TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
TỔNG HỢP HỆ - BẤT - PHƢƠNG TRÌNH
TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016
3 x y 1 x 3 2 y 2 9 x 5
Bài 1: Giải hệ phƣơng trình: 3 3
.
2
2
x y 12 x 3 y 3 y 6 x 7
Lần 2 – THPT ANH SƠN 2
Lời giải tham khảo
x 3
y 1
Điều Kiện :
Phương trình thứ 2 tương đương với ( x 2)3 ( y 1)3 y x 1 (3)
Thay (3) v|o phương trình thứ nhất ta được:
3 x x 2 x3 2 x 2 5 x 3 điều kiện 2 x 3
3 x x 2 x3 2 x 2 5 x 3 3 x x 2 3 x3 2 x 2 5 x 6
2( (3 x)( x 2) 2)
x3 2 x 2 5 x 6
3 x x 2 3
2( x 2 x 2)
( x 1)( x 2)( x 3)
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2( x 2 x 2)
( x 2 x 2)( x 3)
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2
( x 2 x 2)(
( x 3)) 0
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2
( x 3) 0
Do điều kiện 2 x 3 nên
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
Suy ra x2 x 2 0 x 1; x 2 thoả mãn điều kiện.
Khi x 1 y 0 TMĐK
Khi x 2 y 3 TMĐK
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (-1;0), (2;3)
x 3 xy x y 2 y 5 y 4(1)
Bài 2: Giải hệ phƣơng trình
2
4 y x 2 y 1 x 1(2)
Lần 1 – sở giáo dục ĐỒNG THÁP
Lời giải tham khảo
xy x y 2 y 0
Đk: 4 y 2 x 2 0
y 1 0
Ta có (1) x y 3
x y y 1 4( y 1) 0
Đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 )
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 1
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
u v
u 4v(vn)
Khi đó (1) trở th|nh : u 2 3uv 4v2 0
Với u v ta có x 2 y 1, thay v|o (2) ta được :
4 y 2 2 y 3 2 y 1
2 y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
y 2 ( vì
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
y 1 1 0
y2
2
0 y 2
2
4 y 2 y 3 2 y 1
y 1 1
2
4 y 2 y 3 2 y 1
2
1
0
y 1 1
1
0y 1 )
y 1 1
Với y 2 thì x 5 . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT l| 5; 2
2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y
Bài 3: Giải hệ phƣơng trình:
2
2
9
3 2 x y 3 4 5x 2 x y 9
x, y .
Lần 1– THPT BẢO THẮNG SỐ 3
Lời giải tham khảo
2 x y 0
ĐK : 4
x 5
Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có :
2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y x y 1 2x y 3 0 y x 1
Với y x 1 thay v|o phương trình thứ hai ta được phương trình sau :
2
2
9
3 x 1 3 4 5x x 10
2 x 10 6 x 1 4 5x 9 9 3 x 1 3 4 5x x 1 4 5x
x 1 4 5x 3 9 x 1 9 4 5x 4x 41 0
4
( Do x 1; nên 9 x 1 9 4 5x 4x 41 0 )
5
x 1 4 5x 3 0
x 1 4 5x 3 2 x 1. 4 5x 4 4x
x 1 0
x 1
x 1. 4 5x 2 x 1 0
x 0
4 5x 2 x 1
Với x 0 y 1; x 1 y 2
Đối chiếu với điều kiện v| thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho có
nghiệm : ( x; y) (0; 1);( x; y) (1; 2)
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 2
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Bài 4: Giải phƣơng trình:
x
x2
1
2 3 2x
x
3
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2x
1
1
3
.
Lần 1 – THPT BÌNH MINH
Lời giải tham khảo
Điều kiện: x
1, x
13
x x6
( x 2)( x 1 2)
( x=3 không l| nghiệm)
1
3
2x 1 3
2x 1 3
(2 x 1) 3 2 x 1 ( x 1) x 1 x 1
Pt x 1 2
2
3
H|m số f (t ) t 3 t đồng biến trên
do đó phương trình 3 2 x 1 x 1
x 1/ 2
x 1/ 2
3 2
2
3
(2 x 1) ( x 1)
x x x 0
x 1/ 2
1 5
1 5 x 0, x 2
x 0, x
2
Vậy phương trình có nghiệm S
{0,
1
5
2
}
32 x5 5 y 2 y ( y 4) y 2 2 x
x, y .
