Tài liệu Giải và khai thác một số dạng toán về tự đồng cấu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN TIN ----------------------- NGUYỄN THỊ ÁNH HUYỀN GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỰ ĐỒNG CẤU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán Phú Thọ, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN TIN ----------------------- NGUYỄN THỊ ÁNH HUYỀN GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỰ ĐỒNG CẤU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán NGƯỜI HƯỚNG DẪN: Th.S. Nguyễn Thị Thanh Tâm Phú Thọ, 2018 i LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt khoá luận tốt nghiệp, ngoài sự nỗ lực của bản thân tôi còn nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Hùng Vương trong suốt thời gian thực hiện khóa luận này. Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Th.S Nguyễn Thị Thanh Tâm – giảng viên khoa Toán – Tin Trường Đại Học Hùng Vương. Cô đã giành nhiều thời gian quý báu để tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Đồng thời cô là người giúp tôi lĩnh hội và nắm vững được nhiều kiến thức chuyên môn cũng như rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo trong khoa Toán – Tin, tới gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh bên tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như khi tôi thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận này. Mặc dù đã cố gắng để thực hiện khoá luận, song không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Ánh Huyền ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... i MỤC LỤC ........................................................................................................... ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ............................................................................. iv MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài khóa luận .............................................................................. 1 2. Mục tiêu khóa luận ........................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 2 4. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................. 2 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..................................................................... 2 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn ........................................................................... 3 7. Bố cục của khóa luận ........................................................................................ 3 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ...................................................................... 5 1.1. Sơ lược về giải và khai thác một số bài toán [4] ............................................. 5 1.1.1. Tìm hiểu sơ bộ đề toán ............................................................................... 5 1.1.2. Khai thác đề toán ....................................................................................... 5 1.1.3. Tìm tòi lời giải ........................................................................................... 5 1.1.4. Trình bày lời giải ....................................................................................... 7 1.1.5. Kiểm tra, đánh giá lời giải, khai thác bài toán ............................................ 8 1.2. Ánh xạ tuyến tính [2] ..................................................................................... 8 1.2.1. Định nghĩa .................................................................................................. 8 1.2.2. Các tính chất ............................................................................................... 9 1.2.3. Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính ......................................... 9 1.2.4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ................................................................... 10 1.2.5. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính...................................................... 11 1.2.6. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ...................................................... 11 1.2.7. Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu ................................................................. 12 1.3 Tự đồng cấu [5] ............................................................................................ 14 1.3.1. Định nghĩa ................................................................................................ 14 1.3.2. Tự đẳng cấu .............................................................................................. 14 iii 1.3.3. Đổi cơ sở đối với một tự đồng cấu ............................................................ 15 1.3.4. Không gian riêng của một tự đồng cấu ...................................................... 15 1.3.5. Tự đồng cấu chéo hóa được ...................................................................... 19 1.3.6. Tự đồng cấu lũy linh ................................................................................. 20 Chương 2: GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN ............................. 22 VỀ TỰ ĐỒNG CẤU .......................................................................................... 22 2.1. Một số dạng toán về ảnh, hạt nhân của tự đồng cấu ..................................... 22 2.2 Một số dạng toán về các phép toán trên tự đồng cấu ..................................... 30 2.3 Một số dạng toán về ma trận và định thức của tự đồng cấu .......................... 37 2.4 Một số dạng toán về giá trị riêng và véctơ riêng của tự đồng cấu .................. 46 2.5. Một số dạng toán về tự đồng cấu chéo hóa được .......................................... 59 2.6. Một số dạng toán về tự đồng cấu lũy linh..................................................... 71 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 78 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A : B : Ma trận A đồng dạng với ma trận B . A = diag (l 1,..., l n ) : A là ma trận chéo với các phần tử chéo là l 1,..., l n . Dn (K ) : Tập hợp các ma trận chéo cấp n trên trường K . GLn (K ) : Tập hợp các ma trận vuông cấp n khả nghịch trên trường K . KGCĐ (f , l 0 ) : Không gian con đặc trưng của f liên kết với giá trị riêng l 0 . K GCR (f , l 0 ) : Không gian con riêng của f liên kết với giá trị riêng l 0 . Kgv: Không gian vectơ Kgvc: Không gian vectơ con L (E ) : Tập hợp các tự đồng cấu của không gian vectơ E . M n (K ) : Tập hợp các ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc trường K . Mat b (f ) : Ma trận của ánh xạ f trong cơ sở b . ( ) Pass b , b ' : Ma trận chuyển cơ sở từ b sang b ' . S n (K ) : Tập hợp các ma trận vuông đối xứng cấp n với hệ tử trong K. SpK (A ) : Tập hợp các giá trị riêng của ma trận vuông A . SpK (f ) : Tập hợp các giá trị riêng của đồng cấu f . Tr (A) : Vết của ma trận A c A : Đa thức đặc trưng của ma trận vuông A . c f : Đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f . 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài khóa luận Chúng ta biết rằng một trong những người sáng tạo ra khái niệm không gian véctơ là nhà toán học Đức Hermann Gunther Grassmann. Sau đó Peano nhà toán học người Italia vào năm 1988 đã đưa ra định nghĩa tiên đề của không gian véctơ (hữu hạn chiều hoặc vô hạn chiều) trên trường số thực với các kí hiệu hoàn toàn hiện đại. Ông cũng đã định nghĩa khái niệm ánh xạ tuyến tính (đồng cấu) từ một không gian véctơ này vào một không gian véctơ kia [8]. Việc nghiên cứu các đồng cấu đặc biệt là tự đồng cấu đóng vai trò quan trọng trong việc làm rõ cấu trúc của các không gian vectơ. Mỗi không gian véctơ đều có một cấu trúc riêng, cấu trúc càng phức tạp thì việc khảo sát chúng càng trở nên khó khăn. Tuy nhiên khi nghiên cứu về đồng cấu, các đặc tính của những phần tử trong mỗi không gian và mối liên hệ giữa chúng được tái hiện rất cụ thể. Do vậy việc