LỜI NÓI ĐẦU
3
CHƯƠNG I . GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC
4
1.1. Giải bài toán động học thuận
4
1.1.1. Cơ sở lý thuyết
4
1.1.2. Thiết lập phương trình động học thuận cho robot RRR.
9
a. Tìm các ma trận biến đổi
9
b. Xác định vị trí và hướng của bàn kẹp
10
c. Xác định vận tốc của điểm tác động cuối so với hệ cố định
11
d. Vận tốc góc của mỗi khâu so với hệ cố định
11
e. Các đồ thị thể hiện vị trí, vận tốc điểm tác động cuối E
11
1.2. Giải bài toán động học ngƣợc
1.2.1. Giải bài toán động học ngược bằng phương pháp giải tích
12
13
a. Cơ sở lý thuyết
13
b. Áp dụng giải bài toán ngược cho robot RRR
14
1.2.2. Giải bài toán ngược bằng phương pháp số
17
a. Cơ sở lý thuyết
17
b. Áp dụng giải bài toán cho robot RRR
19
CHƯƠNG II. GIẢI BÀI TOÁN TĨNH HỌC ROBOT
21
2.1. Cơ sở lý thuyết
21
2.2. Áp dụng cho Robot RRR
22
CHƯƠNG III. THIẾT KẾ QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG CHO ROBOT
27
3.1 Giới thiệu và cơ sở thiết kế quỹ đạo
27
3.2. Tính toán thiết kế quỹ đạo chuyển động
27
3.2.1 Thiết kế quỹ đạo trong không gian khớp
27
3.2.2. Thiết kế quỹ đạo trong không gian làm việc
29
a. Quỹ đạo của điểm tác động cuối theo đường thẳng từ A đến B trong tc (s)
30
b. Thiết kế quỹ đạo điểm tác động tác động cuối di chuyển theo đường tròn từ A
đến B trong tc s lấy AB làm đường kính.
CHƯƠNG IV. ĐỘNG LỰC HỌC ROBOT
32
34
1
4.1. Cơ sở lý thuyết
34
4.2. Áp dụng tìm phƣơng trình vi phân cho Robot RRR
36
4.2.2. Bảng tham số động học
36
4.2.3. Các phương trình vi phân
36
III. ĐIỀU KHIỂN ROBOT
37
5.1. Điều khiển phản hồi và điều khiển vòng kín.
37
5.2. Thiết kế bộ điều khiển PID
38
5.3. Thiết kế bộ điều khiển trong không gian khớp
40
KẾT LUẬN
44
TÀI LIỆU THAM KHẢO
45
2
LỜI NÓI ĐẦU
Khi xét về vấn đề Robot chúng ta đặt ra các bài toán: động học Robot, động lực học
Robot và điều khiển Robot. Đây là những bước cơ sở ban đầu hết sức quan trọng trước khi
thiết kế Robot.
Với sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin như ngày này, rất nhiều các lĩnh
vực trong cơ khí đã tận dụng được sự phát triển này để tạo ra những bước nhảy vọt, rong đó
có công nghiệp Robot.
Trên cơ sở đó, môn học Robotics đã mang lại cho sinh viên những kiến thức vô cùng
quan trọng cho sinh viên chúng em. Bên cạnh đó, nó cũng tạo ra một cơ hội để sinh viên được
tiếp cận với những phần mềm tính toán, mô phỏng phổ biến trên thế giới hiện nay như Maple
và Matlab.
Để thực hiện được bài tập lớn này, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, PGS.TS Phan
Bùi Khôi đã tận tình, chu đáo dạy học trên lớp. Em xin chân thành cảm ơn thầy.
3
CHƢƠNG I . GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC
1.1. Giải bài toán động học thuận
1.1.1. Cơ sở lý thuyết
Vị trí mỗi khâu trong không gian được xác định bởi vị trí một điểm định vị và hướng
của khâu đó đối với một hệ quy chiếu đã chọn. Điểm định vị là một điểm xác định nào đó của
khâu, thông thường trong động lực học ta hay lấy khối tâm của khâu đó làm điểm định vị.
Hướng của khâu được xác định bằng ma trận cosin chỉ hướng hoặc bằng các tọa độ suy rộng
xác địnhvị trí của vật rắn quay quanh một điểm.
