Tài liệu Chuyên đề - nguyên hàm và tích phân

Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành Phần I: Mở đầu I/Đặt vấn đề. Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của hàng năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, bài toán về tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của tích phân. Chuyên đề này hy vọng sẽ góp phần giúp các em học sinh hiểu sâu hơn và tránh được những sai lầm thường mắc phải khi giải bài toán về tích phân. II/ Phương pháp - Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải. - Bài tập ứng với từng dạng toán, và chỉ ra những lỗi thường mắc phải của học sinh. Phần II: Nội dung I/ cơ sở khoa học 1/Nguyên hàm: Đn: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) =f(x) với mọi x thuộc K. Kí hiệu:  f ( x)dx  F ( x)  C Nhận xét: khi bắt đầu học về nguyên hàm các em học sinh thường hay lúng túng và hay bị nhầm với đạo hàm. Để tránh bị nhầm các em nên nhớ rằng : “ để tính  f ( x)dx ta cần tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x)” T/c: các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa a) ( f ( x)dx) '  f ( x) b)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx c)   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx 2. Tích phân: ĐN: Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz b b  a f ( x) dx  F ( x )  F (b)  F ( a ) a T/c: 1 Chuyên đề toán THPT b Tính chất 1:  GV: Đỗ Bá Thành a f ( x)dx    f ( x)dx a b b b   a a Tính chất 2: kf ( x)dx  k f ( x)dx với k thuộc R b b a a a   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx Tính chất 3: Tính chất 4: b c b c a a b  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx A) các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân. Việc tính nguyên hàm của một hàm số là không hề đơn giản chút nào. Do vậy mà ở đây tôi sẽ đưa ra 3 phương pháp có tính đườn lối. Nó được dẫn dắt từ đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hai hàm. Đó là phương pháp sử dụng các nguyên hàm cơ bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp tính Tích phân từng phần. I/ Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản: Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. chúng ta có thể xác định được các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân. 1.  kdx  kx  C x 1 C 2.  x dx   1  3.  ( (  R,   1) dx  ln x  C x 4.  a x dx  ax C ln a 5.  e x dx  e x  C dx 6.  1 x 7.  2  arctanx+C ( hoặc có thế đặt x= tant/2) dx 1  x2  arcsinx+C ( hoặc có thể đặt x= sint) 8.  sinx dx= - cosx + C 9.  cosx dx= sinx + C 2 Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành Bài tập 1: Tính các tích phân sau 1 2  (x a) I= 3  2 x  1)dx b) 1 I= 3 x 1 e  dx 1 3 Giải:  x4  1  3 a) I =   x 2  x  1 2  1  2  2    1  1   2 4  4  4     e3 x 1  1 1 4 0 b) I=   1  (e  e )  3  3 3 Bài tập 2: Tính tích phân sau 2 dx  (x  1) I = 2 2 Giải Hàm số y = 1 không xác định tại x= -1   2;2 suy ra hàm số không liên tục trên ( x  1) 2  2;2 do đó tích phân trên không tồn tại. 2 dx * chú y: nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau: I =  = 2  2 (x  1) 1 x 1 2 2 2 d ( x  1)  ( x  1) 2 2 =- 1 4 =- -1 = 3 3 * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = 1 không xác định tại x= -1   2;2 suy ra hàm số không liên tục trên ( x  1) 2  2;2 nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên. * Chú ý đối với học sinh: b Khi tính  f ( x)dx cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên a; b không? nếu có thì áp a dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. * Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 3 Chuyên đề toán THPT 5 1/ GV: Đỗ Bá Thành dx  (x  4) 4 . 