Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
………………………………………………………………………………………………………
Bài 1 :
Chuyên Đề Tiếp Tuyến
Dạng 1 : Viết Phương Trình Tiếp tuyến tại điểm M( x0 , y0 ) (C ) : y f ( x)
Cách giải :
* tính y ' f ' ( x ) ; tính k f ' ( x0 ) ( hệ số góc của tiếp tuyến )
* tiếp tuyến tại M có dạng : y k ( x x0 ) y0
Ví dụ 1:
Cho hàm số y x 3 3 x 2 2 x 5 (C ) . viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1
Bài giải :
Với x = 1 y - 4 M (1, 5) (C )
y ' 3x 2 6 x 2 y ' (1) 1 ; vậy tiếp tuyến tại M có dạng : y 1( x 1) 5 y x 4
Ví dụ 2 : (Dự bị D2006)
x3
cho hàm số y
(C ) . cho m M ( x0 , y0 ) (C ) . tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số
x 1
(C) tại hai điểm A, B . chứng minh rằng M là trung điểm AB .
bài giải:
x 3
4
4
M ( x0 , y0 ) (C ) yo 0
, y'
k
, tiếp tuyến tại M có dạng (d) :
2
x0 1
( x 1)
( x0 1)2
x0 3
x02 5 x0 3
4
4
4
y
( x x0 ) y0 y
( x x0 )
y
x
( x0 1)2
( x0 1) 2
x0 1
( x0 1) 2
( x0 1) 2
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 . suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :
x02 5 x0 3
4
x 1
y
x
x 7
2
2
)
( x0 1)
( x0 1)
x0 7 A (1, 0
y
x
1
0
x 1
x0 1
Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ :
x02 5 x0 3
4
x
x 2 x0 1
y
B (2 x0 1,1)
( x0 1)2
( x0 1)2
y 1
y 1
x A xB 1 2 x0 1
x0 xM
2
2
x 7
Nhận xét :
M là trung diem AB (đpcm)
1 0
y A yB
x0 1 x0 3
yM
2
x0 1
2
Ví dụ 3 : (D2005)
1
m
1
Cho hàm số y x 3 x 2
(Cm ) . cho M (Cm ) , biết rằng xM 1 , tìm m để tiếp tuyến tại M
3
2
3
song song với đường thẳng 5x - y = 0
Bài giải :
y ' x 2 mx hệ số góc tiếp tuyến tại M k y ' (1) 1 m , để tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x –
y = 0 k 1 m 5 m 4
http://chuyentoan.wordpress.com
Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
.c
o
m
Ví dụ 4 : (ĐH Thương Mại 2000)
Cho hàm số y x 3 3x 1 (C ) , và điểm A( x0 , y0 ) (C) , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại
điểm B khác điểm A . tìm hoành độ điểm B theo x0
Bài giải :
Vi điểm A( x0 , y0 ) (C) y0 x03 3x0 1 , y ' 3x 2 3 y ' ( x0 ) 3 x02 3
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng :
y y ' ( x0 )( x x0 ) y0 y (3x02 3)( x x0 ) x03 3 x0 1 y (3x02 3)( x x0 ) 2 x03 1 (d ) phương trình
hoành độ giao điểm của (d) và (C) :
x 3 3x 1 (3x02 3)( x x0 ) 2 x03 1 x 3 3 x02 x 2 x03 0 ( x x0 )2 ( x 2 x0 ) 0
h
s
( x x0 )2 0
x x0
( x0 0)
x
2
x
x
2
x
0
0
0
t
Vậy điểm B có hoành độ xB 2 x0
w
.v
ie
t
m
a
Dạng 2 : Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số y f ( x ) (C) khi biết trước hệ số góc của nó
Nếu hệ số góc của tiếp tuyến là k ta có thể lập tiếp tuyến bằng 2 cách sau
Cách 1 :
Tiếp tuyến (d) có dạng y kx m ( k đã biết )
f ( x ) kx m (1)
(d) tiếp xúc (C ) '
có nghiệm
f ( x ) k (2)
Từ phương trình 2 ta giải ra được x x0 ( hoành độ tiếp điểm ) thế vào (1) ta tìm được k tiếp
tuyến
Cách 2 :
Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm , giải phương trình f ' ( x0 ) k x x0 , y0 f ( x0 )
Đến đây trở về dạng một ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thi : y k ( x x0 ) y0
w
Khi sử lý các bài toán dạng này thông thường hệ số góc k cho ở dạng gián tiếp thông thường bài toán cho
tiếp tuyến song với đường thẳng : y k1 x m hệ số góc của tiếp tuyến k k1 . Nếu bài toán cho tiếp
1
tuyến vuông góc với đường thẳng : y k2 x m hệ số góc của tiếp tuyến k
(do k .k2 1) .
k2
Nếu bài toán cho tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) : y k ' x m một góc là , các em có thể dùng công
k k'
( tuy nhiên các em phải chứng minh khi sử dụng , xem cuốn: giúp trí
1 kk '
nhớ Toán học , Nguyễn Dương 2008)
Một số ví Dụ Điển Hình
Ví Dụ 1 : (ĐH Ngoại Ngữ 2001)
1
2
cho hàm số y x 3 x
, viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
3
3
1
2
y x (d )
3
3
http://chuyentoan.wordpress.com
Nha Trang 8/2009
w
thức sau để tìm k : tan
Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) tiếp tuyến có dạng : y 3x m
2
1 3
x x 3x m (1)
Điều kiện tiếp xúc : 3
có nghiệm
3
x 2 1 3 (2)
2
1 3
x 4x m
2
14
1 3
3
x 2, m
x 4x m
3
3
3
3
x2
2
x 4
x 2, m 6
x 2
14
14
Với m
tiếp tuyến có dạng y 3 x
3
3
Với m = 6 tiếp tuyến có dạnh y = 3x +6
Ví dụ 2 : (ĐH cảnh sát 1998)
x2 3x 3
Cho hàm số y
; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng :
x2
y = -3x +2
Bài giải :
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 2 tiếp tuyến có dạng y = -3x + m
x 2 3x 3
3
x
x 2 3 x m (1)
2
Điều kiện tiếp xúc 2
có nghiệm x 2 (2) 4 x 2 16 x 15 0
x 5
x 4 x 3 3 (2)
2
( x 2)
2
3
Với x m 3
tiếp tuyến có dạng : y 3 x 3
2
5
Với x m 11
tiếp tuyến có dạng : y 3x 11
2
Ví dụ 3 :
Cho hàm số y 3 x3 4 viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :
3 y x 6 0 một góc 300
Hướng dẫn giải:
1
1
x 2 3 có hệ số góc k1
(d) y
; tiếp tuyến có hệ số góc k2
3
3
k1 k2
dễ dàng tính được k2
1 k1k 2
Sau đó áp dụng dạng 2 lập tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc ta tìm được 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của
bài toán đó là :
11 3
11 3
(d1 ) : y 4 ; (d 2 ) : y 3x
; (d 2 ) : y 3 x
3
3
Ví dụ 4 : (ĐH Ngoại Thương 1998)
Cho hàm số y x 3 3x 2 9 x 5 (C ) . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc
nhỏ nhất
Áp dụng công thức (*) : tan 300
http://chuyentoan.wordpress.com
Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
TXĐ: D R
Ta có : y , 3 x 2 6 x 9 ; gọi M ( x0 , y0 ) (C ) hệ số góc tiếp tuyến của (C ) tại M :
k f ( x0 ) 3x02 6 x0 9
m
f ' ( x0 ) 6 x0 6 ; f ' ( x0 ) 0 x0 1 f (1) -12
Bảng biến thiên :
-
f’(x 0 )
-1
.c
o
x0
0
+
+
f(x)
s
-12
m
a
t
h
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f ( x0 ) 12 x0 1 , y0 16
Vậy tại điểm có M (1,16) thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị )
Cach khác :
Ta có : k f ( x0 ) 3x02 6 x0 9 3( x0 1) 2 12 12 min k 12, đạt được khi
x0 1 y0 12
Vậy tại điểm có M (1,16) thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị)
Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến biết nó đi qua một điểm cho trước
ie
t
Bài toán : cho hàm số : y f ( x ) và điểm A( x0 , y0 ) viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi
qua điểm A
Cách giải :
bước 1 : tiếp tuyến đi qua A( x0 , y0 ) có dạng : y k ( x x0 ) y0
w
.v
f ( x ) k ( x x0 ) y0 (1)
bước 2: điều kiện tiếp xúc '
có nghiệm
f
(
x
)
k
(2)
bước 3: giải hệ này ta tìm được k phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Một số ví Dụ Điển Hình
w
w
Ví dụ 1 : (ĐH Ngoại Thương 1999)
x2
Cho hàm số y
; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(6,5)
x2
Bài giải :
Tiếp tuyến đi qua A(6,5) có dạng : y k ( x 6) 5
x 2
x 2 k ( x 6) 5 (1)
Điều kiện tiếp xúc :
có nghiệm x 2
4 k (2)
( x 2)2
x 0
x2
4
( x 6) 5 x 2 6 x 0
2
x2
( x 2)
x 6
Với x = 0 k 1 tiếp tuyến có dạng : y x 1
http://chuyentoan.wordpress.com
Nha Trang 8/2009
Thế
(2) vào (1)
ta được :
Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
1
1
7
tiếp tuyến có dạng : y x
4
4
2
Như vậy ta kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán
Với x = 6 k
Ví dụ 2 : (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1998)
1
4 4
Cho hàm số : y x3 2 x 2 3x viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua A( , )
3
9 3
Bài giải :
4 4
Tiếp tuyến đi qua A có dạng : y k ( x )
9 3
1
4 4
3
2
x 2 x 3 x k ( x ) (1)
Điều kiện tiếp xúc : 3
có nghiệm
9 3
x 2 4 x 3 k (2)
Thay (2) vào (1) ta được :
x 0
1 3
4 4
8
2
2
3
2
x 2 x 3 x ( x 4 x 3)( x ) 3 x 11x 8 x 0 x
3
9 3
3
x 1
Với x = 0 k 3 tiếp tuyến có dạng : y 3 x
8
5
5
128
Với x = k tiếp tuyến là : y x
3
9
9
81
4
Với x = 1 k 0 tiếp tuyến có dạng : y =
3
Vậy từ A vẽ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
Ví dụ 3 : (dự bị B 2005)
x2 2 x 2
Cho hàm số : y
(C ) , chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điêm I
x 1
của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C )
Bài giải:
x2 2 x 2
1
y
x 1
tiệm cận đứng x = -1 ; tiệm cận xiên y = x +1 . gọi I là giao điểm của hai
x 1
x 1
đường tiệm cận trên I (1, 0)
Đường thẳng (d) qua I có dạng : y k ( x 1)
x2 2 x 2
x 1 k ( x 1)
(d) là tiếp tuyến của (C ) 2
x 2 x k (2)
( x 1) 2
(1)
có nghiệm x 1
x2 2 x 2 x 2 2 x
Thay (2) vào (1) ta được :
( x 1) 2 0 (vô nghiệm ) vậy từ I không kẻ được tiếp
x 1
( x 1)2
tuyến nào tới đồ thị hàm số (đpcm)
http://chuyentoan.wordpress.com
Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Dạng 4 :
Học
Một Số Bài Toán Nâng Cao Về Tiếp Tuyến Luyện Thi Đại
m
Một số ví dụ điển hình :
Ví dụ 1 : (D2007)
2x
(C ) tìm điểm M (C ) sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ
x 1
1
tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
4
Bài giải :
2 x0
2
M ( x0 , y0 ) (C ) y0
, y'
( x 1)2
x0 1
Tiếp tuyến tại M có dạng :
2 x0
2 x02
2
2
y y '( x0 )( x x0 ) y0 y
(
x
x
)
y
x
(d )
0
( x0 1) 2
x0 1
( x0 1) 2
( x0 1) 2
Gọi A (d ) ox tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :
t
h
s
.c
o
Cho hàm số y
x 0 2 x02
2 x02
B (0,
)
2
( x0 1)2
y ( x0 1)
ie
t
2 x02
2
y
x
( x0 1)2
( x0 1) 2
x 0
m
a
2 x02
2
y
x
x x02
2
2
A( x02 , 0)
( x0 1)
( x0 1)
y 0
y 0
Gọi B (d ) oy tọa độ điểm B là nghiệm của hệ :
w
.v
Tam giác OAB vuông tại O ; OA = x02 x02 ; OB =
Diện tích tam giác OAB : S =
2 x02
2 x02
( x0 1)2 ( x0 1) 2
1
OA.OB
2
w
1
2 x02 x0 1
2 x02 x0 1 0
x0 y0 2
1 2 x04
1
4
2
=
.
4 x0 ( x0 1) 2
2
2
2 ( x0 1)2 4
2 x0 x0 1 2 x0 1x0 1 (vn)
x
1
y0 1
0
1
Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : M 1 ( ; 2)
2
M 2 (1,1)
w
Vi Dụ 2 : (A2009)
;
x2
(1)
2x 3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt
tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ .
Cho hàm số y
http://chuyentoan.wordpress.com
Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Ví dụ 3 : (dự bị D 2007)
x
Cho hàm số y
(C ) ; viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C ) ; sao cho (d) cắt hai đường tiệm cận
x 1
của (C) tạo thành một tam giác cân
Ví dụ 4: (dự bị B2007)
m
(Cm ) tìm m để hàm số có cực đại tại A và tiếp tuyến của (Cm ) tại A cắt
2 x
trục oy tại B mà tam giác OAB vuông cân
Cho hàm số y x 1
Ví dụ 5: (học viện BCVT 1998)
Cho hàm số y x 3 12 x 12 (C ) . tìm trên đường thẳng y = - 4 những điểm mà từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến
phân biệt tới đò thị ( C)
Bài giải :
Điểm M nằm trên đường thẳng y = -4 nên M( m , - 4)
Tiếp tuyến qua M có dạng : y k ( x m) 4
3
x 12 x 12 k ( x m) 4 (1)
Điều kiện tiếp xúc : 2
có nghiệm
3 x 12 k (2)
Thế (2) vào (1) ta được :
x 3 12 x 12 (3 x 2 12)( x m) 4 x 3 12 x 16 (3x 2 12)( x m)
( x 2)( x 2 2 x 8) 3( x 2)( x 2)( x m) ( x 2) 2 x 2 (4 3m) x 8 6m 0
x 2
2
g ( x ) 2 x (4 3m) x 8 6m 0
Để từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt 2
m 4
2
2
(4 3m) 8(8 6m) 0
3m 8m 16 0
4
m
3
g (2) 24 12m 0
24 12m 0
m 2
4
Vậy M (m , -4) với m (, 4) ( , ) & m 2 là điểm cần tìm
3
Ví dụ 5 : ( học viện BCVT 199)
Cho hàm số y x3 3x 2 2 (C ) . Tìm cá điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp
tuyến với đồ thị hàm số (C )
Bài giải :
M ( x0 , y0 ) (C ) y0 x03 3x02 2
; y ' 3 x 2 6 x
Tiếp tuyến qua M : y k ( x x0 ) y0 k ( x x0 ) x03 3 x02 2
Điều kiện tiếp xúc :
3
2
3
2
x 3x 2 k ( x x0 ) x0 3 x0 2 (1)
2
3x 6 x k (2)
Thế (2) vào (1) ta được :
( có nghiệm )
Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
x 3 3x 2 2 (3 x 2 6 x )( x x0 ) x03 3 x02 2 2 x 3 3( x0 1) x 2 6 xx0 x03 3 x02 0 (1)
x x0
( x x )(2 x x0 3) 0
x 3 x0
2
Để từ M vẽ được 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình (2) phải có một nghiệm
3 x0
x0
x0 1 y0 0 vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : M ( 1, 0)
2
Lời bàn :
( vì tiếp tuyến có tọa độ tiếp điểm là M nên (1) luôn có nghiệm kép x x0 , dùng sơ đồ horney chia ra
ta được phương trình (2) thôi )
(2)
s
.c
o
m
2
0
a
t
h
Ví dụ 6 :
Cho hàm số : y x 3 3x (C ) . tìm trên đường thẳng : x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp
tuyến với đồ thị hàm (C )
Bài giải :
Điểm M đường thẳng x = 2 M (2, a)
Tiếp tuyến qua M có dạng : y k ( x 2) a
w
w
.v
ie
t
m
3
x 3 x k ( x 2) a (1)
Điều kiện tiếp xúc : 2
có nghiệm
3 x 3 k (2)
Thay (2) vào (1) ta được phương trình :
x3 3x (3 x 2 3)( x 2) a 2 x 3 6 x 2 6 x 6 a 0 a 2 x 3 6 x 2 6 (*)
Xét hàm số : f ( x ) 2 x 3 6 x 2 6 , TXĐ : D = R ; f '( x) 6 x 2 12 x
x 0
f '( x) 0 6 x 2 12 0
x 2
Bảng biến thiên:
x
0
2
y’
0
+
0
2
y
-6
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt . dựa vào
bảng biến thiên ta thấy (*) có 3 nghiệm phân biệt 6 a 2
w
Kết luận : vậy điểm M (2, a ) với a (6, 2) là điểm nằm trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được 3 tiếp
tuyến tới đồ thị hàm (C )
Ví dụ 7 : (ĐH Y dược TP HCM 1998 )
Cho hàm số y x 4 2 x 2 1 (C ) . tìm trên trục tung những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến
đến đồ thị hàm số (C)
Ví dụ 8 : (ĐH Sư Phạm TP HCM 2001 )
x2
Cho hàm số y
(C ) , cho điểm A ( 0 , a ) tìm a để từ A có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến
x2
(C) đồng thời 2 tiếp điểm nằm về trục ox
Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
Phương trình tiếp tuyến qua A có dạng : y = kx + a
x 2
x 1 kx a (1)
Điều kiện tiếp xúc :
có nghiệm x 1
3 k (2)
2
( x 1)
x2
3 x
a g ( x) (a 1) x 2 2(a 2) x a 2 ( x 1) (*)
Thay (2) vào (1) ta được :
x 1 ( x 1)2
Để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C ) thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 :
(a 2) 2 (a 1)(a 2) 3a 6 0
a 1
a 1 0
(**)
a
2
g (1) 3 0
Giả sử hai tiếp điểm lần lượt là : A( x1 , y1 ) ; B ( x2 , y2 ) là tọa độ hai tiếp điểm thì x1 , x2 là nghiệm của (*)
2(a 2)
x1 x2
x 2
x 2
a 1
Và y1 1
; y2 2
; áp dụng định lý Vi-et ta được :
x1 1
x2 1
x x a 2
1 2 a 1
( x 2) ( x2 2)
x x 2( x1 x2 ) 4
Để A, B nằm về 2 phía trục ox thì y y1 y2 0 1
.
0 1 2
0
( x1 1) ( x2 1)
x1 x2 ( x1 x2 ) 1
a2
2(a 2)
2.
4
2
a 1
a 1
0 3a 2 0 a
a2
2(a 2)
3
2.
1
a 1
a 1
2
Dối chiếu với điêu kiện (**) thì ta tìm được : a ; a 1
3
Lời bàn :
Nếu bài toán yêu cầu tìm a để từ a kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị , sao cho tiếp điểm nằm về 2 phía trục
oy thì chỉ cần phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 0 x2
Ví dụ 9 :
Cho hàm số : y x3 3x 2 2 (C ) . tìm trên đường thẳng : y = -2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ
thị hàm số (C ) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau ?
Hướng dẫn giải :
Diểm M đường thẳng : y = -2 M (m, 2)
Sau đó các em lập phương trình tiếp tuyến qua M , sử dụng điều kiện tiếp xúc ta đưa ra được phương trình
sau :
x 2
( x 2) 2 x 2 (3m 1) x 2 0
2
g ( x ) 2 x (3m 1) x 2 0
Với x = 2 thì tiếp tuyến : y = 2 ; không tìm được tiếp tuyến nào của (C ) vuông góc với đường thẳng trên
Vậy để từ M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
55
55
x1 , x2 2 và k1k2 1 làm tương tự như ví dụ trên ta tìm được m
M ( , 2)
27
27
Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Dạng 5 : Ý Nghĩa Hình Học của Tiếp Tuyến
m
( tham khảo thêm)
.c
o
Ta đã biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ
thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị, còn tại điểm uốn của đồ thị thì tiếp
tuyến xuyên qua nên ta có nhận xét sau
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Nhận xét: Nếu
tại điểm
( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm
. Đẳng thức xảy ra khi
hoặc
s
sao cho
và
. Cmr :
a
t
Bài toán 1: Cho
h
Bây giờ ta vận dụng nhận xét này để chứng minh một số bất đẳng thức
Trong đó
với
Ta có:
và
là:
đpcm
tại điểm
thì ta luôn phân tích được
. Cmr :
w
Bài toán 2 :Cho
tại điểm có hoành độ
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
w
Chú ý: Nếu
và Bđt cần chứng minh có dạng :
.Nên ta đánh giá f(x) và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
w
.v
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
ie
t
*Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy ra khi
m
Lời giải:
Lời giải : Ta thấy đẳng thức xảy ra khi
trong đó
và Bđt đã cho có dạng
với
Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương
093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ
Tiếp theo ta sẽ đánh giá
là:
. Thật vậy
điều này luôn đúng với mọi x và đẳng
thức xảy ra khi
. Vậy ta có:
Mặt khác :
đpcm
nên suy ra
Ta thấy rằng yếu tố quan trọng nhất để chúng ta có thể sử dụng phương pháp này là ta chuyển được Bđt về
dạng
hoặc
và
thỏa mãn điều
kiện nào đó.
Bài toán 3: Cho
.Cmr : Cmr:
a
b
c
9
2
2
2
(b c) (a c ) (a b)
4(a b c )
Lời giải: Vì nếu Bđt đúng với bộ số
thị cũng đúng với bộ số
.Khi đó Bđt đã cho trở thành
nên ta có thể giả sử
với
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ
là
Ta có:
đpcm
Suy ra :
Bài toán 4:Cho
.
a (b c )
b( a c )
c (b a )
6
2
2
2
2
2
a (b c) b (a c) c (b a )
5
2
Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao
ths. Ng Dương
093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
m
(Trích đề thi Olympic 30-4 Lớp 11 năm 2006)
Lời giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử
.c
o
Khi đó bđt đã cho trở thành:
s
Hay
với 0
- Xem thêm -
.PDF 
14 
203 
99 
