Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Chương 4 :
M t s chuyên ñ bài vi t hay,
thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và
lư ng giác
ðúng như tên g i c a mình, chương này s bao g m các bài vi t chuyên ñ v b t ñ ng
th c và lư ng giác. Tác gi c a chúng ñ u là các giáo viên, h c sinh gi i toán mà tác gi
ñánh giá r t cao. N i dung c a các bài vi t chuyên ñ ñ u d hi u và m ch l c. B n ñ c
có th tham kh o nhi u ki n th c b ích t chúng. Vì khuôn kh chuyên ñ nên tác gi
ch t p h p ñư c m t s bài vi t th t s là hay và thú v :
M cl c:
Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác ……………………………………….78
ng d ng c a ñ i s vào vi c phát hi n và ch ng minh b t ñ ng th c trong tam
giác…………………………………………………………………………………82
Th tr v c i ngu n c a môn Lư ng giác………………………………...............91
Phương pháp gi i m t d ng b t ñ ng th c lư ng giác trong tam giác…….............94
The Inequalities Trigonometry
77
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác
Nguy n Văn Hi n
(Thái Bình)
B t ñ ng th c trong tam giác luôn là ñ tài r t hay. Trong bài vi t nh này, chúng ta
cùng trao ñ i v m t b t ñ ng th c quen thu c : B t ñ ng th c Ecdôs.
Bài toán 1 : Cho m t ñi m M trong ∆ABC . G i Ra , Rb , Rc là kho ng cách t M ñ n
A, B, C và d a , d b , d c là kho ng cách t M ñ n BC , CA, AB thì :
Ra + Rb + Rc ≥ 2(d a + d b + d c ) (E )
Gi i : Ta có :
− 2S BMC
2S
R a ≥ ha − d a = ABC
a
+ 2S AMC
2S
= AMB
a
cd + bd b
= c
a
B ng cách l y ñ i x ng M qua phân giác góc A
bd + cd b
⇒ Ra ≥ c
a
ad c + cd a
Tương t :
Rb ≥
(1)
b
ad b + bd a
Rc ≥
c
b c
a c
a b
⇒ Ra + Rb + Rc ≥ d a + + d b + + d c + ≥ 2(d a + d b + d c ) ⇒ ñpcm.
c b
c a
b a
Th c ra (E ) ch là trư ng h p riêng c a t ng quát sau :
Bài toán 2 : Ch ng minh r ng :
k
k
k
k
k
k
(2)
Ra + Rb + Rc ≥ 2 k d a + d b + d c
v i 1≥ k > 0
Gi i : Trư c h t ta ch ng minh :
B ñ 1 : ∀x, y > 0 và 1 ≥ k > 0 thì :
(
( x + y )k
(
≥ 2 k −1 x k + y k
)
) (H )
Ch ng minh :
k
k
(H ) ⇔ x + 1 ≥ 2 k −1 x k + 1 ⇔ f (a ) = (a + 1)k − 2 k −1 a k + 1 ≥ 0 v i x = a > 0
y
y
y
k −1
k −1
Vì f ' (a ) = k (a + 1) − (2a ) = 0 ⇔ a = 1 ho c k = 1 . V i k = 1 thì (H ) là ñ ng th c
ñúng.
Do a > 0 và 1 > k > 0 thì ta có :
f (a ) ≥ 0 ∀a > 0 và 1 > k > 0
(
[
)
]
The Inequalities Trigonometry
78
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
⇒ (H ) ñư c ch ng minh.
Tr l i bài toán 2 :
T h (1) ta có :
k
k
k
bd c cd b
cd b
k −1 bd c
+
Ra ≥
≥ 2
+
a
a
a a
bd
cd
( Áp d ng b ñ (H ) v i x = c ; y = b )
a
a
Tương t :
k
k
cd a
k
k −1 ad c
Rb ≥ 2
+
b b
k
ad b k bd a k
Rc ≥ 2
+
c c
k
k
k
k
k b k c k
c
b
k
k
k
k a
k a
⇒ Ra + Rb + Rc ≥ 2 k −1 d a + + d b + + d c +
c b
c a
b a
k
k −1
(
k
k
≥ 2k da + db + dc
k
)
⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra khi ∆ABC ñ u và M là tâm tam giác. Áp d ng (E ) ta ch ng minh
ñư c bài toán sau :
Bài toán 3 : Ch ng minh r ng :
1
1
1
1
1
1
(3)
+
+
≥ 2
+
+
R
d a db dc
Rb Rc
a
Gi i : Th c hi n phép ngh ch ñ o tâm M, phương tích ñơn v ta ñư c :
1
1
MA* =
MA ' ' =
Ra
da
1
1
và MB ' ' =
MB* =
Rb
db
1
1
MC* =
MC ' ' =
Rc
dc
Áp d ng (E ) trong ∆A ' ' B ' ' C ' ' :
MA ' '+ MB ' '+ MC ' ' ≥ 2(MA * + MB * + MC *)
1
1
1
1
1
1
+
+
≥ 2
R + R + R
da db dc
b
c
a
⇒ ñpcm.
M r ng k t qu này ta có bài toán sau :
Bài toán 4 : Ch ng minh r ng :
k
k
k
k
k
k
2 k d a + d b + d c ≥ Ra + Rb + Rc (4)
⇔
(
The Inequalities Trigonometry
)
79
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
v i 0 > k ≥ −1
Hư ng d n cách gi i : Ta th y (4) d dàng ñư c ch ng minh nh áp d ng (2) trong
phép bi n hình ngh ch ñ o tâm M, phương tích ñơn v . ð ng th c x y ra khi ∆ABC ñ u
và M là tâm tam giác.
