NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
PhÇn I:
®Æt vÊn ®Ò
Môc tiªu cña gi¸o dôc hiÖn nay lµ ®µo t¹o häc sinh thµnh nh÷ng con ngêi míi,
con ngêi ®éc lËp, tù chñ, s¸ng t¹o, con ngêi ph¸t triÓn toµn diÖn vÒ trÝ tuÖ, t©m hån,
nh©n c¸ch vµ n¨ng lùc.
§Ó ®µo t¹o ®îc nh÷ng con ngêi cã phÈm chÊt, n¨ng lùc , võa hång võa chuyªn,
®ßi hái ngµnh, c¸c nhµ trêng ph¶i cã mét chiÕn lîc hîp lÝ. Mçi gi¸o viªn, muèn n©ng
cao ch¸t lîng gi¶ng d¹y th× còng ph¶i t×m ra ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y phï hîp víi tõng
kiÓu bµi, tõng ®èi tîng häc sinh. Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y lµ yÕu tè quan träng quyÕt
®Þnh ®Õn kÕt qu¶ gi¸o dôc. Bëi vËy, ®æi míi ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y sÏ gióp cho häc
sinh tÝch cùc, chñ ®éng chiÕm lÜnh kiÕn thøc. Tuy vËy, viÖc ¸p dông ph¬ng ph¸p ®èi
víi tõng ®èi tîng häc sinh lµ rÊt khã kh¨n, ®ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i cã kiÕn thøc,
kinh nghiÖm, thêng xuyªn nghiªn cøu, ®Æc biÖt ph¶i cã nghÖ thuËt s ph¹m.
Nhng nh÷ng sù h×nh thµnh ®ã chØ cã thÓ cã ®îc th«ng qua con ®êng chuyÓn biÕn
vµ chuyÓn ho¸ tù th©n cña chñ thÓ häc sinh díi t¸c ®éng cña nhµ trêng, gia ®×nh vµ x·
héi. Ngêi häc sinh cµng tÝch cùc tham gia mét c¸ch tù gi¸c vµ cã ý thøc vµo qu¸ tr×nh
häc bao nhiªu th× kÕt qu¶ cña viÖc gi¸o dôc cµng v÷ng ch¾c, s©u s¾c bÊy nhiªu.
Song khi häc c¸c m«n khoa häc tù nhiªn nãi chung vµ häc m«n to¸n nãi riªng th×
häc sinh gÆp ph¶i mét vÊn ®Ò khã kh¨n nhÊt lµ gi¶i bµi tËp. Mµ bµi tËp to¸n cã ý
nghÜa vµ vai trß v« cïng quan träng, bëi lÏ nã gióp häc sinh cñng cè kiÕn thøc mét
c¸ch ch¾c ch¾n nhÊt.
Trong thùc tÕ gi¶ng d¹y t¹i Trung t©m GDTX thÞ x· t«i thÊy khi häc ®Õn ch¬ng
§¹o Hµm vµ TÝch Ph©n th× c¸c em häc sinh tá ra lóng tóng. Cã lÏ nguyªn nh©n lµ do
c¸c em cha n¾m ch¾c lý thuyÕt vµ c¸c em hÇu hÕt cha ®îc va ch¹m víi nhiÒu d¹ng bµi
tËp. §iÒu nµy ®· g©y nhiÒu khã kh¨n cho häc sinh, nhÊt lµ c¸c häc sinh khèi 12 cÇn
tËp trung kiÕn thøc cho kú thi tèt nghiÖp vµ thi ®¹i häc, cao ®¼ng.
ChÝnh v× vËy ®Ó n©ng cao hiÖu qu¶ gi¶ng d¹y, trong ®Ò tµi nµy t«i xin ®îc bµn
vÒ vÊn ®Ò:”Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i bµi to¸n tÝch ph©n"
PhÇn II :
Néi dung
I.
C¬ së khoa häc:
Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n lµ nh÷ng néi dung quan träng trong ch¬ng tr×nh To¸n
líp 12. Nh÷ng bµi to¸n phÇn tÝch ph©n võa míi võa khã vµ c¸c lo¹i to¸n l¹i ®a d¹ng
nªn ®· g©y kh«ng Ýt khã kh¨n cho häc sinh.
