Tài liệu Con lắc đơn

http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN I. KIẾN THỨC * Con lắc đơn + Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giản, vật nặng kích thước không đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng. + Khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)), con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình: S s ; αo = o l l s = Socos(ωt + ϕ) hoặc α = αo cos(ωt + ϕ); với α = + Chu kỳ, tần số, tần số góc: T = 2π 1 l ; f= g 2π g ;ω= l g . l mg s =-mgα l 4π 2 l + Xác định gia tốc rơi tự do nhờ con lắc đơn : g = 2 . T + Lực kéo về khi biên độ góc nhỏ: F = - + Chu kì dao động của con lắc đơn phụ thuộc độ cao, độ sâu, vĩ độ địa lí và nhiệt độ môi trường. * Năng lượng của con lắc đơn 1 mv2 2 + Động năng : Wđ = 1 mglα2 (α ≤ 1rad, α (rad)). 2 1 + Cơ năng: W = Wt + Wđ = mgl(1 - cosα0) = mglα 02 . 2 + Thế năng: Wt = mgl(1 - cosα) = Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát. 1. Tần số góc: ω = g 1 ω 1 2π l = 2π = ; chu kỳ: T = ; tần số: f = = l g T 2π 2π ω g l Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α0 << 1 rad hay S0 << l s l 2. Lực kéo về (lực hồi phục) F = −mg sin α = − mgα = −mg = −mω 2 s Lưu ý: + Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng. + Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng. 3. Phương trình dao động: s = S0cos(ωt + ϕ) hoặc α = α0cos(ωt + ϕ) với s = αl, S0 = α0l ⇒ v = s’ = -ωS0sin(ωt + ϕ) = -ωlα0sin(ωt + ϕ) ⇒ a = v’ = -ω2S0cos(ωt + ϕ) = -ω2lα0cos(ωt + ϕ) = -ω2s = -ω2αl Lưu ý: S0 đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x 4. Hệ thức độc lập: * a = -ω2s = -ω2αl v * S02 = s 2 + ( )2 ω Tìm chiều dài con lắc: ℓ = BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 1 v 2 max − v 2 α 2g CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] v2 gl 1 1 mg 2 1 1 5. Cơ năng: W = mω 2S02 = S0 = mglα 02 = mω 2l 2α 02 2 2 l 2 2 * α 02 = α 2 + Lưu ý: Cơ năng của con lắc đơn tỉ lệ thuận với khối lượng vật còn cơ năng của con lắc lò xo không phụ thuộc vào khối lượng của vật 6. Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l1 có chu kỳ T1, con lắc đơn chiều dài l2 có chu kỳ T2, con lắc đơn chiều dài l1 + l2 có chu kỳ T2,con lắc đơn chiều dài l1 - l2 (l1>l2) có chu kỳ T4. Thì ta có: T32 = T12 + T22 và T42 = T12 − T22 7. Khi con lắc đơn dao động với α0 bất kỳ. Cơ năng, vận tốc và lực căng của sợi dây con lắc đơn W = mgl(1-cosα0); v2 = 2gl(cosα – cosα0) và TC = mg(3cosα – 2cosα0) Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi α0 có giá trị lớn α - Khi con lắc đơn dao động điều hoà (α0 << 1rad) thì: l T 1 2 2 2 2 W= mglα 0 ; v = gl (α 0 − α ) (đã có ở trên) 2 F P 2 2 TC = mg (1 − 1, 5α + α 0 ) O s α F 2 Ft α ’ Tmax = mg (1 + α 0 ); Tmin = mg (1 − 0 ) 2 II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP: BÀI TOÁN 1: TÌM CÁC ĐẠI LƯỢNG THƯỜNG GẶP VỀ CON LẮC ĐƠN PHƯƠNG PHÁP: Để tìm một số đại lượng trong dao động của con lắc đơn ta viết biểu thức liên quan đến các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm. 1) Năng lượng con lắc đơn: Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng O α0 1 2 + Động năng: Wđ= mv 2 + Thế năng hấp dẫn ở ly độ α : Wt = mgℓ(1 - cosα) 1 + Cơ năng: W= Wt+Wđ= mω 2 A 2 2 1 Khi góc nhỏ: Wt = mgℓ(1 − cosα ) = mgℓα 2 2 1 W= mgℓα 2 0 2 α τ N A O P 2) Tìm vận tốc của vật khi đi qua ly độ α (đi qua A): Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có: Cơ năng tại biên = cơ năng tại vị trí ta xét WA=WN WtA+WđA=WtN+WđN BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 2 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] 1 2 ⇔ mgℓ (1 − cosα ) + mv A = mgℓ(1 − cosα 0 ) +0 2 ⇒ v 2A = 2gℓ(cosα − cosα 0 ) ⇒ v A = ± 2gℓ(cosα - cosα 0 ) Chú ý:+ Khi đi qua vị trí cân bằng(VTCB) α = 0 + Khi ở vị trí biên α = α 0 Lực căng dây(phản lực của dây treo) treo khi đi qua ly độ α (đi qua A) Theo Định luật II Newtơn: P + τ =m a chiếu lên τ ta được v 2A v 2A + mgcosα = m2g(cosα − cosα 0 ) + mgcosα ⇔τ =m ℓ ℓ ⇒ τ = mg(3cosα - 2cosα 0 ) τ − mgcosα = ma ht = m sin α ≈ α Khi góc nhỏ α ≤ 10  α 2 khi đó cos α ≈ 1 −   2 0  v 2A = gℓ(α 02 − α 2 )   1 2 2 τ = mg(1 − 2α 0 − 3α ) 2  Chú ý: Lực dụng lên điểm treo (là lực căng T) VÍ DỤ MINH HỌA VD1. Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, con lắc đơn dao động điều hoà với chu kì 2π s. 7 Tính chiều dài, tần số và tần số góc của dao động của con lắc. HD: Ta có: T = 2π l g l= gT 2 1 2π = 0,2 m; f = = 1,1 Hz; ω = = 7 rad/s. 2 4π T T VD2. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là 100cm, kéo con lắc lệch khỏi VTCB một góc α0 với cosα0 = 0,892 rồi truyền cho nó vận tốc v = 30cm/s. Lấy g = 10m/s2. a. Tính vmax b. Vật có khối lượng m = 100g. Hãy tính lực căng dây khi dây treo hợp với phương thẳng đứng góc α với cosα = 0,9 HD: a. Áp dụng công thức tính tốc độ của con lắc đơn ta có: b. Theo công thức tính lực căng dây treo ta có: VD3. Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0 nhỏ (α0 < 100). Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Xác định vị trí (li độ góc α) mà ở đó thế năng bằng động năng khi: a) Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương về vị trí cân bằng. b) Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương về phía vị trí biên. BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 3 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com HD: Khi Wđ = Wt thì W = 2Wt Phone: 01689.996.187 1 1 mlα 02 = 2 mlα2 2 2 α=± α0 2 [email protected] . a) Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương từ vị trí biên α = - α0 đến vị trí cân bằng α = 0: α = - α0 2 . b) Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương từ vị trí cân bằng α = 0 đến vị trí biên α = α0: α = α0 2 . VD4. Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m = 100 g, treo vào đầu sợi dây dài l = 50 cm, ở một nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Bỏ qua mọi ma sát. Con lắc dao động điều hòa với biên độ góc α0 = 100 = 0,1745 rad. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Tính thế năng, động năng, vận tốc và sức căng của sợi dây tại: a) Vị trí biên. b) Vị trí cân bằng. HD α2 1 mgl α 02 = 0,0076 J; Wđ = 0; v = 0; T = mg(1 - o ) = 0,985 N. 2 2 2Wd b) Tại vị trí cân bằng: Wt = 0; Wđ = W = 0,0076 J; v = = 0,39 m/s; T = mg(1 + α 02 ) = m a) Tại vị trí biên: Wt = W = 1,03 N. VẬN DỤNG: CÂU 1,11,12,13,14,15/ĐỀ 8 BÀI TOÁN 2 : CẮT, GHÉP CHIỀU DÀI CON LẮC ĐƠN VÍ DỤ MINH HỌA VD1. Ở cùng một nơi trên Trái Đất con lắc đơn có chiều dài l1 dao động với chu kỳ T1 = 2 s, chiều dài l2 dao động với chu kỳ T2 = 1,5 s. Tính chu kỳ dao động của con lắc đơn có chiều dài l1 + l2 và con lắc đơn có chiều dài l1 – l2. HD: Ta có: T 2+ = 4π2 Từ (1) và (2) T1 = l1 + l2 = T 12 + T 22 g T+ = T12 + T22 = 2,5 s; T- = T12 − T22 = 1,32 s. T+2 + T−2 T 2 −T 2 gT 2 gT 2 = 2 s; T2 = + − = 1,8 s; l1 = 12 = 1 m; l2 = 22 = 0,81 m. 2 2 4π 4π VD2. Khi con lắc đơn có chiều dài l1, l2 (l1 > l2) có chu kỳ dao động tương ứng là T1, T2 tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Biết tại nơi đó, con lắc đơn có chiều dài l1 + l2 có chu kỳ dao động là 2,7; con lắc đơn có chiều dài l1 - l2 có chu kỳ dao động là 0,9 s. Tính T1, T2 và l1, l2. HD: Ta có: T 2+ = 4π2 l1 + l2 l −l = T 12 + T 22 (1); T 2+ = 4π2 1 2 = T 12 - T 22 (2) g g BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 4 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VD3. Trong cùng một khoảng thời gian và ở cùng một nơi trên Trái Đất một con lắc đơn thực hiện được 60 dao động. Tăng chiều dài của nó thêm 44 cm thì trong khoảng thời gian đó, con