Bây gi v i k > 1 thì t h (1) ta thu ñư c ngay :
Bài toán 5 : Ch ng minh r ng :
2
2
2
2
2
2
Ra + Rb + Rc > 2 d a + d b + d c (5)
Xu t phát t bài toán này, ta thu ñư c nh ng k t qu t ng quát sau :
Bài toán 6 : Ch ng minh r ng :
k
k
k
k
k
k
Ra + Rb + Rc > 2 d a + d b + d c (6)
v i k >1
Gi i : Chúng ta cũng ch ng minh m t b ñ :
B ñ 2 : ∀x, y > 0 và k > 1 thì :
(
)
(
)
( x + y )k
≥ x k + y k (G )
Ch ng minh :
k
k
(G ) ⇔ x + 1 > x k + 1 ⇔ g (a ) = (a + 1)k − a k − 1 > 0 (ñ t x = a > 0 )
y
y
y
k −1
k −1
Vì g ' (a ) = k (a + 1) − a
> 0 ∀a > 0 ; k > 1
⇒ g (a ) > 0 ∀a > 0 ; k > 1
⇒ (G ) ñư c ch ng minh xong.
S d ng b ñ (G ) vào bài toán (6) :
T h (1) :
[
]
k
k
cd
bd cd
bd
Ra ≥ c + b > c + b
a
a a
a
Tương t :
k
k
ad c cd a
k
Rb >
+
b b
k
k
k
(ñ t x =
bd c
cd
; y= b)
a
a
k
ad bd
k
Rc > b + a
c c
k
k
k
k
k
k
c
c
b
k
k
k
k b
k a
k a
⇒ Ra + Rb + Rc > d a + + d b + + d c +
c b
c a
b a
(
k
k
≥ 2 da + db + dc
k
)
⇒ ñpcm.
Bài toán 7 : Ch ng minh r ng :
k
k
k
k
k
k
d a + d a + d a > 2 Ra + Ra + Ra
v i k < −1
(
The Inequalities Trigonometry
) (7)
80
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Hư ng d n cách gi i : Ta th y (7 ) cũng ñư c ch ng minh d dàng nh áp d ng (6)
trong phép bi n hình ngh ch ñ o tâm M, phương tích ñơn v . ð ng th c không th x y ra
trong (6) và (7 ) .
Xét v quan h gi a (Ra , Rb , Rc ) v i (d a , d b , d c ) ngoài b t ñ ng th c (E ) và nh ng m
r ng c a nó, chúng ta còn g p m t s b t ñ ng th c r t hay sau ñây. Vi c ch ng minh
chúng xin dành cho b n ñ c :
1) Ra Rb Rc ≥ 8d a d b d c
2)
db + dc da + dc da + db
+
+
≤3
Ra
Rb
Rc
3) Ra Rb Rc ≥ (d a + d b )(d a + d c )(d b + d c )
2
2
2
4) Ra Rb Rc ≥ (Ra d a + Rb d b )(Ra d a + Rc d c )(Rb d b + Rc d c )
The Inequalities Trigonometry
81
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
ng d ng c a ñ i s vào vi c phát hi n và ch ng
minh b t ñ ng th c trong tam giác
Lê Ng c Anh
(HS chuyên toán khóa 2005 – 2008
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng, C n Thơ)
π
1/ Chúng ta ñi t bài toán ñ i s sau: V i ∀ x ∈ 0, ta luôn có:
2
x
x 2x
< tg <
< sinx < x .
2
2 π
2x
x 2x
Ch ng minh: Ta ch ng minh 2 b t ñ ng th c: sin x >
và tg <
.
π
2 π
1
π
ð t f ( x) = sin x là hàm s xác ñ nh và liên t c trong 0, .
x
2
xcos x- sin x
π
. ð t g ( x) = xcos x- sin x trong 0,
Ta có: f '( x) =
2
x
2
khi ñó
π
g ' ( x ) = − x sin x ≤ 0 ⇒ g ( x ) ngh ch bi n trong ño n 0, nên g ( x ) < g ( 0 ) =0 v i
2
2x
π
π
π 2
hay sin x >
x ∈ 0, . Do ñó f ' ( x ) < 0 v i ∀x ∈ 0, suy ra f ( x ) > f =
π
2 π
2
2
π
v i ∀x ∈ 0, .
2
1
π
ð t h ( x ) = tgx xác ñ nh và liên t c trên 0, .
x
2
x − sin x
π
Ta có h ' ( x ) =
> 0 ∀x ∈ 0, nên hàm s h ( x ) ñ ng bi n, do
x
2
2 x 2 cos 2
2
x 2x
x π
π
ñó h ( x ) < h = hay tg <
v i ∀x ∈ 0, .
2 π
2
2 2
x x
Còn 2 b t ñ ng th c tg > và sin x < x dành cho b n ñ c t ch ng minh.
2 2
Bây gi m i là ph n ñáng chú ý:
Xét ∆ABC : BC = a , BC = b , AC = b . G i A, B, C là ñ l n các góc b ng radian;
r, R, p, S l n lư t là bán kính ñư ng tròn n i ti p, bán kính ñư ng tròn ngo i ti p, n a
chu vi và di n tích tam giác; la, ha, ma, ra, tương ng là ñ dài ñư ng phân giác, ñư ng
cao, ñư ng trung tuy n và bán kính ñư ng tròn bàng ti p ng v i ñ nh A...
