Tài liệu Giải và khai thác những bài toán phương trình và bất phương trình đa thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ KIM PHƯỢNG GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành Sư phạm Toán Phú Thọ, 2019 i TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ KIM PHƯỢNG GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành Sư phạm Toán NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN TIẾN MẠNH Phú Thọ, 2019 ii Lời cảm ơn Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp ngoài sự nỗ lực lực của bản thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại Học Hùng Vương. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Tiến Mạnh – Trưởng khoaGiáo dục tiểu học, trường Đại học Hùng Vương. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, đồng thời thầy còn là người giúp tôi lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo trong khoa Khoa học tự nhiên, tới gia đình, bạn bè là những người luôn sát cánh bên tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như khi tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận này. Mặc dù, đã rất cố gắng xong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Việt trì, ngày 07 tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Phượng iii MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 1. Tính cấp thiết của đề tài ........................................................................................ 1 2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn............................................................................... 2 3. Mục tiêu nghiên cứu .............................................................................................. 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. ........................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu. ...................................................................................... 2 6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ......................................................................... 2 CHƯƠNG 1............................................................................................................... 4 SƠ LƯỢC VỀ CÁC BƯỚC GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN ................ 4 1.1. Tìm hiểu sơ bộ đề toán ....................................................................................... 4 1.2. Khai thác đề toán ................................................................................................ 4 1.3. Tìm tòi lời giải.................................................................................................... 5 1.4. Trình bày lời giải ................................................................................................ 7 1.5.Kiểm tra, đánh giá lời giải và khai thác bài toán ................................................ 7 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .......................................................................................... 9 CHƯƠNG 2: GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC ............................................................................................................... 10 2.1. Giải và khai thác phương trình đa thức bậc 1 .................................................. 10 2.2. Giải và khai thác phương trình đa thức bậc 2 .................................................. 20 2.3. Giải và khai thác phương trình đa thức bậc 3 .................................................. 37 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ........................................................................................ 50 CHƯƠNG 3 : GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC .................................................................................................. 51 3.1. Giải và khai thác bất phương trình đa thức bậc 1 ............................................ 51 3.2. Giải và khai thác bất phương trình đa thức bậc 2 ............................................ 56 3.3. Giải và khai thác bất phương trình đa thức bậc 3 ............................................ 61 3.4. Giải và khai thác bất phương trình đa thức bậc 4 ............................................ 