Động học robot nghiên cứu chuyển động của các khâu của robot về phương diện hình
học, không quan tâm đến các lực và momen gây ra chuyển động.Động học robot là bài toán
qua trọng phục vụ tính toán và thiết kế robot.Nhiệm vụ chủ yếu của bài toán động học thuận
là xác định vị trí và hương của bàn kẹp dưới dạng hàm của biến khớp.
Các phương pháp ma trận 4x4 và các phương pháp ma trận 3x3 hay được sử dụng trong
phân tích động học robot. Hai phương pháp ma trận 4x4 phổ biến là phương pháp ma trận
Denavit-Hartenberg và phương pháp ma trận Craig. Trong báo cáo này chúng em trình bày và
áp dụng phương pháp ma trận Denavit-Hartenberg để tính toán động học robot.
Giải bài toán động học thuận robot công nghiệp bằng phương pháp ma trận DenavitHartenberg
Cách xác định các trục cuả hệ tọa độ khớp.
Đối với robot công nghiệp ,Denavit-Hartenberg đã đưa ra cách chọn các hệ trục tọa độ
có gốc tại khớp thứ i như sau:
Trục zi 1 được chọn dọc theo hướng của trục khớp động thứ i.
Trục xi 1 được chọn dọc theo đường vuông góc chung của 2 trục zi 2 và zi 1 hương đi
từ trục zi 2 sang trục zi 1 . Nếu trục zi 1 cắt trục zi 2 thì hướng của trục xi 1 được chọn tùy ý
miễn là vuông góc với trục zi 1 .Khi 2 trục zi 2 và zi 1 song song với nhau, giữa 2 trục này
có nhiều đường vuông góc chung , ta có thể chọn trục xi 1 hướng theo pháp tuyến chung nào
cũng được.
Gốc tọa độ Oi 1 được chọn tại giao điểm cuả trục xi 1 và trục zi 1 .
Trục yi 1 được chọn sao cho hệ (Oxyz )i 1 là hệ quy chiếu thuận.
4
Hệ tọa độ (Oxyz )i 1 được xác định như trên trong một số tài liệu được quy ước là hệ
tọa độ khớp.
Chú ý: Với cách chọn hệ tọa độ như trên , đôi khi hệ tọa độ khớp (Oxyz )i 1 không
được một cách duy nhất. vì vậy, ta có một số bổ sung thích hợp như sau.
Đối với hệ tọa độ (Oxyz )0 theo quy ước trên ta mới chỉ chọn được trục z0 , còn trục
x0 chưa có trong quy ước trên.Ta có thể chọn trục x0 một cách tùy ý, miễn là x0 vuông góc
với z0 .
Đối với hệ tọa độ (Oxyz )n , do không có khớp (n+1) nên theo quy ước trên ta không
xác định z n . Trục z n không được xác định duy nhất, trong khi trục xn lại được chọn theo
đường pháp tuyến của trục zn1 . Trong trường hợp này, nếu khớp n là khớp quay, ta có thể
chọn trục z n song song trục zn 1 . Ngòai ra ta có thể chọn tùy ý sao cho hợp lý.
Khi khớp thứ i là tịnh tiến, về nguyên tắc ta có thể chọn trục zi 1 một cách tùy ý. Tuy
nhiên trong nhiều trường hợp người ta thường chọn trục zi 1 dọc theo trục cuả khớp tịnh tiến
này.
Hình 1.1.diễn các thông số Denavit-Hartenberg giữa các trục hệ tọa độ
Các tham số động học Denavit-Hartenberg
5
Vị trí của hệ toạ độ khớp (Oxyz)i đối với hệ tọa độ khớp (Oxyz)i-1 được 4 tham số
Denavit-haartenderg di , 𝜃𝑖 , ai, 𝛼𝑖 như sau: d i dịch chuyển tịnh tiến dọc theo trục zi 1 để gốc
'
tọa độ Oi 1 chuyển đến Oi giao điểm của trục xi và trục zi 1 .
θi : góc quay quanh trục zi 1 để trục xi 1 chuyển đến trục xi' ( xi' // xi ).
ai : dịch chuyển tịnh tiến theo dọc trục xi
αi : góc quay quanh trục xi
'
để điểm Oi chuyển đến điểm Oi .
