Tài liệu Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp giải một số bài toán lãi kép

MỤC LỤC Trang 1. Mở đầu……………………………....................................................... 1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………........................ 1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………. 1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………... 2. Nội dung………………………………………………………………. 2.1. Cơ sở lý luận…………………………………………………….. 2.2. Thực trạng vấn đề……………………………………………….. 2.3. Các giải pháp thực hiện………………………………………….. 2.3.1. Kiến thức có liên quan……………………………………. 2.3.2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải………… Bài toán 1……………………………………………………. Bài toán 2……………………………………………………. Bài toán 3……………………………………………………. Bài toán 4……………………………………………………. Bài toán 5……………………………………………………. Bài toán 6……………………………………………………. 2.3.3. Bài tập áp dụng……………………………………………. 3. Kết luận, kiến nghị…………………………………………………….. 3.1. Kết luận………………………………………………………….. 3.2. Kiến nghị………………………………………………………… 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 6 7 8 8 9 10 10 10 1 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI TỐT NGHIỆP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ‘LÃI KÉP’ 1. Mở đầu. 1.1 Lí do chọn đề tài Ngày 28/9/2016 Bộ giáo dục và đào tạo chính thức công bố phương án thi THPT Quốc gia và xét tuyển Đại học, cao đẳng năm học 2017. Bộ giáo dục và đào tạo cũng đã công bố đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm và đề thi tham khảo bộ môn Toán học. Theo phương án thi đã công bố, bộ môn Toán học sẽ được thi bằng hình thức thi trắc nghiệm khách quan, nội dung đề thi hoàn toàn trong chương trình lớp 12 hiện hành. Đặc biệt theo cấu trúc đề thi mà bộ đã công bố thì trong đề thi đưa vào các bài toán ứng dụng thực tế, và bài toán ‘ lãi kép’ được đề cập trong cấu trúc đề thi này. Bài toán “ lãi kép” là bài toán khó, trước đây chỉ được đề cập trong các đề thi học sinh giỏi, trong sách giáo khoa Giải tích 12 ban cơ bản bài toán ‘lãi kép’ được lấy làm ví dụ để đặt vấn đề làm xuất hiện hàm số mũ y  a x và hàm số logarit. Bài tập về các bài toán dạng này trong sách giáo khoa và trong sách bài tập rất ít, không phong phú tài liệu đề cập và bàn sâu đến dạng toán ‘lãi kép’ hầu như không có nhiều trên thị trường, vì thế học sinh khi học và làm bài tập về dạng bài toán này rất lúng túng và làm sai nhiều. Để giúp học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương 4 giải tốt các bài toán ‘lãi kép’ trong quá trình học và ôn tập thi THPT Quốc gia, tôi chọn đề tài: ‘Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp giải một số bài toán ‘lãi kép’’. Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’ tránh tình trạng khi các em gặp phải các bài toán loại này là lúng túng và không giải được. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’. 1.2. Mục đích nghiên cứu Thứ nhất định hướng chương trình giáo dục với mục tiêu là giúp học sinh: phát triển toàn diện về đạo đức, trí lực, thể chất, thẫm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động, sáng tạo, hình thành nhân cách con người. Việc phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với từng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. Thứ hai bài toán ‘lãi kép’ được đưa vào cấu trúc đề thi trung học phổ thông quốc gia và nó là bài toán khó trong chương trình lớp 12. 2 Thứ ba bài toán ‘vay trả góp, mua hàng trả góp’ là bài toán rất thực tế hiện nay, rất nhiều học sinh và gia đình học sinh ‘vay trả góp, mua hàng trả góp’ nhưng không biết mình đang chịu lãi suất thực là bao nhiêu. 