ĐỀ CƯƠNG TRẮC NGHIỆM 12 – TẬP 2
5. KHỐI ĐA DIỆN
6. MẶT NÓN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU
7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
THÁNG 01/2017
5A. Khoảng cách - Góc
KHOẢNG CÁCH – GÓC
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB BC a . Biết
a3
thể tích của khối chóp là
. Khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
6
A. h
a 2
B. h
a 3
2
C. h
a 3
D. h
a 2
2
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB a 2 . Biết góc tạo
bởi SC và (ABC) bằng 450 . Khoảng cách từ SB đến SC bằng:
a 3
a 2
a 5
A.
B. a 2
C.
D.
2
2
2
Câu 3. Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB AC a , I là trung
điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của
BC , mặt phẳng SAB tạo với đáy 1 góc bằng 60 . Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt
phẳng SAB theo a.
A.
a 3
4
B.
a 3
2
C. a 3
D.
a
4
Câu 4. Khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B.
Biết BC a và SB 2a và thể tích khối chóp là a 3 . Khoảng cách từ A đến (SBC) là:
A. 2a
B. 3a
C.
3a
2
D.
a 3
4
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau và
SA SB SC a. Khi đó khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng:
a
a
a
a
A.
B.
C.
D.
2
3
2
3
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết BC a 3 , BA a .
Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AC và biết
a3 6
thể tích khối chóp S.ABC bằng
. Khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SAB) là
6
2a 66
a 30
a 66
a 30
A. h
B. h
C. h
D. h
.
.
.
.
11
10
11
5
1
5A. Khoảng cách - Góc
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB a , AC a 2 , AD a 3 , các tam giác ABC , ACD ,
ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng
BCD .
A. d
a 6
3
B. d
a 30
5
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có AB
AD, biết EF
A. 600
CD
C. d
a 3
2
D. d
a 66
11
2a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và
a 3 . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :
B. 450
C. 300
D. 900
Câu 9. Cho hình chóp đều S.ABC. Người ta tăng cạnh đáy lên gấp 2 lần. Để thể tích giữ
nguyên thì tan của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy phải giảm đi số lần là :
A. 8
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 10. Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai
dường thẳng A'B và B'D là :
a 6
a 6
a 6
A. a 6
B.
C.
D.
6
2
3
Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc
giữa CA ' và mặt ( AA ' B ' B) bằng 30 . Gọi d AI ', AC là khoảng cách giữa A ' I và AC,
kết quả tính d AI ', AC theo a với I là trung điểm AB là
A.
a 210
70
B.
a 210
35
C.
2a 210
35
D.
3a 210
35
Câu 12. Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật.
AB a, AD a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng
với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính
khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
A.
a 3
2
B.
a 3
3
C.
a 3
4
D.
a 3
6
Câu 13. Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC a, BC 2a, ACB 1200. Đường thẳng
A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 300. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích khối
lăng trụ ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’ theo a.
A.
a 3
21
B.
a 7
3
C.
a 3
7
D. a
3
7
a 17
hình chiếu
2
vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của
AD. Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a?
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD
A.
3a
.
5
B.
a 3
.
7
C.
a 21
.
5
D.
3a
.
5
2
5A. Khoảng cách - Góc
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA a 3 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) .
A. d
a 3
2
C. d a 3
B. d a 2
D. d a
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB là tam giác
cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 450 , góc giữa mặt phẳng
(SAB) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng
cách giữa hai đường thẳng CD và SA bằng a 6 .
8a3 3
A.
3
4a3 3
B.
3
2a3 3
C.
3
a3 3
D.
3
Câu 17. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, BC 2a , cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng SBD .
A. d
a 5
2
B. d
a 15
17
C. d
2a 3
19
D. d a 3
Câu 18. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , D 600 và SA
a3
vuông góc với ABCD . Biết thể tích của khối chóp S .ABCD bằng
. Tính khoảng
2
cách k từ A đến mặt phẳng SBC .
