MÖC LÖC
Trang
MÖC LÖC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
MÐ U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ch÷ìng 1. Khæng gian m¶tric nân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Nân trong khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Khæng gian m¶tric nân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Ch÷ìng 2. Sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian m¶tric
nân vîi thù tü bë phªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian m¶tric nân vîi thù tü bë
phªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng chung trong khæng gian m¶tric nân vîi thù
tü bë phªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
KT LUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
TI LIU THAM KHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
MÐ U
Khæng gian m¶tric l mët trong nhúng kh¡i ni»m quan trång cõa to¡n
håc, nâ câ nhi·u ùng döng trong gi£i t½ch v nhi·u ng nh khoa håc kh¡c.
N«m 2007, Huang Long - Giang v Zhang Xian ¢ mð rëng kh¡i ni»m
khæng gian m¶tric b¬ng c¡ch thay tªp hñp sè thüc bði mët nân ành
h÷îng trong khæng gian Banach, v ¢ thu ÷ñc kh¡i ni»m mîi têng
qu¡t hìn - Kh¡i ni»m khæng gian m¶tric nân. Vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nh
ch§t tæpæ, ành lþ iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ tr¶n lîp khæng gian
n y ang nhªn ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i
n֔c.
º tªp d÷ñt nghi¶n cùu khoa håc, º câ nhúng hiºu bi¸t v· khæng gian
m¶tric nân, chóng tæi t¼m hiºu, nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa khæng gian
m¶tric nân v c¡c ành lþ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng, iºm b§t ëng
chung cõa c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric nân m tr¶n â ta trang
bà th¶m mët thù tü bë phªn.
Vîi möc ½ch â, luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng
Ch÷ìng 1. Khæng gian m¶tric nân
Trong ch÷ìng n y ¦u ti¶n chóng tæi nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m cì b£n
cõa tæpæ ¤i c÷ìng, gi£i t½ch h m câ li¶n quan ¸n nëi dung cõa luªn
v«n. Tr¼nh b y kh¡i ni»m nân trong khæng gian Banach, v½ dö v c¡c t½nh
ch§t cì b£n cõa nân trong khæng gian Banach. Sau â chóng tæi tr¼nh
b y kh¡i ni»m khæng gian m¶tric nân, v½ dö v c¡c t½nh ch§t cõa khæng
gian m¶tric nân.
Ch÷ìng 2. Sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gan m¶tric
nân vîi thù tü bë phªn
2
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i
iºm b§t ëng, iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian
m¶tric nân m tr¶n nâ câ mët thù tü bë phªn.
Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n
tªn t¼nh v nghi¶m khc cõa PGS.TS. inh Huy Ho ng. T¡c gi£ xin b y
tä láng bi¸t ìn s¥u sc cõa m¼nh ¸n Th¦y.
T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Chõ nhi»m Khoa Sau ¤i håc,
Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc Vinh.
T¡c gi£ xin ÷ñc c£m ìn quþ Th¦y gi¡o, Cæ gi¡o Tê Gi£i t½ch trong
Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y v gióp ï
t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp.
Cuèi còng xin c£m ìn gia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b±, °c bi»t l c¡c
b¤n trong lîp Cao håc 18 - Chuy¶n ng nh: Gi£i t½ch ¢ cëng t¡c, gióp ï
v ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu.
M°c dò ¢ câ nhi·u cè gng nh÷ng do cán h¤n ch¸ v· m°t ki¸n thùc
v thíi gian n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. K½nh mong
quþ Th¦y Cæ v b¤n b± âng gâp þ ki¸n º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n
hìn.
Vinh, th¡ng 9 n«m 2012
T¡c gi£
3
CH×ÌNG 1
KHÆNG GIAN MTRIC NÂN
1.1 MËT SÈ KIN THÙC CHUN BÀ
Möc n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ cì b£n c¦n dòng trong
luªn v«n.
X.
1.1.1 ành ngh¾a. Cho tªp hñp X v 6 l mët quan h» hai ngæi tr¶n
Quan h» 6 ÷ñc gåi l quan h» thù tü bë phªn tr¶n X n¸u thäa m¢n
c¡c i·u ki»n sau:
(i) x 6 x vîi måi x ∈ X ;
(ii) Tø x 6 y v y 6 x suy ra x = y vîi måi x, y ∈ X ;
(iii) x 6 y; y 6 z suy ra x 6 z vîi måi x, y, z ∈ X .
Tªp hñp X còng vîi mët thù tü bë phªn tr¶n nâ ÷ñc gåi l tªp sp
thù tü bë phªn v kþ hi»u (X, 6).
1.1.2 ành ngh¾a. Cho tªp hñp X v h m d : X × X −→ R. H m d
÷ñc gåi l mët m¶tric tr¶n X n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
(i) d(x, y) > 0 v d(x, y) = 0 khi v ch¿ khi x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x);
(iii) d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z) vîi måi x, y, z ∈ X .