1
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
MÆt kh¸c néi dung s¸ch gi¸o khoa líp 12 chØ dõng l¹i ë nh÷ng néi dung c¬ b¶n
nhÊt vµ ba ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó tÝnh tÝch ph©n. PhÇn kü n¨ng míi dõng l¹i ë møc
minh ho¹, tõ c¸c kiÕn thøc vµ kü n¨ng ®ã tíi c¸c kiÕn thøc vµ kü n¨ng ®Ó gi¶i c¸c bµi
to¸n thi vµo c¸c trêng mµ c¸c em cã nhu cÇu häc lªn cßn mét kho¶ng c¸ch kh¸ xa.
ChÝnh v× vËy khi gi¶ng ch¬ng nµy chóng ta cÇn :
-X¸c ®Þnh nh÷ng kiÕn thøc kü n¨ng c¬ b¶n cÇn kh¾c s©u trong khi
gi¶ng d¹y lý thuyÕt:
1/ §Þnh lý Lagrang:
Lµ mét ®Þnh lý quan träng nhÊt trong phÐp tÝnh vi ph©n. Tuy ta c«ng nhËn
kh«ng chøng minh song ph¶i lµm cho häc sinh n¾m v÷ng c¸c ®iÒu kiÖn cña
®Þnh lý tõ ®ã ¸p dông c¸c bµi to¸n vÒ:
a) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc
b) Chøng minh sù tån t¹i nghiÖm trong kho¶ng (a;b)
c) Chøng minh hµm sè y=f(x) lµ kh«ng ®æi trªn mét kho¶ng (a;b)
2/ B¶ng c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n:
Ngoµi 9 c«ng thøc cña s¸ch gi¸o khoa. Chóng ta thªm bæ xung thªm c¸c c«ng thøc
tèi thiÓu lµ:
dx
c)
d)
x
x a
2
2
2
ln x
x2 a2
c
(a 0)
dx
1
xa
ln
c
2a
xa
a2
(a 0)
3/ TÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh theo ®Þnh nghÜa
a) Häc sinh cÇn n¾m v÷ng 5 bíc ®Ó tÝnh giíi h¹n mét tæng LimS n tõ ®ã tÝnh ®îc
n
tÝch ph©n .
b) Ngîc l¹i ph¶i híng dÉn häc sinh lµm nh÷ng bµi to¸n t×m giíi h¹n mét tæng ta
®a vÒ bµi to¸n tÝch ph©n ®¬n gi¶n I=
1
f ( x ) dx
rÌn cho häc sinh biÕt ®a tæng Sn
0
vÒ
n
i
1
f ( n ) n , tõ ®ã t×m ra hµm f(x) t¬ng øng.
i 1
4/ C¸c ®Þnh lý vÒ tÝch ph©n:
Ngoµi c¸c ®Þnh lý cã s½n ë s¸ch gi¸o khoa ta cÇn bæ sung thªm mét sè ®Þnh lý thêng ®îc ¸p dông trong bµi tËp:
b
a)
a
b
f ( x ) dx = f (u ) du
a
2
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
b) NÕu y= f(x) lµ liªn tôc trªn [-a; a] th×:
0
NÕu f(x) lµ hµm sè lÎ trªn ®o¹n [-a;a]
a
a
a
f ( x )dx 2 f ( x ) dx NÕu f(x) lµ hµm sè ch½n trªn ®o¹n [-a;a]
0
c) NÕu f(x) lµ hµm tuÇn hoµn víi chu kú T th×:
b T
b
f ( x ) dx =
f ( x ) dx
a T
a
b
d) x [a;b]:
f ( x ) dx
a
b
f ( x)
dx
a
e) x [a;b] vµ m f(x) Mth×:
b
m(b-a)
f ( x ) dx M(a-b)
a
5/Dïng vi ph©n ®Ó t×m nguyªn hµm
Gióp cho häc sinh tr×nh bµy mét bµi to¸n tÝch ph©n ng¾n gän
a) dy= y’ dx
b) f [u ( x ) ].u ' ( x ) dx f (u ) du
c) NÕu u = ax+b (a 0) th×
II. Néi dung
f ( ax b) dx
1
a
f (u ) du
A- Mét sè kiÕn thøc vµ kü n¨ng c¬ b¶n bæ xung vµ rÌn luyÖn trong qu¸
tr×nh gi¶i tõng lo¹i bµi tËp:
Ta ph©n lo¹i c¸c bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa( hoÆc s¸ch tham kh¶o ). TiÕn hµnh
rÌn luyÖn kü n¨ng theo tõng lo¹i. Tríc khi lµm ta nªu c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vµ kü
n¨ng riªng biÖt cÇn n¾m v÷ng cho tõng lo¹i.
