CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI
TÍCH PHÂN
Dùng cho học sinh lớp 12-Ôn thi Đại học và Cao đẳng
Don't try to fix the students, fix ourselves first. The good teacher makes the poor
student good and the good student superior. When our students fail, we, as teachers,
too, have failed.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
MỤC LỤC
Trang
A. NGUYÊN HÀM..................................................................................................................... 3
B. TÍCH PHÂN .......................................................................................................................... 4
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: ................................................... 6
VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t
n
f ( x ) ........................................................................... 6
VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ....................... 11
DẠNG 1: a 2 x 2 ............................................................................................................. 11
DẠNG 2: x 2 a 2 ............................................................................................................. 14
DẠNG 3: x 2 a2 ............................................................................................................. 14
DẠNG 4:
a x
hoaëc
ax
ax
......................................................................................... 18
a x
VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GI ÁC........................................................................... 19
Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản ............................................................ 19
dx
Dạng 2: Tích phân dạng
a sin x b cos x c .................................................................. 23
Dạng 3: Tích phân dạng
a sin
2
dx
............................................... 24
x b sin x cos x c cos2 x
Dạng 4: Tích phân dạng I1 f (sin x )cos xdx; I 2 f (cos x )sin xdx ............................ 25
1.Tích phân có dạng sin m x.cosn xdx .......................................................................... 26
2.Tích phân dạng I1
Dạng 5: Tích phân chứa
sin m x
dx;
cosn x
I1
cosm x
dx;
sin n x
m, n .................................. 27
tan x;cos x dx; cot x;sin x dx ............................................ 28
Dạng 6: Đổi biến bất kì ..................................................................................................... 29
VẤN ĐỀ 4: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .......................................... 39
VẤN ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ ............................................................................ 42
VẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT ....................................................... 50
VẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ............................................................................. 58
VẤN ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ..................... 69
VẤN ĐỀ 9: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY .................................................. 77
MỘT SỐ BÀI TẬP CẦN LÀM TRƯỚC KHI THI ................................................................ 83
D. PHỤ LỤC............................................................................................................................. 95
1
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN
PHƯƠNG PHÁP Đ ẶT ẨN PHỤ KHÔNG LÀM THAY ĐỔI CẬN TÍCH PHÂN .................. 95
SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN ................................ ..................... 100
ĐỀ THI ĐẠI HỌ C TỪ
................................ ................................ ..................... 107
TÀI LI ỆU THAM KHẢO ................................ ................................ ................................ .. 109
Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế
2
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
A. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
F '( x ) f ( x ) , x K
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
f ( x )dx F( x ) C , C R.
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
f '( x )dx f ( x ) C
f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx
kf ( x )dx k f ( x )dx
(k 0)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
0dx C
dx x C
x 1
C , ( 1)
x dx
1
1
dx ln x C
x
e x dx e x C
ax
C (0 a 1)
ln a
cos xdx sin x C
a x dx
1
sin xdx cos x C
1
cos
sin
2
1
2
x
x
dx tan x C
dx cot x C
1 ax b
e
C , (a 0)
a
1
1
dx ln ax b C
1
ax b
a
sin(ax b)dx a cos(ax b) C (a 0)
cos(ax b)dx a sin(ax b) C (a 0)
e
ax b
dx
4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
3
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Nếu
f (u)du F (u) C
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
và u u( x ) có đạo hàm liên tục thì:
f u( x ).u '( x )dx F u( x ) C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
udv uv vdu
B. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
b
f ( x )dx .
a
b
f ( x )dx F(b) F(a)
a
Đối với biến số lấy tích ph ân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b
b
b
a
a
a
f ( x )dx f (t)dt f (u)du ... F(b) F(a)
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đườn g thẳng x = a, x = b là:
b
S f ( x )dx
a
2. Tính chất của tích phân
0
f ( x )dx 0
0
b
b
a
a
b
a
a
b
f ( x )dx f ( x )dx
kf ( x )dx k f ( x )dx (k: const)
b
b
b
a
a
a
f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx
b
c
b
a
a
c
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
4
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Nếu f(x) 0 trên [a; b] thì
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
b
f ( x )dx 0
a
Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì
b
a
b
f ( x )dx g( x )dx
a
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b
u( b )
a
u( a )
f u( x ).u '( x )dx
f (u)du
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên
K, a, b K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì:
b
udv uv
a
b
a
b
vdu
a
Chú ý:
Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
b
vdu dễ tính hơn
a
b
udv .
a
Trong phần sau sẽ trình bày kỉ thuật lựa chọn u và dv .