khảo sát cấu trúc một đồng cấu là rất cần thiết. Các dạng toán về tự đồng cấu thường được quan tâm trong các kì thi Olympic toán học. Tuy nhiên các dạng bài về tự đồng cấu rất đa dạng nên sinh viên hay gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán về chúng, hơn nữa việc giải bài tập là một khâu bắt buộc để thể hiện sự thông hiểu và vận dụng lý thuyết của người học. Ngoài việc giải bài tập thì khai thác lời giải của một bài toán thể hiện sự sáng tạo và hiểu sâu sắc lời giải của bài toán đó. Hoạt động này rất cần thiết đối với sinh viên sư phạm toán nói riêng và những người học toán nói chung. Nội dung lý thuyết và bài tập về tự đồng cấu được trình bày khá đầy đủ và chi tiết trong rất nhiều tài liệu như [1], [2],… Nhưng các tài liệu này đa số chỉ dừng lại ở việc giải hoặc hướng dẫn giải bài toán mà rất hạn chế trong việc khai thác lời giải bài toán chỉ trừ một số tài liệu về thực hành giải toán như [3]. Tuy nhiên, các tài liệu về khai thác các bài toán chỉ giới hạn trong toán học sơ cấp, còn các tài liệu thuộc lĩnh vực toán học hiện đại thì chưa có phần khai thác. Trong khuôn khổ của đề tài: “Giải và khai thác một số dạng toán về tự đồng cấu” chúng tôi xin phép được trình bày một số bài toán liên quan đến tự đồng cấu với mong muốn đưa ra các dạng toán về tự đồng cấu để thấy mối liên hệ 2 trong từng bài toán, trong từng dạng toán và cao hơn nữa chúng ta có thể thấy toán học luôn có sự kết nối, luôn cần sự sáng tạo. Việc tập dượt, nghiên cứu toán học là rất cần thiết còn bởi điều đó phục vụ hữu ích cho chúng ta trong việc nghiên cứu khoa học. 2. Mục tiêu khóa luận Hệ thống, phân loại, trình bày lời giải một số dạng bài tập về tự đồng cấu và đưa ra những khai thác về chúng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu những kiến thức cơ bản về tự đồng cấu như các phép toán trên tự đồng cấu, ma trận và định thức của tự đồng cấu, giá trị riêng và véctơ riêng của tự đồng cấu...  Phân loại các dạng bài tập về tự đồng cấu và trình bày lời giải cho các dạng bài tập.  Đưa ra hướng khai thác, đề xuất bài toán mới từ bài toán cho trước trong mỗi dạng. 4. Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu tự luận: đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến tự đồng cấu để hệ thống hóa kiến thức.  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên cứu một cách đầy đủ, khoa học kết hợp đưa vào các dạng bài toán cụ thể.  Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu  Đối tượng: các dạng toán về tự đồng cấu.  Phạm vi: tập trung nghiên cứu phân dạng và khai thác lời giải bài toán về tự đồng cấu trên trường số thực và trường số phức. 3 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn  Ý nghĩa khoa học: khóa luận hệ thống các các dạng bài tập về tự đồng cấu và tập trung vào việc giải và khai thác một số bài toán về tự đồng cấu.  Ý nghĩa thực tiễn: khóa luận là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên học toán và các bạn muốn tìm hiểu về đại số nói chung và tự đồng cấu nói riêng. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành 2 chương. Chương 1: Kiến thức cơ sở 1.1 Sơ lược về các bước giải và khai thác một số bài toán 1.2 Ánh xạ tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các tính chất 1.2.3 Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính 1.2.4 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 1.2.5 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính 1.2.6 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 1.2.7 Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu 1.3 Tự đồng cấu 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Tự đẳng cấu 1.3.3 Đổi cơ sở đối với một tự đồng cấu 1.3.4 Không gian riêng của một tự đồng cấu 1.3.4.1 Phần tử riêng 1.3.4.2. Đa thức đặc trưng 1.3.5. Tự đồng cấu chéo hóa được 1.3.6 Tự đồng cấu lũy linh 4 Chương 2: Giải và khai thác một số dạng toán về tự đồng cấu 2.1 Một số dạng toán về ảnh và hạt nhân của tự đồng cấu 2.2 Một số dạng toán về các phép toán trên tự đồng cấu 2.2 Một số dạng toán về ma trận và định thức của tự đồng cấu 2.3 Một số dạng toán về giá trị riêng và véctơ riêng của tự đồng cấu 2.4 Một số dạng toán về tự đồng cấu chéo hóa được 2.5 Một số dạng toán về tự đồng cấu lũy linh 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Sơ lược về giải và khai thác một số bài toán [4] 1.1.1. Tìm hiểu sơ bộ đề toán Khi chọn bài toán, không nên chọn bài quá khó, mà cũng không nên chọn bài quá dễ. Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú, sự tò mò cho người học. Trước hết, cần phải đọc kĩ đề toán để thấy được “ toàn cảnh” bài toán, càng sáng sủa, rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết, nhất là các chi tiết rắc rối. Cần cố gắng “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: bài toán này thuộc “vùng” kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ giải quyết được vấn đề gì? … 1.1.2. Khai thác đề toán Nếu là bài toán về tìm tòi thì cần xác định rõ đâu là ẩn, cần phải tìm cái gì? Đâu là các dữ liệu? Đã cho biết những gì? Nếu là bài toán chứng minh thì cần nêu rõ các giả thiết, kết luận. Nếu bài toán cần có hình vẽ thì phải vẽ hình. Đối với các bài toán đại số và số học, đó có thể là các đồ thị, đoạn thẳng, có thể là các hình hình học (chẳng hạn các bài toán về cực trị hoặc các bài toán hình học giải bằng phương pháp đại số). Nếu cần có thể sử dụng các nét đậm, nét nhạt, nét đứt hoặc dùng màu trong hình vẽ, … cảm nhận trực giác trên hình vẽ có thể giúp ta nắm bắt được dễ dàng hơn nội dung của đề toán. Đối với nhiều đề toán, ta phải đưa vào một số kí hiệu. Cách kí hiệu thích hợp có thể giúp ta hiểu rõ đề toán nhanh chóng hơn. Các kí hiệu dùng để ghi các đối tượng và quan hệ giữa chúng trong bài toán cần được đưa vào một cách ngắn gọn, dễ nhìn,.. 1.1.3. Tìm tòi lời giải Đây là bước quan trọng – nếu không nói là quan trọng nhất trong việc giải bài toán. Không có một thuật giải tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ có thể đưa ra những lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được đúng hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới 6 thành công hơn. Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh hoạt, nhuần nhuyễn thì càng dễ tới thành công hơn. • Nhận dạng và tập hợp kiến thức Cần “khoanh vùng” bài toán và vùng được khoanh càng hẹp càng tốt, giúp ta nhận dạng được bài toán thuộc loại nào. Khi đã nhận dạng, đã phân loại được bài toán thì trong óc phải nhanh chóng huy động và tổ chức các kiến thức đã học, đã biết từ trước, phải nhớ lại để chuẩn bị vận dụng một loạt yếu tố cần thiết để giải bài toán này. Quá trình đó có thể là “tự phát” nhất là đã quen với việc giải toán. • Phân tích bài toán để đưa về những dạng đơn giản hơn Một bài toán, nhất là bài toán tổng hợp, bài toán khó thường được xây dựng từ những bài toán đơn giản hơn. Cần thử xem có thể phân tích bài toán đang xét thành những bài toán đơn giản hơn không, rồi giải bài toán nhỏ ấy, sau đó kết hợp chúng lại để có lời giải của bài toán đã cho. • Liên hệ và sử dụng các bài toán đã giải Thật ra khó mà đặt ra bài toán hoàn toàn mới, không giống bất kỳ bài toán nào hoặc không liên hệ gì với các bài toán khác. Vì thế, khi gặp một bài toán, ta cố gắng nhớ lại xem đã gặp một bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán cần giải chưa và con đường đi đến lời giải. Điều đó sẽ giúp chúng ta rút ngắn việc tìm tòi lời giải của bài toán “mới” này và tạo thêm rất nhiều thuận lợi. Khi nhớ được một hay một số bài toán tương tự bài toán đang xét có thể về dạng, có thể về phương pháp, về vấn đề đặt ra, về cái chưa biết phải tìm … ta đã lợi dụng được những điểm tương đồng về phương pháp giải, về kinh nghiệm, về kết quả. • Mò mẫm, dự đoán Trong khi tìm tòi lời giải cho bài toán, ta có thể thử nghiệm với một số trường hợp đặc biệt, nhiều khi cho ta những gợi ý để giải quyết trong những trường hợp tổng quát. • Bản gợi ý Pôlya Hãy trả lời các câu hỏi: + Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng hơi khác? 7 + Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí nào có thể sử dụng ở đây không? + Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự? + Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử dụng phương pháp của nó không? Có cần đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được không? + Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? + Nếu bạn vẫn chưa giải được bài toán đã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan mà dễ hơn được không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp đặc biệt? Một bài toán tương tự? Hoặc một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số điều kiện, bỏ qua các điều kiện khác. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một số yếu tố có ích không? Có thể nghĩ ra những dữ kiện khác giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thay đổi ẩn hoặc các dữ kiện sao cho các ẩn mới và các dữ kiện mới gần nhau hơn không? + Bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết các quan hệ chưa? Đã để ý đến các khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa? 1.1.4. Trình bày lời giải Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách lập luận tạm thời, cảm tính. Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý đến trình tự các chi tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối quan hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào “bỗng nhiên” xuất hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc đã trình bày trước đó. Trình tự các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất khác với trình tự đã sử dụng khi trình bày lời giải, thậm chí có thể ngược nhau, vì khi tìm tòi lời giải ta thường dùng phương pháp phân tích, còn khi trình bày lời giải để ngắn gọn ta lại thường sử dụng phương pháp tổng hợp. Lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc. 8 1.1.5. Kiểm tra, đánh giá lời giải, khai thác bài toán Bước cuối cùng này cũng cần thiết và bổ ích nhưng thường hay bị bỏ qua. Trong trình bày lời giải, rất có thể có thiếu sót, nhầm lẫn. Việc kiểm tra lại sẽ giúp ta trách được những sai sót đó và tích lũy thêm kinh nghiệm cho các bài toán khác. Hơn nữa việc nhìn nhận lại toàn bộ lời giải có thể giúp chúng ta phát hiện được cách giải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn. Ngoài ra, nó còn có thể giúp ta tìm được những bài toán mới mà bài toán vừa xét chỉ là trường hợp đặc biệt. Công đoạn này còn được gọi là khai thác bài toán. Có thể khai thác theo các hướng sau: + Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự, bài toán này có thể giải được không? + Hướng 2: Khái quát bài toán, có thể phát biểu bài toán tổng quát được không? Bài toán tổng quát còn đúng nữa không? Đặc biệt hóa bài toán? + Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được bài toán mới. Phương pháp giải một bài toán khác. + Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã dẫn đến phương pháp giải một bài toán khác. 1.2. Ánh xạ tuyến tính [2] 1.2.1. Định nghĩa Định nghĩa1.2.1. Cho hai không gian vectơ V và V’ trên trường K. Một ánh xạ f : V ® V ' được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay đồng cấu) nếu f thỏa mãn hai điều kiện sau đây: i) f (x + y ) = f (x ) + f (y ), " x , y Î V ( tính bảo toàn phép cộng). ii) f (l x ) = l f (x ), " x Î V , l Î K ( tính bảo toàn phép nhân với vô hướng). +) Nếu V = V’ thì ta gọi f là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính. +) Đặt L(V, W) là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính từ V vào W. Trên L(V, W) ta đặt các phép toán sau: (f + g)(u ) = f (u ) + g(u ) (a f )(u ) = a f (u ) "u Î V ,"a Î K 9 Khi đó, L(V, W) cùng với hai phép toán được định nghĩa như trên là không gian vectơ  Chú ý Ở điều kiện (i) thì phép (+) bên vế trái là phép cộng trong V còn phép cộng bên vế phải là phép (+) trong V’, tương tự với điều kiện (ii). Các điều kiện (i) và (ii) trong định nghĩa có thể thay thế bằng điều kiện sau: f (l x + y ) = l f (x ) + f (y ), " x , y Î V ; " l Î K . 