CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP
:………………………………………………………………….
TRƯỜNG
:…………………………………………………………………
HÀ NỘI, 8/2013
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ α
Cơ số a
Luỹ thừa a α
α = n ∈ N*
a∈R
a α = a n = a.a......a (n thừa số a)
α=0
a≠0
aα = a0 = 1
α = −n ( n ∈ N * )
a≠0
a α = a −n =
m
an
m
(m ∈ Z , n ∈ N * )
n
a>0
a =
α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N * )
a>0
a α = lim a n
α=
α
1
an
n
= a m (n a = b ⇔ b n = a )
r
2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
α
β
a .a = a
α +β
aα
;
aβ
=a
α −β
;
α β
(a ) = a
α. β
;
α
α
(ab) = a .b
α
;
a α a α
= α
b
b
• a > 1 : aα > aβ ⇔ α > β ; 0 < a < 1 : aα > aβ ⇔ α < β
• Với 0 < a < b ta có:
a m < bm ⇔ m > 0 ;
Chú ý:
a m > bm ⇔ m < 0
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho bn = a .
• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có:
n
n
n
ab = a . b ;
Neáu
p
q
=
thì
n
m
n
n
n
a
a
=
(b > 0) ;
n
b
b
ap =
m
n
p
a p = (n a ) (a > 0) ;
a q (a > 0) ; Đặc biệt n a =
mn
m n
a = mn a
am
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 1
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a < n b .
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a < n b .
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:
C = A(1 + r )N
VẤN ĐỀ II: LOGARIT
1. Định nghĩa
• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: loga b = α ⇔ a α = b
a > 0, a ≠ 1
Chú ý: loga b có nghĩa khi
b > 0
• Logarit thập phân:
lg b = log b = log10 b
n
1
• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b (với e = lim 1 + ≈ 2,718281 )
n
2. Tính chất
• loga 1 = 0 ;
loga a = 1 ;
loga a b = b ;
a
loga b
= b (b > 0)
• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì loga b > loga c ⇔ b > c
+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:
• loga (bc) = loga b + loga c
b
• loga = loga b − loga c
c
• loga b α = α loga b
4. Đổi cơ số
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 2
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:
• logb c =
loga c
• loga b =
1
logb a
loga b
hay loga b.logb c = loga c
1
log c (α ≠ 0)
α a
• log α c =
a
Bài tập cơ bản
HT 1: Thực hiện các phép tính sau:
1) log2 4.log 1 2
1
.log27 9
25
2) log5
4
4) 4
7)
log2 3
+9
log
3
2
5) log
log 3 a.log 4 a 1/3
a
a
7
2 2
3) loga
8
6) 27
log 9 2
a
+4
log 8 27
2 log3 2 + 4 log81 5
8) log3 6.log8 9.log6 2
log 1 a
3
9) 9
a
log3 5
10) 81
13) 9
1
log6 3
+ 27
+4
log9 36
+3
4 log9 7
1
log8 2
11) 25
log5 6
+ 49
1+ log9 4
14) 3
HT 2: So sánh các cặp số sau:
1
1) log 3 4 vaø log 4
3
+4
log7 8
2−log2 3
12) 5
+5
log125 27
2) log0,1 3 2 vaø log0,2 0, 34
3−2 log5 4
15) log
3) log 3
4
1
1
4) log 1
vaø log 1
80
3
2 15 + 2
6) 2
5) log13 150 vaø log17 290
6
3.log 3 36
2
3
vaø log 5
5
4
log6 3
2
vaø 3
log6
1
2
HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
1)Cho log2 14 = a . Tính log49 32 theo a.
2)Cho log15 3 = a . Tính log25 15 theo a.
3)Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ;
1
log81 100
.
4)Cho log7 2 = a . Tính log 1 28 theo a.
2
HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
49
theo a, b.
1)Cho log25 7 = a ; log2 5 = b . Tính log 3
5 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 3
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
2)Cho log30 3 = a ; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b.
3)Cho log14 7 = a ; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b.
4)Cho log2 3 = a ; log3 5 = b ; log7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c.
VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Khái niệm
1)Hàm số luỹ thừa y = x α (α là hằng số)
Số mũ α
Hàm số y = x α
Tập xác định D
α = n (n nguyên dương)
y = xn
D=R
α = n (n nguyên âm hoặc n = 0)
y = xn
D = R \ {0}
α là số thực không nguyên
y = xα
D = (0; +∞)
Chú ý: Hàm số y =
1
n
x
không đồng nhất với hàm số y = n x (n ∈ N *) .
2)Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1).
• Tập xác định:
D = R.
• Tập giá trị:
T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Đồ thị:
y
1
a>1
y=ax
y
y=ax
1
x
x
0
0, a ≠ 1)
• Tập xác định:
D = (0; +∞).
• Tập giá trị:
T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
• Đồ thị:
y
y
x
1
x
1
O
y=logax
y=logax
O
01
2. Giới hạn đặc biệt
•
1
x
lim(1 + x )
x →0
x
1
= lim 1 + = e
x →±∞
x
ex − 1
=1
x →0
x
ln(1 + x )
• lim
=1
x →0
x
• lim
3. Đạo hàm
•
(x α )′ = αx α−1 (x > 0) ;
(u α )′ = αu α−1.u ′
( n x )′ =
vôùi x > 0 neáu n chaün
vôùi x ≠ 0 neáu n leû .
Chú ý:
•
•
1
n
n x n−1
(a x )′ = a x ln a ;
(a u )′ = a u ln a.u ′
(e x )′ = e x ;
(e u )′ = e u .u ′
(loga x )′ = x ln1 a ;
(loga u )′ = u uln′ a
(ln x )′ = 1 (x > 0);
(ln u )′ = u ′
x
(n u )′ =
u′
n
n u n −1
u
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 5
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 6
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
Bài tập cơ bản
HT 5: Tính các giới hạn sau:
x x
1) lim
x →+∞ 1 + x
3x − 4
4) lim
x →+∞ 3x + 2
1
2) lim 1 +
x →+∞
x
x +1
3
x +1
x
x + 1 x
5) lim
x →+∞ 2x − 1
e 2x − 1
x →0
3x
ln x − 1
x →e x − e
x + 12x −1
3) lim
x →+∞ x − 2
2x + 1x
6) lim
x →+∞ x − 1
ex − e
x →1 x − 1
7) lim
8) lim
i) lim
e x − e −x
k) lim
x → 0 sin x
e sin 2x − e sin x
l) lim
x →0
x
m)
lim x (e
)
1
x
−1
x →+∞
HT 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
x +1
x −1
1) y = x 2 + x + 1
2) y =
4) y = 3 sin(2x + 1)
5) y = cot 1 + x 2
7) y = 3 sin
4
3) y =
3
x +3
4
8) y =
11
5
9 + 6 x9
6) y =
9) y =
5
x2 + x − 2
x2 + 1
1 − 3 2x
1 + 3 2x
4
x2 + x + 1
x2 − x + 1
HT 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2) y = (x 2 + 2x )e −x
1) y = (x 2 − 2x + 2)e x
4) y = e
2x +x 2
x
7) y = 2 .e
5) y = x .e
cos x
8) y =
1
x− x
3
3x
2
x −x +1
3) y = e −2x .sin x
6) y =
e 2x + e x
e 2x − e x
i) y = cos x .e cot x
HT 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = ln(2x 2 + x + 3)
2) y = log2 (cos x )
3) y = e x .ln(cos x )
4) y = (2x − 1)ln(3x 2 + x )
5) y = log 1 (x 3 − cos x )
6) y = log3 (cos x )
2
7) y =
ln(2x + 1)
8) y =
2x + 1
ln(2x + 1)
x +1
9) y = ln (x + 1 + x 2 )
HT 9: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
1) y = x .e
−
x2
2 ;
xy ′ = (1 − x 2 )y
2) y = (x + 1)e x ; y ′ − y = e x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 7
GV.Lưu Huy Thưởng
3) y = e 4x + 2e −x ;
0968.393.899
y ′′′ − 13y ′ − 12y = 0
5) y = e−x .sin x ;
y ′′ + 2y ′ + 2y = 0
4) y = a.e −x + b.e −2x ; y ′′ + 3y ′ + 2y = 0
6) y = e −x .cos x ; y
( 4)
+ 4y = 0
HT 10: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