'
'
sao cho trục zi 1 ( zi 1 // zi 1 ). Chuyển đến trục zi .
Do hệ trục tọa độ (Oxyz)i 1 gắn liền vào khâu thứ i-1 , còn hệ trục tọa độ (Oxyz)i
gắn liền vào khâu thứ i , cho nên vị trí cuả khâu thứ i đối với khâu thứ i-1, được xác định
bới 4 tham số Denavit-hartenberg.
Trong 4 tham số trên, các tham số ai và αi luôn luôn là các hằng số , độ lớn của chúng
phụ thuộc vào hình dáng và sự ghép nối các khâu thứ i-1 và thứ i. Hai tham số còn lại θi và
d i một là hằng số, một là biến số phụ thuộc vào khớp i là khớp quay hay khớp tịnh tiến.Khi
khớp i là khớp quay thì θi là biến, còn d i là hằng số. Khi khớp i là khớp tịnh tiến thì d i là
biến, còn θi là hằng số.
Chú ý về việc xác định hệ tọa độ khớp tại khớp tịnh tiến.Trong trường hợp khớp i là
khớp tịnh tiến, về nguyên tắc ta có thể chọn trục zi 1 một cách tùy ý, do đó việc xác định các
tham số Denavit-Hartenberg phụ thuộc vào việc chọn hệ trục tọa độ.
Ma trận của phép biến đổi, kí hiệu là H i , là tích của 4 na trận biến đổi cơ bản,và có
dạng như sau:
cos(θi ) sin(θi )cos(αi ) sin(θi )sin(αi ) ai cos(θi )
sin(θ ) cos(θ )cos(α ) cos(θ )sin(α ) a sin(θ )
i
i
i
i
i
i
i
(1.1)
H
0
sin(αi )
cos(αi )
di
0
0
1
0
Ma trận H i được xác định bởi công thức (1.1) được gọi là ma trận Denavit-Hartenberg
địa phương.
Phương trình xác định vị trí khâu thao tác (bàn kẹp) cuả robot.
Xét mô hình cơ học của một robot n khâu động như hình vẽ:
6
Hình 1.2. Robot n khâu
Theo nguyên tắc nêu trên, ta thiết lập được hệ trục tọa độ gắn liền với giá cố định và hệ
tọa độ gắn liền với các vật.Gọi R0 là hệ quy chiếu (Oxyz)0 gắn liền với giá cố định, hệ quy
chiếu Ri (Oxyz)i gắn liền với khâu thứ i.Ma trận H i
i 1
cho ta biết vị trí và hướng của khâu
i đối với hệ quy chiếu Ri 1 gắn vào khâu thứ i-1.
Từ đó suy ra ma trận Denavit-Hartenberg
H i cho biết vị trí của hệ quy chiếu
Ri (Oxyz)i đối với hệ quy chiếu Ri 1 (Oxyz)i 1 .Áp dụng liên tiếp các phép biến đổi
đối với robot n khâu, ta có:
Dn 0 H H1H 2 ...H 3
A
Dn Tn
0
r 0 E
1
(1.2)
`(1.3)
Ma trận Dn cho biết vị trí của điểm tác động cuối E và hướng cuả khâu thao tác (bàn
kẹp) của robot đối với hệ quy chiếu cố định R0
Như vậy khi biết được các đặc tính hình học cuả các khâu và quy luật chuyển động của
các khớp là ta có thể xác định được vị trí và hướng của bàn kẹp.
Xác định vận tốc, gia tốc điểm tác động cuối và vận tốc góc, gia tốc góc các khâu cuả
robot bằng phương pháp trực tiếp.
(0)
Vận tốc và gia tốc dài của bàn kẹp có thể dễ dàng suy ra từ đạo hàm vector tọa độ rE
7
Vận tốc điểm thao tác:
d 0
dt xE
vEx
R0
0 d 0
d 0
0
vE
rE , hay : vEy yE
dt
0 dt
vEz d 0
zE
dt
0
(1.4)
Gia tốc điểm thao tác:
aE0
d 0
dt vEx
0
aEx
R0
d 0
0 d 0
v , hay : aEy
vEy
dt E
dt
aEz 0
0
d vEz
dt
(1.5)
Ta có thể tính trực tiếp vận tốc góc khâu thứ i của robot dựa trên công thức tính vận tốc góc
vật rắn thông qua ma trận cosin chỉ hướng như sau:
0 0 A
AT
ω
i
i
(1.6)
i i A T A
ω
i
i
Từ (1.6) suy ra biểu thức vận tốc góc khâu thứ i của robot.
Áp dụng định nghĩa gia tốc góc của vật rắn, khi biết vận tốc góc của các khâi của robot
ta có thể tính gia tốc góc các khâu của robot theo công thức sau:
R0
B
α
R0
d
dt
R0
B
ω
(1.7)
8
1.1.2. Thiết lập phƣơng trình động học thuận cho robot RRR.
Hình 1.3. Đặt các trục tọa độ cho robot RRR
Thiết lập bảng động học DH.
Từ hình vẽ ta tìm được bảng động học: d i , θi , ai , αi
Khâu
θi
di
ai
αi
1
q1
0
a1
π
2
2
q2
q3
0
a2
a3
3
0
0
0
a. Tìm các ma trận biến đổi
Dựa vào công thức (1.1) ở trên ta thiết lập các ma trận Denavit-Hartenberg Hi như sau:
C1
S
H1 1
0
0
0 S1 a1C1
0 C1 a1S1
1 0
0
0 0
1
C2
S
H2 2
0
0
C3 0 S3
S 0 C
3
H3 3
0 1 0
0 0 0
0 S2
0 C2
1 0
0 0
a2C2
a2 S2
0
1
a3C3
a3 S3
0
1
9
Dựa vào (1.2) ta có ma trận Denavit-Hartenberg của khâu thao tác đối với khâu 0 như
sau:
C1C23
S C
D3 1 23
S 23
0
C1S 23
S1S 23
C23
0
S1 C1 (a3C23 a2C2 a1 )
C1 S1 (a3C23 a2C2 a1 )
0
a3 S 23 a2 S 2
0
1
(1.8)
b. Xác định vị trí và hướng của bàn kẹp
Vị trí của khâu thao tác (bàn kẹp) được xác định trong hệ tọa độ cố định R0 được xác
định bởi điểm E (điểm tác động cuối) và hướng của khâu thao tác. Theo (1.8) ta có:
C1 (a3C23 a2C2 a1 )
x E S1 (a3C23 a2C2 a1 )
a3 S23 a2 S2
(1.9)
Ma trận cosin chỉ hướng (xác định hướng của bàn kẹp) xác định từ ma trận T3 như sau:
C1C23
A 3 S1C23
S23
C1S23
S1S 23
C23
S1
C1
0
(1.10)
Xác định hướng của bàn kẹp:
Sử dụng phép quay Roll-Pitch-Yaw trong phép quay hệ quy chiếu cố định R0 sang hệ
quy chiếu Rn thì ta có ma trận cosin chỉ hướng RPY, như sau:
cos φ cos θ
R sin φ cos θ
sin θ
cos φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ cos φ sin θ cos ψ sin φ sin ψ
sin φ sin θ sin ψ cos φ cos ψ sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ
cos θ sin ψ
cos θ cos ψ
10
Hình 1.4. Phép quay Roll – Pitch – Yaw
Đồng nhất các phần tử của 2 ma trận A3và A, ta tìm được góc φ , hướng của bàn kẹp
như sau:
φ q1 ; θ (q2 q3 ); ψ
π
2
c. Xác định vận tốc của điểm tác động cuối so với hệ cố định
vE0
R0
S1.q1 (a3C23 a2C2 a1 ) C1 (a3 S23 (q2 q3 ) a2C2 .q2 a1 )
d 0
r C1.q1 (a3C23 a2C2 a1 ) S1 (a3 S23 (q2 q3 ) a2C2 .q2 a1 ) (1.11)
dt E
a3C23 (q2 q3 ) a2C2 q2
d. Vận tốc góc của mỗi khâu so với hệ cố định
0
S1q2
S1q2 S1q3
ω1 0 ; ω2 C1q2 ; ω3 C1q2 C1q3
q1
q1
q1
(1.12)
Với ωi , i 1..3 lần lượt là vận tốc góc của khâu 1, 2, 3 so với hệ tọa độ cố định.
