Tài liệu Hệ sinh của một số cấu trúc đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- TRẦN THỊ HỒNG DUYÊN HỆ SINH CỦA MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: ĐHSP Toán Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Tiến Mạnh . Phú Thọ, 2019 Phú Thọ, 2019 LỜI CẢM ƠN Đề tài “ Hệ sinh của một số cấu trúc đại số” là nội dung tôi chọn để nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp sau bốn năm theo học chƣơng trình đại học ngành sƣ phạm Toán tại trƣờng đại học Hùng Vƣơng. Để hoàn thành quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này, lời đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy Ts. Nguyễn Tiến Mạnh. Thầy đã trực tiếp chỉ bảo và không tiếc thời gian quý báu của mình hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi hoàn thiện khóa luận này. Ngoài ra, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Khoa học Tự nhiên đã đóng góp những ý kiến quý báu cho khóa luận. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo nhà trƣờng, lãnh đạo khoa Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt khóa luận của mình. Mặc dù đã rất cố gắng nỗ lực nhƣng khóa luận cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp, phê bình của quý thầy cô và các bạn để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn. Trân trọng cảm ơn! Việt Trì, ngày 6 tháng 05 năm 2019 Sinh viên thực hiện Trần Thị Hồng Duyên MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài khóa luận. ............................................................................. 1 2. Mục tiêu khóa luận. ........................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ....................................................................................... 2 4. Phƣơng pháp nghiên cứu................................................................................... 2 5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu..................................................................... 2 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn........................................................................... 2 7. Bố cục của khóa luận ........................................................................................ 3 PHẦN II: NỘI DUNG .......................................................................................... 4 CHƢƠNG 1: HỆ SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ ...................................... 4 1.1. Hệ sinh của không gian vectơ ........................................................................ 4 1.2. Không gian hữu hạn sinh ............................................................................. 11 1.3. Không gian vectơ chiều vô hạn .................................................................... 13 1.4. Không gian thƣơng ....................................................................................... 13 1.5. Bài tập .......................................................................................................... 15 TIỂU KẾT CHƢƠNG 1...................................................................................... 27 CHƢƠNG II: HỆ SINH CỦA NHÓM ............................................................... 