Tài liệu Giải bài toán điện xoay chiều dùng giản đồ véctơ

GIẢI BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU DÙNG GIẢN ĐỒ VÉCTƠ A. CÁCH VẼ GIẢN ĐỒ VÉC TƠ: -Xét mạch R,L,C mắc nối tiếp như hình1. Các giá trị tức thời của dòng điện là như nhau: C L R A Hình 1 B i R = iL = i C = i Các giá trị tức thời của điện áp các phần tử là khác nhau và ta có: u = uR +uL+uC -Việc so sánh pha dao động giữa điện áp hai đầu mỗi phần tử với dòng điện chạy qua nó cũng chính là so sánh pha dao động của chúng với dòng điện chạy trong mạch chính. Do đó trục pha trong giản đồ Frexnel ta chọn là trục dòng điện thường nằm ngang. Các véc tơ biểu diễn các điện áp hai đầu mỗi phần tử và hai đầu mạch điện biểu diễn trên trục pha thông qua quan hệ pha của nó với cường độ dòng điện. 1.Cách vẽ giản đồ véc tơ cùng gốc O :Véc tơ buộc(Qui tắc hình bình hành): (Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ) -Ta có: ( xem hình 2) + uR cùng pha với i => UR cùng phương cùng chiều với trục i: Nằm ngang π + uL nhanh pha so với i => UL vuông góc với Trục i và hướng lên 2 π +uC chậm pha so với i => UC vuông góc với trục i và hướng xuống 2 -> Điện áp hai đầu đoạn mạch là: u = uR +uL + uC => Chung gốc O, rồi tổng hợp véc tơ lại! (Như Sách Giáo khoa Vật Lý 12 CB) UL UR U  U R  U L  UC UC I Hình 2 UL UL -Để có một giản đồ véc tơ gọn ta không nên U LC dùng quy tắc hình bình hành (rối hơn hình 2b) mà nên dùng quy tắc đa giác( dễ nhìn hình 3 ). O UC U UR I  UR Hình 2b O I  U LC U UC 2.Cách vẽ giản đồ véc tơ theo quy tắc đa giác như hình 3 (Véc tơ trượt) Xét tổng véc tơ: U  U R  U L  UC Từ điểm ngọn của véc tơ UL ta vẽ nối tiếp véc tơ UR (gốc của UR trùng với ngọn của UL ). Từ UR UL ngọn của véc tơ UR vẽ nối tiếp véc tơ UC . Véc tơ tổng U có gốc là gốc của UL và có ngọn là ngọn của véc tơ cuối cùng UC (Hình 3) L - lên.; C – xuống.; R – ngang. Hình 3 U UC Vận dụng quy tắc vẽ này ta bắt đầu vẽ giản đồ véc tơ cho bài toán mạch điện xoay chiều như sau!.  Email: [email protected] ; [email protected]; Trang 1 B. Một số Trường hợp thường gặp: 1. Trường hợp 1: UL > UC <=>  > 0 u sớm pha hơn i - Phương pháp véc tơ trượt ( Đa giác): Đầu tiên vẽ véc tơ UR , tiếp đến là UL cuối cùng là UC . Nối gốc của U R với ngọn của UC ta được véc tơ U như hình sau: UL ZL UL ULC  UL  UC U UC U UL - UC   Z UL - UC ZL - ZC  UR UR ZC R I I đa giác tổng trở Z  R  ZL  ZC UC Vẽ theo quy tắc hình bình hành(véc tơ buộc) UL Vẽ theo quy tắc đa giác ( dễ nhìn) Khi cần biểu diễn URL URL UL URL U U UL - UC  UC UL - UC  UR UR UC Vẽ theo quy tắc hình bình hành UL Vẽ theo quy tắc đa giác Khi cần biểu diễn URC U U UL - UC   UL UL - UC UR UR UC URC Vẽ theo quy tắc hình bình hành  Email: [email protected] ; [email protected]; URC UC Vẽ theo quy tắc đa giác Trang 2 2. Trường hợp 2: UL < UC <=>  < 0: u trễ pha so với i ( hay i sớm pha hơn u ) Làm lần lượt như trường hợp 1 ta được các giản đồ thu gọn tương ứng là UL  UR  UR UL - UC UL - UC U U ULC  UL  UC UL UC UC URL UL URL UR  UL - UC UL U  R  UL - UC U U UC UC UL  