A. k
3a
5
B. k
a
3
5
C. k
2a
5
D. k
a
2
3
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông
góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB 2HA. Cạnh SC
tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc bằng 600 . Khoảng cách từ trung điểm K của HC
đến mặt phẳng (SCD) là:
a 13
a 13
a 13
A.
B.
C. a 13
D.
4
8
2
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và tam giác SAB đều. Tính khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng (SCD).
a 21
a 21
a 3
a 7
A.
B.
C.
D.
7
7
14
7
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, biết cạnh AC a 2, SA
2a 3
vuông góc với đáy ,thể tích khối chóp bằng
.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
3
(SBD).
2a
a
4a
3a
A.
B.
C.
D.
3
3
3
2
3
5A. Khoảng cách - Góc
Câu 22. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có độ dài cạnh bên là 2a , diện tích mặt đáy là
4a 2 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến SBC .
A. d
2a 6
3
B. d
a 3
3
C. d
a 6
3
D. d
2a 2
3
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB 2HA, cạnh bên SC
tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc bằng 600 . Tính khoảng cách h từ trung điểm K của
đoạn thẳng HC đến mặt phẳng (SCD).
A. h
a 13
2
B. h
a 13
4
C. h
a 13
13
D. h
a 130
26
Câu 24. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một
góc 60 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A.
a 3
2
B.
3a
4
C. a 3
D.
a 2
2
Tài Liệu Chia Sẻ Cộng Đồng
1D 2C 3A 4B 5B 6A 7D 8A 9A 10B
11B 12A 13D 14D 15A 16A 17C 18B 19D 20A
21A 22A 23D 24B
4
5B. Thể tích khối chóp
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC
Chóp có đáy là tam giác đều
Câu 1. Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA
A. V
3a 3 2
2
B. V
2a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
a3
2
C. V
3a 3
2
D. V
a3
Câu 2. Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết
cạnh bên bằng 2a.
A. VS . ABC
a3 11
12
B. VS . ABC
a3 3
6
C. VS . ABC
a3
12
D. VS . ABC
a3
4
Câu 3. Khố i chóp tam giác đề u có ca ̣nh đáy bằ ng a và ca ̣nh bên bằ ng a 3 có thể tić h bằ ng:
1
3
A. V a 3
B. V
2 3
a
6
C. V
6 3
a
6
D. V
6 3
a
2
Câu 4. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết rằng, mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 . Tính thể tích
V của hình chóp S . ABC .
A. V
a3 3
.
4
B. V
a3
.
4
C. V
a3 3
.
8
D. V
a3 3
.
24
Câu 5. Khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh SA 3a và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC). Thể tích khối chóp S.ABC là
3a3 . 3
a3. 3
a3. 3
a3. 3
A. V
B. V
C. V
D. V
.
.
.
4
4
6
12
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, . Hình chiếu của S
trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc tạo bởi cạnh SC và mặt phẳng đáy
(ABC) bằng 300. Thể tích của khối chóp S.ABC là:
a3 3
a3 2
a3 3
a3 3
A.
B.
C.
D.
8
8
24
2
Câu 7. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và SA
chóp này là:
A.
a3 5
6
B.
a3 5
12
C.
a3 3
12
a 2 . Thể tích của hình
D.
a3 5
4
5
5B. Thể tích khối chóp
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc
2
của đỉnh S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho AH
AC , đường thẳng SB tạo với
3
mặt phẳng đáy một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
a 3 15
36
A. V
a 3 21
36
B. V
C. V
a3 3
18
a3 3
36
D. V
Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB a, SA 2a . Một khối trụ có một đáy là
hình tròn nội tiếp tam giác ABC , đáy còn lại có tâm là đỉnh S. Tính thể tích V của khối trụ
đã cho.
a 3 33
A. V
9
a 3 33
B. V
27
a 3 33
C. V
108
a 3 33
D. V
36
Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc
2
AC , đường thẳng SC tạo với
3
mặt phẳng đáy một góc 600 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
a3
a3
a3
a3
A. V
B. V
C. V
D. V
8
6
12
18
của đỉnh S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho AH
Câu 11. Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên tạo với
đáy một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
A. V
a3
12
B. V
a3
8
C. V
a3
24
D. V
a3
4
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA (ABC). Góc giữa
SB và mặt đáy bằng 600. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:
A.