1/ TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tû;
a) C¸c nguyªn hµm cÇn nhí:
dx
ax b
x
2
1
ln ax b c
a
(a 0)
dx
1
xa
ln
c
2a
xa
a2
dx
ax b
n
(a 0)
1
c
a (n 1)(ax b) n 1
1
ta chuyÓn thµnh X-m
Xm
+ ) ax2+ bx+ c= a[(x+m)2+ n] (a 0)
b) Ph¬ng ph¸p tÝnh:
Chó ý: + Khi gÆp d¹ng
3
(a 0) (n 1)
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
I
P( x)
Q( x) dx
* Trêng hîp 1:
NÕu bËc cña P(x) lín h¬n bËc cña Q(x) th× ta thùc hiÖn phÐp chia P(x) cho Q(x) ta ®îc:
P( x)
R ( x)
A( x )
Q( x)
Q( x)
ViÖc tÝnh
A( x ) dx
víi bËc cña R(x) nhá h¬n bËc cña Q(x).
trë nªn ®¬n gi¶n, ta chØ biÕn ®æi I
hµm c¬ b¶n.
D¹ng 1: Víi Q(x) =ax2+bx=c(a 0) bËc cña R(x) 1
VËy
R( x)
Q( x) dx ra d¹ng nguyªn
R( x)
Mx N
Q( x)
ax 2 bx c
Kh¶ n¨ng 1:Q(x) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1;x2
R( x)
Mx N
A
B
Q( x)
a ( x x1 )( x x 2 )
x x1
x x2
Kh¶ n¨ng 2: Q(x) cã nghiÖm kÐp x0 Q(x) = a(x-x0)2
R ( x)
Mx N
A
B
Tõ ®ã :
2
Q( x) a( x x0 )
x x0
( x x2 ) 2
Kh¶ n¨ng 3: Q(x) v« nghiÖm ta ph©n tÝch:
P( x)
A.Q ' ( x )
B
Q( x)
Q( x)
Q( x)
3
2
D¹ng II:Víi Q(x) = ax +bx +cx+d (a 0)
bËc cña R(x) 2
Kh¶ n¨ng 1: Q(x) cã 1 nghiÖm x0 q(x) = (x-x0)(ax2+ x + )
Tõ ®ã
R( x)
Mx 2 Nx S
A
mx n
2
2
Q ( x)
x x0
( x x 0 )(ax x )
( ax x )
(m,n, , lµ h»ng sè)
Kh¶ n¨ng 2: Q(x) cã d¹ng Q(x) = (x-a)3
Ta ph©n tÝch R(x) = A(x-a)2+B(x-a) +C tõ ®ã
R( x)
A
B
C
2
Q( x)
xa
( x a)
( x a) 3
D¹ng III:
Víi Q(x) cã bËc lín h¬n 3 th× th«ng thêng ta xÐt c¸c Q(x) ®¬n gi¶n.
* Trêng hîp 2:
BËc cña P(x) nhá h¬n bËc cña Q(x) th× ta coi nh R(x) vµ tiÕn hµnh c¸c bíc nh trong c¸c d¹ng
I,II,III ë trêng hîp 1.