1
1
;
; xy′ = y y ln x − 1
xy ′ + 1 = ey
2) y =
1) y = ln
1 + x
1 + x + ln x
3) y = sin(ln x ) + cos(ln x ); y + xy ′ + x 2y ′′ = 0
4) y =
1 + ln x
; 2x 2y ′ = (x 2y 2 + 1)
x (1 − ln x )
HT 11: Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:
1) f '(x ) = 2 f (x ); f (x ) = e x (x 2 + 3x + 1)
2) f '(x ) +
1
f (x ) = 0;
x
f (x ) = x 3 ln x
3) f '(x ) = 0; f (x ) = e 2x −1 + 2.e1−2x + 7x − 5
VẤN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Với a > 0, a ≠ 1 :
1. Phương trình mũ cơ bản:
b > 0
a x = b ⇔
x = loga b
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
1) Đưa về cùng cơ số:
Với a > 0, a ≠ 1 :
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:
a f (x ) = a g (x ) ⇔ f (x ) = g(x )
a M = a N ⇔ (a − 1)(M − N ) = 0
a f (x ) = b g (x ) ⇔ f (x ) = (loga b ).g (x )
2) Logarit hoá:
3) Đặt ẩn phụ:
• Dạng 1:
t = a f (x ), t > 0
P (a f (x )) = 0 ⇔
, trong đó P(t) là đa thức theo t.
P (t ) = 0
• Dạng 2:
αa 2 f (x ) + β(ab)f (x ) + γb 2 f (x ) = 0
Chia 2 vế cho b
2 f (x )
a f (x )
, rồi đặt ẩn phụ t =
b
• Dạng 3: a f (x ) + b f (x ) = m , với ab = 1 . Đặt t = a f (x ) ⇒ b f (x ) =
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
1
t
Page 8
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
• Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).
• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:
f (x ) ñoàng bieán vaø g(x ) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët).
f (x ) ñôn ñieäu vaø g(x ) = c haèng soá
• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v) ⇔ u = v
5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A = 0
• Phương trình tích A.B = 0 ⇔
B = 0
A = 0
• Phương trình A2 + B 2 = 0 ⇔
B = 0
6) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
f (x ) ≥ M
Nếu ta chứng minh được:
g(x ) ≤ M
thì
f (x ) = M
(1) ⇔
g(x ) = M
Bài tập cơ bản
HT 12: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
2x
2) (3 − 2 2 )
1) 9 3x −1 = 38x −2
3) 4x
2
−3x +2
5) 2x
2
−1
1 x
7)
2
2
+ 4x
+ 2x
2
+2
2
+ 6x + 5
= 42x
2
= 3x + 3x
2
2
+ 3x +7
+1
−1
11)
=
x 2 +4
= 25
1 x +7 1 1−2x
=2
8) .
2
2
4− 3x
9) 3x .2x +1 = 72
x +10
16 x −10
4) 52x − 7x − 52x .35 + 7x .35 = 0
x−
6) 5
−2
=2
= 3+2 2
10) 5x +1 + 6. 5x – 3. 5x −1 = 52
x +5
x
0,125.8 −15
12) (
x −1
5 + 2)
=(
x −1
5 − 2)x +1
HT 13: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
2 4x +1 1 3x +2
1)
=
5
7
x
4) 3
x
x
+
.8 2
=6
x
2) 5
2x −1
.2 x +1
= 50
5) 4.9x −1 = 3 22x +1
x
3) 3
6) 2x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
3x
x
.2 +2
2
−2x
=6
.3x = 1, 5
Page 9
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
2
x
2
x
8) 23 = 32
7) 5x .3x = 1
9) 3x .2x = 1
HT 14: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
1) 4x + 2x +1 − 8 = 0
2) 4x +1 − 6.2x +1 + 8 = 0
5) 49x + 7x +1 − 8 = 0
4) 16x − 17.4x + 16 = 0
x
x
7) (7 + 4 3 ) + (2 + 3 ) = 6
10) 32x
2
+2x +1
2
− 28.3x
+x
2
8) 4cos 2x + 4cos
11) 4x
+9 = 0
2
+2
+ 31+
x
6) 2x
+2
−x
2
− 22+x −x = 3.