28 2.1. Hệ sinh của nhóm ......................................................................................... 28 2.2. Nhóm hữu hạn sinh, nhóm xyclic ................................................................ 28 2.3. Bài tập .......................................................................................................... 36 TIỂU KẾT CHƢƠNG 2...................................................................................... 47 CHƢƠNG III: HỆ SINH CỦA IĐÊAN .............................................................. 48 3.1. Hệ sinh của iđêan ......................................................................................... 48 3.2. Iđêan hữu hạn sinh ....................................................................................... 51 3.3. Bài tập .......................................................................................................... 56 TIỂU KẾT CHƢƠNG 3...................................................................................... 62 PHẦN III: KẾT LUẬN ....................................................................................... 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 64 1 PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài khóa luận. Cấu trúc đại số là một môn học quan trọng của sinh viên khoa Toán. Nó giúp chúng ta hiểu biết lí thuyết tổng quát về phép toán, biết đƣợc rằng: Số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ...cùng với các phép toán trên nó chỉ là các mô hình của những cấu trúc đại số tổng quát. Ở chƣơng trình phổ thông, học sinh đƣợc tiếp cận với cấu trúc đại số thông qua các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số thực, số phức cùng với các phép toán trên nó. Ở trƣờng Cao đẳng, Đại học sinh viên ngành toán đƣợc hiểu rõ hơn về cấu trúc đại số thông qua: Tập hợp và quan hệ, nửa nhóm và nhóm, vành và trƣờng, vành đa thức trong quyển “Đại số đại cƣơng” của tác giả Hoàng Xuân Sính. Cuốn sách đó đƣợc làm tài liệu chính của sinh viên ngành Toán trƣờng Đại học Hùng Vƣơng và một số trƣờng Đại học Sƣ phạm khác. Ngoài ra còn rất nhiều cuốn sách khác viết về vấn đề này nhƣ: “Cấu trúc đại số” của tác giả Đậu Thế Cấp; “Đại số và số học” của giáo sƣ Ngô Thúc Lanh,.... Khi nhắc đến cấu trúc đại số chúng ta không thể nào không nhắc đến hệ sinh trong cấu trúc đại số đó, vì hệ sinh luôn xuất hiện trong mọi cấu trúc. Hệ sinh cho phép xác định các đối tƣợng khác trong cấu trúc đang xét, cơ sở để xây dựng cấu trúc, cơ sở để xây dựng các đồng cấu giữa hai cấu trúc đại số. Ngoài ra việc giải quyết một bài toán liên quan đến đối tƣợng thuộc một nhóm cấu trúc đại số nào đó thƣờng liên quan đến việc lựa chọn hệ sinh nhƣ: Để nghiên cứu về tâm đối xứng và trục đối xứng của đồ thị hàm đa thức dùng hệ sinh là cơ sở tƣơng ứng với khai triển Taylor, để nghiên cứu về đa thức số học cần hệ sinh là các đa thức số học cơ bản liên quan đến các số tổ hợp, khi nghiên cứu về đa thức đối xứng cần hệ sinh là các đa thức đối xứng cơ bản,.... Nhằm mục đích hiểu rõ hơn về ý nghĩa khoa học và vai trò của hệ sinh đồng thời để tăng cƣờng khả năng vận dụng linh hoạt hệ sinh khi nghiên cứu các cấu trúc đại số nên em chọn đề tài: “Hệ sinh của một số cấu trúc đại số”. 