Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề một số ví dụ về phát triển bài tập vật lý từ một bài tập gốc (phần dao động vật rắn)

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP VẬT LÝ TỪ MỘT BÀI TẬP GỐC (PHẦN DAO ĐỘNG VẬT RẮN) I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong giảng dạy vật lý, việc giải được một bài toán khó, đã khó; việc hướng dẫn học sinh tìm ra mối liên hệ giữa hướng giải các bài tập cơ bản và hướng giải các bài tập khó còn khó hơn nhiều vì đây thực sự là một quá trình sáng tạo. Chính vì lí do đó, chúng tôi luôn tìm cách hướng dẫn học sinh làm quen với việc phát triển các bài tập mới từ bài tập gốc. Để làm được việc này cần trang bị các kiến thức cơ bản liên quan như sau II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Động học và động lực học vật rắn: - Các đại lượng , 0, ,  là đại lượng đặc trưng cho chuyển động quay của vật rắn. Trong một hệ quy chiếu,  có giá trị như nhau với các trục quay bất kì song song với nhau.    - Các đại lượng at ; a n ; a ; v chỉ đặc trưng cho một điểm trên vật rắn. - Giữa chuyển động quay của vật rắn và chuyển động tịnh tiến có các đại lượng vật lí tương đương nhau - Các đại lượng liên quan đến chuyển động của một chất điểm (hay chuyển động tịnh tiến của vật rắn) được gọi là những đại lượng dài. - Các đại lượng liên quan đến chuyển động quay của một vật rắn quanh một trục được gọi là những đại lượng góc. Các đại lượng dài: Các đại lượng góc: - Gia tốc. - Gia tốc góc. - Vận tốc. - Vận tốc góc. - Lực. - Momen lực. - Động lượng. - Momen động lượng. Nếu đại lượng dài là đại lượng vectơ thì các đại lượng góc tương ứng cũng là đại lượng vectơ. - Vận tốc của một điểm trên vật rắn Gọi A là điểm xác định của vật rắn và M là một điểm khác nào đó trên vật rắn được xác định bởi véctơ Gọi O là gốc tọa độ, AM  rA , và  =r .  rM là hai bán kính véctơ OA và OM Ta có xác định vị trí của A và M  M rM   rA O r A OM  OA  AM đạo hàm theo t ta được  drM dt    drM drA dr   dt dt dt  drA và tương ứng dt là vận tốc v M và vA của M và A, còn  dr dt là vận tốc chuyển động của M khi A được xem là không chuyển động tức là vận tốc trong chuyển động quay của vật rắn quanh A; Gọi  là vận tốc góc ở thời điểm t của chuyển động quay ấy thì ta có Do đó    dr    r  dt     v M v A  (  r ) Biểu thức này cho thấy rằng chuyển động bất kì của vật rắn bao giờ cũng có thể phân tích thành hai chuyển động, chuyển động tịnh tiến của một điểm A nào đó  với vận tốc v A và chuyển động quay quanh trục quay tức thời đi qua A với vận  tốc  . 2. Đặc điểm của lực tác dụng lên vật rắn - Lực tác dụng lên vật rắn thì điểm đặt là tùy ý trên giá.    - Hệ lực tác dụng lên vật rắn ( F 1 , F 2 , F 3 ...) có thể tìm được hợp lực hoặc không tìm được hợp lực. Cần phân biệt hợp lực và tổng véc tơ các lực. Lý thuyết và thực nghiệm cho thấy, có thể xảy ra một trong ba trường hợp (TH) dưới đây: TH1: Vật chỉ chuyển động tịnh tiến giống như một chất điểm. Trong trường hợp này hệ lực tương đương với một lực duy nhất đặt tại khối tâm và tổng các lực cũng là hợp lực. TH2: Vật chỉ quay quanh một trục đi qua khối tâm. Trong trường hợp này hệ lực tương đương với một ngẫu lực mà như ta đã biết không thể tìm được hợp lực của nó. Vì hệ lực không có hợp lực nên ta phải nói là tổng các lực tác dụng vào vật bằng 0, còn tổng các momen lực đối với một trục đi qua khối tâm thì khác không và do đó vật chỉ quay quanh khối tâm đứng yên (nếu lúc đầu vật đứng yên). TH3: Vật vừa chuyển động tịnh tiến, vừa quay quanh khối tâm. Trong trường hợp này, hệ lực tương đương với một lực đặt tại khối tâm và một ngẫu lực. Do đó, lực tương đương đặt ở khối tâm không phải là hợp lực mà chỉ là tổng các lực. 3. Cách xác định tổng các lực: Sử dụng các phương pháp: phương pháp hình học. Giả sử vật rắn chịu    ba lực đồng thời tác dụng là F 1 , F 2 và F 3 (H.4.2a). Lấy một điểm P bất kì trong không gian làm điểm đặt của    lực, ta vẽ các lực F'1 , F' 2 và F' 3 song song, cùng chiều    và cùng độ lớn với các lực F 1 , F 2 và F 3 (H.4.2b). Dùng quy tắc hình bình hành ta tìm được hợp lực của hệ lực      đồng quy F'1 , F' 2 và F' 3 . Hợp lực này là tổng các lực  của hệ lực F 1 , F 2 và F 3 . Phương pháp đại số: Chọn một hệ trục toạ độ Đề-các (Ox, Oy) nằm trong    mặt phẳng của vật rồi chiếu các lực F 1 , F 2 , F 3 lên các trục toạ độ. Tổng của các  lực là một lực F , có hình chiếu lên các trục toạ độ bằng tổng đại số của hình    chiếu của các lực F 1 , F 2 và F 3 lên các trục đó: Fx = F1x + F2x + F3x = Fix. Fy = F1y + F2y + F3y = Fiy. Tóm lại, tổng các lực là một lực chỉ tương đương với hệ lực về tác dụng gây ra chuyển động tịnh tiến cho vật rắn mà thôi. 4. Mô men quán tính - là một đại lượng vật lý (với đơn vị đo trong SI là kilôgam mét vuông kg m2) đặc trưng cho mức quán tính của các vật thể trong chuyển động quay , tương tự như khối lượng trong chuyển động thẳng. - Với một khối lượng m có kích thước nhỏ so với khoảng cách r tới trục quay, mô men quán tính được tính bằng: I = m r2 -Với hệ nhiều khối lượng có kích thước nhỏ, mô men quán tính của hệ bằng tổng 2 của mô men quán tính từng khối lượng: I   mi ri -Với vật thể rắn đặc, chứa các phần tử khối lượng gần như liên tục, phép tổng được thay bằng tích phân toàn bộ thể tích vật thể: I  r 2 dm -Với dm là phần tử khối lượng trong vật và r là khoảng cách từ dm đến tâm quay. Nếu khối lượng riêng của vật là ρ thì: dm = ρ dV Với dV là phần tử thể tích. Định lí trục song song (Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)). Xét với trục quay  song song với trục quay G qua khối tâm G của vật rắn, chúng cách nhau một khoảng d. Khối lượng vật rắn là M, mô men quán tính của vật rắn đối với trục quay  là I được xác định qua mô men quán tính I G đối với trục quay G I = IG + Md2 (Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)). IG -là mô men quán tính của vật đối với trục quay qua khối tâm m -là khối lượng của vật d -là khoảng cách giữa 2 trục quay Định lí trục vuông góc chỉ áp dụng cho các vật có dạng tấm phẳng. Mô men quán tính của vật