9) 32x +5 − 36.3x +1 + 9 = 0
=3
2
2
+ 8 = 0 12) 3.52x −1 − 2.5x −1 = 0,2
2) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0
3) 3.4x + (3x − 10).2x + 3 − x = 0
x
x
− 9.2x
HT 15: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
1) 25x − 2(3 − x ).5x + 2x − 7 = 0
5) 4x 2 + x .3
3) 34x +8 − 4.32x +5 + 27 = 0
4) 9x + 2(x − 2).3x + 2x − 5 = 0
6) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0
= 2.3 x .x 2 + 2x + 6
7) 4x +(x – 8)2x +12 – 2x = 0
8) (x + 4).9x − (x + 5).3x + 1 = 0
2
2
9) 4x + (x 2 − 7).2x + 12 − 4x 2 = 0
10) 9−x − (x + 2).3−x − 2(x + 4) = 0
HT 16: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):
1) 64.9x − 84.12x + 27.16x = 0 2) 3.16x + 2.81x = 5.36x
3) 6.32x − 13.6x + 6.22x = 0
4) 25x + 10x = 22x +1
6) 3.16x + 2.81x = 5.36x
7)
1
x
6.9
1
x
− 13.6
1
x
+ 6.4
5) 27x + 12x = 2.8x
−
=0
8) 4
x
1
x
−
+6
1
x
−
=9
x
1
x
9)
1
x
2.4
1
x
+6
=
1
x
9
x
10) (7 + 5 2 ) + ( 2 − 5)(3 + 2 2 ) + 3 (1 + 2 ) + 1 − 2 = 0.
HT 17: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):
x
x
x
(
) +(
x
)
1) (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 14
2)
3) (2 + 3)x + (7 + 4 3)(2 − 3)x = 4(2 + 3)
4) (5 − 21 ) + 7 (5 + 21 ) = 2x + 3
x
5) (5 + 24 ) + (5 − 24 ) = 10
7)
(
6 − 35
) +(
x
6 + 35
)
= 12
2− 3
x
=4
x
7 + 3 5 x
7 − 3 5 x
6)
+ 7
= 8
2
2
x
x
2+ 3
8) (2 +
(x −1)2
3)
+ (2 −
x 2 −2x −1
3)
=
4
2− 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 10
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
x
x
x
9) (3 + 5 ) + 16 (3 − 5 ) = 2x +3
x
x
10) (3 + 5 ) + (3 − 5 ) − 7.2x = 0
x
11) (7 + 4 3 ) − 3 (2 − 3 ) + 2 = 0
12)
(
x
3
3+ 8
) +(
x
3
3− 8
)
= 6.