Bài 5: Giải hệ phƣơng trình:
3
(
y
2
1)
2
x
1
8
x
13(
y
2)
82
x
29
Lần 2 – THPT Bố Hạ
Lời giải tham khảo
1
Đặt đk x , y 2
2
+) (1) (2 x)5 2 x ( y 2 4 y) y 2 5 y 2 (2 x)5 2 x
5
y 2 y 2(3)
Xét h|m số f (t ) t 5 t , f '(t ) 5t 4 1 0, x R , suy ra h|m số f(t) liên tục trên R. Từ (3)
ta có f (2 x) f ( y 2) 2 x y 2 Thay 2 x y 2( x 0) v|o (2) được
Thay 2 x y 2( x 0) v|o (2) được
(2 x 1) 2 x 1 8 x 3 52 x 2 82 x 29
(2 x 1) 2 x 1 (2 x 1)(4 x 2 24 x 29) (2 x 1)
2 x 1 4 x 2 24 x 29 0
1
x
2
2
2 x 1 4 x 24 x 29 0(4)
1
Với x . Ta có y=3
2
(4) ( 2 x 1 2) (4 x 2 24 x 27) 0
2x 3
(2 x 3)(2 x 9) 0
2x 1 2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 3
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 3 / 2
1
(2 x 9) 0(5)
2 x 1 2
3
Với x . Ta có y=11 Xét (5). Đặt t 2 x 1 0 2 x t 2 1 . Thay vao (5) được
2
1 29
t 3 2t 10 21 0 (t 3)(t 2 t 7) 0 . Tìm được t
.
2
Xét (5). Đặt t 2 x 1 0 2 x t 2 1 . Thay vao (5) được
t 3 2t 10 21 0 (t 3)(t 2 t 7) 0 . Tìm được t
Từ đó tìm được x
1 29
.
2
13 29
103 13 29
,y
4
2
x3 y 3 3x 2 3 y 2 24 x 24 y 52 0
Bài 6: Giải hệ phƣơng trình: x 2
.
2
y 1
4
Lần 1 – THPT CAM RANH
Lời giải tham khảo
2 x 2
.
1 y 1
Đk
Đặt t y 2 . Biến đổi phương trình đầu về dạng. x3 3x2 24x t 3 3t 2 24t
Xét h|m số f x x3 3x 2 24 x liên tục trên 2; 2
Chứng minh được x=t=y+2
x 2
x y 2
x y 2
2
y 0
y 0
Hệ pt được viết lại: x
2
x 6 / 5
y 1
y 4 / 5
4
y 4 / 5
KẾT LUẬN:
x 3 - 6x 2 + 13x = y 3 + y + 10
Bài 7: Giải hệ phƣơng trình:
3
2
2x + y + 5 - 3 - x - y = x - 3x - 10y + 6
.
Lần 2 – THPT CAM RANH
Lời giải tham khảo
XÉT PT(1):
x 3 6x 2 13x y3 y 10 x 2 ( x 2) y 3 y (*)
3
Xét h|m số f t t 3 t . Ta có f ' t 3t 2 1 0t f t đồng biến trên
Do đó (*) y x 2 . Thay y x 2 v|o (2) ta được: 3x 3 5 2 x x 3 3x 2 10 x 26
3x 3 3 1 5 2 x x3 3 x 2 10 x 24
5
2
(ĐK : x 1)
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 4
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
3 x 2
2 x 2
3x 3 3 1 5 2 x
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 2 x 2 x 12
x 2
3
2
x 2 x 12 (3)
3x 3 3 1 5 2 x
5
2
x
2
Hệ có nghiệm duy nhất
y 0
PT (3) vô nghiệm vì với x 1 thì x2 x 12 0 .
Bài 8: Giải bất phƣơng trình:
x3
3 x1 x 3
2 9x
.
x
Lần 1– THPT CAO LÃNH 2
Lời giải tham khảo
Điều kiện: 1 x 9; x 0
(1)
x 2 3x 2 9 x x 3 3 x 1
x x 3 3 x1
0
( x 3)2 9( x 1) 2 9 x x 3 3 x 1
x x 3 3 x1
x 3 3
x1 x 33 x1 2 9 x
x x 3 3 x1
0
0
x 1 x 1 3 2 1 9 x
x 33 x1 2 9 x
0
0
x
x
x8
x1
2
x8
00x8
0
x x 1 3 1 9 x
x
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình l| 0 x 8
Bài 9: Giải bất phƣơng trình: x2 + x – 1 (x + 2) x 2 2 x 2
Lần 1 – THPT chuyên LÊ QÚY ĐÔN - KH
Lời giải tham khảo
TA CÓ : x2 2x – 7 + (x + 2)(3 x 2 x 2 ) 0 (x2 2x – 7)
2
Vì:
( x 1) 1 x 1 x 1 nên :
2
( x 1)2 1 ( x 1)
3 x 2 2 x 2
( x 1)2 1 ( x 1)
3 x 2 2 x 2
0.
