ồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
1. Bảng nguyên hàm của các hàm số.
2. Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp đổi biến số:
* Loại 1:
Dạng:
a x dx ,
2
2
dx
a x
2
dx
Dạng: 2
đặt x = atant,
2
x a
2
1
HD: Đặt t = x2 + 1 hay x = tant. ĐS I =1/2(1-ln2).
ln 3
đặt x = asint.
b
dx
(ax b)2 c 2 đặt ax b ctant
HD: Đặt t = mẫu đưa về dạng
a
b
ĐS I=3/4e-2 - 4/7
2
Bài 4: Tính tích phân I 6 1 cos3 x .sin x.cos5 dx
0
a
HD: t =
b
a
6
1 cos x cos x = 1- t6.
3
3
2 3
Bài 5: Tính tích phân I
a
HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặt
b
x
x
Dạng:
dx, 2 dx,
2
a cos x
a sin x
Dạng
e
a
x
dx
1
cos
2x
0
HD:Đưa về dạng tích phân từng phần.
3
HD: Biến đổi về dạng I
tgx
cos2 x. tg 2 x 1
2
Bài 9 :Tính tích phân : I
1
Đặt t
1
2
Bài 10:Tính tích phân : I
0
Kết quả ta được
a
2
Bài 11 : Tính tích phân : I
0
f ( x)
dx f ( x)dx .
x
1
0
0
2
2 2t 2 1 2 2 t 3 t
2 16 2 2 1 34
3 1 3 3 9 3 1 3 9 3 9 3 27
a
f) Tích phân dạng:
dx
2
f ( x)
dx đổi biến số x = -t.
x
1
1 3cos x
Ñaë t t 1 3cos x t 2 1 3cos x 2tdt 3sin xdx
2tdt
sin xdx
. Ñoå i caä n : x 0 t 2; x t 1
3
2
t 2 1 2tdt
2
1
1
2
2 2 cos x 1 sin xdx
3
2sin x cos x sin x
3
I
dx
t
1 3cos x
1 3cos x
0
0
2
f ( x)dx 0 .
a
sin 2 x sin x
0
a
x 1 t 2 x 1 x t 2 1 dx 2tdt x 1 t 0; x 2 t 1
2
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx .
f ( x)
dx trong đó f(x) là hàm số chẵn.
x
1
Cách giải: Tách thành 2 tích phân :
0
f ( x)
f ( x)
f ( x)
dx
dx
a x 1 a x 1 0 a x 1 dx
dx
1
0
1 x 1
t3 t2
1 1
11
2 2t 2 ln t 1 2 2 2 ln 2 4 ln 2
3 2
3
3 2
0
a
Xét tích phân
x
1 3
1
t 1
t t
2
2tdt 2
dt 2 t 2 t 2
dt
1
t
t
1
t 1
0
0
0
I
a
e) Tích phân dạng
dx .Đặt t 1 tg 2 x
4
Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tích phân từng phần 2 lần.
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:
Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:
dx
4
a
+ y = f(x) lẻ thì:
cos x. 1 cos 2 x
sin(ln x)dx, cos(ln x)dx.
a
tgx
b
0
3
Đặt u = sinx (u = cosx), dv = e dx. Tích phân từng phần 2 lần.
a
0
Bài 8: Tính tích phân I
a
+ y = f(x) chẵn thì
1
sin xdx, e cos xdx.
a
ĐS I = /8-1/4.ln2
1
Bài 7: Tính tích phân I x 3 1 x 2 dx ; J x 2 1 x 2 dx
x
Dạng:
t x 2 4 . ĐS I=1/4.ln5/3
4
x
b
dx
Bài 6: Tính tích phân I
b
x
x. x 2 4
dx
dx
Đặt u = x, dv =
hoặc dv =
.
2
cos x
sin 2 x
3. Một số tích phân thường gặp:
b
P( x)
dx P(x), Q(x) là các đa thức.
a) Tích phân hữu tỉ:
Q
( x)
a
+ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x).
+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc
phương pháp hệ số bất định.
b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác.
+ Nắm vững các công thức biến đổi.
c) Tích phân hồi quy:
b
ĐS I =12/91
1
5
Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx).
b
3 1 x )dx
x
a
2x
HD Tách thành 2 tích phân.
P( x) sin xdx, P( x) cos xdx, P( x) e dx,
Dạng:
x (e
1
f (u ( x))u '( x )dx f (u ( x ))d (u ( x ))
b
du . ĐS I 2 1
0
Bài 3: Tính tích phân I
b) Phương pháp tích phân từng phần:
b
a
a
u
dx
(e x 1)3
0
+ Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx.
b
ex
Bài 2: Tính tích phân I
f (u ( x))u '( x)dx. Đặt t = u(x).
+ Ta cũng có thể biến đổi:
dx .
x 1
2
0
b
* Loại 2:
x
Bài 1: Tính tích phân I
3
sin 2 x
cos x 4sin 2 x
2
dx
Ñaë t t cos2 x 4sin 2 x t 2 1 3sin 2 x 2tdt 6sin x cos xdx
2tdt
3sin 2 xdx sin 2 xdx
. Ñoå i caä n : x 0 t 1; x t 2
3
2
2tdt
2
2
2
2
2
4 2 2
I 3 dt t
t
3
3
3
3 3
1
1
1
a
f (a x)dx f ( x)dx trong đó f(x) là hàm
0
số liên tục trên [0; a].
Đổi biến x = a - t.
1
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
TRÒN XOAY.
S
b
a
2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi
quay quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
VOx= f ( x )dx
a
3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi
quay quanh trục Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
VOy= f 2 ( y )dy
a
1
2
S
1
1
dx , x 1;2 ,
x
x x 1
3
2
dx
x x 1
3
1 x
3
3
x x 1
1
3
1
x x 1
3
2
2
2
1
x2
dx 3
dx
x x 1
1
2
3k 2 90 18k 2k 2 6 k 5
54 k 12k 60
3.18
1
54
VOx
0
3
x
0
x 0
x 0
x e e 0 x
x 1
e e
1
1
1
0
1
2
0
x2
1 cos 2 x
3
dx xdx x cos 2 xdx
I
I
2
20
20
4 2
4 0 2
e
1
1
ex
e
e
S x ex e x ex e x dx
e x e 1 1 ñvdt
0
2
0
2
2
0
x sin x dx x sin 2 xdx
(Đại học khối A – 2007)
2
x 0 (loaï i)
Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x ln x 0
ln x 0 x 1
du dx
u x
Ñaë t
x
x
x
dv
e
e
dx
v e e dx ex e
Vaä y Smin k 6
Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx ,
y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình H quanh trục Ox
x 0;1 , ta luoâ n coù x e e x 0, vaä y S x e e x dx
0
24
x
1
1
3
I sin 2 x sin 2 xdx 0 cos 2 x 0 VOx
ñvtt
4
2
0 2 0
4
0
S e 1 x 1 e x x dx x e e x dx ;
0
2
du dx
u x
Ñaë t
1
dv cos 2 xdx v sin 2 x
2
Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : e 1 x 1 e x x
k 6
x 0
x 0
Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x sin x 0
x
sin x 0
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x
x
541
Ox và đường y x sin x 0 x
3
3x 2 x 3
27
9
neâ n S 3 x x 2 dx
9 ñvdt
3 0 2
2
2
0
k 2 12k 60
Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép
quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục
Vaä y S x x 2 2 x dx x 2 3 x dx x 0;3 , x 2 3 x 0
3
9
x x 2 2 x x 2 3x 0 x 0 x 3
0
3
9
y2 9y 2 y 3
y9
27 27
9
Vaä y : S
y dy
18 ñvdt
12 6
6
3
4
2
4
0
0
Phöông trình hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø :
0
k k
k
k 5
. 5 k
9
3
2 3
y x2 x y x 0
Dieä n tích caà n tìm giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng :
y9
y 6x 9 x
6
y9
pt tung ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø y
y 9 36 y y 2 18y 81
6
9
y9
y9
y 2 18y 81 0 y 9. S y
dy y 0;9 : y
0
6
6
0
0
Dieä n tích caà n tìm giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng : y x , y x 2 2 x
3
3
2
y 9 2.3 x 3 y 6 x 9
Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường : x + y = 0 và x2 – 2x + y = 0
3
pt tieá p tuyeá n taï i ñieå m M laø : y yM y ' x M x x M
2
1 1 x3 1 '
1 1 3x
dx ln x 1 ln x 3 1
dx
3
3
x 3 x 1
x 3 x 1
3
1
1
1
1
1
4
1
ln 2 ln 9 ln 2 .
S ln 2 ln 9 ñvdt
3
3
3
3
2
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = x2, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 3.
Vd 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
1
x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong y
x x3 1
Ta coù : S
b
2
kx 2
dx
5 k x x3
2
xA
2
2
kx 2
kx 2
B 5 k x B x B3 A 5 k x A x A3
2
2
k
xB2 x A2 5 k xB x A x B3 x A3
2
k
xB x A x B x A 5 k x A2 x A x B x B2
2
SD= f ( x ) g( x ) dx
b
k x 1 5 3x
xA
1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x);
x = a; x = b có diện tích:
xB
xB
Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = 3x2 và đường thẳng (d) qua
M(1;5) có hệ số góc là k.
d
P
Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P)
và (d) có diện tích nhỏ nhất.
