Tài liệu Hệ thống ghi số và mối liên hệ với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong môn toán ở tiểu học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON ----------------------------- CÙ THỊ THU HUYỀN HỆ THỐNG GHI SỐ VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG THUỘC CHỦ ĐỀ SỐ VÀ PHÉP TÍNH TRONG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Giáo dục Tiểu học Phú Thọ, 2020 TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦM NON ----------------------------- CÙ THỊ THU HUYỀN HỆ THỐNG GHI SỐ VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG THUỘC CHỦ ĐỀ SỐ VÀ PHÉP TÍNH TRONG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Giáo dục Tiểu học NGƢỜI HƢỚNG DẪN: TS. NGUYỄN TIẾN MẠNH Phú Thọ, 2020 i LỜI CAM ĐOAN Kết quả nghiên cứu đề tài: “Hệ thống ghi số và mối liên hệ với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong môn Toán ở Tiểu học” là thành quả của việc tự tìm hiểu, tự nghiên cứu dƣới sự chỉ bảo của giáo viên hƣớng dẫn và tham khảo những tài liệu có liên quan. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, không trùng với đề tài của tác giả nào khác. Tất cả các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận án này là trung thực. Phú Thọ, ngày…tháng…năm 2020 Ngƣời viết Cù Thị Thu Huyền ii LỜI CẢM ƠN Đề tài: “Hệ thống ghi số và mối liên hệ với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong môn Toán ở Tiểu học” hoàn thành là kết quả quá trình học tập, nghiên cứu của ngƣời thực hiện cùng với sự hƣớng dẫn tận tình của quý thầy, cô và sự giúp đỡ của gia đình, bạn bè, đồng nghiệp. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Tiến Mạnh, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trƣờng Đại học Hùng Vƣơng, ban lãnh đạo khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm non, cùng toàn thể các thầy cô trong khoa đã rất quan tâm, tạo mọi điều kiện cho tôi học tập và nghiên cứu. Đồng thời tôi xin tỏ lòng biết ơn toàn thể gia đình, ngƣời thân, bạn bè đã luôn ủng hộ, động viên để tôi hoàn thành tốt khóa luận của mình. Mặc dù bản thân đã cố gắng, nỗ lực để hoàn thành, song do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận còn nhiều hạn chế, thiếu sót. Tôi kính mong nhận đƣợc sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Phú Thọ, ngày…tháng…năm 2020 Ngƣời viết Cù Thị Thu Huyền iii CÁC KÍ HIỆU Trong cuốn luận văn này ta sử dụng các kí hiệu sau: Tập các số thực đƣợc ký hiệu là . Tập các số hữu tỉ đƣợc ký hiệu là Tập các số nguyên đƣợc ký hiệu là Tập các số tự nhiên đƣợc ký hiệu là .  ..., 2, 1, 0,1, 2,... .  1, 2,3,... . Tập các số nguyên dƣơng đƣợc ký hiệu là  hoặc . iv MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1 1. Tính cấp thiết của đề tài ............................................................................... 1 2. Mục tiêu nghiên cứu ...................................................................................... 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 3 4.Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu ..................................................................... 3 4.1. Đối tƣợng ................................................................................................... 3 4.2. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 3 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................... 3 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn....................................................................... 4 6.1. Ý nghĩa khoa học ....................................................................................... 4 6.2. Ý nghĩa thực tiễn ........................................................................................ 