e. Các đồ thị thể hiện vị trí, vận tốc điểm tác động cuối E
Ta cho các số liệu đầu vào như sau:
a1 0.4(m), a2 0.3(m), a3 0.3(m)
Và giả sử các góc quay tại mỗi khớp là các hàm:
q1 sin(
π
π
π
t ), q1 sin( t ), q1 cos( t )
30
2
30
11
Với kết quả (1.9) và (1.11), sử dụng phần mềm Matlab ta có các đồ thị như sau:
Hình 1.5. Vị trí điểm tác động cuối
Hình 1.6. Vận tốc điểm tác động cuối so với hệ cố định
1.2. Giải bài toán động học ngƣợc
Bài toán động học ngược có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong lập trình và điều khiển
chuyển động của robot. Bởi lẽ, trong thực tế thường phải điều khiển robot sao cho bàn kẹp
di chuyển tới các vị trí nhất định trong không gian thao tác theo một quy luật nào đó. Ta
cần xác định các giá trị biến khớp tương ứng với vị trí và hướng của robot theo yêu cầu
đó. Đây cũng chính là nội dung của bài toán động học ngược.
12
Từ bài toán thuận ta biết phương trình xác định vị trí bàn kẹp x f q . Bây giờ giả
sử x đã biết, cần tìm q một cách hình thức như sau:
q=f -1 x
Trong đó:
q [q1 ... qn ]T là vectơ toạ độ suy rộng biến khớp
q [q1 ... qn ]T là vectơ toạ độ suy rộng của khâu thao tác (bàn kẹp).
Với n là số toạ độ suy rộng khớp (số bậc tự do của robot), m là số toạ độ suy rộng
của bàn kẹp ( m = 6)
Có 3 trường hợp xảy ra :
-
Khi
m = n , robot có cấu trúc
động học cân bằng hay cấu
trúc
chuẩn.Phương trình (2.1) có thể có nghiệm duy nhất phụ thuộc vào cấu trúc của robot.
-
Khi m < n , robot có cấu trúc dư dẫn động. Số toạ độ suy rộng khớp qi lớn hơn số
tọa độ suy rộng khâu thao tác xj cần xác định. Bài toán có nhiều nghiệm, để giải bài toán có
thể đưa thêm vào các điều kiện phụ như là: điều kiện về công nghệ, điều kiện về cơ học, các
điều kiện về toán học…để đưa bài toán về bài toán cấu trúc động học cân bằng, giải bài toán
bằng phương pháp ma trận tựa nghịch đảo, trong đó số phương trình nhỏ hơn số ẩn.
-
Khi m > n , robot có số toạ độ suy rộng khớp ít hơn số toạ độ suy rộng khâu thao
tác, phương trình (2.1) không giải được. Để bài toán có nghiệm, ta cần đưa thêm vào các
điều kiện ràng buộc, tuy nhiên đây là bài toán không có nhiều ý nghĩa trong thực tế.
Các phương pháp giải bài toán động học ngược
Việc đi tìm nghiệm của bài toán động học ngược có ý nghĩa rất quan trọng trong lập
trình và điều khiển robot. Tuy nhiên, việc này khá khó khăn và hiện chưa có phương pháp
tổng quát nào để giải quyết vấn đề này một cách thật hiệu quả. Có hai nhóm phương pháp
hay được sử dụng là :
- Nhóm phương pháp giải tích
- Nhóm phương pháp số
1.2.1. Giải bài toán động học ngƣợc bằng phƣơng pháp giải tích
a. Cơ sở lý thuyết
Khi giải bài toán động học thuận bằng phương pháp ma trận Denavit-Hartenberg ta có
ma trận biến đổi xác định vị trí thao tác là:
13
A n (q) r (0) E (q)
Tn (q) Dn (q) H1H 2 H3 ...H n1H n T
1
0
(1.13)
Từ đó ta xác định được ma trận cosin chỉ hướng khâu thao tác và vector điểm thao tác E
là các hàm của tọa độ suy rộng.
Mặt khác, từ nhiệm vụ công nghệ của robot ta có ma trận cấu hình khâu thao tác (ma
trận cosin chỉ hướng của khâu thao tác và vector xác định vị trí điểm thao tác) dưới dạng hàm
của các tọa độ thao tác:
nx
n
Tn (x) y
nz
0
sx
sy
sz
0
px
py
pz
1
ax
ay
az
0
(1.14)
Từ đó ta có phương trình ma trận:
Tn (q) Tn (x)
(1.15)
Từ phương trình (1.15) sử dụng các phương pháp đại số và hình học ta có thể tìm được
các hàm xác định tọa độ khớp q =f -1 x .
b. Áp dụng giải bài toán ngược cho robot RRR
Sử dụng kết quả (1.8) ta có ma trận Denavit-Hartenberg của khâu thao tác đối với khâu
0 như sau:
C1C23
S C
D3 H1H 2 H3 1 23
S23
0
C1S23
S1S23
C23
0
S1 C1 (a3C23 a2C2 a1 )
C1 S1 (a3C23 a2C2 a1 )
0
a3 S23 a2 S2
0
1
(1.16)
Cho các phần tử (1,4) và (2,4) của hai ma trận (1.14) và (1.16) bằng nhau ta được:
tan(q1 )
S1 Py
C1 Px
(1.17)
q1 atan2( Py , Px )
Từ phương trình ma trận (1.16) ta suy ra:
H1H 2 D3 H3
1
Ta có:
14
C3nx S3 sx
C n S s
1
3 y
D3 H3 3 y
C3nz S3 sz
0
C1S2
S1S2
C2
C1C2
S C
H1H 2 1 2
S2
0
0
S3nx C3 sx
S3ny C3 s y
S3nz C3 sz
ax
ay
az
0
0
ax nx a3 px
a y n y a3 p y
az nz a3 pz
1
S1 C1 (a2C2 a1 )
C1 S1 (a2C2 a1 )
0
a2 S2
0
1
(1.18)
(1.19)
So sánh các phần tử (3,4) và (2,4) của hai ma trân (1.18) và (1.19) ta có:
S2
C2
az nz a3 pz
a2
a y ny a3 p y a1S1
a2
q2 atan2( S 2 , C2 )
(1.20)
(1.21)
(1.22)
So sánh các phần tử (3,1) và (3,2) của hai ma trận (1.14) và (1.16) ta có:
S23 nz ; C23 sz
(1.23)
Suy ra: q2 q3 atan2(S23 ,C23 )
(1.24)
Vậy q3 atan2(S 23,C 23) q2
(1.25)
Sử dụng các góc Roll-Pitch-Yall, với các thông số hướng của khâu thao tác cuối như
sau: φ
π
π
π
và khâu thao tác cuối di chuyển theo các phương trình
;θ ;ψ
6
3
3
px 1+0.15(1+3sin3t)cost; py 0.3(1+3sin3t)sin(t); pz =0.3+0.2cost . Từ các phương trình
(1.17), (1.22) và (1.25) ta vẽ đồ thị gồm góc quay, tốc đọ góc và gia tốc góc tại mỗi khớp như
sau:
15
Phuong trinh diem thao tac cuoi trong khong gian
Phuong trinh diem thao tac cuoi trong khong gian
0.8
0.6
0.5
0.4
0.2
0.4
0
0.3
-0.2
-0.4
0.2
-0.6
0.1
1
-0.8
2
0
1.5
-1
1
-1
0.5
-2
-1.2
0.4
0
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Hình 1.7. Chuyển động khâu thác cuối trong không gian (hình hoa ba cánh)
Do thi bien khop
3
q1
q2
q3
2
Goc quay (rad)
1
0
-1
-2
-3
-4
0
1
2
3
4
5
6
Thoi gian (s)
7
8
9
10
Hình 1.8. Đồ thị góc quay các biến khớp
Van toc goc bien khop
0.03
dq1
dq2
dq3
Toc do goc (rad/s)
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
0
100
200
300
400
500
600
Thoi gian (s)
700
800
900
1000
Hình 1.9. Đồ thị vận tốc góc quay các biến khớp
16
-3
1.5
Gia toc goc bien khop
x 10
ddq1
ddq2
ddq3
Gia toc goc (rad/s 2)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
100
200
300
400
500
600
Thoi gian (s)
700
800
900
1000
Hình 1.10. Đồ thị gia tốc góc của biến khớp
1.2.2. Giải bài toán ngƣợc bằng phƣơng pháp số
a. Cơ sở lý thuyết
Nhìn chung, các phương pháp số có thể giải được bài toán động học ngược một
cách tổng quát, tính tự động hoá cao. Tuy nhiên, trong thực tế, việc tìm lời giải bằng
phương pháp này lại gặp khó khăn như thời gian tính toán lâu do gặp phải hệ phương
trình siêu việt, hoặc vì tính đa trị của lời giải,… Dưới đây, ta sẽ trình bày các nội dung
chính để giải bài toán động học ngược của robot bằng phương pháp số.