*PhÇn bµi tËp: 1,2 (128)
Bµi lµm thªm :
Bµi 1: T×m nguyªn hµm cña c¸c hµm sè:
4
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
a)
1
x ( x 1) 2
e)
2x 1
x 2x 2
2
;
;
1
x4
; c) 4
ex 1
x 1
6
5
2
h) x x 6 x 2
x 1
b)
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n
4
1
xdx
xdx
a)
; b)
; c)
2
2
x 4
0
2 x 2 x 2
1
e)
xdx
( x 1) 3
0
1
0
2
;
f)
1
1
;
d)
x2
;
( x 1)( x 1) 2
2
dx
;
2
x 2x 2
2
d)
0
x 3 dx
x 2 2x 1
2
( x 1) dx
x4 1
2
;
g)
x x 2 dx
1
dx
( x a )( x b)
2/ TÝch ph©n c¸c hµm v« tû:
A . NhÊn m¹nh cho häc sinh c«ng thøc nguyªn hµm:
dx
x a
2
2
ln x
c (a 0)
x2 a2
x a dx
B . Nh÷ng d¹ng ®æi biÕn th êng gÆp:
2
Tõ ®ã ¸p dông tÝnh
a)
R[ x;
a 2 x 2 ]dx
2
§Æt x=acost( hoÆc asint)
(V× : a2 –x2=a2- a2cos2t= a2sin2t khö ®îc c¨n thøc)
b) R[ x; a 2 x 2 ]dx §Æt x = atgt
1
2
(V× : a2 +x2= a2+ a2tg2t= a2 cos t khö ®îc c¨n thøc)
c)
R[ x;
x 2 a 2 ]dx
§Æt x
a
cos t
2
2
(V× : x2 –a2= a 2 a 2 a 2 sin 2 t a 2 tg 2 t khö ®îc c¨n thøc)
cos t
cos t
d)
dx
( x a)
ax
2
bx c
§Æt x
1
t
e) Chó ý ph¬ng ph¸p nh©n c¶ tö vµ mÉu víi biÓu thøc liªn hîp.
* Bµi tËp ¸p dông: 3,4(141,142)
* Bµi tËp bæ xung :
Bµi 1: T×m nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau:
a) x 2 x 1 ;
b) a x a x 2
;
1
c)
x 2 2x 5
5
;
d)
3x 2 2
x2 2
; l)
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
1
e)
( x 1)
x
;
3x 2
2
1
f)
1 2x x 2
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n:
1
1
a) x 1 x 2 dx
;
b)
0
1
2
2
x 1 x dx
;
c)
0
1 x 2 dx
0
1
ln( x
d)
1 x 2 ) 99 dx
1
e) Cho f(x) x¸c ®Þnh liªn tôc trªn [-1;1] vµ f(x) + f(-x) = 1 x 2
1
TÝnh
f ( x ) dx
1
1
f)
0
1
y 2 dy
g)
y 4
6
x
0
1
ydx
h)
x 1
2
x
xdx
x2 1
0
3/ TÝch ph©n c¸c hµm lîng gi¸c :
* Híng dÉn häc sinh mét sè thuËt gi¶i c¸c bµi tËp lîng gi¸c :
a) §èi víi d¹ng
R (sin x, cos x)dx
NÕu
(R lµ hµm sè h÷u tû)
R ( sin x, cos x) R (sin x, cos x)
§Æt
cosx = t
( Hµm lÎ dèi víi sinx)
NÕu : R( sinx,- cosx) = - R(sinx,cosx) §Æt sinx = t
(Hµm lÎ ®èi víi cosx)
NÕu : R( -sinx,- cosx) = R(sinx, cosx) §Æt tgx = t
(Hµm ch½n ®èi víi sinx vµ cosx)
NÕu : R(sinx, cosx ) – Hµm bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx
Th× ®Æt tg
b) §èi víi d¹ng :
sin
p
x
t ( phÐp thÕ v¹n n¨ng)
2
p= 2n+1 §Æt cosx= t ( n N*)
q= 2n+1 ®Æt sinx = t