rắn phẳng quanh trục quay Oz vuông góc với vật bằng tổng mô men quán tính đối với 2 trục quay vuông góc Oy và Oz trong mặt phẳng của vật Iz  Ix  I y 5. Chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay - Chuyển động tịnh tiến: là chuyển động trong đó 1 đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của vật luôn luôn song song và cùng chiều với chính nó. Tại mỗi thời điểm các điểm của vật chuyển động tịnh tiến có cùng 1 véc tơ vận tốc. Phương trình đặc trưng của chuyển động tịnh tiến là:   F  ma. - Chuyển động quay quanh một trục * Chuyển động quay là chuyển động trong đó mỗi điểm Z của vật rắn đều vẽ lên một quỹ đạo tròn có tâm nằm trên một đường thẳng gọi là trục quay. * Những điểm nằm trên trục quay có vận tốc bằng 0 trong hệ quy chiếu gắn với trục quay. * Trục quay có thể chuyển động hoặc đứng yên tuỳ FZ  Ft m A Ftn Fn thuộc vào hệ quy chiếu được xét. * Trục quay tức thời nào đó của vật chuyển động quay tại thời điểm đó là tập hợp những điểm của vật có vận tốc bằng 0 đối với hệ quy chiếu khảo sát. - Mô men lực và mô men quán tính của chất điểm + Xét lực tác dụng vào một chất điểm có khối lượng m     F  Fz  Fn  Ft Chỉ có thành phần + Đặt  Ft mới gây ra chuyển động quay.   r  OA. α  ( r , Ftn ); 0  α  180 0 + Mô men lực đối với trục quay OZ là M = r.Ft    M  r  Ftn  M  r.Ftn . sin α + Mô men quán tính: M = r.Ftnsin = r(ma)sin = mr.asin M = mr.at = mr.(.r) = mr2. = I. ( là gia tốc góc, mr2 = I gọi là mô men quán tính của chất điểm đối với trục Z. - Các phương trình cơ bản của chuyển động quay * Phương trình động học ω dφ dω    ;γ ; v  ω r dt dt    v2 a  γ  r ; a n  ω 2 .r  r * Phương trình động lực học   M  Iγ;   F  ma. - Trong trường hợp tổng quát, khi chịu các lực tác dụng, vật rắn vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay quanh khối tâm.   Để tìm gia tốc a của chuyển động tịnh tiến (cũng là gia tốc a của khối tâm), ta  Fx = max và Fy = may hay:  F = ma , áp dụng phương trình: (1) (1.b) Để tìm gia tốc góc của chuyển động quay quanh một trục đi qua khối tâm, ta áp dụng phương trình:    M = IG  , (2) M = IG (dạng đại số). hay: - Điều kiện cân bằng tổng quát chỉ là trường hợp riêng của hai phương trình (1)     và (2) khi a = 0 và  = 0 . Nếu ban đầu vật đứng yên thì vật tiếp tục đứng yên. Ta có trạng thái cân bằng tĩnh.  - Cần chú ý là, khi vật ở trạng thái cân bằng tĩnh thì  M = 0 không chỉ đối với trục đi qua khối tâm, mà đối với cả một trục bất kỳ. - Đối với một vật rắn quay quanh một trục cố định thì chuyển động tịnh tiến của vật bị khử bởi phản lực của trục quay. 6. Năng lượng của vật rắn. - Thế năng của vật rắn: Xét với vật rắn tuyệt đối, trong trọng trường có gia tốc g, z là độ cao của khối tâm G tính từ một mốc nào đó, vật rắn có thế năng bằng thế năng của khối tâm mang tổng khối lượng của vật rắn: U = Mgz. - Động năng của vật rắn: - Khi vật rắn quay xung quanh một trục quay cố định : K = I.2 Chú ý: Nếu trục quay  không qua khối tâm G, cần xác định I qua IG bởi định lý Stenơ - Trường hợp tổng quát: K = IG.2 + M.VG2 "Ðộng năng toàn phần của vật rắn bằng tổng động năng tịnh tiến của khối tâm mang khối lượng của cả vật và động năng quay của nó xung quanh trục đi qua khối tâm". - Định luật bảo toàn cơ năng: Khi các lực tác dụng lên vật rắn là lực thế, thì cơ năng E của hệ vật rắn được bảo toàn: K + U = const. Nếu trong quá trình biến đổi của hệ từ trạng thái 1 sang trạng thái 2, có lực ma sát, lực cản... tác dụng mà ta tính được công A của các lực ấy thì có thể áp dụng định luật bảo toàn năng lượng dưới dạng: E2 - E1 = A. 7. Chuyển động lăn không trượt Xét một bánh xe có bán kính R có tâm C dịch chuyển trên mặt đất nằm ngang cố định trong hệ quy chiếu O, tất cả luôn luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Gọi điểm A là điểm tiếp xúc của bánh xe với mặt đất ở thời điểm t. Có thể phân biết ba điểm ở nơi tiếp xúc: y M C x O A = As = AR  Điểm AS của đất cố định trong HQC O.  Điểm AR của bánh xe, khi bánh xe quay thì ở thời điểm sau đấy điểm này không tiếp xúc với đất nữa.  Điểm hình học A xác định chỗ tiếp xúc. Rõ ràng ở thời điểm t, ba điểm có những vận tốc khác nhau trong HQC O.  Vận tốc của điểm AS của đất rõ ràng là bằng không.  Vận tốc của điểm hình học A bằng vận tốc của tâm C của bánh xe vì C và A luôn trên cùng một đường thẳng đứng.  Vận tốc của điểm AR của bánh xe thỏa mãn:     v AR  vC    CA Vận tốc v A gọi là vận tốc trượt của bánh xe trên mặt đất (chú ý mặt đất là cố R định).  Bánh xe gọi là lăn không trượt khi v A  0 . R Điểm AR của bánh xe tiếp xúc với mặt đất khi đó có vận tốc bằng 0 ở thời điểm tiếp xúc. Trong những điều kiện này mọi việc xảy ra như là giữa hai thời điểm gần nhau t và t + dt bánh xe quay quanh một trục qua A và vuông góc với mặt phẳng xOy, trục này được gọi là trục quay tức thời của bánh xe. A gọi là tâm quay tức thời. Khi lăn không trượt, có các hệ thức liên hệ: v G = R; quãng đường dịch chuyển được của tâm C trên mặt đất và cung cong ARA’R trên chu vi bánh xe là bằng nhau. 8. Ma sát nghỉ. Ma sát nghỉ xuất hiện ở mặt tiếp xúc của hai vật rắn không chuyển động đối với nhau. Lực ma sát nghỉ bao giờ cũng bằng và ngược chiều với lực tiếp tuyến đặt vào vật. Chỉ khi nào lực kéo có trị số bằng hay lớn hơn giá trị giới hạn fm thì vật mới bắt đầu trượt. Trị số cực đại fm của lực ma sát nghỉ tỉ lệ với phản lực pháp tuyến f n của mặt phẳng fm = kfn Hệ số k gọi là hệ số ma sát nghỉ. Nó phụ thuộc vào bản chất, trạng thái của mặt tiếp xúc. Khi vật lăn không trượt thì lực ma sát ở chỗ tiếp xúc là lực ma sát nghỉ, 9. Ma sát trượt Khi lực kéo F vượt trị số f m thì vật bắt đầu trượt. Lực ma sát khi đó gọi là ma sát trượt. Ma sát trượt bao giờ cũng hướng ngược chiều với vận tốc v và có độ lớn f=k’fn Khi vật rắn lăn có trươt , lực ma sát trượt sẽ xuất hiện ở chỗ tiếp xúc. O  f ms  P  fn 10. Ma sát lăn Ma sát lăn là ma sát xuất hiện trong chuyển động lăn của một vật trên một vật khác. Xét một hình trụ lăn trên một mặt phẳng dưới tác dụng của ngoại lực trọng lực  P,  F . Do tác dụng của hình trụ và mặt phẳng tiếp xúc đều bị biến dạng nên chúng không tiếp xúc nhau theo  một đường thẳng mà theo cả một diện tích AB. Do đó P và phản lực pháp tuyến  fn không triệt tiêu nhau mà chúng hình thành một ngẫu lực ngược chiều với mômen ngoại lực làm vật lăn, ngăn cản chuyển động lăn của vật. Ở đây ta thấy, thực chất ma sát lăn không phải là một lực mà là một mômen cản trở chuyển động lăn của vật. Mômen ngẫu lực của   P và f n có độ lớn Mmsl = fn.  Hệ số  có thứ nguyên độ dài, gọi là hệ số ma sát lăn, nó phụ thuộc vào bản chất các vật tiếp xúc, trạng thái của chúng và có thể phụ thuộc cả R. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Dưới dây xin lấy một bài tập cụ thể và một số hướng phát triển mà thầy trò chúng tôi đã và đang thực hiện. Bài gốc: Bài toán .1277 trong tạp chí KBANT năm 1991. Một dây dẫn mảnh đồng chất, khối lượng m được gập lại thành vòng dây hình chữ D có bán kính R. I. Xác định vị trí khối tâm của vòng dây. II. Tìm chu kì dao động nhỏ của vòng dây: 1) đối với trục nằm ngang đi qua O 1 là trung điểm của đường kính AB và vuông góc với mặt phẳng vòng dây. � và vuông 2) đối với trục nằm ngang đi qua O 2 là điểm chính giữa của AB góc với mặt phẳng vòng dây. Một số phương án phát triển đơn giản (chỉ cóvòng dây) 3) Tìm chu kì dao động nhỏ của vòng dây đối với trục nằm ngang trùng với đường kính AB của vòng dây. 4) Tìm chu kì dao động nhỏ của vòng dây đối với trục trùng với AB nhưng nghiêng một góc  so với phương ngang. 5) Tìm chu kì dao động nhỏ của vòng dây trong mặt phẳng thẳng đứng, cung AB lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Bài giải I. Gọi G là khối tâm của hệ, khoảng cách OG = l 0. Khi khung dây lệch đi một góc nhỏ  thì biến thiên thế năng của hệ là 2 m mgR 2 2R (1) E t  mgl0  m.g.l  l.g.l    l0  2 2R  R 2 2 II. Tính chu kì dao động nhỏ: 1) Xét trường hợp trục quay nằm ngang đi qua O1: a) Phương pháp năng lượng: Một vật dao động điều hoà có li độ x thì năng lượng dao động của hệ có dạng Ax 2 Bx'2 B  và chu kì dao động có dạng T  2 2 2 A 2mgR - Ta xét đại lượng x   . Từ công thức (1)  A  2 E  Et  E�  - Động năng của hệ bao gồm động năng của phần vòng cung chữ D và động năng của phần đường kính: m1 v 2 1 mR mR 2  '2  ( ' R)2  2 2 2R  R 2 2 2 2 2 m 2 (2R)  ' ' m2R R 2  ' 2 2mR 2  '2 E �2  I    2 12 2 2R  R 3 2 3(2  ) 2 2 2 (2  3)mR  ' (2  3)mR 2  E  E �1  E �2   B  (2). Từ (2) 3(2  ) 2 3(2  ) E �1  - Chu kì dao động T1  2 B (2  3)R  2 A 6g r P 1 m 1 m 3   2 I1  m1R 2  m 2 (2R) 2  R.R 2  2R.4R 2  mR 2 12 2R  R 12 2R  R 3(   2) - Phương trình chuyển động quay quanh trục O1: 2R 2R 3  2 2R 6g sin   mg   mR 2  "  mg   " 0 2 2 3(  2) 2 (3  2)R - Vòng dây dao động điều hoà với tần số góc 1  (2  3)R 6g 2) Xét trường hợp trục quay nằm ngang đi qua O2: O2 Chu kì dao động T1  2 6g (3  2)R G I1 "  mg l G b) Phương pháp động lực học: - Mô men quán tính của vòng dây đối với trục quay O1 là I1: O1   r P - Ta có O2 G  d  R  l0  R  2R R  2 2 - Theo định lí Stai-nơ: I1 = IG + ml02 ; I2 = IG + md2  R 2  2R 2  3  2 2 2  I 2  I1  m(d 2  l 02 )  m    I 2  2mR 2   mR   2 3(  2)  2     2     - Phương trình chuyển động quay quanh trục O2: I 2  "  mgd sin   mgd.  2mR 2 3  2 R 3g  "  mg   " 03(  2) 2 2(3  2)R Vòng dây dao động điều hoà với tần số góc 2  Chu kì dao động T2  2 3g 2(3  2)R 2(3  2) R 3 g 3) Trục quay trùng với đường kính AB: Gọi I3 là mô men quán tính của vòng dây đối với trục quay trùng với đường kính AB. Tính I3:  m 1 m R.d   R 2  (1  cos 2) .d  0 R  2R 2 2 2 2  1 mR  1 mR 1   d   cos 2.d  mR 2 0 2 2 0 2 2 2 2  I 3  r 2 dm   R 2 sin 2  0 O1 x B A - Phương trình chuyển động quay quanh trục AB  d r A, B O y dm 1  2R 4g I 3 "   mgl 0 sin   mgl 0  mR2  "  mg    " 0 2 2 2 R 4g - Vòng dây dao động điều hoà với tần số góc 3  R R R  Chu kì dao động T3  2 4g g 1 G  O2 r P 4) Trục quay trùng với đường kính AB nhưng nghiêng góc  so với phương ngang: - Phân tích trọng lực P ra hai thành phần P1 và P2 trong đó P2 = P cos  . - Vòng dây dao động nhỏ quanh trục AB với trọng lực biểu kiến P 2. Theo kết quả phần 4 ở trên ta có I 3 "   P2 l 0 sin   (mg cos )l 0  G r P 2 Chu kì dao động  r P1 r P B - Vòng dây dao động điều hoà với tần số góc 4g cos  4  . R R R T4  2   4g cos  g cos  O1 1  2R 4g cos  mR 2  "   mg cos     " 0 2 2 2 R A  5) Vòng dây dao động nhỏ trên mặt phẳng nằm ngang: O - Khi vòng dây lăn thì trục O có độ cao không đổi bằng R Ban đầu khối tâm G cách mặt phẳng nằm ngang P0 đi qua O một khoảng l0 tính theo công thức (1). Khi vòng dây đã lăn đi một góc  thì G' cách mặt phẳng P 0 một khoảng l0' = l0cos  do đó cách mặt phẳng nằm ngang P một khoảng l = R O' P l0cos  . O  lO Thế năng của vòng dây đối với P là U = mg(R - l0cos  ) (3). G' P B' B - Tính động năng K của vòng dây: */ Động năng tịnh tiến của khối tâm G: Do xét dao động nhỏ nên coi như G quay quanh điểm tiếp xúc B với vận tốc góc    ' G 2 1 1 1 1    2 K G  mvG2  m(BG.) 2  m(R  l0 ) 2 ( ') 2  mR 2   ( ') (4) 2 2 2 2 2   */ Động năng quay của vòng dây quanh trục đi qua G vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Gọi IG là mô men quán tính của vòng dây với trục G ta có: (theo định lí Stai-nơ) I1 = IG + ml02  IG = I1 - ml02 2 2 3  2  2R  2 3   8  8 I G  mR  m  mR  3(  2) 3(  2)2 2    1 1 32  8  8  K q  IG 2  mR 2 ( ') 2 (5) 2 2 2 3(  2) 2 Từ 4 và 5 2 2 2 1 1    2 2 3  8  8 2 2 3  4   4  K  mR 2  (  ')  mR (  ')  mR ( ') 2  A( ') 2  2 2 2 2   2 3(   2) 3(   2)   Cơ năng của vòng dây được bảo toàn W = A( ') 2 + mg(R - l0cos  ) = const. Lấy đạo hàm đối với thời gian W '  2A ' " mgl0 sin . '  0 . Thay sin    mgl0   "   0 . Vòng dây dao động điều hoà với tần số góc 2A mgl0 3g(   2) R(32  4  4) R(3  2) 5   T  2   2 và chu kì 5 2 2A R(3  4  4) 3g(  2) 3g Một số phương án phát triển lồng ghép khác (kết hợp vật có dạng cung tròn, đường tròn, hình trụ, đĩa tròn, mặt trụ, mặt cầu) 6) Một hình trụ đặc đồng chất, trọng lượng P, bán kính r đặt trong một mặt lõm bán kính cong R (hình vẽ). Ở điểm trên của hình trụ người ta gắn 2 lò xo với độ cứng k như nhau. Tìm chu kì dao động nhỏ của hình trụ với giả thiết hình trụ lăn không trượt. Lời giải Định luật II Newton: 2kΔx + Mgα - Fms = Ma (1) (2) (2) => (1) => O  R k => Chú ý là: Δx = (R- 2r)α ; a = (R- r) A => 4k (R- 2r)α + Mgα + M(R – r) B => A’ θ C α+ B1 =0 =0 => 7) ( Trích đề HSG QG vòng 1, 2011) Cho vật 1 là một bản mỏng đều, đồng chất, được uốn theo dạng lòng máng thành một phần tư hình trụ AB cứng, ngắn, có trục ∆, bán kính R và được gắn với điểm O bằng các thanh cứng, mảnh, nhẹ. Vật 1 có thể quay không ma sát quanh một trục cố định (trùng với trục ∆) đi qua điểm O. Trên hình vẽ, OA và OB là các thanh cứng cùng độ dài R, OAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆, chứa khối tâm G của vật 1, C là giao điểm của OG và lòng máng. 1. Tìm vị trí khối tâm G của vật 1. 2. Giữ cho vật 1 luôn cố định rồi đặt trên nó vật 2 là một hình trụ rỗng, mỏng, đồng chất, cùng chiều dài với vật 1, bán kính r nằm dọc theo đường sinh của vật 1. Kéo vật 2 lệch ra khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ rồi thả nhẹ. a) Tìm chu kì dao động nhỏ của vật 2. Biết rằng trong quá trình dao động, vật 2 luôn lăn không trượt trên vật 1. b) Biết là hệ số ma sát nghỉ giữa vật 1 và vật 2. Tìm giá trị lớn nhất của góc để trong quá trình dao động điều hoà, vật 2 không bị trượt trên vật 1. 3. Thay vật 2 bằng một vật nhỏ 3. Vật 3 nằm trong mặt phẳng OAB. Kéo cho vật 1 và vật 3 lệch khỏi vị trí cân bằng sao cho G và vật 3 nằm về hai phía mặt phẳng thẳng đứng chứa ∆, với các góc lệch đều là như hình vẽ, rồi thả nhẹ. Bỏ qua ma sát. Tìm khoảng thời gian nhỏ nhất để vật 3 đi tới C. Giải 1. Do tính đối xứng, ta thấy ngay G nằm trên đường thẳng đứng Oy nên chỉ cần tính tọa độyG = OG của vật. Xét phần tử dài dl, có khối lượng dm  2m 2m dl  d . R  Theo công thức tính tọa độ khối tâm ta có:  4 yG  1 2m 2 2R R cos  d  . m     4 2. . Xét vật 2 ở vị trí ứng với góc lệch β. Gọi  là góc mà vật 2 tự quay quanh mình nó. Chọn chiều dương tất cả các chuyển động ngược chiều kim đồng hồ. Lực tác dụng lên vật 2 gồm: trọng lực, phản lực, lực ma sát nghỉ. Phương trình chuyển động của khối tâm vật 2 xét theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo: m 2 a  Fms  m2 g sin  // Vì β nhỏ sin    (rad)  m 2  R  r    Fms  m 2g (1) Phương trình chuyển động quay của khối trụ nhỏquanh khối tâm: m 2 r 2 //  Fms r (2). // // Điều kiện lăn không trượt:  R  r    r (3) Thay (2) và (3) vào (1) ta được:  //  g   0 (4). 2 R  r Nghiệm (4) có dạng dao động điều hòa với chu kì T  2 2 R  r 1 2 Từ (2) ta có Fms  m 2 r//  m 2  R  r  //  m 2g (5)  Phản lực: N  m 2 g cos   m 2g 1   2   (6) 2 Điều kiện lăn không trượt Fms  N .  Từ đó 2   2   với 1 2 Hay 0   8    0, 0  . 1 1  .  2   3. Xét tại thời điểm khối tâm vật 1 và vật 3 có li độ góc tương ứng là ,  . Phương trình chuyển động của vật 3 theo phương tiếp tuyến với hình trụ m3 R//  m3g (1) g Nghiệm của (1) là   0cos0 t với 0  . R Phương trình chuyển động của G quanh O m1R 2  //  m1gR 2 2  (2)  2 2g Nghiệm của (2) là   0cos1t với 1  R Góc lệch của vật 3 so với phương OG là    1       2 0 cos  1  2 Khi vật 3 tới C thì  0.  Từ đó: t min     . 1 1     1  t  cos  1 t   2  g . 8) (Trích đề APHO 2009): Một hình trụ có thành mỏng, khối lượng M và mặt trong nhám với bán kính R có thể quay quanh trục nằm ngang cố định. Trục Z vuông góc với trang giấy và đi ra ngoài trang giấy. Một hình trụ khác, nhỏ hơn, đồng chất, có khối lượng m và bán kính r lăn không trượt quanh trục riêng của nó trên bề mặt trong của M; trục này song song với OZ Y R X O r a, Xác định chu kì dao động nhỏ của m khi M bị bắt buộc quay với tốc độ góc không đổi. Viết kết quả theo R, r, g b, Bây giờ M có thể quay (dao động) tự do, không bị bắt buộc, quanh trục Oz của nó, trong khi m thực hiện dao động nhỏ bằng cách lăn trên bề mặt trong của M. Hãy tìm chu kì dao động này. Bài giải: Y  R O  X  f C D mg N a. Xét tại thời điểm t bất kì, giả sử hình trụ M quay được góc  quanh trục OZ, hình trụ m quay được góc  quanh trục của nó, tâm C của hình trụ m quay được góc  quanh trục OZ Vì hình trụ m lăn không trượt, ta có liên hệ R  r  (R  r)    R R r   r r (1) - Phương trình chuyển động quay của hình trụ m quanh trục (đi qua tâm quay tưc thời D vuông góc với mặt phẳng giấy) I D  ''  mg.r sin  (2) Từ (1), ta có  ''  R R r  ''  '' r r Vì hình trụ M quay với tốc độ góc không đổi nên  '  0   ''  0   ''  1 3 2 2 3  (R  r)  2g  ''  mg.r   ''     2 r 3(R  r)  Với góc  nhỏ, ID  mr 2  mr 2  mr 2 , thay vào (2) Vậy hình trụ m dao động điều hòa 2g 3(R  r) , chu kì T  2 3(R  r) 2g với tần số góc   b. Y  R O  X  f C D f mg N (R  r)  '' r a. Xét tại thời điểm t bất kì, giả sử hình trụ M quay được góc  quanh trục OZ, hình trụ m quay được góc  quanh trục của nó, tâm C của hình trụ m quay được góc  quanh trục OZ Vì hình trụ m lăn không trượt, ta có liên hệ R  r  (R  r)    R R r   r r (1) - Áp dụng định luật II Niuton cho hình trụ m mg sin   f  m(R  r) '' (2) - Áp dụng phương trình chuyển động quay cho hình trụ m (trục quay qua C vuông góc với mặt phẳng giấy) 1 2 mr  ''  fr 2 (3) - Áp dụng phương trình chuyển động quay cho hình trụ M (trục quay qua O vuông góc với mặt phẳng giấy) IO  ''  fR  MR 2  ''  fR  f  MR '' (4) Từ (1), ta có  ''  R Rr  ''  '' r r (5) Thay (5), (4) vào (3), ta được Thay vào (2) 1 2 R R r  mr   ''  ''   MR '' 2 r r  m R r   ''  ( ) '' 2M  m r  mM (R  r) '' m(R  r) '' 2M  m g (2M  m)   ''  .  (R  r) (3M  m) mg  g (2M  m) 2 Vậy hình trụ m dao động điều hòa với tần số góc   (R  r) . (3M  m)  , chu kì T  2 KẾT LUẬN (R  r) (3M  m) . g (2M  m) Trên đây là một số vấn đề tôi suy nghĩ và đã làm trong quá trình giảng dạy chuyên vật lý. Đây không phải là vấn đề gì lớn, nhưng trong giảng dạy vật lý ở trường THPT và nhất là trong việc giảng dạy chuyên lý thì việc làm này, thói quen này rất cần thiết. Đối với tôi nó đã đem lại nhiều thành công trong giảng dạy. Cám ơn các bạn đồng nghiệp và mong nhận được những ý kiến góp ý bổ ích. TÀI LIỆU THAM KHẢO - Tạp chí KBANT - B¸o “VËt lý & tuæi trΔ - C¬ s¬ vËt lý David Halliday – Robert Resnick – Jearl Walker - Các đề thi Quốc gia… _NXBGD