Tài liệu Khóa luận tốt nghệp sư phạm toán: Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh lớp 9 thông qua chủ đề hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

0 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP TRẦN MINH TRÍ NGUYỄN THÀNH TÍN RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 9 THÔNG QUA CHỦ ĐỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ngành đào tạo: Sư phạm Toán. Trình độ đào tạo: Đại học. ĐỒNG THÁP, NĂM 2010 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP TRẦN MINH TRÍ NGUYỄN THÀNH TÍN RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 9 THÔNG QUA CHỦ ĐỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ngành đào tạo: Sư phạm Toán. Trình độ đào tạo: Đại học. TÓM TẮT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: ThS. Nguyễn Văn Dũng ĐỒNG THÁP, NĂM 2010 LỜI CAM ĐOAN 2 Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi , các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu đề tài nghiên cứu là trung thực được các tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác . Tác giả khóa luận Trần Minh Trí Nguyễn Thành Tín LỜI CẢM ƠN 3 Nghiên cứu khoa học là một vấn cần thiết đối với sinh viên hiện nay nói chung và với bản thân tôi nói riêng . Khi tiến hành nghiên cứu khó tránh khỏi những khó khăn ban đầu. Nhưng với sự nhiệt hướng dẫn , sự góp y chân thành của thầy hướng dẫn những khó khăn dần được khắc phục . Vì vậy rất mong người đọc bỏ qua và tôi kính mong nhận được sự phê bình , những y kiến đóng góp của quy thầy, cô cùng các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn . Tôi xin gởi đến thầy giáo Nguyễn Văn Dũng lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc . Đồng thời cũng biết ơn thầy, cô trường Trung học cơ sở Phong phú B đã tạo điều kiện cho tôi tiến hành thực nghiệm đề tài . Ngoài ra tôi cũng cảm ơn các bạn trong tổ và tập thể đã giúp tôi tiến hành hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu này . Bên cạnh đó tôi rất chân thành cảm ơn sự giúp đở của thầy, cô trong khoa đã đóng góp y kiến quý báo cho đề tài được hoàn thiện hơn . Sinh viên thực hiện Trần Minh Trí Nguyễn Thành Tín MỤC LỤC 4 Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU ………………………………………………………………. 8 1. Lí do chọn đề tài ……………………………………………………………...8 2. Mục đích khoa học ……………………………………………………………9 3. Giả thuyết khoa học …………………………………………………………….9 4.Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………………………………………………9 5. Phương pháp nghiên cứu ……………………………………………………….9 6.Cấu trúc đề tài ………………………………………………………………….9 PHẦN NỘI DUNG Chương I : Cơ Sở Lí Luận 1.1)Những vấn đề chung về tư duy : ……………………………………………...10 1.1.1) Tư duy là gì ? ……………………………………………………………10 1.1.2) Tư duy toán học : …………………………………………………………11 1.1.2.1)Tư duy thuật toán : ………………………………………………………..12 1.1.2.2)Quy trình tựa thuật toán : …………………………………………………13 2.2) Thuật toán và tư duy thuật toán : …………………………………………….14 2.1.1)Khái niệm về tư duy thuật toán : ………………………………………… 14 5 2.1.2) Các tính chất của thuật toán : …………………………………………… 14 2.1.2.1)Tính đơn trị : ……………………………………………………………14 2.1.2.2)Tính dừng : ……………………………………………………………...15 2.1.2.3) Tính đúng đắn : …………………………………………………………15 2.1.2.4) Tính phổ dụng : …………………………………………………………15 2.1.2.5) Tính hiệu quả : ……………………………………………………….....16 2.1.3) Những bài toán điễn hình về kĩ năng luyện tập tư duy thuật toán trong dạy học : …………………………………………………………………………….. 19 Chương II : Tổ chức dạy học chủ đề “ Hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn ” theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán ……………………………………….……….25 2.1) Thiết kế bài giảng theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán …………………..25 2.1.1) Cơ sở khoa học rèn luyện tư duy thuật toán ……………………..