Tài liệu Chuyen de ham so(theo cau truc cua bo gd)

Chuyên đề hàm số Lời nói đầu “Chuyên đề hàm số” là một trong năm chuyên đề trong: “Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học”. Hàm số là một phần quan trọng trong giải tích. Vì thế việc nắm vững kiến thức cũng như phân loại được các dạng toán và phương pháp giải các dạng toán đó là một phần tất yếu của người học toán. Dựa theo cấu trúc đề thi của bộ giáo dục và đào tạo năm 2010, tác giả đã sưu tầm và nghiên cứu viết ra một phần nhỏ “chuyên đề hàm số” theo đúng cấu trúc của bộ. Các bài tập trong cuốn chuyên đề này các bạn có thể tìm thấy ở các cuốn sách tham khảo trên thị trường và đặc biệt là các đề thi tuyển sinh đại học từ các năm đến bây giờ. Chuyên đề không giải chi tiết từng bài toán mà chỉ là đáp số và hướng dẫn. Tuy nhiên, chuyên đề có sự phân dạng và phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán. Lời giải của bài toán sẽ được tác giả giải trong từng buổi học. Chuyên đề gồm 6 chuyên đề chính dựa theo cấu trúc của bộ giáo dục và đào tạo: Chiều biến thiên của hàm số; Cực trị; GTLN và GTNN của hàm số; Tiếp tuyến và các bài toán liên quan; Tìm trên đồ thị những điểm thoả mãn tính chất cho trước; Tương giao giữa hai đồ thị. Chuyên đề tác giả viết ra vừa là tài liệu để mang đi dạy vừa có thể đưa cho các em để các em làm bài tập ở nhà. Do lần đầu viết tài liệu nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu xót. Mong nhận đựơc sự góp ý từ đồng nghiệp và các em. Mọi góp ý xin liên hệ trực tiếp tác giả hoặc theo địa chỉ: [email protected] hoặc [email protected] Đà nẵng, 20/04/2010 Đình Nguyên Chuyên Đề Hàm số_ Luyện thi đại học năm 2009 – 2010 Chuyên đề 1: Chiều biến thiên của đồ thị hàm số A.Cơ sở lý thuyết: I. Lý thuyết chung: ۳ f '  x  0 với mọi x  (a, b). f '  x  0 với mọi x  (a, b). 2. y = f(x) nghịch biến trên (a, b) ۣ 3. y = f(x) đồng biến trên  a; b  thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b) 4. y = f(x) nghịch biến trên  a; b  thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a). 1. y = f(x) đồng biến trên (a, b) Chú ý:  Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f(x) với đồ thị y = g(x).  0 ,   (a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì y  0    a; b  .  Bất phương trình f ( x )  m đúng x  I  Min f(x)  m x  I  Bất phương trình f ( x )  m đúng x  I  Max f(x)  m x  I  BPT f ( x )  m có nghiệm x  I  max f(x)  m x  I  BPT f ( x )  m có nghiệm x  I  Max f(x)  m x  I  Nếu hàm số y Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 1 Chuyên đề hàm số  Tam thức bậc hai:  B. Bài tập: 1. Cho hàm số y Chuyên đề 1: Chiều biến thiên a  0 y  ax 2  bx  c  0 x  �     0 a  0 2  y  ax  bx  c  0 x  �     0 1  m  1 x 3  mx 2   3m  2  x 3 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định của nó. 2. Cho hàm số 3. Cho hàm số   ;0  . 4. Cho hàm số  0;2  . mx  4 . Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng   ;1 . xm y  x 3  3 x 2  mx  4 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng y y   x3  3 x 2  mx  2 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng 1 y   x 3   m  1 x 2   m  3 x  4 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng 3 biến trên khoảng  0;3 . m 3 1 6. Cho hàm số y  x   m  1 x 2  3  m  2  x  . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng 3 3 biến trên  2;  . 5. Cho hàm số 7. Cho hàm số y  x 3  mx 2   2m 2  7m  7  mx  2  m  1  2m  3 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên  2;  . 1 1 y  mx  sin x  sin 2 x  sin 3 x luôn đồng biến. 4 9 y   4m  5  cos x   2m  3 x  m 2  3m  1 luôn nghịch biến. 8. Tìm m để hàm số 9.Tìm m để 10.Tìm m để hàm số y  x 3  3x 2  3mx  3m  4 đồng biến với mọi x. Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số A.Cở sở lý thuyết: I. Cực trị hàm bậc ba:  Điều kiện tồn tại cực trị Hàm số y  f ( x ) có cực đại và cực tiểu  f '( x)  0 có hai nghiệm phân biệt   '  b 2  3ac  0  f '( x0 )  0   f ''( x0 )  0  f '( x0 )  0  Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = x0    f ''( x0 )  0  Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = x0   Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu Thực hiện phép chia y cho y’ khi đó phần dư chính là phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu.  Chú ý: sử dụng định lý viét cho hoành độ các điểm cực trị. II. Cực trị hàm bậc bốn:  y’ = 0  có đúng 1 nghiệm hoặc có đúng hai nghiệm (1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép) thì hàm số y có đúng 1 cực trị.  Có 3 nghiệm phân biệt: thì hàm số có 3 cực trị. B. Bài Tập: 11. Tìm m để hàm số: = - 2. 12. Tìm m để 1 y  x 3   m 2  m  2  x 2   3m 2  1 x  m  5 3 đạt cực tiểu tại x y  2 x3  3  m  1 x 2  6  m  2  x  1 có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng d: y = - 4x + 3. 13. Tìm m để y  2 x 3  3  m  1 x 2  6m  1  2 m  x có CĐ, CT nằm trên đường thẳng d: y = - 4x. 14. Tìm m để y  x3  mx 2  7 x  3 có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với đường thẳng d: y = 3x - 7. 15. Tìm m để hàm số y  x3  3 x 2  m 2 x  m có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua d: 1 5 x 2 2 2 3 2 16. Cho y  x   cos a  3sin a  x  8  1  cos 2a  x  1 3 y a. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT. b. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2. CMR: Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số x12  x2 2  18 3 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị 1 y  x3  mx 2  x  m  1 có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là 3 17. Tìm m để hàm số nhỏ nhất. 18. Tìm m để hàm số mãn x1 + 2x2 = 1. 1 1 y  mx 3   m  1 x 2  3  m  2  x  3 3 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa y  mx 4   m2  9  x 2  10 có 3 điểm cực trị. 19. Tìm m để hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 có CĐ, CT lập thành tam giác đều. 21. Tìm m để hàm số y  x 4  2m 2 x 2  1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông 20. Tìm m để hàm số cân. 22.Tìm m để hàm số 1 y  x3  (m  2) x 2  (5m  4) x  ( m2  1) 3 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 < -1 < x2. 23. Cho hàm số: 1 1 3  y  x3   sin a  cos a  x 2   sin 2a  x . 3 2 4  Tìm a để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 và x12+ x22 = x1+x2. 24. Cho hàm số y  mx3  3mx 2   2m  1 x  3  m Tìm m để hàm số có CĐ và CT. CMR: khi đó đường thẳng đi qua CĐ, CT luôn đi qua 1 điểm cố định. 25. Cho hàm số y   x 3  3x 2  3  m 2  1 x  3m 2  1 Tìm m để hàm số có CĐ và CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. 26. Cho hàm số y  x3  3 x 2  3m  m  2  x  1 Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu. 27. Cho hàm số y  x 3   2m  1 x 2   2  m  x  2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương. 28. Cho hàm số y  2 x 3  3  m  3 x 2  11  3m Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B sao cho 3 điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng. 29. Cho hàm số y   x 3   2m  1 x 2   m 2  3m  2   4 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía của trục tung. 30. Cho hàm số y 1 4 3 x  mx 2  2 2 Tìm m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Chuyên đề hàm số 31. Cho hàm số: Chuyên đề 2: Cực trị y  x 4  2mx 2  2m Xác định m để hàm số có các điểm CĐ, CT: a. Lập thành 1 tam giác đều. b. Lập thành 1 tam giác vuông. c. Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 16. C. Bài Tập tương tự: 32. Tìm m để đồ thị có cực đại, cực tiểu a. b. 1 y  .x3  mx 2  ( m  6).x  (2m  1) 3 y  (m  2).x3  3x 2  m.x  5 33. CMR với mọi m hàm số y  2.x3  3(2m  1) x 2  6m.(m  1) x  1 sau luôn đạt cực trị tại x1, x2 và x1 – x2 không phụ thuộc vào m. 34. Tìm m để đồ 35. Tìm m để y  x3  3mx 2  3(m2  1) x  m đạt cực tiểu tại x = 2 y  mx3  3mx 2  (m  1) x  1 không có cực trị. 36. Cho hàm số y  2.x 3  3(3m  1) x 2  12.(m 2  m) x  1 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT. 37. Tìm m để f ( x)  x 3  3mx 2  4m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. 4 y  .x3  2(1  sin a) x 2  (1  cos 2a).x  1 luôn đạt cực trị tại x1, 3 2 2 x1  x2  1 38. Tìm a để hàm số x2 thỏa mãn 39. Tìm m để hàm số = x. y  x3  3m 2 x m 2 có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của đường thẳng y Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số Chuyên đề 3: GTLN và GTNN của hàm số A. Cơ sở lý thuyết:  Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D +Nếu tồn tại 1 điểm x0 thuộc D sao cho: f ( x )  là GTLN của hàm số trên tập D. +Nếu tồn tại 1 điểm x0 thuộc D sao cho: f ( x )  là GTLN của hàm số trên tập D.  Để tìm GTLN, GTNN ta có thể  Lập bảng biến thiên của hàm số rồi kết luận.  (Xét trên đoạn f ( x0 )  x  D thì M = f(x0) được gọi f ( x0 )  x  D thì M = f(x0) được gọi  a; b  ) + Giải phương trình y’=0 với x thuộc D. Giả sử có các nghiệm x1, x2. + Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) + So sánh các giá trị trên và kết luận.  Biến đổi và đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho biến mới và tìm GTLN, GTNN của hàm số theo biến mới.  Ứng dụng của GTLN, GTNN để giải PT, BPT:  Giải phương trình: + Lập phương trình hoành độ giao điểm, chuyển về dạng một bên là hàm số theo x, một bên là hàm theo m( giả sử là g(m)). + Để PT có nghiệm thì  min f ( x, m)  g ( m)  max f ( x, m) . + Tương tự cho trường hợp có k nghiệm và vô nghiệm.  Giải bất phương trình: Áp dụng các tính chất sau: +Bất phương trình f ( x )  m đúng x  I  Min f(x)  m x  I f ( x)  m đúng x  I  Max f(x)  m x  I + Bất phương trình f ( x )  m có nghiệm x  I  max f(x)  m x  I +Bất phương trình f ( x )  m có nghiệm x  I  Max f(x)  m x  I +Bất phương trình Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 7 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số B. Bài tập: 40.Tìm GTLN, GTNN của hàm số   0; 2  .   41.Tìm GTLN, GTNN của hàm số  0;  . y  2 cos 2 x  4sin x 4 y  2sin x  sin 3 x 3 trên đoạn trên đoạn 44. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  cos 2 2 x  sin x cos x  4 . 1  sin 6 x  cos6 x . y 4 4 1  sin x  cos x y  x  e 2 x trên đoạn  0;1 . 45. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x  1  x2 . 42. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 43. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 46. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y   3sin x  4cos x  10   3sin x  4cos x  10  .   47. Chứng minh rằng: sin x  tan x  2 x , x   0;  .  2 48. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 3  8 x 2  16 x  9 trên đoạn  1;3 .   49. Tìm GTLN, GTNN của hàm số x  2 cos x trên đoạn 0;  2 .   50.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 51.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 52.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 53.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 54.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 55.Tìm GTLN, GTNN của hàm số 56.Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  3x  9  x 2 . y  x 3  3x 2 trên đoạn  1;1 . y  sin 4 x  cos 4 x . y  x  x 2 trên đoạn  1;1 . y  sin x  cos 2 x . sin x  3 sin x  1 . y 2  sin x 3 y  sin x  cos 2 x  sinx  2 Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 8 Chuyên đề hàm số 57.Tìm GTLN, GTNN của Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số y  x2  3x  2 trên đoạn  10;10 . x2  3 58. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  . x2  x  2 1 x 59. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  e  . ex 60. Tìm m để phương trình x 3  3 x 2  m  0 có ba nghiệm phân biệt. 1 3 61. Tìm m để bất PT:  x  3mx  2   nghiệm đúng với mọi x3 x  1. 62. a. Tìm m để phương trình x  2 x 2  1  m có nghiệm. b. Tìm m để bất phương trình x  2 x 2  1  m với mọi x �. 63. Tìm m để phương trình: x  9  x   x 2  9 x  m có nghiệm. 64. Tìm m để phương trình: 3  x  6  x   3  x   6  x   m có nghiệm. 65. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 4  sin 4 x  cos 4 x   4  sin 6 x  cos6 x   sin 2 4 x  m 66.Tìm m để phương trình: m cos 2 x  4sin x cos x  m  2  0 có nghiệmx    0;  .  4 C. Bài tập tương tự: 67. Xác định m để phương trình  x  1 4  x 2  1  m có nghiệm. x 9  x  2m  1 có nghiệm thực. 2 69. Tìm m để BPT:  3  m  x  2  2m  5  x  2m  5  0 có nghiệm. 70.Tìm GTLN, GTNN của y  x  1  9  x trên đoạn  3;6 . 68. Xác định m để phương trình 71.Tìm m để phương trình: 2 x  2 x  Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số  2  x  2  x  m có nghiệm. 9 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến Chuyên Đề 4: Tiếp tuyến và các bài toán liên quan A.Cơ sở lý thuyết: 1.Dạng toán 1: Viết PTTT tại 1 điểm thuộc đồ thị hàm số.  Phương pháp: Áp dụng công thức từ ý nghĩa hình học của đạo hàm: y  y0  f '  x0   x  x0   Biết điểm có tung độ và hoành độ cho trước.  Biết điểm có hoành độ cho trứơc.  Biết điểm có tung độ cho trước. 2.Dạng toán 2: Viết PTTT có hệ số góc cho trước  Phương pháp: Từ k  f ' x  ta suy ra các nghiệm x1, x2. Thế x1, x2 vào y ta được tọa độ tiếp điểm. Áp dung dạng 1 ta có PTTT. Các biến dạng của hệ số góc:  Biết trực tiếp: k   1;  2;  3, v.v...  Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng cho trước.  Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.  Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc bằng  .  Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc  .  Tiếp tuyến hợp với đường thẳng d cho trước 1 góc bằng  cho trước. 3.Dạng toán 3: Viết PTTT đi qua 1 điểm A cho trước.  Phương pháp: Gọi xi là hoành độ tiếp điểm. Khi đó PTTT có dạng y  f '  xi   x  xi   f  xi  Vì TT đi qua A nên tọa độ thỏa mãn phương trình, giải phương trình ta đựơc các nghiệm x i. Thế ngược lại ta được PTTT cần tìm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình chính là số tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 10 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến B.Bài Tập: 72. Viết PTTT của đồ thị (C): y  x 3  3 x  5 khi biết: a. Tại điểm M(2; 7). b. Hoành độ tiếp điểm là x0 = - 1. c. Tung độ tiếp điểm là y0 = 5. d. Tại các giao điểm của (C) với đường thẳng d: 7x + y = 0 y 73. Cho hàm số (C): x 1 x2 a. Viết PTTT của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với trục tung. b. Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết tuyết tuyến đi qua điểm B(3; 4). c. Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại điểm A. 1 y  x 3  2 x 2  3x 3 74. Cho hàm số (C): Viết PTTT d của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 75. Cho hàm số (Cm): 1 m 1 y  x3  x 2  3 2 3 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng – 1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0. 76. Cho hàm số (C): y 2x  1 x 1 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. 77.Chohàmsố(C): y 1 1 4  x3  x 2  2 x  3 2 3 Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 11 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y = 4x + 2. 