c ®Þnh hµm t¬ng quan gi÷a F̂ vµ Q k ˆ . hÖ cã Hamiltonian  0 1 2 ˆ Q ˆ  F, k   Fˆ ˆ Q k   Fˆ a     a  k  2m  ˆ  m    F  ih  2 m  a 0    2 m  !    m 0  ak    a 0 (1.35) Trong ®ã ... biÒu thÞ trung b×nh theo tËp hîp c©n b»ng víi �0 . Hamiltonian H 1.2. C«ng thøc tæng qu¸t vÒ momen. 1.2.1. C«ng thøc tæng qu¸t vÒ momen. Ta sÏ sö dông (1.32) ®Ó viÕt c«ng thøc truy chøng ®èi víi momen t¬ng quan cÊp cao. §a vµo ®Þnh nghÜa to¸n tö t¬ng quan cÊp n: 12 1 ˆ  ...Q ˆ ˆ   ˆ ˆ  Q n n  3  n1 ... Q1, Q 2   1 4 4 2 4 4 3 2 n 1  (1.36) ˆ . To¸n tö t¬ng To¸n tö t¬ng quan cÊp 1 chÝnh lµ täa ®é suy réng Fˆ = Q 1 1 quan cÊp 2 cã d¹ng: Fˆ2  1 Qˆ 1 , Qˆ 2   2  ˆ Q ˆ ˆ ˆ Q  1 2  Q 2Q1  . 2 1 (1.37) T¬ng tù ta cã: 1 1 Fˆ3  Qˆ 1,Qˆ 2  Qˆ 3   Qˆ 1Qˆ 2  Qˆ 2Qˆ 1 , Qˆ 3   4  4 1  Qˆ 1Qˆ 2Qˆ 3  Qˆ 2Qˆ 1Qˆ 3  Qˆ 3Qˆ 1Qˆ 2  Qˆ 3Qˆ 2Qˆ 1  4 (1.38) Trong (1.32) thay Fˆ = ˆ n ta ®îc: 1 2 ˆ n , Qˆ k   a  ˆ n a ˆ Q k ˆ 2m     n a  ih  2 m       a  ak m 0  2 m  !    ˆ n 2 m   ak a ˆ Q ˆ ˆ ˆ n Q k k n a  V× 1 2 ˆ n , Qˆ k    1 (1.39) a 2 Thay k=n+1 vµo (1.39) ta ®îc c«ng thøc: ˆ n 1  ˆ n 1 vµ k=n+1 a 2m  ˆ n  ˆ n 2 m   a    2 m  ih  ˆ  ˆ n Q     n1 a a a  an 1  an 1 m 0  2 m  !    (1.40) (1.40) lµ c«ng thøc tæng qu¸t cña momen cho phÐp x¸c ®Þnh momen cÊp tïy ý. §ã lµ c«ng thøc x¸c ®Þnh momen cÊp cao qua momen cÊp thÊp h¬n. 1.2.2. C¸c vÝ dô vÒ momen t¬ng quan bËc cao. Thay n = 1 vµo (1.40) ta ®îc biÓu thøc momen t¬ng quan bËc 2: 13 2m  ˆ 1   ˆ 1 2 m    ih  a 2 m ˆ ˆ ˆ 2  1 Q2       a a a  a2  a2 m 0  2 m  !    1 Qˆ 1,Qˆ 2   Qˆ 1 Qˆ 2    a a 2  Hay: 1 2  a ˆ 2m  Q   ˆ  2m  1 a Q 2 m  ih  1   .    a2  a2 m 0  2 m  !    a  ˆ Q ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Q 1, 2 a  Q 2Q1 a  Q1 a Q 2 a   2m ˆ  2 m   Q 2 m  ih  1       a2 m  0  2m  !  ˆ  Q 1 a   a2  (1.41) a Thay n = 2 vµo (1.40) ta ®îc biÓu thøc t¬ng quan bËc 3: 1 4  2 Qˆ 1,Qˆ 2  Qˆ 3      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  Q 1 a Q 2 a Q 3 a  123 Q1 a a 2 ˆ 2m  Q1   ˆ  2m  ˆ  2m   Q Q a    2 m  ih  1 1 ˆ Q      3 a a   a2  a2 a3 2  a m 0  2 m  !    a a  3     2m 2n 2    1 m ,n 0   0 2m ! 2n    ˆ  Q 2 a   a3 2m  2n      ih   ˆ     Q1   a   3   a2      !   Qˆ  2 m    2  a3   a1   2 m          a (1.42) Trong ®ã: ˆ 123 lµ to¸n tö ho¸n vÞ vßng chØ sè. BiÓu thøc (1.42) cã thÓ viÕt l¹i: 14 ( 2 m  2 n  )     a 1 4 Qˆ 1, Qˆ 2  Qˆ 3  a ˆ ˆ ˆ  Q 1 a Q 2 a Q3 a 2 ˆ ˆ  Q  Q1 2 a 2 a  c¸c sè h¹ng cã h (1.43) ˆ ˆ  123 Q1  a a  a2 a3 3 T¬ng tù, thay n=3,... vµo (1.40) ta thu ®îc biÓu thøc momen t¬ng quan bËc 4,... Nh vËy ta hoµn toµn cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc momen cña mét hÖ nÕu biÕt ˆ  n ˆ  n Q    Q k k ˆ Qk , ; a  ai a ai   a tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ, cßn m  ˆ  ,... C¸c ®¹i lîng Q k   a a cã thÓ t×m ˆ  n Q k ®îc t×m tõ ph¬ng tr×nh ®éng  ai a lùc häc. §èi víi hÖ cæ ®iÓn hÖ thøc x¸c ®Þnh momen t¬ng quan cÊp cao cã d¹ng:  ˆ n a ˆ ˆ n 1  ˆ n Q  n  1 a a  an 1 (1.44) VËy tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng t×m ®îc ®¹i lîng vµ do ®ã cã thÓ t×m ®îc tÊt c¶ c¸c momen t¬ng quan. Cã thÓ viÕt (1.41) ë d¹ng:   n    1ˆ 2 ˆ ˆ ˆ (1.45) Q1 Q 2 ...Q n  L1 1 Lˆ 2 2 ...Lˆ n n .1 a  ˆ   Trong ®ã to¸n tö Lˆ i  Q tháa m·n c¸c hÖ thøc giao ho¸n: i a  ai Lˆ i , Lˆ k   0(i , k  1, 2...n.) Trêng hîp th«ng thêng biÓu thøc (1.45) cã d¹ng: 15 ˆn Q a  ˆ n1    L.  ˆ Q n1    a  a1   ˆ Q (1.46) a HÖ cæ ®iÓn, momen trung t©m bËc n ®îc ®Þnh nghÜa: ˆ  n...1  Qˆ 1   ˆ ˆ  ˆ  Q 1 a  ... Q n  Q n a  (1.47) a Th× ta nhËn ®îc c«ng thøc khÐp kÝn:   Qˆ 1  ˆ 1... n1 a ˆ ˆ n...1  ˆ  1... n 1   a 2... n 1   an n   ˆ Trong ®ã  lµ to¸n tö ho¸n vÞ vßng chØ sè. (1.48) 1... n1 BiÓu thøc cña momen trung t©m cã d¹ng: ˆ  Q 1 a ˆ 12    a2 ˆ  123   2 2 ˆ Q1 a.  a2 a3 (1.49) 3 ˆ ˆ ˆ  Q Q 1 a  Q3 a 1 a 2ˆ   123 .  a2  a4  a2 a3 a4 Tõ (1.49) dÔ nhËn thÊy ®èi víi hÖ cæ ®iÓn tuyÕn tÝnh, c¸c momen trung t©m bËc lÎ b»ng kh«ng, cßn c¸c momen bËc ch½n kh¸c kh«ng. ˆ 1234   3  n .ˆ 1...2 n   ˆ 23...2 n ˆ 45...2n ˆ 2 n 2,2 n 1...2n ˆ ˆ  Q 1 a  Q 2n-1 a ...  a2  a2 n (1.50) ˆ ˆ ˆ HoÆc: 1...2 n   12 ... 2 n 1,2 n , 16 (1.51) Trong ®ã ,  díi dÊu  nghÜa lµ tæng ®îc lÊy theo tÊt c¶ c¸c sù ph©n h¹ch cã thÓ cã cña c¸c chØ sè 1,2...,2n thµnh cÆp. 1.3. C«ng thøc tæng qu¸t tÝnh n¨ng lîng tù do. Trong vËt lý thèng kª n¨ng lîng tù do liªn hÖ víi tæng tr¹ng th¸i theo biÓu thøc:    l nZ Z      r  e     (1.52) Ta sÏ t×m c«ng thøc tæng qu¸t tÝnh n¨ng lîng tù do theo ph¬ng ph¸p momen vµ ¸p dông c«ng thøc nµy vµo viÖc gi¶i bµi to¸n dao tö ®iÒu hßa vµ phi ®iÒu hßa lîng tö. Gi¶ sö Hamiltonian cña hÖ lîng tö cã d¹ng: ˆ ˆ  ˆ  V  0 Víi  lµ th«ng sè vµ V̂ lµ to¸n tö tïy ý. T¬ng tù nh (1.12) ta thu ®îc biÓu thøc: ˆ V a   .   (1.53)  BiÓu thøc nµy t¬ng ®¬ng víi c«ng thøc:  $ d   0   v  0   (1.54) ˆ coi nh ®· Trong ®ã  0 lµ n¨ng lîng tù do cña hÖ víi Hamiltonian vµ  0 biÕt. NÕu sö dông c«ng thøc momen ta t×m ®îc V    Tõ (1.54) ta thu ®îc biÓu thøc ®èi víi n¨ng lîng tù do   . NÕu Hamiltonian ̂ cã d¹ng phøc t¹p th× ta t¸ch: ˆ ˆ  ˆ   V  0 i i i. 17 ˆ ˆ ˆ  V Sao cho  0 1 1 ?  2 V2 , ... ˆ cña hÖ ,khi ®ã Gi¶ sö biÕt n¨ng lîng tù do  0 øng víi Hamiltonian  0 ˆ ˆ  ˆ  V t×m n¨ng lîng tù do  1 øng víi  1 0 1 1 . Sau ®ã t×m n¨ng lîng tù do ˆ ˆ  ˆ  V øng víi  2 1 2 2 ,... Cuèi cïng ta thu ®îc biÓu thøc ®èi víi n¨ng lîng tù do  cña hÖ. Ch¬ng 2: TÝnh h»ng sè m¹ng cña hîp kim ®«i cã cÊu tróc LPTD vµ LPTK b»ng ph¬ng ph¸p thèng kª momen. 2.1 N¨ng lîng tù do cña hîp kim. XÐt m« h×nh hîp kim thay thÕ A-B cã cÊu tróc LPTD vµ LPTK, chøa N nguyªn tö. Khi hîp kim ë tr¹ng th¸i trËt tù hoµn toµn, c¸c nót m¹ng bÞ chiÕm bëi nguyªn tö A ®îc gäi lµ nót kiÓu a, c¸c nót bÞ chiÕm bëi nguyªn tö B ®îc gäi lµ nót kiÓu b. Ký hiÖu:   : Nång ®é t¬ng ®èi cña nót kiÓu  (  =a,b)  p : X¸c suÊt t×m thÊy nguyªn tö  ë nót kiÓu  (   ,  )   i : ThÕ t¬ng t¸c cña nguyªn tö i víi nguyªn tö gèc  ,   18  B»ng m« h×nh t¬ng t¸c cÆp vµ ph¬ng ph¸p qu¶ cÇu phèi vÞ thÕ n¨ng t¬ng t¸c cña hîp kim ®«i AB ®îc viÕt díi d¹ng (giíi h¹n xÐt trong hai qu¶ cÇu phèi vÞ): U N  2 i  a p Aa aAi  rAia    b pbA bAi  rAib    a p Ba  Bia  rBib    b pbB Bib  rBib     (2.1)    N         .p   i r i     .p U  ,  , 2 i Víi:        N   N   U    i r i  J1 a1  n1  J1  1 2 i 2  a   a1   J2  a2    n2  J2   1 2      ,  a   -   a  1 V×:  , a   a  2 Nªn:   J1 1    J  a  n  a   a  n     a1    1   1 1  1   1 1 1   1 2 2   N U  2   n J  1  a1  J11  J 2 2 a2  2  1 2 2  n22  U  N 2 (2.2)         n a2  2  a2  1 2   J J 2 a2  2  a2  J 2 2 1 2 2 1 n1  J1 n2  J 2  n  a  n  a  V  ( a )  V (a2 )   1   1 2   2 1 1 1 2 2    ( n1  J1 )1  ( n2  J 2 )2 Trong ®ã: n1 : Tæng sè nguyªn tö bao quanh qu¶ cÇu phèi vÞ 1. n2 : Tæng sè nguyªn tö bao quanh qu¶ cÇu phèi vÞ 2. J1 : Sè nguyªn tö A bao quanh qu¶ cÇu 1. 19 (2.3) J2 : Sè nguyªn tö A bao quanh qu¶ cÇu 2.  ( a ): N¨ng lîng trËt tù cña hîp kim trªn qu¶ cÇu phèi vÞ b¸n kÝnh a.   a  : Lµ thÕ t¬ng t¸c gi÷a nguyªn tö    c¸ch nhau mét kho¶ng a.  V ( a )   ( a )   ( a ) (2.4) 1 1  r i : vÐct¬ x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña nguyªn tö i víi nguyªn tö gèc ( ,  ) Ta l¹i cã:     N p  N C  Nªn: N N N N víi N  : sè nót kiÓu   N : Sè nguyªn tö  chiÕm bëi nót kiÓu  . N : Tæng sè nguyªn tö    N  N   . p  .  C N N Víi C lµ nång ®é t¬ng ®èi cña nguyªn tö  Nh vËy biÓu thøc thÕ n¨ng sÏ lµ: U  N 2    n1  J1    C n  a  n  a    . p V ( a1 )         1  1 2  2   ,    1 2   n  J2      2 V ( a2 )      . p  ( n  J )   ( n  J )  2 2  2  1 1 1 1  ,  2   (2.5) 20