………. 26 2.1.2) Yêu cầu rèn luyện tư duy thuật toán ………………………………..…….. 26 2.1.3) Tác dụng rèn luyện tư duy thuật toán ……………………………..……... 26 2.1.4) Hệ thống kiến thức cơ bản lí thuyết giải hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn ………………………………………………………………………………. …….26 2.1.4.1) Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn ………………………26 2.1.4.2) Giải hệ hai phương trình bằng phương pháp thế ………………… ……..26 2.1.4.3) Giải hệ hai phương trình bằng phương pháp cộng đại số …………….….29 2.1.4.4) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ………... …30 2.1.5) Nội dung thiết kế bài giảng :………………………………………….……. 31 6 2.2) Trình bài các bài toán điển hình dạng nâng cao có liên quan đến hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán , bài giải và phát triển bài toán theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán ………. 42 2.2.1) Trình bày các bài toán điển hình dạng nâng cao có liên quan đến hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn : …………………………………………….……. 45 2.2.2) Trình bày các bài toán nâng cao có liên quan đến hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn và phát triển bài toán theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán 61 Chương III : Quá trình thực nghiệm khẳng định giả thuyết khoa học ……. …….85 3.1) Kết quả thực nghiệm ………………………………………………………… 3.2) Tiến trình thực nghiệm ………………………………………………………. C) Kết luận ……………………………………………………………………….. Tài liệu tham khảo ………………………………………………………………. 90 1. Lí do chọn đề tài : Trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Nhà nước luôn đạt nhiệm vụ cao cho ngành giáo dục; phải tổ chức và phát triển của xã hội trên nền tảng giáo dục là quốc sách hàng đầu.Giáo dục phải thực hiện một cách triệt để và đúng mục đích mà nhà nước và xã hội quan tâm hiện nay. Xây dựng và định hướng đổi mới Phương pháp dạy học môn Toán trong thời đại hiện nay đã khẳng định “Phương pháp dạy học Toán trong nhà trường ở nhiều cấp học là tính chủ động phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của người học, hình thành và phát triển khả năng tự học, trau dồi các tính cách linh hoạt của tư duy”. ( Chương trình bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên toán THCS chu kỳ III ( 2004-2007) ban hành theo nghị quyết số : 14/2004/QĐ-BGD&ĐT,kí ngày 17 tháng 5 năm 2004 của bộ giáo dục và đào tạo, nhằm thực hiện nghị quyết số 40 / 2000/QH10 của Quốc hội khóa X và chỉ thị số 14 /2001/CT/TTg ngày 11 tháng 6 7 năm 2001 của Thủ tướng chính phủ về việc đổi mới chương trình giáo dục phổ thông ). Cho nên mỗi giáo viên THCS phải có hướng tích cực phát triển tư duy, chủ động chiếm lĩnh tri thức, từ đó hình thành năng lực cần thiết và nhân cách trong đời sống hàng ngày cũng như khi giải một bài toán cần phải hiểu rỏ và phân tích chính xác làm gợi sáng thêm sự tìm tòi trong tư duy để đáp ứng nhu cầu,như thế tính cẩn thận, tính chính xác,… là nền tảng khi làm bài tập là một năng lực không thể thiếu cho người học toán và giải toán, cho phù hợp với người lao động trong thời đại công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước giai đoạn hiện nay. Để giúp học sinh có thể phát triển tư duy thuật toán và giải hệ phương trình toán 9 và nhằm phát hiện nhanh, giải quyết có khả năng thực hiện lời giải chính xác, chất lượng dạy và học trong công cuộc phát triển giáo dục đào tạo của cả nước nhóm đã chọn và thực hiện nghiên cứu đề tài : “ Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh lớp 9 thông qua chủ đề hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ”. 