66 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ........................................................................................ 71 iv KẾT LUẬN ............................................................................................................. 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 73 ` 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Phương trình và bất phương trình đa thức là chủ đề khá phổ biến và quen thuộc trong toán phổ thông, không những thế nó còn là chủ đề trọng tâm xuyên suốt lĩnh vực Đại số sơ cấp là nền tảng để người học tiếp cận với các kiến thức toán học phức tạp hơn. Tuy nhiên ở phổ thông người giáo viên chỉ bước đầu hướng dẫn học sinh giải bài tập mà thường bỏ qua công đoạn cuối cùng của giải một bài toán đó là khai thác bài toán. Việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều khi không phải quá khó nhưng sau mỗi bài toán đó còn bao điều lí thú vẫn chưa được khám phá. Có thể thấy rằng khai thác bài toán giúp phát triển tính sáng tạo của người học và người dạy. Đó là yêu cầu quan trọng thể hiện sự khác biệt giữa người thiết kế tổ chức quá trình dạy học – giáo viên với người thực hiện các hoạt động học tập – học sinh. Do đó, khi giải một bài toán không chỉ dừng lại ở bước hiểu lời giải mà cần phát triển khả năng tư duy cho học sinh. Phát triển kĩ năng thực hành giải và khai thác các bài toán cho học sinh, sinh viên. Hiện nay cũng đã có những tài liệu viết về việc giải và khai thác bài toán phương trình và bất phương trình đa thức như : “Đại số sơ cấp và Thực hành giải toán” của Hoàng Kỳ đã trình bày khá nhiều các dạng toán về phương trình và bất phương trình đa thức (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vô tỉ,...), dạng toán về bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bất phương trình,...; “Phương pháp giải phương trình và bất phương trình” của Nguyễn Văn Mậu; “Chuyên đề phương trình và bất phương trình” của Mẫn Ngọc Quang trình bày các phương pháp giải phương trình và bất phương trình, hay trong khóa luận tốt nghiệp của Phan Thị Quyên – K34C Toán (ĐHSP Hà Nội II) đã nghiên cứu đề tài “Dạy học phương trình và bất phương trình ở trường phổ thông”. Tuy nhiên hầu hết các tài liệu chỉ chú trọng việc giải toán, trong khi đó việc khai thác các bài toán còn hạn chế. Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung để có một cái nhìn hệ thống và cụ thể hơn đồng thời muốn nghiên cứu để làm rõ thêm những phương pháp giải 2 toán hiện có trên cơ sở đó cải tiến đề xuất thêm những điểm mới đối với chủ đề Phương trình và bất phương trình đa thức. Nên chúng tôi chọn đề tài “Giải và khai thác những bài toán phương trình và bất phương trình đa thức”. 2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh ở các trường phổ thông, sinh viên các nghành đặc biệt là ngành sư phạm Toán. Giúp họ hiểu thêm về phương trình, bất phương trình, biết cách khai thác một số dạng toán. Đồng thời rèn luyện thói quen phân tích và tìm hiểu mối quan hệ giữa các vấn đề trong quá trình giải toán cho học sinh 3. Mục tiêu nghiên cứu Phân loại, đưa ra lời giải và khai thác cho những bài toán về phương trình và bất phương trình đa thức theo các hướng : tương tự hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu.  Nghiên cứu những kiến thức cơ sở liên quan về phương trình và bất phương trình đa thức.  Phân loại bài tập và xây dựng lời giải các dạng bài toán đó.  Nghiên cứu quy trình giải và khai thác bài toán, tập trung vào ba hướng khai thác: tương tự hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa.  Đưa ra hướng khai thác các dạng toán từ các bài toán cho trước trong mỗi dạng. 5. Phương pháp nghiên cứu.  Phương pháp nghiên cứu lí luận : Tổng hợp, phân tích tài liệu, sách báo, một số công trình nghiên cứu có liên quan.  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu và giải toán.  Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia : Với sự tham gia góp ý và hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Tiến Mạnh. 6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3  Đối tượng : Phương trình và bất phương trình  Phạm vi nghiên cứu : Giải và khai thác phương trình và bất phương trình bậc 1 tới bậc 4 4 CHƯƠNG 1 SƠ LƯỢC VỀ CÁC BƯỚC GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN Thông thường để giải một bài toán, cần qua nhiều công đoạn khác nhau. Trong [1] đã đưa ra một số công đoạn như sau: Tìm hiểu sơ lược bộ đề, khai thác đề bài, tìm tòi lời giải, trình bày lời giải, đánh giá lời giải, khai thác lời giải, đề xuất bài toán mới. Tất nhiên không phải bài toán nào cũng trải qua đủ các công đoạn đó, xong chúng giúp ích rất nhiều trong việc giải các bài toán và đối với các bài toán được chọn lọc điển hình thì nên phân tích kỹ theo trình tự đó để rèn luyện các thao tác tư duy. 1.1. Tìm hiểu sơ bộ đề toán Khi chọn bài toán, không nên chọn bài quá khó, mà cũng không nên chọn bài quá dễ. Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú cho người học. Để giải quyết một bài toán trước hết ta phải đọc kĩ đề toán để thấy được “toàn cảnh” của bài toán, càng sáng sủa, càng rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết nhất là các chi tiết rắc rối. Cần cố gắng khoanh vùng phạm vi kiến thức của đề toán: bài toán này thuộc vùng kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ giải quyết được vấn đề gì? 1.2. Khai thác đề toán Nếu là bài toán về tìm tòi cần xác định rõ đâu là ẩn? Cần phải tìm các gì? Đâu là các dữ kiện? Đã cho biết những gì? Mối tương quan giữa cái cần tìm, cái chưa biết (Các điều kiện ràng buộc). Nếu là bài toán chứng minh thì cần nêu rõ giả thiết, kết luận. Nếu bài toán cần có hình vẽ thì phải vẽ hình. Đối với các bài toán đại số và số học, đó có thể là các đồ thị, đoạn thẳng hoặc các hình học. Cảm nhận trực giác trên hình vẽ có thể giúp chúng ta nắm bắt được dễ dàng hơn nội dung ghi trong đề toán. 5 1.3. Tìm tòi lời giải Đây là bước quan trọng trong việc giải bài toán. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ đưa ra những lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được đúng hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và có nhiều khả năng dẫn tới thành công hơn. Tùy trường hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh hoạt càng nhuần nhuyễn thì càng dễ tới thành công. Càng giải quyết được nhiều bài toán thì chúng càng trở thành của mình, thành những kinh nghiệm sống chứ không phải là những chỉ dẫn khô khan. 1.3.1. Nhận dạng và tập hợp kiến thức Như đã nói trong bước tìm hiểu đề toán, cần khoanh vùng bài toán và vùng được khoanh càng hẹp càng tốt, giúp ta nhận dạng được bài toán thuộc loại nào. Khi đã nhận dạng, đã phân loại được bài toán thì trong óc phải nhanh chóng huy động và tổ chức các kiến thức đã học, đã biết từ trước; phải nhớ lại để chuẩn bị vận dụng một loạt yếu tô cần thiết để giải loại bài toán này. Quá trình đó có thể là “tự phát” nhất là khi đã quen với việc giải toán. 1.3.2. Phân tích bài toán để đưa về những bài toán đơn giản hơn. Một bài toán, nhất là bài toán tổng hợp, bài toán khó được xây từ những bài toán đơn giản hơn. Cần phải xem có thể phân tích bài toán đang xét thành những bài toán đơn giản hơn không, rồi giải từng bài toán nhỏ ấy, sau đó kết hợp chúng lại để có lời giải bài toán đã cho. 1.3.3. Liên hệ và sử dụng các bài toán đã giải. Thật khó mà đặt ra một bài toán hoàn toàn mới, không giống bất kì bài toán nào, hoặc không liên quan gì tới các bài toán khác. Vì thế khi gặp một bài toán, ta cố gắng nhớ lại xem đã gặp một bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán cần giải chưa và nhớ lại con đường đi đến lời giải của bài toán đã biết. Điều đó giúp ta rút ngắn việc tìm tòi lời giải của bài toán mới này và tạo thêm rất nhiều thuận lợi. 6 Việc nhớ được một hay một số bài toán tương tự bài toán đang xét, có thể về dạng, phương pháp, về vấn đề đặt ra,...ta đã lợi dụng được những điểm tương đồng về phương pháp giải, về kinh nghiệm, về kết quả,... 1.3.4. Mò mẫm, dự đoán Trong khi tìm tòi lời giải cho bài toán, ta có thể thử nghiệm với một số trường hợp đặc biệt, nhiều khi sẽ cho ta những gợi ý để giải quyết trong trường hợp tổng quát. Việc này cũng là nội dung của phương pháp đặc biệt hóa, nhưng ở đây được sử dụng để gợi ý, để tìm tòi lời giải và phương pháp đi tới kết quả. 1.3.5. Bản gợi ý của Pôlya  Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng tương tự.  Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý nào có thể sử dụng ở đây được không?  Xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc cùng ẩn hay có ẩn tương tự.  Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả, phương pháp của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được không?  Có thể phát biểu bài toán một cách khác không?  Nếu bạn vẫn chưa giải được bài toán đã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp đặc biệt? Một bài toán tương tự? Hoặc một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số điều kiện, bỏ qua các điều kiện khác. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ liệu rút ra được một số yếu tố có ích không? Có thể nghĩ ra các dữ liệu khác giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thay đổi ẩn hoặc các dữ liệu sao cho các ẩn mới và các dữ liệu mới gần nhau hơn không?  Bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết các quan hệ chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa? 7 1.4. Trình bày lời giải Khi đã tìm ra được lời giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn nữa, song tính chất hai công việc có khác nhau. Việc trình bày lời giải là văn bản để đánh giá kết quả hoạt động tìm tòi lời giải bài toán. Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán hoặc có thể dùng lập luận tạm thời, cảm tính. Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lý luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý đến trình tự các chi tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào bỗng dưng xuất hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc những chi tiết mà ta trình bày trước đó. Khi trình bày lời giải, để cho ngắn gọn ta thường dùng những phương pháp tổng hợp. Lời giải được trình bày gọn gàng, sáng sủa, dễ đọc. 1.5.Kiểm tra, đánh giá lời giải và khai thác bài toán Công việc này rất cần thiết trong học toán nhưng thường hay bị bỏ qua. Việc nhìn nhận lại toàn bộ cách giải một bài toán có thể giúp chúng ta phát hiện được cách giải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn. Việc nhìn nhận lại toàn bộ lời giải sẽ gợi ý cho ta tìm được những bài toán mới, mà bài toán vừa xét chỉ là một trường hợp đặc biệt. Công đoạn này được gọi là khai thác bài toán. Có thể khai thác một bài toán theo các hướng như sau: a) Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự, bài toán này có giải được không? b) Hướng 2: Khái quát hóa, có thể phát biểu bài toán tổng quát được không? Bài toán tổng quát có còn đúng nữa không? Trái lại với khái quát hóa là đặc biệt hóa luôn luôn đưa đến kết quả đúng, thậm chí có thể mạnh hơn. c) Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được một bài toán mới. Phương pháp để giải một bài toán khác. d) Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã giải dẫn đến phương pháp giải một bài toán khác. 8 Ví dụ 1.5.1.Từ bài toán “Chứng minh rằng tồn tại số có dạng: 20032003...200300...0 chia hết cho 2002”, ta có thể khai thác thành các bài toán sau: Bài toán tương tự: Có hay không một số có dạng 19911991...199100...0 chia hết cho 1990 ? Bài toán tổng quát hóa: Có hay không một số có dạng: (n  1)(n  1)...(n  1)00...00 chia hết cho n Ví dụ 1.5.2. Từ bài toán “Bên trong một cái sân hình chữ nhật có chiều dài là 4m và chiều rộng là 3m có 6 con gà đang ăn. Chứng minh rằng phải có ít nhất là 2 con gà mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 2”, ta có bài toán tương tự sau: Bài toán tương tự: “Trong hình tròn có đường kính 5cm có 10 điểm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 2. Ví dụ 1.5.3: Từ bài toán “Chứng minh rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2”, ta có thể khai thác thành các bài toán như sau: Bài toán 1: Chứng minh rằng tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3. Bài toán 2: Chứng minh rằng tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5. Bài toán đặc biệt hóa: Chứng minh rằng tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 Bài toán tổng quát hóa: Chứng minh rằng tích của n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n 9 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Trong chương 1, khóa luận trình bày hệ thống lý thuyết về các bước để giải một bài toán như thế nào và cách khai thác một bài toán có 4 hướng để sử dụng trong chương 2, chương 3. 