lắc thực hiện được 50 dao động. Tính chiều dài và chu kỳ dao động ban đầu của con lắc. HD: Ta có: ∆t = 60.2π l l + 0,44 = 50.2π g g 36l = 25(l + 0,44) l = 1 m; T = 2π l = 2 s. g VD4 Hai con lắc đơn chiều dài l1, l2 (l1>l2) và có chu kì dao động tương ứng là T1; T2, tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài l1 + l2 , chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều dài l1 - l2 có chu kì dao động 0,9 (s). Tính T1, T2, l1, l2. HD: + Con lắc chiều dài l1 có chu kì T1= 2π. 2π. l2 l1 T12 g → l1= 4π 2 T22 g → l1= 4π 2 T2= + Co lắc chiều dài l2có chu kì l1 + l 2 g + Con lắc chiều dài l1 + l2 có chu kì T3= 2Π. ( T ' ) 2 .g → l1 + l2 = 4π 2 = (0,8) 2 .10 4π 2 4π2 = (0,9)2 .10 4π2 T1= 2Π .g (2) (m) = 81 cm = 0,2025 0,51 = 1,42 10 (3) l1 − l 2 g → l1 - l2 = (m) = 20,25 cm Từ (3) (4) l1= 0,51 (m) = 51cm l2 = 0,3 (m) = 3cm Thay vào (1) (2) (1) = 0,81 + Con lắc có chiều dài l1 - l2có chu kì T' = 2Π. (T ' ) 2 .g .g (4) (s) 0,3 = 1,1 T2= 2Π 10 (s) BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 5 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] BÀI TOÁN 3: CON LẮC ĐƠN BỊ VƯỚNG ĐINH, KẸP CHẶT PHƯƠNG PHÁP 1) Chu kỳ con lắc: ℓ1 , ℓ1 : chiều dài con lắc trước khi vấp g * Chu kỳ cn lắc trước khi vấp đinh: T1 = 2π đinh * Chu kỳ con lắc sau khi vấp đinh: T2 = 2π ℓ2 , ℓ 2 : chiều dài g con lắc sau khi vấp đinh α0 1 2 * Chu kỳ của con lắc: T = (T1 + T2 ) 2) Biên độ góc sau khi vấp đinh β 0 : Chọn mốc thế năng tại O. Ta có: WA=WN ⇒ WtA=WtN ⇔ mgℓ 2 (1 − cosβ 0 ) = mgℓ1 (1 − cosα 0 ) β0 N A O ⇔ ℓ 2 (1 − cosβ 0 ) = ℓ1 (1 − cosα 0 ) *Nếu góc nhỏ hơn 1rad hoặc 10o ℓ 1 1 ⇒ ℓ 2 (1 − (1 − β 02 )) = ℓ1 (1 − (1 − α 02 ) ⇒ β 0 = α 0 1 : biên độ góc sau khi vấp đinh. ℓ2 2 2 Biên độ dài sau khi vấp đinh: A' = β0 .ℓ 2 VÍ DỤ MINH HỌA VD1. Kéo con lắc đơn có chiều dài ℓ = 1m ra khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ so với phương thẳng đứng rồi thả nhẹ cho dao động. Khi đi qua vị trí cân bằng, dây treo bị vướng vào một chiếc đinh đóng dưới điểm treo con lắc một đoạn 36cm. Lấy g = 10m/s2. Chu kì dao động của con lắc là A. 3,6s. B. 2,2s. C. 2s. D. 1,8s. VD2: Một con lắc đơn có chiều dài ℓ . Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc α 0 = 300 rồi thả nhẹ cho dao động. Khi đi qua vị trí cân bằng dây treo bị vướng vào một chiếc đinh nằm trên đường thẳng đứng cách điểm treo con lắc một đoạn ℓ / 2 . Tính biên độ góc β 0 mà con lắc đạt được sau khi vướng đinh ? A. 340. B. 300. C. 450. D. 430. BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 6 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] BÀI TOÁN 4: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CON LẮC ĐƠN PHƯƠNG PHÁP 1) Phương trình dao động. Chọn: + gốc toạ độ tại vị trí cân bằng + chiều dương là chiều lệch vật + gốc thời gian ..... Phương trình ly độ dài: s=Acos(ωt + ϕ) m v = - Aωsin(ωt + ϕ) m/s * Tìm ω>0: + ω = 2πf = + ω= 2π ∆t , với T = , N: tống số dao động T N g , ( l:chiều dài dây treo:m, g: gia tốc trọng trường tại nơi ta xét: m/s2) ℓ + ω= mgd I + ω= v với d=OG: khoảng cách từ trọng tâm đến trục quay. I: mômen quán tính của vật rắn. A2 − s 2 * Tìm A>0: + A2 = s2 + v2 ω2 với s = α .ℓ + khi cho chiều dài quỹ đạo là một cung tròn MN : A = MN 2 + A = α 0 .ℓ , α 0 : ly độ góc: rad. * Tìm ϕ ( −π ≤ ϕ ≤ π ) Dựa vào cách chọn gốc thời gian để xác định ra ϕ x0  cosϕ = A  x = x0  x0 = Acosϕ ⇒ϕ = ? Khi t=0 thì  ⇔  ⇒ v = v0 v0 = − Aω sinϕ sin ϕ = v0  ωA s A Phươg trình li độ góc: α = = α 0 cos(ωt + ϕ) rad. với α 0 = rad ℓ ℓ 2) Chu kỳ dao động nhỏ.  T 2g ℓ = 4π 2 ℓ ⇒ + Con lăc đơn: T = 2π 2 g  g = 4π ℓ  T2  T 2 mgd I =  I 4π 2 ⇒ + Con lắc vật lý: T = 2π 2 mgd  g = 4π I  T 2 md BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 7 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VÍ DỤ MINH HỌA: VD1. Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 90 rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s2, π2 = 10. Chọn gốc thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu của vật. Viết phương trình dao động theo li độ góc tính ra rad. HD: Ta có: ω = g α −α = 2,5π rad/s; α0 = 90 = 0,157 rad; cosϕ = = 0 = - 1 = cosπ l α0 α0 ϕ = π. Vậy: α = 0,157cos(2,5π + π) (rad). VD2. Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s. Lấy g = 10 m/s2, π2 = 10. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài. Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 rad và vận tốc v = - 15,7 cm/s. HD: Ta có: ω = cosϕ = αl S0 = 2π g = π; l = 2 = 1 m = 100 cm; S0 = T ω (αl ) 2 + v2 ω2 = 5 2 cm; 1 π π π = cos(± ); vì v < 0 nên ϕ = . Vậy: s = 5 2 cos(πt + ) (cm). 4 4 4 2 VD3. Một con lắc đơn có chiều dài l = 20 cm. Tại thời điểm t = 0, từ vị trí cân bằng con lắc được truyền vận tốc 14 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8 m/s2. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài. g s v π = 7 rad/s; S0 = = 2 cm; cosϕ = = 0 = cos(± ); l ω S0 2 HD: Ta có: ω = vì v > 0 => ϕ = - π 2 . Vậy: s = 2cos(7t - π 2 ) (cm). VD4. Một con lắc đơn đang nằm yên tại vị trí cân bằng, truyền cho nó một vận tốc v0 = 40 cm/s theo phương ngang thì con lắc đơn dao động điều hòa. Biết rằng tại vị trí có li độ góc α = 0,1 3 rad thì nó có vận tốc v = 20 cm/s. Lấy g = 10 m/s2. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật, chiều dương cùng chiều với vận tốc ban đầu. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài. HD: Ta có S 02 = S0 = v0 ω v02 ω 2 = s2 + = 8 cm; cosϕ = Vậy: s = 8cos(5t - π 2 v2 ω 2 = α2l2 + v2 ω 2 = α 2g 2 v2 + 2 4 ω ω ω= αg v02 − v 2 = 5 rad/s; s π π = 0 = cos(± ); vì v > 0 nên ϕ = - . S0 2 2 ) (cm). VD5: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = π 5 s. Biết rằng ở thời điểm ban đầu con lắc ở vị trí biên, có biên độ góc α0 với cosα0 = 0,98. Lấy g = 10 m/s2. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ góc. HD: Ta có: ω = cosϕ = 2π = 10 rad/s; cosα0 = 0,98 = cos11,480 T α α = 0 = 1 = cos0 α0 α0 α0 = 11,480 = 0,2 rad; ϕ = 0. => α = 0,2cos10t (rad). BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 8 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] BÀI TOÁN 5. VA CHẠM TRONG CON LẮC ĐƠN PHƯƠNG PHÁP + Trường hợp va chạm mềm: sau khi va chạm hệ chuyển động cùng vận tốc Theo ĐLBT động lượng: PA + PB = PAB ⇔ m A v A + m B v B = (m A + m B )V Chiếu phương trình này suy ra vận tốc sau va chạm V + Trường hợp va chạm đàn hồi: sau va chạm hai vật chuyển động với các vận tốc khác nhau v A 2 và v B2 . Theo định luật bảo toàn động lượng và động năng ta có  m A v A + m B v B = m A v A2 + m B v A 2   PA + PB = PA 2 + PB2 ⇔ 1 1 1 1 2 2 2 2   2 m A v A + 2 m B v B = 2 m A v A2 + 2 m B v B2  WdA + WdB =WdA 2 +WdB2 vA 2 v B2 từ đây suy ra các giá trị vận tốc sau khi va chạm và . VÍ DỤ MINH HỌA VD1. Con lắc đơn gồm 1 quả cầu khối lượng m1= 100g và sợi dây không giãn chiều dài l = 1m. Con lắc lò xo gồm 1 lò xo có khối lượng không đáng kể độ cứng k = 25 (N/m) và 1 quả cầu khối lượng m2 = m1= m = 100g 1. Tìm chu kì dao động riêng của mỗi con lắc. 2. Bố trí hai con lắc sao cho khi hệ CB... (hình vẽ) kéo m1 lệnh khỏi VTCB 1 góc α = 0,1 (Rad) rồi buông tay. a) Tìm vận tốc quả cầu m1 ngay trước lúc va chạm vào quả cầu (α<<). b) Tìm vận tốc của quả cầu m2 sau khi va chạm với m1và độ nén cực đại của lò xo ngay sau khi va chạm. c) Tìm chu kì dao động của hệ Coi va chạm là đàn hồi xuyên tâm, bỏ qua ma sát. HD. Tìm chu kì dao động riêng của từng con lắc khi chưa gắn vào hệ: + Con lắc lò xo: T1 = 2.π + Con lắc đơn : T1 = 2.π l m 0,1 = 2.π = 0, 4s (s) k 25 k l 1 = 2.π = 2s g 10 m2 m1 2. a) Vận tốc m1 ngay sau va chạm: m1gh = =m1g.l.