1
1
2 ln x
du
dx
u ln 2 x
x
Ñaë t
3
2
dv x dx v x 2 dx x
3
e
x3
2e
e3 2
I1 ln 2 x x 2 ln xdx I 2
3
3
3 3
1
1
dx
x3
; dv ' x 2 dx v ' x 2 dx
x
3
e
e
x3
1e
e 3 x 3 e 3 e 3 1 2e 3 1
I 2 ln x x 2 dx
3 9 1 3 9 9
9
3
1 3 1
Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a (P) vaø (d) :
3 x 2 kx k 5 3 x 2 kx k 5 0
k
xA
6
2
k 12k 60 0, k (d ) luoâ n caé t (P) ôû A vaø B.
k
xB
6
2
Ñaë t u ' ln x du '
Ta coù pt ñt (d) : y 5 k x 1 y kx k 5
e
Vaä y VOx x ln x dx x 2 ln 2 xdx I1
3
e3 2 2e3 1 5e 2
VOx .
ñvtt
9
27
3 3
2
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
Bài 17. CĐ Bến Tre – 2005
2005
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005
2
cos 3x
KQ: 2 3ln 2
dx
sin
x 1
0
Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
I
2
I
sin 2 x sin x
KQ:
dx
1 3cos x
0
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2005
34
27
2
I
2
sin 2 x cos x
dx
1 cos x
0
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005
I
2
KQ: e
0
sin 2 x 2 cos x.cos 2
I x ln xdx
4
1
1
I
141
KQ:
10
KQ: ln 2
0
4
4
1
2
1
0
e
I
Bài 7. Tham khảo 2005
KQ:
1
sin 2004 x
dx
x cos 2004 x
0 sin
Bài 25. CĐSP KonTum – 2005
I
Bài 9. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005
3
x3
I
dx KQ: 6 ln 3 8
3
x
1 x3
1
Bài 10. CĐ GTVT – 2005
1
I x5 1 x 2 dx
KQ:
0
4sin 3 x
dx
1 cos x
0
8
105
2
I
848
105
2
dx KQ:
1
1
KQ: ln 2
2
KQ:
2
Bài 4. Tham khảo 2006 I x 1 sin 2 x dx KQ:
2
Bài 5. Tham khảo 2006 I x 2 ln x dx KQ:
dx
3
KQ:
1 x 2 2 x 4
18
Bài 15. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005
e
ln x
2
I 2 dx
KQ: 1
x
e
1
Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005
I
1
Bài 6. ĐH, CĐ Khối B – 2006
ln 5
dx
I x
e
2
e x 3
ln 3
10
Bài 7. Tham khảo 2006 I
KQ:
4
46
15
e
Bài 8. Tham khảo 2006 I
x
1
3
dx
x 1
3 2 ln x
1 2 ln x
1
5
ln 4
4
KQ: ln
x2
5
3x 1
5 3e 2
2
0
0
dx
3 1
KQ: ln
2 12
1 2sin 2 x
I
dx
1 sin 2 x
0
Bài 14. CĐSP Tp.HCM – 2005
x 1
2
3
0
4
0
sin 2 x
2
I x 2 e 2 x dx
3
4
KQ: 2
cos x 4sin x
0
Bài 2. Tham khảo 2006
6
dx
I
4x 1
2 2x 1
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2006
Bài 13. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005
I
3
0
6
2006
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2006
3.e 2 5
I e sin 5 xdx
KQ:
34
0
Bài 12. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005
KQ:
2
3x
x 3 1.x 5 dx
KQ:
2004
I
2
3
4
Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005
2
6 3 8
KQ:
5
2
0
7
3
KQ:
2
2
I x . x 3dx
dx
1
Bài 8. CĐ Khối A, B – 2005
I
x
1 ln x
Bài 24. CĐSP Hà Nội – 2005
2 3 1
e
9
9
1
2
Bài 21. CĐSP Hà Nội – 2005
2 3
x 2x2 4x 9
I
dx KQ: 6
2
x 4
8
0
Bài 22. CĐ Tài Chính – 2005
1
xdx
1
KQ:
I
3
8
0 x 1
Bài 23. CĐSP Vĩnh Phúc – 2005
3
8
I tgx esin x .cos x dx KQ: ln 2 e
e
KQ:
x sin xdx
0
3
e2 1
4
2
Bài 6. Tham khảo 2005
I x 2 ln xdx
KQ:
Bài 20. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005
3
;J
e
I esin x cos x cos xdx
I sin 2 xtgxdx
I ln 2
x sin 2 xdx
KQ:
3
2
J
0 sin 2 x cos x
3 4
3
sin xdx
x
2
Bài 19. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005
0
KQ: 2 ln 2 1
Bài 4. Tham khảo 2005
7
x2
I 3
dx
x 1
0
Bài 5. Tham khảo 2005
3
2
KQ: 2 ln 2 1
dx KQ:
10
11
2
3
3
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
Bài 9. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006
Bài 27. CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006
1
1
I x ln 1 x 2 dx (Đổi biến t 1 x 2 , từng phần)KQ: ln 2
2
0
Bài 10. CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006
2
ln 1 x
3
KQ: 3ln 2 ln 3
I
dx
2
2
x
1
Bài 11. CĐ Nông Lâm – 2006
1
I x x 2 1dx
KQ:
0
2
sin 3 x
KQ: Không tồn tại
dx
2
cos
3x 1
0
Bài 28. CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006
I
1
I x ln 1 x 2 dx
0
2 2 1
3
x x 1
32
KQ:
dx
10 ln 3
x
5
3
1
Bài 30. CĐ Xây dựng số 3 – 2006
1
5
I x cos3 x sin x dx KQ:
4
0
2
I
1
1
x
dx KQ: ln 2
2
2
1
x
0
2
sin x cos x
1 sin 2 x
dx KQ: ln 2
2
cos x
1 5
dx KQ: ln
5 2sin x
2 3
0
Bài 31. CĐ GTVT III – 2006 I
4
Bài 14. CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006
3
I x ln x 2 5 dx
KQ:
0
2
1
14 ln14 5ln 5 9
2
J 2 x 7 ln x 1 dx
Bài 32. CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006
2
0
cos 2 x
sin x cos x 3
3
4
I 1 tg 8 x dx
1
KQ:
32
dx
0
4
I x 1 cos x dx
KQ:
0
2
8
1
Bài 17. CĐ KTKT Đông Du – 2006
76
105
sin 3 x sin 3 3 x
1 1
dx KQ: ln 2
1 cos 3 x
6 3
0
Bài 35. CĐSP Hưng Yên - Khối D1 , M– 2006
6
I
4
1
cos 2 x
KQ: ln 3
dx
1
2sin
2
x
4
0
Bài 18. CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006
ln 2
e2 x
8
KQ: 2 3
I
dx
x
3
e
2
0
Bài 19. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006
I
ln x 3 2 ln 2 x
3 3
dx
KQ:
3 3 22 2
x
8
1
Bài 36. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006
e
I
4
I cos 4 x sin 4 x dx
1
2
0
Bài 37. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006
3
2
4sin x
KQ: 2
dx
1
cos x
0
Bài 20. CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006
I
KQ:
4
cos 2 x
dx
1 2sin 2 x
0
Bài 38. CĐSP Trung Ương – 2006
I
2
x
ln
I
dx
KQ:
2
4
2
0 cos x
Bài 21. CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006
3
x3
I
dx KQ: 6 ln 3 8
1 3 x 1 x 3
Bài 22. CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006
9
468
I x. 3 1 x dx
KQ:
7
1
4
1
Bài 24. I x 2 2 x 3 dx
KQ:
0
2
3 32 2
9
2
0
Bài 26. I x e 2 x 3 x 1 dx
KQ:
1
ln 3
4
KQ:
2
3
2
I sin x sin 2 xdx
0
Bài 39. CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006
1
x
4 1
KQ : ln
I
dx
2
3 4
0 x 3
Bài 40. CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006
2
I x 2 cos xdx
2
2
4
Bài 41. CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006
e
dx
KQ:
I
2
4
1 x 1 ln x
KQ:
1
Bài 25. I 2 x 1 cos 2 xdx
KQ:
e
x3 1
2e3 11
Bài 23. CĐ Bến Tre – 2006 I
ln x dx KQ:
9 18
x
1
0
KQ:
Bài 33. CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006
4
4x 3
I 2
dx
KQ: 18 ln 2 7 ln 3
3 x 3x 2
Bài 34. CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006
Bài 16. Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006
1
KQ: 24 ln 3 14
0
Bài 15. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006
I
1
2
Bài 29. CĐ Xây dựng số 2 – 2006
Bài 12. ĐH Hải Phòng – 2006 I
Bài 13. CĐ Y Tế – 2006 I
KQ: ln 2
12
1
2 4 2
Bài 42. CĐKT Y Tế I – 2006 I sin x cos x dx KQ: ln 2
2
e2 1
KQ:
4 14
4
4
1 sin 2 x
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
Bài 43. CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006
3
I
ln tgx
sin 2 x
Bài 8. Tham khảo khối D – 2007
2
1 2
KQ:
ln 3
16
dx
x
4
3
0
15
4
2
Bài 10. CĐ GTVT – 2007
1 1
1 x 2 1 x
1
46
KQ:
dx
15
3
x
1
0
Bài 48. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006
2
x
dx
KQ: ln
2
4
2
0 cos x
Bài 49. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006
4
x sin x
2
2
dx
1
5e3 2
27
KQ:
3
y x , y x cos 2 x , x 0 , x .
ln 2 .
3
384
2
32
1
4
KQ:
2
0
Bài 16. CĐ Khối D – 2007
x 1 dx
KQ: 1
Bài 17. CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007
3
dx
x x
2
1
2
1
3
x
3
x 2 1 dx KQ:
1
x e
0
5e 2
2x
x 1 dx
1
KQ:
27
5e 1
32
xe
x
dx KQ: 1
0
4
1
3 2 31
e
4
60
1
Bài 20. CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007
KQ:
14 3
5
Bài 19. CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007
Bài 3. ĐH, CĐ khối D – 2007
e
3
3 12
KQ: 1
Bài 18. CĐ Hàng hải – 2007
3
KQ:
2
2007
Bài 1. ĐH, CĐ khối A – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
e
KQ: 1
y e 1 x , y 1 e x x .
2
Bài 2. ĐH, CĐ khối B – 2007
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x ln x ,
y 0, y e . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
2008
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2008
Bài 4. Tham khảo khối A – 2007
dx
KQ:
1
1
dx
Bài 15. CĐ Khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Bài 50. CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006
2x 1
2
KQ: 6 ln 2 2
Tính tích phân I x 3 ln 2 x dx
32008 22008
2008
1
1
4
dx
Bài 14. CĐSP Vĩnh Phúc – 2007
2
quay hình H quanh trục Ox.
KQ:
2007
e
x ln x
I
KQ:
KQ: 2
3
4
dx
I
sin x.sin x
6
3
4 cos3 x
1 sin x dx
Bài 13. CĐ Cơ khí luyện kim – 2007
3
2
Bài 11. CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007
7
x2
231
KQ:
0 3 x 1 dx
10
Bài 12. CĐ Khối A – 2007
3
I 4 x 1 ln x dx
4
0
x2
I
2
Bài 45. CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006
e
ln x
KQ: 4 2 e
I
dx
x
0
Bài 46. CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006
1
1
I 2
dx
KQ:
x
2
x
2
4
0
Bài 47. CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006
7
3
KQ:
Bài 9. CĐSPTW – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương
7
trình y x 2 2 ; y x ; x 1; x 0 . KQ:
6
2
cos x dx
0
Bài 44. CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006
I sin 2 x 1 sin 2 x dx KQ:
2
6
KQ: 2 ln 2
tg 4 x
cos 2 xdx
2x 1
Bài 5. Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
x 1 x
1
.
KQ: ln 2 1
y 0 và y 2
4 2
x 1
Bài 6. Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1
2
KQ:
y x và y 2 x 2 .
2 3
Bài 7. Tham khảo khối D – 2007
1
x x 1
3
KQ: 1 ln 2 ln 3
0 x 2 4 dx
2
0
1
10
ln 2 3
2
9 3
KQ:
43 2
4
0
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2008
sin x dx
4
4
0 sin 2 x 2 1 sin x cos x
KQ:
ln x
3 2 ln 2
dx
KQ:
3
16
1 x
Bài 4. CĐ Khối A, B, D – 2008
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
9
P : y x 2 4 x và đường thẳng d : y x .KQ: (đvdt)
2
2
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2008
5
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
1
Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân
1 2t
= ln
.dt I I 0
1 2t
1
Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm
Các tính chất của nguyên hàm các bạn có thể đọc trong sách giáo
khoa. Chỉ lưu ý tính chất đậm nét quan hệ giữa nguyên hàm và vi
2
phân: d F ( x) F ( x) C
Đặt t = -x x = -t dx = - dt. Đổi cận x = -2 t = 2 và x = 2 t = -2
Từ đó, bằng các phép biến đổi vi phân, các bạn dễ dàng tìm được
nguyên hàm. Xem lại các bài tự luyện và đáp án ở số này để theo
dõi các thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian đã lược bớt để cho
gọn bài viết).
Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm
1.
2 x 1 x
1.
2 x 1 x
2.
s inx.cos x.dx
2
2
x 5 .dx
x 5 .dx
7
=
2
1
8
1
Đặt t =
2
1.
3.
dx
2
x 1
x x 1
x.dx
3
x 1
2
3
x2 1
4
2
3
x d 2 ln
x 1
d x2 1
2 x2 1
1
3
1
x2 1
2
1.
dx
=
1 tg x .d (tgx ) d tgx 3 tg x =
2
1
3
2
3
0
0
I
cosx sinx
dx x
=
0
J
1
2 I J
2
4
0
4 0
2 0
t .sin t.sin 3t.dt
0
cos2t-cos4t dt I
cos2t-cos4t .dt 4 21 sin 2t 14 sin 4t 0 0
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây.
1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)
Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x)
là một nguyên hàm của f(x) thì
dx
cos x
4
b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a)
a
Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt
buộc phải có để được sử dụng định lý. Nhiều bạn cứ tưởng có
được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết :
I
3
4
0
1
tgx tg3 x C
3
Nhiều khi các bạn muốn tính tích phân
f ( x).dx
dx
tan x
cos 2 x
xác định tại x
3
4
0
( x 1)dx
3
0
a
7
tìm nguyên hàm của f(x). Có nhiều con đường xử lí, nhưng xin
gợi ý một cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x.
1
không
cos 2 x
3
nên I không tồn tại.
0;
2 4
Thí dụ 1 : Tính I
mà không thể
1 (?). Lưu ý : f ( x)
7
3
b
1
t0
x.s inx.sin3x.dx
= sin t.sin 3t.dt t.sin t.sin 3t.dt =
2. Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân.
Thí dụ 1: Tính
0
2
cosx sinx
0
x
d tg
2 d ln tg x ln tg x C
2
x
2
tg
2
d tgx
dx
dx
cos4 x cos2 x.cos2 x cos2 x
cosx.dx
+
0
x
x
d
d
2
2
=
x
x x
x
sin .cos
tg .cos2
2
2
2
2
2.
2
cosx.dx
2
cost sint
0
I t .sin t .sin 3 t .(dt ) =
x 1 x C
2.
0
s inx
và x
3
.d x 2 1 d x 2 1
4
2
cost.dt
2
2
sinx cosx
Thí dụ 4: Tính
C
Thí dụ 3: Tìm nguyên hàm
dx
1.
s inx
3
Đặt t = − x x = − t dx = − dt. Đổi cận: x = 0 t = , x = t =0
Do đó:
1
s inx.dx
x 1 x 2 ln
2
0
1
1
cos5x - cosx + C
10
2
2d
t dx dt .Đổi cận: x = 0 t
2
1 1
1
2
sin t cos t
2
2
Vì I + J =
sin 3x.cos2x.dx 2 sin 5x s inx .dx = d 2 5 cos5x-cosx
=
2.
x x 1
sinx cosx
sin t .( dt )
2
0
x.dx
3
x x
Do đó:
8
2
s inx.dx
0
3.
2
t 2 dt
2 2t 1 =
2
I
dx
2.
2 2 t 1 1 .t 2 .dt
2t.t 2 .dt
=
t
2t 1
2 1 2
2
2
2
2
Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm
sin 3x.cos2x.dx
2 t 1
Thí dụ 3: Tính
ln x.dx
1
3.
ln x.d (ln x ) ln 2 x C
x
2
1.
2
(cos x).d(cosx)= d - 8 cos x - 8 cos x+C
7
t dt
t 2 .dt 1 3 2
1 1 32
8
2 t .dt 2 2t 1 3 t 2 I I 2 . 3 .t 2 3
8
1
x x 5 .d x x 5 = x 2 x 5 C
8
7
2
2
7
2
2
Do đó: I
ln x.dx
2. s inx.cos x.dx 3.
x
7
7
x 2 .dx
x
1
2
2
Thí dụ 2: Tính
3x 1
7
2
(ĐH Ngoại ngữ HN-1999)
1
1 3 [(3x 1) 2]dx 1 3
I
[(3x 1) 3 2(3 x 1) 3 ]d(3x 1)
3
30
90
3x 1
1 2x
ln 1 2 x .dx
1
Đặt t = -x x = -t dx = - dt. Đổi cận: x = -1 t = 1 và x = 1 t = -1.
5
2
1 3
(3 x 1) 3 3(3 x 1) 3
9 5
1
7
3
0
46
15
dx
(ĐH Ngoại thương HN-1999)
2
(
x
3
x 2) 2
0
Thí dụ 2 : Tính I
1
1
1
1
1
1 2x
1 2t
1 2t
1 2t
I ln
.dx ln
.(dt ) ln
.dt ln
.dt
1 2x
1 2t
1 2t
1 2t
1
1
1
1
6
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
1
1
1
1
0
1
1
1
dx
dx
1
I
2
dx
dx
2
2
x 1 x 2
x 1 x 2
0
0 ( x 1)
0 ( x 2)
0
I
x 1
( x 1)1 ( x 2)1 2 ln
x2
2
1
0
2
3
2 ln
3
4
u
u
1
d I
d I
2 4
2u
0
0
u
u 2
cos
sin cos
2 4
2
2
.
1
2
u
Do đó : I = tg 2 .
2 4 0
3
2
x x 2 x .dx
1
3
0
b
2
Chú ý : Nếu gặp tích phân
3
I x x 2 2 x .dx x x 2 2 x .dx x x 2 2 x .dx x x 2 2 x .dx
1
0
1
0
2
0
2
x
2x 0 x
2x 2 x
2x 3
4
3 1 4
3 0 4
3 2
4
4
3
4
3
4
mà tính mãi không được,
các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x. Các thí dụ
trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng.
Thí dụ 8 : Cminh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần
x x 2 2 x .dx x x 2 2 x .dx x x 2 2 x .dx
1
f ( x)dx
a
2
3
x
1
u
dx u
( du)
du
du
1 s inx
1 s inu
1 s inu
1 sin u
0
0
0
Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách
cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối.
Thí dụ 3 : Tính I
3
a T
hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có :
T
f ( x)dx f ( x)dx
a
a T
2. Phương pháp biến đổi số :
Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì
f [u(x)].u'(x)dx
a
4
I
1
x
x2 9
(Học viện KTQS - 1999)
dt
7
1
3
d (3t )
(3t )2 1
1
4
1
1
1
ln (3t )2 1 3t
3
1
0
0
0
1
7
1
4
0
1
7 1 7
ln
ln
3
2
6 4
1
1
I
2
2007
0
2006
0
0
0
s inx dx
5014
3. Sử dụng công thức tích phân từng phần :
b
Ta có :
udv u.v
b
a
b
vdu
a
Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương
pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải
kết hợp với phương pháp đổi biến :
1
2
I I .
5
5
2
Thí dụ 10 : Tính I
không nhất thiết phải tìm nguyên
sin
xdx (Đề ĐH Đà Lạt - 1999)
0
Đặt t x x t 2 dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 t = 0 ; x 2 t = nên :
hàm F(x) của f(x).
- Cách tích phân dạng
I 2 t sin tdt 2 t.d (cos t ) 2 t cos t
0
0
g ( x)dx
với a > 0 và g(x) là hàm số
ax 1
chẵn, đều làm như trên.
1
Thí dụ 6 : Tính ln
1
2 x
dx
2 x
0
Giải : Xét I n x n .e x .dx . Đặt u x n du nu n1; dv e x dx v e x .
0
-1
1
1
1
2-t
2-t
2-x
2+t
2+t
I= ln
dx= ln
(-dt)= ln
dt= ln
dt=- ln
dt=-I. I = 0.
2+x
2-t
2-t
2+t
2+t
-1
1
-1
-1
-1
Theo công thức tích phân từng phần ta có :
1
1
1
1 1
1
I n x n .e x .dx udv uv vdu x n .e x n x n1e x dx e nI n1
0
0
0
0
0
0
Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ
luôn bằng 0.
+ Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số :
1
với mọi n nguyên và n >1.Ta có : I1 x.e x .dx xe x
0
b
a
1 1 x
1
e dx e e x 1 .
0 0
0
I 2 e 2 I1 e 2; I 3 e 3I 2 e 3(e 2) 6 2e;
= ...
I 4 e 4 I 3 e 4(6 2e) 9e 24; I I 5 e 5I 4 e 5(9e 24) 120 44e
a
cos tdt = 2 sin t 0 2
0
1
1
f ( x)dx f (u)du f (t )dt
0
1
-1
b
Thí dụ 11 : Tính I = x 5 .e x .dx
Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó :
Thí dụ 7 : Tính
a
a
s inx dx
2007 s inx dx 2007 s inx.dx 2007cosx
b
b
s inx dx s inx dx s inx dx ...
a
1
f ( x)dx
a
2007
Do đó :
x 4 dx
1 1 2x (Đề Học viện BCVT - 1999)
1
a
Chứng minh dễ dàng hàm số y = s inx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là .
(t )4 .(dt )
2t.t 4 dt
t 4 dt 1 5
t 4 dt
t
4
t
t
5
1 2
1 1 2
1
1 1 2
Chú ý : - Để tính
f ( x )dx ,
T
0
Đặt t = x x = t dx = dt.
Đổi cận : x = 1 t = 1 ; x = 1 t = 1 ta có :
I
2007
1
Thí dụ 5 : Tính I
f ( x )dx (*). Xét J
a
Thí dụ 9 : Tính
1
9t 2 1
T
Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của
hàm số tuần hoàn.
1
1
dt
Đặt t x dx 2 .
x
t
t
1
1
Đổi cận : x 7 t
;x=4 t .
4
7
Do đó :
7
a
f ( x )dx f ( x )dx
0
a T
do đó : J f (u T ). du f (u)du f ( x )dx .Thay vào (*) ta có đpcm.
dx
7
1
4
a T
đặt u = x - T x = u + T dx = du.Đổi cận : x = T u = 0 ; x = a + T u = a,
f (t )dt
u(a)
Thí dụ 4 : Tính I
a
u (b )
b
Ta có
T
x
1 s inx dx
Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương
tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho
n = 2;3;4;5.
0
Đổi biến số u = x x u . Ta có : x 0 u ; x u 0.
Mặt khác : dx = -du.
7
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC
2 3
(A – 2003)
x x2 4
5
Ñaë t t x 2 4 t 2 x 2 4 2tdt 2 xdx tdt xdx
I
2 3
5
4
xdx
x2 x2 4
3
t
tdt
4
4 t
2
3
1 t 2 t 2
dt
4 3 t 2 t 2
4
dt
t 2 t 2
2
4
4
2
2
2
0
2
2
0
0
2
Tính A esin x cos xdx : Ñaë t t sin x dt cos xdx.
0
0
Ñoå i caä n : x 0 t 0, x
Ñaë t t 1 x t 1 x x 1 t 2 xdx 2tdt xdx tdt
Ñoå i caä n : x 0 t 1; x 1 t 0
2
2
2
2
1
1
0
1
t3 t5
1 1 2
I x 2 1 x 2 xdx 1 t 2 t tdt t 2 t 4 dt
3 5 0 3 5 15
0
1
0
e
Tính tích phân : I
1
ln 5
e
ln 3
x
I
e
ln3
2x
Đổi cận
2
2
2
0
0
2
2
1
dx
2
0 1 x
1
, ta ñaë t x atgt , t ;
a2 x 2
2 2
Khi gaë p
2
2sin x cos x cos x
sin x cos2 x
dx 2
dx
1
cos
x
1 cos x
0
0
2
Ñaë t x tgt t ; dx 1 tg 2 t dt
2 2
I
t 1 dt 2
2
t
2
2
t 1
2
t2
t 2 2t 1
1
1 t dt 21 t 2 t dt 2 2 2t ln t
1
4
I
1
2 2 4 ln 2 2 2 ln 2 1
2
1 2 sin 2 x
dx
1 s in2 x
0
4
cos 2 x
dx Ñaë t t 1 sin 2 x dt 2 cos 2 xdx.
1 sin 2 x
0
4
I
1
I
0
x 0 t 1
x
4
t2
2
1 dt 1
1
Vaä y I ln t ln 2
1
21 t 2
2
3
dx
3
dx
2
1 3
x
2 2
I
(Dự bị 1 B – 2004)
6
8
4
2
. Ñaë t x
dx
x x 1
2
1
3
3
tgt t ; dx
1 tg2 t dt
2 2
2
2 2
3
1
1
3
3
tgt tgt
t ;x 1
tgt tgt 3 t
2
2
6
2
2
3
3
x0
2
dt t 4
4
0
0
0
(B – 2003)
1
1 tg2 t
1
4
3
1 tg2 t dt
10. Tính tích phân : I
xx
0
5. Tính tích phân : I
x 0 tgt 0 t 0; x 1 tgt 1 t
2
2
6. Tính tích phân : I
9. Tính tích phân : I
(B – 2005)
Ñoå i caä n : x 0 t 2, x
2
1
2
1 cos 2t
1
dt t sin 2t
2
2
4
0 4
0
0
2
cos2 tdt
1
4
x 0 sin t 0 t 0; x 1 sin t 1 t
0
5
5
t2
1
1
3
1
3
ln ln ln
dt ln t 2 ln t 1 3 ln
t 2 t 1
4
2
2
t 1 3
3
I 2
I 1 sin 2 t cos tdt cos2 t cos tdt cos t cos tdt
5
Ñaë t t 1 cos x dt sin xdx;
x sin 2 x 2
1 cos 2 x
dx
2
4 0 4
2
0
Đặt x sin t t ; dx cos tdt.
2 2
t 1 t 2 dt
e dx
dt
dt
2 3e x 3 t 2 3t 2 3 t 1 t 2 3 t 1 t 2
Khi gaë p a2 x 2 , ta ñaë t x a sin t, t ;
2 2
5
sin 2 x cos x
dx
1 cos x
0
0
0
0
( B – 2006)
4. Tính tích phân : I
1
1
2
5
2
1
t 1. A et dt et e 1
Tính tích phân : I 1 x 2 dx
8.
3dx
dx 2tdt
x
x
3
dx
2e x 3
5
2
0
Ñaë t t e x dt e x dx. x ln 3 t 3, x ln 5 t 5
x
2
Tính B cos2 xdx
2
t 2 1 2tdt 2 2 4 2
2 t5 t3
2 32 8 1 1 116
I t
t t dt
3
3
9
9
5
3
9
1
5 3 5 3 135
1
1
(B – 2004)
x 1 t 1; x e t 2
Vaä y I A B e 1
1 3ln x ln x
dx
x
Ñaë t t 1 3ln x t 2 1 3ln x 2tdt
ln 5
I esin x cos xdx cos2 xdx A B
Tính tích phân : I x 3 1 x 2 dx (Dự bị 2A – 2003)
Tính tích phân : I
Tính tích phân : I esin x cos x cos xdx (D – 2005)
1
3.
4
2
1 t 1
1 3
1 1 3
ln
ln ln ln
2
t 2 2 4
2 2 2
2
1 1
1 1 5
ln ln ln
4 3
5 4 3
2
x 1 t 2
2
2
4
7.
4
1 1
1
1
1 t 2
dt ln t 2 ln t 2 3 ln
4 3 t 2 t 2
4
4 t 2 3
2.
xdx
2
1
4
4
dx
4
Ñoå i caä n : x 5 t 3; x 2 3 t 4
3
x 1 x x 1 x Ñaët t 1 x dt 2 xdx. x 3 t 4
1
dt
1 t t 1
1 1
1
1
I
dt
dt ln t 1 ln t
2 t t 1 2 t t 1
2 t 1 t
2
I
1
dx
Tính tích phân : I
1.
3
3
3
1 tg2 t dt
2 3
2 33
2 3 3
2
dt
t
3 2 3
3
3
3 3 6
9
tg t
6
4
4
6
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
3
11. Tính tích phân : I ln x 2 x dx
2
2
2
2
2
0
2
2
Tính A : Ñaë t t x 2 4 dt 2 xdx ; x 0 t 4, x 2 t 8
1
12. Tính tích phân : I x 2 e2 x dx
(D – 2006)
Tính B : Ñaë t x 2tgt t ; dx 2 1 tg2 t dt ; x 0
2 2
0
du=dx
u=x-2
Ñaë t :
Þ
1 2x
2x
2x
dv=e dx v= e dx= e
2
tgt 0 t 0, x 2 tgt 1 t
1
x
dx (Dự bị 1 – A2003)
1
cos
2x
0
4
13. Tính tích phân : I
4
2 1 tg2 t dt
0
4 4tg2 t
B
1
2
dx
2
9 1 8 x 3 7
18. Chứng minh rằng :
u x
du dx
x
14 x
1
I
dx
dx I1 Ñaë t :
dx
dx
2
2
2
2
2
cos
x
cos
x
dv
tgx
0
0
v
cos2 x
cos2 x
4
I1 udv uv 4 vdu xtgx 4 tgxdx
0
0
4
0
0
ln cos x 4
4
0
ln
1
2
0
4
4
x 1;1 thì 1 x 1 1 x 3 1 7 8 x 3 9
1
cos x ' dx
cos x
0
2
19. Chứng minh rằng :
Ñaë t t x dt 2 xdx. Ñoå i caä n : x 0 t 0, x 1 t 1
1
0
15. Tính tích phân : I
4
2
2
3 2sin 2 xdx
x sin xdx (Dự bị 1 D – 2004)
0
2
0
2 4 x2 5 1
2
u t
du 2tdt
Ñaë t
dv sin tdt v sin tdt cos t
1
1
Vaä y I1 t 2 cos t 2 t cos tdt 2 2 I 2
0
4 x2
5
2
2
4 x2
5
dx
(ñieà u phaû i chöù ng minh)
2
2
0
u ' t
du ' dt
Ñaë t
dv ' cos tdt v ' cos tdt sin t
21. Tính tích phân : I
Vaä y I2 t sin t sin tdt cos t 1 1 2
0
0
0
2
16. Tính tích phân : I x 2 x dx
1 cos 2 xdx
3
p
0
4p
0
4
I= 2sin 2 xdx= 2 sinx dx= 2 sinx dx+ sinx dx = 2 sinxdx- sinxdx
p
p
p
p
0
0
3
3
3
-3
p
1
0
1 3 2
4
= 2 -cosx 0 - -cosx - p = 2 +1- -1+ =
-1
2 2
3
2
p
4
I1 2 4 I 2 2 8
(D – 2003)
0
Giải phương trình x2 – x = 0, ta được x = 0 V x = 1
x
-∞
0
1
2
x2 – x
+ 0 – 0 +
4
4 x2
5
dx
2
2
x 0;1 0 x 1 0 x 2 1 4 4 x 2 5
Ñoå i caä n : x 0 t 0; x t Vaä y I 2 t sin tdt 2 I1
ñpcm
1
Ñaë t t x x t dx 2tdt.
0
4
20. Chứng minh rằng : 1
2
5
4
0
2
4
2
2
2 3 2sin 2 x 5 2 3 2sin 2 xdx 5
2 4
2 4
1
1
1
u t
du dt
Ñaë t
I1 udv uv 0 vdu
t
t
dv e dt v e
0
0
1
1
1
1
t
t
t
te e dt e e e e 1 1 I
0
0
2
0
2
5
2
1
sin x 1 sin 2 x 1 1 2sin 2 x 2 4 3 2sin 2 x 5
2
2
1
dt 1
1
tet dt I1
2 2 0
2
0
2
3 2sin 2 xdx
x ; , ta coù :
4 2
0
2
4
(Dự bị 1 D – 2003)
2
1
1
1
1
1
ln 2. I I1 ln 2
4 2
2
8 4
1
1
1
1
9 8 x3 7
1
1 1 8 dxx 3 17 1 1 92 8 dxx 3 27 ñpcm
9
1
1
14. Tính tích phân : I x 3 e x dx
I x 2 e x xdx tet
4
1 4
14
16
17
dt t Vaä y I ln 2
20
3
8
2 0 8
4
4
8
1
8
1 dt 1
1
1
A ln t ln 8 ln 4 ln 2 ln 2
4
24 t 2
2
2
1
1
1
1
11
1 5-3e2
1
I= udv= uv - vdu= e2x x-2 - e2x dx= -e2 +2 - e2x =
0
2
2
2
4
0
4 0
0
0
0
4
(Dự bị 2 A – 2004)
2
2
x3
2 xdx
x
17
dx
16
I= x 2 -4- 2 + 2 dx= -4x - 2 +17 2 =- -A+17B
3
3
x
+4
x
+4
x
+4
0 0
0
0 x +4
3
x4 x 1
dx
x2 4
17. Tính tích phân : I
=3ln6-2ln2- 2x+ln x-1 =3ln6-2ln2- 6+ln2 -4 =-2+3ln6-3ln2=-2+3ln3
2
2
1
2
x2 x3 x3 x2
Vaä y I x - x 2 dx x 2 - x dx - -
2 3 0 3 2 1
0
1
1 1 8 1 1
- -2 - - 1
2 3 3 3 2
(D – 2004)
2x 1
u ln x 2 x
dx
du 2
Ñaë t :
x x
v x
dv dx
3
3
3
3 3 x 2x-1
3
1
I= udv= uv - vdu= xln x 2 -x -
dx =3ln6-2ln2- 2+
dx
2
2 x x-1
x-1
1
+∞
p
4
2
22. Tính tích phân : I
+
1
9
5 x 1
x2 x 6
dx
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
5x 5
5x 5
A
B
Ax 2 A Bx 3B
x 2 x 6 x 3 x 2 x 3 x 2
x 3 x 2
Ta coù :
A B 5
A 2
5 x 5 A B x 2 A 3B
2 A 3B 5 B 3
Tính I bằng cách đặt t
2
2
3
dx 2 ln x - 3 3ln x 2 1 3ln 4 - 2 ln 2 3ln 3
I x -3 x 2
1
6 ln 2 - 2 ln 2 - 3ln 3 4 ln 2 - 3ln 3
2
Ñaë t t
23. Xác định các hằng số A, B sao cho :
3x 1
A
B
3x 1
, x 1 . Tìm:
dx
3
3
2
3
x 1 x 1 x 1
x 1
3x 1
A
B
x 1 x 1 x 1
3
3
2
A B x 1
x 1
3
Bx A B
x 1
3
24. Tính tích phân : I
x ln x 1 x 2
1 x
0
2
B 3
A 2
A B 1 B 3
dx
25. Tính : I
x
e
dx
Ñaë t t ln x dt
x
p
3
Vaä y I
p
4
3
1
I
0
I
2
x dx
x
3
2
9
1
3
dt 4. 4 t 4 4 3 1 4
1
I
0
sin
sin 2 xdx
2
x 1 sin 2 x 5
x 0 t 1
x
1
;x t 1
2
2
3 1
x 0t 0
x 1 t 1
1
Vaä y I sin t 2tdt
0
2
t2
Ñaë t t sin 2 x dt 2sin x cos xdx sin 2 xdx
2
2
dt
1 t 4 t
1 1
1
dt
dt
4 1 t t 4
4 1t t4
1 t t 4
2
.I
2
2
1
1
t
1 1
1 1 5
ln t ln t 4 ln
ln ln ln
1 4
4
t
4 1 4 3
5 4 3
32. Tính tích phân : I sin xe x dx
2
x 2 dx
x6 9
0
u sin x
du cos dx
Ñaë t
I e x sin x e x cos xdx J
x
x
0
dv e dx v e
0
u ' cos x
du ' sin xdx
x
Ñaë t
J e cos x e x sin xdx e 1 I
x
x
0
dv ' e dx v ' e
0
e 1
I e 1 I 2I e 1 I
2
x 0t 0
x 1 t 1
Ñaë t t x 3 dt 3 x 2 dx
8
2
2
sin 2 x
dx
4
sin
x
6sin 2 x 5
0
1
1
1
1
1
dt
1
dt
1 t 3 t 3
1 1
1
dt
dt
2
3 0 t 9 3 0 t 3 t 3 18 0 t 3 t 3
18 0 t 3 t 3
1
3
4
2
0
1
31. Tính tích phân : I
1
1
1-t dt 1 1
cos2 xcosxdx
1 1
1
=
= 2 -1 dt= - -t = -1-1 - -2- =
2
2
sin
x
t
t
t
2 2
1
π
1
1
1
t
6
27. Tính tích phân : I
3
1
cos3 x
26. Tính tích phân : J
dx (Sở GĐ TP 2004−2005)
2
sin x
2
t
3
1
1
2
2
2 2
2
I t cos t cos t dt 2 sin t
0
0 0
2
6
dt
4
du 2dt
u 2t
Ñaë t
1
dv sin t dt v sin t dt cos t
Ñaë t t x x t 2 dx 2tdt.
3
1
2 ln 2 2 1 2 ln 2 1. I 2 ln 2 1 2 ln 2
2
2
t
sin x cos5 x
3
dx
. x t 1; x t 3.
4
3
cos2 x
p
p
dx
dx
dx
3
3
2
cos2 x
cos2 x
cos x
4
3
5
3
5
sin x cos x p 4 sin x cos x p 4 tg3 x
4
4
cos2 x
cos8 x
1
dx (CĐ KT A, D – 2005)
6
4
dx
4
0
30. Tính tích phân : I sin x dx
2
J=
I J
Ñaë t t tan x dt
x e t 1, x e t 2
2
2
4
2
2
2
t2
1
3
I t ln t dt tdt ln tdt I1 2 I1 I1
2
2
2 1
1
1
1
dt
2
2
2
u ln t du
Tính I1 : Ñaë t
t I1 t ln t 1 dt 2 ln 2 t 1
dv
dt
1
v t
π
2
3
2
Ñaët t sin x dt cos xdx. x
29. Tính tích phân : I
1
ln x ln ln x
t0
2
2
I 1 x 2 ln x 1 x 2 dx 2 ln 1 2 x 2 ln 1 2 1
0
0
0
e2
x
0
tdt
dt t 1 x 2
t
1
x dt dx
2
1
x
sin3 t
3
2
2
2
cos3 t
x
I
dx J
dt cos3 t sin3 t dt cos3cos
3
x
sin
x
3
3
0
0
sin t cos t
2
2
2
Tính v : Ñaë t t 1 x 2 t 2 1 x 2 2tdt 2 xdx tdt xdx.
v
2
2
x 0t
Ngoaø i ra : I J dx x 02
x
1 x2 x
1
u ln x 1 x 2
2
1 x dx
1 x 2 dx dx
du
2
Ñaë t
x
1
x
1
x2 x
1 x2
xdx
dv
2
xdx
v
1 x
1 x2
0
3x 1
2
3
1
3
x 1 3 dx x 1 3 x 1 2 dx x 1 2 x 1 C
1
2
s in3 x
cos3 x
28. Cho I 3
dx ; J 3
dx .
3
3
0 sin x+cos x
0 sin x+cos x
2
33. Giải phương trình :
1
1 1
1
1 t 3
1 1
ln t 3 ln t 3 ln
ln ln1 ln
0 18
18
18 2
t 3 0 18 2
x
sin 2t
0
10
1 cos2 tdt 0
x 0 14 ln t ln t 4
2
1
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
Ñaë t u 1 cos2 t u2 1 cos2 t 2udu 2sin t cos tdt
2
x 5 11x 3
VOx x 4 11x 2 6 x 16 dx
3 x 2 16 x
3
5
1
1
2udu sin 2tdt. t 0 u 2; t x u 1 cos x
2
x
1 cos2 x
0
2
2
sin 2t 1 cos tdt 2
1 cos2 x
u3
u2 du 2
3
2
0
Ñaë t t tg
3
1
1 cos 2 x
1
I sin 2 x sin x 1
dx
sin
x
1
dx
0 2
1 sin x
0
1 cos( x )
2
cos3 x
dx
1 sin x
0
2
35. Tính tích phân : I
I
0
1
1
1
1 1
1 1
ln ln ln 2
3 2
4 3
0
2
5
0
0
x7
10 1 dx bằng cách đổi biến t = –x
1 x
1
1
2 2
J sin 6 x cos6 x sin 6 x cos5 x sin xdx K . Vaä y I J K 0
6
0 0
41. Tính tích phân : I
1
t 7
x7
10 dt 10
dx I 2 I 0 I 0
10
t 1
1
1
1 t
1 x
e
x
1
3 2 ln x
1 2 ln x
I
dx (Dự bịB–2006)
0
2
1
1
x
4
x
1
0
x 1 t 1
x 0t 0
2
42. Tính tích phân : I
0
Ñaë t t
Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø :
1
2
x 4 11x 2 6 x 16 dx.
1
1
2
1
1
t 4 2t dt
x 4 2 x dx
x
t
2
1
0
0 2 1
1
2
x dt dx;
cosn xdx
cosn x sin n x
x 0t
x
2
t0
n
5 x 2 3 x x 2 x 2 0 x 1 x 2
2
2 t 1
2
cos t dt
0
2
2
sin n tdt
sin n xdx
2
I
n
.
n
0 sin t cos t 0 sin n x cosn x
n
n
cos
t
sin
t
2
2
2
y 5 x 2
Hình phaú ng D ñöôï c giôù i haï n bôû i 2 ñöôø ng
y 3 x
2
t 4 dt
38. Cho miền D được giới hạn bởi hai đường : x2 + y – 5 = 0
; x+ y – 3 = 0. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi
quay miền D quanh trục hoành.
2
1
2
3 x dx 25 10 x
0
.J
1
1 x 4 2x 1
1
x5
x 4 2 x dx
x4
1
Vaä y I x
x
dx
dx x 4 dx
x
2 1
5 0 5
0 2 1
0 2 1
0
0
1
t3
2 2
1 10 2 11
4t 4 2
4
3 1
3
3
3
x4
dx
x
1
x
x4
dx. Xeù t J x
dx.
x
2
1
2
1
0
1
dx
4
Ñaë t x t dx dt
2dx
dx
tdt
x
x
2 3 t2 1
2
x 1 t 1, x e t 2 Vaä y I
tdt 4 t 2 dt
t
1
1
1
2
1
Ñaë t t 1 2 ln x t 2 1 2 ln x 2tdt
2
0
x 1 t 1
x 1 t 1
t 7 dt
2
5
du 6sin x cos5 xdx
u cos6 x
Tính J : Ñaë t
1
dv cos 6 xdx v cos 6 xdx sin 6 x
6
1
37. Tính tích phân : I
VOx 5 x 2
2
I cos x cos 6 x x dx cos 6 x cos x cos xdx sin 6 x cos5 x sin xdx J K
x7
I 10
dx
1
1 x
1
1
dt 1 1 1 dt 1 ln t 1 ln t 2
1 t2
3 0
3
2
0
t
t 2 t 12
2
0
2 1
1
1 1
sin x cos 2 x 1 0
4
4 2
0 4
1
2
2
2
2
1
cos x 1 sin x dx cos x cos x sin x dx cos x sin 2 x dx
2
0
0
0
Ñaë t t x dt dx
40. Tính tích phân : I cos5 x cos 7 xdx
2
36. Tính tích phân : I
.
