Tài liệu Giải và khai thác một số dạng toán về lượng giác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN TIN ----------------------- ĐINH THỊ LUYẾN GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LƯỢNG GIÁC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán Phú Thọ, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TOÁN TIN ----------------------- ĐINH THỊ LUYẾN GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LƯỢNG GIÁC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. Nguyễn Thị Thanh Tâm Phú Thọ, 2018 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài khóa luận Lượng giác là một nội dung kiến thức quan trọng của chương trình Toán phổ thông. Nó liên quan đến nhiều nội dung khác của Toán học như tích phân, đạo hàm, hình học… Và bổ trợ cho nhiều môn khoa học quan trọng khác như Vật lí và trong cả thực tiễn. Trong chương trình Toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy ở cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, phương trình lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác, tính giá trị lượng giác của một góc, chứng minh bất đẳng thức lượng giác, rút gọn biểu thức… Các bài toán về lượng giác là mảng kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán cũng như các kỳ thi Olympic Toán các cấp và kỳ thi THPT Quốc Gia. Do đó, đây là một mảng Toán luôn thu hút được sự quan tâm của người giáo viên, học sinh, sinh viên chuyên ngành Toán... Ý thức được tầm quan trọng như vậy nhưng việc dạy và học về lượng giác ở các trường THPT vẫn còn gặp nhiều khó khăn. Một trong những nguyên nhân chính là do các bài toán về lượng giác có rất nhiều dạng và thời lượng dành cho việc luyện bài tập theo phân phối chương trình còn hạn chế. Nên khi giải một bài toán về lượng giác học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng lời giải bài toán từ đâu? Phải biến đổi từ đâu?”. Một số học sinh có thói quen là biến đổi tùy ý hay không đọc đề kỹ đã vội làm ngay, có khi thử nghiệm đó sẽ dẫn đến kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán sẽ không cao. Do vậy, muốn đạt được kết quả cao trong mảng kiến thức lượng giác này thì khi giải một bài toán không nên chỉ dừng lại ở bước hiểu lời giải, mà cần phải biết cách khai thác, phân loại các dạng toán để đưa ra những hướng giải đúng và lời giải chính xác. Việc khai thác bài toán thể hiện sự sáng tạo và hiểu sâu hơn lời giải, giúp cho quá trình học tập đạt được kết quả cao. Vì vậy việc phát triển kĩ năng thực hành giải và khai thác một số bài toán về lượng giác cho học sinh là một nhiệm vụ vô cùng quan trọng của người giáo viên. Với vai trò là một người giáo viên tương lai, việc nghiên cứu và trau 2 dồi kiến thức Toán phổ thông là một điều rất cần thiết. Nên tôi muốn đưa ra những hướng dẫn cụ thể về cách giải và khai thác một số dạng toán lượng giác dựa trên những kiến thức đã được trang bị trong quá trình học tập, nghiên cứu về lượng giác. Việc này sẽ giúp ích rất nhiều trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng chọn lọc những học sinh ưu tú. Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài “Giải và khai thác một số dạng toán về lượng giác” làm nội dung nghiên cứu cho khóa luận của mình. 2. Mục tiêu khóa luận Giải và khai thác một số dạng toán về nhận dạng tam giác, rút gọn biểu thức lượng giác, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác và phương trình lượng giác. 3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh ở các trường phổ thông, sinh viên các ngành đặc biệt là ngành sư phạm Toán. Giúp họ hiểu thêm về các hàm lượng giác, biết cách khai thác một số dạng bài toán lượng giác. Đồng thời, góp phần rèn luyện thói quen phân tích và tìm hiểu mối quan hệ giữa các vấn đề trong quá trình giải toán cho học sinh. Đối với bản thân, đây là cơ hội để mở rộng và đi sâu nghiên cứu về kiến thức, phát triển kĩ năng tư duy và thực hành giải toán thực sự hữu ích cho công tác giảng dạy sau này ở trường THPT. 3 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này tôi trình bày sơ lược về giải và khai thác một số bài toán, một số kiến thức về lượng giác. 1.1. Sơ lược về giải và khai thác một số bài toán. Thông thường để giải một bài toán, cần qua nhiều công đoạn khác nhau. Trong [5] đã đưa ra một số công đoạn như sau: Tìm hiểu sơ lược bộ đề, khai thác đề bài, tìm tòi lời giải, trình bày lời giải, đánh giá lời giải, khai thác lời giải, đề xuất bài toán mới. Tất nhiên không phải bài toán nào cũng trải qua đủ các công đoạn đó, song chúng giúp ích rất nhiều trong việc giải các bài toán, và đối với các bài toán được chọn lọc điển hình thì nên phân tích kỹ theo trình tự đó để rèn luyện các thao tác tư duy. 1.1.1. Tìm hiểu sơ bộ đề toán. Khi chọn bài toán, không nên chọn bài quá khó, mà cũng không nên chọn bài quá dễ. Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi hứng thú, sự tò mò cho người học. Trước hết, cần phải đọc kĩ đề toán để thấy được “toàn cảnh” bài toán, càng sáng sủa, rõ ràng càng hay, không đi vội vào chi tiết, nhất là các chi tiết rắc rối. Cần cố gắng “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: Bài toán này thuộc “vùng” kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ giải quyết được vấn đề gì? 1.1.2. Khai thác đề toán. Nếu là bài toán tìm tòi thì cần xác định rõ đâu là ẩn, cần phải tìm cái gì? Đâu là các dữ liệu? Đã cho biết những gì? Nếu bài toán chứng minh thì cần nêu rõ giả thiết, kết luận. Nếu bài toán có hình vẽ thì phải vẽ hình. Đối với các bài toán đại số và số học, đó có thể là đồ thị, đoạn thẳng, có thể là các hình học (chẳng hạn các bài toán về cực trị hoặc các bài toán hình học giải bằng phương pháp đại số). Nếu cần có thể sử dụng các nét đậm, nét nhạt, nét đứt hoặc dùng màu trong 4 hình vẽ,… cảm nhận trực giác trên hình vẽ có thể giúp ta nắm bắt được dễ dàng hơn nội dung của đề toán. Đối với nhiều đề toán ta phải dựa vào một số kí hiệu. Cách kí hiệu thích hợp có thể giúp ta hiểu rõ đề toán nhanh chóng hơn. Các kí hiệu dùng để ghi các đối tượng và quan hệ giữa chúng trong bài toán cần được đưa vào một cách ngắn gọn, dễ nhìn. 1.1.3. Tìm tòi lời giải. Đây là bước quan trọng – nếu không nói là việc quan trọng nhất trong giải toán. Không có một thuật giải tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ có thể đưa ra những lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công hơn. Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng kinh nghiệm đó, càng linh hoạt, nhuần nhuyễn thì càng dẫn tới thành công hơn.  