3a 3
4
B.
a3
4
C.
a3
12
D.
3a 3
4
Câu 13. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có AB a , cạnh bên SA tạo với đáy một góc 60 0 .
Một hình nón có đỉnh là S , đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính diện tích xung
quanh S xq của hình nón đã cho.
A. S xq
4 a 2
.
3
B. S xq
2 a 2
.
3
C. S xq
a2
.
6
D. S xq
a2
.
2
Câu 14. Cho hình chóp đều S.ABC. Người ta tăng cạnh đáy lên gấp 2 lần. Để thể tích giữ
nguyên thì tan của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy phải giảm đi số lần là:
A. 8
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a. SA vuông góc với
đáy, SA
A.
a 2
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
2
a3 6
4
B.
3a 3 6
8
C.
a3 6
8
D.
3a 3 6
4
Tài Liệu Chia Sẻ Cộng Đồng
6
5B. Thể tích khối chóp
Chóp có đáy là tam giác vuông
Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a, AC a 5 ,
mặt bên SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V
của khối chóp S.ABC .
A. V
a3 3
6
B. V
a 3 15
6
C. V
a3 3
3
D. V
a 3 15
12
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB a, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi
M là trung điểm của cạnh SC. Thể tích của khối chóp S.ABM bằng:
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
B.
C.
D.
12
18
24
36
Câu 18. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a , cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA 2a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S . ABC .
A. R a 6
B. R
a 2
2
C. R
3a 2
4
D. R
a 6
2
Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, cạnh góc vuông
bằng a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Biết diện tích tam giác SAB bằng
a2
, khi đó
2
chiều cao hình chóp bằng:
A. a
B.
a
2
C. a 2
D. 2a
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC a 2,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một
góc bằng 450. Thể tích khối chóp S.ABC theo a bằng
a3 2
a3 2
a3 2
a3 2
A. VS . ABC
B. VS . ABC
C. VS . ABC
D. VS . ABC
6
2
4
12
Câu 21. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB a 3, AC a. Mặt
bên SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S. ABC
a3
2a 3
a3
3
A. a
B.
C.
D.
3
2
3
Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết AB a ; AC 2a .
SA (ABC) và SA a 3 . Thể tích khối chóp S.ABC là
3a 3
a3
3a 3
A.
B.
C.
.
.
.
4
4
8
D.
a3
.
2
Câu 23. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. Cạnh SA vuông góc với đáy,
góc ACB 600 , BC
khối tứ diện MABC là
a3
A.
2
a và SA
B.
a3
3
a 3. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Tính thể tích
C.
a3
4
D.
a3
12
7
5B. Thể tích khối chóp
Câu 24. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cận tại A, AB a, mặt bên
SBC là tam giác vuông cận tại S và nằm trong mặt phẳng vuông O. Tính thể tích V của
khối chóp S.ABC
A. V
a3
6
a3
6
B. V
C. V
2
a
6
3
D. V
a3 2
3
Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, AC a 2,
SA vuông góc với mp đáy. Góc tạo bởi (SBC) và mặt đáy bằng 300. Thể tích S.ABC bằng
A.
a3 2
4
B.
a3 2
6
C.
a3
9
D.
a3 2
2
Câu 26. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB a. Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA 2a. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh
BC ,CD, DB. Thể tích V của khối chóp S MNP bằng:
4 3
a
3
A. V
3a 3
4
B. V
a3
6
C. V
a3
12
D. V
Câu 27. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a, BC 2a, cạnh
SA ( ABC ) và SA a. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính
thể tích V của khối chóp S . AMN .
A. V
a3
.
36
B. V
a3 5
15
C. V
a3 3
.
18
D. V
Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa SC và
a3
30
a , BC
a 3,
ABC bằng 600 . Thể tích khối
chóp S.ABC bằng:
A. 3a 3
B. a 3 3
C. a 3
D.
a3 3
3
D.