78. Cho hàm số (C): y  x3  x Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 2). 79. Cho hàm số (C): y 2x  3 1 x Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng: x – y + 2007 = 0. 80. Cho hàm số (C): y x x 1 Viết PTTT d của đồ thị hàm số (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân. 81. Cho hàm số (C): y x 1 2x  1 Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng và trục Ox. 82. Cho hàm số (C): y  2 x3  6 x 2  5 Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; -13). 83. Cho hàm số (C): y 3x  1 x 1 Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) tại điểm M(-2; 5). 84. Cho hàm số (Cm): y  x 3  3mx 2   m  1 x  1 Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ x = - 1 đi qua điểm A(1; 2). 85. Cho hàm số (C): y 2x x 1 Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 12 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác 1 . 4 y  4 x3  6 x 2  1 OAB có diện tích bằng 86. Cho hàm số (C): Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1; -9). 87. Cho hàm số (C): y x2 2x  3 Viết PTTT của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. 88. Cho hàm số (C): y x 1 x 1 Xác định m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. 89. Cho hàm số (C): y 2x  1 x 1 Cho M bất kì trên (C) có xM = m. Tiếp tuyến của (C) tạ M cắt hai tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không đổi. 90. Cho hàm số (Cm): y  x3  3 x 2  mx  1 Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E. Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc. 91. Tìm giao điểm của tiếp tuyến với (C): y d: y = x + 2001 Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số x 1 x 3 với trục hoành, biết tiếp tuyến vuông góc với 13 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 5: Tìm điểm trên đồ thị Chuyên đề 5: Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước A.Phương pháp: 1. Dạng 1: Tìm điểm cố định của họ (Cm): y = f(x, m)  Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định của họ (Cm).  Khi đó: y0 = f(x0, m) với mọi m. Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0 ta nhận được cặp giá trị (x0; y0).  Kết luận. a  0  b  0 a  0   am2 + bm + c = 0,  m   b  0 c  0  Chú ý:  am + b = 0,  m  2.Dạng 2: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên. ax  b , ta biến đổi về dạng phân thức. cx  d  Nếu a chia hết cho c  ta chia tử cho mẫu và sử dung tính chia hết.  Nếu a không chia hết cho c  ta chia tử cho mẫu ax  b a bc  ad bc  ad y    cy  a  cx  d c c  cx  d  cx  d  Giả sử hàm số y = Vì cy – a là nguyên nên ta phải có (bc – ad) chia hết cho cx + d. Từ đó suy ra giá trị nguyên cần tìm. 3.Dạng 3: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) thỏa mãn điều kiện K.  Giả sử M(x0; y0) = M(x0; f(x0)).  Thiết lập điều kiện K cho điểm M.  Kết luận. B.Bài tập: 92. Cho hàm số (Cm): y  x 3  3mx 2  9 x  1 Tìm m để điểm uốn của (Cm) thuộc đường thẳng y = x + 1. 93. Cho hàm số (Cm): y mx  m  2 x 1 Chứng minh rằng họ (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. 94. Cho hàm số (C): y x 1 x2 Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên. 95. Cho hàm số (C): y   x3  3x 2  2 . Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 14 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 5: Tìm điểm trên đồ thị Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị (C). 96. Cho hàm số (C): y x2 x 1 Tìm các điểm thuộc trục Oy để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox. 97. Cho hàm số (C): y   x4  2x2  1 Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị (C). 98. Cho hàm số (Cm): y  x 3  3mx 2  3  m 2  1 x  1  m 2 Tìm m để trên đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O. 99. Cho hàm số (C): y  x 3  3x 2  2 Tìm trên đồ thị (C) của hàm số cặp điểm đối xứng với nhau qua điểm I(2; 18). 