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
5
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂ N:
VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t
n
f (x)
Phương pháp: Khi hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức có dạng
n
f ( x ) . Lúc đó trong
nhiều trường hợp ( chứ không phải mọi trường hợp), ta có thể đổi biến bằng cách
-
Bước 1: Đặt t
-
Bước 2: Ghi nhớ “Đổi biến thì phải đổi cân”
n
f ( x ) t n f ( x ) nt n1dt f '( x )dx
BÀI TẬP MẪU: Tính các tích phân sau
1
Bài 1: Tính I x 3 1 x 2 dx
0
Giải:
1 x 2 t2 = 1 – x2 xdx = -tdt
Đặt t =
Đổi cận:
x
0
1
t
1
0
1
Khi đó: I x
1 x dx =
3
2
0
1
1
1 t .t.tdt = t
0
2
0
2
t3 t5 1 2
.
t 4 dt = =
3 5 0 15
1
Bài 2: Tính I x 3 3 1 x 4 dx
0
Giải:
3
Đặt t = 3 1 x 4 t 3 1 x 4 x 3dx t 2 dt
4
Đổi cận:
x
0
1
t
1
0
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
6
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
1
Khi đó: I x
33
0
e
Bài 3: Tính I
1
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
1
3
3 1 3
1 x dx t 3dt t 4 .
40
16 0 16
4
1 ln x
dx
x
Giải:
Đặt t 1 ln x t 2 1 ln x 2tdt
dx
x
Đổi cận:
x
1
t
1
e
2
e
1 ln x
dx
x
Khi đó: I
1
2
Bài 4: Tính I
1
2
2
2
t.2tdt 2 t dt 2
1
1
t3 2 2 2 2 1
.
31
3
dx
x 1 x3
Giải:
2
Ta có:
x
1
dx
1 x3
2
1
x 2 dx
x3 1 x3
Đặt t 1 x 3 t 2 1 x 3 2tdt 3 x 2 dx x 2 dx
2tdt
3
Đổi cận:
x
t
1
2
2
3
Khi đó:
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
7
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
2
2
dx
I
x 1 x3
1
3
3
dt
1 1
1
t 2 1 3 t 1 t 1 dt
2
2
2
1 x3 3
x 2 dx
x3
1
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
3
1 t 1 3
1
1 1
2 1
ln t 1 ln t 1
ln
ln ln
3
2 3 t 1 2 3 2
2 1
1
2 1
1
ln
ln
3 2 2 1 3
4
2 1
2
dx
x
Bài 5: Tính I
1
x2 9
7
Giải:
Đặt t x 2 9 t 2 x 2 9 t 0 tdt xdx;
dx tdt
tdt
2 2
x
x
t 9
Đổi cận:
x
7
t
4
Khi đó:
5
t
4
2
4
5
dt
1 t 3 5 1 7
ln
ln
9 6 t3 4 6 4
BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau
7
1)
0
x3
3
1 x2
ln 3
2)
0
3)
ln 5
ln 2
ex
e
x
ÑS :
dx
1
3
10 e
x
ÑS : 1 2
dx
ex
ex 1
141
20
dx
ÑS :
20
3
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
8
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
4
7
4)
0
x3
8
5)
3
1
x 1 x
2
1 x 1
1
1
1
ÑS : ln ln
2
3
dx
x
6)
3 3 3
ÑS : ln
8 4 2
dx
1 4 1 x4
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
dx ( A 2004)
ÑS :
11
4 ln 2
3
e
ln x. 3 2 ln 2 x
dx (Khoái B 2004).
x
1
7)
ÑS :
3 3
3 3 23 2
8
HD : Ñaët t 3 2 ln 2 x
3
8) e
x 2 1
.
0
9)
2 3
5
1
x 1
2
dx
x x 4
2
e3
10)
x
dx.
.
ln 2 x
x ln x 1
ÑS : e2 e
1 5
ÑS : ln
4 3
(Khoái A-2003). Ñaët t x 2 4
dx.(Döï bò khoái D-2005)
Ñaët t ln x 1.
e
ln x
11)
ln 2 x dx. HD : I I1 I 2
1 x 1 ln x
2
12)
1
1
x x 1
dx.
x 10
t x 1.
DS :
ÑS : e
ÑS :
76
15
2 2 2
3
3
62
30 ln 2 .