UR  UR UL - UC UC U U URC URC  Email: [email protected] ; [email protected]; UL UC Trang 3 3. Trường hợp đặc biệt - Cuộn cảm có điện trở thuần r Vẽ theo đúng quy tắc và lần lượt từ U R , đến Ur , đến U L , đến U C L,r R A B U Rd N m M U Rd Ud UL C UL Ud U d d  UR Ur UC U UL - UC  UC UR UL - UC Ur Ud UL Ud d U UC d UL - UC  Ur U  UR URC UL UL - UC Ur UR UC URC C. Một số công thức toán học thường áp dụng : 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A đường cao AH = h, BC = b, AC = b, AB = c, CH = b,, BH = c, ta có hệ thức sau: b2  ab, ;c2  ac, h 2  b , c, b.c  a.h 1 1 1  2 2 2 h b c 2. hệ thức lượng trong tam giac: a b c   a. Định lý hàm số sin: sin A sin B sin C b. Định lý hàm số cos: a 2  b2  c2  2bccos A  Email: [email protected] ; [email protected]; B c' H a c b’ h A C b A c B b a C Trang 4 Chú ý: Thực ra không thể có một giản đồ chuẩn cho tất cả các bài toán điện xoay chiều nhưng những giản đồ được vẽ trên là giản đồ có thể thường dùng . Việc sử dụng giản đồ véc tơ nào là hợp lí còn phụ thuộc vào kinh nghiệm của từng người. Dưới đây là một số bài tập có sử dụng giản đồ véc tơ làm ví dụ. D.CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH. Ví dụ 1.Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, tụ điện có điện dung C, điện trở có giá trị R. Hai đầu A, B duy trì một điện áp u = 100 2 cos100 t (V) .Cường độ dòng điện chạy trong mạch có giá trị hiệu dụng là; 0,5A. Biết điện áp giữa hai điểm A,M sớm pha hơn dòng điện một góc Rad; Điện áp giữa hai điểm M và B chậm pha hơn điện áp giữa A và B một góc a. Tìm R,C? b. Viết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch? c. Viết biểu thức điện áp giữa hai điểm A và M?  Rad 6 R A C L  6 B M Lời giải:Chọn trục dòng điện làm trục pha   so với cường độ dòng điện. uMB chậm pha hơn uAB một góc , mà uMB lại chậm 6 6   UAM pha so với i một góc nên uAB chậm pha so với dòng điện. 2 3 Vậy ta có giản đồ vecto sau biểu diện phương trình: UAB  UAM  UMB UL   UR Từ giãn đồ vec to ta có:UAM = UAB.tg =100/ 3 (V) 6 6      UMB = UC = UAM/sin = 200/ 3 (V) 3 6  UL - UC UR = UAM.cos = 50 (V) 6  3 .10-4 F a. Tìm R,C? R = UR/I = 50/0,5 = 100  ; C = 1/ωZC =I/ωU C = 6 4π Theo bài ra uAM sớm pha U AB b. Viết phương trình i? i = I0cos(100 πt + i ) Trong đó: I0 = I. 2 =0,5 2 (A); i =-  =   (Rad). Vậy i = 0,5 2 cos(100 πt + ) (A) 3 3 c.Viết phương trình uAM? uAM = u0AMcos(100 πt + AM ) Trong đó: U0AM =UAM 2 =100 2 (V); 3 UC  UMB AM = u AM i  i  Vậy : biểu thức điện áp giữa hai điểm A và M: uAM = 100  6   3   2 (Rad).  2 cos(100 πt + )(V) 2 3 Kinh nghiệm: 1. khi vẽ giản đồ véc tơ cần chỉ rỏ: Giản đồ vẽ cho phương trình điện áp nào? Các véc tơ thành phần lệch pha so với trục dòng điện những góc bằng bao nhiêu? 