2 2. Mục tiêu khóa luận.  Phân tích, làm rõ một số vấn đề liên quan đến hệ sinh (tính hữu hạn sinh, không hữu hạn sinh, ứng dụng của hệ sinh trong xây dựng đồng cấu...) trong ba cấu trúc đại số: Nhóm, không gian vectơ, iđêan.  Giải và khai thác những bài toán liên quan đến hệ sinh. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.  Nghiên cứu các kiến thức cơ sở liên quan đến ba cấu trúc đại số: Nhóm, không gian vectơ và iđêan.  Nghiên cứu về hệ sinh của ba cấu trúc đại số: Nhóm, không gian vectơ và iđêan.  Nghiên cứu những bài toán liên quan đến ba cấu trúc đại số có ứng dụng của hệ sinh. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu.  Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến hệ sinh trong cấu trúc đại số: Nhóm, Iđêan, không gian vectơ.  Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa kiến thức về vấn đề nghiên cứu một cách đầy đủ khoa học đồng thời tìm các ví dụ minh họa từ quá trình học và nghiên cứu.  Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hƣớng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức khóa luận. 5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu  Đối tƣợng: Hệ sinh của nhóm, hệ sinh của iđêan, hệ sinh của không gian vectơ.  Phạm vi: Nghiên cứu trên nhóm giao hoán, iđêan trong vành giao hoán, không gian vectơ trên trƣờng có đặc số 0. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khóa luận có thể xem nhƣ một tài liệu tham khảo về chủ đề “hệ sinh của một số cấu trúc đại số”. Qua nội dung của khóa luận, chúng ta thấy rõ hơn vai trò của hệ sinh trong nhóm, không gian vectơ và iđêan. Đó là khi nghiên cứu 3 một bài toán gắn với những cấu trúc đại số cụ thể nói trên, chúng ta luôn phải lựa chọn và xét trên hệ sinh phù hợp. Nhờ hệ sinh ban đầu và mối quan hệ với hệ sinh của các phần tử tổng quát, chúng ta có thể tìm đƣợc hƣớng giải quyết của bài toán đó. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận đƣợc chia làm 3 chƣơng:  Chƣơng 1: Hệ sinh của không gian vectơ 1.1. Hệ sinh của không gian vectơ. 1.2. Không gian vectơ hữu hạn sinh. 1.3. Không gian vectơ chiều vô hạn. 1.4. Không gian thƣơng 1.5. Bài tập.  Chƣơng 2: Hệ sinh của nhóm 2.1. Hệ sinh của nhóm. 2.2. Nhóm đơn sinh, nhóm cyclic, nhóm hữu hạn sinh. 2.3. Bài tập.  Chƣơng 3: Hệ sinh của iđêan 3.1. Hệ sinh của iđêan. 3.2. Iđêan hữu hạn sinh. 3.3. Bài tập 4 PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: HỆ SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ 1.1. Hệ sinh của không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho { x1, x2 ,..., xn } là một hệ vectơ thuộc không gian vectơ V trên trƣờng K . Ngƣời ta gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ { x1, x2 ,..., xn } là một vectơ x V có dạng: x  1x1  2 x2  ...  n xn , với 1, 2 ,..., n  K Định nghĩa 1.1.2 Ta nói rằng hệ n vectơ x  x1, x2 ,..., xn của không gian vectơ V tạo thành một hệ sinh (hệ các phần tử sinh) của V nếu bất kì vectơ x nào của V cũng là tổ hợp tuyến tính của hệ đó, tức là tồn tại 1, 2 ,..., n  K sao cho: x  1x1  2 x2  ...  