1.2.2. Các tính chất Nếu f là một ánh xạ tuyến tính từ V vào V’ thì ta có: i) f (l x + my ) = l f (x ) + mf (y ); ii) f (0V ) = 0V ' ; f (- x ) = - f (x ); iii) Nếu f :V ® V ' và g : V ' ® V '' là các ánh xạ tuyến tính thì gf : V ® V '' cũng là ánh xạ tuyến tính. iv) Qua một ánh xạ tuyến tính thì một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính (trong V) được biến thành một hệ phụ thuộc tuyến tính (trong V’). Tức là nếu hệ các vectơ {x 1, x 2,..., x n } phụ thuộc tuyến tính trong V, thì hệ {f (x1), f (x )2,..., f (x n )} phụ thuộc tuyến tính trong V’. v) Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một hệ vectơ. Tức là: rank (x 1, x 2,..., x n ) ³ rank ( f (x 1), f (x 2 ),..., f (x n )), x i Î V 1.2.3. Định lý cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính Định lý 1.2.1. Cho một cơ sở B = {e1, e2,..., en } của không gian vectơ V ( n ³ 1 ) và v1, v2,..., vn là n vectơ tùy ý của không gian vectơ V’. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : V ® V ' sao cho f (ei ) = vi , i = 1, n hay nói khác hơn ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở. 10 1.2.4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Cho f : V ® V ' là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ n chiều V vào không gian vectơ m chiều V’ (với (m , n ³ 1). Giả sử B = (e1, e2,..., en ) và B ' = (e1' , e2' ,..., em' ) lần lượt là hai cơ sở được sắp của không gian V và V’. Khi đó, mỗi vectơ f (e j ) trong V’ có dạng: f (e j ) = a1je1' + a2 je2' + ... + amjem' m = å aijei' , i= 1 hay f (e j )[B ] = (a1j , a2 j ,..., amj ), j = 1, n . Vậy f sẽ hoàn toàn xác định nếu biết các hệ số aij , hay f được xác định bởi ma trận A = (aij ) Î M (m , n ; K ) . Ma trận A = (aij )m ´ n là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở (B; B’). Ma trận A là ma trận với m dòng (bằng số chiều của không gian V’) và n cột (bằng số chiều của không gian V), cột thứ j là tọa độ của f (e j ) trong cơ sở B’ ( j = 1, n ) . Nếu f là một phép biến đổi tuyến tính thì ma trận của f là ma trận vuông cấp n. Định lý 1.2.2. Giả sử các ma trận A và B lần lượt là ma trận của các ánh xạ tuyến tính f : V ® V ' và g : V ' ® V '' ứng với các cặp cơ sở là (B, B’) và (B’, B’’) thì ma trận của ánh xạ tích gf : V ® V '' ứng với cặp cơ sở (B, B’’) là ma trận BA. Định lý 1.2.3. Giả sử ánh xạ tuyến tính f : V ® V ' có ma trận trong các cặp cơ sở (B 1, B 1' ) và (B 2, B 2' ) tương ứng là A1, A2 . Nếu C và C’ tương ứng là các ma trận đổi cơ sở từ - 1 B 1 sang B 2 và B 1' sang B 2' , thì ta có A2 = (C ') A1C . Nếu A1, A2 lần lượt là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V ® V trong hai cơ sở B 1, B 2 11 1.2.5. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính Cho f : V ® V ' là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ n chiều V vào không gian vectơ m chiều V’ (m , n ³ 1) và A = (aij )m ´ n là ma trận của f trong cặp cơ sở (B, B’). Với mỗi vectơ x Î V , ta thiết lập mối quan hệ giữa các tọa độ của x trong B với tọa độ của f (x ) Î V ' trong B’. Giả sử x[B ] = (x1, x 2,..., x n ) và f (x )[B '] = (x 1' , x 2' ,..., x m' ) n hay x = å m x je j và f (x ) = j= 1 å x i'ei' . i= 1 Khi đó: æn ö æm ö n n ÷ çç çç '÷ ÷ ÷ = f ( x ) = f çå x j e j ÷ = å x j f (e j ) = å x j çå aij ei ÷ å ÷ ÷ çç çç ÷ ÷ ø èj = 1 ø j= 1 i= 1 j=1 è i= 1 ö m æn n ÷ çç ' ' ÷ = å çå aij x j ÷ ei Û x i = å aij x j , i = 1, m ÷ çç ÷ ø i = 1 èj = 1 j=1 m x i'ei' Cụ thể: ìï x ' = a x + a x + ... + a x é 'ù ïï 1 êx1 ú 11 1 12 2 1n n ê ' ú ïï ' êx ú ï x 2 = a21x 1 + a22x 2 + ... + a2n x n hoặc ê 2 ú= í ê Mú ïï M ê ú ïï êx ' ú ' ïï x = a x + a x + ... + a x êë m ú m1 1 m2 2 mn n ïî m û éa ùé ù ê 11 a12 ... a1n úêx 1 ú êa úê ú ê 21 a22 ... a2n úêx 2 ú êM ú M O M úê ê úê Mú êa úêx ú êë m 1 am 2 ... amn úê ûë n ú û é ù , gọi là biểu thức tọa độ của f đối với cặp cơ sở (B, B’). Tức là, éêf (x )ù ë ú ûB ' = A êëx ú ûB Và C : B 1 ® B 2 là ma trận đổi cơ sở từ B 1 sang B 2 thì A2 = C - 1A1C . 