4 7. Cấu trúc của đề tài ......................................................................................... 4 PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................... 5 Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ................................................................... 5 1.1. Hàm phần nguyên ....................................................................................... 5 1.1.1. Khái niệm về phần nguyên ...................................................................... 5 1.1.2. Các tính chất cơ bản của phần nguyên .................................................... 6 1.1.3. Hàm phần nguyên và đồ thị của hàm phần nguyên .............................. 10 1.2. Phép chia Euclid ....................................................................................... 15 1.2.1. Phép chia hết và chia có dƣ ................................................................... 15 1.2.2. Thuật toán Euclid .................................................................................. 16 1.3. Chuỗi số.................................................................................................... 17 1.3.1. Các khái niệm cơ bản ............................................................................ 17 1.3.2. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy ..................................................................... 18 1.3.3. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ ........................................................... 18 1.3.4. Tính chất của chuỗi số hội tụ………………………………………….19 TIỂU KẾT CHƢƠNG 1 ............................................................................... 22 Chƣơng 2. HỆ THỐNG GHI SỐ ................................................................. 23 2.1. Biểu diễn số tự nhiên trong hệ cơ số g ..................................................... 23 2.1.1. Công thức và phƣơng pháp biểu diễn ................................................... 23 2.1.2. Chuyển cơ số ......................................................................................... 26 2.1.3. So sánh các số tự nhiên trong hệ cơ số g .............................................. 27 2.2. Các phép tính trong hệ cơ số g ................................................................. 29 v 2.3. Dấu hiệu chia hết trong hệ cơ số g ........................................................... 34 2.3.1. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 ................................................................. 34 2.3.2. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25 ............................................................... 35 2.3.3. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 ................................................................. 35 2.3.4. Dấu hiệu chia hết cho 11 ....................................................................... 36 2.4. Liên hệ với hàm số mũ, lôgarit ................................................................ 37 2.4.1. Liên hệ với hàm số mũ .......................................................................... 37 2.4.2. Liên hệ với hàm số lôgarit .................................................................... 39 2.5. Biểu diễn số thực trong hệ cơ số g ........................................................... 42 2.5.1. Công thức biểu diễn .............................................................................. 42 2.5.2. Một số vấn đề về số thập phân .............................................................. 46 2.5.3. So sánh các số thực trong hệ cơ số g .................................................... 48 TIỂU KẾT CHƢƠNG 2 ............................................................................... 