n xn Ví dụ 1.1.1. Trong không gian vectơ cho hệ vectơ E  e1  (1,0); e2  (0,1) 2 Khi đó hệ vectơ E là hệ sinh của không gian vectơ Thật vậy , x  2 2 : x  ( a, b) Khi đó x  (a, b)  a(1,0)  b(0,1)  ae1  be2 Vậy E là hệ sinh của không gian vectơ Ví dụ 1.1.2. Trong không gian vectơ 2 2 cho hệ vectơ E '  e1  (1,0); e2  (0,1); e3  (2,5) Khi đó hệ vectơ E ' là hệ sinh của không gian vectơ Thật vậy x  2 2 : x  (a, b) Hay x  (a, b)  a(1,0)  b(0,1)  0(2,5)  ae1  be2 Ví dụ 1.1.3. Trong không gian vectơ 3 , cho hệ vectơ E  e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1) Khi đó hệ vectơ E là hệ sinh của không gian vectơ Thật vậy x  3 : x  (a, b, c) Hay: a(1,0,0)  b(0,1,0)  c(0,0,1)  (a, b, c) 3 5 ae1  be2  ce3  x Ví dụ 1.1.4. Trong không gian V = n xét các vectơ e1  (1,0,0,,,0), e2  (0,1,0,,,0), e3  (0,0,1,,,0), …, en  (0,0,0,,,1) Ta thấy ngay 1e1  (1,0,0,...,0) 2e2  (0, 2 ,0,...,0) ….….. nen  (0,0,0,..., n ) i  K , i  1, n Cộng các kết quả trên theo từng vế ta đƣợc 1e1  2e2  ...  nen  (1, 2 ,..., n ) Nhƣ vậy mỗi phần tử V = n đều là tổ hợp tuyến tính của hệ { e1, e2 ,..., en }; với vectơ x cho trƣớc thuộc K n bao giờ cũng tồn tại duy nhất một hệ các vô hƣớng 1, 2 ,..., n sao cho x  1x1  2 x2  ...  n xn Ví dụ 1.1.5. K  X  có hệ sinh 1, X ,..., X n ,... Định nghĩa 1.1.3. Không gian vectơ con sinh bởi S là không gian con nhỏ nhất theo quan hệ bao hàm chứa S . Kí hiệu S Chú ý: i) Cho V là một không gian vectơ, S  V . Nếu V  S thì S là hệ sinh của V.   0 ii) S   khi đó S  0  0 : Không gian vectơ không iii) S  0 khi đó S iv) S  x1, x2 ,..., xn  khi đó S  1 x1  2 x2  ....  n xn , i  K , i  1, n v)   S   xi | i  I  khi đó S   i xi | i  K  , i  0 hầu hết trừ một số  iI    hữu hạn.  6 Định lí 1.1.1. Cho V là không gian vectơ, V1 ,V2 là không gian vectơ con của V . Khi đó nếu V1  S và S  V2 thì V1  V2 . Chứng minh m Xét x V1 bất kì. Khi đó x   Sii , Si  S , i  Z i 1 Vì S  V2 nên Si V2 , i  1, m m Do V2 là một không gian vectơ nên  S  V ; S  S ,   Z i i i 1 2 i i Vậy V1  V2 Định nghĩa 1.1.4. Hệ vectơ { x1, x2 ,..., xn } thuộc K- không gian vectơ V gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi vô hƣớng 1, 2 ,..., n  K sao cho 1x1  2 x2  ...  n xn  0 Thì suy ra : 1  2  ...  n  0 Trƣờng hợp ngƣợc lại thì hệ vectơ { x1, x2 ,..., xn } là phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 1.1.6. Xét họ n  1 hàm số: 1, x, x2 ,..., xn và giả sử cho 0  1x  2 x 2  ...  n x n  0 x  R Thì trong đó i là hằng số với i  0, n ,vì có vô số x thỏa mãn phƣơng trình bậc n đối với x nên 1  2  ...  n  0 Vậy trong không gian các đa thức đối với x thì hệ các đa thức {1, x, x 2 ,..., x n } là hệ độc lập tuyến tính. Ví dụ 1.1.7. K  X  có hệ sinh 1, X ,..., X n ,... Định nghĩa 1.1.5. Ta gọi cơ sở của không gian vectơ là một hệ sinh độc lập tuyến tính. Nhƣ thế một hệ vectơ x1, x2 ,..., xn là một hệ cơ sở của không gian V thì phải có hai điều kiện n 1. x  V, tồn tại 1 , 2 ,..., n  K : x   i xi i 1 2. 1x1  2 x2  ...  n xn  0  1  2  ...  n  0 7 Ví dụ 1.1.8. Hệ vec tơ E  e1  (1,0); e2  (0,1) là cơ sở của không gian vectơ 2 . Cơ sở này đƣợc gọi là cơ sở chính tắc của không gian vectơ 2 Thật vậy E là hệ sinh theo 1 và từ đẳng thức: 1e1  2e2   1 (1,0)  2 (0,1)  (0,0)  1  0, 2  0 Nên hệ E là độc lập lập tuyến tính. Ví dụ 1.1.9. Hệ vec tơ E '  e1  (1,0); e2  (0,1); e3  (2,5) không là cơ sở của không gian vectơ 2 Vì hệ E ' là hệ sinh nhƣng không độc lập lập tuyến tính Thật vậy, xét hệ thức: 2(1,0)  5(0,1)  (2,5)  (0,0) Hay: 2e1  5e2  e3   Nên hệ E ' không phải là cơ sở của 2 Ví dụ 1.1.10. Hệ vec tơ E  e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1) là cơ sở của không gian vec tơ 3 Cơ sở này đƣợc gọi là cơ sở chính tắc của không gian vec tơ 3 Thật vậy, E là hệ sinh (theo ví dụ 1.1.3) và từ đẳng thức : 1e1  2e2  3e3   1 (1,0,0)  2 (0,1,0)  3 (0,0,1)  (0,0,0)  1  0, 2  0, 3  0 Nên hệ E độc lập tuyến tính. Ví dụ 1.1.11. Trong không gian R n , ta xét hệ { e1, e2 ,..., en } đƣợc biểu diễn nhƣ sau: e1  (1,0,0,,,0), e2  (0,1,0,,,0), e3  (0,0,1,,,0), …, en  (0,0,0,,,1) là hệ cơ sở của n . Qua ví dụ 1.1.4 ta đã thấy nó là một hệ sinh. Bây giờ ta chứng minh nó là hệ độc lập tuyến tính. 8 Thât vậy: Nếu 1x1  2 x2  ...  n xn  0 tức là : (1 ,0,0,,,0)  (0, 2 ,0,,,0)  ...  (0,0,0,,, n )  0  (1 , 2 ,..., n )  0  1  2  ...  n Vậy {e1, e2 ,,, en }là cơ sở của R n . Ví dụ 1.1.12. Gọi J n ( x) là tập hợp tất cả các đa thức đối với biến x có một bậc không lớn hơn n hệ các đa thức {1, x, x 2 ,..., x n } là hệ độc lập tuyến tính (ví dụ 1.1.5) Ta thấy đó là hệ sinh của J n ( x) vì bất kỳ một đa thức bậc n nào cũng có dạng: 0  1x  2 x2  ...  n x n  0 với i  R, i  0, n vậy hệ {1, x, x 2 ,..., x n } là hệ cơ sở của không gian vectơ J n ( x) Mệnh đề 1.1.1 Hệ vectơ { x1, x2 ,..., xn } tạo thành hệ cơ sở của không gian vectơ V khi và chỉ khi với bất kỳ vectơ x thuộc V đều tồn tại dạng duy nhất (1, 2 ,..., n ), i  K , i  1, n sao cho x  1x1  2 x2  ...  n xn (1.1 ) Chứng minh Giả sử hệ  x1, x2 ,..., xn  là hệ cơ sở của V, vectơ x V biểu diễn bởi hai cách x  1x1  2 x2  ...  n xn Và x   '1x1   '2 x2  ...   'n xn Khi đó ta có : (1  1' ) x1  (2  2' ) x2  ...  (n  n ' ) xn  0 Vì {x1, x2 ,..., xn } là hệ độc lập tuyến tính nên 1  1' , 2  2' ,..., n  n' Vậy đối với bất kỳ x V cách biểu diễn là duy nhất. Ngƣợc lại: Nếu mỗi x V đều biểu diễn duy nhất dƣới dạng (1) thì x1, x2 ,..., xn là hệ sinh của V . Thật vậy, giả sử 1x1  2 x2  ...  n xn  0 9 Mà ta lại có: 0 x1  0 x2  ...  0 xn  0 Vì cách biểu diễn vectơ 0 qua hệ {x1, x2 ,..., xn } là duy nhất , cho nên 1  2  ...  n  0 . Trong (1.1) các vô hƣớng 1, 2 ,..., n đƣợc gọi là các tọa độ hoặc các thành phần của x theo cơ sở x1, x2 ,..., xn Nhƣ vậy trên một hệ cơ sở thì để cộng hai vectơ ta cộng các tọa độ cùng thứ hạng của chúng, để nhân vectơ vô hƣớng  ta nhân các tọa độ với  Ngƣời ta chứng minh đƣợc kết quả sau: là một vectơ thuộc V   Hệ 1 độc lập tuyến tính. Nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ này thì đó là một cơ sở của V       Ngƣợc lại, trong V có  2 không biểu thị tuyến tính qua  1 thì hệ vectơ 1 ,  2 độc lập tuyến tính  Nếu hệ này không phải là một cơ sở thì trong V có một  3 không biểu thị tuyến         tính đƣợc qua hệ 1 ,  2 Vậy hệ vectơ   1, 2 ,  3 độc lập tuyến tính. Tiếp tục bổ sung nhƣ thế ta đƣợc những hệ vectơ độc lập tuyến tính của V Vì V có một hệ sinh gồm m vectơ nào đó (có thể ta không biết hệ sinh ấy) lên  theo bổ đề, quá trình này phải kết thúc ở vectơ  n nào đó với n  m     Lúc đó ta đƣợc hệ vectơ độc lập tuyến tính   1 ,  2 ,...,  n  Mà mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính đƣợc qua hệ  10      Vậy   1 ,  2 ,...,  n là một cơ sở của V . Nhận xét: Trong không gian vec tơ thấy mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính bất kì đều có thể bổ sung thành một cơ sở. Ý nghĩa của nhận xét trên là: Dù cho không biết trƣớc hệ sinh của không gian vectơ ta vẫn có thể dựng đƣợc một cơ sở của nó. Xong khi đã biết một hệ sinh của không gian vectơ thì Định lí sau đây cho thấy có thể chọn một cơ sở trong hệ sinh này.   Định lí 1.1.3. Từ một hệ sinh của một không gian vec tơ khác 0 có thể chọn ra một cơ sở.      Định lí 1.1.4. Giả sử A  1 , 2 ,..., m là một hệ vectơ của K - không gian vectơ V. Khi đó tập hợp      W= r11  r2 2 ,..., rm  m ri  K , i  1, m là một không gian con của V. W được gọi là không gian sinh bởi hệ vectơ A, còn A dược gọi là hệ sinh của W. Chứng minh     Rõ ràng w   vì 0  01  0 2 ,...,0 m W   Giả sử  ,   W và t∈K, chẳng hạn:         r1 1  r2  2 ,..., rm  m     s1 1  s2  2  ...  sm  m Từ các điều kiện trong định nghĩa của không gian vectơ, ta suy ra:             r1 1  r2  2 ,..., rm  m  s1 1  s2  2 ,..., sm  m     (r1  s1 )1  (r2  s2 ) 2 ,...,(rm  sm ) m  W        t   t (r1 1  r2  2  ...  rm  m )  (tr1 )1  (tr2 ) 2  ...  (trm ) m  W Vậy W là một không gian con của V. 11   Chú ý: Không gian sinh bởi một vectơ  thường được kí hiệu bởi K  .      m  Nếu W là không gian sinh bởi hệ vectơ 1 , 2 ,..., m thì W   K  i i 1 1.2. Không gian hữu hạn sinh Không gian W trên đây sinh bởi một hệ hữu hạn vectơ. Ngƣời ta gọi nó là không gian hữu hạn sinh.    Ví dụ 1.2.1. Tập hơp V các vec tơ OA, OB, OC ,... chung gốc O trong không gian (mà ta đã học hồi phổ thông) cùng với phép cộng hai vectơ và phép nhân một vectơ với một số thực là một không gian vectơ. Nó đƣợc gọi là không gian vectơ hình học.     +) Nếu O  I thì tập U  r OI | r  R chỉ chứa vectơ O , là một không gian con tầm thƣờng của V.    +) Nếu O  I thì tập U  r OI | r  R gồm các vectơ gốc O, nằm trên đƣờng thẳng OI .    Giả sử vec tơ OJ là vectơ không cùng phƣơng với vectơ OI .     Khi đó, tập W  r1 OI  r2 OJ | r1 , r2  R    Là một không gian con của V gồm các OA, OB, OC ,... nằm trong mặt phẳng (OIJ).     Giả sử vectơ OK không đồng phẳng với vectơ OI , vec tơ OJ .    Thế thì { OI , OJ , OK }là một hệ sinh của V .  Thật vậy nhƣ ta đã biết mỗi vec tơ OA trong không gian đều có dạng :     OA  r1 OI  r2 OJ  r3 OK e1  (1,0,0,,,0), e2  (0,1,0,,,0), e3  (0,0,1,,,0), …, en  (0,0,0,,,1) 12 Ví dụ 1.2.2. Xét không gian vec tơ 4 và không gian con   W= a1, a2 ,0,0  | ai  R . Hệ hai vec tơ, 1  (1,0,0,0) ;  2  (0,1,0,0) của 4 là một hệ sinh của W  Để chứng minh điều này ta phải chứng tỏ rằng mỗi   W đƣợc biểu diễn dƣới     dạng.   r1 1  r2  2 Biết rằng mỗi vectơ trong W có dạng   (a1, a2 ,0,0)  W . Theo phép cộng và phép nhân với một số trong 4 Ta có:    (a1, a2 ,0,0)  (a1,0,0,0)  (0, a2 ,0,0)    a1 (1,0,0,0)  a2 (0,1,0,0)  a1 1  a2  2     Vậy 1 ,  2 là hệ sinh của W .      