100. Cho hàm số (C): y  x3  12 x  12 Tìm trên đường thẳng y = - 4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). 101. Cho (C): y  x3  1  k  x  1 Viết phương trình tiếp tuyến d tại giao điểm của (C) với Oy. Tìm k để d tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8. 102. Cho hàm số (C): y x4 x2 Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2y – 6 = 0. 103. Cho hàm số (C): y x2 x 3 Tìm trên đồ thị (C) của hàm số điểm M cách đều hai đường tiệm cận của (C). 104. Cho hàm số (C): y  x3  3x a. CMR: đường thẳng d: y = m(x+1) + 2 luôn cắt (C) tại 1 điểm A cố định. b. Tìm m để d cắt (C) tại A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau. 105. Tìm các điểm trên đồ thị (C): 1 2 y  x3  x  3 3 1 2 x . 3 3 3 106. Cho (Cm): y  x  mx 2  m  1 thẳng d: y Viết PTTT của (Cm) tại các điểm cố định mà (Cm) đi qua. mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị Chuyên Đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị hàm số A.Cơ sở lý thuyết: 1. Bài toán tương giao tổng quát: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x, m) = g(x,m) (1).  Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số. Chú ý: Nếu đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(x 0; y0) thì phương trình d: y – y0 = k(x – x0). Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C). 2.Bài toán cơ bản: Cho đồ thị y = f(x, m) và trục hoành: y = 0. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = 0. 3.Phương pháp chung:  Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ f ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0  0 . p Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x  (p, q)=1 thì q q \ an và p \ a0 . Cho phương trình:  Phương pháp hàm số Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m. Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m. Chú ý: Phương pháp hàm số chỉ sử dụng được khi tham số là có bậc là 1. B.Tương giao hàm bậc 3 với trục Ox. 1.Các phương pháp xét tương giao:  Phương pháp nhẩm nghiệm cố định: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ. Nếu f(x, m) = 0 có nghiệm x =  thì f ( x , m )   x     a ( m) x 2  b ( m) x  c ( m )  .  Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số: Suy ra các hệ số đi với tham số phải bằng triệt tiêu tham số. f ( x, m)   x    m    a(m) x 2  b(m) x  c(m)  .  Phương pháp hình dạng đồ thị và vị trí cực trị.  Phương pháp hàm số: Đưa phương trình tương giao về 1 đồ thị và 1 đường thẳng g(x) = m. 2.Tương giao hàm bậc 3 với Ox có hoành độ lập thành cấp số a. Lập thành cấp số cộng: Điều kiện cần: Giả sử cắt Ox tại x1, x2, x3 lập cấp số. Khi đó đồng nhất hai vế ta có: x2  b . Thế 3a vào phương trình ta tìm đựơc điều kiện cần tìm. Điều kiện đủ: Thử lần lượt từng giá trị tham số và kiểm tra có thoả mãn đề bài không. Từ đó kết luận. Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 16 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị b. Cấp số nhân. Tương tự ta cũng có: x2  3 d a . Thế vào và kiểm tra. C.Tương giao hàm bậc 4 với trục Ox. 1.Tương giao hàm bậc 4 với Ox có hoành độ lập thành cấp số cộng. Phương pháp: Sau khi đặt t = x2 ta đựơc phương trình bậc hai. Căn cứ vào điều kiện đề bài thì f(t) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt t1, t2 dương và thỏa mãn t2 = 9t1.   0 S  0  Vậy điều kiện là:  P  0  t2  9t1  D. Phép Suy đồ thị: Cho đồ thị y = f(x) ta suy ra các đồ thị hàm số sau:  y  f  x y  f x  Từ y f ( x) g  x suy ra y f  x g  x . E. Bài Tập: 107. Tìm m để đồ thị (Cm): y  x3  3  m  1 x 2  2  m2  4m  1 x  4m(m  1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều lớn hơn 1. 