SỞ GD&ĐT HỒ CHÍ MINH
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề
Câu 1(2 điểm). Cho hàm số y = f ( x ) = -2 x 3 + 3 x 2 + 1 ( C )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
f '' ( x ) = 0 .
4 æ p
pö æ
pö
ö
æ
Câu 2 a) Cho cos a = , ç - < a < 0 ÷ . Tính giá trị biểu thức A = sin ç a - ÷ cos ç a + ÷ .
5 è 2
4ø
4 ø
ø
è
è
b) Cho số phức z = 3 - 2 i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = iz - z .
Câu 3(0.5 điểm). Giải phương trình 2e x + 2e - x - 5 = 0, x Î R .
e
1 ö
æ
Câu 4(1 điểm). Tính tích phân I = ò ç x + ÷ ln xdx .
xø
1 è
Câu 5(0.5 điểm). Trong cuộc thi “ Rung chuông vàng”, đội Thủ Đức có 20 bạn lọt vào vòng chung
kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn thành 4
nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu
nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.
Câu 6(1 điểm). Trong không gian cho hình chóp S.ABCD, tứ giác ABCD là hình thang cân, hai
đáy là BC và AD. Biết SA = a 2, AD = 2 a, AB = BC = CD = a . Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm cạnh AD. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.
Câu 7(1 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC là I ( - 2;1 ) và thỏa mãn điều kiện ·
AIB = 90 ° . Chân đường cao kẻ từ A đến BC là D ( -1; - 1 ) .
Đường thẳng AC qua M ( - 1; 4 ) . Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết đỉnh A có hoành độ dương.
Câu 8(1 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; -1; 2 ) , B ( 3;0; - 4 ) và mặt
phẳng (P) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Viết
phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
ìï x + 3 xy + x - y 2 - y = 5 y + 4
Câu 9(1 điểm). Giải hệ phương trình í
ïî 4 y 2 - x - 2 + y - 1 = x - 1
; ( x Î R )
Câu 10(1 điểm). Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
bc
3a + bc
+
ca
3b + ca
+
ab
3 c + ab
.
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Tập xác định D = R
y ' = -6x2 + 6 x
0,25
é x = 0
y ' = 0 Û ê
ë x = 1
lim y = +¥;
lim y = -¥
x®-¥
x -¥
y '
y
0,25
x ®+¥
0
0
-
+
1
0
+¥
-
2
+¥
1
-¥
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;1 ) .
1
(
0,25
)(
)
Hàm số nghịch biến trên khoảng -¥; 0 ; 1; +¥ .
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y CD = 2.
a
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT = 1.
x -1 0
Bảng giá trị
y
6
1
1
1 2
2
3
2 - 3
2
0,25
b
Gọi M ( x0 ; y 0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến và (C).
0,25
f '' ( x ) = -12 x + 6
f '' ( x0 ) = 0 Û -12x 0 + 6 = 0
Û x0 =
0,25
1
3
Þ y 0 =
2
2
æ 1 ö 3
f ' ( x0 ) = f ' ç ÷ =
è 2 ø 2
0,25
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
3æ
1 ö 3
çx- ÷+
2è
2 ø 2
3
3
= x +
2
4
y=
0,25
sin 2 a + cos 2 a = 1 Û sin 2 a = 1 - cos 2 a
2
a
9
æ4ö
= 1 - ç ÷ =
25
è5ø
3
Û sin a = ±
5
Vì -
0,25
p
3
< a < 0 nên sin a = - .
2
5
pö æ
pö
æ
A = sin ç a - ÷ cos ç a + ÷
4ø
4 ø
è
è
=
2
1 é
æ p öù
sin 2a + sin ç - ÷ ú
ê
2ë
è 2 ø û
0,25
1
= ( 2sin a cos a - 1 )
2
49
= -
50
z = 3 + 2 i
0,25
w = i ( 3 - 2i ) - ( 3 + 2 i )
b
= -1 + i
Phần thực là 1
0,25
Phần ảo là 1.
2ex + 2e- x - 5 = 0 Û 2e2 x - 5e x + 2 = 0.
0,25
3
Đặt t = e x , t > 0 . Phương trình trở thành
é t = 2
2t - 5t + 2 = 0 Û ê 1
êt =
êë 2
2
éex = 2 é x = ln2
Û ê x 1 Û ê
êe =
ê x = ln 1
2
ëê
2 ëê
0,25
e
1 ö
æ
I = ò ç x + ÷ ln xdx
xø
1 è
0,25
e
e
1
= ò x ln xdx + ò ln xdx = I1 + I 2
x
1
1
e
I1 = ò x ln xdx
1
1
x
Đặt u = ln x Þ du = dx
dv = xdx chọn v =
x 2
2
0,25
a
e
e
x 2
1
I1 = ln x - ò xdx
2
2 1
1
e
4
e2 x 2
1 e2
= = +
2 4 1 4 4
e
1
I 2 = ò ln xdx
x
1
1
Đặt t = ln x Þ dt = dx
x
Đổi cận
1
x 1 e
0,25
t 0 1
1
t 2
1
I 2 = ò tdt =
=
2 0 2
0
3 e 2
I = I1 + I 2 = +
4 4
0,25
5
Có n( W) = C20
C155 C105 C5 5 cách chia 20 bạn vào 4 nhóm, mỗi nhóm 5 bạn.