HT 18: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
x
x
1) (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 4x
x
2)
x
(
x
x
3 − 2) + ( 3 + 2) =
x
(
x
3) (3 + 2 2 ) + (3 − 2 2 ) = 6x
4) (3 + 5 ) + 16. (3 − 5 ) = 2x +3
3 x 7
5) + = 2x
5
5
6)
(
x
2+ 3
x
10 )
) +(
x
2− 3
)
2
= 2x
7) 2x + 3x + 5x = 10x
8) 2x + 3x = 5x
9) 2x −1 − 2x
10) 3x = 5 − 2x
11) 2x = 3 − x
12) 2x +1 − 4x = x − 1
−x
= (x − 1)2
HT 19: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
2) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20
3) 8 − x .2x + 23−x − x = 0
4) 2x + 3x = 1 + 6x
5) 4x
2
−3x +2
+ 4x
2
+6x + 5
= 42.x
2
+ 3x +7
6) 4x
+1
2
2
+x
2
(x +1)
+ 21−x = 2
+1
7) x 2 .3x + 3x (12 − 7x ) = −x 3 + 8x 2 − 19x + 12
8) x 2 .3x −1 + x (3x − 2x ) = 2(2x − 3x −1 )
9) 4sin x − 21+sin x cos(xy ) + 2 y = 0
10) 22(x
2
+x )
2
+ 21−x − 22(x
2
2
+x )
.21−x − 1 = 0
HT 20: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
1) 2x = cos x 4, với x ≥ 0
2) 3x
x 3 − x
= 3x + 3−x
4) 2.cos2
2
5) π
2
2
−6x +10
sin x
= − x 2 + 6x − 6
3) 3 sin
x
2
= cos x
6) 22x −x =
= cos x
x2 +1
x
2
7) 3x = cos 2x
8) 5x = cos 3x
HT 21: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1) 9x + 3x + m = 0
3) 4x − 2x + 1 = m
2) 9x + m 3x − 1 = 0
4) 32x + 2.3x − (m + 3).2x = 0 5) 2x + (m + 1).2−x + m = 0
7) 16x − (m − 1).22x + m − 1 = 0
9) 81sin
2
x
2
+ 81cos
x
=m
6) 25x − 2.5x − m − 2 = 0
8) 25x + m.5x + 1 − 2m = 0
2
2
10) 34−2x − 2.32−x + 2m − 3 = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 11
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
11) 4 x + 1 + 3 − x − 14.2 x + 1 + 3 − x + 8 = m
2
12) 9x + 1−x − 8.3x +
1−x 2
+4 =m
HT 22: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1) m.2x + 2−x − 5 = 0
2) m.16x + 2.81x = 5.36x
3)
(
x
x
5 + 1) + m ( 5 − 1) = 2x
5) 4x − 2x + 3 + 3 = m
7 + 3 5 x
7 − 3 5 x
+ m
= 8
4)
2
2
6) 9x + m 3x + 1 = 0
HT 23: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu:
1) (m + 1).4x + (3m − 2).2x +1 − 3m + 1 = 0
2) 49x + (m − 1).7x + m − 2m 2 = 0
3) 9x + 3(m − 1).3x − 5m + 2 = 0
4) (m + 3).16x + (2m − 1).4x + m + 1 = 0
5) 4x − 2 (m + 1).2x +3m − 8 = 0
6) 4x − 2x + 6 = m
HT 24: Tìm m để các phương trình sau:
1) m.16x + 2.81x = 5.36x có 2 nghiệm dương phân biệt.
2) 16x − m.8x + (2m − 1).4x = m.2x có 3 nghiệm phân biệt.
2
2
3) 4x − 2x +2 + 6 = m có 3 nghiệm phân biệt.
2
2
4) 9x − 4.3x + 8 = m có 3 nghiệm phân biệt.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 12
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản
Với a > 0, a ≠ 1:
loga x = b ⇔ x = a b
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
1) Đưa về cùng cơ số
f (x ) = g(x )
loga f (x ) = loga g (x ) ⇔
f (x ) > 0 (hoaëc g(x ) > 0)
Với a > 0, a ≠ 1:
2) Mũ hoá
Với a > 0, a ≠ 1:
loga f (x ) = b ⇔ a
loga f (x )
= ab
3) Đặt ẩn phụ
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
5) Đưa về phương trình đặc biệt
6) Phương pháp đối lập
Chú ý:
• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.
• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1:
a
logb c
=c
logb a
Bài tập cơ bản
HT 25: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log2 x (x − 1) = 1
2) log2 x + log2 (x − 1) = 1
3) log2 (x − 2) − 6.log1/8 3x − 5 = 2
4) log2 (x − 3) + log2 (x − 1) = 3
5) log4 (x + 3) − log4 (x − 1) = 2 − log4 8
6) lg(x − 2) + lg(x − 3) = 1 − lg 5
7) 2 log8 (x − 2) − log8 (x − 3) =
2
3
8) lg 5x − 4 + lg x + 1 = 2 + lg 0,18
9) log3 (x 2 − 6) = log 3 (x − 2) + 1
10) log2 (x + 3) + log2(x − 1) = 1 / log5 2
11) log4 x + log4 (10 − x ) = 2
12) log5 (x − 1) − log1/5 (x + 2) = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 13
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
13) log2 (x − 1) + log2 (x + 3) = log2 10 − 1
14) log9 (x + 8) − log3 (x + 26) + 2 = 0
HT 26: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log3 x + log
3
x + log1/3 x = 6
2) 1 + lg(x 2 − 2x + 1) − lg(x 2 + 1) = 2 lg(1 − x )
3) log 4 x + log1/16 x + log 8 x = 5
4) 2 + lg(4x 2 − 4x + 1) − lg(x 2 + 19) = 2 lg(1 − 2x )
5) log2 x + log4 x + log8 x = 11
6) log1/2 (x − 1) + log1/2 (x + 1) = 1 + log
7) log2 log2 x = log3 log3 x
8) log2 log3 x = log3 log2 x
9) log2 log3 x + log3 log2 x = log3 log3 x
10) log2 log3 log4 x = log4 log3 log2 x
1/ 2
(7 − x )
HT 27: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log2 (9 − 2x ) = 3 − x
2) log3 (3x − 8) = 2 − x
3) log7 (6 + 7−x ) = 1 + x
5) log2 (9 − 2x ) = 5
log5 (3−x )
4) log 3 (4.3x −1 − 1) = 2x − 1
6) log2 (3.2x − 1) − 2x − 1 = 0
7) log2 (12 − 2x ) = 5 − x
8) log5 (26 − 3x ) = 2
9) log2 (5x + 1 − 25x ) = 2
10) log4 (3.2x + 1 − 5) = x
11) log 1 (5x + 1 − 25x ) = −2
12) log 1 (6x + 1 − 36x ) = −2
6
5
HT 28: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log5 −x (x 2 − 2x + 65) = 2
2) logx − 1(x 2 − 4x + 5) = 1
3) logx (5x 2 − 8x + 3) = 2
5) logx
−3
(x − 1) = 2
4) logx +1(2x 3 + 2x 2 − 3x + 1) = 3
6) logx (x + 2) = 2
7) log2x (x 2 − 5x + 6) = 2
8) logx + 3 (x 2 − x ) = 1
9) logx (2x 2 − 7x + 12) = 2
10) logx (2x 2 − 3x − 4) = 2
11) log2x (x 2 − 5x + 6) = 2
12) logx (x 2 − 2) = 1
13) log 3x
15) logx
+5
(9x 2 + 8x + 2) = 2
15
= −2
1 − 2x
14) log2x
+ 4
(x 2 + 1) = 1
16) log 2 (3 − 2x ) = 1
x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 14
GV.Lưu Huy Thưởng
17) log
x 2 + 3x
0968.393.899
18) logx (2x 2 − 5x + 4) = 2
(x + 3) = 1
HT 29: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log23 x + log23 x + 1 − 5 = 0
3) logx 2 − log 4 x +
7
=0
6
5) log2 x + 3 log2 x + log1/2 x = 0
2
7) log5 x − logx
1
=2
5
9) 2 log5 x − 2 = logx
2) log2 x + 3 log2 x + log1/2 x = 2
2
4) log21 4x + log2
2
6) log 2 16 + log2x 64 = 3
x
8) log7 x − logx