2. Khi viết phương trình dòng điện và điện áp cần lưu ý:  được định nghĩa là góc lệch pha của u đối với i do vậy thực chất ta có:  =  u -  i suy ra ta có:  u=  +  i (1*)  Email: [email protected] ; [email protected]; Trang 5  i=  u-  (2*) -Nếu bài toán cho phương trình u tìm i ta sử dụng (1*). Trong bài trên ý b) thuộc trường hợp này nhưng có  u= 0 do đó  i = -  =-(-  ) =  3 3 -Nếu bài toán cho phương trình i tìm u của cả mạch hoặc một phần của mạch(Trường hợp ý c) bài này) thì ta sử dụng (2*). Trong ý c) bài này ta có AM = u AM i  i  Bài tương tự 1B: Cho mạch điện như hình vẽ. u = 160 2 cos(100 t )(V) . Ampe kế chỉ 1A và i nhanh pha hơn hiệu điện thế hai đầu A,B một góc Vôn kế chỉ 120v và uV nhanh pha A  Rad. 6  so với i trong mạch. 3  6   3   2 R A C N L,r B V a. Tính R, L, C, r. cho các dụng cụ đo là lí tưởng. b. Viết phương trình hiệu điện thế hai đầu A,N và N,B. R2 L C R1 A B Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Điện áp hai đầu có tần số f = 100Hz và giá trị hiệu dụng U không đổi. N M 1./Mắc vào M,N ampe kế có điện trở rất nhỏ thì pe kế chỉ I = 0,3A. Dòng điện trong mạch lệch pha 600 so với uAB, Công suất toả nhiệt trong mạch là P = 18W. Tìm R1, L, U 2./ Mắc vôn kế có điện trở rất lớn vào M,N thay cho Ampe kế thì vôn kế chỉ 60V đồng thời điện áp trên vôn kế chậm pha 600 so với uAB. Tìm R2, C? Lời giải: L R1 1. Mắc Am pe kế vào M,N ta có mạch điện như hình bên ( R1 nt L) B A Áp dụng công thức tính công suất: P = UIcos  suy ra: U = P/ Icos  Thay số ta được: U = 120V. Lại có P = I2R1 suy ra R1 = P/I2.Thay số ta được: R1 = 200  Từ i lệch pha so với uAB 600 và mạch chỉ có R,L nên i nhanh pha so với u vậy ta có: R2 π Z 3 L C R1 tg = L = 3  ZL = 3R1 =200 3(Ω)  L= H A B 3 R1 π N M 2.Mắc vôn kế có điện trở rất lớn vào M,N ta có mạch như hình vẽ: V Vì R1, L không đổi nên góc lệch pha của uAM so với i trong mạch vẫn không đổi so với khi chưa mắc vôn kế π U AM vào M,N vậy: uAM nhanh pha so với i một góc AM = . 3 π Từ giả thiết điện áp hai đầu vôn kế uMB trể pha một góc so với uAB. 3 Tù đó ta có giãn đồ véc tơ biểu diễn phương trình véc tơ: U AB  U AB  U AM  U MB 3 π O 2 . cos Từ giãn đồ véc tơ ta có: U2AM =U2AB +U2MB -2U2AB UMB U R2 3  U R1 3 thay số ta được UAM = 60 3 V. áp dụng định luật ôm cho đoạn mạch AM ta có: U MB I = UAM/ZAM = 0,15 3 A.  Email: [email protected] ; [email protected]; Trang 6 UMB 60 400 = = Ω (1) I 0,15. 3 3 U 800 Với toàn mạch ta có: Z  (R+R 2 )2 +(ZL  ZC )2 = AB = Ω (2) I 3 Với đoạn MB Có ZMB= R 22 +Zc 2 = Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được R2=200  ; ZC = 200/ 3   C= 3 -4 .10 F 4π Kinh Nghiệm: 1/Bài tập này cho thấy không phải bài tập nào cũng dùng thuần tuý duy nhất một phương pháp. Ngược lại đại đa số các bài toán ta nên dùng phối hợp nhiều phương pháp giải. 2/Trong bài này khi vẽ giản đồ véc tơ ta sẽ bị lúng túng do không biết uAB nhanh pha hay trể pha so với i vì chưa biết rõ! Sự so sánh giữa ZL và ZC!. Trong trường hợp này ta vẽ ngoài giấy nháp theo một phương án lựa chọn bất kỳ (Đều cho phép giải bài toán đến kết quả cuối cùng). Sau khi tìm được giá trị của ZL và ZC ta sẽ có cách vẽ đúng. Lúc này mới vẽ giản đồ chính xác! Ví dụ 3: Cho mạch điện R,L,C mắc nối tiếp như hình vẽ trong đó uAB = U 2 cos t (V) . + Khi L = L1 = 1 (H) thì i sớm pha  so với uAB 4 A  2,5 + Khi L = L2 = (H) thì UL đạt cực đại  104 1./ biết C = F tính R, ZC 2 L R C B 2./ biết điện áp hai đầu cuộn cảm đạt cực đại = 200V. Xác định điện áp hiệu dụng ở hai đầu đoạn mạch . Lời giải: Z  ZC  L  1/ C  Góc lệch pha của u đối với i : tg  L (1) khi ULCực đại ta có: ZL  R Z ZC 2 2 C R R 2 2 2 R  1/  C   L 1/ C Điện áp cực đại hai đầu cuộn dây là: U LMax  U R2  Z 2C R (2) (3). 