0,25
Gọi A là biến cố “ 5 bạn nữ vào cùng một nhóm”
0,25
5
5
Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A có C155 C10
C 5 5 cách chia các bạn nam vào các nhóm còn lại. Do vai trò
5
các nhóm như nhau nên có W A = 4 C15
C105 C5 5
Khi đó P (A) =
4
5
C20
S
A
D
I
0,25
B
C
Ta có S ABCD = 3 S ABI =
6
3a 2 3
4
Xét D SBI vuông tại I có: SI 2 = SB 2 - BI 2 = a 2 Þ SI = a.
1
a 3 3
VS . ABCD = SI .S ABCD =
(dvtt)
3
4
AD P BC
üï
ý Þ AD P ( SBC ) .
BC Ì ( SBC ) ïþ
Þ d ( AD, BC ) = d ( AD, (SBC) ) = d ( I,(SBC) ) =
1
1 a 3 3 a 3 3
VISBC = V S . ABCD =
=
3
3 4
12
S SBC =
a 2 7
p ( p - a )( p - b )( p - c ) =
4
Vậy d ( AD, SB ) =
a 21
7
3 V SIBC
S SBC
0,25
0,25
0,25
· = 45 ° hoặc BCA
· = 135 °
·
AIB = 90° Þ BCA
· = 45 ° Þ D ADC cân tại D.
Suy ra CAD
0.25
Ta có DI ^ AC Khi đó phương trình đường thẳng AC có dạng: x - 2 y + 9 = 0 .
uuur
A ( 2a - 9; a ) , AD = ( 8 - 2a; -1 - a )
AD 2 = 40 Û a 2 - 6 a + 5 = 0
7
0.25
é a = 1
Ûê
ë a = 5
Þ A (1;5 ) (n)
Phương trình BD : x + 3 y + 4 = 0
0.25
Phương trình BI: 3 x + 4 y + 5 = 0
B = BI Ç BD Þ B ( 2; - 2 ) .
0.25
uuur
AB = ( 2;1; -6 ) là vtcp của đường thẳng AB.
8
ì x = 1 + 2 t
ï
Ptts AB: í y = -1 + t
ï z = 2 - 6 t
î
0.25
( t Î R )
Gọi M là giao điểm của AB và (P). Khi đó M (1 + 2t ; -1 + t ; 2 - 6 t ) .
M Î (P) Þ (1 + 2t ) - 2 ( -1 + t ) + 2 ( 2 - 6t ) - 5 = 0
Û t =
1
6
0.25
æ 4 5 ö
Þ M ç ; - ;1 ÷
è 3 6 ø
r
uuur r
Vtpt n ( Q ) = é AB, n ( P ) ù = ( -10; -10; -5 ) .
0.25
( Q ) : 2 x + 2 y + z - 2 = 0.
0.25
ë
9
û
ì xy + x - y 2 - y ³ 0
ï 2
Đk: í 4 y - x - 2 ³ 0
ï y - 1 ³ 0
î
Ta có (1) Û
x- y+3
( x - y )( y + 1) - 4( y + 1) = 0
0.25
Đặt u
= x - y,v =
y + 1 ( u ³ 0, v ³ 0 )
Khi đó (1) trở thành : u 2 + 3uv - 4v 2 = 0 Û
éu = v
êu = -4v(vn)
ë
0.25
2
Với u = v ta có x = 2 y + 1 , thay vào (2) ta được : 4 y - 2 y - 3 +
Û 4 y 2 - 2 y - 3 - ( 2 y - 1) +
(
y - 1 = 2 y
)
y - 1 - 1 = 0
0.25
2 ( y - 2 )
+
4 y 2 - 2 y - 3 + 2 y - 1
2
Û y = 2 ( vì Û
Với y = 2 thì
æ
2
y - 2
+
= 0 Û ( y - 2 ) ç
2
ç
y - 1 + 1
4
y
2
y
3
+
2
y
1
è
+
4 y 2 - 2 y - 3 + 2 y - 1
bc
3a + bc
Vì theo BĐT CôSi:
Tương tự
ca
3 b + ca
Suy ra P £
0.25
1
> 0"y ³ 1 )
y - 1 + 1
x = 5 . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là ( 5; 2 )
Vì a + b + c = 3 ta có
10
ö
1
÷ = 0
y - 1 + 1 ÷ø
=
1
1
+
³
a + b a + c
£
bc
a ( a + b + c ) + bc
2
( a + b)( a + c )
=
bc
( a + b)(a + c )
£
bc æ 1
1 ö
+
ç
÷
2 è a + b a + c ø
0,25
, dấu đẳng thức xảy ra Û b = c
1 ö
1 ö
ca æ 1
ab
ab æ 1
+
£
+
ç
÷ và
ç
÷
2 è b + a b + c ø
2 è c + a c + b ø
3 c + ab
bc + ca ab + bc ab + ca a + b + c 3
+
+
=
= ,
2(a + b) 2(c + a ) 2(b + c)
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =
3
khi a = b = c = 1.
2
0,25
0,25
0,25
- Xem thêm -