Bài toán 1: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
pπ
p
< Acos 2 x + Bcos 2 B + Ccos 2C <
4R
R
The Inequalities Trigonometry
82
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Nh n xét:
p
và
T ñ nh lí hàm s sin quen thu c trong tam giác ta có: sin A + sin B + sin B =
R
A
4
bài toán ñ i s ta d dàng ñưa ra bi n ñ i sau Acos2 A < 2tg cos2 A = sin A < Acos2 A , t
2
π
ñó ñưa ñ n l i gi i như sau.
L i gi i:
A
4
p
Ta có: Acos 2 A < 2tg cos 2 A = sin A < Acos 2 A ⇒ ∑ Acos 2 A < ∑ sin A =
2
π
R
4
p
pπ
và
∑ Acos2 A > ∑ sin A = R ⇒ ∑ Acos2 A > 4 R . T ñây suy ra ñpcm.
π
A B
B C
C A
Trong m t tam giác ta có nh n xét sau: tg tg + tg tg + tg tg = 1 k t h p
2 2
2 2
2 2
x 2x
2 A 2B 2B 2C 2C 2 A
A B
B C
C A
nên ta có
v i tg <
+
+
> tg tg + tg tg + tg tg = 1 ⇒
2 π
π π π π π π
2 2
2 2
2 2
2
π
x
x
A.B + B.C + C. A >
(1). M t khác tg >
nên ta cũng d dàng có
4
2
2
A B
B C
C A
A B
B C
C
A
+
+
< tg tg
+ tg tg
+ tg tg = 1 t ñây ta l i có
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
A.B + B.C + C. A < 4 (2). T (1) và (2) ta có bài toán m i.
Bài toán 2: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
π2
< A.B + B.C + C. A < 4
4
Lưu ý: Khi dùng cách này ñ sáng t o bài toán m i thì ñ toán là ∆ABC ph i là nh n
π
vì trong bài toán ñ i s thì ∀x ∈ 0, . L i gi i bài toán tương t như nh n xét trên.
2
M t khác, áp d ng b t ñ ng th c
( A+ B + C)
A.B + B.C + C. A ≤
3
2
=
π2
3
π2
(a + b + c)
ab + bc + ca ≤
3
2
thì ta có ngay
. T ñây ta có bài toán “ch t” hơn và “ñ p” hơn:
〈 A.B + B.C + C. A ≤
π2
4
3
Bây gi ta th ñi t công th c la, ha, ma, ra ñ tìm ra các công th c m i.
A
A
Trong ∆ABC ta luôn có: 2S = bc sin A = cla sin + bla sin
2
2
The Inequalities Trigonometry
83
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
1
b+c
b+c 11 1
⇒ =
>
= +
la 2bccos A 2bc 2 b c
2
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
⇒ + + > + + >
+
+
la lb lc a b c 2 R sin A sin B sin C
1 1 1
1 1 1 1
⇒ + + >
+ + .
la lb lc 2 R A B C
Như v y chúng ta có Bài toán 3.
Bài toán 3: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
1 1 1
1 1 1 1
+ + >
+ +
la lb lc 2 R A B C
2 R ( sin B + sin C )
bc
b+c
=
=
M t khác, ta l i có
. Áp d ng bài toán ñ i s ta
la 2cos A
π A
2sin −
2
2 2
ñư c:
2( B + C )
R
R(B + C)
π R ( B + C ) bc 4 R ( B + C )
bc
bc 4 R
π
⇒
⇒ πR >
.
π> >
>
>
>
π A
π (B + C)
π−A
la
B+C
la
la
π
−
2 2
ab 4 R
ca 4 R
Hoàn toàn tương t ta có: π R >
>
và π R >
>
. T ñây, c ng 3 chu i b t
π
π
lc
lb
ñ ng th c ta ñư c:
Bài toán 4: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
12 R ab bc ca
<
+ +
< 3π R
π
lc la lb
h
h
h h
h
h
Trong tam giác ta có k t qu sin A = b = c , sin B = c = a và sin C = a = b ,
c
b
a
c
b
a
mà t k t qu c a bài toán ñ i s ta d dàng có 2 < sin A + sin B + sin C < π , mà
1 1
1 1
1 1
2 ( sin A + sin B + sin C ) = ha + + hb + + hc + , t ñây ta có ñư c Bài
b c
c a
a b
toán 5.
Bài toán 5: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
1 1
1 1
1 1
4 < ha + + hb + + hc + < 2π
b c
c a
a b
Ta xét ti p bài toán sau:
Bài toán 6: Ch ng minh r ng trong tam giác nh n ta luôn có:
2
2
ma + mb + mc2
4
2
2
2
A + B +C ) <
< A2 + B 2 + C 2
2 (
2
π
3R
The Inequalities Trigonometry
84
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
b2 + c2 a2
2
2
Nh n xét:Liên h v i ma trong tam giác ta có ma =
− , t ñó ta suy ra
2
4
3
2
2
ma + mb + mc2 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3R 2 ( sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) và t ñưa ñ n l i gi i.
4
L i gi i:
4x2
4 A2
2
2
Áp d ng bài toán ñ i s ta ñư c: 2 < sin x < x ta l n lư t có: 2 < sin2 A < A2 ,
π
4B
π
2
2
< sin 2 B < B 2 và
4C
π
2
2
π
< sin 2 C < C 2 .
C ng 3 chu i b t ñ ng th c trên ta ñư c:
4
π
2
(A
2
+ B 2 + C 2 ) < sin 2 A + s in 2 B + sin 2 C < A 2 + B 2 + C 2 , mà ta có:
2
2
ma + mb + mc2 = 3R 2 ( sin 2 A + sin 2 B + sin C 2 ) ⇔
2
2
ma + mb + mc2
= ( sin2 A + sin2 B + sin2 C ) , t
2
3R
2
2
ma + mb + mc2
< A2 + B 2 + C 2 (ñpcm).
2
π
3R
Bây gi ta th sáng t o m t b t ñ ng th c liên quan t i ra, ta có công th c tính ra là
A
x
x 2x
A r 2A
ra = ptg , t bài toán ñ i s
< tg <
ch c ch n ta d dàng tìm th y < a <
2
2
2 π
2 p π
B r 2B
C r 2C
, tương t ta cũng có < a <
và < a <
, c ng 3 chu i b t
2 p π
2 p π
A + B + C ra + rb + rc 2 ( A + B + C )
<
<
ñ ng th c ta thu ñư c
và ta thu ñư c Bài toán 7.
2
π
p
Bài toán 7: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
A + B + C ra + rb + rc 2 ( A + B + C )
<
<
p
π
2
Ta tìm hi u bài toán sau:
Bài toán 8: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
π ( 2 R − r ) < aA + bB + cC < 4 ( 2 R − r )
ñây ta ñư c:
4
A2 + B 2 + C 2 ) <
2 (
A
B
C
A
, rb = ptg , rc = ptg , r = ( p − a ) tg =
2
2
2
2
B
C
A
B
C
= ( p − b ) tg = ( p − c ) tg
d n ñ n ra = r + atg , rb = r + btg , rc = r + ctg
và
2
2
2
2
2
ra + rb + rc = 4 R + r (các k t qu này b n ñ c t ch ng minh), t ñó ta suy ra
A
A
A
4 R + r = 3r + ptg + ptg + ptg
và nh k t qu này ta d dàng ñánh giá t ng
2
2
2
aA + bB + cC t bài toán ñ i s nên ta d có l i gi i như sau.
L i gi i:
Nh n xét: Ta có các k t qu : ra = ptg
The Inequalities Trigonometry
85
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
A
B
C
A
B
C
Ta có: ra = ptg , rb = ptg , rc = ptg , r = ( p − a ) tg = ( p − b) tg = ( p − c) tg , t
2
2
2
2
2
2
A
B
C
ñó d n ñ n ra = r + atg , rb = r + btg , rc = r + ctg . Mà ta l i có: ra + rb + rc = 4 R + r
2
2
2
A
A
A
suy ra 4R + r = 3r + ptg + ptg + ptg . Áp d ng bài toán ñ i s ta ñư c:
2
2
2
A
A
A
2
● 4R + r = 3r + ptg + ptg + ptg < 3r + ( aA + bB + cC )
2
2
2
π
⇔ π ( 2R − r ) < aA + bB + cC
A
A
A
1
+ ptg + ptg > 3r + ( aA + bB + cC )
2
2
2
2
⇔ 4 ( 2R − r ) > aA + bB + cC
K t h p 2 ñi u trên ta có ñi u ph i ch ng minh.
Sau ñây là các bài toán ñư c hình thành t các công th c quen thu c ñ các b n luy n
t p:
Bài toán: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
a/ 2π p − 8 ( R + r ) < aA + bB + cC < 2π p − 2π ( R + r ) .
● 4R + r = 3r + ptg
b/
πS
2
< ( p − a )( p − b ) + ( p − b )( p − c ) + ( p − c )( p − a ) < 2S .
c/ abc < a 2 ( p − a ) + b 2 ( p − b ) + c 2 ( p − c ) <
π
2
abc .
1 1
1 1
1 1
d/ 4 < la + + lb + + lc + < 2π .
b c
c a
a b
2/Chúng ta xét hàm: f ( x ) =
x
v i ∀ x ∈ ( 0,π ) .
sinx
s inx-xcosx
.ð t
sin 2 x
g ( x ) = s inx-xcosx , x ∈ ( 0, π ) , ta có g ' ( x ) = x sin x ≥ 0 ⇒ g ( x ) ñ ng bi n trong ño n
Ta có f ( x ) là hàm s xác ñ nh và liên t c trong ( 0, π ) và f ' ( x ) =
⇒ g ( x ) > g ( 0 ) = 0 ⇒ f ' ( x ) > 0 nên hàm f ( x ) ñ ng bi n .
Chú ý 3 b t ñ ng th c ñ i s :
1.B t ñ ng th c AM-GM:
Cho n s th c dương a1 , a2 ,..., an , ta luôn có:
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1a2 ...an
n
D u “=” x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an .