Ta hãy thử thêm vectơ    2,3,0,0  vào hệ vec tơ 1 ,  2 và xét không gian con          W ' sinh bởi hệ vectơ 1 ,  2 ,  .Mỗi   a1 1  a2  2  a3  3 đều có thể viết thành   = a1 1,0,0,0  a2  0,1,0,0   a3  2,3,0,0  = a1 (1,0,0,0) + a2 (0,1,0,0) + a3 [(2,0,0,0) + (0,3,0,0)] = a1 (1,0,0,0) + a2 (0,1,0,0) +2 a3 (1,0,0,0) + 3 a3 (0,1,0,0) = ( a1 +2 a3 )(1,0,0,0) + ( a2 +3 a3 )(0,1,0,0)   =  a1  2a3  1   a2  3a3   2 Đó là một vectơ trong W . Nhƣ vậy W ’  W    Ngƣợc lại, mỗi vectơ   b1 1  b2  2  W đều có thể viết dƣới dạng :       b1 1  b2  2  0 . Đó là một vectơ thuộc W ' . 13          Vậy W ’  W ; nghĩa là hai hệ 1 ,  2 và 1 ,  2 ,  đều là hệ sinh của không gian vectơ W . 1.3. Không gian vectơ chiều vô hạn Định nghĩa: Một không gian vectơ đƣợc gọi là không gian vectơ chiều vô hạn nếu nó có một cơ sở gồm vô hạn phần tử. Ví dụ 1.3.1. Đa thức  X  là không gian các đa thức chiều vô hạn Thật vậy: Cơ sở của  X  là 1, x, x2 ,... 1.4. Không gian thƣơng Giả sử W là một không gian vectơ con của không gian. Ta định nghĩa quan hệ trên V nhƣ sau:  Dễ dàng kiểm tra lại rằng       W. là một quan hệ tƣơng đƣơng, tức là một quan hệ có ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. đƣợc kí hiệu V Tập thƣơng của V theo quan hệ W . Lớp tƣơng đƣơng của phần tử  V đƣợc kí hiệu là   , hoặc   W. Ta trang bị cho V W hai phép toán sau đây:           ,  ,  V , a     a , a  K , V Định nghĩa 1.4.1. Không gian vectơ V W đƣợc gọi là không gian thƣơng của V theo không gian con W . Mệnh đề 1.4.1: Hai phép toán nói trên được định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn đại biểu. Hơn nữa , V W được trang bị hai phép toán đó là một K - không gian vectơ. Chứng minh Giả sử     '  ,      '  , nghĩa là   a'  W,    '  W Khi đó, vì W là một không gian vectơ con, cho nên 14      ( '   ' )     '   (   ' )  W Điều này chứng tỏ rằng         '   '  . Tƣơng tự, nếu     '  , tức là    '  W , thì a  a '  a(   ' )  W . Điều này có nghĩa rằng  a    a '  . Phần tử tập trung của phép cộng trong V W chính là 0  0  W . Phần tử đối của   chính là    . Dễ dàng kiểm tra rằng các tiên đề khác về không gian vectơ đƣợc thỏa mãn cho không gian V W . Hai trƣờng hợp đặc biệt của không gian thƣơng là: V / V  0, V / 0  V Định lí 1.4.1. dimV / W  dimV  dimW . Chứng minh Giả sử (1,..., r ) là một cơ sở của W . (Nếu W= 0 thì ta coi r  0 ).Ta bổ sung hệ vectơ nói trên để có một cơ sở (1,..., r , 1,...,  s ) của V . Ta sẽ chứng minh rằng ( 1 ,...,  s ) là một cơ sở của V / W . Giả sử có một ràng buộc tuyến tính: b1  1   ...  bs   s   0 . Điều này có nghĩa là b11  ...  bs  s  W .Vì thế vectơ đó biểu thị tuyến tính qua cơ sở đã chọn của W : b11  ...  bs  s  a11  ...  ar r Vì hệ (1,..., r , 1,...,  s ) độc lập tuyến tính, nên a1  ...  ar  b1  ...  bs  0 Nhƣ thế , hệ ( 1 ,...,  s ) độc lập tuyến tính. Mặt khác, rõ ràng ( 1 ,...,  s ) là một hệ sinh của không gian V / W . Thật vậy, mỗi vectơ  V biểu thị tuyến tính qua (1,..., r , 1,...,  s ) :   c11  ...  cr r  d11  ...  d s  s (c i , di  K ) 15 Vì c11  ...  cr r  W , cho nên    d11  ...  ds s   d1  1   ...  ds s  Nhƣ vậy, mỗi vectơ   V W . đều biểu thị tuyến tính đƣợc qua ( 1 ,...,  s ) . Đếm số vectơ của các cơ sở đã xây dựng cho W,V , V dimV W W ta có:  s  (r  s)  r  dimV  dimW Ta định nghĩa ánh xạ:  :V  V W  ( )     a  W. và gọi nó là phép chiếu từ V lên V W . Phép chiếu có tính chất sau đây:  (   )   ( )   ( )  (a )  a ( ),  ,  V , a  K,  V. Trong chƣơng sau chúng ta sẽ nghiên cứu một cách có hệ thống những ánh xạ có hai tính chất nhƣ thế. Chúng đƣợc gọi là ánh xạ tuyến tính. 1.5. Bài tập Dạng 1: Chứng minh hệ v1, v2 ,..., vn  là hệ sinh của V Để chứng minh v  v1, v2 ,..., vn  là một hệ sinh của V ta có thể sử dụng một trong các phƣơng pháp sau: Phƣơng pháp 1: Chứng minh với mọi vectơ v thuộc V thì có các số a1, a2 ,..., an thuộc trƣờng K sao cho: v  a1v1  a2v2  ...  anvn Trong không gian vectơ K m điều kiện cần là n  m điều này tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình: a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1  a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 a x  a x  ...  a x  b mn n 3  m1 1 m 2 2 Luôn có nghiệm với v  (b1, b2 ,..., bm )  K m 16 Trong đó vi  (a1i , a2i ,..., ami ), i  1, n Kết luận: Nếu trong V đã có một cơ sở thì sử dụng tọa độ của các vectơ ta luôn có thể đƣa bài toán chứng minh v1, v2 ,..., vn là một hệ sinh về việc xét hệ phƣơng trình vừa nêu Phƣơng pháp 2: Nếu biết trƣớc 1 hệ sinh u1, u2 ,..., un của V thì cần chứng tỏ mỗi vectơ ui , i  1, m biểu diễn đƣợc qua các vectơ v1, v2 ,..., vn . Phƣơng pháp 3: Điều kiện cần và đủ để m vectơ dòng của ma trận A  M (m; n; k ) với (m  n) sinh ra k n là A có định thức con cấp n khác 0. Tƣơng tự, n vectơ cột của ma trận A  M (m; n; k ) (n  m) sinh ra k m nếu A có định thức cấp m khác 0. Bài 1.1.1: Chứng minh rằng hệ 4 vectơ: u=(1,2,3); v=(0,2,1); w=(0,0,4); z=(2,4,5) là hệ sinh của không gian vectơ 3 Giải Cách 1: Sử dụng phương pháp 1 Xét hệ phƣơng trình: 1.x1  0.x2  0.x3  2.x4  b1  2.x1  2.x2  0.x3  4.x4  b2 3.x  1.x  4.x  5.x  b 2 3 4 3  1 Hệ phƣơng trình này có nghiệm vì hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận hệ số mở rộng và nghiệm của hệ phƣơng trình là:  x1  b1   x2  b2  1  2   x  (b3  3b1 )  3 4 x  0  4 Vậy u, v,w, z là hệ sinh Cách 2: Sử dụng phương pháp 2 Ta thấy : l1  w w v w , l2   , l3  u  v  4 2 2 8 17 Vì l1 , l2 , l3 là hệ sinh trong 3 , nên u, v, w, z là hệ sinh trong 3 Cách 3: Sử dụng phương pháp 3 1 0 0 Định thức 2 2 0  8 , nên u, v, w, z là hệ sinh trong 3 1 4 Bài 1.1.2: Xem trong 3 3 các hệ vectơ nào là hệ sinh a) u  (1,2,3); v  (2, 5,6), w  (0,0,0) b) u  (2, 5,1); v  (1,0,3);w  (4,3,2), z  (1, 1, 1) c) Các vectơ có đúng 2 thành phần bằng nhau và khác 0 Giải 1 2 0 a) Xét định thức : 2 5 0 =0 3 6 0 Nên hệ vectơ u, v, w không là hệ sinh trong 3 b) Tƣơng tự a): hệ vectơ u, v, w,z là hệ sinh trong c) Không phải là hệ sinh trong 3 3 Bài 1.1.3: Tìm điều kiện trên (a, b, c)  3 để nó thuộc không gian con sinh bởi các vectơ u  (2,1,0), v  (1, 3,2) và w  (0,7, 4) Giải Vectơ cần tìm phải thỏa mãn hệ thức: (a, b, c)  x(2,1,0)  y(1, 3,2)  z(0,7, 4) Với x, y, x  R . Khử dần biến x,y,z. Ta suy ra : 2a  4b  7c  0 Bài 1.1.4: Tìm không gian vectơ V và S V . Chứng tỏ rằng E ( S ) bằng giao của các không gian con chứa S . Từ đó suy ra E ( E (S ))  E (S ) Giải Nếu S  U và U là không gian con thì mọi v1,..., vm  S suy ra v1,..., vm U . Do đó 1v1  ...   mvm U 1,..., m  K , tức là E ( S )  U . Nhƣ vậy E ( S ) chứa