Tài liệu Định lý tách và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- TRỊNH HỮU TRANG ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- TRỊNH HỮU TRANG ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Hà Nội – Năm 2012. MỤC LỤC Mở đầu 2 Chương 1. Các khái niệm cơ bản 4 1.1. Tập lồi…………………………………………………………….. 4 1.1.1 Tổ hợp lồi…………….………………………..…..... ….. 4 1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện……………………………..… 6 1.1.3 Nón lồi………………………………………… …….….. 11 1.2. Hàm lồi…………………………………………………….……. . 15 21 Chương 2. Định lý tách các tập lồi. 2.1. Định lý tách 1…………………………………………………..… 21 2.2. Định lý tách 2………………………………………………… ….. 26 Chương 3. Một số ứng dụng của định lý tách. 27 3.1. Điều kiện tối ưu…………………….………………………………32 3.2. Hệ bất đẳng thức lồi…………………………………………...….. 36 3.3. Xấp xỉ tuyến tính của hàm lồi………………..……………………..41 3.4. Sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi……………………………..…43 3.5. Ứng dụng trong phép vô hướng hóa bài toán véctơ…….…………46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 1 MỞ ĐẦU Giải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan. Bộ môn này có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặt biệt là trong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng. Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các định lý tách. Về bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi hay không, và nếu không thuộc thì nó sẽ mang tính chất gì? Đây là câu hỏi về liên thuộc, một vấn đề cơ bản của toán học. Ta có thể hình dung tập lồi đó là tập hợp nghiệm của một hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập các điểm bất động của một ánh xạ, hay là tập nghiệm của một bài toán tối ưu,…Dĩ nhiên nếu câu trả lời là có, thì vấn đề liên thuộc đã được giải quyết. Trái lại, nếu câu trả lời là không, thì sẽ xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khác nhau. Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách và những ứng dụng quan trọng. Luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi. Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn. Chương 2: Là phần chính của luận văn, trong chương này tác giả trình bày nội dung hai định lý tách và hệ quả (Bổ đề Farkas). Chương 3: Trình bày các ứng dụng của hai định lý tách để: Chứng minh các điều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi bởi các hàm non a-phin của nó, chứng minh sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi, vô hướng hóa bài toán tối ưu véc tơ. 2 Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu, sự giúp đỡ tận tình và sự cổ vũ hết sức to lớn trong suốt thời gian qua. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. Bản luận văn được hoàn thành trong quá trình con gái của tác giả trào đời, được sự ủng hộ về mặt tinh thần từ hai mẹ con. Kết quả của luận văn chính là món quà mà tác giả giành tặng cho hai mẹ con. 3 Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản trong giải tích lồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó như: tập lồi, tập a-phin, nón nồi, hàm lồi… 1.1. Tập lồi Những tập hợp quen thuộc mà chúng ta đã biết như không gian con, siêu phẳng, … đều là tập lồi. Khái niệm về tập lồi có một vai trò quan trọng trong giải tích lồi. Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất của tập lồi, tập aphin, tập lồi đa diện, nón lồi. 1.1.1 Tổ hợp lồi. Định nghĩa 1.1 Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong R n là tập hợp tất cả các điểm (véc tơ) x  R n có dạng x  R n | x  (1   )a  b,   R . Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong R n là tập hợp tất cả các điểm (véc tơ) x  R n có dạng x  R n | x  (1   )a  b, 0    1 . Định nghĩa 1.2 Một tập C  R n được gọi là một tập lồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi x, y  C ,    0;1  (1   ) x   y  C . Ta nói véc tơ x  R n gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ x1 , x 2 ,..., x m  R n nếu 4 m m x   i xi , i  0i  1, 2,..., m, i 1   1. i i 1 Mệnh đề 1.1 [xem [2], mệnh đề 1.1) Một tập con của R n là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi: k k  N , 1 ,..., k  0 : k   j  1, x1,..., x k  C  j 1  x j j C . j 1 Chứng minh Điều kiện đủ: Suy ra từ định nghĩa tập lồi ứng với k  2 . Điều kiện cần: Ta chứng minh bằng quy nạp theo số điểm. Với k  2 , điều kiện cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi. Giả sử mệnh đề đúng với k  1 điểm, ta cần chứng minh mệnh đề đúng với k điểm. Thật vậy, nếu x là tổ hợp lồi của k điểm x1 ,..., x k  C . Tức là k k x    j x j ,  j  0, j  1,..., k , j 1   =1. j j 1 k 1 Giả sử k  0 , đặt:     j . Khi đó, 0    1 và j 1 j j x  k x k .  j 1 k 1 k 1 x    j x j  k x k    j 1 k 1 Do j  j 1  1 và j  0 với mọi j  1, 2,..., k  1 nên theo giả thiết quy nạp, điểm  j j x C . j 1  k 1 y :  Ta có x   y  k x k . 5 k Do   0, k  0 và   k    j  1 j 1 nên x là một tổ hợp lồi của hai điểm y và x k đều thuộc C . Vậy x  C . Từ định nghĩa của tập lồi ta suy ra lớp các tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng đại số và phép nhân tích Decastes. Mệnh đề 1.2 (xem [2], mệnh đề 1.2) Nếu A, B là các tập lồi trong R n , C là lồi trong R m , thì các tập sau là lồi: A  B :  x | x  A, x  B ,  A   B :  x | x   a   b, a  A, b  B ,  ,   R ,   A  C : x  R m  n | x   a, c  : a  A, c  C . 1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện. Trong giải tích cổ điển, ta đã làm quen với các không gian con, các siêu phẳng. Đó là các trường hợp riêng của tập a-phin (đa tạp a-phin) được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.3 Một tập C được gọi là tập a-phin nếu nó chứa mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là x, y  C ,   R  (1   ) x   y  C . Nhận xét 1.1 a) Mọi tập affin (bao gồm cả tập  và R n ) đều là tập lồi. b) Mọi siêu phẳng trong R n đều là tập a-phin. Mệnh đề dưới đây cho ta thấy tập a-phin chính là ảnh tịnh tiến của một không gian con. 6 Mệnh đề 1.3 (xem [2], mệnh đề 1.3) Tập M   là tập a-phin khi và chỉ khi nó có dạng M  L  a với L là một không gian con và a  M . Không gian con này được xác định duy nhất. Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin và a  M . Khi đó L  M  a chứa 0 và là tập a-phin. Do đó, L là một không gian con. Vậy M  L  a Điều kiện đủ: Nếu M  L  a với a  M , L là một không gian con thì x, y  M ,   R , ta có: 1    x   y  a  1    x  a     y  a  . Do x  a, y  a  L và L là một không gian con nên 1    x  a     y  a   L .  1    x   y  M . Vậy M là tập a-phin. Không gian con L là duy nhất. Thật vậy, nếu M  L  a và M  L ' a ' , trong đó L, L ' là những không gian con và a, a '  M thì L '  M  a  L  a  a '  L ' (a  a ') . Do a '  M  a  L , nên a ' a  L .  L '  L  (a  a ')  L . Không gian con L trong mệnh đề trên được gọi là không gian con song song với tập a-phin M . Định nghĩa 1.4. Thứ nguyên (hay chiều) của một tập a-phin M được định nghĩa bởi thứ 7 nguyên của không gian con song song với M và được ký hiệu là dim M . Điểm a  R n là tập a-phin có số chiều bằng 0 bởi vì không gian con song song với M  a là L  0 . Mệnh đề 1.4 (xem [2], mệnh đề 1.4) Bất kỳ một tập a-phin M  R n có số chiều r đều có dạng M   x  R n | Ax  b , (1.1) Trong đó: A là ma trận cấp m  n, b  R m , và rankA  n  r . Ngược lại, mọi tập hợp có dạng (1.1) với rankA  n  r đều là tập a-phin có số chiều là r . Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin có số chiều là r và M  L  a với a  M . Vậy L  M  a là không gian con có số chiều là r . Theo đại số tuyến tính không gian con r - chiều này có dạng L   x | Ax  0 Trong đó, A là ma trận cấp m  n và rankA  n  r . Từ M  L  a suy ra M   x | A  x  a   0   x | Ax  Aa   x | Ax  b . Điều kiện đủ: Nếu M được cho bởi (1.1) với a  M , ta có Aa  b , do đó M   x | A  x  a   0  a  L , với L   x | Ax  0 Do rankA  n  r nên L là không gian con có số chiều r . Vậy dim M  r Định nghĩa 1.5 Siêu phẳng trong không gian R n là tập hợp các điểm có dạng 8 x  R n | a, x    , trong đó: a  R n \ 0 ,   R . Véc tơ a ở trên được gọi là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng. Nửa không gian đóng là tập hợp có dạng x | a, x    , x | a, x    , x | a, x    , trong đó: a  R n \ 0 ,   R . Nửa không gian mở là tập hợp có dạng x | a, x    , trong đó: a  R n \ 0 ,   R . Như vậy, một siêu phẳng chia không gian ra làm hai nửa không gian, mỗi nửa không gian ở về một phía của siêu phẳng. Nếu hai nửa không gian này đóng thì phần chung của chúng chính là siêu phẳng. Định nghĩa 1.6. Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng. Định nghĩa 1.7 Cho x 0  C , ta nói siêu phẳng a, x   là siêu phẳng tựa tại x 0 nếu a, x 0   ,  a, x   , x  C .  Ta nói H  x | a, x  x 0  0 là nửa không gian tựa của C tại x 0 . Định nghĩa 1.8 Giao của tất cả các tập lồi chứa tập S  R n cho trước được gọi là bao lồi của S , ký hiệu coS , đó là tập lồi nhỏ nhất chứa S . 9 Tập C  R n , giao của tất cả các tập a-phin chứa C là tập a-phin nhỏ nhất chứa C , gọi là bao a-phin của C . Ký hiệu affC . Mệnh đề 1.5 (xem [2], mệnh đề 3.2) Cho C là một tập bất kỳ. Khi đó: (i) Bao lồi của C là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc C . (ii) Bao a-phin của tập C là tập hợp bao gồm tất cả các điểm có dạng x  1 x1  ...  k x k (1.2) sao cho x i  C , 1  ...  k  1 và k  Ν . Chứng minh. Gọi M là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc C . (i) Vì C  coC và coC lồi nên M  coC . Vì thế để chỉ ra M  coC , ta chỉ cần chứng tỏ M là tập lồi . k Thật vậy, lấy x, y  M . Theo định nghĩa của M , các điểm này có dạng x   i xi , i 1 h k y   i y j , với x i , y j  C , i  0,  j  0 i, j và j 1 h  i  1,   j  1 .Khi đó, nếu i 1 j 1    0,1 thì k h z :  x  1    y   i xi   1     j y j . i 1 k j 1 h  i   1     j  1 Do i 1 j 1 nên z là một tổ hợp lồi của các điểm thuộc C . Vậy z  M . Suy ra M lồi, và do đó M  coC . (ii) Cho M là tập hợp các điểm có dạng (1.2). Giả sử x, y  M , theo định nghĩa của M ta có: 10 k h x   i xi , y   i y j . i 1 j 1 k Trong đó x i , y j  C , i  1,.., k , j  1,..., h và h  i i 1  1,   j  1 . Với  bất kỳ, ta có j 1 k h z :  x  1    y   i xi   1     j y j . i 1 k j 1 h  i   1     j  1 Do i 1 j 1 nên z  M và do đó M là tập a-phin. Suy ra M  aff E . Định nghĩa 1.9. Các điểm x1 ,..., x k được gọi là độc lập a-phin nếu aff  x1 ,..., x k  có số chiều là k , tức là, nếu các véc tơ x1  x k ,..., x k 1  x k là độc lập tuyến tính. Hệ quả 1.1 Bao lồi a-phin M của tập k điểm độc lập a-phin  x1 ,..., x k  trong R n là tập a-phin (k  1) - chiều. Mọi điểm x  M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng: k k x   i xi , i 1  i 1 i 1 1.1.3. Nón lồi Định nghĩa 1.10 Một tập C Được gọi là nón nếu x  C ,   0   x  C . Theo định nghĩa, ta thấy rằng gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không thuộc nón. Dĩ nhiên, một nón không nhất thiết là một tập lồi. Ví dụ 1.1 11 C   x  R | x  0 là một nón nhưng không lồi. Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng, khi đó, ta nói 0 là đỉnh của nón. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi. Nếu nón lồi này lại là một tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện. Mệnh đề 1.5. (xem [2], mệnh đề 1.6) Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau: (i)  C  C ,   0 , (i) C  C  C . Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử C là một nón lồi. Do C là một nón nên ta có (i). Do C là một tập lồi nên với mọi x, y  C thì 1  x  yC . 2 Vậy theo (i) ta có x  y  C . Điều kiện đủ: Giả sử ta có (i) và (ii). Từ (i) suy ra C là một nón. Giả sử x, y  C và    0,1 . Từ (ii) suy ra  x  C , 1    y  C . Theo (ii) ta có  x  1    y  C Vậy C là một nón lồi. Định nghĩa 1.11 Bao nón lồi của tập C là giao của tất cả các nón lồi chứa C , ký hiệu là Cone C . Định nghĩa 1.12 12 Cho C là một tập lồi trong R n . Một véc tơ y  0 được gọi là hướng lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ của C theo hướng y đều nằm trọn trong C . Tức là: y là hướng lùi xa khi và chỉ khi x   y  C , x  C ,   0 . Tập hợp của tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc là nón lùi xa của C , ký hiệu là re C . Hiển nhiên nếu C là một tập bị chặn thì re C chỉ gồm duy nhất một gốc. Nhận xét 1.2. Nếu C là tập lồi đóng thì trong định nghĩa trên, thay vì đòi hỏi với mọi x  C , chỉ cần đòi hỏi cho một điểm x  C . Mệnh đề 1.6. (xem [2], mệnh đề 1.7) Giả sử C là một tập lồi đóng. Khi đó y là một hướng lùi xa của C khi và chỉ khi x   y  C ,   0 . với một điểm x nào đó thuộc C . Chứng minh Giả sử x   y  C ,   0 với x  C .Thế thì với mọi u  C , mọi   0 , do C lồi nên ta có x :      x   y   1  u C .     Cho    , do C đóng, ta thấy u   y  C ,với mọi u  C và   0 . Nhận xét 1.3. Trong trường hợp C không đóng thì bổ đề trên không đúng. Ví dụ 1.2. Trong R 2 lấy C :  x   x1 , x2  | x1  0, x2  0  0 . 13 Hiển nhiên, véc tơ y   0,1 có tính chất là mọi tia xuất phát từ một điểm 0  x  C theo hướng này đều nằm trọn trong C nhưng nếu xuất phát từ x  0 thì điều này không đúng. Định nghĩa 1.13 Cho C  R n là tập lồi và x  C . Ký hiệu N C  x  :  |  , y  x  0, y  C  , Tập N C  x  gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x .  NC  x  :  |  , y  x  0, y  C , Tập  N C  x  gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x . C * :  |  , x  0 x  C  , Tập C * gọi là nón đối cực. Ta có thể kiểm tra được rằng N C  x  và C * là hai nón lồi đóng chứa gốc. Cho C là tập lồi, khác rỗng và x  C . Ta nói d  R n là một hướng chấp nhận được của C nếu t0  0 sao cho x  td  C với mọi 0  t  t0 . Tập tất cả các hướng chấp nhận được là một nón lồi chứa gốc và gọi là nón chấp nhận được. Ký hiệu là FC  x  . Nón này có thể không đóng, tuy nhiên nếu lấy bao đóng, ta sẽ được một nón khác là nón tiếp xúc với C tại x . Ký hiệu nón này là TC  x  , thì FC  x   TC  x  . Từ đây suy ra TC  x   d  R n | d k  d , tk  0 : x  tk d k  C k . Mệnh đề 1.7 (xem [2], mệnh đề 1.8) Nón pháp tuyến và nón tiếp xúc là đối cực của nhau. Ta có thể suy ra trực tiếp từ định nghĩa. 14 Ví dụ 1.3   Giả sử tập lồi C được cho bởi C : x  R n | a j , x  b j , j  1,..., m với x  C , đặt   J  x  : j | a j , x  b j . gọi là tập chỉ số tích cực tại x . Khi đó   TC  x   x  R n | a j , x  0, j  J  x  .  