50 Chƣơng 3. MỐI LIÊN HỆ CỦA HỆ THỐNG GHI SỐ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG THUỘC CHỦ ĐỀ SỐ VÀ PHÉP TÍNH TRONG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC .................................................................................... 51 3.1. Mối liên hệ của hệ thống ghi số trong các phép toán .............................. 51 3.1.1. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với phép cộng và phép trừ ................. 51 3.1.2. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với phép nhân và phép chia ............... 55 3.2. Mối liên hệ của hệ thống ghi số trong các dấu hiệu chia hết ................... 55 3.2.1. Dấu hiệu chia hết cho 2 ......................................................................... 55 3.2.2. Dấu hiệu chia hết cho 5 ......................................................................... 57 3.2.3. Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 .............................................................. 59 3.2.4. Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 ............................................................ 61 3.2.5. Dấu hiệu chia hết cho 11 ....................................................................... 61 3.2.6. Dấu hiệu chia hết cho một số bất kì ...................................................... 62 3.3.1. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo khối lƣợng ................... 63 3.3.2. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo kích thƣớc ................... 64 3.3.3. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo thời gian ...................... 66 3.3.4. Mối liên hệ của hệ thống ghi số với đơn vị đo thông tin ...................... 66 TIỂU KẾT CHƢƠNG 3 ............................................................................... 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 70 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Hiện nay khoa học phát triển nhƣ vũ bão thời đại của công nghệ 4.0 nhiệm vụ của nhà trƣờng Phổ thông nói chung và bậc Tiểu học nói riêng là giáo dục con ngƣời phát triển toàn diện, đáp ứng yêu cầu đòi hỏi của xã hội. Các môn học ở Tiểu học cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán ở Tiểu học có một vị trí đặc biệt quan trọng vì kiến thức, kĩ năng của môn Toán đƣợc ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống của con ngƣời, nó rất cần thiết trong cuộc sống và để bổ trợ cho các môn học khác ở bậc Tiểu học và nó là cơ sở để bổ trợ cho môn Toán ở các bậc học trên. Môn toán ở bậc Tiểu học góp phần giáo dục cho học sinh phát triển để trở thành một con ngƣời toàn diện. Đồng thời xuất phát từ quan điểm giáo dục con ngƣời theo mục tiêu đào tạo mới là: Nhằm hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển về đạo đức, trí tuệ, thẩm mỹ, năng lực của học sinh, chuẩn bị cho học sinh học tiếp lên trung học cơ sở. “ Đến một lúc nào đó, bạn làm toán vì bạn thích chứ không phải để chứng tỏ một cái gì đó nữa” – câu nói nổi tiếng của Giáo sƣ Ngô Bảo Châu. Không những thế môn toán Tiểu học còn bồi dƣỡng cho các em có tính trung thực, tính cẩn thận, tinh thần hăng say lao động góp phần vào việc hình thành các phẩm chất của con ngƣời. Trong môn Toán ở Tiểu học, số học luôn đƣợc xác định là trọng tâm và là hạt nhân. Trong đó, việc dạy học các phép tính số học, nhất là các phép tính trên số tự nhiên có một vai trò hết sức quan trọng. Qua việc học bốn phép tính với số tự nhiên, học sinh đƣợc rèn luyện nhiều mặt, đƣợc phát triển các kĩ năng và trí tuệ nhƣ khả năng suy luận, ghi nhớ, lập luận, quan sát,…. Việc học bốn phép tính với số tự nhiên làm nền tảng cho việc học với các phép tính với phân số, số thập phân sau này, giúp học sinh có thể ứng dụng kĩ năng tính toán trong cuộc sống hàng ngày. Ngoài ra, qua quá trình tính toán giúp học sinh rèn tính cẩn thận, chăm chỉ, tác phong nhanh nhẹn, chính xác,…. 