q
x. cos x.dx
p= 2n; q= 2m Dïng c«ng thøc h¹ bËc
(m,n N*)
p+q = - 2n §Æt tgx = t
c) H¹ bËc :
b
a
b
cos 2 xdx ;
a
b
sin 2 xdx ;
b
; sin 3 xdx
cos 3 xdx
a
a
d)BiÕn tÝch thµnh tæng ®èi víi c¸c d¹ng:
6
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
b
sin Ax cos Bxdx
a
b
a
;
b
a
sin Ax sin Bxdx ; cos Ax cos Bxdx
e)§æi biÕn : x = sint ; x= cost ;
tg
x
t ; t = tgx ; x= - t
2
f) §èi víi d¹ng :
2dt
1 t 2
2t
sin x
1 t2
dx
dx
a cos x b sin x c
ta ®Æt tg
x
t
2
cos x
g) NÕu gÆp
1 t2
1 t2
a sin x b cos x
c sin x d cos x dx th× ta ph©n tÝch tö sè :
asinx +bcosx= A( csinx + dcosx)+ B( ccosx- dsinx)
h)
m sin x n cos x p
dx
a sin x b cos x c
§Æt msinx+ncosx+p = A( asinx + bcosx+c) + B(acosx – bsinx)+C
Chó ý: d(tgx)=(1+tg2x)dx;
d(cotgx)=-(1+cotg2x)dx
Bµi tËp:1,3,5,6(141,142)
*Bµi tËp bæ xung:
Bµi 1: T×m nguyªn hµm cu¶ c¸c hµm sè sau:
a) cos2x ; b) tg2x
e)sin3xcos2x
;
;
f)
c) sin2xcosx
sin x
cos x sin x
;
;
d)
g)
tgx
cos 3 x
1
sin x 1
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n:
4
a) cot gxdx
;
6
d)
f)
4
dx
a 2 cos 2 x b 2 sin 2 x
0
2
b)
2
sin x
1 3 cos x dx
0
;
e)
0
sin x
cos x 2 sin x dx
0
7
2
1
2 sin x dx
0
100
(a2+ b2 0) ;
c)
1 cos 2 x dx
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
Bµi 3: TÝnh tÝch ph©n:
a)
4
tg
7
; b)
xdx
0
d)
3
0
cos x.
3
sin x sin x
dx
cos 2 x
3
; c)
sin x 2 cos x 3
sin x 2 cos x 3 dx
0
cos x
dx
cos 3 x cos 5 x
; e)
dx
2
4
sin x sin x
; g)
sin
2
x cos 4 xdx
0
4
4/ TÝnh diÖn tÝch vµ thÓ tÝch b»ng tÝch ph©n:
Chó ý ®Õn c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch :
b
V
b
S ( x ) dx hoÆc V
S
a
b)
2
2
sin 3 x
0
a)
6
( y)
dy
a
BiÕt t¸ch ph¬ng tr×nh cña mét ®êng khÐp kÝn thµnh hai hµm t¬ng øng víi hai nöa h×nh
®ã ®Ó ¸p dông c«ng thøc:
b
S
b
2
2
; V y1 ( x ) y 2 ( x ) dx
f 1 ( x ) f 2 ( x ) dx
a
a
b
2
2
hoÆc V x1 ( y ) x 2 ( y ) dy
a
* Bµi tËp s¸ch gi¸o khoa: Bµi tËp trang 154,155
* Bµi tËp bæ xung:
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi :y=x2 vµ y2=x
TÝnh diÖn tÝch h×nh e-lip :
x2 y2
1
a2 b2
x2
y2
TÝnh thÓ tÝch g©y nªn bëi e-lip : 2 2 1 khi quay quanh Ox.
a
b
TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay g©y nªn bëi h×nh ch¾n bëi c¸c ®êng :
Y= 2x-x2 ; y=0 khi quay quanh Ox.