1.3. Đối tượng nghiên cứu Là học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông Quảng Xương 4 và trong đề tài này tôi sẽ nghiên cứu các bài toán sau: Bài toán gửi ngân hàng theo thể thức lãi suất đơn (có nghĩa là tiền lãi của kì hạn trước không được cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau). Bài toán gửi ngân hàng theo thể thức lãi suất kép (có nghĩa là tiền lãi của kì hạn trước được cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau). Bài toán ‘vay trả góp và mua hàng trả góp’... 1.4. Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau : +) Nghiên cứu tài liệu : - Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung đề tài. - Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo. -Đề thi minh họa, đề thi thử nghiệm và đề thi tham khảo của Bộ giáo dục và đào tạo. -Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 của Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa, đề thi khảo sát chất lượng khối 12 của các Trường THPT. +) Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit - Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học. - Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài. 2. Nội dung 2.1. Cơ sở lý luận Trong chương trình Giải tích 12 bài toán ‘lãi kép’ là một nội dung rất quan trọng, bài toán được lấy làm ví dụ để xây dựng định nghĩa hàm số lũy thừa và hàm số logarit. Ngoài ra bài toán ‘lãi kép’ là bài toán rất thực tế đang diễn ra trong cuộc sống hàng ngày đó là gửi tiền vào ngân hàng, vay tiền ngân hàng, vay trả góp, mua hàng trả góp, vì vậy việc cung cấp nội dung phương pháp để học sinh giải được các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’ là hết sức cần thiết. 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hiện nay khi gặp các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’, một số học sinh lúng túng, chưa biết cách giải thường làm mò không có cơ sở toán học. 2.3. Các giải pháp thực hiện 3 Đầu tiên khi tiếp cận các bài toán, giáo viên giúp học sinh nắm được phương pháp giải, biết phải sử dụng công thức nào cho phù hợp. Sau đó lập sơ đồ giải, sử dụng máy tính cầm tay bấm như thế nào để ra được đúng kết quả cần tìm. Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về cấp số cộng, cấp số nhân và kiến thức của hàm số lũy thừa, hàm số lôgarit. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh thực hành vận dụng. Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán tương đối đầy đủ về các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’ sát với thực tế cuộc sống cũng như sát với chương trình ôn tập thi trung học phổ thông quốc gia 2017. 2.3.1. Kiến thức toán có liên quan -Các khái niệm cấp số cộng và cấp số nhân đại số và giải tích 11 - Các khái niệm hàm số mũ và hàm số logarit giải tích 12 2.3.2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải Bài toán 1 (Bài toán lãi đơn) Ví dụ: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất đơn 7% một năm. Hỏi số tiền người đó nhận được cả vốn và lãi sau 5 năm là bao nhiêu ? (Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi ) Lời giải: Hết năm thứ nhất người đó nhận về cả gốc và lãi là A  100.106  100.106.7%  100.106.(1  1.7%)  107.000000 -Hết năm thứ 2 người đó nhận về cả gốc và lãi là A  107.106  100.106.7%  100.106  100.106.7%  100.106.7%  100.106.(1  2.7%)  114000000 -Hết năm thứ 3 người đó nhận về cả gốc và lãi là A  114.106  100.106.7%  100.106  100.106.7%  100.106.7%  100.106.7%  100.106.(1  3.7%)  121000000 -Hết năm thứ 4 người đó nhận về cả gốc và lãi là A  121.106  100.106.7%  100.106  100.106.7%  100.106.7%  100.106.7%  100.106.7%  100.106.