2a 3
24
Tài Liệu Chia Sẻ Cộng Đồng
Tứ diện đều
Câu 29. Thể tích của khối tứ diện đều cạnh a bằng:
A.
2a 3
12
B.
2a 3
4
3 2a 3
C.
4
Câu 30. Thể tích khối tứ diện đều cạnh a 3 bằng:
a3 6
a3 6
3a 3 2
A.
B.
C.
4
8
8
a3 6
D.
6
8
5B. Thể tích khối chóp
Chóp có đáy là tam giác thường
Câu 31. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a, ASB
thể tích khối chóp S.ABC.
A. V
a3 2
.
12
B. V
a3 2
.
4
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có ASB
Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V
a3 6
6
B. V
a3 2
4
C. V
a3 6
.
3
600, ASC
CSB
C. V
600, ASC
CSB
a3 2
12
D. V
900. Tính
a3 3
.
12
900, SA SB a, SC 3a.
D. V
a3 6
18
Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a và đôi một vuông góc với nhau.
Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng:
A.
a
2
B.
a
3
C.
a
2
D.
a
3
Câu 34. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau;
AB
a 3, AC
2a và AD
2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên DB, DC. Tính
thể tích V của tứ diện AHKD.
4 3 3
4 3 3
A. V
B. V
a.
a.
21
7
C. V
2 3 3
a.
21
Câu 35. Hình chóp S.ABC có SA 3a và SA (ABC), AB
Thể tích của khối chóp S.ABC là
A. a3 3
B. 3a3 3
C. 2a3 3
D. V
BC
2 3 3
a.
7
2a, ABC
1200.
D. 6a3 3
Câu 36. Cho tứ diện ABCD có AB a 2, AC AD a, BC BD a, CD a. Tính thể tích
V của hối tứ diện ABCD.
A. V
a3 12
.
12
B.
a3 6
.
8
C. V
a3 6
.
24
D. V
a3 2
.
4
Câu 37. Cho tứ diện ABCD có AB 2, AC 3, AD BC 4, BD 2 5, CD 5. Tính thể tích
V của tứ diện ABCD.
A. V
15
2
B. V
15
3
C. V 15
D. V 3 15
Câu 38. Cho khối tứ diện SABC với SA,SB,SC vuông góc từng đôi một và SA a,
SB 2a, SC 3a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích của khối
tứ diện SCMN tính theo a bằng:
a3
2a 3
3a 3
A.
B. a 3
C.
D.
4
3
4
Câu 39. Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau. Cho biết
BA 3a, BC BD 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích
khối chóp C.BDNM
2a 3
3a 3
A. V 8a3
B. V
C. V
D. V a3
2
3
9
5B. Thể tích khối chóp
Câu 40. Cho hình chóp tam giác có đường cao bằng 100 cm và các cạnh đáy bằng 20 cm,
21 cm, 29 cm. Thể tích của hình chóp đó bằng
A. 6000 cm3
B. 6213cm3
C. 7000cm3
D. 7000 2 cm3
Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Tỉ số thể tích
của
VS .MNC
bằng:
VS . ABC
1
A.
2
B.
1
6
C.
1
4
D.
1
8
Tài Liệu Chia Sẻ Cộng Đồng
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TỨ GIÁC
Chóp có đáy là hình bình hành
Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SC. Mặt
phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại P và Q. Khi đó tỉ số thể tích
giữa khối SAPMQ và khối SABCD bằng:
2
1
1
2
A.
B.
C.
D.
9
8
3
3
Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung
VS .BMPN
. Tìm t.
VS . ABCD
1
D. t .
16
điểm của cạnh SA, SC . Mặt phẳng BMN cắt cạnh SD tại điểm P . Đặt t
1
8
A. t .
B. t
1
.
12
1
6
C. t .
Câu 44. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của
cạnh SA , mặt phẳng ( BCM ) cắt cạnh SD tại điểm N . Đặt t
A. t
3
4
B. t
1
4
C. t
3
8
VS .BCNM
. Tìm t .