> 0 , x.
x2 – 2x – 7 0 x 1 2 2 1 + 2 2 x
Vậy bất pt có tập nghiệm: S = (;1 2 2 ] [1 + 2 2 ;+)
Bài 10: Giải bất phƣơng trình: x3 x 2 2 3 3x 2 ..
Lần 1 – THPT chuyên NGUYỄN HUỆ
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 5
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Lời giải tham khảo
x x 2 2 3x 2
3
3
x3 3 x 2 2 3 3 x 2 2 x
3 x 2 x3
x3 3 x 2 2
3
2
3x 2 x 3 3x 2 x 2
2
x3 3 x 2 1
0
2
2
3
3
3x 2 x 3x 2 x
2
x3 3 x 2 0 1
0,
x
2
2
3
3
3x 2 x 3x 2 x
x 1
x 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình l| 1 .
x 3 y3 3x 2 3x 6y 4 0
Bài 11: Giải hệ phƣơng trình:
.
y 2x 3 3 7y 13 3 x 1
Lần 2 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
Lời giải tham khảo
Từ phương trình (1) ta có: x3 3x y 1 3 y 1
3
Xét h|m số f t t 3 3t , f t 3t 2 3
f t 0 với mọi t suy ra h|m số f t đồng biến trên
.
f x f y 1 x y 1 Thế x y 1 v|o phương trình (2) ta được:
Thế x y 1 v|o phương trình (2) ta được:
x 1
2 x 3 3 7 x 6 3 x 1
3
Ta có x 1 không l| nghiệm phương trình. Từ đó:
2x 3 3 7 x 6
Xét h|m số g x
3
3 x
x 1
2x 3 3 7 x 6
3 x
x 1
TXĐ: D \ 1
2
g x
1
7
6
2 x 3 33 7 x 6 2 x 12
3
3
g x 0 ; x 1, g không x{c định.
2
2
3
H|m số đồng biến trên từng khoảng ;1 và 1; .
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 6
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Ta có g 1 0; g 3 0 . Từ đó phương trình g x 0 có đúng hai nghiệm x 1 và
x 3.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 1; 2 và 3; 2 .
xy ( x 1) x 3 y 2 x y
Bài 12: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
2
3
y
2
9
x
3
4
y
2
1
x
x
1
0
Lần 1 – THPT CHUYÊN SƠN LA
Lời giải tham khảo
y x
Biến đổi PT (1) x y x 2 y 1 0
2
y x 1
3x 2 9 x 2 3 4 x 2
x = y thế v|o PT (2) ta được: 2 x 1
Xét f (t ) t
2 x 1
2
3 2 (3 x) 2 (3 x) 2 3
f 2 x 1 f 3 x
t 2 3 2 có f '(t ) 0, t.
1
5
f l| h|m số đồng biến nên: 2 x 1 3x x y
1 x x2 1 0
y x2 1
Thế vào (2) 3( x 2 1) 2 9 x 2 3 4 x 2 1 2
1
y x2 1
5
1 x x2 1 0
Vế tr{i luôn dương, PT vô nghiệm.
1
5
1
5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ; .
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
Bài 13: Giải hệ phƣơng trình:
3x 2 8 x 3 4 x 1 y 1
x, y .
Lần 1 – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
Lời giải tham khảo
x 1
y 1
Điều kiện:
1
x3 x 2 x
y 2
x 1
3
x 1 y 1
x3 x x 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
x
x
y 1 y 1 .
x 1
x 1
Xét h|m số f t t 3 t trên
có f t 3t 2 1 0t
x
f
x 1
Nên f
y 1
suy ra f(t) đồng biến trên
.
x
y 1 . Thay vào (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 7
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
2 x 1 x 2 x 1
2
Ta có y
2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 1
2
x 3 2 3
x 6x 3 0
2 x 1 x 1
1
5 2 13
x
x
2 x 1 1 3 x
3
9
2
9 x 10 x 3 0
x2
1
x 1
Với x 3 2 3 y
43 3
5 2 13
41 7 13
. Với x
.
y
2
9
72
C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện.
Hệ phương trình có hai nghiệm
x; y 3 2
3;
5 2 13 41 7 13
43 3
;
& x; y
.
2
9
72
3
3
2
2
x y 8 x 8 y 3x 3 y
Bài 14: Giải hệ phƣơng trình: 2
.