Tªp hñp X còng vîi mët m¶tric d tr¶n nâ ÷ñc gåi l khæng gian m¶tric
v kþ hi»u (X, d) hay ìn gi£n hìn l X .
1.1.3 ành ngh¾a. Cho (X, d) l mët khæng gian m¶tric. Vîi måi
v ε > 0 ta gåi B(a, ε) = {x ∈ X : d(x, a) < ε} l ε - l¥n cªn cõa
iºm a. Tªp con M cõa X ÷ñc gåi l mð n¸u måi a ∈ M , tçn t¤i ε > 0
a∈X
4
sao cho B(a, ε) ⊂ M .
Vîi måi a ∈ X , ε > 0, tªp B(a, ε) l tªp mð.
1.1.4 ành ngh¾a.Cho tªp hñp X . Hå τ c¡c tªp con cõa X ÷ñc gåi
l tæpæ tr¶n X n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n
(T1) ∅, X ∈ τ ;
S
(T2) N¸u Gi ∈ τ, i ∈ I th¼ Gi ∈ τ ;
i∈I
(T3) N¸u G1, G2 ∈ τ th¼ G1 ∩ G2 ∈ τ .
Tªp hñp X còng vîi tæpæ τ tr¶n nâ ÷ñc gåi l khæng gian tæpæ v kþ
hi»u l (X, τ ) hay ìn gi£n hìn l X .
N¸u X l mët khæng gian tæpæ th¼ c¡c tªp U ∈ τ l c¡c tªp mð, c¡c
ph¦n tû cõa X ÷ñc gåi l iºm cõa khæng gian tæpæ.
Tªp con A ⊂ X ÷ñc gåi l âng n¸u X \ A l mð.
1.1.5 ành ngh¾a. Cho khæng gian tæpæ X,
A ⊂ X.
Tªp U
⊂ X
÷ñc gåi l l¥n cªn cõa A n¸u câ tªp mð V trong X sao cho A ⊂ V ⊂ U .
Cho M ∈ X , iºm a ÷ñc gåi l iºm trong cõa M n¸u tçn t¤i l¥n
cªn U cõa a sao cho U ∈ M . Tªp c¡c iºm trong cõa M ÷ñc gåi l ph¦n
trong cõa M , k½ hi»u l intM .
1.1.6 ành ngh¾a. Khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l T1-khæng gian n¸u
hai iºm b§t ký x, y ∈ X, x 6= y tçn t¤i c¡c l¥n cªn t÷ìng ùng Ux, Uy cõa
x v y sao cho y ∈
/ Ux v x ∈
/ Uy .
Khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l T2-khæng gian hay khæng gian Hausdorff
n¸u hai iºm b§t ký x, y ∈ X, x 6= y tçn t¤i c¡c l¥n cªn t÷ìng ùng Ux, Uy
cõa x v y sao cho Ux ∩ Uy = ∅.
1.1.7 ành ngh¾a. D¢y {xn} trong khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l
5
hëi tö
tîi x ∈ X n¸u vîi méi l¥n cªn U cõa x tçn t¤i n0 ∈ N sao cho
xn ∈ U
vîi måi n > n0.
Khi â ta vi¸t xn → x.
1.1.8 ành ngh¾a. Gi£ sû X, Y l hai khæng gian tæpæ v f : X −→ Y .
nh x¤ f ÷ñc gåi l li¶n töc t¤i iºm x ∈ X n¸u vîi méi l¥n cªn V cõa
f (x) tçn t¤i l¥n cªn U cõa x sao cho f (U ) ⊂ V .
nh x¤ f ÷ñc gåi l li¶n töc tr¶n X (nâi gån l li¶n töc ) n¸u nâ li¶n
töc t¤i måi iºm cõa X .
1.1.9 ành lþ. Cho (X, d) v (Y, ρ) l c¡c khæng gian m¶tric v ¡nh
x¤ f : X −→ Y . Khi â c¡c i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng
(1) f li¶n töc t¤i x ∈ X ;
(2) Måi ε > 0, tçn t¤i δ > 0 sao cho y ∈ X, d(x, y) < δ th¼
ρ(f (x), f (y)) < ε;
(3) Måi d¢y {xn} ⊂ X sao cho xn → x th¼ f (xn) →
f (x).
1.1.10 ành ngh¾a. Cho X l khæng gian m¶tric. Mët d¢y {xn} trong
gåi l d¢y Cauchy n¸u vîi måi ε > 0, tçn t¤i n0 ∈ N: vîi måi n v
m > n0 th¼ d(xn , xm ) < ε.
Måi d¢y hëi tö l d¢y Cauchy.
Khæng gian m¶tric X gåi l ¦y õ n¸u måi d¢y Cauchy trong X ·u
hëi tö.
Tªp con A ⊂ X gåi l tªp ¦y õ n¸u nâ ¦y õ vîi m¶tric c£m sinh.