1 sin x cos xdx
1 sin x 1 sin x cos xdx
cos x cos xdx
1 sin x
1 sin x
1 sin x
0
0
2
t 1
2
1
t
1
2
ln
3 t2
t 2 t 12
1
x
1
30
3
x
3
1
3
x sin 2 x cos x tg
1 1 2
4
2
4
4
2
2
2
0
2
x
2
x
1
1
1
2dt
dt
dt
2
2 2
2
2
x
x 0 4 1 t 10t
1
4t 10t 4
0
0
4 10sin cos
4 t 2 t
2
2
2
x
cos2
2
0
1
cos
2
x
1
dx
sin x 1
2
x
0
2 cos2
4 2
dx
2 cos2
cos2
1
I
2
x
dt
2
x 0t 0
dx
2
dx
4 5sin x
2
39. Tính tích phân : I
sin x
34. Tính tích phân : I
dx
1
sin x
0
32 88
1 11
153
44 13
ñvtt
3
5
5 3
5
3
3
3
3
2
1 cos2 x
2
2
1 cos x
2
0
. pt
3
3
3
3
1 cos2 x 2 cos2 x 1 sin x 0 x k k
2
x 4 9 6 x x 2 dx
2
sin n x cosn x
dx dx x 02 I
n
n
2
4
0 sin x cos x
0
2
2I
x 1;2 , x 4 11x 2 6 x 16 0,
11
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
43. Tính tích phân : I
I
0
Ta coù :
4
sin 4 x cos4 x
sin 4 x cos4 x
dx
dx. Xeù t J
x
3 1
3x 1
0
4
x
Ñaë t x t dx dt
0
sin 4 x cos4 x
dx.
3x 1
4
4
x 0t 0
4
3x sin 4 x cos4 x
3x 1
0
4
3
1 sin 4 x cos4 x
x
3 1
x
0
dx
dx
sin
4
x cos x dx 1 2s in 2 xcos2 x dx
4
4
0
1
1 1 cos 4 x
3 1
1 s in 2 2x dx 1
dx cos 4 x dx.
2
2
2
4 4
0
0
0
4
3
4
1
3
x sin 4 x . I
4
16
16
0
4
4
2
2
sin10 x cos10 x cos6 x sin 4 x cos4 x sin 6 x
4
4
6
4
4
4
4
6
6
I
2
3 0
4
1 tg m dm 2
2
1 tg m
2
1
4
2
dm m
3
3
0
4
0
Ñaë t t
2
t
2
1 t.tdt
1
u 0 tgm 0 m 0
u 1 tgm 1 m
2
t
4
1
4
x dt dx;
x 0t
x
x 1 t 2
t t
t 2 dt
5 3 1
5
3
2
4
4
t0
0
4
1 tgt
2
B ln 1 tg t dt ln 1
dt ln
dt
4
1 tgt
1 tgt
0
0
4
4
4
4
4
0
0
4
ln 2dt ln 1 tgt dt ln 2 t 04 ln 1 tgx dx
6
2I
2
x
46. Tính tích phân : I max 1; dx
4
0
ln 2
4
0
I
ln 2
4
I
ln 2
8
51. Chứng minh rằng : Nếu f(x) liên tục trên và tuần
a T
x2
x2
. Cho H 0 1
0 x 2 4 x 2
4
4
0
2
3
+ 0 –
Ta laä p hieä u soá : H 1
-2
0
x 0 t 1
0
1
3
x
H
x 2 1 x dx
50. Tính tích phân : B ln 1 tgx dx
t.2tdt
t 2 dt
2 6
6
t
1
t
1
0
0
Vaä y I
4
x 1 t 1
0
Ñaë t u tgm m ; du 1 tg2 m dm
2 2
dx x 3
1
0
x
dx
x 1
1
2
4 2 2 2 1 1 2 2 2
2 2 1
.Vaä y T
5
5 3 15 15
3
15
du
1
1
t 0u0
2
1
I 2 23
du
3 0 1 u2
t 1 u 1
0 u 1
Ñaë t u t 3 du 3t 2 dt
I x 2 x 2 1xdx
3
x 0t 0
Ñaë t t x t 2 x 2tdt dx
x x 1 x x 1
1
2
15 1
15
2 15
1
1
1
Vaä y : I cos 4 x cos8 x dx x sin 4 x
sin 8 x
32 2
32
8
256
64
32
0
0
0
0
2
Ñaë t t x 2 1 t 2 x 2 1 2tdt 2 xdx tdt xdx.
1
T
1
1
x5
1
x 3 x 2 1dx x 4 dx I I
5
5 0
0
0
1
cos2 2 x.sin 2 2 x
cos2 2 x 1 cos2 x sin 2 x cos2 2 x 1 sin 2 2 x cos2 2 x
4
4
1 cos 4 x sin 2 4 x 1 1
1 cos8 x 15 1
1
cos 4 x
cos 4 x cos8 x
2
16
2 2
32
32 2
32
45. Tính tích phân : I
x3 x x2 1
1
cos2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x cos4 x cos2 x sin 2 x sin 4 x
x x2 1
0
sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x
6
x 3 dx
49. Tính tích phân : T
Ta coù : sin x cos x cos x sin x cos x sin x
10
2
1
I sin10 x cos10 x cos4 x sin 4 x dx
10
2
1
2
x3
1
8 1 10
F max 1; x; x 2 dx dx x 2 dx x 1
0
3
3 3 3
1
0
0
1
44. Tính tích phân :
0
Gọi H = x – 1. H = 0 x = 1.
x
0
1
2
H
–0 +
Gọi G = x2 – x. G = 0 x = 0 V x = 1
x
0
1
2
G
0 – 0
+
x 1
x 1
0 x 1: 2
x2 x 1 ; 1 x 2 : 2
x2 x 1
x x
x x
4
2
2
0
4
2
48. Tính tích phân : F max 1; x; x 2 dx
sin 4 x cos4 x
0 3x 1 dx
4
4
2
2
0
A 1
1 3
1
1
3
x
I 2
dx 3ln x 3ln x 1 3ln
x x 1
x 1 1
x
x
1 x
1
1
2
1
1
4
3ln 1 3ln 3ln
3
2
2
3
2
4
Vaä y I
B C 0
B C x A B x A A B 2 B 3
x x 1
A 1
C 3
2
t
4
4
x
4 3 sin t cos t
4 3
sin 4 x cos4 x
sin 4 t cos4 t
J
dt
dt
dx
t
t
3 1
3 1
3x 1
0
0
0
A x 1 Bx x 1 Cx 2
2x 1
A B
C
2
x x 1
x x 1 x
x 2 x 1
2
2
4
t
2x 1
dx
x 2 x 1
1
4
2
47. Tính tích phân : I
sin 4 x cos4 x
dx
3x 1
4
hoàn với chu kỳ T thì :
T
f x dx f x dx
0
a
3
2
3
2
3 2
x3
2
9 2 43
x
x 2
x 2
I= max 1; dx+ max 1; dx= dx+ dx= x 0 + =2+ - =
4
4 3 12
4
4
12 2
0
2
0
2
12
Áp dụng, tính tích phân : I
2004
0
1 cos 2 xdx
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
Ta coù :
T
a
a T
T
0
0
a
a T
f x dx f x dx f x dx f x dx 1
T
f x dx
Xeù t I3
Ñaë t t x T dt dx
a T
a
a
a
a
0
0
0
I 3 f t T dt f t T dt f t dt f x dx
Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c
AÙ p duï ng : I
2004
T
a T
0
a
1
2004
0
2004
0
2
J
sin x dx
4
I
2
2
1 tg2 u
Xeù t tích phaâ n I1 x
x
1 ln x
I
0
sin xdx. Ñaë t x t dx dt
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
2
0
1
2
4
4
0
4
1 ln t
dt 18
t
1
1
u0
e
t x u 1 ln x
t
1 ln x
2
2
x e5
2
1 ln x 6
ln x 5
18 1 ln x 36
x 1
1 ln x 6
ln x 7
e7
x2 4x 4
1
x 3
x 1
x 1
5
1
dx ln x 1 ln 4 ln1 2 ln 2 ñvdt
2
x 1
x2
x2 4 x2
1
y2 1 y2 1
y
4 x2
4
4
4
2
Vì elip coù a2 4 a 2, b2 1 b 1 neâ n hình giôù i haï n elip coù : 2 x 2
2
54. Tính tích phân : I
Elip
1
1
u3
2
0 sin t cos tdt 1 u du 1 u du 3 3 D 3
1
2
58. Cho hình giới hạn elip :
0
x 1 tgu 1 u
x2
y 2 1 quay quanh trục
4
hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên.