0 1 3 2/  x( x 2  1) 2 dx . 2  2 3/  0 1 dx cos 4 x  x 3 .e x  x 2 dx x3 1 1 4/  Chú ý: Trong dạng toán này có những bài toán khó. Các bạn thường phải áp dụng phương pháp hệ số bất đinh để làm. Xét dạng như sau p ( x) p(x)  ( x  a)( x  b) dx,  (x-a)(x-b)(x-c) dx trong đó P(x) là đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu. Khi đó ta phải thiết lập các hệ  A p ( x)  A p ( x) B   ( x  a)( x  b) dx =   x  a  x  b dx phương trình để đi tìm A,B,C như sau: B C   ( x  a)( x  b)( x  c) dx =  x  a  x  b  x  c dx II/ Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số: Giả sử ta cần phải tìm  f (u)du . Trong nhiều trường hợp một cách thuận lợi ta coi như u như một hàm khả vi theo một biến mới là x. Như vậy việc tìm  f (u)du đưa về việc tìm  f (u( x))u '( x)dx một cách đơn giản hơn. Bài 1: Tính tích phân: 3 I= x 5 1  x 2 dx 0 Giải: Đặt t = 1  x2  t 2  1  x2  2tdt  2 xdx Đổi cận: x  o  t 1 x 3t 2 Khi đó 4 Chuyên đề toán THPT 3  0 GV: Đỗ Bá Thành 2 x 4 1  x 2 .xdx   (t 2  1) 2 t 2 dt 1 t 2t t  2 848    1 5 3 105 7 7 5 3  Bài 2 :Tính tích phân: I = dx  1  sin x 0 * Giải: x  d   dx dx  x    2 4 I=  =    tg    0 = tg  tg   1  sin x 4  x  2 4  4 0 0 1  cos x   0 cos 2    2  2 4    * Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan  1 t2 x 1 2dt thì dx = ; = 2 1  t 2 1  sin x (1  t ) 2 dx 2dt = =  2(t  1) 2 d(t+1) = 2 1  sin x (1  t )   I= dx  1  sin x 2 x tan  1 2 = 0 do tan  0 =  2  2 2 +c t 1 2  tan  1 tan 0  1 2 -  không xác định nên tích phân trên không tồn tại 2 *Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan x x x  0;   tại x =  thì tan không có nghĩa. 2 2 . * Chú ý đối với học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên a; b . *Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau:  1/ dx  sin x 0  dx 1  cos x 0 2/  Bài 3: Tính  dx x2  a 5 Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành Giải: Đặt t  x  dx  x a 2 x2  a   dt  t dx x2  a dt  ln t  C t 4 Bài 4: Tính I =  x 2  6x  9 dx 0 * Sai lầm thường gặp: x  32 dx   x  3d x  3  x  3 4 4 I= 4 x 2  6x  9 dx =   0 0 2 0 2 4 0  1 9   4 2 2 * Nguyên nhân sai lầm: x  3 Phép biến đổi 2  x  3 với x  0;4 là không tương đương. * Lời giải đúng: 4 I=  x 2  6x  9 dx 4 x  32 dx   x  3 d x  3    x  3d x  3   x  3d x  3 0 = 0 2  x  3 =- 2 3 0 4 3 4 0 0 3 2  x  3  2 4 3  9 1  5 2 2 * Chú ý đối với học sinh: 2n  f x 2n  f x  b I= 2n   f x  2n a n  1, n  N  b   f x dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trên a; b rồi dùng tính chất tích phân a tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Một số bài tập tương tự:  1/ I =  1  sin 2 x dx ; 0 3 2/ I =  x 3  2 x 2  x dx 0 2 3/ I =  1 2 1  2   x  2  2  dx x   6 Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành  3   4/ I = tg 2 x  cot g 2 x  2 dx 6 0 x Bài 4: Tính I = 1 2 dx  2x  2 * Sai lầm thường gặp: d  x  1 0 I=   x  1 2 1 1  arctan  x  1 0 1  arctan1  arctan 0   4 * Nguyên nhân sai lầm : Đáp số của bài toán thì không sai. Nhưng khái niệm hàm ngược bây giờ không đưa vào chương trình thpt. * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tant  dx  1  tan 2 t  dt với x=-1 thì t = 0 với x = 0 thì t =  4 Khi đó I =  0  4 1  tan 2 t  dt tan t  1  4   dt  t  4 0 0   4 * Chú ý đối với học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì b vậy khi gặp tích phân dạng 1 1 x 2 dx ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t a = cotx b  a 1 1 x2 dx thì đặt x = sint hoặc x = cost *Một số bài tập tương tự: 8 1/ I =  4 x 2  16 dx x 2x 3  2x  3 0 x 2  1 dx 1 2/ I = 7 Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 1 3 3/ I = x 3 dx  1  x8 0 Bài 5: 1 4 Tính :I = x3  1 x2 0 dx *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt  x3 dx   1 x2 sin 3 t dt cos t Đổi cận: với x = 0 thì t = 0 với x= 1 thì t = ? 4 * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1  x 2 thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = 1 không tìm được chính xác t = ? 4 * Lời giải đúng: Đặt t = 1  x 2  dt = x 1 x2 dx  tdt  xdx Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = 1 4 I = 0 x3 1 x 2 15 4 = 15 4 1 thì t = 4 dx 15 4 1  t tdt  1  t dt   t  t     t 3   2 15 4 3 2 1 1 1  15 15 15  2 33 15 2        3 4 192 192 3   * Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1  x 2 thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác. *Một số bài tập tương tự: 7 1/ tính I =  0 x3 1 x2 dx 8 Chuyên đề toán THPT 2 2/tính I = GV: Đỗ Bá Thành dx x x2 1 1 x2 1  4 dx 1 1  x 1 Bài 6: Tính I = 1   1 1  2  1 2 x   x  dx * Sai lầm thường mắc: I =   2 1 2 1   1  1 x x    2 x2 x  1 1 1 1   Đặt t = x+  dt  1  2 dx x x   Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2; 2 2 1 dt 1 = (  )dt =(ln t  2 -ln t  2 )  2 t  2 t  2 t  2 2 2 I= = ln 2 2 2 2  ln 2 2  2 ln 2 2  ln t 2 t 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x2 x 1  là sai vì trong  1;1 chứa x = 0 nên không thể 1 1 x4 2 x x2 2 * Nguyên nhân sai lầm: 2 2 chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. Nhưng từ sai lầm này nếu các bạn thấy rằng x=0 không thuộc thuộc tập xác định thì cách làm như trên thật tuyệt vời. * Lời giải đúng: Xét hàm số F(x) = F’(x) = 1 2 2 1 2 2 ln x2  x 2 1 x2  x 2 1 (ln ( áp dụng phương pháp hệ số bất định ) x2  x 2 1 x2 1  4 ) x 1 x2  x 2 1 x2 1 1 x2  x 2 1 dx = ln  4 2 2 x2  x 2 1 1 1  x 1 Do đó I = 1 1  1 2 ln 2 2 2 2 *Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 . 9 Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành BÀI TẬP ĐỀ NGHI  1) a)Tính x 2  adx ( tính đạo hàm của hàm số f(x)= x x 2  a ) 1 3 4 2)  x  x  1 dx ( đặt t  x 2  1 ) 3 0  x sin x  1  cos x dx 3) 2 ( đặt x=   t ) 0 2  4) 1 1  x2 dx x4 ( đặt t = 1 ) x a 5)  a 2  x 2 dx  a 2  x 2 dx 0 6)  4 dx  tan 7) 0 2 ( đặt t=tan x) x  1  sin 2 x dx 2 c os x 0 4  8) ( đặt t= 1+sin2x ) III, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN; Từ đẳng thức (uv)’=uv’+u’v Ta có:  uv ' dx  uv   u ' vdx đó là công thức tính tích