2.B t ñ ng th c Cauchy-Schwarz:
Cho 2 b n s ( a1 , a2 ,..., an ) và ( b1 , b2 ,..., bn ) trong ñó bi > 0, i = 1, n . Ta luôn có:
( 0, π )
The Inequalities Trigonometry
86
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
2
a 2 ( a + a + ... + an )
a12 a2
+ + ... + n ≥ 1 2
b1 b2
bn
b1 + b2 + ... + bn
a
a a
D u “=” x y ra ⇔ 1 = 2 = ... = n .
b1 b2
bn
2
3.B t ñ ng th c Chebyshev:
Cho 2 dãy ( a1 , a2 ,..., an ) và ( b1 , b2 ,..., bn ) cùng tăng ho c cùng gi m, t c là:
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an
b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn
ho c
a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an
, thì ta có:
b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn
a1b1 + a2b2 + ... + an bn a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn
≤
.
n
n
n
a1 = a2 = ... = an
.
D u “ = ” x y ra
b1 = b2 = ... = bn
N u 2 dãy ñơn ñi u ngư c chi u thì ñ i chi u d u b t ñ ng th c.
Xét trong tam giác ABC có A ≥ B (A,B s ño hai góc A,B c a tam giác theo
radian).
A
B
x
● A≥ B ⇒
≥
( theo ch ng minh trên thì hàm f ( x ) =
)
sin A sin B
sinx
A
B
A a
A a
⇒
≥
⇒
≥ , mà A ≥ B ⇔ a ≥ b . Như v y ta suy ra n u a ≥ b thì ≥
a
b
B b
B b
2R 2R
(i).
A B C
≥ ≥
và như v y ta có
• Hoàn toàn tương t : a ≥ b ≥ c ⇒
a b c
B C
C A
A B
( a − b ) − ≥ 0 , ( b − c ) − ≥ 0 và ( c − a ) − ≥ 0 .C ng 3
a b
c a
b c
A
A B
(1).
b t ñ ng th c ta ñư c ∑ ( a − b ) − ≥ 0 ⇔ 2 ( A + B + C ) ≥ ∑( b + c )
a
a b
cyc
cyc
A+ B +C
vào
2
v
c a
(1)
ta
thu
ñư c:
- C ng
A B C
(2)
3( A + B + C ) ≥ ( a + b + c) + +
a b c
A
- Tr A + B + C vào 2 v c a (1) ta thu ñư c: ( A + B + C ) ≥ 2∑ ( p − a )
(3).
a
cyc
A
⇔
Chú ý r ng A + B + C = π và a + b + c = 2 p nên (2) ⇔ 3π ≥ 2 p ∑
cyc a
A 3π
A π
∑ a ≤ 2 p (ii), và (3) ⇔ ∑ ( p − a ) a ≤ 2 (iii).
cyc
cyc
The Inequalities Trigonometry
87
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
● M t khác ta có th áp d ng b t ñ ng th c Chebyshev cho 2 b s
A B C
≥
≥
A B C
, , và ( p − a, p − b, p − c) . Ta có: a ≥ b ≥ c ⇒ a
b
c
a b c
p−a ≤ p−b ≤ p−c
A
A
A
p∑
∑( p − a) a ( p − a + p − b + p − c) a + B + C
a
A
b c
cyc
⇔ ∑ ( p − a ) ≤ cyc . Mà
⇒
≤
a
3
3
3
3
cyc
A
A
3π
p∑
p∑
p
a π
a
A 3π
A
A
2p
∑ a ≤ 2 p ta suy ra: ∑( p − a) a ≤ cyc ≤ 3 hay ∑ ( p − a ) a ≤ cyc ≤ 2 (iv).
3
3
cyc
cyc
cyc
● Ta chú ý ñ n hai b t ñ ng th c (ii) và (iii):
1
-Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM cho 3 s
A B C
, , ta ñư c:
a b c
1
A
A.B.C 3
∑ a ≥ 3 a.b.c k t
cyc
3
A.B.C 3 3π
h p v i b t ñ ng th c (ii) ta suy ra 3
≤
2p
a.b.c
⇔
a.b.c 2 p
≥
(v). M t
A.B.C π
1
1
a
a.b.c 3 2 p
a.b.c 3
, mà theo (v) ta d dàng suy ra
, t ñó ta
khác, ta l i có ∑ ≥ 3
≥
π
A.B.C
A.B.C
cyc A
a 6p
(vi).
có b t ñ ng th c ∑ ≥
π
cyc A
-Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy-Schwarz , ta có :
2
π2
A
A2 ( A + B + C )
=∑
≥
=
∑ a cyc aA Aa + Bb + Cc Aa + Bb + Cc
cyc
(vii),
2π p − 8 ( R + r ) < Aa + Bb + Cc < 2π p − 2π ( R + r )
A
π2
>
∑ a 2π ( p − R − r )
cyc
mà
(bài
t p
ta
ñã
a/
ph n
tìm
trư c)
ñư c
nên
(viii) (ch ñúng v i tam giác nh n).
-Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM cho 3 s
( p − a)
A
B
C
, ( p − b ) , ( p − c ) ta ñư c:
a
b
c
A
B
C
ABC
. .
S 2 ABC
. .
S.ABC
. .
+ ( p − b) + ( p − c) ≥ 3 3 ( p − a)( p − b)( p − c)
=33
=33
⇒
a
b
c
abc
..
p 4S.R
4 p.R
A
p∑
2
a π
A
A
S A.B.C
∑ ( p − a ) a ≥ 3 3 p 4S.R (4)mà ∑ ( p − a ) a ≤ cyc ≤ 2 (theo iv) nên t (4)
3
cyc
cyc
A
p∑
3
3
2
729S. A.B.C
S A.B.C
π
729S . A.B.C
A
cyc a
4 3π
4
⇒ 33
≤
≤ ⇔
≤ p ∑ ⇒
≤p
4R
3
2
4R
p 4S .R
cyc a
2p
( p − a)
⇔ 54S . A.B.C ≤ π 3 . p.R (ix).