2 Với định hƣớng dạy học hƣớng vào sự phát triển năng lực ngƣời học, việc dạy học các nội dung số học góp phần chủ yếu vào hình thành và phát triển năng lực tính toán, một trong những năng lực cần thiết của ngƣời lao động. Thông qua quá trình phát triển năng lực tính toán, học sinh biết cách giải quyết vấn đề theo quy trình nhất định, là cơ sở để các em giải quyết các bài toán trong thực tế cũng nhƣ học tập các môn học khác ở bậc cao hơn. Trong dạy học môn Toán ở các trƣờng Tiểu học hiện nay khá coi trọng việc rèn luyện kĩ năng tính toán cho học sinh. Tuy nhiên, trên thực tế vẫn còn nhiều học sinh tính toán thiếu chính xác, mắc sai lầm trong quá trình tính, chƣa nắm vững quy trình tính, cách học thụ động, còn lúng túng khi vận dụng kĩ năng tính toán khi vào giải quyết các vấn đề học tập và trong cuộc sống. Trong chƣơng trình toán Tiểu học, phần số học về số tự nhiên chiếm vai trò khá quan trọng, nó xuyên suốt từ buổi đầu lớp 1 cho đến hết bậc Tiểu học. Việc dạy cho học sinh Tiểu học nắm đƣợc các kiến thức liên quan đến số tự nhiên một cách vững vàng là vấn đề hết sức quan trọng. Trong chƣơng trình môn toán ở Tiểu học, việc hình thành khái niệm số tự nhiên đƣợc đƣa vào từ lớp 1, theo thứ tự phép đếm. Mô hình này có thể đƣợc coi là mô hình dựa trên khái niệm “số đứng liền sau”. Các số xây dựng theo quan điểm bản số đƣợc xếp thứ tự ngay. Nhƣ vậy, việc hình thành số tự nhiên cần đƣợc nêu ở hai mặt bản số và tự số của nó. Vấn đề đặt ra là cần tìm ra phƣơng pháp hợp lý và có hiệu quả cao nhất trong dạy học để giúp học sinh lĩnh hội đƣợc tri thức, đƣa học sinh vào hoạt động học tập có chủ đích đƣợc tổ chức vừa sức với các em. Hiện nay, đã có nhiều nghiên cứu về dạy số tự nhiên ở Tiểu học, xong chƣa có tài liệu nào nghiên cứu về hệ thống ghi số và mối liên hệ với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong môn Toán ở Tiểu học. Với những lí do trên, chúng tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Hệ thống ghi số và mối liên hệ với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong môn Toán ở Tiểu học”. 3 2. Mục tiêu nghiên cứu Phân tích, khai thác những kiến thức liên quan đến hệ thống ghi số và chỉ ra mối liên hệ của chúng với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong môn Toán ở Tiểu học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở toán học về các vấn đề: hàm phần nguyên, phép chia Euclid, chuỗi số. - Khai thác những bài toán liên quan đến : biểu diễn số tự nhiên trong hệ cơ số g, các phép tính trong hệ cơ số g, dấu hiệu chia hết trong hệ cơ số g. - Phân tích làm rõ sự thể hiện cơ sở toán học của hệ thống ghi số đối với những nội dung liên quan trong môn toán ở tiểu học : trong các phép toán, dấu hiệu chia hết và trong thực tiễn. 4.Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu 4.1. Đối tượng Hệ thống ghi số (biểu diễn số tự nhiên, các phép tính, dấu hiệu chia hết) 4.2. Phạm vi nghiên cứu Khóa luận giới hạn việc nghiên cứu hệ thống ghi số những tính chất của tập hợp số, các phép toán trên tập số tự nhiên mà chúng liên quan trực tiếp đến chƣơng trình môn Toán ở Tiểu học. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Để thực hiện các nhiệm vụ và mục tiêu đặt ra của khóa luận, chúng tôi sử dụng các kiến thức về một số lĩnh vực của toán học nhƣ: lí thuyết chia hết và chia có dƣ trên tập số tự nhiên, thuật toán Euclid, lí thuyết chuỗi, hàm phần nguyên. Đầu tiên chúng tôi nghiên cứu và tìm hiểu về: kiến thức cơ sở về hàm phần nguyên, phép chia Euclid, chuỗi số, nội dung chƣơng trình môn toán ở Tiểu học, một số tài liệu môn Toán ở Tiểu học (SGK, sách bài tập,…). Tiếp theo, chúng tôi phân tích, khai thác những vấn đề lí thuyết và bài tập liên quan đến hệ thống ghi số, trên cơ sở đó chỉ ra mối liên hệ, sự thể hiện của cơ sở toán học này trong nội dung môn Toán ở Tiểu học. 4 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 6.1. Ý nghĩa khoa học Làm rõ thêm cơ sở toán học của hệ thống ghi số thông qua việc phân tích, khai thác những vấn đề lí thuyết, bài tập và mối liên hệ với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong môn Toán ở Tiểu học. 6.2. Ý nghĩa thực tiễn Trên cơ sở phân tích làm rõ mối liên hệ giữa cơ sở toán học của hệ thống ghi số với một số nội dung thuộc chủ đề số và phép tính trong môn Toán ở Tiểu học, khóa luận có thể đƣợc sử dụng nhƣ một tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên, sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học. 7. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, bảng các kí hiệu, chữ viết tắt, danh mục bảng biểu, mục lục, kết luận kiến nghị và tài liệu tham khảo, phần nội dung gồm 3 chƣơng: Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ Chƣơng 2. HỆ THỐNG GHI SỐ Chƣơng 3. MỐI LIÊN HỆ CỦA HỆ THỐNG GHI SỐ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG THUỘC CHỦ ĐỀ SỐ VÀ PHÉP TÍNH TRONG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC 5 PHẦN NỘI DUNG Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Hàm phần nguyên 1.1.1. Khái niệm về phần nguyên Định nghĩa 1.1 Cho một số thực x  . Số nguyên lớn nhất không vƣợt quá x đƣợc gọi là phần nguyên (integer part, integral part) hay sàn (floor) của x . Ta thƣờng kí hiệu phần nguyên của x là  x  . Nhiều tài liệu gọi phần nguyên của x là sàn và kí hiệu phần nguyên của x là  x  , vì sàn có liên quan mật thiết với khái niệm trần  x  của x . Hai khái niệm trần và sàn thƣờng đƣợc sử dụng trong tin học. Trong luận văn này ta sẽ dùng cả hai kí hiệu phần nguyên (sàn) là  x  và  x  . Định nghĩa 1.2 Cho một số thực x  . Số nguyên bé nhất không nhỏ hơn x đƣợc gọi là trần của x và kí hiệu  x  . Định nghĩa 1.1 và Định nghĩa 1.2 tƣơng đƣơng với:  z  x  z  1; 0  x  z  1;  z   z   x  z   và  z  1  x  z; 0  z  x  1;   x   z   z  z  Hơn nữa,  x   x  nếu x  và  x    x   1 với mọi x  . Định nghĩa 1.3 Phần dƣ (phần thập phân, phần lẻ, giá trị phân – fractional part, fractional value) của một số thực x , kí hiệu là  x đƣợc định nghĩa bởi công thức  x  x   x  . Từ định nghĩa 1.3 ta suy ra ngay, 0   x  1 với mọi x  và chỉ khi z và  z  0 khi là số nguyên. Ta biết rằng, với mỗi x  thì tồn tại số nguyên z  sao cho z  x  z  1 .Định nghĩa 1.4 Giá trị nhỏ nhất giữa hai số x  z và z  1  x đƣợc gọi là khoảng cách từ x đến số nguyên gần nó nhất và đƣợc kí kiệu là 6  x  x  z  0,5 với mọi x . Định nghĩa 1.5: Số nguyên gần một số thực x nhất và đƣợc kí hiệu là  x  và  x  đƣợc gọi là số làm tròn của x . Khái niệm làm tròn số đƣợc sử dụng rộng rãi trong máy tính. Để xác định, nếu có hai số nguyên cùng gần x nhất (nghĩa là khi x  z  0,5  ( z  1)  0,5 thì z và z  1 cùng có khoảng cách tới x bằng 0,5  x  z  z  1  x  0,5 thì ta quy ƣớc chọn số lớn, tức là nếu z  x  z  0,5 , thì  x   z , còn nếu z  0,5  x  z  1 thì  x   z  1 1.1.2. Các tính chất cơ bản của phần nguyên Từ các Định nghĩa 1.1 - Định nghĩa 1.5 ta đi đến các tính chất tuy đơn giảnnhƣng rất cơ bản và hay sử dụng sau đây của phần nguyên. Tính chất 2.1 Với mọi x  ta có a)  x  x   x  1 hay x  1   x   x ; b)  x   1  x   x  hay x   x   x  1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x là số nguyên. Tính chất 2.2 x   x   x ;0  x  1; x  x  0  x  1 . Hệ quả 2.1  x  z   z thì z  và 0  x  1 . Tính chất 2.3  x  z    x  z;x  z  x với mọi Đảo lại,  x   y thì y  x  z với z  z . nào đó. Tính chất 2.4 Nếu x  thì  x   x và  x  0 . Ngƣợc lại nếu  x   x hoặc  x  0 thì x  Nếu x  là số hữu tỉ nhƣng không phải là số nguyên thì  x cũng là một số hữu tỉ thuộc khoảng (0;1). Nếu x  là số vô tỉ thì  x cũng là một số vô tỉ thuộc khoảng (0;1). Tính chất 2.5 Phần dƣ, sàn và trần có tính chất lũy đẳng (idempotent), tức là khi hai lần áp dụng phép toán thì kết quả không đổi: 7 x  x ;  x   x và   x     x  với mọi x . Hơn nữa,  x   x   x   0 với mọi x  . Nhƣng  x  0 và  x    x    x với mọi x  ;  x  1,  x    x    x   1    x    1 với mọi x  . Tính chất 2.6 Các quy tắc đổi chỗ (hoán vị), kết hợp của phép cộng và phép toán nhân; quy tắc kết hợp giữa phép toán nhân và phép toán cộng vẫn đúng cho phần nguyên và phần dƣ. Tính chất 2.7 Phép làm tròn số ( x) thông thƣờng nhƣ đã nêu trong Định nghĩa 1.5 chính là phép lấy phần nguyên của x  0, 5 , tức là  x    x  0,5 . Tính chất 2.8 Nếu  x   y  thì x  y  1 hay 1  x  y  1. Tính chất 2.9 Nếu x  y thì  x    y  . Đảo lại, nếu  x    y  thì x  y . Tính chất 2.10 a) Cả hai số x và y là hai số nguyên khi và chỉ khi  x   y  0 . b) Trong hai số x và y có một số nguyên và một số không phải là số nguyên thì 0   x   y  1 . c) Hai số x và y không nguyên có tổng x  y là một số nguyên khi và chỉ khi  x   y  1. Tính chất 2.11 a Với mọi x, y  ta có x  y  x   y  x  y  1;  x   y    x  y    x   y   1 . Nhận xét 2.1 Tính chất 2.11a có thể đƣợc phát biểu dƣới dạng sau.   x    y  khi 0   x   y  1 x  y    Tính chất 2.11b   x    y   1 khi 1   x   y  2  x  y  khi 0   x   y  1; Tính chất 2.11c  x    y      x  y   1 khi 1   x   y  2 Hệ quả 2.2  2 x  2  x với mọi x  . 8 Hệ quả 2.3   x     x  và  x  x  0 nếu x  ;  x    x  1 và  x  1  x nếu x  . Hệ quả 2.4  x      x với mọi x  Tính chất 2.12a Với mọi x và y . là các số thực ta có  2 x    2 y    x    y    x  y   2  x    y  và 2x  2 y  x   y . Nhận xét 2.2 Tính chất 2.12a có thể viết dƣới dạng sau. Tính chất 2.12 a) Nếu max  x ,  y  1 thì 2 2 x   2  y  0   x   y và  2 x   2 y    x   y    x  y   2  x  2  y  . Tính chất 2.12b Nếu min  x ,  y   max x ,  y  x   y  1 thì 1 2 2 x  2  y  1  x   y  1 và  2 x   2 y    x   y    x  y   1  2  x  2  y   1 c) Nếu min  x ,  y  1  max  x ,  y  1  x   y thì 2 2 x   2  y  1   x   y và  2 x   2 y    x   y    x  y   2  x   2  y   1 . d) Nếu và 1  min  x ,  y thì 2 x  2 y  2   x   y  1 2  2 x   2 y    x   y    x  y   1  2  x  2  y   2 Tính chất 2.13 Với mọi x  ta luôn có 1 1    x  2    2  x và  x  2    2 x    x   n   n  1 n Hệ quả 2.5 Với mọi số nguyên dƣơng ta luôn có      2   2  Tính chất 2.14 9 a Với mọi x, y  ta luôn có  x   y  0 và  x    y    x  y  Nhận xét 2.5 Tính chất 2.14a có thể phát biểu dƣới dạng sau đây.   x    y  khi  y   x ;   x    y   1 khi  x   y Tính chất 2.14b  x  y     x  y  khi  y   x ;  x  y   1 khi  x   y Tính chất 2.14c  x    y    Tính chất 2.15 Với mọi số tự nhiên n và với mọi số thực x ta có n  x    nx   n  x   n  1 Tính chất 2.16 Với mọi số thực x không phải là số nguyên và với mọi số nguyên n ta luôn có  x   n  x  n  1. Tính chất 2.17 Với mọi số nguyên dƣơng n và với mọi số thực x ta luôn có:  x   x   1 n  1   ...   x    nx .  n n   Tính chất 2.18 Với mọi x    x  x và n là số tự nhiên ta luôn có      . n  n  Tính chất 2.19 Với mọi số tự nhiên k  3 và mọi số tự nhiên n ta có  2n   n   n  2   k    k    k  . Tính chất 2.20 Cho k1 , k2 ,..., kn là bộ n số nguyên dƣơng. Khi ấy  k  k  ...  kn  k1  k2  ...  kn   1 2   n  1. n   k  k  Tính chất 2.21 Với mọi sô nguyên k ta luôn có       k . 2 2 Tính chất 2.22 Cho  ,  là những số vô tỉ dƣơng sao cho 1   1   1 . Tập  an n1    ,  2  , 3  ,... và bn n1     ,  2  , 3  ,... tạo thành một  phân hoạch của tập số nguyên dƣơng tức là an n1  và bn n 1 là các tập  10 không giao nhau và hợp của chúng bằng chính tập tất cả các số nguyên dƣơng. Tính chất dƣới đây đƣợc sử dụng nhiều trong tin học. Tính chất 2.23 Cho a và b  2 là các số tự nhiên bất kì. Khi ấy  logb a   1 chính là số các chữ số của một số a viết trong hệ đếm cơ số b . 1.1.3. Hàm phần nguyên và đồ thị của hàm phần nguyên Từ các định nghĩa phần nguyên (sàn), trần, phần dƣ, số làm tròn, ta có thể đƣa ra các định nghĩa sau đây. Hàm sàn: Hàm f : phần nguyên  x    , f ( x) :  x  cho tƣơng ứng mỗi số x với của nó đƣợc gọi là hàm phần nguyên. Trong một số tài liệu, hàm phần nguyên còn đƣợc gọi là hàm sàn (floor function) và ngoài kí hiệu f ( x) :  x  còn đƣợc kí hiệu là f ( x) :  x  . Đồ thị của hàm phần nguyên Hình 1 Hàm phần nguyên là hàm hằng số từng khúc (nhận giá trị không đổi trên từng nửa khoảng  z; z  1 với z  ) gián đoạn loại một tại các điểm 11 z với độ lệch không đổi bằng 1 lim f ( x)  lim f ( x )  1, tức là hiệu giữa x z x z  giới hạn của hàm số khi đối số x tiến tới n từ bên phải và từ bên trái bằng 1). Nhƣ vậy, hàm phần nguyên không liên tục (gián đoạn loại 1), nhƣng là nửa liên tục trên. Do nó là hàm hằng từng khúc nên đạo hàm của nó tồn tại và bằng 0 tại mọi điểm không nguyên và đạo hàm không tồn tại (thậm chí hàm số không liên tục) tại các điểm nguyên. Hàm trần: Hàm f : với trần  x    , f ( x) :  x  cho tƣơng ứng mỗi số x  của nó đƣợc gọi là hàm trần. Đồ thị của hàm trần Hình 2 Hàm trần là hàm hằng số từng khúc (nhận giá trị không đổi trên từng nửa khoảng  z; z  1 với z  ; gián đoạn loại một tại các điểm x  z, z  với độ lệch không đổi bằng 1 ( lim f ( x)  lim f ( x)  1) . xz xz Vậy, hàm trần không liên tục, nhƣng là nửa liên tục dƣới. Do nó là hàm hằng từng khúc nên đạo hàm của nó tồn tại và bằng 0 tại mọi điểm không nguyên và đạo hàm không tồn tại tại các điểm nguyên. 12 Mặt khác, đồ thị của hàm trần có thể nhận đƣợc bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm f ( x) :  x  lên trên (theo trục tung) 1 đơn vị trên các khoảng  z; z  1 , z  . Tuy nhiên, tại các điểm nguyên thì chúng nhận các giá trị khác. Hàm phần dƣ: Hàm f : số thực   0;1 từ tập số thực , f ( x) :  x với mọi x  vào tập con  0;1 của tập cho tƣơng ứng mỗi số thực x với phần dƣ  x của nó đƣợc gọi là hàm phần dư (hay hàm phần phân, hàm phần lẻ). Đồ thị của hàm phần dƣ: f (x)   x  x   x  Hình 3 Hàm phần dƣ chỉ nhận giá trị trong nửa khoảng  0;1 , tăng từng khúc (tăng trên từng nửa khoảng  z; z  1 với điểm x  z, z  z và gián đoạn loại một tại các với lim f ( x)  lim f ( x)  1 . Đặc biệt, hàm phần dƣ là x z xz hàm tuần hoàn với chu kỳ 1, nghĩa là  x  1   x với mọi x  Hàm khoảng cách: Hàm f : .   0;0,5 cho tƣơng ứng mỗi số thực x với khoảng cách tới số nguyên gần nó nhất đƣợc gọi là hàm khoảng cách từ x tới số nguyên gần nó nhất và kí hiệu là f ( x) :  x . 13 Hàm khoảng cách chỉ nhận giá trị trong đoạn  0;0,5 , tăng từng khúc trên từng đoạn  z; z  0,5 và giảm từng khúc trên  z  0,5; z  1 với z  . Hàm khoảng cách là hàm liên tục và tuyến tính từng khúc. Đặc biệt, hàm khoảng cách là hàm tuần hoàn với chu kỳ 1, nghĩa là  x  1   x với mọi x . Hàm làm tròn: Hàm f :  từ tập số thực vào tập số nguyên của tập số thực , cho tƣơng ứng mỗi số thực x với số nguyên gần nó nhất đƣợc gọi là hàm làm tròn và kí hiệu là f ( x) :  x  . Nhận xét 3.1 Ta luôn có  x    x  0,5 với mọi x (xem tính chất 2.7). Đồ thị của hàm làm tròn f ( x)   x    x  0,5 Đồ thị của hàm f ( x)   x  chính là đồ thị của hàm f ( x)   x  tịnh tiến sang bên trái 0,5 đơn vị (có thể thấy rõ điều này qua so sánh hai đồ thị). Hình 4 Từ tính chất 2.3 suy ra một tính chất thú vị của hàm phần dƣ sau đây Tính chất 3.1: Hàm phần dƣ và hàm khoảng cách (từ x tới số nguyên gần nó nhất) là hàm tuần hoàn với chu kì nhỏ nhất bằng 1. Ta nhắc lại rằng hàm  :  xác định trên tập số thực cũng trong tập số thực và nhận giá trị đƣợc gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số dƣơng sao cho x  T  X và  ( x  T ) =  ( x) với mọi x  Số T đƣợc gọi là chu kì của hàm tuần hoàn  ( x) . . T