Tài liệu Chuyển động brown

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN-TIN ------------ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: Người hướng dẫn khoa học: Dr. Nguyễn Chí Long Người thực hiện : Nguyễn Thiện Phi TP HỒ CHÍ MINH− 2012 LỜI CẢM ƠN ----------Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo trong Khoa Toán-Tin Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM đã giảng dạy và tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Dr.Nguyễn Chí Long, người thầy đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận này. Đồng thời, em cũng xin cảm ơn Thư Viện Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, Thư Viện Tổng Hợp đã cung cấp nhiều tài liệu bổ ích cho em. Em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã ủng hộ và giúp đỡ em trong quá trình học tập và thời gian làm khóa luận này. Mặc dù em đã rất cố gắng nhưng do thời gian, kiến thức có hạn nên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự chỉ bảo đóng góp ý kiến từ quý thầy cô và bạn bè. Cuối cùng, em xin chúc quý thầy cô, cùng các bạn dồi dào sức khỏe và thành công trong sự nghiệp trồng người. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2012 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thiện Phi MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................................... 1 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁTRÌNH NGẪU NHIÊN ...................................................................... 3 1.1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT ........................................................................................ 3 1.1.1. Đại số và σ − đại số .............................................................................................. 3 1.1.2. Độ đo xác suất ...................................................................................................... 4 1.1.3. Định nghĩa không gian xác suất ........................................................................... 4 1.1.4. Biến ngẫu nhiên .................................................................................................... 4 1.1.5. Không gian xác suất đầy đủ ................................................................................. 4 1.16. Khái niệm hầu chắc chắn ...................................................................................... 4 1.1.7. Biến cố ngẫu nhiên độc lập .................................................................................. 5 1.2. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ................................................................................... 5 1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên ............................................................................................ 5 1.2.2. Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên ............................................................... 6 1.2.3. Quá trình ngẫu nhiên có số gia độc lập ............................................................... 7 1.2.4. Quá trình ngẫu nhiên dừng ................................................................................... 8 1.2.5. Quá trình đo được................................................................................................. 8 1.2.4. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc.......................................................... 8 1.2.6. Kỳ vọng có điều kiện đối với σ - trường ............................................................. 9 1.2.7. Xác suất có điều kiện ......................................................................................... 10 1.2.8. Quá trình Gauss .................................................................................................. 10 1.2.9. Quá trình Martingale .......................................................................................... 11 1.2.10. Quá trình Levy ................................................................................................. 12 1.2.11. Quá trình Markov ............................................................................................. 12 CHƯƠNG 2. CHUYỂN ĐỘNG BROWN .................................................................. 13 2.1. Định nghĩa ................................................................................................................ 13 2.2. Các phương pháp xây dựng một chuyển động Brown ........................................ 13 2.2.1. Sử dụng các hàm Haar ....................................................................................... 14 2.2.2. Khai triển Karhunen- Loeve ............................................................................... 16 2.3. Các đặc trưng của chuyển động Brown ................................................................ 17 2.3.1. Hàm mật độ ........................................................................................................ 17 2.3.2. Hiệp phương sai ................................................................................................ 18 2.4. Một số tính chất quan trọng của chuyển động Brown......................................... 19 2.5. Một số chuyển động Brown quan trọng ................................................................ 27 2.5.1. Chuyển động Brown bị phản xạ ......................................................................... 27 2.5.2. Chuyển động Brown với hệ số dịch chuyển ...................................................... 28 2.5.3. Chuyển động Brown hình học............................................................................ 31 2.5.4. Cầu Brown.......................................................................................................... 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 34 Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp LỜI NÓI ĐẦU Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown đã quan sát thấy một hiện tượng kỳ lạ của những hạt phấn hoa lơ lửng trong một cốc nước. Chúng liên tục lắc lư, chuyển động một cách ngẫu nhiên và dường như không bao giờ dừng lại ngay cả khi cốc nước được giữ yên gần như tuyệt đối. Năm 1928, Robert Brown giới thiệu mô hình chuyển động này. Mô hình chuyển động Brown cũng giống như nhiều chuyển động bất thường khác trong lĩnh vực vật lý, sinh học, tài chính, kinh tế… Năm 1905, Albert Einstein (1879-1955) giới thiệu mô hình chuyển động Brown từ quỹ đạo các nguyên tử với những cú sốc qua những tính toán xác suất thống kê và sử dụng thuyết động học phân tử. Và Einstein đã thành lập được mật độ Gauss. Nhà toán học Pháp Louis Bachelier (1870-1946) lần đầu tiên đã sử dụng chuyển động Brown như mô hình giá cổ phiếu trong luận án tiến sĩ của ông năm 1990. Người đầu tên xây dựng chặc chẽ chuyển động Brown (vào