The Inequalities Trigonometry
88
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
2
2
2
x
y
z
x y
z
+
+
+
● Xét t ng T =
.
+
+
b By a Ax a Ax c Cz c Cz b By
Ta có: T ≥ 0
y+z 1
z+x 1
x+ y 1
1
1
1
⇔
. 2 +
. 2 +
. 2 − 2
+
+
≥ 0.
x a A
y b B
z cC
ab AB bc BC ca CA
y + z bc z + x ca x + y ab
c
. +
. +
.
− 2
+
x aA
y bB
z cC
AB
y + z bc z + x ca x + y ab
a
⇔
. +
. +
.
≥ 2
+
x aA
y bB
z cC
BC
⇔
a
b
+
≥0
BC
CA
b
c
+
(5).
CA
AB
1
a
b
c
abc 3 6 p
+
+
≥ 3
(6).
Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta ñư c:
≥
BC
CA
AB ABC π
y + z bc z + x ca x + y ab 6 p
T (5) và (6) ta ñư c:
. +
. +
.
≥
(7).
x aA
y bB
z cC π
Thay (x, y, z) trong (7) b ng (p-a, p-b, p-c) ta ñư c:
bc
ca
ab
12 p
+
+
≥
(x)
A( p − a) B ( p − b) C ( p − c)
π
b + c c + a a + b 12 p
Thay (x, y, z) trong (7) b ng (bc, ca, ab) ta ñư c:
+
+
≥
(xi).
A
B
C
π
2x
π
3/ Chúng ta xét b t ñ ng th c sau: sinx ≥
v i ∀ x ∈ 0, (ph n ch ng minh b t
π
2
ñ ng th c này dành cho b n ñ c).
a
Theo ñ nh lí hàm s sin ta có sin A =
và k t h p v i b t ñ ng th c trên ta ñư c
2R
a
2A
a 4R
a 12 R
≥
⇔ ≥
, t ñó ta d dàng suy ra ∑ >
.
2R π
A π
π
cyc A
sin x π 2 - x 2
4/ B t ñ ng th c:
≥ 2
v i ∀ x ∈ (0,π ] (b t ñ ng th c này xem như bài
x
π + x2
t p dành cho b n ñ c).
sin x
2 x2
2 x3
B t ñ ng th c trên tương ñương
≥ 1− 2
⇔ sin x ≥ x − 2
(1).
x
π + x2
π + x2
3 3
(2) (b n ñ c t ch ng minh).T (1)
Trong tam giác ta có: sin A + sin B + sin C ≤
2
A3
3 3
B3
C3
≥ ∑ sin A > A + B + C − 2 2
+ 2
+ 2
và (2) ta thu ñư c
⇒
2
2
2
2
cyc
π + A π + B π +C
A3
3 3
B3
C3
A3
B3
C3
π 3 3
> π − 2 2
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
> −
⇔ 2
.
2
2
2
2
2
2
2
π + A π + B π +C 2 4
π + A π + B π +C
The Inequalities Trigonometry
89
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
sin A π 2 − A2
M t khác, áp d ng b t ñ ng th c cho 3 góc A, B, C ta thu ñư c
> 2
,
A
π + A2
sin B π 2 − B 2
sin C π 2 − C 2
> 2
và
> 2
, c ng các b t ñ ng th c ta ñư c:
B
C
π + B2
π + C2
sin A sin B sin C π 2 − A2 π 2 − B2 π 2 − C 2
+
+
> 2
+
+
, t ñây áp d ng ñ nh lí hàm s sin
A
B
C
π + A2 π 2 + B2 π 2 + C 2
a
b
c
a
π 2 − A2 π 2 − B2 π 2 − C2
a
π 2 − A2
sin A =
ta có 2R + 2R + 2R > 2 2 + 2 2 + 2 2 hay ∑ > 2 R ∑ 2
.
2R
A B C π + A π + B π +C
π + A2
cyc A
The Inequalities Trigonometry
90
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Th tr v c i ngu n c a môn lư ng giác
Lê Qu c Hán
ð i h c Sư ph m Vinh
“Lư ng giác h c” có ngu n g c t Hình h c. Tuy nhiên ph n l n h c sinh khi h c
môn Lư ng giác h c (gi i phương trình lư ng giác, hàm s lư ng giác …), l i th y nó
như là m t b ph n c a môn ð i s h c, ho c như m t công c ñ gi i các bài toán hình
h c (ph n tam giác lư ng) mà không th y m i liên h hai chi u gi a các b môn y.
Trong bài vi t này, tôi hy v ng ph n nào có th cho các b n m t cách nhìn “m i” :
dùng hình h c ñ gi i các bài toán lư ng giác.