1.2.6. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 1.2.2. Cho ánh xạ tuyến tính f : V ® V ' . Ảnh của ánh xạ tuyến tính f , ký hiệu Im ( f ) = f (V ) = { f (x ) Î V ' | x Î V } . 12 Im(f) là một không gian con của V’. Nhân của ánh xạ tuyến tính f, ký hiệu Ker ( f ) = f - 1(0V ' ) = {x Î V | f (x ) = 0V ' } Ker(f) là không gian con của V. Khi V và V’ là không gian hữu hạn chiều thì Im(f) và Ker(f) cũng là không gian con hữu hạn chiều hơn nữa 0 £ dim Im ( f ) £ dim V ' ; 0 £ dim K er ( f ) £ dim V , số chiều của Im(f) và Ker(f) lần lượt gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu rank(f) và def (f ). Định lý 1.2.4. Cho ánh xạ tuyến tính f : V ® V . Khi đó, nếu V là một không gian vectơ hữu hạn chiều thì Im(f ) và Ker(f ) cũng hữu hạn chiều, đồng thời dim Im(f ) + dim Ker(f) = dim V. 1.2.7. Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu Định nghĩa 1.2.3. Ánh xạ tuyến tính f : V ® V ' , ta nói f là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu và chỉ nếu f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh). Định lý 1.2.5. Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều và f : V ® V ' là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương i) f là một đơn cấu; ii) Ker ( f ) = 0V iii) f biến một hệ vectơ độc lập tuyến tính thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính. Tức là nếu hệ {u1, u 2,..., um } độc lập tuyến tính thì hệ { f (u1), f (u 2 ),..., f (um )} độc lập tuyến tính; iv) f giữ nguyên hạng của vectơ, tức là: rank {u1, u 2,..., um } = rank { f (u1), f (u 2 ),..., f (um )} 13 v) Nếu W là một không gian con của V thì dim( f (W )) = dim W vi) rank ( f ) = dim V . Định lý 1.2.6. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và f : V ® V ' là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i) f là toàn cấu ii) Im(f) = V’ iii) rank(f ) = dim V’ iv) f biến một hệ sinh của V thành một hệ sinh của V’, nói cách khác nếu V = S thì V ' = f (S ') . v) Có một hệ sinh S của V mà ảnh của nó là một hệ sinh của V’. Hệ quả 1.2.1. Cho V là một không gian vectơ và B = {e1, e2,.., en } là một cơ sở của nó. Giả sử f : V ® V ' là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó: i) f là một đơn cấu khi và chỉ khi f (B ) = { f (e1), f (e2 ),..., f (en )} là một hệ độc lập tuyến tính. ii) f là một toàn cấu khi và chỉ khi f (B ) = { f (e1), f (e2 ),..., f (en )} là một hệ sinh của V’. iii) f là một đẳng cấu khi và chỉ khi f (B ) = { f (e1), f (e2 ),..., f (en )} là một cơ sở của V’. Hệ quả 1.2.2. Cho f : V ® V ' là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, i) f là một đơn cấu khi và chỉ khi rank ( f ) = dim V £ dim V ' ; ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi rank ( f ) = dim V ' £ dimV ; iii) f là đẳng cấu khi và chỉ khi rank ( f ) = dimV = dimV '. 14 Nhận xét  Nếu dimV = dimV’ thì f là đơn cấu Û f là toàn cấu Û f là đẳng cấu.  Tích các đẳng cấu là một đẳng cấu. Ánh xạ ngược của một đẳng cấu là một đẳng cấu. Định nghĩa 1.2.4. Hai không gian vectơ V và V’ được gọi là đẳng cấu với nhau, ký hiệu V @V ' nếu tồn tại một đẳng cấu từ V vào V’. Định lý 1.2.6. V @V ' khi và chỉ khi dim V = dim V’. 1.3 Tự đồng cấu [5] 1.3.1. Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1. Cho E là một K- kgv, f : E → E là một ánh xạ. Ta nói f là một tự đồng cấu của E khi và chỉ khi f là tuyến tính. Ta kí hiệu tập hợp các tự đồng cấu của E là L(E) hoặc Lx(E). Như vậy, ta có L(E) = L(E,E) 1.3.2. Tự đẳng cấu Định nghĩa 1.3.2. Cho E là một K- kgv, f: E → E là một ánh xạ. Ta nói f là một tự đẳng cấu của E khi và chỉ khi f là tuyến tính và song ánh. Ta kí hiệu tập hợp các tự đẳng cấu của E là GL(E). Định nghĩa 1.3.3. Một ma trận A thuộc M n (K ) được gọi là khả nghịch khi và chỉ khi tồn tại một A ' Î M n (K ) sao cho A A ' = A ' A = I n . Nếu A khả nghịch thì A ' là duy nhất và được gọi là nghịch đảo của A ký hiệu là A - 1 . Ta ký hiệu tập hợp các ma trận khả nghịch thuộc M n (K ) là GLn (K ).