Måi tªp con ¦y õ trong khæng gian m¶tric l tªp âng, måi tªp con
âng cõa mët khæng gian m¶tric ¦y õ l tªp ¦y õ.
X
6
1.1.11 ành ngh¾a. Gi£ sû f : X−→X v g : X−→ X .
iºm x ∈ X ÷ñc gåi l iºm b§t ëng cõa f n¸u f (x) = x.
iºm x ∈ X ÷ñc gåi l iºm b§t ëng chung cõa f v g n¸u x =
f (x) = g(x)
1.2 NÂN TRONG KHÆNG GIAN BANACH
1.2.1 ành ngh¾a. Cho E l khæng gian Banach tr¶n tr÷íng K(K =
R, C).
Mët tªp con P cõa E ÷ñc gåi l mët nân trong E n¸u:
(i) P l âng, P 6= ∅, P 6= {0};
(ii) Vîi a, b ∈ R, a, b > 0 v x, y ∈ P th¼ ax + by ∈ P ;
(iii) P ∩ (−P ) = {0} hay n¸u x ∈ P v −x ∈ P th¼ x = 0.
1.2.2 V½ dö. 1, Khæng gian R vîi chu©n thæng th÷íng, khi â P =
l mët nân trong R. 2, X²t khæng gian E = C[a,b] vîi
chu©n kf k = M axx∈[a,b]|f (x)| khi â,
P = {f ∈ C[a,b] : f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b]} l mët nân trong C[a,b] v¼ thäa
m¢n 3 i·u ki»n
(i) P l tªp âng, P 6= ∅, P 6= {0};
(ii) Vîi a, b ∈ R; a, b > 0 v f, g ∈ P ta câ:
{x ∈ R : x > 0}
af (x) > 0∀x ∈ [a, b], bg(x) > 0∀x ∈ [a, b]
Suy ra af (x) + bg(x) > 0∀x ∈ [a, b] hay (af + bg)(x) > 0∀x ∈ [a, b]
Suy ra (af + bg) ∈ P ;
(iii) Gi£ sû f, −f ∈ P suy ra f > 0, −f > 0 n¶n f = 0.
Cho P l mët nân trong khæng gian Banach E , ta ành ngh¾a quan h»
thù tü ” 6 ” x¡c ành bði P nh÷ sau: x 6 y n¸u v ch¿ n¸u y − x ∈ P .
Ta vi¸t x < y n¸u x 6 y v x 6= y. Cán x y n¸u y − x ∈ intP .
7
1.2.3 ành ngh¾a. 1, Mët nân trong khæng gian Banach E ÷ñc gåi
l chu©n tc n¸u tçn t¤i k > 0 sao cho
Vîi måi x, y ∈ P, 0 6 x 6 y th¼ kxk 6 kkyk
ho°c n¸u xn 6 yn 6 zn v
lim xn = lim zn = x
n→∞
n→∞
th¼
(2.1)
lim yn = x
n→∞
(2.2)
Sè d÷ìng k nhä nh§t thäa m¢n (2.1) ÷ñc gåi l h¬ng sè chu©n tc
cõa P .
2, P ÷ñc gåi l ch½nh quy n¸u måi d¢y t«ng v bà ch°n tr¶n trong E
·u hëi tö (mët c¡ch t÷ìng ÷ìng l måi d¢y gi£m v bà ch°n d÷îi trong
E ·u hëi tö).
ành lþ sau ¥y n¶u l¶n mèi quan h» giúa nân chu©n tc v nân ch½nh
quy.
1.2.4 ành lþ. Måi nân ch½nh quy l nân chu©n tc.
Gi£ sû P l nân ch½nh quy nh÷ng khæng chu©n tc. Khi
â, vîi méi n > 1 ta chån ÷ñc tn, sn ∈ P sao cho tn − sn ∈ P v
tn
sn
n2 ktn k < ksn k. Vîi méi n > 1, °t yn =
v
xn =
. Ta câ
ktn k
ktn k
xn , yn , yn − xn ∈ P, kyn k = 1 v n2 6 kxn k.
∞ ky k
∞ 1
∞ y
P
P
P
n
n
V¼ chuéi
=y=
hëi
tö
n¶n
chuéi
hëi tö trong
2
2
n
n
n2
Chùng minh.
n=1
n=1
n=1
∞ y
P
n
= y.
2
n=1 n
E.
Tø P âng suy ra tçn t¤i y ∈ P sao cho
xn 6 yn v c¡ch x¡c ành cõa chuéi n¶n ta suy ra
B¥y gií tø
x2
x2 x3
6
x
+
+
6 ··· 6 y
1
22
22 32
∞
P
kxn k
V¼ P ch½nh quy n¶n chuéi xnn2 hëi tö. Suy ra n→∞
lim
= 0.
2
n
n=1
i·u n y m¥u thu¨n vîi n2 6 kxnk. Vªy P l nân chu©n tc.
0 6 x1 6 x1 +
8
1.2.5 Chó þ. M»nh · ng÷ñc l¤i cõa ành lþ tr¶n nâi chung l khæng
óng ngh¾a l câ nhúng nân chu©n tc nh÷ng khæng ch½nh quy.
1.2.6 V½ dö. X²t E = C[0;1] vîi chu©n "Max" v nân P = {f ∈ E :
f > 0}.
Khi â P l nân chu©n tc.
Thªt vªy, gi£ sû f, g ∈ E v 0 6 f 6 g. Khi â, 0 6 f (x) 6 g(x), ∀x ∈
[0; 1]. Suy ra
kf k = M axx∈[0;1] f (x) 6 M axx∈[0;1] g(x) = M axx∈[0;1] |g(x)| = kgk
Suy ra P l nân chu©n tc.
X²t d¢y{fn} ∈ E x¡c ành nh÷ sau fn(x) = xn vîi måi x ∈ [0; 1]. Khi
â
0 6 · · · 6 xn · · · 6 x2 6 x, ∀x ∈ [0; 1]
. Suy ra {fn} l d¢y gi£m v bà ch°n d÷îi. Tuy nhi¶n d¢y n y khæng hëi
tö trong P Suy ra nân P khæng ch½nh quy.
1.2.7 M»nh ·. N¸u k l h¬ng sè chu©n tc cõa nân P th¼ k > 1.
Gi£ sû k < 1 l h¬ng sè chu©n tc cõa nân P . Ta chån
x ∈ P sao cho x 6= 0 v 0 < ε < 1 − k . Khi â (1 − ε)x 6 x. M°t kh¡c tø
Chùng minh.
ε < 1 − k ⇒ k < 1 − ε ⇒ kkxk < (1 − ε)kxk
hay (1 − ε)kxk > kkxk. M¥u thu¨n vîi gi£ sû k l h¬ng sè chu©n tc. Vªy
k > 1.
1.3 KHÆNG GIAN MTRIC NÂN
Trong c£ möc n y , ta luæn x²t P l mët nân trong khæng gian Banach
E sao cho intP 6= 0 v quan h» "6" tr¶n E x¡c ành bði P.
9
1.3.1 ành ngh¾a. Cho X l tªp kh¡c réng, P l nân trong khæng
gian Banach E . Gi£ sû câ ¡nh x¤ d : X × X −→ X thäa m¢n
(d1), 0 6 d(x; y), ∀x; y ∈ X v d(x; y) = 0 ⇔ x = y;
(d2), d(x; y) = d(y; x), ∀x; y ∈ X;
(d3), d(x; y) 6 d(x; z) + d(z; y), ∀x; y; z ∈ X.
Khi â d ÷ñc gåi l mët m¶tric nân tr¶n X v (X; d) ÷ñc gåi l mët
khæng gian m¶tric nân.
Tø ành ngh¾a tr¶n ta nhªn th§y kh¡i ni»m cõa khæng gian m¶tric nân
têng qu¡t hìn kh¡i ni»m cõa khæng gian m¶tric, bði v¼ méi mët khæng
gian m¶tric l mët khæng gian m¶tric nân trong tr÷íng hñp E = R
1.3.2 V½ dö. 1, Cho E = R2 v P
X=R
= {(x; y) ∈ R2 : x; y > 0}.
v ¡nh x¤ d : X × X −→ E x¡c ành bði
X²t
d(x; y) = (α|x − y|; β|x − y|); ∀x, y ∈ X.
Trong â α, β l c¡c h¬ng sè cho tr÷îc.
Khi â, ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc d thäa m¢n c¡c i·u ki»n d1, d2, d3
n¶n d l mët m¶tric nân hay (X, d) l mët khæng gian m¶tric nân.
2, Cho E = l1 v P = {x = (xn) ∈ l1 : xn > 0, ∀n}. N¸u (X; ρ) l mët
khæng gian m¶tric th¼ d : X × X −→ l1 x¡c ành bði
d(x; y) = {
ρ(x; y)
}, ∀x, y ∈ X.
2n
X¡c ành mët m¶tric nân tr¶n l1. Vªy (X; d) l mët khæng gian m¶tric
nân.
1.3.3 ành ngh¾a. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân, A ⊂ X. Vîi
méi xo ∈ A, c ∈ intP, k½ hi»u
B(xo , c) = {x ∈ X : d(x; xo ) c}
10
l
h¼nh c¦u t¥m xo , b¡n k½nh c.
°t J = {U ⊂ X : ∀x ∈ U, ∃c ∈ intP sao choB(x, c) ⊂ U }.