Trư c h t, ta l y m t k t qu quen thu c trong hình h c sơ c p : “N u G là tr ng tâm
tam giác ABC và M là m t ñi m tùy ý trong m t ph ng ch a tam giác ñó thì” :
1
1
MG 2 = MA 2 + MB 2 + MC 2 − a 2 + b 2 + c 2 (ð nh lý Lép-nít)
3
9
N u M ≡ O là tâm ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC thì MA 2 + MB 2 + MB 2 = 3R 2 nên áp
4
d ng ñ nh lý hàm s sin, ta suy ra : OG 2 = R 2 − R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C )
9
4 9
⇒ OG 2 = R 2 − (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) (1)
9 4
T ñ ng th c (1) , suy ra :
9
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤
(2)
4
D u ñ ng th c x y ra khi và ch khi G ≡ O , t c là khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Như v y, v i m t ki n th c hình h c l p 10 ta ñã phát hi n và ch ng minh ñư c b t ñ ng
th c (2) . Ngoài ra, h th c (1) còn cho ta m t “ngu n g c hình h c” c a b t ñ ng th c
(2) , ñi u mà ít ngư i nghĩ ñ n. B ng cách tương t , ta hãy tính kho ng cách gi a O và
tr c tâm H c a ∆ABC . Xét trư ng h p ∆ABC có 3 góc nh n. G i E là giao ñi m c a
AH v i ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC . Th thì :
℘H / (O ) = OH 2 − R 2 = HE. HA
(
) (
)
Do ñó : OH 2 = R 2 − AH . HE (*)
v i:
AF
cos A
cos A
= AB.
= 2 R sin C
= 2 R cos A
AH =
sin C
sin C
sin C
và HE = 2 HK = 2 BK cot C = 2 AB cos B cot C
cos C
= 2.2 R sin C cos B
= 4 R cos B cos C
sin C
Thay vào (*) ta có :
1
OH 2 = 8R 2 − cos A cos B cos C (3)
8
The Inequalities Trigonometry
91
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
N u ∠BAC = 90 0 ch ng h n, thì (3) là hi n nhiên. Gi s ∆ABC có góc A tù. Khi ñó
℘H / (O ) = R 2 − OH 2 = HA . HE trong ñó AH = −2 R cos A nên ta cũng suy ra (3) .
T công th c (3) , ta suy ra :
1
(4 )
8
(D u ñ ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u). Cũng
như b t ñ ng th c (2) , b t ñ ng th c (4) ñã ñư c phát
hi n và ch ng minh ch v i ki n th c l p 10 và có m t
“ngu n g c hình h c” khá ñ p. C n nh r ng, “xưa
nay” chưa nói ñ n vi c phát hi n, ch riêng vi c ch ng
minh các b t ñ ng th c ñó, ngư i ta thư ng ph i dùng
các công th c lư ng giác (chương trình lư ng giác l p
11) và ñ nh lý v d u tam th c b c hai.
Có ñư c (1) và (3) , ta ti p t c ti n t i. Ta th s d ng “ñư ng th ng Ơle”.
N u O, G, H là tâm ñư ng tròn ngo i ti p, tr ng tâm và tr c tâm ∆ABC thì O, G, H
1
1
th ng hàng và : OG = OH . T OG 2 = OH 2 .
3
9
T (1)(3) ta có :
9
1
− sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = (1 − 8 cos A cos B cos C )
4
4
2
2
2
hay sin A + sin B + sin C = 2 + 2 cos A cos B cos C
Thay sin 2 α b ng 1 − cos 2 α vào ñ ng th c cu i cùng, ta ñư c k t qu quen thu c :
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 2 cos A cos B cos C = 1 (5)
Chưa nói ñ n vi c phát hi n ra (5) , ch riêng vi c ch ng minh ñã làm “nh c óc” không
bi t bao nhiêu b n tr m i làm quen v i lư ng giác. Qua m t vài ví d trên ñây, h n các
b n ñã th y vai trò c a hình h c trong vi c phát hi n và ch ng minh các h th c “thu n
túy lư ng giác”. M t khác, nó cũng nêu lên cho chúng ta m t câu h i : Ph i chăng các h
th c lư ng giác trong m t tam giác khi nào cũng có m t “ngu n g c hình h c” làm b n
ñư ng ? M i các b n gi i vài bài t p sau ñây ñ c ng c ni m tin c a mình.
A
B
C
1. Ch ng minh r ng, trong m t tam giác ta có d 2 = R 2 1 − 8 sin sin sin trong ñó
2
2
2
d là kho ng cách gi a ñư ng tròn tâm ngo i ti p và n i ti p tam giác ñó.
T ñó hãy suy ra b t ñ ng th c quen thu c tương ng.
• 2. Cho ∆ABC . D ng trong m t ph ng ABC các ñi m O1 và O2 sao cho các tam
cos A cos B cos C ≤
(
)
giác O1 AB và O2 AC là nh ng tam giác cân ñ nh O1 ,O2 v i góc ñáy b ng 30 0 và
sao cho O1 và C cùng m t n a m t ph ng b AB, O2 và B cùng m t n a m t
ph ng b AC.
a)
Ch ng minh :
1
2
O1O2 = a 2 + b 2 + c 2 − 4 3S
6
b)
Suy ra b t ñ ng th c tương ng :
(
The Inequalities Trigonometry
)
92
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
2
2
2
sin A + sin B + sin C ≥ 2 3 sin A sin B sin C
3.
Ch ng minh r ng n u ∆ABC có 3 góc nh n, thì :
sin A + sin B + sin C
<2
cos A + cos B + cos C
4.
Cho t di n OABC có góc tam di n ñ nh O ba m t vuông, OA = OB + OC .