VS . ABCD
D. t
1
8
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M, N lần lượt là trung
điểm của SA và SB. Tỉ số thể tích của
A.
3
4
B.
3
8
VS .MNCD
bằng:
VS . ABCD
C.
1
8
D.
2
3
Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tỉ số thể tích
VS . ABD
VS . ABCD
bằng
A. 1
B.
1
2
C.
1
8
D.
1
6
10
5B. Thể tích khối chóp
Chóp có đáy là hình thoi
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là thoi cạnh a với BAD 1200. Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm I của cạnh AB. Cạnh bên SD
hợp với đáy một góc 450. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
a 3 21
a 3 21
a 3 21
a 3 21
A.
B.
C.
D.
15
12
9
3
Câu 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, BAD 1200, BD a. Hai
mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy .Góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng
600. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:
A.
2 15a 3
15
B.
a3
12
C.
3a 3
4
D.
3a 3
12
Câu 49. Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 48, đáy ABCD hình thoi. Các điểm M, N,
P, Q lần lượt thuộc SA, SB, SC, SD thỏa: SA 2SM , SB 3SN , SC 4SP, SD 5SQ. Thể
tích khối chóp S.MNPQ là
2
4
6
8
A. .
B. .
C. .
D. .
5
5
5
5
Chóp có đáy là hình chữ nhật
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhât cạnh
AB 3a; AC 5 a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 . Thể tích V
của khối chóp S.ABCD là
A. V 15a3 2.
B. V 12a3 2.
C. V a3 2.
D. V 4a3 2.
Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 2a, AD a. Hình
chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB, SC tạo với mặt đáy một
góc 450. Thể tích khối chóp S.ACD bằng:
A.
2a 3
3
B.
3a 3
6
C.
2a 3
6
D.
2a 3
2
Câu 52. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB a ,
AD 30 3 và BC 2a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của
OA . Biết rằng mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 . Tính thể tích V của
khối chóp.
A. V a 3 3
B. V
a 3 15
2
C. V a 3 15
D. V
a3 3
2
Câu 53. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh
AB a, BC 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 . Tính thể tích
V của khối chóp S.ABCD
2a 3 3
a3 3
4a 3 3
3
A. V
B. V 2a 3
C. V
D. V
3
6
3
11
5B. Thể tích khối chóp
Câu 54. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB a, BC 2a,
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của OA . Biết rằng đường
thẳng SA tạo với mặt phẳng đáy một góc 45o . Thể tích V của khối chóp S . ABCD là
A. V
a3
6
B. V
2a 3 5
3
C. V
a3 5
6
D. V
a3
3
Câu 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết SA vuông góc với
mặt phẳng đáy, AB a, AD a 2, cạnh SC tạo với đáy một góc bằng 450 . Thể tích V của
khối chóp SABCD là:
A. V
a
3
6
a3 6
3
B. V
C. V
2a 3
3
D. V
a3
Câu 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, CD 2a; AD a ;
SA ABCD và SA 3a . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
A. a 3
B. 2a 3
C. 6a 3
D. 4a 3
Chóp có đáy là hình vuông
Câu 57. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo
với đáy một góc bằng 450. Thể tích của khối chóp S.ABCD là
a3 2
a3 2
a3 2
3
A.
B.
C. a 2
D.
3
6
2
Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy và SB
A.
a
3 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:
3
2
2
B. a
3
2
a3 2
C.
3
a3 2
D.
6
Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA AC a 2. Thể tích khối chóp S.ABCD là
a3 3
A.
3
a3 2
B.
6
a3 3
C.
2
a3 2
D.
3
Câu 60. Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của
cạnh SB. Tính thể tích V của khối chóp S .ACM .
A. V
a3 3
24
B. V
a3 3
6
C. V
a3
24
D. V
a3 3
12
Câu 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA ABCD
và SA a 3 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là
A.
a3 3
.
3
B.
a3
.
4
C. a3 3.
D.
a3 3
.
12
12
5B. Thể tích khối chóp
Câu 62. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là
tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng, góc giữa mặt
phẳng SCD và mặt phẳng đáy bằng 60 0 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
A. V
a3 15
6
B. V
a3 3
6
C. V
a3 3
3
D. V
a3 15
3
Câu 63. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a. Tam giác SAB cân tại S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa
SC và (ABCD) bằng 600.
9a3 15
2
A. VS . ABCD 18a3 3
B. VS . ABCD
C. VS . ABCD 9a3 3
D. VS . ABCD 18a3 15
Câu 64. Cho hình chóp S .ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a ,
SA vuông góc với ABCD và SA 3a . Tính thể tích của khối chóp S .ABCD .
a3
A.
2
B. 2a 3
C. 3a 3
D. a 3
Câu 65. Khố i chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hin
̀ h vuông ca ̣nh a 2 , tam giác SAD
cân ta ̣i S và SAD vuông góc với mă ̣t đáy .Biế t thể tić h V của khố i chóp là
4 3
a .Tin
́ h
3
d(B,(SCD))
A.
2
a
3
B.
4
a
3
C.
8
a
3
D.
3
a
4
Câu 66. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA 3 . Mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh
SB , SC , SD lần lượt tại các điểm M , N , P . Tính thể tích V của khối ccầu ngoại tiếp tứ
diện CMNP
32
125
108
64 2
A. V
B. V
C. V
D. V
3
6
3
3
Câu 67. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng góc giữa mặt
phẳng SAD và mặt phẳng đáy bằng 450 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
A. V
a3 3
.
6
B. V
a3 2
.
3
C. V
a3
.
6
D. V
a3 5
.
6
Câu 68. Cho hình chóp S .ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a ,
SA vuông góc với ABCD và SA 2a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung
điểm của DC . Tính thể tích của khối chóp I .OBM .
A. V
a3
24
B. V
3a 3
24
C. V
a3 3
24
D. V
a3 2
24
13
5B. Thể tích khối chóp
Câu 69. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt bên (SAB)
và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 450 .
Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SC và SD. Thể tích của khối chóp S.AHK là:
a3
a3
a3
A.
B.
C.
D. a 3
24
12
6
Câu 70. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 5 . SA vuông góc
với đáy SA 2a 2 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
10a 3 2
A.
3
a3 2
B.
3
C. 5a
3
2a 3 10
D.
3
2
Chóp có tứ giác đều
Câu 71. Khối chóp đều S.ABCD có mặt đáy là
A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật.
C. Hình thoi.
D. Hình vuông.
Câu 72. Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên n lần thì
thể tích của nó tăng lên:
A. n2 lần
B. 2n2 lần
C. n3 lần
D. 2n3 lần
Câu 73. Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên tạo
với đáy một góc 600. Thể tích của (H) bằng:
A.
1 3
a
6
B.
2 3
a
6
C.
6 3
a
6
D.
3 3
a
6
Câu 74. Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của (H)
bằng:
A. 4 2a3
B.
4 2 3
a
3
C.
2 3
a
3
D.
4 3
a
3
Câu 75. Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của (H) bằng
a3
a3 2
a3 3
a3 3
A.
B.
C.
D.
3
6
4
2
Câu 76. Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và
mặt đáy bằng 60 0 . Thể tích của hình chóp S .ABCD là:
a3 3
A.
6
4a 3 3
B.
3
2a 3 3
C.
3
D. 4a 3 3
Câu 77. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB a, mặt bên tạo với đáy một góc 45o.
Một khối nón có đỉnh là S , đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Tính thể tích V
của khối nón đã cho.
a3 2
a3 2
a3
a3
.
.
A. V
B. V
C. V
D. V
.
.
12
3
3
12
Câu 78. Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên tạo
với đáy một góc 600. Thể tích của (H) bằng:
A.
1 3
a
6
B.
2 3
a
6
C.
3 3
a
6
D.
6 3
a
6
14
5B. Thể tích khối chóp
1B
11C
21D
31A
41C
51A
61A
71D
2A
12B
22D
32B
42C
52D
62C
72C
3B
13B
23C
33B
43C
53A
63B
73D
4C
14A
24A
34A
44C
54C
64D
74B
5B
15C
25C
35A
45B
55B
65B
75B
6C
16C
26D
36A
46B
56B
66A
76B
7B
17D
27A
37C
47B
57A
67C
77D
8B
18D
28C
38D
48C
58C
68A
78D
9D
19B
29A
39C
49D
59D
69A
10C
20D
30A
40C
50D
60A
70A
15
5C. Thể tích khối lăng trụ
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ TAM GIÁC
Lăng trụ tam giác đều
Câu 1. Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là :
a3 3
A.
4
a3 3
B.
3
a3 3
C.
2
a3
D.
3
Câu 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu
vuông góc H của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC. Tất cả các
cạnh bên đều tạo với mặt phẳng đáy góc 600 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
a3 3
a3 3
a3 3
A.
B.
C.
D. Một kết quả khác
4
6
2
Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a
và A ' BC hợp với mặt đáy ABC một góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A B C
là
A.
a3 3
12
B.
a3 3
24
C.
3a 3
24
D.
Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB
(A’BC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
3 3 3
3 3
3 3 3
A.
B.
C.
a
a
a
8
8
4
a3 5
24
a, góc giữa hai mặt phẳng
D.
3 3
a
4
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’
trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC. AA ' a 7 . Tính thể tích V của khối
lăng trụ đã cho.
5 3a3
5 3a3
5 3a3
3a3
A.
B.
C.
D.
8
24
6
8
Câu 6. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều, các mặt bên đều là
hình vuông. Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có diện tích bằng 21 .
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
A. V 18
B. V
27 3
4
C. V 6
D. V
9 3
4
Câu 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là các tam giác đều cạnh bằng 1,
AA '
3. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC)
A. d
2 15
5
B. d
15
5
C. d
3
2
D. d
4
2
16
5C. Thể tích khối lăng trụ
Câu 8. Cho lăng tru ̣ có đáy là tam giác đề u cạnh a. Hình chiế u vuông góc của đỉnh A ' trên
'
(ABC) là trung điểm AB, góc giữa AC
và mặt đáy bằ ng 600 . Tính khoảng cách từ B đế n
ACC ' A ' .
A.
3 13a
13
B.
13a
13
C.
2 13a
13
D.
4 13a
13
Câu 9. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa
CA ' và mặt ( AA ' B ' B) bằng 30 . Gọi d(AI’,AC) là khoảng cách giữa A ' I và AC, kết quả
tính d(AI’,AC) theo a với I là trung điểm AB là
a 210
a 210
2a 210
3a 210
A.
B.
C.
D.
35
35
70
35
Câu 10. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có mặt phẳng ABC tạo với đáy
một góc 600 , diện tích tam giác ABC bằng 24 3 cm 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ
ABC. ABC .
A. V 724cm3
B. 345cm3
C. V 216cm3
D. V 820cm3
Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bàng
a . Mặt bên ABB A có diện tích bằng a 2 3 . Gọi M , N
A B, A C . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp A .AMN và
V
V
V
1
1
A. A .AMN
B. A .AMN
C. A .AMN
VA .ABC
2
VA .ABC
3
VA .ABC
lần lượt là trung điểm của
A .ABC .
1
4
D.
VA .AMN
VA .ABC
1
5
Câu 12. Cho lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA '
Gọi I là trung điểm CC’và là góc giữa (A’BI) và (ABC). Khi đó ta có cos bằng:
A.
5
5
B.
3
5
C.
10
5
D.
2a.
5
Câu 13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của
C’ trên (ABC) là trung điểm I của BC. Góc giữa AA’ và BC là 30o. Thể tích của khối lăng
trụ ABC.A’B’C’ là
a3
a3
3a3
a3
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
2
8
8
4
Câu 14. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
a 3 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:
3a 3
3a 3
a3
a3
A.
B.
C.
D.