2. Mục đích nghiên cứu : - Hệ thống một số vấn đề về tư duy thuật toán và rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh Trung học cơ sở - Hệ thống các kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và một số dạng toán liên quan . - Thiết kế bài giảng và những phương pháp giải bài tập liên quan đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh . 3. Ý nghĩa của việc nghiên cứu Nội dung của đề tài này là tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy toán theo hướng rèn luyện tư duy thuật toán ở trường THCS. 4.Giả thuyết khoa học : 8 Nếu thiết kế bài giảng và giải toán hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo hướng tăng cường tư duy thuật toán thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng đào tạo môn toán lớp 9 trong nhà trường phổ thông. 5. Phương pháp nghiên cứu : - Phương pháp nghiên cứu tài liệu . - Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lí thuyết . - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn . - Phương pháp thực nghiệm . 6. Phạm vị nghiên cứu : Đại số 9 7. Cấu trúc đề tài : A. Phần Mở đầu : Phần này chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, giả thuyết khoa học và các phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu. B. Các kết quả nghiên cứu : Phần này chúng tôi trình bày lại toàn bộ các kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn của đề tài, bao gồm: CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 9 Trong chương này chúng tôi trình bày cơ sở lí luận cho đề tài “Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh lớp 9 thông qua việc dạy chủ đề hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ”. Chúng ta đã biết trong quá trình dạy học, việc phát triển tư duy học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng của giáo dục phổ thông. Trong đời sống và các ngành khoa học khác, toán học đóng vai trò rất quan trọng. Ở các trường phổ thông hiện nay, trong tất cả các môn học thì Toán là một môn học quan trọng nhất, không thể thiếu trong bất cứ kỳ thi nào.Ý thức được tầm quan trọng của toán học, giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ. Toán học đòi hỏi tính trừu tượng cao độ, tính chính xác cao, suy luận logic chặc chẽ. Toán học còn có khả năng dạy học cho học sinh tư duy chính xác, tư duy logic. Việc tìm kiếm lời giải của một bài toán có tác dụng rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo, tò mò, dự đoán… qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh biết sáng tạo. Qua thực tiễn giảng dạy cho thấy, để hình thành lời giải, cách trình bày của một bài toán thì học sinh gặp không ít khó khăn nhất là đối với học sinh còn hạn chếvề kiến thức trong môn toán . “ Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh lớp 9 thông qua chủ đề hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ”. 1.1) Những vấn đề chung về tư duy : 1.1.1) Tư duy là gì ? Tư duy là sự phản ánh trong óc ta những sự vật, hiện tượng trong những mối quan hệ và mối quan hệ có tính qui luật của chúng. Trong quá trình tư duy ta dùng các khái niệm. Nếu cảm giác, tri giác, biểu tượng là sự phản ánh các sự vật và hiện tượng cụ thể riêng lẽ thì khái niệm là sự phản ánh những đặc điểm chung, bản chất của một loại sự vật và hiện tượng giống nhau. Như vậy tư duy đó là sự phản ánh thực tế một cách khái quát, gián tiếp. Tư duy phản ánh thực tế một cách khái quát vì nó phản ánh những thuộc tính của hiện thực thông qua các khái niệm mà các khái niệm lại tách ra khỏi những sự vật cụ thể. Những cái chứa đựng những thuộc tính này. Tư 10 duy phản ánh hiện thực một cách gián tiếp vì nó thay thế những hành động thực tế với chính các sự vật bằng hành động tinh thần với những hình ảnh của chúng, nó cho phép giải quyết những nhiệm vụ thực tế thông qua hoạt động tinh thần (lý luận) bằng cách dựa trên những tri thức về các thuộc tính và các quan hệ của các sự vật được củng cố trong khái niệm . 