Ch ng minh r ng :
sin (∠OAB + ∠OAC ) = cos ∠BAC
(Hãy dùng phương pháp ghép hình)
The Inequalities Trigonometry
93
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Phương pháp gi i m t d ng b t ñ ng th c lư ng
giác trong tam giác
Nguy n Lái
GV THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên
Gi s f ( A, B, C ) là bi u th c ch a các hàm s lư ng giác c a các góc trong ∆ABC
Gi s các góc A, B, C th a mãn hai ñi u ki n :
A+ B
2 A + B
1) f ( A) + f (B ) ≥ 2 f
ho c f ( A) f (B ) ≥ f
(1)
2
2
ñ ng th c x y ra khi và ch khi A = B
π
π
C +
C +
π
π
2
3 (2)
3 ho c f (C ) f
2) f (C ) + f ≥ 2 f
≥ f
3
3
2
2
ñ ng th c x y ra khi và ch khi C =
π
3
Khi c ng ho c nhân (1)(2) ta s có b t
ñ ng th c :
π
π
f ( A) + f (B ) + f (C ) ≥ 3 f ho c f ( A) f (B ) f (C ) ≥ f 3
3
3
ð ng th c x y ra khi và ch khi A = B = C . Tương t ta cũng có b t ñ ng th c v i chi u
ngư c l i. ð minh h a cho phương pháp trên ta xét các bài toán sau ñây :
Thí d 1. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta luôn có :
1
1
1
3 2
+
+
≥
1 + sin A 1 + sin B 1 + sin C
2+4 3
L i gi i. Ta có :
1
1
4
4
2
+
≥
≥
≥
1 + sin A 1 + sin B 2 + sin A + sin B 2 + 2(sin A + sin B )
A+ B
1 + sin
2
1
1
2
+
≥
⇒
(3)
1 + sin A 1 + sin B
A+ B
1 + sin
2
1
1
2
(4)
+
≥
Tương t ta có :
1 + sin C
π
π
1 + sin
C+
3 1 + sin
3
2
C ng theo v (3) và (4) ta có :
The Inequalities Trigonometry
94
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
1
1
1
1
1
1
+
+
+
≥ 2
+
1 + sin A 1 + sin B 1 + sin C
π
π
1 + sin A + B
1 + sin
C+
2
3
3
1 + sin
2
⇒
1
+
1
+
1
≥
4
≥
1 + sin π
3
3 2
1 + sin A 1 + sin B 1 + sin C
2+4 3
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Thí d 2. Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta luôn có :
2
1
1
1
≥ 1 +
1 +
1 +
1 +
3
sin A sin B sin C
L i gi i. Ta có :
3
2
1
1
1
1
1
1
+
+
≥ 1+
+
= 1+
1 +
1 +
sin A sin B sin A sin B
sin A sin B sin A sin B
sin A sin B
2
2
2
2
1
≥ 1 +
= 1 +
= 1 +
1 − cos( A + B )
cos( A − B ) − cos( A + B )
sin A sin B
1
1
1
1+
≥ 1 +
⇒ 1 +
sin A sin B sin A + B
2
1
1
1 + 1 ≥ 1 +
1+
Tương t :
π
sin C sin π
C+
3 sin
3
2
Nhân theo v c a (5) và (6) ta có :
1
= 1 +
sin A + B
2
2
(5)
2
(6)
2
1
1
1
1
1
1
≥ 1 +
1 +
1 +
1 +
1 +
1 +
π
sin A sin B sin C sin π sin A + B
C+
3
2 sin
3
2
The Inequalities Trigonometry
2
2
2
≥ 1 + 1
π
sin
3
95
4
2
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ
B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
3
2
1
1
1
⇒ 1 +
≥ 1 +
1 +
1 +
3
sin A sin B sin C
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Thí d 3. Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta có :
3
A
B
C
sin 6 + sin 6 + sin 6 ≥
2
2
2 64
L i gi i. Trư ng h p tam giác ABC tù ho c vuông.
π
C +
π
A− B
3
> 0 và cos
Gi s A = max{A, B, C} ≥ , lúc ñó cos
2
2
2
Ta có :
> 0.
3
A
B 2 A
B
3
sin
+ sin 6
+ sin 2
sin
2
2 ≥
2
2 = 1 1 − cos A + cos B = 1 1 − cos A + B cos A − B
2
2
8
2
2
2
8
6
3
1
A+ B
A
B
A+ B
6 A+ B
⇒ sin 6 + sin 6 ≥ 2 sin 6
≥ 1 − cos
= sin
8
2
4
2
2
4
π
C
Tương t ta có : sin 6 + sin 6 3 ≥ 2 sin 6
2
2
C ng theo v c a (7 ) và (8) ta ñư c :
C+
4
(7 )
π
3
(8)
π
π
C+
A+ B+C +
A
B
C
A+ B
3
3 ≥ 4 sin 6
sin 6 + sin 6 + sin 6 + sin 6 3 ≥ 2 sin 6
+ sin 6
8
4
2
4
2
2
2
3
A
B
C
π
⇒ sin 6 + sin 6 + sin 6 ≥ 3 sin 6 =
(9)
2
2
2
6 64
Trư ng h p tam giác ABC nh n, các b t ñ ng th c (7 ), (8), (9) luôn ñúng.
Thí d 4. Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta luôn có :
π
3
(cos A + sin A)(cos B + sin B )(cos C + sin C ) ≤ 2 2 2 + 6
4
4
L i gi i. Ta có :
(cos A + sin A)(cos B + sin B )(cos C + sin C ) = 2 2 cos A − π cos B − π cos C − π
4
4
4
nên b t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i :
The Inequalities Trigonometry
96
- Xem thêm -
.PDF 
22 
83 
88 