1
5
x2
=8
8
10) 3
1
=2
7
log2 x − log2 4x = 0
11) 3 log3 x − log 3 3x − 1 = 0
12) log2 3 x + 3 log2 x = 4 / 3
13) log2 3 x − 3 log2 x = −2 / 3
14) log22 x + 2 log4
15) log22 (2 − x ) − 8 log1/4 (2 − x ) = 5
16) log25 x + 4 log25 5x − 5 = 0
17) logx 5 + logx 5x =
19)
9
+ logx2 5
4
1
2
+
=1
4 − lg x 2 + lg x
1
=0
x
18) log 2 3 + log9 x = 1
x
20)
1
3
+
=1
5 − lg x 3 + lg x
21) log2x x 2 − 14 log16x x 3 + 40 log4x x = 0
HT 30: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
log2 x
log2 6
1) log23 x + (x − 12)log3 x + 11 − x = 0
2) 6.9
3) x .log22 x − 2(x + 1).log2 x + 4 = 0
4) log22 x + (x − 1)log2 x = 6 − 2x
+ 6.x 2 = 13.x
5) (x + 2)log2 3 (x + 1) + 4(x + 1)log3 (x + 1) − 16 = 0 6) log 2 (2 + x ) + log
x
7) log23 (x + 1) + (x − 5)log3 (x + 1) − 2x + 6 = 0
2−x
x =2
8) 4 log3 x − 1 − log3 x = 4
9) log2 (x 2 + 3x + 2) + log2 (x 2 + 7x + 12) = 3 + log2 3
HT 31: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log7 x = log3( x + 2)
2) log2 (x − 3) + log3 (x − 2) = 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 15
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
3) log3 (x + 1) + log5 (2x + 1) = 2
5) 4
7) x
log7 (x +3)
log2 9
log6 x
) = log6 x
6) log2 (1 + x ) = log3 x
=x
= x 2 .3
4) log2 (x + 3
log2 x
−x
log2 3
8) log 3x +7 (9 + 12x + 4x 2 ) + log2x +3 (6x 2 + 23x + 21) = 4
9) log2 (x − x 2 − 1).log3 (x + x 2 − 1) = log6 (x − x 2 − 1)
HT 32: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
1) x + x
log2 3
=x
log2 5
(x > 0)
2) x 2 + 3
log2 x
=5
log2 x
3) log5 (x + 3) = 3 − x
4) log2 (3 − x ) = x
5) log2 (x 2 − x − 6) + x = log2 (x + 2) + 4
6) x + 2.3
log2 x
=3
7) 4(x − 2) log2 (x − 3) + log 3 (x − 2) = 15(x + 1)
HT 33: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
1) log2 x + 2.log7 x = 2 + log2 x .log7 x
2) log2 x .log3 x + 3 = 3.log3 x + log2 x
2
3) 2 (log9 x ) = log 3 x .log 3 ( 2x + 1 − 1)
HT 34: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
1) ln(sin2 x ) − 1 + sin3 x = 0
3) 22x +1 + 23−2x =
2) log2 (x 2 + x − 1) = 1 − x 2
8
log3 (4x 2 − 4x + 4)
HT 35: Tìm m để các phương trình sau:
1) log2 (4x − m ) = x + 1 có 2 nghiệm phân biệt.
2) log23 x − (m + 2).log 3 x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả x1.x2 = 27.
3) 2 log4 (2x 2 − x + 2m − 4m 2 ) = log2 (x 2 + mx − 2m 2 ) có 2 nghiệm x1, x2 thoả x 12 + x 22 > 1 .
4) log23 x + log23 x + 1 − 2m − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3 .
(
5) 4 log2 x
2
)
+ log2 x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 16
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:
• Phương pháp thế.
• Phương pháp cộng đại số.
• Phương pháp đặt ẩn phụ.
• …….
HT 36: Giải các hệ phương trình sau:
x + 2y = 5
1)
x − 2y = 1
y
x − 3 = 1
3) 2
x + 3y = 19
2x = 4y
2) x
4 = 32y
x y −1 = 8
4) 2y −6
=4
x
HT 37: Giải các hệ phương trình sau:
4x − 3y = 7
1) x y
4 .3 = 144
y
x
2 + 3 = 17
2) x
3.2 − 2.3y = 6
x +y
= 56
2x + 2.3
3)
x
+
y
+
1
3.2x + 3
= 87
2x +2 + 22y +2 = 17
3
4) x +1
2.3
+ 3.2y = 8
3
5)
3
2
2(x 2 −1)
− 4.4x −1.2y + 22y = 1
4
6)
22y − 3.4x 2 −1..2y = 4
x +1
− 2y = −4
x +1
− 2y +1 = −1
2
y −x 2
=1
(x + y )2
8)
9(x 2 + y ) = 6x 2 −y
y
2
cot x = 3
7)
cos x = 2y
32x − 2y = 77
9) x
3 − 2y = 7
2x − 2y = (y − x )(xy + 2)
10) 2
x + y 2 = 2
HT 38: Giải các hệ phương trình sau:
3x = 2y + 1
1) y
3 = 2x + 1
2x − 2y = y − x
3) 2
2
x + xy + y = 3
3x + 2x = y + 11
2) y
3 + 2y = x + 11
7 x −1 = 6y − 5
4) y −1
7
= 6x − 5
HT 39: Giải các hệ phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 17
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
x + y = 6
1)
log2 x + log2 y = 3
log y + log x = 2
y
2) x
x + y = 6
x + log y = 4
2
3)
2x − log2 y = 2
x 2 − y 2 = 3
4)
log 3 (x + y ) − log5 (x − y ) = 1
xy = 32
5)
logy x = 4
log x + 2log2 y = 3
6) y 3
x = 9
2(log x + log y ) = 5
y
x
7)
xy = 8
x − 1 + 2 − y = 1
8)
2
3
3 log9 (9x ) − log 3 y = 3
1
log x 2 − log y = 0
3
3
9)
2
3
2
x + y − 2y = 0
HT 40: Giải các hệ phương trình sau:
log (3x + 2y ) = 2
1) x
logy (2x + 3y ) = 2
y − log x = 1
3
10) y
12
x = 3
log (6x + 4y ) = 2
2) x
logy (6y + 4x ) = 2
log 1 − x = 2 − log y
2
2
y
3)
log x + log y = 4
3
3
2
2
log x − log y 2 = 1
2
4) y
log 4 x − log 4 y = 1
log x 2 + y 2 + 6 = 4
5) 2
log x + log y = 1
3
3
x log2 y + y log2 x = 16
6)
log2 x − log2 y = 2
x log 3 y + 2.y log3 x = 27
7)
log3 y − log 3 x = 1
log x
log y
3.x 2 + 2.y 2 = 10
8)
log x 2 + log y = 2
2
4
log (2x + y − 2) = 2
9) x
logy (2y + x − 2) = 2
log (xy ) = 4
2
x
10)
log2 = 2
y
(
)
HT 41: Giải các hệ phương trình sau:
lg x + lg y = 4
1) lg y
x
= 1000
x x −2y = 36
2)
4 (x − 2y ) + log6 x = 9
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 18
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
(x + y )3y −x = 5
3)
27
3
log
(
)
x
+
y
=
x −y
5
3lg x = 4lg y
4)
(4x )lg 4 = (3y )lg 3
2 log x − 2 log y + 5 = 0
1
x2
5) y
2
xy = 32
HT 42: Giải các hệ phương trình sau:
log 2 x
2
= y4
1)
log x − log y = 1
2
2
x −y
1 x − 2y
(
)
=
2) 3
3
(
)
log2 x + y + log2 (x − y ) = 4
x log8 y + y log8 x = 4
3)
log 4 x − log 4 y = 1
x y
3 .2 = 18
4) log (x + y ) = −1
1
3
x −y
1 x −2y
=
3
5)
3
log2 (x + y ) + log2 (x − y ) = 4
x + y
y x
= 32
6) 4
log 3 (x − y ) = 1 − log 3 (x + y )
3x.2y = 972
7)
log (x − y ) = 2
3
3−x.2y = 1152
8)
log (x + y ) = 2
5
x
y
(x + y ) = (x − y )
9)
log x − log y = 1
2
2
4 log3 xy = 2 + (xy )log3 2
10) 2
x + y 2 − 3x − 3y = 12
x log3 y + 2y log3 x = 27
11)
log3 y − log3 x = 1
log xy = log x 2
x
y
12) 2 log x
y y = 4y + 3
( )
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Page 19
.PDF 
32 
302 
88 