(1 - cosα) = 1 m1v o 2 2 góc α nhỏ áp dụng công thức gần đúng 1 − cosα = 2sin 2α = α2 2 gl = 0,1 10 = 0,316 (m/s) V0= α b) Tìm vận tốc v2 của m2 ngay sau khi va chạm với m1 và độ nén cực đại của lò xo sau khi va chạm. + Gọi v1, v2là vận tốc của m1, m2 ngay sau khi va chạm áp dụng định luật bảo toàn động lượng m1vo = m1v1 + m2v2 (1) BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 9 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com định luật bảo toàn động năng: Phone: 01689.996.187 1 1 1 m1v o 2 = m1v12 + m 2 v 2 2 2 2 2 [email protected] (2) theo đề bài m1= m2 nên từ (1) => vo = v1+ v2 (3) 2 2 2 từ (2) => vo = v1 + v2 (4) 2 Từ (3) và 4 => vo = (v1+ v2)2 = v12 + v22 => 2v1. v2 = 0 => v1 = 0 ; v2 = v0 = 0,316 (m/s) + Như vậy, sau va chạm, quả cầu m1 đứng yên, quả cầu m2 chuyển động với vận tốc bằng vận tốc của quả cầu m1 trước khi va chạm. + Độ nén cực đại của lò xo 1 1 k.∆l 2 = m 2 .v 2 2 → ∆l = 0,02 (m) = 2 (cm) 2 2 c) Chu kì dao động : khi m1 của con lắc đơn từ vị trí biên về vtcb đập vào vật m2 của con lắc lò xo dừng lại. vật m2 nén cực đại rồi quay lại vtcb đập vào m1 truyền toàn bộ năng lượng cho m1( bỏ qua mọi hao phí do tỏa nhiệt) m2 lại đứng yên, m1 lại chuyển động ra biên như vậy chu kỳ của hệ T = (T1 + T2) / 2 = (2 + 0,4)/2 = 1,4 (s) BÀI TOÁN 6 : SỰ THAY ĐỔI CHU KỲ CON LẮC ĐƠN KHI THAY ĐỔI ĐỘ CAO h, ĐỘ SÂU d * Phương pháp: Để tìm một số đại lượng liên quan đến sự phụ thuộc của chu kì dao động của con lắc đơn vào độ cao so với mặt đất và nhiệt độ của môi trường ta viết biểu thức liên quan đến các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm. Gia tốc trọng trường ở mặt đất: g = GM ; R: bán kính trái Đất R=6400km R2 1) Khi đưa con lắc lên độ cao h: Gia tốc trọng trường ở độ cao h: g h = GM g = . 2 h 2 (R + h) (1 + ) R ℓ (1) g Chu kỳ con lắc dao động đúng ở mặt đất: T1 = 2π Chu hỳ con lắc dao động sai ở độ cao h: T2 = 2π ⇒ T1 gh mà = T2 g ℓ (2) gh h gh 1 T 1 ⇒ 1 = ⇒ T2 = T1 (1 + ) = R g 1+ h T2 1 + h R R Khi đưa lên cao chu kỳ dao động tăng lên. 2) Khi đưa con lắc xuống độ sâu d: *ở độ sâu d: g d = g(1 - d ) R BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 10 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Chúng minh: Pd = Fhd Phone: 01689.996.187 4 m( π (R − d)3 .D) D: khối lượng riêng trái Đất ⇔ mg d = G 3 (R − d)2 4 ( π R 3 .D)(R − d)3 M(R − d)3 GM d ⇔ gd = G 3 = G = 2 .(1 − ) 2 3 2 3 (R − d) .R (R − d) .R R R ℓ *Chu kỳ con lắc dao động ở độ sâu d: T2 = 2π (3) gd ⇒ gd T1 = mà T2 g [email protected] gd d = 1− ⇒ T2 = g R T1 1- d R ≈ T1 (1 + ⇒ g d = g(1 - d ) R 1d ) 2R Khi đưa xuống độ sâu chu kỳ dao động tăng lên nhưng tăng ít hơn đưa lên độ cao *Xác định thời gian nhanh chậm của đồng hồ trong một ngày đêm. Một ngày đêm: t = 24h = 24.3600 = 86400s. Chu kỳ dao động đúng là: T1 chu kỳ dao động sai là T2 + Số dao động con lắc dao động đúng thực hiện trong một ngày đêm: N1 = + Số dao động con lắc dao động sai thực hiện trong một ngày đêm: N 2 = t T1 t T2 1 1 − | T2 T1 T + Thời gian chạy sai trong một ngày đêm là: ∆τ = T1.∆N = t | 1 − 1| T2 + Số dao đông sai trong một ngày đêm: ∆N =| N1 − N1 |= t | Nếu chu kỳ tăng con lắc dao động chậm lại Nếu chu kỳ giảm con lắc dao động nhanh lên * Khi đưa lên độ cao h con lắc dao động chậm trong một ngày là: ∆τ = t. h R * Khi đưa xuống độ sâu h con lắc dao động chậm trong một ngày là: Δτ = t. d 2R VÍ DỤ MINH HỌA: VD1. Trên mặt đất nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Một con lắc đơn dao động với chu kỳ T = 0,5 s. Tính chiều dài của con lắc. Nếu đem con lắc này lên độ cao 5 km thì nó dao động với chu kỳ bằng bao nhiêu (lấy đến 5 chử số thập phân). Cho bán kính Trái Đất là R = 6400 km. HD. Ta có: l = gT 2 R+h = 0,063 m; Th = T = 0,50039 s. 2 4π R VD2. Người ta đưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao h = 10 km. Phải giảm độ dài của nó đi bao nhiêu % để chu kì dao động của nó không thay đổi. Biết bán kính Trái Đất R= 6400 km. HD: Ta có: T = 2π l l' g' R 2 = 2π => l’ = l = ( ) l = 0,997l. g g' R+h g Vậy phải giảm độ dài của con lắc 0,003l, tức là 0,3% độ dài của nó. BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 11 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VD3. Một con lắc đồng hồ có thể coi là con lắc đơn. Đồng hồ chạy đúng ở mực ngang mặt biển. Khi đưa đồng hồ lên đỉnh núi cao 4000 m thì đồng hồ chạy nhanh hay chạy chậm và nhanh chậm bao lâu trong một ngày đêm? Biết bán kính Trái Đất R = 6400 km. Coi nhiệt độ không đổi. HD: R+h T = 1,000625T > T nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian chậm trong một R 86400(Th − T ) ngày đêm: ∆t = = 54 s. Th Ta có: Th = VD4: Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội. Đồng hồ sẽ chạy nhanh chậm thế nào khi đưa nó vào TPHCM. Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và TPHCM lần lượt là 9,7926 m/s2 9,7867 m/s2 . Bỏ qua sự ảnh hưởng của nhiệt độ. Để đồng hồ chỉ đúng giờ tại TPHCM thì phải đ/chỉnh độ dài con lắc như thế nào? HD. + Chu kì của con lắc đồng hồ tại Hà Nội là T1= 2 π. l = 2 (s) g1 + Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là T2 = 2 π. l g1 T1 g1 9,7926 = = ≈ 1,0003 T2 g2 9,7867 →T2= 1,0003T1 = 2,0006 (s) BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 12 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] + Vì T2>T=1 => tại TPHCM đồng hồ chạy chậm trong 1 ngày: T −T ∆t = 24.60.60. 1 2 = 26 (s) T1 + Để đồng hồ tại TPHCM cũng chỉ đúng => T1 = T'2 T'2 l' = 2 π. = T1 = 2 (s) g2 l' l l ' g1 ⇒ = ⇒ = g2 g2 l g2 l'= 1,0006 l cần tăng chiều dài dây lên một lượng là ∆l = l'- l = 0,0006.l Dễ thấy l =1m => ∆l = 0,0006(m) = 0,6 mm VẬN DỤNG: CÂU 16,17,38/ĐỀ 9 BÀI TOÁN 7 : SỰ THAY ĐỔI CHU KỲ CON LẮC ĐƠN KHI TĂNG GIẢM NHIỆT ĐỘ PHƯƠNG PHÁP: + dây treo làm bằng kim loại khi nhiệt độ thay đổi: Chiều dài biến đổi theo nhiệt độ : ℓ = ℓ 0 (1 + λ t). λ : là hệ số nở dài vì nhiệt của kim loại làm dây treo con lắc. ℓ 0 : chiều dài ở 00C Chu kỳ con lắc dao động đúng ở nhiệt độ t1(0C): T1 = 2π Chu kỳ con lắc dao động sai ở nhiệt độ t2(0C): T2 = 2π ℓ1 (1) g T ℓ ℓ2 (2) ⇒ 1 = 1 T2 ℓ2 g ℓ1 = ℓ 0 (1 + λ t1 ) ℓ 1 + λ t1 1 ⇒ 1 = ≈ 1 − λ (t 2 − t1 ) vì λ ≪ 1 ℓ2 1+ λt2 2 ℓ 2 = ℓ 0 (1 + λ t 2 ) Ta có:  T1 1 T1 1 ≈ 1 − λ (t 2 − t1 ) ⇒ T2 = ≈ T1 (1 + λ (t 2 − t1 )) 1 T2 2 2 1 − λ (t 2 − t1 ) 2 1 Vậy T2 = T1 (1 + λ(t 2 - t1 )) 2 ⇒ + khi nhiệt độ tăng thì chu kỳ dao động tăng lên + khi nhiệt độ giảm thì chu kỳ dao động giảm xuống BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 13 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 Chú ý: + khi đưa lên cao mà nhiệt độ thay đổi thì: [email protected] T1 1 h ≈ 1 - λ(t 2 - t 1 ) T2 2 R + khi đưa lên xuống độ sâu d mà nhiệt độ thay đổi thì: T1 1 d ≈ 1 - λ(t 2 - t 1 ) T2 2 2R * Thời gian chạy nhanh chậm khi nhiệt độ thay đổi trong một ngày đêm là: 1 Δτ = t λ | t 2 - t 1 | 2 * Thời gian chạy nhanh chậm tổng quát: Δτ = t | h 1 + λ(t 2 - t 1 ) | R 2 *VÍ DỤ MINH HỌA VD1. Một con lắc đơn dao động tại điểm A có nhiệt độ 25 0C và tại địa điểm B có nhiệt độ 10 0C với cùng một chu kì. Hỏi so với gia tốc trong trường tại A thì gia tốc trọng trường tại B tăng hay giảm bao nhiêu %? Cho hệ số nở dài của dây treo con lắc là α = 4.10-5 K-1. HD: Ta có: TA = 2π lA l (1 + α (t A − t B )) l = 2π B = TB = 2π B gA gA gB gB = gA(1 + α(tA – tB) = 1,0006gA. Vậy gia tốc trọng trường tại B tăng 0,06% so với gia tốc trọng trường tại A. VD2. Con lắc của một đồng hồ quả lắc được coi như một con lắc đơn. Khi ở trên mặt đất với nhiệt độ t = 27 0C thì đồng hồ chạy đúng. Hỏi khi đưa đồng hồ này lên độ cao 