1.1.2)Tư duy toán học : Tư duy toán học là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học, toán học và sự vận dụng kiến thức toán học vào thực tế. Mặt khác tư duy toán học có tính chất đặc thù riêng được qui định bởi bản chất toán học của khoa học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng toán học của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng. Tư duy toán học là quá trình phức tạp, nó gồm các dạng cơ bản sau: khái niệm, phán đoán, tiền đề, định lý, suy luận, các quy tắc suy luận, các phương pháp suy luận lý thuyết . * Khái niệm: là một thao tác logic nhằm phân biệt đối tượng đang xét với những đối tượng khác và vạch ra nội hàm của khái niệm. Một khái niệm toán học là khó hay dễ đối với sự tiếp thu của học sinh tùy theo độ liên kết logic của khái niệm đó là phức tạp hay đơn giản. * Phán đoán: là một hình thức của tư duy trong đó khẳng định điều là thuộc về hay không thuộc về một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi. Mỗi khoa học thực chất là một hệ thống các phán đoán về các đối tượng mà mỗi khoa học đó nghiên cứu. Nhiệm vụ của khoa học là xác định tính đúng đắn hay tính sai lầm của các luận điểm. * Suy luận: là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp. Đó là quá trình tư duy xuất phát từ một hay nhiều điều đã biết, người ta đi đến những phán đoán mới. Suy 11 luận là quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định gọi là quy luật, quy tắc suy luận. Muốn suy luận đúng phải tuân theo quy luật, quy tắc ấy. Đặc điểm cơ bản của tư duy toán học: - Phản ánh hiện thực khách quan một cách chính xác. - Tính trừu tượng. - Có liên quan mật thiết với các lĩnh vực khoa học. Con đường cơ bản hình thành tư duy toán học: - Tư duy toán học cũng là một phần của tư duy biện chứng do đó con đường cơ bản hình thành tư duy toán học cũng chính là con đường nhận thức biện chứng đó là: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn ”. - Tư duy toán học được hiểu, thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học Toán học hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác như kỹ thuật, kinh tế quốc dân v.v... Thứ hai, tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của khoa học Toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng. - Tư duy toán học biểu lộ qua hoạt động toán học do vậy tư duy toán học cũng là tư duy khoa học tự nhiên. Tư duy khoa học tự nhiên đặc trưng bởi các kỹ năng thực hiện việc giải quyết các giai đoạn của các vấn đề khoa học, tập hợp của các kỹ năng này xác định phương pháp khoa học tự nhiên của nhận thức. Phương pháp này bao gồm những yếu tố sau: Sự hiểu vấn đề, sự xác định đúng vấn đề và sự giới hạn vấn đề khác với vấn đề khác, sự nghiên cứu tất cả các tình huống liên quan với vấn đề đã cho, sự kế hoạch hóa việc tìm kiếm cách giải quyết vấn đề, sự lựa chọn giải thuyết có xác suất lớn hơn, sự kế hoạch hóa và tiến hành thực nghiệm kiểm tra giả 12 thuyết, sự rút ra kết luận và chứng minh, sự lựa chọn phương án tối ưu để giải quyết vấn đề, sự mở rộng kết luận cho tình huống mới. Như vậy tư duy toán học biểu lộ ở các giai đoạn “tiền lôgic”: hình thành giả thuyết lẫn giai đoạn “lôgic” chứng minh tính đúng đắn của giả thuyết, mở rộng giả thuyết, phát hiện các ứng dụng đa dạng của giả thuyết trong các tình huống mới. Tính chất đặc thù của tư duy toán học biểu lộ không chỉ ở cái vốn có của nó với bản chất là tư duy khoa học mà còn ở tính đặc biệt của các hình thức riêng rẽ (các biến dạng của sự biểu lộ tư duy). Trong quá trình mô tả các hình thức này, tư duy toán học thường được tách ra bởi các thuật ngữ riêng: Tư duy cụ thể và tư duy trừu tượng, tư duy hàm, tư duy trực giác, tư duy thuật toán, v.v... 1.2) Tư duy thuật toán : Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán. 1.2.1) Thuật toán: là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng các quy tắc nhằm xác định một dãy các thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác ta đạt được mục tiêu định trước. Các thuật toán phải thỏa mãn ba yêu cầu cơ bản: - Tính xác định ai cũng phải hiểu theo cùng một cách mỗi giai đoạn của quá trình quyết định giai đoạn tiếp theo một cách duy nhất. - Tính số đông: phải dùng được để giải một loạt (kiểu) xác định các bài toán. - Tính kết quả: Nếu hoàn thành đúng các thao tác theo trình tự đã vạch ra thì nhất thiết giải được bài toán theo loại đã chọn. Trong dạy học, thuật toán dạy học là hệ thống những quy định nghiêm ngặt được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ và dẫn tới cách giải quyết đúng đắn. 13 Chẳng hạn sử dụng thuật toán dạy học để dạy khái niệm có thể giúp cho học sinh nắm chính xác khái niệm có nghĩa là nắm vững các thuộc tính đặc trưng của các đối tượng được phản ánh vào các khái niệm. Các thuộc tính đặc trưng này hợp thành một hệ thống dấu hiệu có một cấu trúc lôgic nhất định. Khái niệm thuật toán là một yếu tố của một phương thức tư duy được gọi là tư duy thuật toán . - Phương thức tư duy này biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động (T 1) - (T5) sau đây : (T1) Thực hiện những thao tác theo một trình tự nhất định phù hợp với một thuật toán. (T2) Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo một trình tự xác định. (T3) Khái quát hóa một quá trình diễn ra trong một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng. (T4) Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động. (T5) So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện thuật toán tối ưu. Mỗi khả năng trên là một thành tố của tư duy thuật toán. Thành phần đầu tiên thể hiện năng lực thực hiện thuật toán, bốn thành phần sau thể hiện năng lực xây dựng thuật toán. Các hoạt đông (T 1) - (T5) được gọi là hoạt động tư duy thuật toán. Do vậy việc hình thành và phát triển tư duy thuật toán được hiểu là hình thành và phát triển mỗi thành tố hay tổ hợp các thành tố của tư duy thuật toán. Thuật toán, còn gọi là thuật giải , là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng 14 thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán. Nói cách khác, thuật toán là một bộ các qui tắc hay qui trình cụ thể nhằm giải quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp một kết quả từ một tập hợp của các dữ kiện đưa vào. Nó được sử dụng rộng rãi và sâu sắc, trong quá trình giải một bài toán nói riêng và một loạt các bài toán nói chung, theo các bước một cách có hệ thống chặt chẽ, hay nói khác hơn là tuân theo một qui tắc giải toán cụ thể, cho từng loại bài toán cùng loại hay cùng kiểu. 1.2.2) Qui trình tựa thuật toán : a) Qui trình dạy học : Chẳng hạn, Qui trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm : Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán Bước 2 : Xây dựng thuật giải Bước 3 : Thực hiện thuật giải Bước 4 : Kiểm tra nghiên cứu lời giải. b) Qui trình tựa thuật toán : Trong quá trình giải bài tập toán học, người ta thường dùng một tập hợp các hành động dẫn đến lời giải bài toán. Việc mô hình hóa các hoạt động trong giai đoạn đầu của quá trình học tập là một trong những con đường có thể hình thành ở người học khả năng tiến hành các hoạt động giải toán, bởi vì theo các nhà tâm lí học, hiệu quả của mô hình hoạt động theo kiểu trong nhiều trường hợp phụ thuộc rất lớn và tính đầy đủ của việc hình dung được các thành phần cấu trúc và chức năng trong mô hình hoạt động, ta gọi đó là các qui trình tựa thuật toán. Các quy trình này có thể được xem là một động thái tích cực nhằm hình thành ở học sinh văn hóa thuật toán. 2.1 ) Thuật toán và tư duy thuật toán : 15 2.1.1) Khái niệm trực giác về thuật toán : Theo nghĩa trực giác, thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn. 2.1.2) Các tính chất của thuật toán : 2.1.2.1) Tính đơn trị : Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác sơ cấp trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả . Ví dụ 1 : Quy trình 4 bước của Pôlya để giải bài toán là : Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán Bước 2 : Xây dựng chương trình giải bài toán . Bước 3 : Thực hiện chương trình giải bài toán Bước 4 : Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải bài toán . Quy trình này không phải là một thuật toán .Chằn hạn ,bước 1 , bước 2 , bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau . Từ tính đơn trị ta cũng thấy tính hình thức hoá của thuật toán. Bất kể cơ cấu nào, chỉ cần thực hiện đúng các thao tác sơ cấp một cách hình thức theo đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này. Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho các thiết bị tự động thực hiện thuật toán, làm một số công việc thay thế cho con người. 2.1.2.2 ) Tính dừng : 16 Tính dừng của thuật toán yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác sơ cấp đã chỉ ra thì thuật toán phải đi đến kết thúc. Tính dừng luôn giúp ta thu được kết quả mong muốn sau khi thực hiện thuật toán. 2.1.2.3) Tính đúng đắn : Thuật toán phải đảm bảo tính đúng đắn, tức là phải giúp chúng ta thực hiện đúng vấn đề đã đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn. 2.1.2.4) Tính phổ dụng : Thuật toán thường được xây dựng để giải không phải chỉ một bài toán riêng lẻ mà cho cùng một lớp bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau. Nhờ tính chất này người ta sáng tạo những thuật toán rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán. 2.1.2.5) Tính hiệu quả : Khía cạnh đầu tiên của tính hiệu quả là tính tối ưu. Trong số nhiều thuật toán cùng giải một bài toán, hãy chọn ra một thuật toán tối ưu. Tiêu chuẩn tối ưu ở đây được hiểu là: + Thuật toán thực hiện nhanh, tốn ít thời gian. + Thuật toán dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian. Một khía cạnh khác của tính hiệu quả là tính hiện thực. Một bài toán dù đã có thuật giải nhưng nếu ta không có đủ thời gian để đi đến kết quả cuối cùng thì thuật toán đó cũng ít ý nghĩa, thiếu tính hiện thực. Vì vậy, khi xây dựng một thuật toán cần đảm bảo thời gian thực hiện nó là chấp nhận được. Quan điểm khai thác hoạt động trong nội dung dạy học cho rằng mỗi nội dung dạy học đều chứa đựng nhiều hoạt động tương thích với nó, đó là những hoạt động được thực hiện trong 17 quá trình hình thành và vận dụng nội dung này. Tương thích với khái niệm thuật toán có những hoạt động đáng chú ý sau: - Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán ; - Phân tích một quá trình hình thành thao tác được thực hiện theo một trình tự xác định ; - Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẽ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng; - Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động; - Phát hiện thuật toán tối ưu để giải quyết một công việc. Phương thức vận động tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động trên được gọi là tư duy thuật toán . Mỗi khả năng ấy là một thành tố của tư duy thuật toán. Thành phần đầu tiên thể hiện năng lực thực hiện thuật toán, bốn thành phần còn lại thể hiện năng lực xây dựng thuật toán. Các hoạt động trên được gọi là hoạt động tư duy thuật toán . chúng ta đã hiểu : “ Trình tự là một sắp xếp lần lượt ,thứ tự trước sau ” . “Quy trình là một trình tự phải tuân theo để tiến hành một công việc nào đó ” . Ví dụ 3 : Quy trình giải bài toán bằng cách lập phương trình : Bước 1 : Chọn ẩn số , biểu thị những đại lượng chưa biết qua ẩn và những đại lượng đã biết . Bước 2 : Lập phương trình Bước 3 : Giải phương trình Bước 4 : Kiểm tra kết quả và trả lời . 