năm 1923) là Norbert Wiener (1894-1964). Ông đã đưa ra rất nhiều ứng dụng của chuyển động Brown trong lý thuyết truyền tín hiệu và truyền tin. Paul Levy (1886-1971) có nhiều đóng góp trong sự nghiên cứu các tính chất toán học của chuyển động Brown. Kyioshi Itô (1915-2008) đã đóng góp phát triển phép tính vi tích phân ngẫu nhiên trên nền tảng chuyển động Brown. Ứng dụng của chuyển động Brown trong việc nghiên cứu tài chính phải kể đến Samuelson (1915-2009), người đoạt giải Nobel kinh tế năm 1970, Fisher Black (1938-1995), Myron Scholes (1941- ) và Nobert Merton (1944- ) nhóm này đã nhận được giải Nobel kinh tế năm 1997. Chính vai trò của chuyển động Brown trong phép tính vi tích phân ngẫu nhiên và các ứng dụng rộng lớn trong nhiều ngành khoa học, đặc biệt là vai trò quan trọng trong nghiên cứu tài chính nên trong khóa luận này, em xin trình bày về “Chuyển động Brown”, nội dung khóa luận được chia làm hai chương: GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Khóa luận tốt nghiệp Chuyển động Brown Chương 1: Tóm tắt kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên Chương 2: Chuyển động Brown Trong đó, chương 1 là một số kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên phục vụ trực tiếp cho việc nghiên cứu chuyển động Brown. GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Để thuận tiện cho việc nghiên cứu về chuyển động Brown, trong chương này em xin trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên. 1.1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1.1. Đại số và σ − đại số a) Định nghĩa Cho tập hợp Ω và gọi P ( Ω ) là tập hợp tất cả các tập con của Ω , cho  .  ∈ P (Ω)   được gọi là một đại số nếu thỏa: i. Ω ∈  ii. ∀A ∈  ⇒ Ω \ A ∈  n iii. Nếu A1 , A2 ,..., An ∈  thì  Ai ∈  i =1   được gọi là một σ - đại số nếu nó thỏa i, ii của định nghĩa đại số và thay iii bởi +∞ điều kiện với mọi họ đếm được bất kỳ A1 , A2 ,..., An ,... ∈  thì  Ai ∈  . i =1  Nhận xét: Nếu  là một σ - đại số thì  cũng là một đại số. b) Tính chất i. Nếu  là một đại số thì ta có: n A1 , A2 ,..., An ∈  ⇒  Ai ∈  i =1 A, B ∈  ⇒ A \ B ∈  ii. Nếu  là một σ - đại số thì ta có: n A1 , A2 ,..., An ∈  ⇒  An ∈  i =1 GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp 1.1.2. Độ đo xác suất Một phép thử có không gian mẫu Ω ,  là một σ - đại số trên Ω . Khi đó ánh xạ P :  → [ 0;1] được gọi là một độ đo xác suất nếu thỏa: i. P ( Ω ) =1 ii. Với một dãy các sự kiện A1 , A2 ,..., An ,... Có Ai Aj = ∅ ( i ≠ j ) thì ∞  ∞ P   An  = ∑ P ( An )  n =1  n =1 1.1.3. Định nghĩa không gian xác suất Gọi Ω là không gian các biến cố sơ cấp của một phép thử ngẫu nhiên  là một σ − đại số trên Ω P là một độ đo xác suất xác định trên  Khi đó ( Ω ,  , P) là một không gian đo được và ta gọi là không gian xác suất. 1.1.4. Biến ngẫu nhiên Cho ( Ω ,  , P) là không gian xác suất. Ánh xạ X : Ω →  sao cho: X −1(−∞, x] ∈  , ∀x ∈ được gọi là biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên. Ví dụ: Tung một con súc sắc gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con súc sắc thì X là đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6. 1.1.5. Không gian xác suất đầy đủ ( Ω ,  , P) được gọi là KGXS đầy đủ nếu nó là KGXS với  chứa tất cả các tập có xác suất 0 (Tập M được gọi là tập có xác suất 0 nếu ∃A ∈  sao cho P= ( A) 0, M ⊂ A). 1.16. Khái niệm hầu chắc chắn Cho KGXS ( Ω ,  , P), hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là bằng nhau hầu chắc chắn (h. c. c) nếu ∃N ∈  sao cho P( N ) = 0 và X (ω ) = Y (ω ) với ω ∉ N . Khi đó ta viết X = Y (h.c.c ) . GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Một cách tổng quát, ta nói một tính chất nào đó xảy ra hầu chắc chắn trên Ω nếu nó xảy ra ở bên ngoài một tập có xác suất 0. Khi X = Y (h.c.c ) , ta nói X tương đương với Y và viết X  Y . 1.1.7. Biến cố ngẫu nhiên độc lập a) Định nghĩa Cho không gian xác suất ( Ω ,  , P), hai biến cố A, B ∈  được gọi là độc lập nhau nếu: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) . Hệ biến ngẫu nhiên A1 , A2 ,... An được gọi là độc lập với nhau nếu ∀1 ≤ k ≤ n và với bất kỳ sự lựa chọn chỉ số i1 , i2 ,...ik sao cho 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ ... ≤ ik ≤ n ta có:  k  k P  ∏ Ai j  = ∏ P Ai j =  j 1=  j1 ( ) b) Nhận xét Nếu A, B độc lập thì A và B c , Ac và B, Ac và B c cũng độc lập. 1.2. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Hầu hết các quá trình xảy ra trong tự nhiên và xã hội đều có tính chất ngẫu nhiên, khi họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian thì ta nói nó là một quá trình ngẫu nhiên. 1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên Xét không gian xác suất ( Ω ,  , P) và một tập hợp các chỉ số I ( vô hạn đếm được hay không đếm được). Ta xem I là một tập các chỉ số thời gian, I có thể là tập ,(−∞, +∞), (0, +∞) hay [0,T ]. Xét một họ các biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,  , P ) và lấy chỉ số trong I. { }t∈I gọi là quá trình ngẫu nhiên  Họ không đếm được các biến ngẫu nhiên X t với thời gian liên tục. { } gọi là quá trình ngẫu nhiên với  Họ đếm được các biến ngẫu nhiên X t t∈I thời gian rời rạc. GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Một cách tổng quát cho 2 không gian đo được (Ω, F ),( E,ξ ) và I là tập hợp các chỉ số.  Một quá trình ngẫu nhiên xác định trên Ω , lấy giá trị trong E là ánh xạ: X : I ×Ω → E đo được đối với độ đo tích trên I ×Ω Quá trình ngẫu nhiên X còn được viết  (Ω,  ) X (t, •), X (t ) hay {X t , t ∈ I } được gọi là không gian cơ sở của quá trình ngẫu nhiên và là không gian trạng thái. Với ω ∈Ω , thì {Xt ( ω )} t∈I t∈I , ( E ,ξ ) gọi X t là trạng thái tại thời điểm t. Nếu cố định gọi là quỹ đạo mẫu hay sự thể hiện hay hàm mẫu của quá trình ngẫu nhiên (liên kết với ω ). Qui ước Cho ( Ω ,  , P) là không gian xác suất và {X } là quá trình ngẫu nhiên xác t t∈I định trên Ω. Nếu " γ " là một tính chất nào đó của quỹ đạo mẫu ( chẳng hạn " γ " là liên { } có tục phải và có giới hạn trái với mọi t ∈ I ) thì ta nói quá trình ngẫu nhiên X t t∈I tính " γ " . Thí dụ: Một quá trình ngẫu nhiên dạng sin Cho là I = (−∞, +∞) xét không gian xác suất ( Ω ,  , P) trong đó Ω =[0,1],  σ − đại số Borel trên Ω và P là độ đo xác suất đều. Ta định nghĩa quá trình ngẫu nhiên {Xt }t∈I bằng quỹ đạo mẫu có dạng: = X t (ω ) ω sin(2π t ), t ∈ I . Quỹ đạo mẫu của quá trình ngẫu nhiên trên có dạng hình sin theo thời gian với biên độ ngẫu nhiên. 1.2.2. Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp a) { X t }t∈I Hàm được kỳ vọng của quá trình ngẫu nhiên mX (t ) ≡ E [= Xt ]: định nghĩa: +∞ ∫ xf −∞ Xt ( x)dx, t ∈ I b) Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈I được xác định bởi: = RX ( t1 , t2 ) E  X t1 X t2  , t1 , t2 ∈ I ρ X ( t1 , t2 ) = C X ( t1 , t2 ) C= RX ( tC t1 ,Et1)XCt1 X E( t2X, tt22) X ( t1 , t 2 ) 1 , tX2 )(− c) Hàm phương sai của quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈I được xác định bởi: d) Hệ số tương quan của quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈I là: 1.2.3. Quá trình ngẫu nhiên có số gia độc lập Xét quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈I lấy giá trị rời rạc. Với mọi số nguyên n , cố định các chỉ số t1 , t2 , t3 ,..., tn ∈ I sao cho t1 < t2 < t3 < ... < tn . Xét các số gia: Y0 := X t1 = Y1 : X t2 − X t1 Y= X t3 − X t2 2 :  Yn= X tn − X tn−1 −1 :  Quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈I được gọi là có số gia độc lập, nếu các biến ngẫu = Yk , k 0,1, 2.., n − 1 là các biến ngẫu nhiên độc lập với mọi n , mọi chỉ số tk . nhiên GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp 1.2.4. Quá trình ngẫu nhiên dừng Định nghĩa: Xét quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈I . Với bất kỳ số nguyên dương n , gọi t1 , t2 , t3 ,..., tn là một dãy chỉ số thời gian tăng. Ta nói quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈I là quá trình dừng nếu hàm phân phối đồng thời có tính chất sau: FX t X t 1 2 ... X tn ( x1 , x2 ,..., xn ) = FX t1 + s X t2 + s ... X tn + s ( x1 , x2 ,..., xn ) , Với ∀s sao cho tk + s ∈ I , ∀k . 1.2.5. Quá trình đo được Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên { X t }t ≥0 gọi là đo được nếu nó đo được đối với σ - trường tích  ⊗  , trong đó  là σ - trường các tập Borel trên R= + + + [0, +∞ ) . Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel trên  thì {( t , ω ) ∈ R+ × Ω : X t (ω ) ∈ B}∈  ×  + Đó là σ − trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng [0, t ] × A với t ∈  + , A ∈  Chú ý i. Mọi quá trình liên tục là đo được. ii. Nếu X là một quá trình đo được thì quỹ đạo của nó X t (ω ) đều là những hàm thực Borel trên  + . 1.2.4. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc a) Bộ lọc Một họ các σ - trường con ( t , t ≥ 0 ) của  , t ∈  được gọi là một bộ lọc nếu thỏa các điều kiện: i. Nếu s < t thì s ⊂ t ( họ tăng theo t). ii. t =  t + s ( họ liên tục phải). ε >0 iii. Nếu A∈  và P ( A ) = 0 thì A∈ 0 ( do đó A nằm trong mọi t ). GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp b) Bộ lọc tự nhiên X Cho quá trình ngẫu nhiên= { X t , t ≥ 0} . Xét σ - trường sinh bởi các biến ngẫu nhiên X s với s <= t : t X σ ( X s : s ≤ t ) . c) Quá trình thích nghi với bộ lọc Một không gian xác suất ( Ω,  , P ) gắn thêm vào một bộ lọc t gọi là một không gian xác suất được lọc và kí hiệu là ( Ω,  , ( t ) , P ) . Quá trình Y gọi là thích nghi với bộ lọc ( t , t ≥ 0 ) nếu với mọi t thì Y t đo được đối với σ - trường t . Nhận xét: i. Ta thấy mọi quá trình { X t , t ≥ 0} thích nghi với lịch sử ( t X , t ≥ 0 ) của nó. ii. Cho quá trình X = X (ω ) với lịch sử của nó là ( t X , t ≥ 0 ) . Một quá trình Yt (ω ) thích nghi với lịch sử ( t X , t ≥ 0 ) của X nếu và chỉ nếu Yt (ω ) có thể biểu diễn dưới dạng ( ) Yt (ω ) = f t X s1 (ω ) , X s2 (ω ) ,... , trong đó s 1 ,s 2 . . . là một dãy các phần tử của [ 0,t ] và f t là một hàm Borel trên R n . 1.2.6. Kỳ vọng có điều kiện đối với σ - trường Định nghĩa Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là tích phân của X đối với độ đo xác suất P: E ( X ) = ∫ XdP . Ω Đặc biệt: E ( Ι A ) = P ( A ) , trong đó I A là hàm chỉ tiêu của biến cố A: 1, ω ∈ A ΙA =  0, ω ∉ A Định nghĩa Cho ( Ω,  , P ) là một không gian xác suất, G là một σ - trường con của  và X là một biến ngẫu nhiên. GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp  Một biến ngẫu nhiên X* gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ - trường G nếu: i. X* là một biến ngẫu nhiên đo được đối với G. ii. Với mọi tập A ∈ G ta có ∫ A ( ) ( ) X *dP = ∫ XdP ( tức là E X *Ι A = E X I A ). A Kí hiệu : X * = E ( X | G )  Nếu chọn σ - trường G là trường σ (Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y nào đó thì kì vọng có điều kiện của X đối với σ (Y ) cũng được kí hiệu là E ( X | Y ) . Tính chất: Các mệnh đề dưới đây được hiểu theo nghĩa hầu chắc chắn (h. c. c). i. Nếu G là σ - trường tầm thường {φ , Ω} thì E ( X | G ) = EX . ii. Với hai biến ngẫu nhiên X và Y ta có E ( X + Y | G= ) E ( X | G ) + E (Y | G ) . iii. Nếu X là hàm đo được đối với G thì E ( XY | G ) = XE (Y | G ) E ( cY | G ) = cE (Y | G ) Đặc biệt, nếu c là hằng số thì iv. Nếu X độc lập đối với G thì E ( X | G ) = EX . 1.2.7. Xác suất có điều kiện a) Định nghĩa: Xác suất có điều kiện của biến cố A∈  đối với trường G là một biến cố ngẫu nhiên xác định bởi P ( A | G) = E ( IA | G) , b) Tính chất i. P ( Ω | G ) = 1 ( hầu chắc chắn – h. c. c). ii. ∀A ∈  thì P( A | G )= 1 − P ( A | G ) (h. c. c). ∞  ∞ iii. ∀A1 , A2 ,... ∈  rời nhau từng đôi một thì P   An  = ∑ P ( An | G ) .  n =1  n =1 1.2.8. Quá trình Gauss a) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ xác suất có dạng: − 1 f ( x) = e σ 2π GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long ( x − µ )2 2σ 2 SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Khi đó X có kỳ vọng µ và phương sai σ 2 . Kí hiệu: X  N ( µ , σ 2 ). b) Định nghĩa: Ánh xạ ϕ X :  →  xác định bởi: = ϕ X (t ) E= ( eitX ) E [cos(tX ) + iE sin(tX )] (với i 2 = −1 ) được gọi là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X. c) Nhận xét: Nếu X  N ( µ , σ ) thì E  e  = e 2 itX 1 i µt − σ 2t 2 2 1.2.9. Quá trình Martingale a) Định nghĩa: Một quá trình ngẫu nhiên= X ( X t , t ≥ 0 ) gọi là một martingale đối với bộ lọc t nếu: i. X thích nghi với bộ lọc t , tức là X t là t - đo được với mọi t. ii. X t khả tích với mọi t, tức là E X t < ∞, ∀t ≥ 0. iii. E ( X t | s ) = X s với mọi 0 ≤ s ≤ t . Chú ý: Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta quy ước ( t ) là bộ lọc tự nhiên của { X t }t∈I , tức là= t σ ( X s , s = ≤ t ) t X . Ví dụ: Các quá trình đối với số gia độc lập, khả tích Cho= X { X t , t ≥ 0} là một quá trình ngẫu nhiên khả tích và giả sử rằng: với mọi 0 ≤ s ≤ t thì X t – X s độc lập với t X ( tính chất có số gia độc lập với quá khứ). Khi đó X t là một mactingale đối với họ ( t X , t ≥ 0 ) . Thật vậy, với 0 ≤ s ≤ t ta có: E ( X t | s ) = E ( X s | s ) + E ( X t − X s | s ) = X s + 0 = X s . GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp 1.2.10. Quá trình Levy Một quá trình Lévy { X t , t ≥ 0} là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục thỏa mãn 4 điều kiện sau: i. X 0 = 0. ii. Có gia số độc lập: với 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn < ∞ bất kỳ thì bộ biến ngẫu nhiên độc lập. X t2 − X t1 , X t4 − X t3 ,..., X tn − X tn −là 1 iii. Có gia số dừng: phân bố xác suất của X t − X t chỉ phụ thuộc vào t2 − t1 . 2 1 iv. Là quá trình có giới hạn từ bên trái, và liên tục từ bên phải. 1.2.11. Quá trình Markov Định nghĩa: Giả sử (Ω,  , P ) một KGXS và {t }t≥0 là một lọc trong  . Khi đó {𝑋𝑡 }𝑡≥𝑜 là một quá trình Markov nếu: i. Quá trình {𝑋𝑡 }𝑡≥𝑜 thích nghi với bộ lọc {t }t≥0 ii. (Tính Markov): Với mọi 𝑡, 𝑠 ≥ 0. Với mọi 𝑢 ∈ ℝ mà 𝐸𝑒 𝑢𝑋𝑡+𝑠 < ∞, ta có: E  euBt + s | t  = E  euBt + s | X t  GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 2. CHUYỂN ĐỘNG BROWN 2.1. Định nghĩa Cho một quá trình= B { Bt , t ≥ 0} được xác định trên một không gian xác suất đủ ( Ω ,  , P) được gọi là một chuyển động Brown (Quá trình Wiener) xuất phát từ 0 với tham số phương sai σ 2 nếu nó là một quá trình Gauss thỏa các tính chất sau: i. B0 = 0 h.c.c. ii. Với mỗi cặp s, t ( s < t ) , Bt − Bs có phân phối chuẩn (Gauss) với trung bình 0 và phương sai là σ 2 ( t − s ) . iii. Có số gia độc lập, tức là Bt − Bt ,..., Bt − Bt là độc lập với t0 < t1 < ... < tn −1 < tn . n n−1 1 0 iv. Với hầu hết ω , các quỹ đạo t → Bt (ω ) là liên tục. Đặc biệt: • Nếu σ 2 = 1 thì= B { Bt , t ≥ 0} ta gọi là chuyển động Brown tiêu chuẩn. • Khi đó: −x 1 e 2t 2π t 2 + Hàm mật độ của= B { Bt , t ≥ 0} là f B ( x ) = t = + B {Bt , t ≥ 0}  N ( 0, t ) • Nếu B0 = x thì ta có chuyển động Brown xuất phát từ x. 2.2. Các phương pháp xây dựng một chuyển động Brown Có nhiều phương pháp xây dựng một chuyển động Brown. Ở đây ta nói tới hai phương pháp: Phương pháp sử dụng các hàm Haar và phương pháp khai triển Karhunen-Lòeve GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp 2.2.1. Sử dụng các hàm Haar - Các hàm Haar trên được xác định bởi: H1 (t= ) 1, 0 ≤ t ≤ 1 1   1, 0 ≤ t < 2 H 2 (t ) =   −1, 1 ≤ t ≤ 1  2  n2 − ( n +1)  2 , 0≤t<2  n H 2n +1 (t ) =  −2 2 , 2 − ( n +1) ≤ t ≤ 2 − n  −n  0, 2 < t ≤ 1  H 2n + j ( t ) = H 2n +1 (t − j −1 ), 2n j= 1,..., 2 n Các hàm H1 , H 2 ... tạo nên một hệ trực chuẩn đủ trên L2 [0,1] GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Đồ thị các hàm Haar H 1 , H 2 , H 3 , H 4 , H 5 , H 6 - Các hàm Schauder t Đó là tích phân của các hàm Haar Sk (t ) = ∫ H k ( s )ds . Chúng ta có thể chứng minh 0 rằng: 1 max S= (t )   n j 2 + 0 ≤t ≤1 2 Và n+2 2 , n ∈ , 0 ≤ j ≤ 2 n − 1 S 2n + j (t ).S 2n + k (t )= 0, 1 ≤ k < j ≤ 2n - Một kết quả của giải tích { } ; k 1,..., 2n . bn max a (2n + k )= Cho a ( j ), j = 1,2,... là một dãy số thực, và đặt= GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi Chuyển động Brown Khóa luận tốt nghiệp Người ta chứng minh được rằng: n ∞ 1 2 Nếu ∑ bn   < ∞ thì chuỗi 2 n =0 ∞ ∑ A(k )S (t ) hội tụ đều đến một hàm liên tục x(t). k k =1 - Chuyển động Brown Cho A1 , A2 ,..., Ak ,... là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập phân phối chuẩn N(0,1). Khi đó đặt = Bn max { Ak ;2n < k ≤ 2n +1} Như vậy, theo kết quả giải tích nói trên thì chuỗi ∞ ∑ A S (t ) xác định nên một k =1 ∞ k k n 1 2 hàm ngẫu nhiên liên tục, miễn là ∑ Bn   < ∞ . Trên thực tế điều đó h. c. c, tức là: 2 n =0 n ∞     1 2 P  ∑ Bn   < ∞  =1 2 n =0     ∞ Vậy ta có một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi: Bt = ∑ Ak Sk (t ). k =1 Người ta chứng minh được rằng chính là một chuyển động Brown tiêu chuẩn, với 0 ≤ t ≤ 1 . 2.2.2. Khai triển Karhunen- Loeve Người ta cũng chứng minh rằng mỗi chuyển động Brown {Bt ,0 ≤ t ≤ T } cũng có thể xây dựng nhờ công thức khai triển sau: ∞ Bt (ω ) = ∑ Z n (ω )φn (t ) , 0 ≤ t ≤ T n =0 Trong đó Z 0 , Z1 ,..., Z n ... là dãy các biến chuẩn N(0,1) và độc lập nào đó, còn là một dãy giảm các hàm tất định xác định bởi: φn (t ) 2 2π  (2n + 1)π t  = sin  , n 0,1, 2... (2n + 1)π  2T  GVHD: Dr. Nguyễn Chí Long SVTH: Nguyễn Thiện Phi