3
2
5
x
5
y
10
y
7
2
y
6
x
2
x
13
y
6
x
32
Lần 2 – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
Lời giải tham khảo
x 2 0
x 2
y 7 0
y 7
Điều kiện :
Từ phương trình 1 ta có x 1 5 x 1 y 1 5 y 1
3
3
3
Thay 4 vào 2 ta được pt: 5x 2 5x 10 x 7 2 x 6 x 2 x3 13x 2 6 x 32 5
Đ/K x 2
5x
2
5x 10
x 7 3 2x 6
Xét hàm số f t t 3 5t , trên tập
trên
5x
4
2
5x 10
5 x 2 5 x 10
, f t 3t 2 5 0, t hàm số f t đồng biến
3 : f x 1 f y 1 x y
x 7 3 2 x 6 x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 5
.
x 2
x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 5
Từ
2x 6
2
x 2 x 5
x2 2
x7 3
4
x 2
y 2 x; y 2;2 ( thỏa mãn đ/k)
5 x 2 5 x 10 2 x 6
5 x 2 5 x 10
2x 6
0
5
2
x7 3
x2 2
5 x 2 5 x 10
x 2
x7 3
2x 6
x 2 5 0
x2 2
x 2
y 2 x; y 2;2 ( thỏa mãn
4
đ/k)
1
1
1
1
5 x 2 5 x 10
2x 6
0 (pt n|y vô nghiệm)
0,x2 x 7 3 5 0,x2 x 2 2 2
0,x 2
0,x 2
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất : x; y 2; 2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 8
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x2 2
Bài 15: Giải bất phƣơng trình:
6 x2 2 x 4 2 x 2
1
.
2
Lần 3 – THPT chuyên VĨNH PHÚC
Lời giải tham khảo
Điều kiện : x 2
Do đó bất phương trình 2
x 2 2 6 x2 2 x 4 2 x 2
2 x 2 2 x 12 x 2 6 x 2
Ta có
6 x 2x 4 2 x 2
2
trình 2
2 x2 2 x 4
6 x2 2 x 4 2 x 2
1
0, x 2 Do đó bất phương
x 2 2 6 x2 2 x 4 2 x 2
Nhận xét x 2 không là nghiệm của bất phương trình
2 2t 0
t 1
2 2t 12 6t 2
t2
2
2
2
2 t 2 0
4 8t 4t 12 6t
Khi
x 2
chia
hai
vế
x
x
2 2
12 6
x2
x2
bất
2
phương
2 . Đặt t
trinh
1 cho
x2 0
ta
được
x
thì bất phương trình 2 được
x2
x
x x
x x0
2t22
12
6
t 2 3 .
thì bất phương trình 2 được
2
. xĐặt
2
2
2
x 2x 2
x2
x x42x 8 0
2
Bất phương trình có nghiệm duy nhất x 2 2 3 .
x 1 97 y 2 y 1 97 x 2 97( x 2 y 2 )
( x, y ). .
Bài 16: Giải hệ phƣơng trình:
27 x 8 y 97
Lần 2 – THPT CHUYÊN HẠ LONG
Lời giải tham khảo
Điều kiện: 0 x , y
1
97
1
1 1
1
'0 ,
;
,
vào (1), (2)
97 97 97 97
1
ta thấy c{c cặp n|y đều không l| nghiệm. Do đó 0 x , y
97
1
Đặt 97 x a, 97 y b . Do 0 x , y
nên 0 a, b 1 . Khi đó (1) trở th|nh
97
Thay ( x; y) bằng một trong c{c cặp số (0; 0), 0;
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 9
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
a 1 b b 1 a a2 b2 a a 1 b2 b b 1 a2 0
a
b
( a 2 b 2 1)
2
b 1 a2
a 1 b
1
2
2
2
2
.
0 a b 1 . Suy ra x y
97
Với c{c số dương a1 , a2 , b1 , b2 , ta có a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 . Đẳng thức xảy ra khi v|
chỉ khi a1b2 a2b1 . Thật vậy,
a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 a1b2 a2 b1 0
2
2
1
)
97
Do đó 27 x 8 y 97 9 x 4 y 97
97 x 2 y 2 97 (do x 2 y 2
Đẳng thức xảy ra khi 4x = 9y v| x 2 y 2
1
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm
97
9 4
;
97 97
của hệ pt đã cho l| x; y
9 4
;
97 97
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ pt đã cho l| x; y
2x x 2 3y 2 7
Bài 17: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
2
x 6xy y 5x 3y
Lần 1 – THPT CHUYÊN LONG AN
Lời giải tham khảo
uv
x
3
3
x y u
2 . Ta có hệ phương trình: u v 7(1)
Đặt
2
2
2u 4u v v(2)
x y v y u v
2
Lấy (2) nh}n với −3 rồi cộng với (1) ta được:
u3 6u2 12u 8 v3 3v2 3v 1 0 u 2 v 1 0
3
3
u 1 v . Thay vào phương trình (2), ta được: v2 v 2 0
Thay v|o phương trình (2), ta được: v2 v 2 0
v 1
1 3
+ v 1 suy ra u = 2. Suy ra x, y ,
2 2
v 2
1 3
+ v 1 suy ra u = 2. Suy ra x, y ,
2 2
1 3
+ v 2 suy ra u = −1. Suy ra x, y ,
2 2
x 3 y 3 3 y 2 3x 6 y 4 0
Bài 18: Giải hệ phƣơng trình:
.
3
y 2 x 3 7 y 13 3( x 1)
Lần 1 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
Lời giải tham khảo
Điều kiện: x
3
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 10
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Từ pt(1) ta có x 3x ( y 1) 3( y 1)
3
3
f (t) 0 với mọi t suy ra h|m số đồng
Xét h|m số f (t ) t 3 3t ; f (t ) 3t 2 3 0, t
biến trên
f (t) 0 với mọi t suy ra h|m số đồng biến trên
Mà f ( x) f ( y 1) nên x y 1
Thế x y 1 v|o pt(2) ta được: ( x 1)
2x 3 3 7 x 6 3( x 1) (3)
Ta có x 1 không l| nghiệm của pt(3). Từ đó
Xét h|m số g( x) 2 x 3 3 7 x 6
3
2x 3 3 7 x 6
3( x 1)
x 1
3( x 1)
x 1
Tập x{c định D ; \1
2
g( x)
1
2x 3
7
3 3 (7 x 6)2
6
( x 1)2
3
3
g( x) 0, x ; x 1, g không x{c định.
2
2
3
H|m số đồng biến trên từng khoảng ;1 và 1; . Ta có g(1) 0; g(3) 0 . Từ
2
đó pt g( x) 0 có đúng hai nghiệm x 1 và x 3.
Ta có g(1) 0; g(3) 0 . Từ đó pt g( x) 0 có đúng hai nghiệm x 1 và x 3.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1; 2) và (3; 2)
Bài 19: Giải bất phƣơng trình:
1
x 1
2
1
3x 5
2
2
x 2 1
2
.
Lần 1 – THPT ĐA PHÚC
Lời giải tham khảo
+) Đặt t = x2 – 2, bpt trở th|nh:
1
1
2
ĐK: t 0 với đk trên, bpt tương
t 3
3t 1
t 1
đương
1
1
) 2 . Theo Cô-si ta có:
t 3
3t 1
t
1 2t
11
2t
.
2 3t 1 2 2 3t 1
3t 1
t
t t 1 1 t
t 1
.
t 1 t 3 2 t 1 t 3
1
1 t 1 1 1
t 1
t 3
.
t 1 3t 1 2 t 1 3t 1
3t 1
1
1 2
11
2
.
VT 2t 0.
2 t 3 2 2 t 3
t 3
( t 1)(
t
1 2t
11
2t
.
2 3t 1 2 2 3t 1
3t 1
1
1 t 1 1 1
t 1
.
t 1 3t 1 2 t 1 3t 1
3t 1
VT 2t 0.
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 11
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
+) Thay ẩn x được x2 2 x (; 2] [ 2; ) T ( ; 2] [ 2; ).
Bài 20: Giải phƣơng trình: 32 x 4 16 x 2 9 x 9 2 x 1 2 0 .
Lần 2 – THPT ĐA PHÚC
Lời giải tham khảo
1
2
4
2
32 x 32 x 16 x 2 16 x 7 x 7 9 9 2 x 1 0
Điều kiện x , phương trình đã cho tương đương
32 x 2 x 2 1 16 x x 1 7( x 1) 9 1 2 x 1 0
32 x 2 x 1 ( x 1) 16 x x 1 7( x 1)
9 2 2x
1 2x 1
18
x 1 32 x 2 ( x 1) 16 x 7
0
1 2x 1
18
x 1 32 x3 32 x 2 16 x 7
0 (*)
1 2x 1
0
Ta có
32
3
32
x
4
8
1
32
x 32 x 2
8 32 x 3 32 x 2 16 x 7 27
2
4
16
16 x 2 8
18
1 2x 1 1
18
1 2x 1
18
32 x 3 32 x 2 16 x 7
9 0.
1 2x 1
Vậy (*) x 1 .
Kết luận: Phương trình có nghiệm x =1.
x 3 xy x y 2 y 5 y 4
Bài 21: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
4 y x 2 y 1 x 1
Lần 1 – THPT PHƢỚC BÌNH
Lời giải tham khảo
xy x y 2 y 0
Đk: 4 y 2 x 2 0 . Ta có (1) x y 3
y 1 0
x y y 1 4( y 1) 0
Đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 )
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 12
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
u v
Với u v ta có x 2 y 1, thay vào
u
4
v
(
vn
)
Khi đó (1) trở th|nh : u 2 3uv 4v2 0
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
(2) ta được :
Với u v ta có x 2 y 1, thay v|o (2) ta được :
4 y 2 2 y 3 2 y 1
2
( vì
4 y2 2 y 3 2 y 1
2 y 2
y 1 1 0
2
y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
4 y2 2 y 3 2 y 1
y2
0
y 1 1
1
0 y2
y 1 1
1
0y 1 )
y 1 1
Với y 2 thì x 5 . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ PT l| 5; 2
Bài 22: Giải bất phƣơng trình:
x 1
x2 x 2 3 2 x 1
.
3
2x 1 3
Lần 2 – THPT PHƢỚC BÌNH
Lời giải tham khảo
- ĐK: x 1, x 13
x 1
- Khi đó:
x2 x 2 3 2 x 1
x2 x 6
x
1
2
3
3
2x 1 3
2x 1 3
1
x 2
3
x 1 2
2x 1 3
, *
- Nếu 2 x 1 3 0 x 13 (1)
thì (*) 2x 1 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1
3
Do hàm f (t ) t 3 t l| h|m đồng biến trên
f
3
2x 1 f
, mà (*):
x 1 3 2 x 1 x 1 x3 x 2 x 0
1 5 1 5 DK(1)
VN
0;
2
2
2 x 1 3 0 1 x 13 (2)
Suy ra: x ;
- Nếu 3
thì (2*) 2x 1 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1
Do hàm f (t ) t 3 t l| h|m đồng biến trên
f
3
2x 1 f
x 1
1 5
;
2
Suy ra: x 1;0
, mà (2*):
1
1 x 2
3
2 x 1 x 1 1 x 13
2
2
3
2 x 1 x 1
1 5
DK(2)
;13
x 1;0
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 13
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
1 5
;13
2
-KL: x 1;0
x 2 xy 2y 1 2y3 2y 2 x
Bài 23: Giải hệ phƣơng trình:
.
6 x 1 y 7 4x y 1
Lần 3 – THPT PHƢỚC BÌNH
Lời giải tham khảo
ĐK: x 1 .
1 2y2 x 1 x y 0 y x 1 vì
2y 2 x 0, x 1
Thay v|o (2) ta được 6 x 1 x 8 4x 2
x 1 3 2x 2x x 1 3
2
2
4x 2 13x 10 0
2x 3 x 1
x 2 y 3
3
x
2
Vậy nghiệm của phương trình l| ( x; y) (2;3) .
2 x3 4 x 2 3x 1 2 x 3 2 y 3 2 y
Bài 24: Giải hệ phƣơng trình:
3
x 2 14 x 3 2 y 1
1
2
.
Lần 4 – THPT PHƢỚC BÌNH
Lời giải tham khảo
Ta thấy x 0 không phải l| nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho x3 ta được
4 3 1
22 y 3 2 y
x x 2 x3
3
1 1
1 1 3 2 y 3 2 y 3 2 y
x x
1 2
*
Xét hàm f t t 3 t luôn đồng biến trên
* 1
1
3 2y
x
Thế (3) v|o (2) ta được
3
x 2 3 15 x 1 x 2 3 2 3 15 x 0
1
1
x 7
x 2 3 4 2 3 x 15
0
0
2
3
x 15
111
Vậy hệ đã cho có nghiệm x; y 7;
.
98
2 x y 6 1 y
Bài 25: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
9
1
x
xy
9
y
0
Lần 5 – THPT PHƢỚC BÌNH
Lời giải tham khảo
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 14
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x y 6 0
Đk:
x 1
+) Nếu y 0 , để hệ có nghiệm thì 1 y 0 .
VT (1) 2 x y 6 2 5
VT (1) VP(1) hệ vô nghiệm.
VP(1) 1 y 1
+) Nếu y<0, từ (2) suy ra x>0
2
3
3
2
9 1 x xy 9 y 0
9
y 9 y (3)
x
x
9 2t 2
2
Xét h|m số f (t ) t 9 t , t 0; f '(t )
0t 0
9 t2
3
9
3
(3) f
y x 2
f ( y )
y
x
x
2
9
9
y 6 1 y (4). H|m số g ( y ) 2 2 y 6
2
y
y
đồng biến trên ;0 ; h|m số h(y)=1-y nghịch biến trên ;0 v| phương trình có
Thế v|o pt(1) ta có phương trình 2
ngiệm y=-3 nên pt(4) có nghiệm duy nhất y=-3. Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (1;-3).
x
Bài 26: Giải hệ phƣơng trình:
x
2
x2
x
y
x
y
x3
4
x2
2x 2
3
y
x
y
3
1
.
Lần 1 – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC
Lời giải tham khảo
x y 4 0
x y 4 0
Điều kiện
2 y x 1 thế (1) ta được: x 2 2x 3 x3 x2 x 2
2
x 1 2 x 3 x 1 4 2 x 3 2 x 8 0
x 1
x 2
Hệ có nghiệm x; y 1; 2 ,
2; 2 1
Bài 27: Giải bất phƣơng trình: x 2 x 6
x
2
x 6
x 1 x 2
x2 x 6
x 1 x 2
x 1 3x 2 9x 2 .
Lần 2 – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC
Lời giải tham khảo
x 1 3x 2 9x 2
x 1 1 x 2
x 1 2 2x 2 10x 12
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 15
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x
2
x 6 x 2
x 2 x 3 2x
x 1 1
2
x 5x 6 x 2
x 1 2
x 2 5x 6
2
2 x
x 1 2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
10x 12
5x 6
x 1 1
x 2
1
x 2 5x 6
2 0
x 1 2
x 1 1
2
x 1 1
1
x 2 5x 6
0
x
1
1
x
1
2
x 1;2 3;
2
y 1 2 y 2 1 x x 2 xy 3 y
Bài 28: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
2
x
y
3
y
3
x
7
Lần 1 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lời giải tham khảo
Đk: y 1, x 0, y 3x
2
1
2 y 1 x 0
y 1 x
Từ pt (2) ta có : y x 1
Suy ra, y = x + 1
Thay v|o pt (1) ta được
x2 x 1 x2 x 1 7 3
Xét h|m số: f ( x) x2 x 1 x2 x 1
Chứng minh h|m số đồng biến
Ta có nghiệm duy nhất x = 2
Vậy nghiệm của hệ l| (2;3)
Bài 29: Giải hệ phƣơng trình:
x2
y2
x
y
2xy
x y
x2 y
1
.
Lần 2 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lời giải tham khảo
Điều kiện: x y 0 .
(1) ( x y)2 1 2 xy 1
1
2
2
0 ( x y 1)( x y x y ) 0
xy
x y 1 0 (vì x y 0 nên x 2 y 2 x y 0 )
Thay x 1 y v|o (2) ta được: 1 x 2 (1 x ) x 2 x 2 0 x 1 y 0
x 2 y 3
Vậy hệ có 2 nghiệm: (x;y) = (1; 0), (x;y) = (–2; 3)
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 16
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x
Bài 30: Giải hệ phƣơng trình:
x
2y
3
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
1
2xy y
2x 2
x
5
5x
1
8x
2y
2
10y
4y (y
6
0
1)
.
Lần 3 – THPT ĐỒNG XOÀI
Lời giải tham khảo
+ Điều kiện:
x
2y
5
x
x
x
x
2y 2
Dễ thấy x 2
y
2xy
2
y
x
1
x
Do đó hệ
2x
2y 2
2xy
2x 2
x
5
8x
2y
5
0
2y
8x
x
1
2y
5
0
2y 2
2y
5
2
4
2y
6
6
0
0
x2
0
y2
R.
6
1
5
x
2x 2
2x 2
7x
6
0 (*)
2y
y2
2xy
0 : vô nghiệm với x, y
8x
2y
2y
1
4
0
0
2y
5
x
2y
Giải phương trình: 2x
1
1
2
x
+) Điều kiện:
x
5
2x
2x
x
8
1
3
5
4
2x
3
Vậy hệ có nghiệm x ; y
1
5
7
0 (*)
4)(2x
1)
x
2x 2
7x
4
0
0
0
1
1
1
1
1
2
2x
2
7x
3
(x
x
x
Dễ thấy
1
4
1
2x 2
5
+) Phương trình 2x
2x 2
x
5
0
2xy
x
1
2y x 2
1
2y
2
2y
x
2y
0
0
x
+Ta có hệ
1
5
x
3
(2x
1
5
1)
(2x
1)
0
0 nên x
4
y
x
2
4;2 .
x x2 y 2 x2 2 x y 2 3
Bài 31: Giải hệ phƣơng trình:
x, y .
3 x3 2 x y 2 x 2 y 2 2
2
y
1
x
x
2x 1
Lần 2 – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
Lời giải tham khảo
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 17
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
ĐK: x y 0
2
Từ PT(1) tìm được x x y 2 x 2 x y 2
Thế v|o (2) đưa về pt chỉ có ẩn x
3
1
1
2
2
Đưa được về h|m 1 1 1 3 1
x
x
x
x
Xét hàm f t t 3 t đồng biến trên »từ đó được pt 1
1 3
2
1 giải được
x
x
5 1
5 1
L , x
N
2
2
æ 5 -1
ö
Nghiệm ç
; ± 5 - 2÷
è 2
ø
x
x y x y 2
Bài 32: Giải hệ phƣơng trình:
2
2
2
2
x y 1 3 x y
.