18 Một quy trình có thể chia thành các bước . “ Một bước là một phần chia nhỏ của một quy trình , một quá trình , một giai đoạn , mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích nhất định ” . “ Hoạt động là tiến hành những việc làm có quan hệ với nhau chặt chẽ nhằm một mục đích nhất định , hoặc là thực hiện một chức năng nhất định nào đó trong một chính thể ” . Một hoạt động có thể có một hay nhiều thao thác . “ Thao thác là thực hiện những động tác nhất định để làm một việc gì đó ” . Quy trình giải một bài toán của Pôlya được mỗi người vậm dụng theo cách riêng của mình , theo kinh nghệim riêng của bản thân và đạt được mức độ hữu hiệu khác nhau . Tuy rằng quy trình đó không hướng dẫn người giải một cách tỉ mỉ , chi tiết từng thao thác cụ thể , mà chỉ những định hướng suy nghĩ, gợi ý thao thác, song do tầm khái quát và dung nạp được nhiều kinh nghiệm quý báu , nên đã nhiều chục năm quy trình đó vẫn tỏa ra có hiệu quả. “ Trong phần lớn các trường hợp , kết quả hoạt động của con người thuộc vào mức độ chuẩn xác do nhận thức được bản chất thuật toán của các hoạt động của mình . Nhờ kinh nghiệm có được , khi giải quyết một loại công việc người ta biết : Cần phải có hoạt động ? Mỗi hoạt động có các thao thác gì ? thứ tự thao thác như thế nào ? Việc tìm một dãy các hoạt động , các thao thác, theo đó giải quyết được vấn đề , có thể xem như đã xây dựng được một thuật toán nào đó, mà việc tuân theo một cách “ Máy móc ” sẽ dẫn đến kết quả ” . “ Thuật toán được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người ” hay máy ” thực hiện một loạt các thao thác nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định ” . Như vậy thuật toán là một quy trình đặc biệt . Trong thuật toán , các thao thác được chỉ dẫn rỏ ràng và chính xác để dù là người hay máy thực hiện đều dân đến kết quả của bài tóan . * Các đặc điểm của thuật toán : a) Đó là một dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo một trình tự nhất định . 19 b) Mỗi bước là một thao thác sơ cấp, trường hợp đặc biệt cũng có thể là một thuật toán đã biết . c) Về thuật toán người ta thường nêu bật 3 tính chất đạc trưng : Tính kết thúc ( sau một số hữu hạn bước thực hiện ) , tính xác định ( các bước rõ ràng , thao thác chính xác . Trong cùng một điều kiện , hai bộ xử lý cùng thực hiện một thuật toán thì phải cho ra cùng một kết quả ) , tính phổ dụng ( giải quyết được các bài toán cùng loại ) . Phương châm phục vụ các quy trình có tính chất thuật toán để xác định trong các bài toán ở trường Phổ thông trung học là : - Chỉ dực vào những kiến thức có trong Sách giáo khoa . - Các bước trong quy trình được sắp xấp hợp lý theo trình tự từ dễ thực hiện đến khó thực hiện hơn, từ các thao thác thường gặp nhất, phổ biến nhất đến các thao thác ít gặp hơn . - Kết quả chưa đạt được ở bước này thì thực hiện tiếp theo cho đến hết, đến bước nào đó có kết quả thì dừng lại . - Ngôn ngữ diễn đạt trong quy trình là ngôn ngữ phổ thông, dễ hiểu, chính xác. 3.1. Những bài toán điển hình về kĩ năng luyện tập tư duy thuật toán trong dạy học : Những bài toán được trình bày dưới đây mục đích chính là minh họa việc rèn các hoạt động tư duy thuật toán : Ví dụ 4 : Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta làm theo ba bước : Bước 1 : Lập hệ phương trình .