1./Tính R, ZC? Thay số giải hệ phương trình (1),(2) với ẩn là R và  . 2./Thay ULMAX và các đại lượng đã tìm được ở trên ta tìm được U. Phụ bài: Chứng minh (2) và (3). O Ta có giãn đồ véc tơ sau biểu diễn phương trình véc tơ: U  (UR  UC )  UL  U  URC  UL Từ giãn đồ véc tơ, áp dụng định lí hàm số sin cho tam giác OMN ta được: UL U U   UL  sin   sin  sin  sin  U R   UL - UC H UR UC URC Từ (4) ta thấy vì U, R, ZC = const nên UL biến thiên theo sin  Ta có: UL max khi sin  = 1 suy ra  =900. R2  Z 2C U LMax  U R   sin  R2  ZC Vậy khi ULMax thì ta có: U M U L N (CM công thức(3) ) Tam giác MON vuông và vuông tại O nên :  Email: [email protected] ; [email protected]; Trang 7 U RC U RC U 2 RC Z 2 RC R2  Z 2C R2  1/  2C 2 UL   UL    ZL    (CM công thức(2) ) UC sin 900 sin  UC ZC ZC 1/ C U RC R2  Z 2C R2  1/  2C 2   L Hay: ZL  ZC 1/ C E.BÀI TẬP. 1.Dạng 1: Viết biểu thức i hoặc u: (Tìm điện áp, cường độ dòng điện tức thời) Bài 1: Mạch điện như hình vẽ, các vôn kế: V1 chỉ 75V, V2 chỉ 125 V, uMP = 100 2 cos(100πt) (V), cuộn cảm L có điện trở R. Cho RA = 0, RV1= RV2 = ∞. Biểu thức điện áp uMN:  L,r C A. uMN = 125 2 cos(100πt + ) (V). N P M A 2 V1 2 V2 B. uMN = 75 2 cos(100πt + ) (V). 3 N  C. uMN = 75 2 cos(100πt + ) (V). 75 2  D. uMN = 125 2 cos(100πt + ) (V). 3 M 125 Dựa vào giản đồ có ngay uMN vuông pha UMP có ngay đáp án C 100 P Bài 2: Đặt điện áp xoay chiều u = 120 6 cos(t )V vào hai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn AM là cuộn dây có điện trở thuần r và có độ tự cảm L, đoạn MB gồm điện trở thuần R mắc nối tiếp với tụ điện C. Điện áp hiệu dụng trên đoạn MB gấp đôi điện áp hiệu dụng trên R và cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là 0,5 A. Điện áp trên  đoạn MB lệch pha so với điện áp hai đầu đoạn mạch là . 2 a. Tính công suất tiêu thụ toàn mạch. b. Viết biểu thức dòng điện qua mạch Giải: a. Vẽ giản đồ véctơ: Xét tam giác MFB ta có: MBF   góc có cạnh tương ứng vuông góc, do đó: U 1  sin   R     UMB 2 6 Công suất tiêu thụ của đoạn mạch là: P = UIcos  =120 3 .0,5. rL A R C M E Ur UL UAM B M UR F UC URC U B φ A 3 2   b. Biểu thức dòng điện trong mạch là: i  0,5 2cos  t   A 6   Email: [email protected] ; [email protected]; Trang 8 Bài 3: Đặt điện áp u = 240 2 cos100  t (V) vào đoạn mạch RLC mắc nối tiếp. Biết R = 60  , cuộn dây thuần 103 1,2 cảm có L = H và tụ C = F. Khi điện áp tức thời hai đầu cuộn cảm bằng 240V và đang giảm thì điện áp 6  tức thời giữa hai đầu điện trở và hai đầu tụ điện bằng bao nhiêu? Giải: U  Z U 240   2 2 ( A) 60 2 R2  ( Z L  ZC ) 2 Z  ZC  tg  L  1    (rad ) R 4   i  4 cos(100t  )( A) I 4 u L  U 0 L cos(100t     )  480 cos(100t  4 2 3 uC  240 cos(100t  )(V ) 4 u R  240 cos(100t   4 )(V )  4 )(V ) (U 0L  I 0 Z L  480V ) (U 0C  I 0 ZC  240(V ) (U 0R  I 0 R  240(V ) u i i 1 ( ) 2  ( L ) 2  1  ( ) 2  ( ) 2  1  i  2 3 ( A)  i  2 3 ( A) 4 480 4 2 i u ( ) 2  ( C ) 2  1  uC  120(V )  uC  120(V )(u L nguoc pha u C ) 4 240 u R  i.R  2 3.60(V)  u R  120 3 (V) Hoặc: u L  240(V)  100t   4   3 U 0L (u L giam) 3 2 2   uC  240 cos( )  60(V) 4 3 3    3  100t     u R  240 cos( )  240  120 3 (V) 4 6 6 2 Hoặc: U 0C 1 Gọi  là pha của u L khi u L  240(V)  cos  2 Do uC ngược pha với u L nên  uC  U OC cos(   )  U 0C cos  60(V)  Do uR trễ pha so uL một góc nên 2   u R  U 0 R cos(  )  U 0 R sin   120 3 (V) 2 3  0(do u L  0 va đang giam) (lấy sin   2  100t   Email: [email protected] ; [email protected]; U 0R Trang 9 Bài 4: Cho một mạch điện xoay chiều AB gồm điện trở thuần R = 100Ω, cuộn dây thuần cảm L, tụ điện có điện dung C. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = 220 cos100πt (V), biết ZL = 2ZC. Ở thời điểm t điện áp hai đầu điện trở R là 60(V), hai đầu tụ điện là 40(V). Hỏi điện áp hai đầu đoạn mạch AB khi đó là: UL Giải: U AB  U R2  U L  UC   U R2  UC 2  602  402 = 20 13  72,11(V) UC 2 U AB UL - UC  UR 2.Dạng 2: Bài toán liên quan đến điện áp hiệu dụng cường độ hiệu dụng I Bài 5: Đặt điện áp u = 220 2 cos100t (V) vào hai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn AM gồm cuộn cảm thuần L mắc nối tiếp với điện trở thuần R, đoạn MB chỉ có tụ điện C. Biết điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AM và điện áp giữa hai đầu đoạn mạch MB có giá trị hiệu dụng bằng nhau nhưng lệch pha nhau 2/3. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch AM bằng A. 220 2 V. B. 220/ 3 V. C. 220 V. D. 110 V. Lời Giải: Tam giác AMB là Tam giác đều => UAB=U =220(V) =UAM Chọn C L, A U AM A UR U B M 2 / 3 UL  C R M < UC B Bài 6: Đoạn mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần 30 () mắc nối tiếp với cuộn dây. Điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn dây là 120 V. Dòng điện trong mạch lệch pha /6 so với điện áp hai đầu đoạn mạch và lệch pha /3 so với điện áp hai đầu cuộn dây. Cường độ hiệu dụng dòng qua mạch bằng B A.3 3 (A) B. 3(A) C. 4(A) D. 2 (A) Giải:Tam giác AMB cân tại M U => UR= MB=120V R M L,r UL 120V B A => I=UR/R = 120/30 = 4(A) Chọn C /6 /3 A M UR Ur E Bài 7: Trên đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh có bốn điểm theo đúng thứ tự A, M, N và B. Giữa hai điểm A và M chỉ có điện trở thuần, giữa hai điểm M và N chỉ có tụ điện, giữa hai điểm N và B chỉ có cuộn cảm. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều 240V – 50 Hz thì uMB và uAM lệch pha nhau /3, uAB và uMB lệch pha nhau /6. Điện áp hiệu dụng trên R là A. 80 (V). B. 60 (V). C. 803 (V). D. 603 (V). B Giải: Vẽ mạch điện và vẽ giản đồ véc-tơ. A R M C N L,r B Tam giác AMB cân tại M nên ta có góc ABM = /6. UR U   U R  80 3(V) Theo ĐL hàm sin: 0 sin 30 sin1200 UL /6 A  Email: [email protected] ; [email protected]; 240V UR M /3 I UC N Ur Trang 10