2
t 0 u 1
t u 1
Ñaë t u cos t du sin tdt
2
2
neâ n S
sin t cos tdt D 2 D sin t cos tdt
2
1 ln x
5
sin t cos tdt t sin t cos tdt sin t cos2 tdt x sin x cos2 xdx
0
x 0 tgu 0 u 0
x
dx
x2 1
Vì lim
D t sin t cos2 t dt t sin t cos2 tdt
2
0
1
0 neâ n TCX cuû a (C) laø y x 3
x 1
5
5
1
1
1
Vaä y S x 3
dx Vôù i x 2;5
0
x 3 dx
x 1
x 1
x 1
2
2
x 0t
x t 0
du u
Haø m soá vieá t thaø nh : y
0
. Vaä y I
57. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) :
x2 4x 4
, tiệm cận xiên của (C) và hai đường
y
x 1
thẳng x = 2, x = 5
53. Tính tích phân : D x sin x cos2 xdx
2
4
0
x 1 t 1
x 0t 0
Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c : I 0
0
1 x 1
2
u2
udu
2 0
1 ln x
pt
I1 t 2004 sin t dt t 2004 sin tdt x 2004 sin xdx (2)
0
1 ln t
dt
dt Ñaë t u 1 ln t du
t
t
1
sin xdx
1
Ñaë t t x dt dx
e
1
1
e x dx
x
Goï i I
0
2004
0
e
2004
e
I x 2004 sin xdx x 2004 sin xdx (1)
0
2
x
1
1
1
et dt
t
2002
1
0
2
1 x2 1
x 1 t 1
e 1 t
1 tg u du
dx
x
x
4008 2
1
52. Tính tích phân : I
1
x 0t 0
1 t 1
2
e
Xeù t J
56. Giải phương trình theo ẩn x :
2
2
Neâ n I 1002 2 sin x dx 1002 2 sin xdx sin xdx
0
0
1002 2 cos x 0 cos x
1 x2 1
1
dt
t
dx
x
2004
sin x dx sin x dx ... sin x dx
0
e
0
4
0
0
2
e
0
Ñaë t x tgu u ; dx 1 tg 2 u du
2 2
4
2004
2
2 sin x dx sin x dx ... sin x dx
2
2002
0
Theo tính chaá t treâ n, ta coù :
dx
1 x2 1
x
0
1
2sin 2 xdx 2
1
Ñaë t x t dx dt
f x dx f x dx ñpcm
1 cos 2 xdx
e
I
x aT t a
x T t 0
0
0
2
3
VOx y 2 dx
sin x.sin 2 x.sin 3x.cos 5xdx
2
2
4 x dx 4 4 x
4
2
2
2
x3
8
8 8
ñvtt
8 8
3 2 4
3
3 3
0
I
3
2
3
sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx
3
2
0
Xeù t J
3
sin x sin 2 x sin 3x cos 5xdx Ñaët x 3 t dx dt.
3
2
J
59. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành do
quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường
tròn tâm I (3;0), bán kính R = 2.
(1)
3
3
t
2
2
x 3 t 0
pt ñöôø ng troø n taâ m I 3; 0 ,R 2 laø x 3 y 2 4
2
x
x 3 4 y 2 x 3 4 y 2 x 3 4 y 2
2
Vì ñöôø ng troø n coù taâ m I 3; 0 ,R 2 neâ n 2 y 2
2
0
2
3
2
3
2
3
2
0
0
Goï i I
Theá (2) vaø o (1) ta ñöôï c I 0
I
2
55. Tính tích phân : I
e
1
dx
x
2
2
sin t sin 2t sin 3t cos 5tdt sin x sin 2 x sin 3 x cos 5 xdx (2).
1
VOy 3 4 y 2
sin 3 t sin 6 2t sin 9 3t cos 15 5t dt
2
3
4 y2
2
dy 6.2
2
13
2
4 y 2 dy 12 4 y 2 dy
2
4 y 2 dy Ñaë t y 2sin u u ; dy 2 cos udu
2 2
y 2 sin u 1 u
y 2 sin u 1 u
2
2
2
2
1
2
4 4sin 2 t 2 cos udu 4 cos u cos udu 4 cos2 udu 2 1 cos 2u du 2 u sin 2u
2
2
2 2 VOy 242 ñvtt
2 2
1 x2 1
2
2
2
2
2
2
Hồ Văn Hoàng
Chuyên đề tích phân & ứng dụng
pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø : x 4 x 3 x 3
2
60. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y 4
2
2
x
x
(Đại học khối B – 2002)
vaø y
4
4 2
x 3
x 3
x 3
x 0
x 2 4 x 3 x 3 x 2 5x 0
x
0
x
5
x 5
2
2
x 4 x 3 x 3 x 3 x 6 0(VN )
pt hoaø nh ñoä giao ñieå m 2 ñöôø ng laø :
S
x
x 2 8 x 2 2
x2
x2
x2 x4
x4 x2
4
40
4 4 2
4 32
32 4
x 2 16 (voâ lyù )
4
2 2
4
2 2
2
2
2
x 4x 3 x 3
2
x
x
x
x
dx Vôù i x 2 2;2 2 , 4
0
4 4 2
4 4 2
5
0
4
x
x 4x 3
1
4
4
4
0
4
4
4
4
2 2
2
2
A
cot gx. 3
3
1
2
cot gx. cot g x
dx
dx. Ñaë t t cot gx dt
sin 2 x
sin 2 x
2
3
3
1
A
0
0
1
t 3 t 2 dt
3
3
0
1
e
x
x
3
2
t
ln x
x 1
2
3
2
2
1
dy y 4 2 y dy
0
4
2
2
1
0 neâ n VOy 4 4 y y 2 y 4 dy
0
64. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y =
xlnx , y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox
t0
Pt hoaø nh ñoä giao ñieå m cuû a 2 ñöôø ng laø :
x 0 (loaï i)
x ln x 0
ln x 0 x 1
dx
e
e
Vaä y VOx x ln x dx x 2 ln 2 xdx I1
2
1
1
2 ln x
du
dx
2
u ln x
x
Ñaë t
3
2
dv x dx v x 2 dx x
3
e
x3
2e
e3 2
I1 ln 2 x x 2 ln xdx I 2
3 3
3
1 3 1
dx
du '
u ' ln x
x
Ñaë t
2
x3
dv ' x dx
v ' x 2 dx
3
e
e
1
dx
I
.ln x
1 A
x 1
1 1 x x 1
e
e
x 1 x dx e 1 1 dx ln x ln x 1 e
dx
A
1 x x 1
1
e
1 x x 1
1 x x 1
e
e
5
y3 y5
1 1 32
4y 2y2 4 2
ñvtt
3 5 0
3 5 15
1
dx
u ln x
du x
Ñaë t dv dx
dx
1
2
x 1 v x 12 x 1
e
1
1
61. Tính tích phân : I
e
y x y 0 x y2
y 2 x x 2y
2 y
5
3
3 3 t8 3
3 1
9
3
t 3 dt
8
8 81
24
0
e
3
3
2 y
x 0;1 , y
3
1
VOy y 2
sin x sin x
2
2 cot gx. 3 1 1 cot g x
sin3 x
dx
dx
2
2
sin x
sin x
3
1
y 1 nhaä n
Pt tung ñoä giao ñieå m : y 2 2 y y 2 y 2 0
y 2 loaï i
cot gx. 3 sin3 x sin xdx
sin3 x
3
5
x3
x3
x3
4 4 20 28
2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 x 2 3x
3
3
0 3
1 3
3 3 3 3
55 28 109
S
ñvdt
2
3
6
Mieà n D giôù i haï n bôû i
Tính tích phân : A
y x ; y 2 x; y 0 . Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy.
x
1
8
dx
16 2 16 2
3
12 2 2 2 12 2
2 2 4 2
8
4
Vaä y S A B 2 4 2 ñvdt
3
3
x
3
63. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường :
4
1
3
5
+ 0 – 0 +
Ta coù : I x 2 4 x 3 dx x 2 4 x 3 dx x 2 4 x 3 dx
1 1
1
4
4 t s in2t 4 2 4
2
4 2 4 2
B
0
2
16 16sin 2 t .4 cos tdt 8 cos t cos tdt 8 cos2 tdt 4 1 cos 2t dt
3
0
0
2
t
2
4
2
0
5
2 2
5
I x 2 4 x 3 dx Giaû i pt x 2 4 x 3 0 ta ñöôï c : x 1 x 3
2
t
2
4
1
2
5
x2
55
3x I
I
2
2
0
2 2
1
16 x 2 dx Ñaë t x 4sin t t ; dx 4 cos tdt
2 2 2
2 2
x 2 2 sin t
A
5
2 2
2 2
x2
x2
x2
x2
dx 4 dx
neâ n S 4
dx A B
4 4 2
4
2 2
2 2
2 2 4 2
x 2 2 sin t
5
0
–
S x 3 x 2 4 x 3 dx x 3 dx x 2 4 x 3 dx
2 2
A
0
0
2
e
e
x3
1e
e 3 x 3 e 3 e 3 1 2e 3 1
I 2 ln x x 2 dx
3 9 1 3 9 9
9
3
1 3 1
e
1
x
e
e ln e 1. Vaä y I 0
ln
ln
ln
1
e 1
x 1 1
1
e
e
3
e3 2 2e3 1 5e 2
VOx .
ñvtt
9
27
3 3
e
62. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y x 2 4 x 3 vaø y x 3 (Đại học khối A – 2002)
14
- Xem thêm -
.PDF 
14 
260 
78 