1.3.4 Bê ·. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân, vîi d l§y gi¡ trà
trong nân P trong khæng gian Banach E , a, b, c ∈ X v α l sè thüc
d÷ìng. Khi â
(i), N¸u a b v b c th¼ a c;
(ii), N¸u a 6 b v b c th¼ a c;
(iii), αintP ⊂ intP ;
(iv), Vîi méi δ > 0 v x ∈ intP tçn t¤i 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ;
(v), Vîi méi 0 c1 v c2 ∈ P tçn t¤i 0 d; sao cho c1 d v c2 d;
(vi), Vîi méi 0 c1 v 0 c2 tçn t¤i 0 e sao cho e c1 v e c2;
(vii), N¸u a b, c d th¼ a + c b + d.
Chùng minh.
i, V¼ ph²p cëng li¶n töc n¶n intP + intP ⊂ intP . Ta câ:
a b =⇒ b − a ∈ intP
b c =⇒ c − b ∈ intP
Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + intP ⊂ intP hay a c.
iii, V¼ ph²p nh¥n væ h÷îng li¶n töc n¶n αintP ⊂ intP.
S
ii, º þ r¬ng intP + P = (x + intP ) l tªp mð v P l nân n¶n suy
x∈P
ra x + intP ⊂ P . Do â P + intP ⊂ intP.
Ta câ
a 6 b =⇒
b−a∈P
b c =⇒ c − b ∈ intP
Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP n¶n c − a ∈ intP hay
a c.
11
δ
iv, Vîi méi δ > 0 v x ∈ intP chån sè tü nhi¶n n > 1 sao cho nkxk
< 1.
δ
Khi â, vîi γ = nkxk
thäa m¢n: 0 < γ < 1 v
kγxk 6 kγkkxk 6
δ
δ
kxk 6 < δ.
nkxk
n
v, Chån δ > 0 sao cho c1 +B(0, δ) ⊂ intP , trong â B(0, δ) = {x ∈ E :
kxk < δ}. Do t½nh hót cõa B(0, δ) tçn t¤i m > 1 sao cho c2 ∈ mB(0, δ)
suy ra −c2 ∈ mB(0, δ) v mc1 − c2 ∈ intP. °t d = mc1 − c2. Khi â, d
thäa m¢n (v,).
vi, Chån δ0 > 0 sao cho c1 + B(0, δ0) ⊂ intP, c2 + B(0, δ0) ⊂ intP, trong
â B(0, δ0) = {x ∈ E : kxk < δ0}. Do t½nh hót cõa B(0, δ0) tçn t¤i m > 0
sao cho c1 ∈ mB(0, δ0), c2 ∈ mB(0, δ0) suy ra −c1 ∈ mB(0, δ0), −c2 ∈
mB(0, δ 0 ) v mc1 −c1 ∈ intP, mc2 −c2 ∈ intP. °t e = mc1 −c1 +mc2 −c2 .
Khi â e thäa m¢n (vi,).
1.3.5 M»nh ·. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân,τ
x¡c ành ð
1.3.3, khi â
1, τ l mët tæpæ tr¶n X;
2, B(x, c) ∈ τ vîi måi x ∈ X, c ∈ intP.
Chùng minh. τ = {U ∈ X : ∀x ∈ U, ∃ ∈ intP : B(x, c) ⊂ U }.
1, Ta câ: ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
S
Gi£ sû Ui ∈ τ, ∀i ∈ I ta s³ chùng minh Ui ∈ τ . Thªt vªy, vîi måi
i∈I
S
x ∈
Ui th¼ tçn t¤i i = i0 ∈ I sao cho: x ∈ Ui ⊂ τ suy ra tçn t¤i
i∈I
S
S
c ∈ intP : B(x, c) ⊂ Ui n¶n B(x, c) ⊂
Ui . Hay
Ui ∈ τ.
0
0
i∈I
12
i∈I
ra
Vîi U, V
∈ τ.
Ta s³ chùng minh U ∩ V
∈ τ.
Thªt vªy, ∀x ∈ U ∩ V suy
x ∈ U =⇒ ∃c1 ∈ intP : B(x, c1 ) ⊂ U
x ∈ V =⇒ ∃c2 ∈ intP : B(x, c2 ) ⊂ V
Theo (vi,) ð bê · 1.3.4: c1 ∈ intP, c2 ∈ intP suy ra tçn t¤i c ∈ intP
sao cho c c1 v c c2. Do â ta ÷ñc B(x, c) ⊂ U ∩ V . Hay U ∩ V ∈ τ .
Vªy ta câ τ thäa m¢n 3 i·u ki»n trong ành ngh¾a tæpæ n¶n τ l mët
tæpæ tr¶n X hay (X, τ ) l mët khæng gian tæpæ.
2, Gi£ sû y ∈ B(x, c) =⇒ d(y, x) c =⇒ c − d(y, x) ∈ intP .
°t c0 = c − d(y, x). Ta s³ chùng minh B(y, c0) ⊂ B(x, c). Thªt vªy
∀z ∈ B(y, c0 ) =⇒ d(z, y) c0 =⇒ d(z, y) c − d(y, x) =⇒ d(z, y) +
d(y, x) c =⇒ d(z, x) c =⇒ z ∈ B(x, c).