1 km so với mặt đất thì thì nhiệt độ phải là bao nhiêu để đồng hồ vẫn chạy đúng? Biết bán kính Trái đất là R = 6400 km và hệ sô nở dài của thanh treo con lắc là α = 1,5.10-5 K-1. HD: Để đồng hồ vẫn chạy đúng thì chu kỳ của con lắc ở độ cao h và ở trên mặt đất phải bằng nhau hay: 2π l (1 + α (t − th )) l = 2π g gh 1− th = t - gh g α 2  R  1−   = t -  R + h  = 6,2 0C. α VD3;. Quả lắc đồng hồ có thể xem là một con lắc đơn dao động tại một nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s2. Ở nhiệt độ 15 0C đồng hồ chạy đúng và chu kì dao động của con lắc là T = 2 s. Nếu nhiệt độ tăng lên đến 25 0C thì đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao lâu trong một ngày đêm. Cho hệ số nở dài của thanh treo con lắc α = 4.10-5 K-1. HD: Ta có: T’ = T 1 + α (t '−t ) = 1,0002T > T nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian chậm trong một ngày đêm là: ∆t = 86400(T '−T ) = 17,3 s. T' BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 14 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VD4: Tại một nơi nang bằng mực nước biển, ở nhiệt độ 100C, một đồng hồ quả lắc trong một ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ như 1 con lắc đơn thanh treo con lắc có hệ số nở dài λ = 2.10-5 K-1 1. Tại VT nói trên ở thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng giờ. 2. Đưa đồng hồ lên đỉnh núi, tại đó t0 là 60C, ta thấy đồng hồ chạy đúng giờ. Giải thích hiện tượng này và tính độ cao của đỉnh núi so với mực nước biển. Coi trái đất là hình cầu có bán kính R = 6400 km. HD. 1. Xác định nhiệt độ mà đồng hồ chỉ đúng giờ Giả sử đồng hồ chạy đúng ở t0 C với chu kì T = 2π l (1 + λt 1) l = 2π 0 g g Ở t1 = 1000, chu kì là T1= 2 π l 0 (1 + λt 1) g T 1 + λt 1 λ → 1= ≈ 1 + (t1- tx) T 1 + λt 2 (VT λt1 << 1; λt1 << 1) + Theo biên độ: đồng hồ chạy nhanh → T1 T giảm + Độ cao tăng dần tới gia tốc trọng trường giảm -> T tăng BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 15 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] Hai nguyên nhân đó bù trừ lẫn nhau -> đồng hồ chạy đúng ở độ cao h: gh = g( Kí hiệu: R 2 ) R+ h Th: Chu kì ở độ cao h th: t0ở độ cao h Độ biến thiên chu kì ∆th theo độ cao khi chiều dài con lắc không đổi (nếu coi t = th) Tn = T → ∆th= th - T = T lại có ∆Tt = t h λT (th- t) 2 h R (∆t1: độ biến thiên theo nhiệt độ) Vì con lắc đồng hồ chạy đúng nên → g h = 1+ gh R ∆tt + ∆th= 0 T h λ( t h − t ) + T = 0 2 R →h= λ(t − t h ).R 2 Thay số ta được h = 0,736 km = 736 m BÀI TOÁN 8: CON LẮC ĐƠN CHỊU TÁC DỤNG NGOẠI LỰC Phương pháp: Để tìm chu kì dao động của con lắc đơn khi con lắc đơn chịu thêm lực tác dụng ngoài trọng lực ta viết biểu thức tính chu kì của con lắc đơn theo gia tốc rơi tự do biểu kiến và so sánh với chu kì của con lắc đơn khi con lắc chỉ chịu tác dụng của trọng lực để suy ra chu kì cần tìm. * Các công thức: + Nếu ngoài lực căng của sợi dây và trọng lực, quả nặng của con lắc đơn còn chịu thêm tác → dụng của ngoại lực F không đổi thì ta có thể coi con lắc có trọng lực biểu kiến: → → → → → → F l P ' = P + F và gia tốc rơi tự do biểu kiến : g ' = g + . Khi đó: T’ = 2π . m g' Các trường hợp đặc biệt: * F có phương ngang: + Tại VTCB dây treo lệch với phương thẳng đứng một góc có: tan α = BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 16 F P CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] F m + g ' = g 2 + ( )2 F m F + Nếu F hướng xuống thì g ' = g + m F g'= g− + Nếu F hướng lên thì m * F có phương thẳng đứng thì g ' = g ± CÁC TRƯỜNG HỢP: 1) Khi F ↑↑ P (cùng hướng) F khi đó T2 T1: chu kỳ tăng m 3) Khi F ⊥ P (vuông góc) g hd = g + F g hd = g 2 +   m α0 F 2 khi đó T2 0 ⇒ α0 F ↑↑ E ; còn nếu q < 0 ⇒ F ↑↓ E ) * Lực đẩy Ácsimét: F = DgV ( F luông thẳng đứng hướng lên) F Trong đó: D là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất khí. g là gia tốc rơi tự do. O P V là thể tích của phần vật chìm trong chất lỏng hay chất khí đó. * Lực quán tính: F = −ma , độ lớn F = ma ( F ↑↓ a ) Lưu ý: + Chuyển động nhanh dần đều a ↑↑ v ( v có hướng chuyển động) + Chuyển động chậm dần đều a ↑↓ v BÀI TOÁN: con lắc khi gắn vào hệ chuyển động tịnh tiến với gia tốc a PHƯƠNG PHÁP - Khi con lắc gắn vào hệ chuyển động tính tiến với gia tốc a thì vật chịu tác dụng thêm của lực quán tính Fqt =-m a (ngược chiều với a ) Trọng lực hiệu dụng(trọng lực biểu kiến): Phd = Fqt + P ⇔ mg hd = mg − ma ⇒ g hd = g − a + khi hệ chuyển động nhanh dần đều thì a cùng chiều với v (chiều chuyển động) khi đó Fqt ngược chiều chuyển động + khi hệ chuyển động chậm dần đều thì a ngược chiều với v (chiều chuyển động) khi đó Fqt cùng chiều chuyển động 1) Khi Fqt ↑↑ P (cùng hướng) thì g hd = g + a khi đó T2 T1: chu kỳ tăng 3) Khi Fqt ⊥ P (vuông góc) thì g hd = g 2 + a 2 khi đó T2 0 nên Fd cùng hướng với E , tức là thẳng đứng xuống. Vậy khi CB, dây trheo vẫn có phương thẳng đứng. Ta có: P' = P + Fđ ⇒ mg'= mg + qE VTCB qE ⇒ g'= g + m + Chu kì dao động nhỏ của con lắc 1 1 π. = 2π qE g' g+ m T' = 2 Thay số P Fd 1 2,5.10 −4.10 −3 9,8 + 0,1 T' = 2.3,14. = 1,8 (s) b) Trường hợp E nằm ngang +) Ed có phương ⊥ với P Khi CB, dây treo lệch góc δ so với phương thẳng đứng, theo chiều của lực điện trường. Fd qE = tg δ = P mg δ T 2,5.10− 4.103 ≈ 0,255 0,1.9,8 → tg δ = + Fd → δ ~ 140 ' + Chu kì dao động của con lắc P P l π g' T'= 2 Từ hình vẽ: P g → g' = > ⊗g cosα P' = cosα BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 19 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN http://lophocthem.com π. Do đó: T’ = 2 Phone: 01689.996.187 [email protected] l cosδ = T0 cosδ g 0 → T'= T0 cosδ = 2 cos14 ≈ 1,97 (s) VD2. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 50 cm và vật nhỏ có khối lượng 0,01 kg mang điện tích q = + 5.10-6 C, được coi là điện tích điểm. Con lắc dao động điều hòa trong điện trường đều mà vectơ cường độ điện trường có độ lớn E = 104 V/m và hướng thẳng đứng xuống dưới. Lấy g = 10 m/s2, π = 3,14. Xác định chu kì dao động của con lắc. HD: → Vật nhỏ mang điện tích dương nên chịu tác dụng của lực điện trường F hướng từ trên xuống → (cùng chiều với véc tơ cường độ điện trường E ). → → → Vì F ↑↑ E ↑↑ P P’ = P + F gia tốc rơi tự do biểu kiến là g’ = g + Chu kì dao động của con lắc đơn trong điện trường là T’ = 2π |q|E = 15 m/s2. m l ≈ 1,15 s. g' VD3. Một con lắc đơn gồm quả cầu có khối lượng riêng D = 4.103 kg/m3. khi đặt trong không khí nó dao động với chu kì T = 1,5 s. Lấy g = 9,8 m/s2. Tính chu kì dao động của con lắc khi nó dao động trong nước. Biết khối lượng riêng của nước là Dn = 1 kg/l. HD: Ta có: Dn = 1 kg/l = 103 kg/m3. Ở trong nước quả cầu chịu tác dụng của một lực đẩy → Acsimet Fa hướng lên có độ lớn Fa = Dn.V.g = g- Dn g = 7,35 m/s2 D T’ = T Dn g nên sẽ có gia tốc rơi tự do biểu kiến g’ = D g = 1,73 s. g' VD4: Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T0, tại nơi ga = 10m/s2 . Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều trên đường ngang thì dây treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc α0 = 90 a) Hãy giải thích hiện tượng và tính gia tốc a của xe. b) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, hãy tính chu kì T của con lắc theo T0. Lời giải a) Giải thích hiện tượng: Trong HQC gắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng của con lắc đơn phải chịu 3 lực tác dụng. a + Trọng lực P = mg + Lực căng dây T + Lực quán tính F = −ma0 Khi con lắc ở VTCB P + T + Fq = 0 Fq 0 δ v0 + P F ' P ngược chiều với a0 nên ngược chiều với v 0 BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI HỌC VẬT LÝ 20 CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN