Mô tả:
TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG
TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
Chuyeân ñeà 13:
I. Baûng tính nguyeân haøm cô baûn:
Baûng 1
Haøm soá f(x)
a ( haèng soá)
x
1
x
ax
Baûng 2
Hoï nguyeân haøm F(x)+C
ax + C
x 1
C
1
Haøm soá f(x)
Hoï nguyeân haøm F(x)+C
(ax b )
ln x C
1
ax b
1 (ax b) 1
C
a
1
1
ln ax b C
a
ex
ax
C
ln a
ex C
sinx
-cosx + C
sin(ax+b)
cosx
Sinx + C
cos(ax+b)
1
cos2 x
tgx + C
1
cos (ax b)
1
cos(ax b) C
a
1
sin(ax b) C
a
1
tg(ax b) C
a
1
sin 2 x
-cotgx + C
1
sin (ax b)
1
cot g(ax b) C
a
u' ( x )
u( x )
ln u( x ) C
1
x a2
1
xa
ln
C
2a x a
tgx
ln cos x C
1
ln x x 2 a 2 C
2
2
2
2
x a
cotgx
1 ax b
e
C
a
eax b
2
ln sin x C
Phöông phaùp 1:
Phaân tích tích phaân ñaõ cho thaønh nhöõng tích phaân ñôn giaûn coù coâng thöùc trong baûng nguyeân
haøm cô baûn
Caùch phaân tích : Duøng bieán ñoåi ñaïi soá nhö muõ, luõy thöøa, caùc haèng ñaúng thöùc ... vaø bieán ñoåi
löôïng giaùc baèng caùc coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn.
Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
83
1
2x 5
2. f(x) 2
x 1 x
x 4x 3
Phöông phaùp 2: Söû duïng caùch vieát vi phaân hoùa trong tích phaân
tgx
1 ln x
5
dx
dx
Ví duï: Tính caùc tích phaân: 1. cos x sin xdx
2.
3.
cos x
x
I. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT TÍCH PHAÂN
1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân a; b . Giaû söû F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)
thì:
3
1. f ( x ) cos x
b
b
f ( x )dx F( x ) a F(b) F(a)
( Coâng thöùc NewTon - Leiptnitz)
a
2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân:
b
f ( x )dx 0
Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì :
a
b
a
a
b
f ( x )dx f ( x )dx
Tính chaát 2:
b
Tính chaát 3: Neáu f(x) = c khoâng ñoåi treân a; b thì: cdx c(b a)
a
Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân a; b vaø f ( x ) 0 thì
b
f ( x )dx 0
a
Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân a; b vaø f ( x ) g( x ) x a;b thì
b
b
a
a
f ( x )dx g( x )dx
Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân a; b vaø m f ( x ) M ( m,M laø hai haèng soá) thì
b
m(b a) f ( x )dx M (b a)
a
Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân a; b thì
b
b
b
a
a
a
f ( x ) g( x ) dx f ( x)dx g( x)dx
Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân a; b vaø k laø moät haèng soá thì
b
b
a
a
k. f ( x )dx k. f ( x )dx
Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân a; b vaø c laø moät haèng soá thì
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
84
Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân a; b cho tröôùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán soá ,
b
b
b
a
a
a
f ( x )dx f (t)dt f (u)du ...
nghóa laø :
Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau:
1
x
1
dx
1)
3
18
(2x 1)
0
1
3) x 1 xdx
0
1
0
1
4x 11
9
dx ln
2
x 5x 6
0
4
15
4)
1
0
2
3
2x 5
1 1
dx ln
5) 2
4 2
x 4x 4
0
6
x
1
dx
3
2x 1
2)
x3
9
dx = 3 ln 4
6) 2
4
x 2x 1
0
7)
2
4sin3 x = 2
1 cos xdx
0
9)
3
10) cos4 2xdx =
18
5
3 3
(sin 6 x cos6 x)dx = 48 64
11)
8)
4
2
1 sin 2x
cos2 x dx = 1+ ln2
0
0
2
1
1
2
dx = 1 ln
e 1
e 1
0
1 sin 2x cos 2x
sin x cos x dx = 1
12)
x
6
4
13) (cos 4 x sin 4 x) dx
0
2
4
1
2
1
cos 2 x
dx 4 ln 3
0 1 2 sin 2 x
14)
1
ln 3
6
1 5
cos x
dx 2 ln 3
0 5 2 sin x
1
dx
18)
2
8
1 x 2x 5
sin 3 x
dx
0 2 cos 3 x 1
0
4
1
dx ln
17)
2
9
2 x 2 x 3
15)
16)
Baøi 2:
3
1)
3
3
5)
0
4
x 1dx 12
2
2)
2 4dx
6)
2
5
4)
3) ( x 2 x 2 )dx
x 3x 2dx
2
2
1 cos 2xdx
7)
0
1 sin xdx
2
8) x x dx
2
0
0
Baøi 3:
1) Tìm caùc haèng soá A,B ñeå haøm soá f(x) A sin x B thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän
2
f (1) 2
'
vaø
f(x)dx 4
0
2
2) Tìm caùc giaù trò cuûa haèng soá a ñeå coù ñaúng thöùc :
[a
2
(4 4a)x 4x3 ]dx 12
0
II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ :
85
x2
1
2
3
1
x
2
1
2dx
x2
b
'
1) DAÏNG 1:Tính I = f[u(x)].u (x)dx baèng caùch ñaët t = u(x)
a
b
u (b )
a
u (a)
f u ( x ).u ' ( x ) dx f (t ) dt
Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1:
Caùch thöïc hieän:
Böôùc 1: Ñaët
t u ( x ) dt u ' ( x ) dx
Böôùc 2: Ñoåi caän :
x b t u (b)
x a t u (a)
Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc
b
u (b )
a
u (a)
I f u ( x ).u ' ( x ) dx f (t ) dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi)
Tính caùc tích phaân sau:
2
1) cos x sin xdx
3
2
0
2
5) sin 2x(1 sin 2 x)3dx
0
1 ln 2 x
dx
9)
x
1
0
4
e
1
6)
cos4 xdx
0
7)
5
14)
0
1
6
cos x
11)
6 5sin x sin 2 xdx
0
3 6
2
1 ln x
dx
x
dx
x
x
3
ln 3 e 2e
ln 5
sin 2 x
cos 2 x 4 sin 2 x
dx 15)
2
sin 2 x
dx
2
0 ( 2 sin x )
sin x cos x
1 sin 2 x
(e
0
2) cos xdx
0
13) cos x sin x dx
3 sin 2 x
0
4
2
3) sin 4x dx
1 cos2 x
0
10) x (1 x ) dx
4
4
5
1
e
2
2
dx
20)
1 3 cos x
0
2
sin x
4
18) (1 tg 8 x ) dx
cos x) cos xdx 23) 1 1
x
x 1
3
1 x 2 dx
0
8)
4
1
cos xdx
0
3
12)
0
tg 4 x
dx
cos 2x
16)
19)
0
4
sin 2 x sin x
4) x
ln(tgx )
dx
17)
sin 2 x
3
2
1
dx
2
21) sin 2 x cos x dx
0
e
dx
24)
1
4
1 2 sin 2 x
dx
0 1 sin 2 x
86
1 cos x
1 3 ln x ln x
dx
x
22)
25)
b
2) DAÏNG 2: Tính I = f(x)dx baèng caùch ñaët x = (t)
a
b
a
I f ( x )dx f (t ) ' (t ) dt
Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2:
Caùch thöïc hieän:
Böôùc 1: Ñaët
x (t ) dx ' (t ) dt
Böôùc 2: Ñoåi caän :
xb t
x a t
Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc
b
a
I f ( x)dx f (t ) ' (t ) dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi)
Tính caùc tích phaân sau:
1
1)
1 x 2 dx
0
1
x
dx
5) 4
x x2 1
0
2
3
9)
x
2
2
13)
0
dx
x2 1
cos x
dx
7 cos 2 x
dx
0
1 1 3x
1
1
dx
2)
1 x2
0
3)
1
6)
1 cos x sin x dx
0
10)
1
7)
11)
2
2
15)
0
1
dx
x x 1
0
4)
2
2
x2
2
2
8) x 4 x dx
dx
1
2
1 x
(1 x )
5
1
dx
1 x2
0
1 x4
dx
14)
1 x6
0
1
4 x2
0
1
2
1
9 3x 2
dx
x2
18)
1
0
2
3
1
1
17)
1
dx
cos x
1 cos x
2
12)
2
3
1
x x2 1
dx
dx
1 x 2x 2
0
dx
16)
2
x x 1
dx
x5
II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN:
Tính caùc tích phaân sau:
8
1)
1
3 x x 1
5)
7
3
0
2
dx
x 1
dx
3
3x 1
7
2)
0
x3
3
1 x
2
3
dx
3)
x
ln 2
5
1 x dx
2
2
3
6) x x 1dx
7)
0
2 3
5
dx
x x2 4
III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN:
Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn:
87
0
0
2
4)
1
e 2
x
dx
b
b
u ( x ).v ' ( x )dx u ( x ).v ( x ) a v ( x ).u ' ( x ) dx
b
a
a
b
b
udv u.v a vdu
Hay:
b
a
a
Caùch thöïc hieän:
Böôùc 1: Ñaët
u u ( x)
du u' ( x)dx
dv v' ( x)dx v v( x)
b
b
Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn : udv u.v a vdu
b
a
Böôùc 3: Tính u.v a
b
a
b
vaø vdu
a
Tính caùc tích phaân sau:
2
2
ln x
1) 5 dx
x
1
2
4)
sin
1
x
3) e sin xdx
2) x cos xdx
2
0
0
e
2
5) x ln xdx
xdx
6)
1
0
7) x sin x cos xdx
2
0
4
8) x(2 cos x 1)dx
9)
2
11) (x ln x) dx
2x
0
e
ln x
13) ( x 1)
1
e
1
2
12) cos x.ln(1 cos x)dx
1
0
1
dx
1
2
14) xtg xdx
15) ( x 2)e
16) x ln(1 x ) dx
0
e
17)
1
2x
0
0
2
ln(1 x)
dx
x2
1
2
e
10) (x 1) e dx
2
x sin x
dx
cos2 x
0
2
2
0
1
3
ln x
x
dx
18)
2
3
( x cos x) sin xdx
0
2
19) ( 2 x 7) ln( x 1) dx
0
3
20) ln( x x ) dx
2
2
MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN TÍCH PHAÂN QUAN TROÏNG VAØ ÖÙNG DUÏNG
88
dx
a
f(x)dx 0
Baøi 1: 1) CMR neáu f(x) leû vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì :
a
a
a
2) CMR neáu f(x) chaün vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì :
a
0
f(x)dx 2 f(x)dx
Baøi 2: 1) CMR neáu f(t) laø moät haøm soá lieân tuïc treân ñoïan [0,1] thì:
2
2
0
0
a) f(sin x)dx f(cos x)dx
b) xf(sin x)dx
0
f(sin x)dx
2
0
AÙP DUÏNG: Tính caùc tích phaân sau:
1)
2
cos x
cosn x sinn xdx
0
n
vôùi n Z+
2)
2
cos x
cos4 x sin4 xdx
0
4
2
5
4) x sin xdx
5)
0
x sin x
dx
7)
4 cos2 x
0
8)
2
3)
4
sin 6 x
sin6 x cos6 xdx
0
1
x 4 sin x
dx
6)
x2 1
1
x cosx
dx
4 sin2 x
x cos
2
x sin3 xdx
0
f ( x)
dx f ( x )dx
Baøi 3:CMR neáu f(x) lieân tuïc vaø chaün treân R thì x
a 1
0
AÙP DUÏNG : Tính caùc tích phaân sau:
1
x4
dx
1) x
2)
2 1
1
1
1
vôùi R + vaø a > 0 ; a 1
sin 2 x
dx
3) x
3 1
1 x2
dx
1 2x
IV .ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG:
Coâng thöùc:
(C1 ) : y f ( x)
(C ) : y g ( x) y
(H ) : 2
1 : x a
2 : x b
O
xa
(H )
a
xb
(C1 ) : y f ( x)
y
b
(C 2 ) : y g ( x)
b
a
x
O
(C1 ) : x f ( y)
(C ) : x g ( y)
(C 2 ) : x g ( y ) ( H ) : 2
1 : y a
yb
2 : y b
(H )
ya
x
(C1 ) : x f ( y )
89
b
b
S f ( x ) g ( x ) dx
a
yC1
S f ( y ) g ( y ) dy
y C2
xC1
a
x
C2
Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau:
y x 2 4x 3
2) (H2) :
y x 3
4)
7)
y 2 2y x 0
10) (H10):
x y 0
y2 x 5 0
6) (H6):
x y 3 0
y x 2 2x
8) (H8) :
2
y x 4x
y x 2
(H4):
2
x y
ln x
y 2 x
(H7): y 0
x e
x 1
3x 1
y x 1
3) (H3): y 0
x 0
y x
5) (H5):
2
y 2 x
x2
y 4
4
1) (H1):
2
y x
4 2
3
3
2
y x x
2
2
9) (H9):
y x
11)
(C ) : y x
(d ) : y 2 x
(Ox)
12)
(C ) : y e x
(d ) : y 2
() : x 1
V. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY.
Coâng thöùc:
y
xa
O
a
y0
b
y
xb
(C ) : y f ( x)
b
b
x0
yb
(C ) : x f ( y )
ya
a
x
x
O
2
b
2
V f ( y ) dy
V f ( x ) dx
a
a
90
Baøi 1: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox
Baøi 2: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y x; y 2 x; y 0
Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Oy
2
Baøi 3: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : y (x 2) vaø y = 4
Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh:
a) Truïc Ox
b) Truïc Oy
2
2
Baøi 4: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : y 4 x ; y x 2 .
Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox
1
x2
Baøi 5: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y 2 ; y
x 1
2
Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân do D quay quanh truïc Ox
------------------------------Heát-------------------------------
91
- Xem thêm -
.DOC 
9 
75 
77 