8
4
4
8
Câu 15. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của A’ xuống (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC’A’) tạo với đáy góc
450 . Tính thể tích khối lăng trụ này
3a 3
A.
16
a3 3
B.
3
2a 3 3
C.
3
a3
D.
16
17
5C. Thể tích khối lăng trụ
Lăng trụ tam giác vuông
Câu 16. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB
cạnh bên AA '
a3 2
A.
2
AC
a,
a 2. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
a3 2
B.
6
a3 2
C.
3
D. a3 2
Câu 17. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A
có cạnh BC a 2 và biết A ' B 3a. Tính thể tích khối lăng trụ
A. a 3
B. a3 2
C. 2 a 3
D. a3 3
Câu 18. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại B, AB a, BC 2a .
Hình chiếu vuông góc của A ' trên đáy ABC là trung điểm H của cạnh AC, đường
thẳng A ' B tạo với đáy một góc 450. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
A. V
a3 5
6
B. V
a3 5
3
C. V
a3 5
2
D. V a3 5
Câu 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại
A, AC
a, ACB
600. Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) tạo với mặt phẳng
(AA’C’C) một góc 300 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a
A. a
3
6
a3 6
B.
3
2a 3 6
C.
3
4a 3 6
D.
3
Câu 20. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại B ,
o
AB a, AC a 3 , đường thẳng A ' C tạo với đáy một góc 45 . Tính thể tích V của khối
lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
A. V
a3 2
2
B. V a 3 3
C. V
a3 6
2
D. V
3a 3
2
Câu 21. Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB
BC
a,
a 2, mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 . Tính thể tích khối lăng
trụ.
a3 3
A.
6
a3 6
B.
3
a3 3
C.
3
a3 6
D.
6
Tài Liệu Chia Sẻ Cộng Đồng
Lăng trụ tam giác
Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng ABC . ABC có AB
trung điểm cạnh CC và BDA '
A. V
15
.
2
1, AC
2, BAC
1200. Giả sử D là
900. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC . ABC .
B. V 3 15.
C. V 15.
D. V 2 15.
18
5C. Thể tích khối lăng trụ
Câu 23. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy một góc 300 và có chiều dài bằng 8. Khi đó thể tích khối lăng trụ là
A. 340
B. 336
C. 274 3
D. 124 3
Câu 24. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ tỉ số thể tích
A.
1
2
B.
1
4
VA '. ABC
bằng:
VABC . A ' B 'C '
1
C.
6
D.
1
3
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ TỨ GIÁC
Khối lập phương
Câu 25. Thể tić h khố i lâ ̣p phương có ca ̣nh bằ ng a là :
1
2
A. V a 3
1
3
B. V a 3
C. V a 3
D. V 3a 3
Câu 26. Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ biết AD '
A. V
a3
B. V
8a 3
C. V
2 2a 3
2a.
D. V
2 2 3
a
3
Câu 27. Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài đường chéo bằng a. Khi đó thể tích
khối tứ diện AA’B’C’ là.
a3
a2
a2
a3
A.
B.
C.
D.
18 3
18 3
3 3
6 3
Câu 28. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' , biết AD '
A. V
a3
B. V
3 3a 3
C. V
2 2a 3
D. V
3a .
27 3
a
2 2
Câu 29. Tính thể tích V của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của một
khối bát diện đều cạnh a.
A. V
8a 3
27
B. V
a3
27
C. V
16a3 2
27
D. V
2a 3 2
27
Câu 30. Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm
98 cm3 . Cạnh của hình lập phương đã cho bằng:
A. 3cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 4cm
Câu 31. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết tổng diện tích các mặt
của hình lập phương bằng 150.
A. V 25.
B. V 75.
C. V 125.
D. V 100.
Câu 32. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập
phương đó bằng:
A. 64
B. 91
C. 84
D. 48
Câu 33. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết đáy nội tiếp đường tròn
có chu vi bằng 4
A. V 3
B. V 8
C. V 16 2
D. V 2 2
19
- Xem thêm -
.PDF 
80 
2088 
67 