Vªy B(y, c0) ⊂ B(x, c) hay B(x, c) ∈ τ .
Tø ¥y v· sau, n¸u khæng gi£i th½ch g¼ th¶m th¼ tæpæ tr¶n khæng gian
m¶tric nân ÷ñc hiºu l tæpæ τ . C¡c h¼nh c¦u B(x, c) ÷ñc gåi l h¼nh
c¦u mð trong khæng gian m¶tric nân (X, d)
1.3.6 ành lþ. Cho (X, d) l mët khæng gian m¶tric nân. N¸u d¢y
{xn } ∈ X hëi tö tîi x v y th¼ x = y .
¦u ti¶n ta chùng minh kh¯ng ành sau: N¸u p ∈ P v
p c, ∀c ∈ P th¼ p = 0.
c0
Thªt vªy, cè inh c0 ∈ P , theo gi£ thi¸t p c∀c ∈ P Suy ra p m
c0
c0
vîi måi m > 0 n¶n m
− p ∈ intP . Do â
− p ∈ P vîi måi m > 0. M°t
m
c0
kh¡c m
− p −→ −p v P âng n¶n −p ∈ P . Tø ành ngh¾a nân ta suy
ra p = 0.
Chùng minh.
13
B¥y gií , vîi måi 0 c ∈ E do
c
c
xn → x, n → ∞ ⇒ ∃N1 : d(xn , x) , ∀n > N1 ⇒ − d(xn , x) ∈ intP
2
2
c
c
xn → y, n → ∞ ⇒ ∃N2 : d(xn , y) , ∀n > N2 ⇒ − d(xn , y) ∈ intP
2
2
°t N = M ax(N1, N2). Ta câ
c
− d(xn , x) ∈ intP
2
c
− d(xn , y) ∈ intP
2
∀n > N
∀n > N
Suy ra c − (d(xn, x) + d(xn, y)) ∈ intP n¶n c − d(x, y) ∈ intP hay
d(x, y) c vîi måi c ∈ P . Theo chùng minh tr¶n ta suy ra d(x, y) = 0.
Vªy x = y.
Ta ¢ bi¸t èi vîi khæng gian m¶tric (X, ρ) th¼ d¢y {xn} ⊂ X hëi tö
tîi x ∈ X khi v ch¿ khi ρ(xn, x) → 0. M»nh · sau ¥y tr¼nh b y mët
t½nh ch§t t÷ìng tü cho khæng gian m¶tric nân.
1.3.7 M»nh ·.
Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân, P l nân
chu©n tc v d¢y {xn } ⊂ X . Khi â, {xn } ⊂ X hëi tö tîi x ∈ X khi v
ch¿ khi d(xn , x) → 0 trong E .
Gi£ sû {xn} ⊂ X v xn → x ∈ X . Gåi k l h¬ng sè chu©n
tc cõa P . Vîi måi ε > 0, chån c ∈ E sao cho 0 c v kkck < ε. Do
xn → x ∈ X n¶n tçn t¤i N sao cho d(xn , x) c, ∀n > N . V¼ P l nân
chu©n tc vîi h¬ng sè k n¶n
Chùng minh.
kd(xn , x)k 6 kkck < ε, ∀n > N.
Vªy d(xn, x) → 0 trong E .
14
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû d(xn, x) → 0 trong E , ta c¦n chùng minh xn → x
trong E . Thªt vªy, ta câ intP l tªp mð n¶n vîi måi 0 c ∈ E , tçn t¤i
δ > 0 sao cho n¸u kxk < δ th¼ c − x ∈ intP . E l khæng gian Banach ,
vîi δ x¡c ành ð tr¶n tçn t¤i N sao cho kd(xn, x)k < δ, ∀n > N suy ra
c − d(xn , x) ∈ intP hay d(xn , x) c, ∀n > N tùc l xn → x trong E .
1.3.8 M»nh ·. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân, P l nân chu©n
tc v c¡c d¢y {xn }, {yn } ⊂ X . N¸u xn → x v yn → y th¼ d(xn , yn ) →
n → ∞.
d(x, y),
Vîi méi ε > 0 chån c ∈ E sao cho 0 c v kck < 4k ε+ 2 ,
Vîi k l h¬ng sè chu©n tc cõa P .
Tø xn → x v yn → y, tçn t¤i N sao cho d(xn, x) c v d(yn, y) c
vîi måi n > N .
Ta câ
Chùng minh.
d(xn , yn ) 6 d(xn , x) + d(x, y) + d(yn , y) 6 d(x, y) + 2c, ∀n > N
v
d(x, y) 6 d(xn , x) + d(xn , yn ) + d(y, yn ) 6 d(xn , yn ) + 2c.