5/BÊt ®¼ng thøc tÝch ph©n:
b
a) VËn dông ®Þnh lý Lagrang: Chó ý: C
a
b
b) NÕu f(x) g(x) x [a;b] th×
a
b
NÕu x0 [a;b] mµ f(x0)0
4
x3
dx (Gi¶i b»ng 3 ph¬ng ph¸p)
x2 1
*Trùc tiÕp:
3
x3
J 2
dx
0 x 1
3
3
( x 3 x) x
x 2 1 dx
0
1
xdx 2
0
3
d ( x 2 1) 3
x 2 1 2 ln 2
0
*§æi biÕn: §Æt x=tgt dx=(1+tg2t)dt
3
J
3
tg tdt
0
*T.P tõng phÇn:
dv
3
2
tgt (tg t 1 1)dt
0
3
3
tgtd (tgt )
0
xdx
1
v ln( x 2 1)
2
J 3 ln 2
2
x 1
0
d (cos t )
3
ln 2
cos t
2
3
x ln( x
2
1) dx
0
u=x2 du= 2xdx
1
3 ln 2
2
3
4
1
3
ln( x 1)d ( x 1) 3 ln 2 2 ln tdt .... 2 ln 2
0
1
2
2
Bµi 3: TÝnh K
x
2
2
dx
x2 1
3
*§Æt t x 2 1 tdt xdx K
t
1
dt
arctgt
1
2
1
2
1
dt
dt
arcsin t
*§Æt t 2 dx K
2
x
t
2 1 t
2
13
3
1
1
2
2
2
12
2
lµ liªn tôc,
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
3
1
sin tdt
sin tdt 3
*§Æt x
dx
K
dt
2
cos t
12
cos t
sin t
4
4
(v× t [ ; ] sin t 0)
4 3
3
dx
1 sin x
0
Bµi 4: TÝnh N
*C1:Dïng phÐp thÕ (v¹n n¨ng): tg
N
3
3
0
2dt
x
t dx
2
1 t2
3
2dt
3
2
dt
1
1 t
2
2
2
2t
t 1
0 (t 1)
1
2
1 t
3
dx
*C2:
1 sin x
0
3
dx
x
x
(cos sin ) 2
2
2
*C3: Nh©n c¶ tö vµ mÉu víi 1+sinx
ta ®îc N
0
3
(1 sin x )dx
cos 2 x
0
Bµi 5: TÝnh K=
3
3
0
... 3 1
x
)
x
2 4
tg ( )
x
2 4
0 cos 2 (
)
2 4
3
3
d(
3
dx
d (cos x)
1
cos 2 x cos 2 x (tgx cos x )
0
0
dx
e 1
x
dt
vµ
t 1
dt
1
1
t 1
ex
K
(
) dt ln
C ln x
C
t (t 1)
t 1 t
t
e 1
dt
*§æi biÕn 2: §Æt ex = t dx
t
dt
1
1
t
ex
K
(
) dt ln
C ln x
C
t (t 1)
t
t 1
t 1
e 1
*§æi biÕn 1: §Æt ex+1 =t dx
*Liªn hîp:
x
XÐt K’= ex dx ln(e x 1) C1
e 1
x
Vµ K+K’= (e x 1) dx x C 2
e 1
VËy K=x – K’+C= x-ln(ex+1)+C = ln( e x
ex
)C
1
14
3
0
3
0
3 1
3 1
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
* Mét sè bµi to¸n t¬ng tù:
2
4
dx
a) N
; b) N cos 2 x. cos 2 xdx
sin x
0
4
d)
; c)
sin x
sin x cos x dx
sin x
2 sin x cos x dx
Lêi gi¶i v¾n t¾t c¸c bµi tËp:
Bµi tËp trang 4 vµ 5 : TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tØ
Bµi 1:a/ =
A
B
C
A=1; B=-1 ; C=-1;
x
x 1
( x 1) 2
b)Dïng tÝch ph©n cÆp ®«i (§· gi¶i ë phÇn tríc)
x4
x4 1 1
1
1
1
b)
1 ( 2
2
)
4
4
x 1
x 1
2 x 1 x 1
c)
A
B
C
A= 1/4 ; B=3/4 ;C= -1/2
x 1
x 1 ( x 1) 2
A( 2 x 2)
B
2
A 1; B 1 ; f)Dïng vi ph©n
2
x 2x 2 x 2x 2
g) Nh c©u c)
6
5
2
2
x4
x5
1
x2
h) x 1 x 6 x 1 x 1 6
2
6
x 1
x 1 x 1 x 1
d) =
Bµi 2:
a)Dïng vi ph©n b) =
A(2 x 2)
B
1
2
A ; B 1
2
2
x 2x 2 x 2x 2
c)
1
1
x3
3
1
x2
; d)
x 2 2x 2
( x 1) 2 3
x 1 ( x 1) 2
( x 1) 2
e)
x
1
1
3
2
( x 1)
( x 1)
( x 1) 3
ta ®îc:
1
1
1 2
1 2
x
x
1
1 2
2
x 2 (x ) 2
x
x
PhÇn g,h lµm t¬ng tù
k)
x
0
1
x-x2 - 0 + 0 0
2
k/= ( x x ) dx
1
f) V× x [1;2] chia c¶ tö vµ mÉu cho x2
1
d (x )
1
x2 1
x
dx
arctg
1 2
1 2
2
2x
1 (x
1 (x
) 2
) 2
x
x
2
1
1
1
x2
2
( x x )dx
2
2
2
x
2
0
* TÝch ph©n c¸c hµm v« tØ :
(x
x
2
x) dx
1
Bµi 1:
a) §Æt
2x 1 t
; b)
a a
x
x
2 a a
15
; c)
1
( x 1) 2 2 2
2
1
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
d)
3x 2 2
x 2
2
x 1
e)§Æt
g)
3
2
d (x2
3( x 2 2) 8
x 2
2
1
1
t
1 1 1
( 1)
t t t
x 2)
3x 2 2
dx 3
x 2
t2
1 t ; f)
2
dx
x 2 2dx 8
x2 2
1
1 ( x 1) 2
x2 x 2
Bµi 2:
a) Dïng vi ph©n; b) §Æt x= sint
1
c) 1 x x 2 1 ln x
x 2 1 ; d/ dïng vi ph©n
0
2
e) Dïng tÝnh chÊt hµm lÎ kq=0
f)
1
0
f ( x ) dx
1
1
1
1
f ( x ) dx
f ( x)
f ( x) dx
tg
xdx
(tg
1 x 2 dx
0
Bµi tËp trang 7
Bµi 1:a/ h¹ bËc;
2
1
1
f ( x)d ( x)
1
0
0
2
0
f ( x ) dx
1
f ( x ) dx
0
4
tg 2x=(tg2x+1)-1
b /
x 1) dx dx tgx x C
c,d/ Dïng vi ph©n, e/ BiÕn tÝch thµnh tæng
g/ Dïng tÝch ph©n cÆp ®«i hoÆc ®Æt tg
Bµi 2: 1,2/ Dïng vi ph©n
3/ §Æt tg
x
t
2
; h,k /®æi biÕn
x
t
2
dt
1
4/ tgx t dx 1 t 2 4 / b 2
1
0
dt
a
( )2 t 2
b
1
b
arctg
ab
a
8/ sinx=A(cosx+2sinx)+B(-sinx+2cosx) A= 2/5;B= -1/5
Bµi 3:
a) tg7x= tg7x+ tg5x- tg5x- tg3x +tg3x + tgx – tgx
4
4
4
4
4
0
0
7
tg xdx
0
7
5
5
3
(tg x tg x)dx (tg x tg x)dx
0
0
4
4
4
0
0
0
3
(tg x tgx )dx tgxdx
4
tg 5 xdtgx tg 3 xdtgx tgxdtgx tgxdx
0
3
2
t2 2
2t 2 1dt
1
c) sinx+2cosx-3=A(sinx-2cosx+3)+B(cosx+2sinx)+C A=-3/4;B=1/2;C=-3/4
d) ®Æt cosx =t sinxdx=-dt ; e) h¹ bËc; f) §Æt sinx = t
b)§Æt cosx =t sinxdx=-dt b/=
16
0
f (
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
Bµi tËp trang 9:
2/ Qn
VËy
1 1 5
2 5
n 5
( ) ( ) ........... ( )
n n
n
n
n
Lim Qn Lim
n
n
i 1
1
1
i
x6
f ( ) x 5 dx
n n
6
0
PhÇn III :
1
0
n
1
n
i 1
i
f ( ) víi f(x) = x5.
n
1
6
kÕt luËn chung vµ ®Ò xuÊt
Qua gi¶ng d¹y, b¶n th©n t«i rót ra kinh nghiÖm bíc ®Çu lµ gi¸o viªn ph¶i gi¶i thËt
kü mäi bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa, trong s¸ch bµi tËp, trong c¸c s¸ch tham kh¶o,
sau ®ã s¾p xÕp, ph©n lo¹i vµ t×m ra kiÕn thøc vµ kü n¨ng c¬ b¶n.
Trªn c¬ së ®ã ®èi chiÕu víi s¸ch gi¸o khoa thÊy râ nh÷ng kiÕn thøc kü n¨ng nµo
cÇn ®i s©u, nh÷ng kiÕn thøc kü n¨ng nµo cÇn bæ sung, nh÷ng kiÕn thøc kü n¨ng nµo
mµ häc sinh hay m¾c sai lÇm.
1/ Khi gi¶ng d¹y mét ®Þnh lý hay mét c«ng thøc th× yªu cÇu häc sinh ph¶i
n¾m ch¾c gi¶ thiÕt, kÕt luËn, c¸c ®iÒu kiÖn tån t¹i cña ®Þnh lý.
2/ Khi thùc hiÖn giê bµi tËp cÇn ph©n lo¹i d¹ng bµi ®Ó häc sinh dÔ nhËn
d¹ng, dÔ hiÓu vµ cã híng gi¶i quyÕt, biÕt vËn dông vµo tõng lo¹i bµi tËp cô thÓ.
3/. Ph¶i chän läc ra c¸c lo¹i bµi tËp ®iÓn h×nh, ®Þnh híng suy nghÜ vµ híng
dÉn häc sinh t×m lêi gi¶i vµ gi¶i b»ng nhiÒu c¸ch. Yªu cÇu cña mét bµi tËp lµ:
Cñng cè kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n
Ph¸t huy tÝnh t duy s¸ng t¹o
Cã t¸c dông phôc vô cho c¸c bµi häc sau
4/. §Ó cã thÓ n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc trong nhµ trêng t«i thiÕt nghÜ
kh«ng g× kh¸c lµ chÝnh b¶n th©n ngêi gi¸o viªn vµ c¸c em häc sinh ph¶i nç lùc b¶n
th©n, song ®Ó cã thÓ ®¹t ®îc kÕt qu¶ gi¸o dôc tèt nhÊt th× sù quan t©m cña c¸c cÊp
l·nh ®¹o trong ngµnh gi¸o dôc lµ rÊt cÇn thiÕt, t«i xin cã ®Ò xuÊt nh sau:
- Cã thÓ ®a c¸c ®Ò tµi SKKN cã chÊt lîng lªn trang web cña ngµnh ®Ó c¸c
gi¸o viªn ®îc häc tËp kinh nghiÖm cña c¸c ®ång nghiÖp kh¸c.
- T¹o ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c gi¸o viªn trÎ ®îc ®i häc tËp kinh nghiÖm cña c¸c ®ång
chÝ cã th©m niªn c«ng t¸c.
17
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
- Do thêi gian c«ng t¸c cha nhiÒu nªn ®Ò tµi ch¾c ch¾n cßn nhiÒu thiÕu sãt.
KÝnh mong c¸c ®ång nghiÖp ®ãng gãp ý kiÕn ®Ó kinh nghiÖm ®¹t hiÖu qu¶
h¬n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n.
Môc lôc
1. PhÇn I: §Æt vÊn ®Ò
2. PhÇn II: Néi dung
3. I. C¬ së lý luËn
4. II. Néi dung
5. A. Mét sè kiÕn thøc kü n¨ng bæ xung…
6. B.. Nh÷ng sai lÇm phæ biÕn khi gi¶i to¸n
7. C. Mét sè bµi to¸n tÝch ph©n gi¶i b»ng nhiÒu ph¬ng ph¸p
8. III. HiÖu qu¶ s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
9. PhÇn III. KÕt luËn chung vµ ®Ò xuÊt
Trang
1
3
3
3
5
11
S¸ch tham kh¶o
1. B¸o to¸n häc tuæi trÎ
2. Ph¬ng ph¸p gi¶ng m«n to¸n
3. Ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n (NguyÔn H÷u Ngäc)
4. Sai lÇm phæ biÕn khi gi¶i to¸n ( NguyÔn VÜnh CËn)
5. §Ò thi tuyÓn sinh Bé Gi¸o dôc ®µo t¹o
18
21
20
NguyÔn ThÞ H¶i HiÒn-Kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n tÝch ph©n
6. Gi¶i tÝch líp 12
19
- Xem thêm -
.DOC 
19 
60 
65 
