Tài liệu Ltdh_chuyen de dai so to hop

Trường THPT Tân Quới [email protected] Chuyên đề ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1, n≥0. n! 2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: A   n  k ! , n≥k>0. n! k 3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: C n  , n≥k≥0. k! n  k ! k n 4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton  a  b n  Cn0 a n  Cn1 a n1b  Cn2 a n2b 2    Cnn2 a 2b n2  Cnn1ab n1  Cnn b n . k Công thức số hạng tổng quát: Tk 1  C n a n  k b k , B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 0≤k≤n.  1   2x  5    x  18 , (x>0). ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2008) 1 3 2 n 1 k Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 2 n  C 2 n    C 2 n  2048 . ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=6 3. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. ĐS: 3320 4. (ĐH_Khối D 2005) 4 3 An 1  3 An 2 2 2 2 , biết rằng C n 1  2C n  2  2C n 3  C n  4  149 (n là số  n  1! k là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử) Tính giá trị biểu thức M  k nguyên dương, An 3 4 ĐS: M  5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 3 1   x4    x  7 với x>0. ĐS: 35 6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. ĐS: n=5 7. (ĐH_Khối D 2002) 0 1 2 n n Tìm số nguyên dương n sao cho C n  2C n  4C n    2 C n  2048 . ĐS: n=5 8. (ĐH_Khối B 2008) Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1 Trường THPT Tân Quới Chứng minh rằng [email protected] n 1  1 1  k  k 1 C n  2  n 1 C n 1  1 k   k (n, k là các số nguyên dương, k≤n, C n là số tổ hợp  C n  chập k của n phần tử). 9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: k 3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 10. (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. ĐS: k=9 11. (ĐH_Khối B 2003) 0 Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C n  chập k của n phần tử). 2 2  1 1 23  1 2 2 n 1  1 n k Cn  Cn    C n , ( C n là số tổ hợp 2 3 n 1 ĐS: 3 n 1  2 n 1 n 1 12. (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An, tìm n. ĐS: n=8 13. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức a a a0  1    n  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an. 2 2n ĐS: a8=126720 14. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng phần tử). 1 1 1 3 1 5 1 2 n 1 2 2 n  1 1 k C 2n  C 2n  C2n    C 2n  C 2 n , ( C n là số tổ hợp chập k của n 2 4 6 2n 2n  1 15. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x 26  1  trong khai triển nhị thức Newton của   x7  4 x  n , biết rằng 1 2 n k C 2 n 1  C 2 n 1    C 2 n 1  2 20  1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 210 16. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho 1 2 3 4 2 n 1 k C 2 n 1  2.2C 2 n 1  3.2 2 C 2 n 1  4.2 3 C 2 n 1     2n  1.2 2 n C 2 n 1  2005 , ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 17. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP 2 Trường THPT Tân Quới [email protected] ĐS: 238 18. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x 8 1  trong khai triển nhị thức Newton của   x5  3 x  n , biết rằng n 1 n k C n  4  C n  3  7 n  3 , (n nguyên dương, x>0, ( C n là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495 19. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n n n 1 n 1 x   x2 1   x   x 1   x 1    x   x 1   x  0 1 n n 2  2 3   C n  2 2   C n  2 2   2 3     C n 1  2 2  2 3   C n  2 3                            3 1 (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C n  5C n và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. o0o Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP n ĐS: n=7, x=4 3