3
1
x
dx
1 x
0
13) x sin x dx
2
3
0
1
1
x
dx
1 x
0
Hướng dẫn : I x 2 sin x 3dx
0
1
Ta tính I1 =
x
2
sin x 3dx đặt t = x3 ta tính được I 1 = -1/3(cos1 - sin1)
0
1
x
dx đặt t =
Ta tính I2 =
1 x
0
1
x ta tính được I 2 = 2 (1
0
1
)dt 2(1 ) 2
2
4
2
1 t
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
9
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
ĐS :-1/3(cos1 - 1)+ 2
5
14)
2
ln( x 1 1)
x 1 x 1
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
2
dx
Hướng dẫn :Đặt t x 1 1 . Đáp số: ln 2 3 ln 2 2
6
15)
2
dx
2x 1 4x 1
Hướng dẫn :Đặt t 4 x 1 t 2 4 x 1 2tdt 4dx .
6
5
5
5
5
3 1
1
tdt
tdt
dt
dt
ln
I
2
2
2
2 12
t 1 3 t 1
4 x 1 2 3 t 1 1 t 3 t 1
2 2x 1
3
2
dx
BÀI TẬP BỔ SUNG
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
10
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
CÁCH ĐẶT
DẤU HIỆU
2
a x
x a sin t vôùi / 2 t / 2
x a cos t vôùi 0 t
2
a
vôùi t ; \ {0}
x
sin t
2 2
x a vôùi t 0; \
2
cos t
x 2 a2
2
x a
x a tan t vôùi / 2 t / 2
x a cos t vôùi 0< t
2
a x
hoaëc
ax
ax
a x
x a b x
DẠNG 1:
Ñaët x a cos2t
x a b a sin 2 t, t 0;
2
a2 x 2
BÀI TẬP MẪU: Tính các tích phân sau
a
Bài 1: Tính I x 2 a 2 x 2 dx
0
Giải:
Đặt x = asint, t ; . dx = acostdt
2 2
Đổi cận:
x
0
a
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
11
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
t
0
a
2
Khi đó: I x
2
2
2
0
4 2
4 2
a
a
= a sin tcos tdt =
sin 2 2tdt =
4 0
8
0
4
2
2
Bài 2: Tính I
a x dx = a 2 sin 2 t a 2 1 sin 2 t .acostdt
2
0
2
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
1
a4 1
a4
0 1 cos4t dt = 8 t 4 sin 4t 2 = 16
0
1 x2
dx
x2
2
2
Giải:
Đặt x = cost, t ; . dx = - sint dt
2 2
Đổi cận:
t
Khi đó:
I
2
2
x
4
1
1
0
0
1 x
1 cos t .sint
dx =
dt =
2
x
cos2t
2
2
2
2
4
0
sin t .sin t
cos2t
sin 2 t
dt =
dt =
2
0 cos t
4
4
1
0 cos2t 1dt = tan t t 4 = 1 4 . (vì t 0; 4 nên sint 0 sin t sin t )
0
4
1
Bài 3: Tính I x 2 1 x 2 dx
0
Giải:
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
12
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Đặt x = sint, t ; . dx = costdt
2 2
Đổi cận:
x
0
t
0
1
2
1
2
Khi đó: I x 2 1 x 2 dx = sin 2 t 1 sin 2 t .costdt =
0
0
1
12 2
2
2
=
sin
tcos
tdt
sin 2tdt =
4 0
4 0
2
1 1
12
= 1 cos4t dt = t sin 4t 2 =
8 4
80
0 16
Tính các tích phân sau:
3
1) 4 x 2 dx ;
HD : Ñaët x 2sin t
ÑS :
HD : Ñaët x 3cos t
ÑS :
dx ;
HD : Ñaët x sin t
ÑS :
4) 16 x 2 dx;
HD : Ñaët x 4sin t
1
3
2
2)
3 2
2
2
2
3)
0
1
9 x
2
x2
1 x2
3
dx ;
8
3
3 3
27
8
1
4
0
1
2
5) 1 x 2 dx
HD : Ñaët x sin t
0
5
2
6)
1
1
9 x 1
2
dx ;
HD : Ñaët x 1 3sin t
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
13
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
1
7) x x 2 dx.
ÑS :
1
2
1
HD :
1
2
16
1
2
1
x x dx 1 2 x 1 dx.