Suy ra 0 6 d(x, y) + 2c − d(xn, yn) 6 4c. Do P l nân chu©n tc n¶n suy
ra
kd(x, y) + 2c − d(xn , yn )k 6 kk4ck = 4kkck
Ta câ
kd(xn , yn ) − d(x, y)k = kd(x, y) + 2c − d(xn , yn ) − 2ck
6 kd(x, y) + 2c − d(xn , yn )k + k2ck
6 4kkck + 2kck = (4k + 2)kck < ε ∀n > N
15
Suy ra d(xn, yn) → d(x, y).
1.3.9 ành ngh¾a. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân. D¢y {xn} ⊂
÷ñc gåi l d¢y Cau chy n¸u vîi måi 0 c ∈ E , tçn t¤i N sao cho
d(xm , xn ) c, ∀m, n > N .
X
1.3.10 M»nh ·. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân, P
l nân
chu©n tc v d¢y {xn } ⊂ X . Khi â:
1, {xn } ⊂ X l d¢y Cauchy khi v ch¿ khi d(xn , xm ) → 0 trong E khi
m, n → ∞;
2, {xn } l d¢y hëi tö trong (X, d) th¼ nâ l d¢y Cauchy.
1, Gi£ sû {xn} l d¢y Cauchy. Gåi k l h¬ng sè chu©n tc
cõa P , vîi måi ε > 0, chån c ∈ E sao cho 0 c v kkck < ε. Tø
{xn } l d¢y Cauchy, tçn t¤i N sao cho d(xm , xn ) c, ∀n, m > N suy ra
kd(xm , xn )k 6 kkck < ε, ∀m, n > N suy ra d(xm , xn ) → 0 trong E
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû d(xm, xn) → 0 trong E ta câ vîi måi 0 c ∈ E theo
m»nh · 1.3.7 ta ÷ñc d(xm, xn) c, ∀m, n > N .
Vªy {xn} l d¢y Cauchy.
2, Gi£ sû {xn} thäa m¢n xn → x ∈ X suy ra vîi måi 0 c ∈ E tçn
t¤i N sao cho d(xn, x) 2c , ∀n > N
Tø â vîi måi m, n > N ta câ:
Chùng minh.
d(xm , xn ) 6 d(xn , x) + d(x, xm )
c c
+ =c
2 2
Suy ra {xn} l d¢y Cauchy.
1.3.11 ành ngh¾a.Khæng gian m¶tric (X, d) ÷ñc gåi l ¦y õ n¸u
måi d¢y Cauchy ·u hëi tö.
16
1.3.12 ành lþ. N¸u Y
l tªp con âng cõa khæng gian m¶tric nân
¦y õ X th¼ Y ¦y õ.
Gi£ sû {xn} l d¢y Cauchy trong Y ⊂ X suy ra {xn} l
d¢y Cauchy trong X , do X ¦y õ suy ra tçn t¤i x ∈ X sao cho xn → x.
M°t kh¡c {xn} l d¢y trong Y - âng.
Tø â suy ra x ∈ Y . Vªy Y ¦y õ.
Chùng minh.
17
CH×ÌNG 2
SÜ TÇN TI IM BT ËNG TRONG KHÆNG
GIAN MTRIC NÂN VÎI THÙ TÜ BË PHN
Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng,
iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric nân m
tr¶n nâ câ mët thù tü bë phªn.
2.1 SÜ TÇN TI IM BT ËNG TRONG KHÆNG GIAN
MTRIC NÂN VÎI THÙ TÜ BË PHN
Tø ¥y v· sau ta luæn xem (X, d) l khæng gian m¶tric nân vîi d nhªn
gi¡ trà trong nân chu©n tc P cõa khæng gian Banach E vîi intP 6= {0};
6 v l c¡c quan h» thù tü tr¶n E ÷ñc x¡c ành bði P .
2.1.1 ành ngh¾a. Gi£ sû 6 l mët quan h» hai ngæi tr¶n X v
A ⊂ X.
1, Ph¦n tû x ∈ X ÷ñc gåi l mët cªn tr¶n (t÷ìng ùng cªn d÷îi) cõa
A n¸u a 6 x (t÷ìng ùng x 6 a) vîi måi a ∈ A; 2, Ph¦n tû x ∈ X ÷ñc
gåi l cªn tr¶n óng (t÷ìng ùng cªn d÷îi óng) cõa A n¸u x l mët cªn
tr¶n (t÷ìng ùng cªn d÷îi) cõa A v n¸u y công l mët cªn tr¶n (t÷ìng
ùng cªn d÷îi) cõa A th¼ x 6 y (t÷ìng ùng y 6 x). Khi â ta k½ hi»u
x = SupA (t÷ìng ùng x = inf A);
3, Ph¦n tû a ∈ A ÷ñc gåi l ph¦n tû cüc ¤i (t÷ìng ùng cüc tiºu) cõa
A, n¸u måi x ∈ A m a 6 x (t÷ìng ùng x 6 a) th¼ a = x;
4, Tªp A ÷ñc gåi l mët d¥y chuy·n trong X n¸u A sp tuy¸n t½nh,
tùc l vîi måi x, y ∈ A th¼ x 6 y ho°c y 6 x.