Phương trình xác định vị trí bàn kẹp
x f (q )
(1.26)
Đạo hàm hai vế phương trình (1.26) theo t, ta được
x
f
q J q q
q
(1.27)
trong đó :’
17
f1
q
1
f
J (q)
...
q
f m
q1
f1
q2
...
f m
q2
f1
qn
... ...
f m
...
qn
...
(1.28)
n
-Khi m= n ta có bài toán có cấu trúc động học cân bằng. x, q, f 𝝐 R .
Từ (1.27) ta suy ra:
q t J 1 q t x t
(1.29)
Đạo hàm (1.27) theo t, ta được:
t
x t J q t q t J q t q
(1.30)
Từ (1.30) suy ra
t
J q t q
x t J q t q t
(1.31)
Từ (1.31) suy ra ta được :
t J 1 q t
q
x t J q t q t
(1.32)
Công thức (1.29) và (1.32) cho phép ta xác định được vectơ vận tốc suy rộng gia tốc
t ,
suy rộng khi biết q t tại thời điểm khảo sát và các quy luật x t , x
x t .
Giả sử robot làm việc trong khoảng thời gian [0,T]. Ta chia khoảng thời gian đó thành
n phần bằng nhau.
h=∆t = T/n∗ n∗ =T/∆t=T/h
Ta có:
t k+1 =t k +Δt
k=0,1,....,n
*
Áp dụng khai triển Taylor hàm vectơ q t ở lân cận giá trị t =t k, ta có
1
2
q t k+1 =q t k +Δt =q t k +q t k Δt+ q t k Δt ...
2
Bỏ qua các vô cùng bé bậc hai ta có:
q tk 1 q tk J -1 q t x t t với (k=0,1,…,n*)
(1.33)
18
Nhận xét:
Tính q(tk+1) theo (1.33) ta nhận được giá trị thô của q(t) tại thởi điểm t=tk, vì vậy cần
nâng cao độ chính xác của q tk 1 bằng việc tính q0.
Thuật toán xác định q0 q t0
0 của
Ký hiệu t0=0 là thời điểm ban đầu. Ta có thể xác định vectơ gần đúng ban đầu q
vectơ q0 bằng phương pháp vẽ hoặc thực nghiệm. Áp dụng khai triển Taylor tìm nghiệm q0
gần đúng như sau:
q0 q t0 q 0 q0
(1.34)
Theo phương trình (1.34) ta có:
x t0 f q0 f q 0 q0 f q 0
f
q0 q0 ...
q
Từ đó, suy ra các công thức gần đúng:
J q 0 q0 x(t0 ) f q 0
(1.35)
Giải phương trình gần đúng (1.35) ta có:
Lấy
q 0 J 1 q 0 x(t0 ) f q 0
(1.36)
q 0 q 0 q0
(1.37)
Nếu q0 ε1 thì ta lại thế phương trình (1.37) vào (1.34) rồi giải nó. Quy trình này
dừng lại khi
q0 ε1 . Trong đó 𝜀1 là sai số dương bé chọn trước. Kết quả của quá trình
này ta được
q0 q 0
(1.38)
0 ,q
0 .
Biết được q0 thay vào (1.29) và (1.32) để tính q
b. Áp dụng giải bài toán cho robot RRR
Sử dụng phương pháp lặp Newton-Raphson ta tìm giá trị của vectơ q0 . Xem chương
trình code viết trên MATLAB ở phần phụ lục.
Lấy phương trình điểm tác động cuối như bài toán giải bằng phương pháp giải tích, ta
có kết quả góc quay của các tọa độ suy rộng như sau:
19
Do thi goc quay cac bien khop
15
q1
q2
q3
10
q (rad)
5
0
-5
-10
0
1
2
3
4
5
t (s)
6
7
8
9
10
Hình 1.11. Đồ thị mối quan hệ giữa các tọa độ suy rộng với thời gian
20
- Xem thêm -