Tài liệu Chuyên đề hàm số luyện thi đh, cđ ( www.sites.google.com/site/thuvientailieuvip )

TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH – 36/ kiệt 73 NGUYỄN HOÀNG TRUNG TÂM GS ĐỈNH CAO VÀ CHẤT LƯỢNG SĐT: 01234332133 – 0978421673. TP HUẾ CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG * Tính đơn điệu của hàm số * Ứng dụng tính đơn điệu hàm số chứng minh bất đẳng thức * Ứng dụng hàm số vào giải và biện luận phương trình, bất phương t rình, hệ phương trình * Cực trị hàm số * Mặt nón - Khối nón (Diện tích, thể tích) www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1. Nhắc lại định nghĩa: Ta kí hiêu K là khoảng hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f ( x ) xác định trên K. Hàm số f đồng biến (tăng) trên K  x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến (giảm) trên K  x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Hàm số đồng biến hoặc nghịc h biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K. a) Nếu f đồng biến trên khoảng K thì f(x)  0, x  K b) Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f(x)  0, x  K 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K. a) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên K. b) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên K. c) Nếu f(x) = 0, x  K thì f không đổi trên K. Chú ý:  Nếu khoảng K được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. Chuyên đề LTĐH 1 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO  Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên [a;b]  Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a ;b] và có đạo hàm f’(x)<0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên [a;b] II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y. Tìm các điểm xi (i  1,2,.., n) mà tại đó y  = 0 hoặc y  không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn của hàm sô) – Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên – Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến cuả hàm số. Chuyên đề LTĐH 2 Biên soạn: Trần Đình Cư www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP: DẠNG TOÁN 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Phương pháp: Dựa vào quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Xét chiều biến thiên của hàm số sau: a) y   x 3  3 x 2  24 x  26; b) y  x 3  3 x 2  2; c) y  x 3  3 x 2  3 x  2 Hướng dẫn: a) Hàm đồng biến trên (-4;2) và nghịch biến trên các khoảng  ; 4  vaø  2;   b) Hàm nghịch biến trên (0;2) và nghịch biến trên các khoảng  ;0  vaø  2;   c)y'=3  x  1 , y'=0  x=-1 vaø y'>0 vôùi moïi x  -1 2 Vì haøm soá ñoàng bieán treân moãi nöûa khoaûng  ; 1 vaø  1;   neân haøm soá ñoàng bieán treân  Hoặc ta có thể trình bày: Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đồng biến trên  Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số sau: 1 a) y   x 4  2 x 2  1; 4 b) y  x 4  2 x 2  3; c) y  x 4  6 x 2  8 x  1 Hướng dẫn: a) Hàm đồng biến trên  ; 2  và (0;2), Hàm nghịch biến trên (-2;0) và (2; ) Chuyên đề LTĐH 3 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO b) Hàm đồng biến trên  0;   và nghịch biến trên  ;0  c) Hàm đồng biến trên khoảng  2;   và nghịch biến trên  ;2  Nhận xét: Đối với hàm số bậc 4 luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm số không thể đơn điệu trên R. Bài 3. Xét chiều biến thiên của hàm số sau: 2x 1 ; x 1 x2  2x  1 c) y  ; x2 a) y  x2 x 1 x2  4x  3 d )y  x2 b) y  Hướng dẫn: a) Hàm đồng biến trên  ; 1 vaø  1;   b) Hàm nghịch biến trên  ;1 vaø 1;   c) Hàm đồng biến trên  5; 2  vaø  2;1 , Hàm nghịch biến trên  ; 5 vaø 1;   d) Hàm đồng biến trên  ; 2  vaø  2;   , Nhận xét: ax  b  a.c  0  luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên cx  d khoảng xác định của chúng  Đối với hàm số y  ax 2  bx  c  Đối với hàm số y  luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu . dx  e  Cả hai hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên  Bài 4. Xét tính đơn điệu của hàm số sau: a) y  x 2  2 x  3 ; b) y  3 x 2  x 3 Hướng dẫn: a) Ta có: Chuyên đề LTĐH 4 Biên soạn: Trần Đình Cư www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO 2  x  2 x  3 y 2  x  2 x  3 khi x  1  x  3 khi  1  x  3 2 x  2 khi x  1  x  3  y'    y'  0  x  1 khi  1  x  3 2 x  2 Haøm khoâng coù ñaïo haøm taïi x  -1 vaø x  3 Baûng bieán thieân: Haøm ñoàng bieán treân moãi khoaûng  1;1 vaø  3;   , nghich bieán treân  ; 1 vaø 1;3 b) Haøm ñaõ cho xaùc ñònh treân nöaû khoaûng  ;3 3 2x  x3 Ta coù: y'= , x  3, x  0 2 3x 2  x 3 x  3, x  0 : y '  0  x  2. Haøm soá khoâng coù ñaïo haøm taïi x=0 vaø x=3   Döïa vaøo baûng bieán thieân: Haøm ñoàng bieán treân khoaûng  0;2  , nghòch bieán treân  ;0  vaø  2;3 Bài 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  sin x trên khoảng  0;2  Hướng dẫn: Ta có: y '  0, x   0;2   x  Chuyên đề LTĐH  2 ,x  3 2 5 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Bảng biến thiên: BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Xét chiều biến thiên của hàm số sau: 1 a) y  x 3  3 x 2  8 x  2; 3 x2  2x b) y  x 1 Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số a) y  2 x 3  3 x  1; 4 2 b) y   x 3  6 x 2  9 x  3 3 c) y  x 4  2 x 2  5; d )y  2 x  x 2 Hướng dẫn: c)Trình baøy töông töï baøi maãu 1c); d)Trình baøy töông töï baøi maãu 2b) Bài 3. Chứng minh rằng a) y  4  x 2 nghòch bieán treân ñoaïn  0;2  b) y  x 3  x  cos x  4 ñoàng bieán treân  c)y  cos2 x  2 x  3 nghòch bieán treân  Hướng dẫn: a) Haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn 0;2  vaø coù ñaïo haøm f '( x )  x 4  x2 vôùi moïi x   0;2  . Do ñoù haøm soá nghòch bieán treân ñoaïn  0;2  0 b) Haøm soá xaùc ñònh treân . Ta thaáy f '( x )  3 x 2  1  sin x  0, x   c) f '( x )  2  sin 2 x  1  0, x   vaø f '( x )  0  x    4  k , k       Haøm soá nghòch bieán treân moãi ñoaïn    k ;    k  1   , k   4  4  Do ñoù haøm soá nghòch bieán treân  Chuyên đề LTĐH 6 Biên soạn: Trần Đình Cư www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Bài 4. a) Cho hàm số y  sin 2 x  cos x . Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên     đoạn  0;  vaø nghòch bieán treân ñoaïn  ;    3 3  b) Chứng minh rằng với mọi m   1;1 , phương trình s in 2 x  cos x  m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn  0;   Hướng dẫn: a) Haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn  0;   vaø coù f '( x )  sin x  2 cos x  1 , x   0;    1 Vì x   0;    sin x  0 neân trong khoaûng  0;   : f '( x )  0  cos x   x  2 3     *y '  0, x   0;  neân haøm soá ñoàng bieán treân  0;   3  3   *y '  0, x   ;   neân haøm soá nghòch bieán treân 3     3 ;    b) Ta coù:     * x   0;  ta coù: y(0)  y  y    1  y  5 neân phöông trình khoâng coù  3 3 nghieäm thuoäc  1;1     5 *x   ;   ta coù: y( )  y  y    1  y  . Theo ñònh lí giaù trò trung 4 3  3    5 gian cuûahaøm soá lieân tuïc m   1;1   1;  , neân toàn taïi soá thöïc c   ;   4  3  sao cho y(c)=0. Soá c laø nghieäm cuûa phöông trình sin 2 x  cos x  m vaø vì haøm soá nghòch   bieán treân  ;   ,neân treân ñoaïn naøy phöông trình coù nghieäm duy nhaát. 3  Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát treân  0;   BTTT: Cho hàm số f ( x )  sin 2 x  cos2 x Chuyên đề LTĐH 7 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO   a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên  0;  và nghịch biến trên  3   đoạn  ;   3  b) Chứng minh rằng với mọi m   1;1 phương trình sin 2 x  cos2 x  m BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số: a. y = 2 x 3  3 x 2  2 b. y = x 3  3 x 2  3 x  1 c. y = x  2 x  1 1 5 1 4 x2 3 d. y = x  x  x   2 x  1 5 4 2 4 2 Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: a. y = 2x  1 3x  3 c. y = 2x-3- x 2  3x  3 x 1 4x+5 d. y = 4x 2 -4 b. y = 1 x+2 Bài 3. Xét chiều biến thiên của hàm số sau: a) y  x 2  2 x  6 b) y  2 x  x 2 c) y  2x  1 3x  2 Bài 4. Xét chiều biến thiên của hàm số sau:   a) y  sin 6 x treân  0;   6 b) y  cot x treân   ;0  vaø  0;   2 Bài 5 Xét chiều biến thiên của hàm số sau: x2  x  1 a) y  2 ; x  x 1 b) y  x  3  2 2  x ; c) y  2 x  1  3  x d) y  x 2  x 2 e) y  2 x  x 2    f) y  sin 2 x    x   2  2    g) y  sin 2 x  x    x   2  2 Bài 6. Chứng minh hàm số y  2 x  x 2 nghịch biến trên đoạn [1; 2] Chuyên đề LTĐH 8 Biên soạn: Trần Đình Cư www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Bài 7. a) Chứng minh hàm số y= x 2 -9 đồng biến trên nửa khoảng [3; +  ). b) Hàm số y  x  4 nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] x Bài 8. Chứng minh rằng a) Hàm số y  3 x nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 2x  1 b) Hàm số y  2 x 2  3x đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 2x  1 c) Hàm số y   x  x 2  8 nghịch biến trên R. Bài 9. Chứng minh hàm số f ( x )  x  cos2 x đồng biến trên R Bài 10. Cho hàm số f ( x )  2 x 2 x  2 a) Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng 2;   b) Chứng minh rằng phương trình 2 x 2 x  2  11 có một nghiệm duy nhất Chuyên đề LTĐH 9 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO DẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN  Phương pháp: Cho hàm số y  f ( x , m) , m là tham số, có tập xác định   Hàm số f đồng biến trên   f(x)  0, x   . Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm  Hàm số f nghịch biến trên   f  0, x   . Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) Nếu y '  ax 2  bx  c thì:  a  b  0  c0  y '  0, x  R    a  0     0  a  b  0  c0  y '  0, x  R    a  0     0 2) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c :  Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. b ) 2a  Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 3) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c với số 0:  Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =    0   x1  x2  0   P  0 S  0    0   0  x1  x2   P  0 S  0   x1  0  x2  P  0 BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Tìm m để hàm số luôn giảm (nghịch biến) trên  1 y   x 3  2 x 2   2m  1 x  3m  2 3 Hướng dẫn: Haøm soá xaùc ñònh treân . Ta coù: y '   x 2  4 x  2 m  1,  '  2m  5 Baûng xeùt daáu '. Chuyên đề LTĐH 10 Biên soạn: Trần Đình Cư www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO 2 5 thì y'=-  x  2   0,x  , y '  0 chæ taïi ñieåm x=2. Do ñoù haøm soá nghòch 2 bieán treân  *m=- *m<- 5 thì y'< 0,x  . Do ñoù haøm soá nghòch bieán treân  2 5 thì y'=0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1 , x2  x1  x2  . Haøm soá ñoàng bieán treân 2 khoaûng  x1; x2  .Tröôøng hôïp naøy khoâng thoûa maõn *m>- Cách giải sau đây không “phù hợp” ở điểm nào? Haøm soá nghòch bieán treân  khi vaø chæ khi a  1  0 5 m y '   x 2  4 x  2m  1  0, x     ' 2   0 5 Vaäy haøm soá nghòch bieán treân  khi vaø chæ khi m  2 Nhận xét: Lời giải trên xem ra có vẻ đúng và hợp lý. Tuy nhiên về mặt lý luận thì trình bày như trên chưa thỏa đáng, hơi tự nhiên. Do đó mất đi tính trong sáng và chặt chẻ trong toán học Bài 2.Tìm a để hàm số y  1 3 x  ax 2  4 x  3 luôn tăng (đồng biến) trên  3 Hướng dẫn: Haøm soá xaùc ñònh treân . Ta coù: y '  x 2  2 ax  4,  '  a 2  4 Baûng xeùt daáu '. Chuyên đề LTĐH 11 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO *-20,x  . Do ñoù haøm soá ñoàng bieán treân  *a=2 thì y'=  x  2  ,y'=0  x=-2,y'>0,x  2. Do ñoù haøm soá ñoàng bieán treân 2 moãi nöûa khoaûng  ; 2  vaø 2;   neân haøm soá y ñoàng bieán treân  *a  2 hoaëc a  2 thì y'=0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1 , x2  x1  x2  . Haøm soá nghòch bieán treân khoaûng  x1; x2  , ñoàng bieán treân moãi khoaûng  ; x1  vaø  x2 ;   . Tröôøng hôïp naøy khoâng thoûa maõn vaäy haøm soá ñoàng bieán treân  khi vaø chæ khi -2  a  2 Bài 3. Tìm m để hàm số y  x  m cos x luôn tăng (đồng biến) trên  Hướng dẫn: Cách 1: Haøm soá xaùc ñònh treân . Ta coù: y '  1  m sin x Haøm soá ñoàng bieán treân   y'  0,x    msinx  1,x   (1) *m=0 thì (1) luoân ñuùng 1 1 , x    1   0  m  1. m m 1 1 * m<0 thì (1)  sin x  , x    1   1  m  0. m m Vaäy -1  m  1 laø nhöõng giaù trò caàn tìm *m>0 thì (1)  sin x  Cách 2: Haøm ñoàng bieán treân   y'  0,x   1  m  0  miny'=min 1  m;1  m  0    1  m  1 1  m  0 Chú ý: Phương pháp:  Hàm số f(x,m) tăng trên   y '  0, x    min y '  0, x    Hàm số f(x,m) giảm trên   y '  0, x    maxy '  0, x   BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Tìm m để hàm số y   m  2  x3   m  2  x 2   m  8 x  m 2  1 luôn nghịch 3 biến (giảm) trên  Chuyên đề LTĐH 12 Biên soạn: Trần Đình Cư www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Hướng dẫn: Ta có: y '   m  2  x 2   m  2  x  m  8 *Khi : m  2 : haøm nghòch bieán treân  *Khi m  2 : tam thöùc baäc hai y '   m  2  x 2   m  2  x  m  8 coù  =10  m  2  Bảng xét dấu của  ' :  m<-2: y '  0, x    haøm nghòch bieán treân   m  2 : y '  0 coù hai nghieäm x1 ,x 2  x1  x2  tröôøng hôïp naøy haøm ñoàng bieán treân khoaûng  x1; x2  neân tröôøng hôïp naøy khoâng thoûa maõn Vaäy m  -2 laø nhöõng giaù trò caàn tìm Bài 2. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến (giảm) trên tập xác định a) y  b) y  1 2 m  1 x 3   m  1 x 2  3 x  5 3  m  1 x 2  2 x  1   x 1 Hướng dẫn:   a) y '  m 2  1 x 2  2  m  1 x  3 Haøm ñoàng bieán treân   y'  0,x   Tröôøng hôïp 1: m 2  1  0 * m  1: tröôøng hôïp naøy khoâng thoûa maõn * m=-1:tröôøng hôïp naøy thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn  Tröôøng hôïp 1: m 2  1  0, luùc ñoù:  '=-  m 2  m  2  Bảng xét dấu  ' : Chuyên đề LTĐH 13 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO  a  0  * m  1hoaëc m> 2 : haøm soá y ñoàng bieán treân   do     '  0    * m=2:haøm soá y ñoàng bieán treân  *  1  m  2, m  1: tröôøng hôïp naøy khoâng thoûa maõn Vaäy haøm ñoàng bieán treân  khi vaø chæ khi m<-1 hoaëc m  2  m  1 x b) y '  2  2  m  1 x  1  x  1 2  g( x )  x  1 2 Daáu cuûa y' laø daáu cuûa g(x),x  -1 Haøm y ñoàng bieán treân  ; 1 vaø  1;    g '( x )  0, x  1 * m  1: tröôøng hôïp naøy thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn * m  1: 1  m  2 thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn Vaäy khi 1  m  2 thì haøm ñoàng bieán treân  Bài 3. Tìm m để hàm số f ( x )  3 x 2  mx  2 nghịch biến trên khoảng từng 2x 1 khoảng xác định. Hướng dẫn: 1 Hàm số xác định trên  \   2  y'  6 x 2  6 x  4  m  2 x  1  y '  0, x  2 . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định 1 1  6 x 2  6 x  4  m  0, x  2 2  '  33  6m Bảng xét dấu  ' : m 11  ' Chuyên đề LTĐH +  2 0 14 - Biên soạn: Trần Đình Cư www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO 11 1 tức  '  0 thì y '  0, x  hay hàm đồng biến trên các 2 2 khoảng xác định * Nếu m  * Nếu m   3   x1    3   x2   11 thì y '  0 có hai nghiệm phân biệt 2 33  6m 6 33  6m 6 x 2  x1  và rõ ràng x1  1  x2 2 Bảng biến thiên: x y' 1 2 x1  - 0 + x2 + 0  - y  1  1 Dựa vào bảng biến thiên thì ta thấy hàm đồng biến trên  x1;  và  x2 ;   2  2 nên ta loại trường hợp này Kết luận: m  11 2 BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác địn h (hoặc tập xác định) của nó: a) y  x 3  5 x  13 Chuyên đề LTĐH b) y  x3  3x 2  9 x  1 3 15 c) y  2x 1 x2 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO x2  2x  3 d) y  x 1 e) y  3 x  sin(3 x  1) x 2  2mx  1 f) y  xm Bài 2. Chứng minh rằng các h àm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: b) y  cos x  x a) y  5 x  cot( x  1) c) y  sin x  cos x  2 2 x Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng kh oảng xác định) của nó: b) y  a) y  x 3  3mx 2  (m  2) x  m d) y  y mx  4 xm e) y  x 3 mx 2   2x  1 3 2 x 2  2mx  1 xm c) y  xm xm f) x 2  2mx  3m 2 x  2m Bài 4. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f ( x )  x 3 -3x 2  mx  1 đồng biến trên R. Bài 5. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó m a) y  x  2  x 1 b) y  2 x 2   m  2  x  3m  1 x 1 Hướng dẫn: a) *m  0 : haøm ñoàng bieán treân moãi khoaûng  ;1 vaø 1;   *m  0 : y '  0  x  1  m . Laäp baûng bieán thieân ta thaáy, haøm soá nghòch     bieán treân moãi khoaûng 1  m ;1 vaø 1;1  m do ñoù khoâng thoûa maõn yeâu caàu Vaäy haøm soá ñoàng bieán treân moãi khoaûng xaùc ñònh khi vaø chæ khi m  0 Chuyên đề LTĐH 16 Biên soạn: Trần Đình Cư www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO b) y '  1  2m  1  x  1 2 1  y '  0, x  1, Haøm soá nghòch bieán treân moãi khoaûng  ;1 vaø 1;   2 1 * m  : phöông trình y'=0 coù hai nghieäm x1  1  x2 2 *m  Bài toán này được mở rộng như sau: a1 ) tìm giaù trò m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân  ; 1 a2 )tìm giaù trò m ñeå haøm soá ñoàng bieán treân  2;   a3 )tìm giaù trò m ñeå haøm soá nghòch bieán treân khoaûng coù ñoä daøi baèng 2 a4 )tìm giaù trò m ñeå haøm soá nghòch bieán treân moãi khoaûng  0;1 vaø 1;2  a5 )goïi x1 , x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình  x  1  m  0. Tìm m ñeå 2  x1  2 x2 ;  x1  3 x2  m  5  x1  3 x2 ;  x1  5 x2  m  12 Bài 6. Với giá trị nào của m, hàm số: y  mx 3  3 x 2   m  2  x  3 nghịch biến trên R. x x Bài 7. Tìm điều kiện của tham số a để hàm số y  sin - cos  ax đồng 2 2 biến trên R Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định trên  x  1 x x 2 Ta có: y '   cos  sin   sin     a 2 2 2 2 2 4 Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi y '  0, x    Chuyên đề LTĐH x  2 2 2  a  a  sin      a, x     2 2 2 2 2 17 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO DẠNG 3: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN TẬP CON CỦA  Phương pháp:  Hàm số y  f ( x , m) taêng x  I  y'  0,x  I  min y'  0,x  I  Hàm số y  f ( x , m ) giaûm x  I  y'  0,x  I  max y'  0,x  I BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Tìm giá trị của m để hàm số mx  4 luoân nghòch bieán treân khoaûng  ;1 xm 2) y  x 3  3 x 2   m  1 x  4m nghòch bieán treân khoaûng  1;1 1) y  Hướng dẫn: 1. Sai lầm thường gặp: ycbt  f '( x )  0, x   ;1  y '  m2  4  x  m 2  0, x   ;1  m 2  4  0  2  m  2 Nguyên nhân sai lầm: Khi giải và biện luận bất phương trình có mẫu thức chứa tham số  x  m  phải đặt 2 điều kiện x  m , x   ;1 Lời giải đúng Haøm soá ñaõ cho xaùc ñònh treân  \{-m} y'= m2  4  x  m 2 , x   m. 2  y '  0, x   ;1 2  m  2 m  4  0 ycbt      2  m   1 m  1  m   ;1  m   ;1 BTTT: Tìm m để hàm số f ( x )  3 x  5 đồng biến trên  2;   2x  m 2. Cách 1: Hàm số xác định trên  Ta có: y '  3 x 2  6 x  m  1 Chuyên đề LTĐH 18 Biên soạn: Trần Đình Cư www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Hàm số nghịch biến trên ( -1;1)  y '  0, x   1;1 , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm Ta có :  y '  9  3  m  1  6  3m  TH 1: Nếu  'y '  0  m  2 thì y '  0, x    hàm đồng biến trên  . Trường hợp này loại vì yêu cầu bài toán nghịch biến trên (-1;1)  TH 2: Nếu  'y '  0  m  2 thì y’=0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử là x1  x2 ) . x x1  y' + x2 0 -  0 + Dựa vào bảng xét dấu y ’ ta thấy hàm số nghịch biến trên (-1;1)  x1  1  1  x2 (*) Hướng 1:  x1  1  x2  x1  1  0  x2  1  x1  1 .  x2  1  0    * (I )   x  1  x      x x 1 0 1    x x 1 . 1 0  1   1   2  2 2  1 Áp dụng định lí Vi-et để giải hệ (I) ta được m  10  3   x1  Hướng 2: Phương trình y’=0 có hai nghiệm là   3   x2    x  1 *   x1  1  2 6  3m 3 ,  x1  x2  6  3m 3 m  2   m  10 m  10 Cách 2: Chuyên đề LTĐH 19 Biên soạn: Trần Đình Cư