(1  4.7%)  128000000 -Hết năm thứ 5 người đó nhận về cả gốc và lãi là A  128.106  100.106.7%  100.106  100.106.7%  100.106.7%  100.106.7%  100.106.7%  100.106.7%  100.106.(1  5.7%)  135000000 (Một trăm ba lăm triệu đồng ) Từ ví dụ trên theo quy nạp ta có bài toán tổng quát sau: 4 Một người gửi vào ngân hàng a đồng, với lãi suất đơn r % một kì hạn. Hỏi số tiền người đó nhận được cả vốn và lãi sau n ( n   * ) kì hạn là bao nhiêu ? (Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi ) Lời giải: Ta gọi A là tổng số tiền cả gốc và lãi người đó nhận được sau n kì hạn thì A được tính bằng công thức: A  a.(1  n.r %) (1) Phân tích và khắc sâu cho học sinh: - Nếu gửi theo thể thức lãi suất đơn thì có nghĩa là: Tiền lãi của kì hạn trước không được cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. Như vậy ví dụ trên ta giải bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (1) như sau : Lời giải Áp dụng công thức (1) trên ta có A  100000000.(1  5.7%)  135000000 đ (Một trăm ba lăm triệu đồng ) Ví dụ: Một người gửi vào ngân hàng 20 triệu đồng, với lãi suất đơn 7,2% một năm. Hỏi người đó phải gửi bao nhiêu năm thì số tiền người đó nhận được cả vốn và lãi là 27200000 đồng ? (Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi ) Lời giải Theo công thức (1) ta có: 20.106.(1  n.7, 2%)  27200000  n  5 Vậy người đó phải gửi là 5 năm Ví dụ: Một người đầu tư vào một công ty 80 triệu đồng, sau một năm người đó nhận về cả vốn và lãi là 128000000 đồng. Hỏi lãi suất mỗi tháng người đó nhận được là bao nhiêu ? Lời giải Theo công thức (1) ta có: 80.106.(1  12.r %)  128000000  r  5 Vậy lãi suất mỗi tháng là 5%. Bài toán 2 (Bài toán lãi kép) Ví dụ: Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó được lĩnh bao nhiêu tiền sau n năm ( n   * ), nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ? Lời giải: Giả sử n  2 . Gọi số vốn ban đầu là a, lãi suất là r. Ta có a=1 (triệu đồng), r=0,07. -Sau năm thứ nhất: Tiền lãi là L1  a.r  1.0, 07  0, 07 (triệu đồng) Số tiền được lĩnh cả vốn và lãi là : A1  a  L1  a  a.r  a (1  r )  1, 07 (triệu đồng) -Sau năm thứ hai: 5 Tiền lãi là L2  A1.r  1, 07.0, 07  0, 0749 (triệu đồng) Số tiền được lĩnh cả vốn và lãi là : A2  A1  L2  a (1  r )  A1.r  a (1  r )  a (1  r ).r  a (1  2r  r 2 )  a (1  r ) 2  (1, 07) 2  1,1449 (triệu đồng) -Tương tự, số tiền được lĩnh cả vốn và lãi sau n năm là : An  a.(1  r ) n  (1, 07) n (triệu đồng) Vậy sau n năm, người đó được lĩnh (1, 07) n triệu đồng Từ ví dụ trên theo quy nạp ta có công thức tổng quát sau: An  a.(1  r ) n (2) Trong đó Số vốn ban đầu là: a Lãi suất là: r Thời gian gửi ( kì gửi) là: n Số tiền cả gốc và lãi trong n kì là: An Phân tích và khắc sâu cho học sinh: - Nếu gửi theo thể thức lãi suất kép thì có nghĩa là: Tiền lãi của kì hạn trước được cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. Ví dụ: Ông A gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất 7,65%/năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 5 năm ông A thu được cả vốn và lãi là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng)? Lời giải: Áp dụng công thức (2) ở trên ta có: A5  15.106.(1  7, 65%)5  21685000 đồng Vậy sau 5 năm ông A thu được cả vốn và lãi là 21685000 đồng Bài toán 3 (Bài toán mỗi kì gửi đều đặn a đồng theo thể thức lãi kép. Hỏi sau n kì số tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu ? ) Ví dụ: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng ( chuyển vào tài khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1%/ tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1) . Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền (kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng ). Lời giải Gọi a là số tiền gửi, r là lãi suất -Cuối tháng thứ nhất mẹ có được số tiền là : A1  a.(1  r ) -Cuối tháng thứ hai mẹ có được số tiền là : A2  [a(1  r )  a ](1  r )  a (1  r ) 2  a(1  r ) -Tương tự và theo quy nạp hết tháng thứ n mẹ có số tiền là An  a.(1  r ) (1  r ) n  1 r (3) Áp dụng công thức (3) cho 11 kì gửi và chú ý kì 12 không đươc tính lãi ta có 6 (1  1%)11  1 A12  4.10 .(1  1%)  4.106  50730012, 05 1% 6 Vậy mẹ nhận được 50730000 đồng Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép như sau : Mỗi tháng người này tiết kiệm được một số tiền là a đồng rồi gửi vào ngân hàng theo kì hạn một tháng với lãi suất 0,6%/tháng. Tìm a để sau ba năm kể từ ngày gửi lần đầu tiên người đó có được tổng số tiền là 400 triệu đồng. (Biết rằng lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi ) Lời giải: Áp dụng công thức (3) ta có (1  0, 6%)36  1 A  a (1  0, 6%)  400000000  a  9928000 0, 6% Như vậy người đó phải gửi vào ngân hàng mỗi tháng xấp xỉ 9928000 đồng. Bài toán 4 (Ban đầu kì thứ nhất gửi P đồng sau đó kể từ kì thứ 2 trở đi mỗi kì gửi đều đặn a đồng theo thể thức lãi kép và lãi suất là r. Hỏi sau n kì tổng số tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu ? ) Ví dụ: Một người gửi gói tiết kiệm tích lũy cho con tại một ngân hàng theo thể thức lãi kép, với số tiền tiết kiệm ban đầu là 200 triệu đồng, lãi suất 7%/năm. Từ năm thứ 2 trở đi đúng ngày ngân hàng tính lãi người đó gửi thêm vào 20 triệu đồng. Biết rằng người đó không rút lãi định kì hàng năm và lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi. Hỏi sau 18 năm người đó nhận được cả gốc và lãi là bao nhiêu ? Lời giải: -Sau năm thứ nhất người đó nhận được số tiền cả gốc và lãi là : 200.106.(1  7%)  214 triệu đồng -Đầu năm thứ 2 người đó gửi vào 20 triệu đồng nên cuối năm thứ hai người đó nhận được số tiền là : (214.106  20.106 )(1  7%) đồng -Đầu năm thứ 3 người đó gửi vào 20 triệu đồng nên cuối năm thứ ba người đó nhận được số tiền là : [(214.106  20.106 )(1  7%)  20.106 ].(1  7%)   (214.106  20.106 )(1  7%) 2  20.106.(1  7%) đồng -Tương tự, đến hết năm thứ 18 người đó nhận được (214.106  20.106 )(1  7%)17  20.106.(1  7%) (1  7%)16  1  1335967105 đồng 7% Vậy người đó nhận được 1335967105 đồng. Theo quy nạp ta có công thức tổng quát sau: A  ( P  P.r  a)(1  r ) n 1  a (1  r ) (1  r ) n  2  1 r (4) Bài toán 5 (Bài toán gửi vào ngân hàng A đồng theo thể thức lãi kép, cuối mỗi kì sau khi gửi rút ra a (A>a) đồng . Hỏi rút a bằng bao nhiêu để trong thời gian n kì thì hết số tiền cả gốc và lãi ? ) 7 Ví dụ: Một người học Đại học được gia đình gửi vào ngân hàng 20 triệu đồng theo thể thức lãi kép với lãi suất 0,7%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi người này đến ngân hàng rút ra a đồng để chi tiêu. Hỏi mỗi tháng người này rút ra bao nhiêu tiền để sau 5 năm số tiền vừa hết ? Lời giải: Theo bài ra ta có: 0  20.106.(1  0, 7%) 60  a (1  0, 7%) 60  a  409367,3765 đồng 7% Vậy người đó mỗi tháng rút ra 409367,3765 đồng Bài toán 6 (Bài toán vay trả góp và mua hàng trả góp) Ví dụ: Một người vay ngân hàng 300 triệu đồng theo phương thức trả góp để mua nhà. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay người này trả 5,5 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi ) thì sau bao lâu người này trả hết số tiền trên ? Lời giải Giả sử người đó vay A đồng với lãi suất r mỗi tháng. Mỗi tháng trả a đồng (a - Xem thêm -