phân từng phần b Để tính tích phân I   f ( x)dx ta thực hiện các bước như sau: a Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng b b a a I   f ( x)dx   f1 ( x) f 2 ( x)dx Bước 2: đặt u' 1 ( x) {u=f v'=f 2 ( x )  {v Bước 3: Khi đó b I  uv   u ' vdx b a a 10 Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành Chú y: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau : 1. Lựa chọn phép đặt v’ sao cho v được xác định một cách dễ dàng. b 2. Tích phân  vu ' dx được xác định một cách dễ dàng hơn so với I a 3. Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau : Dạng 1 : I   x lnx dx, khi đó cần đặt u= lnx Dạng 2: I   p( x)e x dx với P là một đa thức. Khi đó ta đặt u= p(x) Dạng 3: I   p( x)sin  xdx (hoặc I   p( x)cos xdx ) Với P(x) là một đa thức và khi đó ta đặt u=P(x) Dạng 4: I   eax cos xdx (hoặc I   eax sin  xdx ) Khi đó đặt u= cos ax (hoặc u= sin ax) Bài 1: a) Tìm b)Tìm  x lnx dx 3 x 2 sinxdx Giải: a) đặt u= lnx, u’=1/x v’= x3 , v  x4 4 Khi đó ta có x 4 ln x 1 x 4 ln x 3 I   x dx   x4  C 4 4 4 b)Đặt u  x2 , u '  2 x v '  s inx, v=-cosx Khi đó : I   x 2 cosx-2 xcosxdx   x 2 cosx+2(xsinx- sinxdx)   x 2 cosx+2(xsinx+cosx) +C 11 Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành Chú ý: Thực tế cho thấy nếu những bài toán tích phân mà chứa các hàm như ln, sin, cos, hàm mũ. Thì chúng ta cần nên nghĩ ngay đến phương pháp tích phân từng phần nếu như gặp khó khăn. C ó những bài toán mà chúng ta cần phải sử dụng tích phân từng phần nhiều lần. Chú y bài toán sau  2 Bài 2: Tính  e2 x cos3xdx 0 Giải: Đặt u  e2x , u '  2e2x v = cos 3x, v’= sin 3x 3   2 e 2  2x sin 3x  2 2 2x I  e  e sin 3x dx=   I1 3  0 3 0 3 3  Đặt Tính I1 u  e2x  u '  2e2x v  sin 3x, v'= -cos3x 3  I1   2 2  2x 2 x cos3x   0 e sin 3x dx   e  3 3 0 2   2 e 2x cos3x dx 0 1 I 3 Do đó: e 21 e 2 4  I    I   I 3 33 3 9 9  I  3e  2 13 Chú ý: Tích phân trên nếu các bạn không biến đổi theo hướng trên thì gặp nhiều khó khăn. Cách làm như trên áp dụng đối với một tích phân mà nó gồm hai hàm khi đạo hàm có tính chất lặp đi lặp lại. 2 Bài tập tương tự: a)Tính  sin(ln x)dx 1  b)Tính  e2x sin 2xdx 0 12 Chuyên đề toán THPT GV: Đỗ Bá Thành 2 4  sin Bài 3: Tính xdx 0 Giải: Đặt t x  x  t 2 , 2tdt=dx x=o  t=o 2 x= 4 t   2 2  4 2  sin Khi đó ta có: 0 xdx   2tsintdt 0 Đặt: u = t, u’=1 v = sint, v’= -cos t khi đó :  2  tsint dt=-tcost  2 o 0  2   cost dt  sin t  2 0 1 0 Bài tập đề nghị : Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau  1 2 a)  ( x  1)s inx dx b) 0  (x+1)e dx x 0  2 c)  xcosx sin xdx 2 2 d)  x 5 ln xdx 0 1 1 xe x dx (1  x) 2 0 e)  ( đặt ẩn số phụ t=1+x sau đó lại tiếp tục chuyển về tích phân từng phần) Phần III : TỔNG KẾT Qua chuyên đề này tôi muốn gủi đến các thầy cô, cũng như các em học sinh một hệ thống lí thuyết về nguyên hàm và tích phân. Trong chuyên đề này tôi không đưa ra những bài quá khó, vì thực tế với đối tượng học sinh của chúng ta thì không cần phải mang tích chất đánh đố. Mục đích của chuyên đề là nêu ra các phương pháp có tính chât đường lối, và chỉ ra một số sai lầm thường gặp. Ngoài ra các bạn có thể tìm hiểu một số phương pháp như là PP hệ số bất định, Phương pháp lặp lại hàm. Rất mong sự góp ý ! 13