Nhận dạng và tập hợp kiến thức Cần “khoanh vùng” bài toán và vùng được khoanh càng hẹp càng tốt, giúp ta nhận dạng được bài toán thuộc loại nào. Khi đã nhận dạng, đã phân loại được bài toán thì trong óc phải nhanh chóng huy động và tổ chức các kiến thức đã học, đã biết từ trước, phải nhớ lại để chuẩn bị vận dụng một cách linh hoạt yếu tố cần thiết để giải bài toán này. Quá trình đó có thể là “tự phát” nhất là đã quen với việc giải toán.  Phân tích bài toán để đưa về những dạng đơn giản hơn Một bài toán, nhất là bài toán tổng hợp, bài toán khó thường được xây dựng từ những bài toán đơn giản hơn. Cần thử xem có thể phân tích bài toán đang xét thành những bài toán đơn giản hơn không, rồi giải bài toán nhỏ ấy, sau đó kết hợp chúng lại để có lời giải của bài toán đã cho.  Liên hệ và sử dụng các bài toán đã giải Thật ra khó mà đặt ra bài toán hoàn toàn mới, không giống bất kỳ bài toán nào hoặc không liên hệ gì các bài toán khác. Vì thế, khi gặp một bài toán, ta cố gắng nhớ lại xem đã gặp một bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán cần giải chưa và con đường đi đến lời giải. Điều đó sẽ giúp chúng ta rút ngắn 5 việc tìm tòi lời giải của bài toán “mới” này và tạo thêm rất nhiều thuận lợi. Khi nhớ được một hay một số bài toán tượng tự bài toán đang xét có thể về dạng, có thể về phương pháp, về vấn đề đặt ẩn, về cái chưa biết phải tìm… ta đã lợi dụng được những điểm tương đồng về phương pháp giải, về kinh nghiệm, về kết quả.  Mò mẫm, dự đoán Trong khi tìm tòi lời giải cho bài toán, ta có thể thử nghiệm với một số trường hợp đặc biệt, nhiều khi cho ta những gợi ý để giải quyết trong những trường hợp tổng quát.  Bản gợi ý Pôlya Hãy trả lời các câu hỏi: - Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng khác? - Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí nào có thể sử dụng ở đây không? - Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự? - Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử dụng phương pháp của nó không? Có cần đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được không? - Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Nếu bạn vẫn chưa giải được bài toán đã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan mà dễ hơn được không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp đặc biệt? Một bài toán tương tự? Hoặc một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số điều kiện, bỏ qua các điều kiện khác. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện đã biết rút ra một số yếu tố có ích không? Có thể nghĩ ra các dữ kiện khác giúp bạn xác định được ẩn không? Có 6 thể thay đổi ẩn hoặc các dữ kiện sao cho các ẩn mới các dữ kiện mới gần nhau hơn không? - Bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết các quan hệ chưa? Đã để ý đến các khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa? 1.1.4. Trình bày lời giải Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách lập luận tạm thời, cảm tính. Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý đến trình tự các chi tiết, đến mối quan hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào “bỗng nhiên” xuất hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc những chi tiết mà ta trình bày trước đó. Trình bày các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất khác nhau với trình tự đã sử dụng khi trình bày lời giải, thậm chí có thể ngược nhau, vì khi tìm tòi lời giải ta thường dùng phương pháp phân tích (còn gọi là pháp phân tích đi xuống), còn khi trình bày lời giải để cho ngắn gọn, ta thường dùng phương pháp tổng hợp (thường gọi là phân tích đi lên). Lời giải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc. 1.1.5. Kiểm tra, đánh giá lời giải, khai thác bài toán Công đoạn cuối cùng này cùng cần thiết và bổ ích nhưng thường hay bị bỏ qua. Trong khi trình bày lời giải, rất có thể có thiếu sót, nhầm lẫn. Việc kiểm tra lại sẽ giúp ta đánh giá được những sai sót đó, và còn giúp ta tích lũy thêm những kinh nghiệm từ bài toán khác. Hơn nữa, việc nhìn lại toàn bộ cách giải có thể giúp ta phát hiện được cách giải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn. Ngoài ra, nhìn lại toàn bộ lời giải nhiều khi gợi ý cho ta tìm được những bài toán mới, mà bài toán vừa xét chỉ là trường hợp đặc biệt. Công đoạn này còn được gọi là khai thác bài toán. Có thể khai thác theo các hướng sau:  Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự, bài toán này có thể giải được không? 7  Hướng 2: Khái quát hóa, có thể phát biểu bài toán tổng quát được không? Bài toán tổng quát có còn đúng nữa không? Trái lại với khái quát hóa là đặc biệt hóa luôn luôn đưa đến kết quả đúng, có thể mạnh hơn.  Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được bài toán mới. Phương pháp giải một bài toán khác.  Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã dẫn đến phương pháp giải một bài toán khác. 1.2. Một số kiến thức cơ bản về lượng giác 1.2.1. Định nghĩa các hàm lượng giác cơ bản a. Các hàm số y = sin x và y = cos x - Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin . Kí hiệu là y = sin x . Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsin. Kí hiệu là y = cos x . Tập xác định của các hàm số y = sin x và y = cos x là R . Do đó các hàm số sin và côsin được viết là sin: ¡ ® ¡ cos: ¡ ® ¡ x a cos x x a sin x - Tính chất tuần hoàn của hàm số y = sin x và y = cos x Hàm số y = sin x và y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2p . b. Các hàm số y = t an x và y = cot x . - Định nghĩa: Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức y= Kí hiệu y = t an x sin x cos x (cos x ¹ 0) 8 Vì cos x ¹ 0 Û x ¹ p + k p (k Î ¢ ) nên tập xác định của hàm số 2 y = t an x là ìï p ü ï D = ¡ \ ïí + k p, k Î ¢ ïý ïïî 2 ïïþ Hàm số cot là hàm số được xác định bởi công thức y= cos x sin x (sin x ¹ 0) Kí hiệu y = cot x Vì sin x ¹ 0 Û x ¹ k p (k Î ¢ ) nên tập xác định của hàm số y = cot x là D = ¡ \ {k p, k Î ¢ } Nhận xét: Hàm số y = sin x là hàm số lẻ, hàm số y = cos x là hàm số chẵn. Do đó , các hàm số y = t an x và y = cot x đều là những hàm số lẻ - Tính chất tuần hoàn: Các hàm số y = t an x và y = cot x tuần hoàn với chu kỳ p . 1.2.2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt. · Hai cung đối nhau cos(- a ) = cos a t an(- a ) = - t an a sin(- a ) = - sin a cot (- a ) = - cot a · Hai cung bù nhau: ( a và p - a ) cos( p - a ) = - cos a t an( p - a ) = - t an a sin( p - a ) = sin a cot ( p - a ) = - cot a · Hai cung phụ nhau: ( a và p - a ) 2 p cos( - a ) = sin a 2 p t an( - a ) = cot a 2 p sin( - a ) = cos a 2 p cot ( - a ) = t an a 2 · Hai cung hơn, kém p ( a và p + a ) 9 cos( p + a ) = - cos a t an( p + a ) = t an a sin( p + a ) = - sin a cot ( p + a ) = cot a · Hai cung hơn kém p 2 cos( p + a ) = - sin a 2 t an( sin( p + a ) = cos a 2 cot ( p + a ) = - cot a 2 p + a ) = - t an a 2 1.2.3. Công thức lượng giác cơ bản · Các đẳng thức lượng giác sin 2 a + cos2 a = 1 1 2 = 1 + cot 2 a 1 cos2 a = 1 + t an 2 a t an a . cot a = 1 sin a t an a = sin a cos a cot a = cos a sin a · Công thức cộng sin(a + b ) = sin a . cos b + sin b . cos a t an( a + b ) = t an a + t an b 1 - t an a . t an b sin(a - b ) = sin a . cos b - sin b . cos a t an( a - b ) = t an a - t an b 1 + t an a . t an b cos(a + b ) = cos a . cos b - sin a . sin b cot (a + b ) = cot a . cot b + 1 cot a - cot b cos(a - b ) = cos a . cos b + sin a . sin b cot (a - b ) = cot a . cot b - 1 cot a + cot b · Công thức nhân sin 2a = 2 sin a . cos a cos 2a = cos2 a - sin 2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a t an 2a = 2 t an a 1 - t an 2 a cot 2a = cot 2 a - 1 2 cot a 10 3 sin 3a = 3 sin a - 4 sin a t an 3a = cos 3a = 4 cos3 a - 3 cos a cot 3a = 3 t an a - t an 3 a 1 - 3 t an 2 a cot 3 a - 3 cot a 3 cot 2 a - 1 · Công thức hạ bậc cos2 a = 1 + cos 2a 2 t an 2 a = 1 - cos 2a 1 + cos 2a sin 2 a = 1 - cos 2a 2 cot 2 a = 1 + cos 2a 1 - cos 2a sin 3 a = 3 sin a - sin 3a 4 cos3 a = · Công thức biến đổi tích thành tổng cos a . cos b = 1é cos(a + b ) + cos(a - b )ù ê ú ë û 2 1é cos( a + b ) - cos(a - b )ù ú û 2 ëê sin a . sin b = sin a . cos b = t an a . t an b = 1é sin( a + b ) + sin(a - b ù ú û 2 êë t an a + t an b cot a + cot b · Công thức biến đổi tổng thành tích cos a + cos b = 2 cos a+ b a- b . cos 2 2 cos a - cos b = - 2 sin a+ b a- b . sin 2 2 sin a + sin b = 2 sin a+ b a- b . cos 2 2 sin a - sin b = 2 cos a+ b a- b . sin 2 2 t an a ± t an b = sin (a ± b ) cos a . cos b 3 cos a + cos 3a 4 11 cot a ± cot b = sin (b ± a ) sin a . sin b · Một số công thức đặc biệt cos a + sin a = p 2 cos( - a ) = 4 cos a - sin a = 2 cos(a + p )= 4 p 2 sin( - a ) 4 sin a - cos a = 2 sin( a - p )= 4 2 cos( 2 sin( p + a) 4 p + a) 4 1.2.4. Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác · Định lý hàm số sin: Trong tam giác A BC bất kỳ với A B = c, BC = a,CA = b và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có a b c = = = 2R . sin A sin B sin C Định lý sin được dùng để tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh còn lại, đây là bài toán hay gặp trong kĩ thuật tam giác – một kĩ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc đo góc và các khoảng cách dễ đo khác . · Định lý hàm số cosin: Trong tam giác A BC với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, ta có a 2 = b2 + c 2 - 2bc. cos A b2 = a 2 + c 2 - 2ac. cos B c 2 = a 2 + b2 - 2ab. cosC Đây là một kết quả mở rộng của định lý Pitago, và được dùng để tìm các dữ liệu còn lại trong tam giác khi biết độ lớn hai cạnh và một góc. · Định lý hàm số t an . Tỉ số giữa tổng và hiệu hai cạnh của một tam giác bằng tỉ số giữa tan nửa tổng và tang nửa hiệu của hai góc đối diện tương ứng trong tam giác đó. 12 é1 ù t an ê (A + B )ú ê2 ú a+b ë û Biểu thức = é1 ù a- b t an ê (A - B )ú ê2 ú ë û Trong đó a, b, c là các cạnh trong tam giác A BC và A, B , C là các góc tương ứng của tam giác đó. · Định lý hàm số cot . b2 + c 2 - a 2 cot A = 4S 2 a + c 2 - b2 cot B = 4S 2 a + b2 - c 2 cot C = 4S · Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác B C sin 2 2 = (p - a )t an A A 2 cos 2 a sin r = A C sin 2 2 = (p - b)t an B B 2 cos 2 b sin r = A B sin 2 2 = (p - c )t an C C 2 cos 2 c sin r = r = 4R sin A B C sin sin 2 2 2 · Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác B C cos 2 2 = p t an A A 2 cos 2 a cos ra = 13 A C cos 2 2 = p t an B B 2 cos 2 b cos rb = A B cos 2 2 = p t an C C 2 cos 2 c cos rc = · Đường phân giác góc trong của tam giác 2bc cos la = A 2 b+ c 2ca cos lb = B 2 a+c C 2 a+b 2ab cos lc = · Đường trung tuyến của tam giác m a2 b2 + c 2 a 2 = 2 4 m b2 a 2 + c 2 b2 = 2 4 m c2 a 2 + b2 c 2 = 2 4 1.2.5. Phương trình lượng giác cơ bản · Phương trình sin x = m Nếu a là một nghiệm của phương trình sin x = m , nghĩa là sin a = m thì éx = a + k 2p sin x = m Û êê êëx = p - a + k 2p (k Î ¢ ) Chú ý: 1. Khi m Î éê- 1;1ù thì ta có: ú ë û p + k 2p 2 p sin x = - 1 Û x = + k 2p 2 sin x = 0 Û x = k p sin x = 1 Û x = 2. Nếu m cho trước mà m £ 1, phương trình sin x = m có đúng một é p pù nghiệm nằm trong đoạn ê- ; ú. Nghiệm đó kí hiệu là arcsin m . Khi đó ê 2 2ú ë û 14 éx = arcsin m + k 2p sin x = m Û êê êëx = p - arcsin m + k 2p (k Î ¢ ) 3. Nếu a và b là hai số thực thì sin b = sin a khi và chỉ khi có số nguyên k để b = a + k 2p hoặc b = p - a + k 2p, k Î ¢ · Phương trình cos x = m Nếu a là một nghiệm của phương trình cos x = m , nghĩa là cos a = m thì éx = a + k 2p cos x = m Û êê êëx = - a + k 2p (k Î ¢ ) Chú ý: 1. Khi m Î éê- 1;1ùú thì ta có: ë û cos x = 1 Û x = k 2p cos x = - 1 Û x = p + k 2p cos x = 0 Û x = p + kp 2 2. Nếu m cho trước mà m £ 1, phương trình cos x = m có đúng một nghiệm nằm trong đoạn éê0; p ùú. Nghiệm đó kí hiệu là arccos m . Khi đó ë û éx = arcsin m + k 2p cos x = m Û êê êëx = - arcsin m + k 2p (k Î ¢ ) 3. Nếu a và b là hai số thực thì cos b = cos a khi và chỉ khi có số nguyên k để b = a + k 2p hoặc b = - a + k 2p , k Î ¢ · Phương trình t an x = m Nếu a là một nghiệm của phương trình t an x = m , nghĩa là t an a = m thì t an x = m Û x = a + k p (k Î ¢ ) Chú ý: 1. Nếu với mọi số m cho trước, phương trình t an x = m có đúng một é p pù nghiệm nằm trong đoạn ê- ; ú. Nghiệm đó kí hiệu là arctan m . Khi đó ê 2 2ú ë û 15 t an x = m Û x = arct an m + kp 2. Nếu a và b là hai số thực thì t an b = t an a khi và chỉ khi có số nguyên k để b = a + k p, k Î ¢ · Phương trình cot x = m Nếu a là một nghiệm của phương trình cot x = m , nghĩa là cot a = m thì cot x = m Û x = a + k p (k Î ¢ ) Chú ý. 1. Nếu với mọi số m cho trước, phương trình cot x = m có đúng một nghiệm nằm trong đoạn éê0; p ù . Nghiệm đó kí hiệu là arccot m . ë ú û Khi đó cot x = m Û x = arccot m + kp 16 CHƯƠNG 2 GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN LƯỢNG GIÁC 2.1. Bài toán rút gọn biểu thức lượng giác. Khai thác bài toán là vấn đề khó không chỉ đối với học sinh trung học mà còn khó với cả sinh viên và giáo viên. Nó đòi hỏi người học phải vận dụng linh hoạt có kĩ sảo những kiến thức đã học, phải có tư duy sáng tạo nắm bắt vấn đề sâu sắc. Mặt khác, ta thấy rằng hầu hết các bài toán phức tạp là sự phối hợp của nhiều bài toán cơ bản. Do đó, học sinh cần phải biết giải thành thạo các bài toán cơ bản, nhìn ra vị trí của bài toán cơ bản trong bài toán phức tạp. Như vậy, khi giải bài toán rút gọn biểu thức lượng giác cơ bản, đơn giản ta có thể tìm được cách giải cho nhiều bài toán lượng giác khác có liên hệ với những bài toán đó, giúp xây dựng một chuỗi bài toán từ dễ đến khó một cách hệ thống hơn, và ngoài ra nó còn khơi dậy được óc tò mò cũng như khả năng phán đoán cho người học khi giải các bài toán rút gọn biểu thức lượng giác. Dưới đây ta đi xét một số bài toán rút gọn biểu thức lượng giác thông qua các bài tập cụ thể sau. Bài toán 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số A = cos2 3x + cos2 x - 2 cos x . cos 2x . cos 3x a. Lời giải. Ta có A = cos2 3x + cos2 x - 2 cos x . cos 2x . cos 3x 2 = (cos x + cos 3x ) - 2 cos x cos 3x (cos 2x + 1) = 4 cos2 x cos2 2x - 4 cos2 x cos x cos 3x ( = 4 cos2 x cos2 2x - cos x cos 3x ) é1 + cos 4x 1 ù = 4 cos2 x ê - (cos 2x + cos 4x )ú ê ú 2 2 ë û 2 = 2 cos x (1 - cos 2x ) = sin 2 2x b. Khai thác. 17 Bài toán. Chứng minh rằng mọi biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số A = cos2 (a + x ) + cos2 x - 2 cos x cos a cos (a + x ) Lời giải. 2 ( ) A = cos a + cos (a + x ) - 2 (cosa + 1)cos x cos (a + x ) æ aö 2 a 2a ÷ = 4 cos2 ççx + ÷ cos 4 cos cos x cos (a + x ) çè ÷ 2÷ 2 2 ø ö æ a÷ ö aæ ÷ ÷ = 4 cos2 çççcos2 ççx + ÷ cos x cos a + x ( ) ÷ ÷ ÷ çè 2 çè 2÷ ø ø a = 2 cos2 1 + cos (2x + a )- cos a - cos (2a + x ) 2 a a a = 2 cos2 (1 - cos a ) = 4 cos2 sin 2 = sin 2 a . 2 2 2 ( ) Bài toán 2. Đơn giản biểu thức sau B = cos 2p 4p 6p 8p + cos + cos + cos 5 5 5 5 a. Lời giải. Ta có 2 sin p p 2p p 4p p 6p p 8p .B = 2 sin cos + 2 sin cos + 2 sin cos + 2 sin cos 5 5 5 5 5 5 5 5 5 p 3p 3p 5p 5p 7p 7p 9p + sin - sin + sin - sin + sin - sin + sin 5 5 5 5 5 5 5 5 9p p 4p = sin - sin = 2 cos p sin 5 5 5 p = 2 cos p sin 5 = - sin Do đó B = cos p = - 1 b. Khai thác. Bài toán 2.1. Rút gọn biểu thức B 1 = cos 2a + cos 4a + cos 6a + ... + cos 2na Lời giải. 18 2 sin a.B 1 = 2 sin a cos 2a + 2 sin a cos 4a + 2 sin a cos 6a + ... + 2 sin a cos 2na = sin 3a - sin a + sin 5a - sin 3a + ... + sin (2n + 1)a - sin (2n - 1)a = - sin a + sin (2n + 1)a = 2 sin na cos (n + 1)a sin na cos (n + 1)a Do đó B 1 = sin a Do tính chất tương tự giữa các hàm sin và cos ta có bài toán sau. Bài toán 2.2. Rút gọn biểu thức B 2 = sin 2a + sin 4a + sin 6a + ... + sin 2na Lời giải. 2 sin aB 2 = 2 sin a sin 2a + 2 sin a sin 4a + 2 sin a sin 6a + ... + 2 sin a sin 2na = cos a - cos 3a + cos 3a - cos 5a + ... + cos (2n - 1)a - cos (2n + 1)a = cos a - cos (2n + 1)a = 2 sin (n + 1)a sin na sin (n + 1)a sin na Do đó B 2 = sin a Bài toán 3. Rút gọn biểu thức C = cos p 2p 3p - cos + cos 7 7 7 a. Lời giải. Ta có 2 sin p pæ p 3p 5p ö ÷ .C = 2 sin ççcos + cos + cos ÷ ÷ 7 7 çè 7 7 7÷ ø 2p 4p 2p 6p 4p + sin - sin + sin - sin 7 7 7 7 7 p = sin 7 = sin Do đó C = 1 2 b. Khai thác.