N C  x   cone  a j , j  J  x     y     j a j :  j  0 . jJ  x    1.2 Hàm lồi Trong chương trình Toán phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm hàm lồi một cách cơ bản. Mục này, chúng tôi trình bày khái niệm tổng quát về hàm lồi và một số tính chất của nó. Định nghĩa 1.14. Cho tập C  R n và f : C  R . Ta sẽ ký hiệu dom f :  x  C | f  x    , epi f :  x,    C  R | f  x     . Các tập dom f , epi f lần lượt được gọi là miền hữu dụng và trên đồ thị của hàm f . Bằng cách cho f  x    nếu x  C , ta có thể coi f được xác định trên toàn không gian và dom f :  x  R n | f  x    , 15 epi f :  x,    R n  R | f  x     . Quy ước nếu   0 thì  f  x   0 với mọi x . Định nghĩa 1.15 Cho   C  R n lồi và f : C  R . Ta nói f là hàm lồi trên C nếu epif là một tập lồi trong R n1 . Hàm f được gọi là hàm lõm trên C nếu  f là hàm lồi trên C. Sau đây chủ yếu ta xét hàm f : R n  R   . Dễ thấy định nghĩa trên tương đương với: f   x  1    y    f  x   1    f  y  x, y  C ,    0;1 Định nghĩa 1.16 Hàm f : R n  R   được gọi là lồi chặt trên C nếu f   x  1    y    f  x   1    f  y  x, y  C ,    0;1 Hàm f : R n  R   được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số   0 nếu 1 f   x  1    y    f  x   1    f  y  -  1    x - y 2 2 x, y  C ,    0;1 Nhận xét 1.4 Dễ dàng kiểm tra rằng hàm f lồi mạnh trên C với hệ số   0 khi và chỉ khi hàm h . : f  .   . 2 2 lồi trên C . Sau đây ta sẽ đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc trong chương trình phổ thông. Đây là bất đẳng thức tương đối tổng quát trong các bất đẳng thức về hàm 16 lồi. Các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, Holder… là những trường hợp riêng của bất đẳng thức này. Bất đẳng thức Jensen Nếu f là hàm lồi và nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi C thì m m  N * , x1 , x 2 ,..., x m  C và  j  0 thỏa mãn  j  1 , ta có: j 1  m  m f  jx j    j f x j  .  j 1  j 1 Mệnh đề 1.8 (xem [2], mệnh đề 8.1) Một hàm f : C  R là lồi trên C khi và chỉ khi x, y  C ,   f  x  ,   f  y  ,    0;1  f   x  1    y     1     Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử f lồi, chọn x, y,  ,  như đã nêu trong mệnh đề. Chọn  '   f  x  ,   và  '   f  y  ,   . Vậy  x,  '  ,  y,  '   epi f . Do epi f lồi nên  1    x   y, 1    '  '  epi f .  f  1    x   y   1     '  '  1       . Điều kiện đủ: Chọn  x,   ,  y,   epi f và    0,1 .Với mọi   0 , ta có f  x    , f  y    . Do đó nên f 1     '  '  1               1         .  1    x,      y,   epi f . Vậy hàm f lồi. 17 Dưới đây là một định nghĩa khác, tương đương về hàm lồi, lồi mạnh dựa vào khái niệm hệ số lồi. Định nghĩa 1.17 Hàm f : R n  R   (không nhất thiết lồi), C  R n là một tập lồi khác rỗng và  là một số thực. Ta nói  là hệ số lồi của f trên C , nếu với mọi    0,1 , mọi x, y thuộc C , ta có 1 2 f 1    x   y   1    f  x    f  y    1    x  y . 2 Hiển nhiên, nếu   0 thì f lồi trên C . Nếu f có hệ số lồi trên C là   0 , thì f lồi mạnh trên C vớih hệ số lồi  . Định nghĩa 1.18 Một hàm f được gọi là chính thường nếu dom f   và f  x    với mọi x. Hàm f được gọi là đóng nếu epi f là một tập đóng trong R n 1 . Nhận xét 1.5 a) Từ định nghĩa của epi f , ta thấy rằng một hàm lồi hoàn toàn được xác định nếu biết epi f . b) Nếu f là một hàm lồi trên một tập lồi C thì có thể thác triển f lên toàn không gian bằng cách đặt  f  x  nếu x  C , f e  x  :    nếu x  C. Hiển nhiên f e  x   f  x  với mọi x  C và f e  x  lồi trên R n . Hơn nữa f e  x  là chính thường khi và chỉ khi f chính thường. Tương tự, f e  x  đóng khi và chỉ khi f đóng. 18