21
2
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Ñaët : 2 x 1 sin t
2
DẠNG 2:
x 2 a2
Tính các tích phân sau:
6
1
1)
3
dx ;
HD : Ñaët x
3
sin t
ÑS :
dx ;
HD : Ñaët x
1
sin t
ÑS :
dx ;
HD : Ñaët x
1
cos t
dx ;
HD : Ñaët x
1
cos t
x x2 9
2
36
2
3
2)
2
1
x x 1
2
2
2
x2
3)
x 1
2
0
5
2
4)
1
1
x x 1
2
DẠNG 3:
6
x 2 a2
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1: Tính I
0
x
1
2
1
dx
2x 4
Giải:
0
0
1
1
Ta có: 2
dx
2
1 x 2 x 4
1 x 1
3
2
dx
Đặt x 1 3 tan t với t ; . dx 3 1 tan 2 t dt
2 2
Đổi cận:
x
-1
0
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
14
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
t
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
0
6
0
1
36
3
3
Khi đó: I 2
dx
dt
t 6
.
3 0
3
18
1 x 2 x 4
0
1
x3
dx
8
0 1 x
Bài 2: Tính I
Giải:
1
1
x3
x3
Ta có:
dx
0
8
0 1 x
1 x4
2
dx
1
Đặt x 4 tan t với t ; . x 3dx 1 tan 2 t dt
4
2 2
Đổi cận:
x
0
t
0
1
0
4
3
1
3
x
x
Khi đó: I
dx
8
4
0 1 x
0 1 x
1 1 tan t
14
1
dx
dt
dt t 4 .
2
2
4 0 1 tan t
40
4
16
0
2
4
cosx
dx
2
0 1 sin x
2
Bài 3: Tính I
Giải:
Đặt sin x tan t với t ; cosxdx 1 tan 2 t dt
2 2
Đổi cận:
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
15
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
x
0
t
0
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
2
4
4
cosx
1 tan t
Khi đó: I
dx
dt dt
2
2
4
0 1 sin x
0 1 tan t
0
2
4
2
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
4
1
dx ;
2
0 4 x
1)
3
2)
0
HD : Ñaët x 2 tan t
1
dx ;
x 9
ÑS :
8
HD : Ñaët x 3tan t
2
1
3) x 1 x 2 dx ;
HD : Ñaët x tan t
0
3
1
4)
1 x
2
3
3
3
dx ;
HD : Ñaët x tan t
ÑS :
3 1
2
3
2
9 2x2
dx ;
x2
5)
3
2
1
6)
0
x3
x
2
3
x
7)
1
0
3
9)
1
x
dx ;
1
x2 3
2
1
8)
1
3
1
2
1
2
dx
1 x2
dx.
x2
dx ;
HD : Ñaët 2 x 3tan t
HD : Ñaët x tan t
ÑS :
3 1
2
hoaëc u x 2 1
HD : Ñaët x 3 tan t
ÑS :
2
8
Ñaët x tan t.
ÑS : ln 2 3
2 1
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
3 2 2 3
3
16
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
1
10)
0
x
dx.
x x2 1
4
ÑS :
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
3
8
1
1
du
HD :Bieán ñoåi tích phaân ñaõ cho veà daïng: 2
2 0 u u 1
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
17
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
DẠNG 4:
a x
hoaëc
ax
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
ax
a x
Tính tích phân sau:
0
1)
1
1 x
1 x
DẠNG 5:
HD : x cos2t
5
2
2)
0
5 x
5 x
HD : x 5cos2t
x a b x
Tính tích phân sau:
3
2
x 1 2 x .
Ñaët x 1 sin 2 t.
5
4
1
3
ÑS :
8 12 8
BÀI TẬP BỔ SUNG
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
18
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản
1
dx
4
0 cos x
4
Ví dụ 1: Tính I
Giải:
Đặt t = tanx ; dt
1
dx
cos2 x
Đổi cận:
x
0
t
0
4
1
1
4
t3 1 4
1
1
2
2
Khi đó: I
dx 1 tan x
dx 1 t dt t .
4
30 3
cos2 x
0 cos x
0
0
4
Ví dụ 2: Tính I
12
tan 4 xdx
0
Giải:
Ta có:
12
12
0
0
sin 4 x
tan 4 xdx cos4 x dx
Đặt t = cos4x ; dt 4s in 4 xdx sin 4 xdx
dt
4
Đổi cận:
x
0
t
1
12
1
2
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
19
- Xem thêm -
.PDF 
110 
235 
72 