10 CHƯƠNG 2: GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 2.1. Giải và khai thác phương trình đa thức bậc 1 2.1.1.Kiến thức: Phương trình đa thức bậc nhất một ẩn trên trường số K là phương trình có dạng ax + b = 0, a K trong đó x là ẩn, trường số K có thể là , phương trình, ta thực hiện các bước :  Nếu a  0, phương trình có nghiệm duy nhất là x =  Nếu a = 0 thì : Nếu b  0: phương trình vô nghiệm Nếu b = 0: phương trình có vô số nghiệm (  x K). 2.1.2.Giải và biện luận phương trình Ví dụ 2.1.1: Giải và biện luận phương trình (m2  m)x  m  1 (*) Lời giải Ta xét các trường hợp m  0  m2  m  0   m  1 Ta có: (*)  x  1 m m  0  m2  m  0   m  1 Với m = 0: Ta có: (*)  0 x  1 : phương trình vô nghiệm Với m = 1: Ta có: (*)  0x  0  x b a , . Để giải 11 Kết luận: 1 m  0 Với  thì x  m m  1 Với m = 0 thì phương trình vô nghiệm Với m = 1 thì x Ví dụ 2.1.2: Giải và biện luận phương trình xm x2  (*) x 1 x 1 Lời giải Điều kiện : x  1 Ta có (*)  (x  m)(x  1)  (x  2)(x  1)  mx = m + 2 Ta xét các trường hợp:  m  0: Ta có (*)  x  m2 m Kết hợp điều kiện: x 1  m2  1  m  2  m  2  0 (thỏa mãn) m x  1  m2  1  m  2  m  m  -1 m  m=0 Ta có: (*)  0x = 2 vô nghiệm Kết luận : m  0 và m  -1 thì x  m2 m m = 0 thì vô nghiệm Khai thác Ngoài những phương trình chứa một tham số thì ta có thể đưa ra những bài toán chứa nhiều tham số hay một biểu thức chứa tham số phức tạp hơn 12 Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình a) (m3 – 1)x – n = ( n3 -1)x –m (1) b) a(ax + 2b2 )  a 3  b2 (x  a) c) (a  b)2 x  2a 2  2a(a  b)  (a 2  b2 )x Lời giải a) Phương trình (1) tương đương với:( m3 – 1 – n3 + 1)x = n – m  ( m3 – n3)x = n – m (5) + Nếu m3 – n3  0 thì (5) tương đương x= (m  n) = 2 1 2 2 (m  n)(m  mn  n ) (m  mn  n 2 ) + Nếu m3 – n3 = 0  m = n Phương trình (5) có dạng 0x = 0 nghiệm đúng với x  Kết luận + Nếu m3 – n3  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = + Nếu m3 – n3 = 0 thì x  là nghiệm. Đáp số: b) a   b : x  a a  b : x  c) a  0  b  0 : x  1 a  0  b  0: x Bài toán 2: Giải và biện luận phương trình: b  x x  b b(x  1)  2   x 1 1 x 1  x2 Đáp số: b  2 thì x  \ 1 b  2 thì phương trình có nghiệm x = 1 Bài toán 3: Điều kiện để phương trình có tập hợp nghiệm là m2 (x  1)  2(mx  2) 1 (m  mn  n 2 ) 2 13 Hướng dẫn: Ta vẫn đi xét các trường hợp của phương trìnhvà kết hợp vớiđiều kiện đề bài sau đó kết luận phương trình có tập nghiệm trên là m =2 Bài toán 4: Tìm điều kiện k để đường thẳng y  kx  2 cắt 2 trục tọa độ thành tam giác có diện tích bằng 1 Giải: Đường thẳng cắt hai trục hoành tại A ( 2 ;0) và cắt trục tung tại B(0;2) k 1 Ta có SOAB  OA.OB  1 2  OA.OB  1 1 2  .2. 1 2 k  2 1 k  2  k 1  k  2   k  2  2  1  k Vậy k = 2 hoặc k = -2 thỏa mãn đề bài 2.1.3. Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 Ví dụ 2.1.3: Giải phương trình sau: a) 3x  7 2 x  1  ; 5 3 b) 4x  7 3x x 12 8 c) x  5 x  9 5x  3   2 ; 6 4 8 d) x 1 x  2 x  3    3 5 4 3 Phân tích: Để giải các phương trình trên ta cần sử dụng các phép rút gọn, quy đồng... để đưa về dạng phương trình bậc nhất Lời giải a) 3x  7 2 x  1   3( 3x-7 ) = 5(2x – 1) 5 3 14  9x – 21 = 10x -5  x = -16 Vậy x = -16 là nghiệm của phương trình b) 4x  7 3x x  2( 4x + 7) + 24x = 9x 12 8  23x = -14 14 23 x= 14 là nghiệm của phương trình 23 Vậy x = c) x  5 x  9 5x  3   2 6 4 8  4( x+ 5) – 6( x – 9) = 3( 5x + 3) + 48  17x = 17  x=1 Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình d) x 1 x  2 x  3    3 5 4 3  12( x  1)  15( x  2)  20( x  3)  3 .60 x 76 47 Vậy x  76 là nghiệm của phương trình 47 Khai thác Các bài toán trên nếu ta thay số bởi các tham số a,b,c thì ta sẽ có bài toán mới với cách giải tương tự Bài toán 1: Giải các phương trình sau: a) xa xb xc x a x b x c    3 ; b)   3 bc ac ba bc ac ba Lời giải: a) 15 xa xb xc    3 bc ac ba  x  a 1 x  b 1 x  c 1  0 bc ac ba  xabc  xabc  xabc 0 bc ac  ( x+ a+ b+c ) ( ba 1 1 1   ) =0 bc ac ba Nếu 1 1 1    0 thì phương trình có vô số nghiệm bc ac ba Nếu 1 1 1    0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - a–b-c bc ac ba b) x a x b x c   3 bc ac ba  x  a 1 x  b 1 x  c 1  0 bc ac ba  x a bc  x a bc  x a bc  0 bc  ( x – a – b - c )( ac ba 1 1 1   ) =0 bc ac ba Nếu 1 1 1    0 thì phương trình có vô số nghiệm bc ac ba Nếu 1 1 1    0 thì phương trình có nghiệm duy nhấtx = a + b + c bc ac ba Ví dụ 2.1.4 : Một ô tô đi từ A đến B cùng một lúc, ô tô thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng 2 vận tốc ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng 3 đường mất bao lâu?