Lần 1 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
Lời giải tham khảo
Điều kiện: x+y 0, x-y 0
u v 2 (u v)
u v 2 uv 4
u x y
u 2 v2 2
Đặt:
ta có hệ: u 2 v 2 2
v x y
uv 3
uv 3
2
2
u v 2 uv 4
(1)
(u v) 2 2uv 2
. Thế (1) v|o (2) ta có:
uv 3 (2)
2
uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv ) 2 uv 0 .
uv 0
Kết hợp (1) ta có:
u 4, v 0 (vì u>v).
u v 4
Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k)
KL: Vậy nghiệm của hệ l|: (x; y)=(2; 2)..
2
2
2
2
( x y )( x xy y 3) 3( x y ) 2
Bài 33: Giải hệ phƣơng trình:
.
2
4 x 2 16 3 y x 8
Lần 2 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
Lời giải tham khảo
16
3
3
(1) ( x 1) ( y 1)3 y x 2 Thay y=x-2 vao (2) được
4( x 2)
3( x 2)
4 x 2 22 3x x 2 8
( x 2)( x 2)
x22
22 3x 4
ĐK: x 2, y
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 18
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 2
4
3
( x 2)
0(*)
x 2 2
22 3 x 4
Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên h|m số đồng biến. suy ra x=-1 l| nghiệm duy
nhất của (*)
KL: HPT có 2 nghiệm (2;0),(-1;-3)
x x 2 x 4
y 1 y 3 y 5
Bài 34: Giải hệ phƣơng trình:
2
2
x y x y 44
.
Lần 3– THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
Lời giải tham khảo
Xéth|m số f t t t 2 t 4 trên 0; , có
f t
1
2 t
1
1
0, t 0;
2 t 2 2 t 4
Nên (1) x x 2 x 4 y 5 4 y 5 2 y 5 x y 5 (*)
Thay (*) vào (2):
y 3 y 2 1
(3)
Nh}n (3) với lượng liên hợp: 5 y 3 y 2
(4)
(3), (4) y 3 3 y 6
ĐS: 1; 6
x x2 y y x 4 x3 x
Bài 35: Giải hệ phƣơng trình:
9.
x y x 1 y( y 1)
2
Lần 1– THPT HÀ HUY TẬP
Lời giải tham khảo
Đk: x 1; y 0
pt(1) x x 2 y y x x 2 x x x
x2 y x2 x x y
x
y x
1 0
x2 y x2 x
L}̣p lu}̣n
x
2
2
x y x x
1 0 với x 1; y 0
Với x y thay vào pt(2): x x x 1 x ( x 1)
2
x x 1 2
Giải pt(2’) được: x
9
2
x x 1 8 0 (2’) Giải pt(2’) được: x
25
25
y
6
6
25
25
y
6
6
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 19
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
25 25
V}̣y hpt có nghiệm ;
6 6
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
Bài 36: Giải hệ phƣơng trình:
3x 2 8 x 3 4 x 1 y 1
x, y R .
Lần 2 – THPT HÀ HUY TẬP
Lời giải tham khảo
x 1
y 1
Điều kiện:
1
x3 x 2 x
y 2
x 1
3
x 1 y 1
x3 x x 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
x
x
y 1 y 1 .
x 1
x 1
Xét hàm số f t t 3 t trên R có f t 3t 2 1 0t R suy ra f(t) đồng biến trên R.
x
x
y 1 . Thay vào (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
f y 1
x 1
x 1
3
Xét h|m số f t t t trên R có f t 3t 2 1 0t R suy ra f(t) đồng biến trên R. Nên
Nên f
x
f
f
x 1
y 1
2 x 1 x 2 x 1
2
Ta có y
2
x
y 1 . Thay vào (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
x 1
x 1
2
x 3 2 3
x 6x 3 0
2 x 1 x 1
1
5 2 13
x
x
2 x 1 1 3 x
3
9
2
9 x 10 x 3 0
x2
1
x 1
Với x 3 2 3 y
43 3
5 2 13
41 7 13
y
. Với x
.
2
9
72
C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện.
KL: Hệ phương trình có hai nghiệm x; y 3 2 3;
43 3
2
5 2 13 41 7 13
& x; y
;
.
9
72
Bài 37: Giải bất phƣơng trình: 1 x x2 1 x2 x 1(1 x2 x 2) .
Lần 2 – THPT ANH SƠN 2
Lời giải tham khảo
Bất phương trình đã cho tương đương
( x x2 1 x2 x 1 x2 x 2) (1 x2 x 1) 0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
94 
106 
50 