18
2.1.2 Bê · (Zone). Gi£ sû X l tªp sp thù tü bë phªn v kh¡c
réng. Khi â n¸u måi d¥y chuy·n trong X ·u câ cªn tr¶n th¼ trong X
câ ph¦n tû cüc ¤i.
2.1.3 Bê ·. Gi£ sû (X, d) l mët khæng gian m¶tric nân, ϕ : X −→ P ,
λ
l mët sè thüc d÷ìng, v 6ϕ l mët quan h» tr¶n X ÷ñc cho bði
x 6ϕ y ⇐⇒ λd(x, y) 6 ϕ(y) − ϕ(x);
x, y ∈ X
Khi â 6ϕ l mët thù tü bë phªn tr¶n X .
V¼ d(x, x) = 0 vîi måi x ∈ X n¶n x 6ϕ x vîi måi x ∈ X .
Gi£ sû x, y ∈ X sao cho x 6ϕ y v y 6ϕ x. Khi â, ta câ
Chùng minh.
λd(x, y) 6 ϕ(y) − ϕ(x)
v λd(x, y) 6 ϕ(x) − ϕ(y) = −(ϕ(y) − ϕ(x))
Do â d(x, y) = ϕ(y) − ϕ(x) = 0, tùc l x = y.
Gi£ sû x, y, z ∈ X sao cho x 6ϕ y v y 6ϕ z. Khi â, ta câ
λd(x, z) 6 λ[d(x, y) + d(y, z)] 6 ϕ(y) − ϕ(x) + ϕ(z) − ϕ(y) = ϕ(z) − ϕ(x)
Do â x 6ϕ z.
Vªy 6ϕ l mët thù tü bë phªn tr¶n X .
2.1.4 ành lþ.
Gi£ sû (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ, ϕ :
X −→ P l h m li¶n töc. Khi â, n¸u T : X −→ X thäa m¢n i·u ki»n
λd(x, T (x)) 6 ϕ(x) − ϕ(T (x)),
∀x ∈ X
th¼ T câ iºm b§t ëng, trong â λ l mët sè thüc d÷ìng n o â.
Theo bê · 2.1.2 th¼ (X, 6ϕ) l tªp ÷ñc sp thù tü bë
phªn. Gi£ sû Y l mët d¥y chuy·n trong X . Khi â, v¼ tªp {ϕ(y) : y ∈ Y }
Chùng minh.
19
kh¡c réng v bà ch°n d÷îi n¶n tçn t¤i
inf {ϕ(y) : y ∈ Y } := c ∈ P
Ta s³ chùng tä Y câ cªn d÷îi trong (X, 6ϕ). N¸u tçn t¤i x ∈ Y sao cho
ϕ(x) = 0 th¼ x = inf Y . Thªt vªy, n¸u y ∈ Y m y 6ϕ x v y 6= x th¼
0 < λd(x, y) 6 ϕ(x) − ϕ(y)
tùc l ϕ(y) 6 ϕ(x) = c. ¥y l mët i·u m¥u thu¨n.
Gi£ sû c 6 ϕ(y) vîi måi y ∈ Y . Khi â v¼ c = inf {ϕ(y) : y ∈ Y } n¶n
vîi d n o â thuëc intP tçn t¤o y1 ∈ Y sao cho c < ϕ(y1) < c + d. Cè
ành d. T÷ìng tü tçn t¤i y2 ∈ Y sao cho
d
c < ϕ(y2 ) < M in(c + , ϕ(y1 ))
2
V¼ Y l d¥y chuy·n n¶n y1 6ϕ y2 ho°c y2 6ϕ y1. Do â, tø ϕ(y2) <
ϕ(y1 ) suy ra y2 6ϕ y1 . Ti¸p töc suy luªn t÷ìng tü ta x¥y düng ÷ñc d¢y
{yn } trong Y sao cho yn+1 6 yn v
c < ϕ(yn ) < c +
d
n
∀n = 1, 2, . . .
Tø P l nân chu©n tc v nd −→ 0 khi n −→ ∞, ¡p döng nguy¶n lþ
kµp ta suy ra ϕ(yn) −→ c khi n −→ ∞.
Vîi méi n = 1, 2, . . . v k ∈ N, v¼ yn+k 6ϕ yn n¶n
0 6 λd(yn+k , yn ) 6 ϕ(yn ) − ϕ(yn+k )
M°t kh¡c, v¸ ph£i cõa b§t ¯ng thùc tr¶n d¦n tîi khæng khi n −→ ∞
n¶n suy ra λd(yn+k , yn) −→ 0 khi n −→ ∞ vîi måi k ∈ N. V¼ λ > 0 n¶n
d(yn+k , yn ) −→ 0 khi n −→ ∞ vîi måi k ∈ N. Do â {yn } l d¢y Cauchy.
20
- Xem thêm -
.PDF 
32 
295 
60 