108. Tìm m để đồ thị (Cm): y  x 3  2mx 2   2m 2  1 x  m(1  m 2 ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều dương. 109. Tìm m để đồ thị (Cm): y  x 3  3mx 2  2m  m  4  x  9m 2  m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng. 110. Tìm m để đồ thị (Cm): y  x 3  (3m  1) x 2   5m  4  x  8 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân. 111. Tìm m để đồ thị (Cm): y  x 4  2( m  1) x 2  2m  1 cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng. 112. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 4  2 x 2  m 4  2m 2 . Chuyên đề hàm số 113. Cho hàm số (C): y Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị 2x  1 x2 a. CMR: đường thẳng y = - x + m luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm m để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất. b. Tìm m để phương trình: 114. Cho hàm số (C): y 2sin x  1 m sin x  2 có đúng hai nghiệm thuộc khoảng  o;  . x2 . x 3 Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C). 115. a. Chứng minh rằng đường thẳng d: 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị (C): phân biệt thuộc 2 nhánh của (C). b. Tìm m để AB đạt min. 116. Cho hàm số (C): y của (C) là nhỏ nhất. 117. Cho hàm số: y x 1 x 1 tại A, B 3x  5 . Tìm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận x2 y  2x4  4x2 Với giá trị nào của m, phương trình 118. Cho hàm số (Cm): x2 x2  2  m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt? y  x 4   3m  2  x 2  3m Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 119. Cho hàm số (C): y  x 3  3x 2  4 CMR: mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k(k > - 3) đều cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. 120. Cho hàm số (C): y  x 3  3x  2 Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. 121. Cho hàm số (C): y 2x 1 x 1 Với các giá trị nào của m đường thẳng dm đi qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị (C) a. Tại hai điểm phân biệt b. Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị. 122. Cho hàm số (C): y x2 2x  1 a. CMR: đường thẳng d: y = mx + m – 1 luôn đi qua một điểm cố định của (C) khi m thay đổi. Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị b. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng 1 nhánh của (C). 123. Cho hàm số (C): y x 1 x2 Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau. y   x3  3x 2 Tìm k để phương trình:  x 3  3x 2  k 3  3k 2  0 có 3 nghiệm phân biệt. 125. Cho hàm số (C): y  2 x 3  9 x 2  12 x  4 . 3 2 Tìm m để phương trình: 2 x  9 x  12 x  m có 6 nghiệm phân biệt. 124. Cho hàm số (C): y  x3  3x 2  6 . 3 2 Tìm m để phương trình: x  3 x  6  m 126. Cho hàm số (C): có 4 nghiệm phân biệt. 127. Cho hàm số (C): y = 3x – 4x3. Tìm m để phương trình: x  3  4 x 2   m có 4 nghiệm phân biệt. y  x 3  3x  2 2 Tìm m để phương trình: x  1  x  x  2   m có 3 nghiệm phân biệt. 128. Cho hàm số (C): 129. Cho hàm số (C): y  x3  6 x 2  9 x  6 Tìm m để đường thẳng d: y = mx – 2m – 4 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. 130. Cho hàm số (Cm): y  2 x3  3  m  1 x 2  6mx  2 Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm. 131. Cho hàm số (Cm): y  x 4  mx 2  m  1 Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 132. Cho hàm số (C): y  3x  4 x3 Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x  4 x 3  3m  4m 3 . 133. Cho hàm số (C): y  x4  x2 Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4x2  1  x2   1  k . 134. Cho hàm số (C): y 2x x 1 Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị a. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số y 2x x 1 x   1;2  m  2 x  m  0 b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: