ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN
LỜI NÓI ĐẦU:
Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng như
chương trình vật lý đại cương, tôi thấy phần các bài tập cơ học vật rắn là phần
kiến thức khó và đặc biệt là phần Định lý Koenig để xác định mô men động
lượng và mô men lực đối với một trục quay hay một điểm thì càng khó hơn vì
đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng toán học tốt về phần giải
tích vec tơ. Đây là phần kiến thức khó nhưng cũng rất cơ bản giúp chúng ta có
thể giải quyết các bài toán cơ học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn hơn. Chính vì vậy
tôi biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ
HỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng
vận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho học sinh
chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi học
sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình
Dương cũng như Olympic quốc tế.
Sau đây là nội dung của chuyên đề:
- Cơ sở lý thuyết.
- Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức.
- Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết.
- Các bài tập tự luyện tập với đáp số.
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Khối tâm
a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm M i có khối lượng mi, gọi O là
một điểm tùy ý, ta có
uuur r
OG rG
r
r
i i
i i
mr mr
M
m
r
uuuur
(1) với r i OM i
i
uu
r r
Nếu ta chọn O ở G thì rG 0
b) Đối với vật rắn:
r
r
r rdm rdm
rG
M
dm
(2)
2. Động lượng
a) Định nghĩa:
r
Các điểm MI cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc vi trong hệ quy chiếu R.
ur
Tổng động lượng p của S trong R bằng tổng cộng động lượng của các chất điểm
cấu tạo nên hệ S:
u
r
uuur
d ri d
d
r
r
r
r
p mi vi mi
mi vi
m.OG mvG
dt dt
dt
(3)
Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng của một hệ chất điểm trong hệ quy
chiếu (HQC) R bằng động lượng trong R của một chất điểm giả định ở tại khối tâm
G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ S.
ur
r
p mvG
b) Tổng động lượng trong HQC trọng tâm R*
r*
ur*
Theo định nghĩa, điểm G là điểm cố định trong R *, vG và tổng động lượng p của
hệ S trong R*
ur*
r
bằng không: p 0 (4)
3. Mối liên hệ giữa động lượng và lực. Định luật II Newton
+ Lực:
dp
Fext dt MaG
(5)
Trong đó Fext là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ.
uu
r uuu
r
uuuu
r
uuu
r
X
F
dt
F
t
P
+ Xung của lực:
extb
ex
0
4. Động năng của hệ, định lý Koenig đối với động năng
Chọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G là khối tâm của hệ, ta có:
K (0)
Vì
1
2
mi viG
2
1
1
1
2
mi vi2 mi viG
mvG2 (6)
2
2
2
là động năng toàn phần của hệ hạt đối với khối tâm G, nên ta có:
1
2
Định lý Koenig đối với động năng: K mv 2 (G ) K * (G )
(7)
5. Mô men động lượng. Định lý Koenig đối với mô men động lượng
a) Mô men động lượng của hệ đối với điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S trong
HQC R) bằng tổng mô men động lượng của tất cả các điểm tạo nên hệ S.
L0 ri mi vi
(8)
b) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G của S trong R *, theo định nghĩa
là:
uuuur
r
r
r
r
L*G GM i mi vi* riG mi vi* (9)
c) Định lý Koenig đối với mô men động lượng
Mô men động lượng đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng tổng của:
+ Mô men động lượng đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối lượng
bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R
+ Mô men động lượng đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là
trong chuyển động của nó quanh G)
r
r uuur
r
L0 L*G OG mvG
(10)
d) Mô men động lượng trọng tâm
Nếu A là một điểm bất kỳ nào đó, ta có thể viết trong R*:
uu
r
ur*
uuuu
r
ur
uuur uuuu
r
L A AM i mi vi AG GM i mi vi*
uu
r
uu
r
uuur
uuuu
r
AG mi vi* GM i mi vi*
uu
r r
ur*
Biết rằng p mi vi* 0 , chúng ta nhận thấy mô men động lượng của hệ trong
HQC trọng tâm là độc lập với điểm mà tại đó ta tính. Chúng ta có thể viết mô men
ur
ur*
ur*
này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: L A LG L
ur
ur*
ur*
Dùng định lý Koenig ta có: LG LG L
e) Mô men động lượng tại một điểm của trục
Giả sử vật rắn S là một cánh cửa như hình vẽ. HQC R S (O,xS, yS, zS) gắn với vật
ur
ur
ur
rắn, quay với vận tốc góc ez ' ez trong HQC R.
ur
Ta viết biểu thức của mô men động lượng L A của vật rắn này tại một điểm A cố
định của trục Oz (A cũng là một điểm cố định trong HQC gắn với vật rắn) trong R:
ur
uuuu
r r
L A AM v( M ) dm
S
r
r
ur uuuu
r
ur uuuu
r
Với v( M ) v(a) AM ez AM
Từ đó rút ra:
u
r
uuuu
r r
uuuu
r ur uuuu
r
L A AM v( M )dm AM (ez AM )dm
S
S
ur
uuuu
r 2 ur uuuu
r ur uuuu
r
Vậy L A S ( AM ez ( AM .ez ) AM )dm
Ta đưa vào điểm H là hình chiếu của M trên
trục quay:
uuuu
r uuur uuuur uuuu
r ur ur uuuur
AM AH HM AM .ez ez HM
Vậy ta được:
ur
ur
uuuu
r ur uuuur
L A HM 2 dm ( AM .ez ) HM ) dm (Vì HM 2 AM 2 AH 2 )
S
S
ur
Như vậy ta phân biệt trong biểu thức của L A hai thành phần:
ur
ur
2
+ Một thành phần cùng phương với vec tơ quay, đó là: L AP S HM dm
ur
uuuu
r ur uuuur
+ Một thành phần vuông góc với vec tơ quay, đó là: L A ( AM .ez ) HM )dm
S
f) Mô men động lượng đối với trục - Mô men quán tính:
ur
Thành phần L trên trục quay L A của mô men động lượng được gọi là mô men
động lượng của vật rắn đối với trục .
ur ur ur ur urur
L L A .ez L AP.ez ez HM 2 dm HM 2 dm
S
S
Theo định nghĩa, L không phụ thuộc vào vị trí
của điểm A trên trục .
+ Khoảng cách HM = r của điểm M đến trục quay
là không đổi khi vật rắn quay và ta cũng định nghĩa mô men quán tính J của vật
2
rắn đối với trục quay như sau: J S r dm
Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trưng cho mức quán
tính của chuyển động quay của vật rắn quanh trục đó (bất biến theo thời gian),
chỉ phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng trong vật rắn.
6. Mô men lực, định lý Koenig đối với mô men lực
uur
uur
uuuur
ur
+ Mô men lực M O tại điểm O của hệ S trong R có biểu thức là: M O OM i mi ai
+ Mô men lực tại G trong R* (R* là tịnh tiến đối với R)
uur*
uuuur
r*
r*
r
M G GM i mi a i riG mi ai
uu
r uur uu
r
ur uu
r
uur
Từ công thức cộng gia tốc ta có: ai ae ( M i ) aC ( M ) ai* aG ai*
Gia tốc Coriolis bằng không còn gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào chỉ số i và
uur
bằng gia tốc aG của điểm G.
uur
uuur uuuu
r
r
uur uu
uuur
uur
uuuu
r
uur
*
*
Ta rút ra: M O OG GM i mi aG ai OG maG GM i mi ai
Vì
uuuur r
mi GM i 0 và
uu
r uur r
mi ai* F * 0 nên ta suy ra định lý Koenig đối với mô men
lực:
uuuur uuur
uuur
+ Xung của mô men lực: M Ox M g dt L0
0
Định lý Koenig đối với mô men lực: Mô men lực đối với O của hệ chất điểm S
trong HQC R bằng tổng của:
+ Mô men lực đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối lượng bằng
khối lượng tổng cộng của hệ trong R
+ Mô men lực đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là trong
chuyển động của nó quanh G)
uur uur* uuur
uur
M 0 M G OG maG
(10)
7. Mô men lực trọng tâm:
Cũng như đối với mô men động lượng, mô men lực của S trong HQC trọng tâm R *
không phụ thuộc vào điểm mà ta tính. Chúng ta có thể viết mô men này mà không
uur
uur*
uur*
cần nói rõ chỉ số của điểm đó: M A M G M
uur
uur*
uur*
Dùng định lý Koenig ta có: M G M G M
8. Mối liên hệ giữa mô men động lượng và mô men lực
Ta xét trường hợp tổng quát, điểm được chọn để tính mô men là điểm bất ký P,
điểm này có thể đứng yên hoặc chuyển động đối với điểm cố định O chọn làm gốc
tọa độ (hình vẽ)
y
O
1
rr
r1 rP
r
rr
r1r
r
rP P 2 2rP
r
r2
x
Theo định nghĩa mô men động lượng toàn phần của hệ đối với điểm P là:
LP ri rP mi vi vP
Lấy đạo hàm theo thời gian, ta được
dLP
(vi vP ) mi vi vP ri rP mi ai aP
dt
Thay
0 ri rP mi .ai mi aP
mi ai Fi ex Fi in là tổng hợp các
ngoại lực và nội lực tác dụng lên hạt I, ta
được:
r
r
dLP
r r
r r
r
ri rP Fi ext mi ri rP aP
dt
r
r
Thay tiếp mi .ri mrG , ta được
r
r
dLP
r r
r r r
ri rP Fi ex m rG rP aP
dt
r
r r
Vì ri rP Fi ex theo định nghía là mô men của ngoại lực đối với P, nên cuối
cùng ta được công thức tổng quát:
r
r
dLP
r r
r
M Pex rG rP maP
dt
(6)
Công thức (6) cho thấy mối liên hệ giữa mô men lực và mô men động lượng không
đơn giản như mối liên hệ giữa lực và động lượng. Có dự khác biệt này là do mô
men động lượng và mô men lực còn tùy thuộc vào điểm để tính mô men.
Bây giờ ta bàn tiếp số hạng thứ hai trong công thức (6). Số hạng này chỉ triệt tiêu
nếu một trong ba điều kiên sau đây được thỏa mãn:
r
r
a) aP 0 . Điểm P đứng yên (hay chuyển động thẳng đều)
r
r
dLP
M P (P cố định) (7)
dt
r r
b) rG rP hay P G . Khi ấy ta có:
r
r
dLG
M Gex
dt
uuur
r
r r
r
c) Gia tốc aP / / rG rP hay aG / / PG . Khi ấy ta có:
r
r r uuur
dLP
M Pex aP / / PG (9)
dt
9. Các chú ý về toán học:
ur
ur
Cho hai vec tơ: A (ax , a y , az ) , B (bx , by , bz )
ur ur
+ Tích vô hướng của hai vec tơ: A.B (axbx a y by azbz )
ur ur r
r
r
+ Tích có hướng của hai vec tơ: A B i (a y bz az by ) j (az bx axbz ) k (axby a ybx )
rr r
Với i, j, k là các vec tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz
II. BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1.
Hai chất điểm A và B giống hệt nhau, có khối
lượng m liên kết với nhau bằng một thanh chiều dài
là b, khối lượng không đáng kể. A dịch chuyển trên
vòng tròn tâm O bán kính b và thanh AB có thể dao
động quanh một trục đi qua A và vuông góc mặt
phẳng như hình vẽ. Tính tổng động lượng và mô men
O
A
B
động lượng đối với O của hệ AB theo các góc , và
đạo hàm của chúng theo thời gian.
Giải
Cách 1:
ur
r
r
Ta có: p mv( A) mv( B)
uur uuu
r
r
uuu
r
r
LO OA mv ( A) OB mv( B)
uuu
r
Với OA (b cos , b sin , 0)
r
uuu
r
suy ra v( A) OA ' (b 'sin , b ' cos , 0)
uuu
r
và OB (b(cos cos ), b(sin sin ), 0)
r
uuu
r
v( B ) OB ' (b( 'sin 'sin ), b( ' cos ' cos ), 0)
ur
r
r
Suy ra p mv( A) mv( B ) m(b(2 'sin 'sin ), b(2 ' cos ' cos ), 0)
uur uuu
r
r
uuu
r
r
ur
Và LO OA mv( A) OB mv( B) mb 2 (2 ' ' 2 ' cos( ))ez
ur
Với ez là vec tơ đơn vị của trục Oz vuông góc, đi ra ngoài mặt phẳng hình vẽ
Cách 2:
Chúng ta có thể dùng định lý Koenig bằng cách đưa vào khối tâm G (trung điểm
của AB) của hệ.
uuur
1
2
1
2
Ta có OG (b(cos cos ), b(sin sin ), 0)
uu
r uuur
1
2
1
2
Và vận tốc khối tâm G là: vG OG ' (b( 'sin 'sin ), b( 'cos ' cos ), 0)
Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G:
r
uuu
r
uuu
r
r uuu
uuu
r
uuu
r
r
r
r
r
r
L*G GA mv ( A)* GB mv ( B)* 2GB mv ( B)* vì GA GB và v ( A)* v ( B)*
uuur 1
1
GB ( bcos , b sin , 0)
2
2
1
1
r
v ( B )* ( 'sin , b ' cos , 0)
2
2
Rõ ràng là ta tìm được
ur
r
p 2mv (G ) m(b(2 'sin 'sin ), b(2 ' cos ' cos ), 0)
Và tổng mô men động lượng của hệ:
uur r* uuur
ur
r
LO LG OG 2mv (G ) mb 2 (2 ' ' 2 ' cos( ))ez
Ví dụ 2
Một thanh AB đồng nhất, có tâm G, khối lượng m
được treo trên hai dây nhẹ giống nhau AA’ và BB’ có
chiều dài b. Thanh dao động trong mặt phẳng thẳng
đứng, hai dây AA’ và BB’ luôn song song với nhau.
a) Tính động năng của thanh theo đạo hàm ' của góc
nghiêng của các dây ở một thời điểm cho trước.
b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ của thanh.
Giải
a) Định lý Koenig đối với động năng cho ta:
K
A’
B’
A
G
1 2
mv (G ) K * (G )
2
Trong HQC R* (G,x,y,z) thanh đứng yên và K * (G) 0 nên:
K
1 2
1
mv (G ) mb 2 '2 (1)
2
2
b) Chọn mốc thế năng tại vị trí thấp nhất của thanh trong quá trình dao động
+ Thế năng của thanh là: U mgb(1 cos ) (2)
1
2
+ Cơ năng của hệ là: E K U mb2 '2 mgb(1 cos ) mgb(1 cos 0 ) const (3)
Đạo hàm theo thời gian hai vế của (3) ta được: " b g sin 0 (4)
Với 10o sin (rad )
thì phương trình (4) trở thành: " 2 0 với 2
g
b
B
Vậy chu kỳ dao động nhỏ của thanh là: T
2
b
2
g
Ví dụ 3
Một vòng tròn đồng nhất có tâm O, khối lượng m, bán
kính a quay với tốc độ không đổi quanh trục cố định của
nó. Tính mô men động lượng của vòng tròn ở O và động
năng của vòng tròn đó.
Giải
uuuu
r
ur
Điểm M của vòng tròn được xác định bởi các tọa độ cực: OM aer
r
uu
r
Vận tốc của M là: v( M ) a e
Từ đây suy ra:
+ Mô men động lượng đối với O:
uur
LO
uuuu
r r
ur
2
OM
v
(
M
)
dm
ma
e
z
vòng
+ Mô men lực đối với O:
uuur d uur d
uuuu
r r
ur r
d
M O LO
OM v( M )dm (ma 2 )ez 0
dt
dt vòng
dt
1
2
1
2
+ Động năng K J 2 ma 2 2
Ví dụ 4
Chứng minh định lý Huygens bằng cách:
a) Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng.
b) Dùng chứng minh hình học.
Giải
a) Gọi A là điểm cố định của trục .
+ Trong R: L J G
uur
uur ur
uuur
r
r ur
ur uuu
+ Theo định lý Koenig: L LA .ez AG mv(G ) ez L*G .ez
r
ur uuur
Với v(G ) ez AG
uuur
r
ur
2
2
2
AG
mv
(
G
)
e
Từ đó:
z m AG AH G ma
ur
ez
uur
uur ur
Trong R*: L* L*G .ez J G
Từ đó: J ma 2 J G
b) H và HG là hình chiếu của một điểm M của vật rắn tương ứng trên và G, ta có:
J HM 2 dm và J G H G M 2 dm
S
S
uuuur 2
uuuuur uuuuuu
r 2
uuuuur uuuuuu
r
Nhưng HM HH G H G M HH G2 H G M 2 2 HH G .H G M
Với HH G a là khoảng cách giữa hai trục và G và
uuuuur uuuuuu
r uuuuur uuuu
r
uuuuur uuuuu
r r
HH G .H G M HH G .GM vì HH G .H G G 0
uuuuur
Để ý rằng vec tơ HH G là độc lập với điểm M, từ đó lấy tổng cho cả vật rắn S ta suy
uuuuur
uuuu
r
2
ra: J ma J G 2 HH G GMdm
S
Số hạng cuối cùng của biểu thức này bằng không theo định nghĩa của khối tâm G
nên: J ma 2 J G
Ví dụ 5
Xét một con lắc treo ở điểm O cố định gồm thanh OA
khối lượng không đáng kể và chiều dài là R, người ta hàn
vào thanh một dây thuần nhất khối lượng m có dạng là một
nửa vòng tròn mà thanh OA là bán kính. Vị trí của con lắc
được xác định theo góc giữa thanh OA và đường thẳng
đứng hướng xuống. Xác định tổng động lượng, mô men
động lượng đối với O, mô men lực đối với O và động năng
của con lắc phụ thuộc vào và các đạo hàm của chúng.
Giải
Một điểm M của nửa vòng tròn được xác định
bởi góc với = const (hình vẽ)
uuuu
r
ur
r
uu
r
Từ đó: OM Rer và v( M ) R ' e
Từ đây ta suy ra:
ur C r
ur
2
+ Động lượng: p v( M )dm mR ' ez
B
uur
C
uuuu
r uu
r
ur
+ Mô men động lượng: LO OM v(M )dm mR ' ez
B
uur
C
uuur d L
r uu
r
ur
d uuuu
O
M
(
OM v (M )dm) mR '' ez
+ Mô men lực: O
dt
dt B
1
2
Và động năng: K mR 2 '2
Ví dụ 6.
Một thanh AB đồng nhất chiều dài 2b và khối
tâm G là trung điểm của AB. Thanh tựa lên mặt
đất nằm ngang và gối lên một bức tường thẳng
đứng. Vị trí của thanh được xác định theo góc
uuu
r uuur
Ox, OG , góc này thay đổi khi thanh trượt ở
A và B.
y
+
B
G
r
1) Xác định các thành phần của vận tốc v(G ) của
điểm G theo và đạo hàm của .
O
ur
2) Tìm vec tơ quay của thanh.
Chú ý: cần chú ý đến dấu của các biểu thức khi tính toán.
Giải.
1. Trong tam giác vuông OAB, trung tuyến OG có chiều dài b, từ đó:
uuur
OG b cos , b sin , 0
r
d uuur
OG b 'sin , b ' cos , 0 (1)
dt
ur
ur
ur
2. Véc tơ quay của thanh hướng theo trục ez , ta đặt ez
r
Ta cũng có thể viết biểu thức của v(G ) như sau:
r
r
ur uuur
v(G ) v( A) AG
Vận tốc khối tâm: v(G )
uuu
r
r
uu
r
Biết rằng OA 2b cos .ex suy ra v( A)
r
r
ur uuur
r
uu
r
d uuu
OA 2b 'sin .ex
dt
Từ đây suy ra: v(G ) v( A) AG (b( 2 ') sin ; bcos ;0) (2)
ur
ur
Cho (1) bằng (2) ta được ' ez
Ví dụ 7.
x
A
Một con lắc kép gồm hai thanh OA và AB giống
nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài 2b và
nối khớp ở A. Hai thanh chuyển động trong mặt
phẳng thẳng đứng Oxy và góc nghiêng của chúng
O
G2
y
A
được xác định bởi các góc , so với đường thẳng
đứng Ox hướng xuống. Tính mô men động lượng đối
x
với O và động năng của con lắc kép này.
Giải
Thanh OA quay quanh trục Oz cố định, định lý Huygens cho:
J OZ (OA) mb 2
+
G1
y’
B
x’
1
4
m(2b) 2 mb 2
12
3
Từ đó ta có mô men động lượng của thanh OA đối với điểm O:
uur
ur 4
ur
LO (OA) J Oz (OA). ' ez mb 2 ' ez
3
Động năng của thanh OA:
K (OA)
1
2
J Oz (OA). '2 mb 2 '2
2
3
Áp dụng định lý Koenig cho phép tính các phần tử động học của thanh AB:
uur
uuuur
r
ur
LO ( AB ) OG2 mv(G2 ) J G2 z ( AB). ' ez
K ( AB)
1 2
1
mv (G2 ) J G2 z ( AB). '2
2
2
2b cos b cos
uuuur
Biết rằng: OG2 2b sin b sin
0
2b 'sin b 'sin
r
d uuuur
Và vận tốc của G2 là v(G2 ) OG2 2b ' cos b ' cos
dt
0
Và J Gz ( AB )
1
1
m(2b) 2 mb 2 J
12
3
uur
ur
2
2
Ta có: LO ( AB) mb (4 ' ' 2( ' ')cos( ) mb ' ez
1
3
2
2
2
2
2
Và động năng: K ( AB) mb (4 ' ' 4 '. ' cos( ) mb '
1
2
Đối với cả hệ con lắc kép:
1
6
uur uur
uur
4
16
ur
LO LO (OA) LO ( AB) mb 2 ' ' 2( ' ')cos( ) ez
3
3
2
8
K K (OA) K ( AB ) mb 2 '2 '2 2 '. ' cos( )
3
3
Ví dụ 8.
Hai vật khác nhau có cùng khối lượng m trượt không ma sát trên mặt bàn nằm
ngang. Thời gian đầu các vật này thực hiện trượt tịnh tiến( không quay) và các tâm
của chúng có cùng vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song. Khoảng cách
giữa các đường thẳng bằng d. Tại một thời điểm nhất định xảy ra va chạm đàn hồi
lý tưởng giữa các vật. Sau va chạm, các vật thực hiện chuyển động tịnh tiến, quay
và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận tốc góc của vật thứ nhất bằng 1 , của vật thứ hai
bằng 2 . Mô men quán tính của chúng tính theo các trụ thẳng đứng đi qua khối tâm
lần lượt là I1 và I2.
a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định bất kì
của mặt bàn bằng tổng mô men xung lượng của vật tính theo khối tâm của
nó.
b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vật
chuyển động sau va chạm.
c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất là
v
còn vật
2
thứ hai không quay. Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d.
Giải:
a)
Ta cần chứng minh:
uur uur
uu
r uu
r uur
uu
r uu
r
LO LG ( mi )rG vG LG M rG vG
mi
+
u
u
r
Xét phần tử mi trên vật rắn. Ta có:
rG
uur
uu
r u
r
uu
r ur
G
O
LO mi (rG ri ) (vG vi )
uu
r uu
r
u
r uu
r uu
r
ur
u
r ur
( mi )rG vG ( mi ri ) vG rG ( mi vi ) mi ri vi
u
r
ri
G
u
r r
mi ri 0
ur r
Nhận xét:
m
v
i i 0
uur
uu
r uu
r
u
r ur
LO ( mi ) rG vG mi ri vi
Do đó
uu
r uu
r
uu
r uu
r
( mi )rG vG M rG vG
u
r ur uur
Mặt khác,
mi ri vi LG
uur uur
uu
r uu
r
nên
LO LG M rG vG (ĐPCM)
b) Gọi
v1' là vận tốc của vật 1 (của G1) sau va chạm.
m
G1
r
v
r
v
G2
Do hệ kín nên động lượng của hệ được bảo toàn dó đó:
ur
uu
r
uu
r
r
r r ur'
ur
'
'
'
mv1 mv2 mv mv 0 v1 v2 v '
Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G2.
Do không có ngoại lực nên mô men động lượng trước và sau va chạm là bằng
nhau.
Ta có,
ban đầu thì LG2 mvd
sau đó thì L 'G2 mv ' d ' I11 I 22
Mà 1 ; 2 có chiều như hình vẽ gọi là chiều dương nên
mvd mv ' d ' I11 I 22
d'
mvd I11 I 22
mv '
c) Với v '
d'
v
I
, 2 0 d ' 2 d 1 1
mv
2
2
<0
I1
m
>0
>0
d
Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
1 2
1
v
1
mv .2 m( ) 2 .2 I112
2
2
2
2
2mv 2 mv 2 I112 I112 mv 2
Vậy:
uur
uur
1
m
d' 2 d
v
I1
I1
m
uu
r uu
r
a) LO LG M rG vG
b) d '
mvd I11 I 22
mv '
c) d ' 2 d
I1
m
Ví dụ 9.
Xét một hình bán trụ D đồng nhất, tâm C, khối tam
G, bán kính R và khối lượng m. Hệ quy chiếu Trái Đất
(Oxyz) được xem là quán tính. Tất cả đều nằm trong
mặt phẳng thẳng đứng (Oxy). Ta kí hiệu I là điểm tiếp
xúc giữa mặt đất và D. Ta xác định vị trí của D theo
uur uuur
tọa độ x của tâm C của nó theo góc (CI , CG ) .
I1
m
Cho CG b
4R
. Hãy xác định phương trình chuyển động của D bằng cách:
3
a) Tính mô men lực của đĩa D đối với I.
b) Vận dụng định lý mô men lực đối với I để tìm phương trình vi phân bậc hai của
.
c) Giả sử rất nhỏ. Tuyến tính hóa phương trình vi phân có được ở câu b) để từ đó
suy ra chu kỳ T0 của các dao động nhỏ của D quanh vị trí cân bằng.
Giải
a) Tính mô men lực của D ở I
+ Cách 1. Dùng định lý Koenig đối với mô men lực.
uuur uur
r
ur
M I IG ma (G ) J G " ez
uuur
ur
2
2
Ta tìm được: M I ( J m( R 2bR cos )) " mRb ' sin ez
+ Cách 2. Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng của D đối với I
uu
r uur
r
ur
ur
LI IG mv(G ) J G ' ez J m( R 2 2bR cos ) ' ez
uu
r
ur
ur
2
L
J
'
e
J
m
(
R
2
bR
cos
)
'
e
z
Hay là I
I
z
uu
r
uuur d L
ur
Và dùng hệ thức M I I ( J m( R 2 2bR cos )) " mRb '2 sin ez
dt
b) Vận dụng định lý về mô men lực đối với điểm I, phép chiếu lên trục Oz cho
ngay kết quả (chỉ có mô men của trọng lực đối với I là khác không)
( J m( R
2
2bR cos )) " mRb '2 sin mgb sin
c) Nếu rất nhỏ, phương trình trên được đơn giản thành:
( J mR 2 2mbR ) " mgb
Như vậy vật hình bán trụ D thực hiện dao động nhỏ điều hòa quanh vị trí cân bằng
= 0 với chu kỳ: T0 2
J mR 2 2mRb
mgb
Ta có mô men quán tính của D đối với trục qua C và vuông góc với D là J
Nên T0 2
(9 16 R )
8g
mR 2
2
Ví dụ 10.
Xét một khối lăng trụ đáy là lục giác đều, dài và cứng,
giống như một cái bút chì thông thường. Khối lượng của
nó là M và được phân bố đều. Tiết diện thẳng của nó là
một hình lục giác đêu cạnh a. Mômen quán tính của khối lăng trụ lục giác đối với
5
trục xuyên tâm là I 12 Ma 2 .
a) Ban đầu khối lăng trụ nằm yên trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt
ngang một góc nhỏ . Trục của lăng trụ nằm ngang. Cho rằng các mặt của khối
lăng trụ hơi lõm một chút sao cho khối trụ chỉ tiếp xúc với mặt phẳng nghiêng ở
cạnh của nó. Bỏ qua ảnh hưởng của sự lõm ấy đối với mômen quán tính. Khối trụ
ấy bị đẩy cho dịch chuyển và bắt đầu lăn xuống trên mặt nghiêng. Cho rằng do ma
sát mà khối trụ không trượt và luôn chạm vào mặt nghiêng. Vận tốc góc của nó
ngay trước khi một cạnh của nó đập vào mặt nghiêng là i và ngay sau khi cạnh ấy
đập vào mặt nghiêng là f . Chứng minh rằng ta có thể viết : f = si , tìm s.
b) Động năng của khối trụ ngay trước và ngay sau khi một cạnh đập vào mặt
nghiêng là Ki và Kf. Chứng minh rằng : Kf = r. Ki. Tìm r.
c) Để có lần va đập tiếp theo thì K i phải vượt qua giá trị Ki min , mà ta có thể viết
dưới dạng: Ki
min
= Mga, trong đó g = 9,81 m/s 2. Tính giá trị của theo góc
nghiêng và hệ số r.
d) Giả sử điều kiện trong phần c) được thỏa mãn, động năng K i sẽ dần tới một
giá trị không đổi Kio khi khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng. Biết rằng giá
trị ấy tồn tại, chứng minh rằng K io có thể viết dưới dạng : Kio = kMga, tìm biểu thức
của k theo và r.
e) Tính chính xác đến 0,1o góc nghiêng thối thiểu o để cho quá trình lăn một
khi đã được khởi động, sẽ tiếp diễn mãi mãi.
Giải.
a) Cách 1.
- Trước va đập, khối trụ quay quanh trục I, sau va đập nó quay quanh trục F. Xung
lực xuất hiện khi va chạm đi qua F, vậy : Mômen động lượng L của khối trụ đối với
trục F được bảo toàn trong quá trình va chạm. Ta có :
Trước va đập : Li = Mômen động lượng quanh khối tâm C + Mômen động lượng
của khối tâm quanh trục quay F bằng (theo định lý Koenig)
uur uur uuur
uu
r
LF LG ( FC M vci ).
uuu
r
ur uuur
uu
r
LFi I C i ez ( FC M vci )
ur
với ez là vec tơ đơn vị của trục hình trụ
C
Li = ICi + vci.cos60o.a.M (1)
Vì vci = i.a và
5
IC
Ma 2
12
nên
vci
2
5 11Ma i
Li Ma 2 i i
(2)
2
12
12
Sau va đập : L f I f f
17 Ma 2 f
12
F
(3)
f 11
11Ma 2i 17 Ma f
s
12
12
i 17
2
Suy ra : Li = Lf
lưu ý s không phụ thuộc , a i
Cách 2.
Khi cạnh khối trụ va đập vào mặt nghiêng (trong thời gian dt) thì có phản lực N tác
dụng lên khối trụ, do có ma sát nên N không vuông góc với mặt nghiêng.
+ Thành phần song song với mặt nghiêng là N//.
+ Thành phần vuông góc với mật nghiêng là N.
Lấy trục song song với mặt nghiêng hướng từ thấp đến cao, trục vuông góc với mặt
nghiêng hướng từ dưới lên trên.
Ta có:
N // dt M ( f i ) a.sin 30 0 m( f i ) a
3
2
N dt M ( f i )a. cos 30 0 m( f i ) a
Mặt khác:
N dt.a
(4)
1
(5)
2
1
3
N // dt.a
I C ( f i )(6)
2
2
(định lí biến thiên mômen
động lượng đối với C)
Từ (4), (5), (6) loại N// và N ta cũng được :
s
f 11
i 17
b) Tốc độ dài của khối tâm ngay trước lúc va đập là ai và ngay sau lúc va đập là
af.
- Xem thêm -