Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề dao động nhiễu loạn

Chuyên đề dao đô n ô g nhiễu loạn Lời mở đầu Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia những năm gần đây tôi thấy bắt gă ăp mô ăt số bài toán theo kiểu: Vâ ăt đang chuyển đô ăng ổn định ở quỹ đạo tròn thì có mô ăt tác đô ăng nhỏ làm cho vâ ăt dao đô ăng. Tìm chu kì dao đô ăng. Qua tìm hiểu tôi thấy các bài toán trên là mô ăt trong các ví dụ liên quan đến lý thuyết dao đô ăng nhiễu loạn trong lĩnh vực cơ học. Đây là mô ăt lý thuyết rất hay và có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, đă ăc biê ăt là các bài toán liên quan đến chuyển đô ăng của vê ă tinh. Để tìm được chu kì dao đô ăng nhiễu loạn thường có hai cách: Cách thứ nhất là dựa vào thế năng hiê ău dụng, cách thứ hai dựa vào khai triển biểu thức của lực nhiễu loạn xung quanh giá trị của lực ứng với trạng thái chuyển đô ăng ổn định của vâ ăt. Do thời gian có hạn tôi xin trình bày theo cách thứ hai: tìm chu kì dao đô nă g nhiễu loạn bằng phương pháp triển biểu thức của lực nhiễu loạn xung quanh giá trị của lực ứng với trạng thái chuyển đô ăng ổn định của vâ ăt. Nô ăi dung chuyên đề gồm các phần sau: Phần 1: Cơ sở lý thuyết nhiễu loạn Phần 2: Các bài tâ ăp vâ nă dụng với lời giải chi tiết Phần 3: Các bài tâ ăp ôn luyê ăn và đáp số Phần 1: Cơ sở lý thuyết Trong dao đô ăng nhiễu loạn ta hay gă pă bài toán chuyển đô ăng của hạt trong trường xuyên tâm. Vì vâ ăy ta nhắc lại mô ăt số lý thuyết liên quan. 1. Hê ô tọa đô ô cực uuuu r r r OM  r.er  z.ez Biểu thức vâ nă tốc trong hê ă tọa đô ă cực: r r r r r r r v  vr  v  vr er  v .e  r ' er  r '.e Các đạo hàm của vecto đơn vị: r r r r e '   ' er ; er '   ' e Biểu thức gia tốc trong tọa đô ă cực r r r r r a  ar  a  ar er  a .e r r r r dv d (vr er ) d (v .e ) a   dt dt dt r r d (e ) r d (v ) d (er ) r r d (vr ) a  er  vr  v  e dt dt dt dt r r r r r a  r ''.er  r ' ' e  r '2 (er )  e ( ' r ' r '') r r r a  (r '' r '2 ).er  (2r ' ' r '')e 2. Phương trình chuyển đô n ô g của vâ tô trong trường xuyên tâm Phương trình chuyển đô ăng của vâ ăt trong trường xuyên tâm viết trong trong hê ă tọa đô ă cực r '' r '2  F (r ) 1 dV (r )  . m m dt 1 d (r 2 ') Ft 2r ' ' r ''   0 r dt m r ( F (r ) là thành phần lực theo phương er ) r ( Ft là thành phần lực theo phương e ) 3. Định luâ ôt bảo toàn momen đô n ô g lượng trong trường xuyên tâm Từ biểu thức: 2r ' ' r ''  0  1 d (r 2 ') 0 r dt  L  r 2 '  C  hằng số (Định luâ ăt bảo toàn momen đô ăng lượng viết trong hê ă tọa đô ă cực ) 4. Sơ lược về lý thuyết nhiễu loạn Trong quá trình phân tích các hê ă thống đô ăng học trên khía cạnh cân bằng và ta phải giải quyết bài toán về sự nhiễu loạn và các thông số biến đổi. Lý thuyết nhiễu loạn được ứng dụng rô ăng rãi. Chúng ta se trình bày trong phần này mô ăt vài ý tưởng cơ bản và mô ăt số ứng dụng cho các bài toán về tính chu kì dao đô ăng nhiễu loạn quanh quỹ đạo ổn định. Đầu tiên chúng ta xem xét sự khai triển hàm F ( ,  ,  ...) quanh giá trị mốc F0 ( 0 ,  0 ,  0 ...) . Với    0   ;    0   ..... (  ,  là rất nhỏ). Ta thừa nhâ nă hàm này F ( ,  ,  ...) có đạo hàm ở mọi cấp. Ta có thể viết:  F   F  F  F0   F  F0          ...    0    0    2F    2F  1   2 F   F  2 2   2  ( )   2  ( )    .   ...     2  2!        0     0       0 , 0 0  Bỏ qua số hạng vô cùng nhỏ bâ ăc hai trở đi ta viết:  F   F  F  F0   F  F0          ...     0    0 Trong đó  F là lượng thay đổi nhỏ của hàm F quanh giá trị mốc F0 khi các tham số  ,  ... biến đổi nhỏ. Trong mô ăt số trường hợp  ,  ,  ... lại là hàm ẩn theo biến số khác (ví dụ theo thời gian). Phần 2: Bài tâ p ô vâ n ô dụng Bài 1: Mô ăt chất điểm khối lượng m chuyển đô ăng trong trường xuyên tâm O có biểu thức lực xuyên tâm có dạng F (r ) . a) Ở quỹ đạo tròn ổn định, hạt có vâ nă tốc v0 và bán kính quỹ đạo tròn là r0 . Tìm liên hê ă giữa v0 , r0 b) Mô ăt tác đô ăng nhỏ làm hạt lê ăch khỏi quỹ đạo ổn định. Tìm điều kiê ăn để hạt dao đô ăng quanh quỹ đạo ổn định và tìm tần số góc dao đô ăng đó. Giải a) Tại quỹ đạo ổn định, lực xuyên tâm F (r ) đóng vai trò lực hướng tâm m v02   F  r0  r0 b) Phương trình chuyển động theo phương bán kính là:  C2  & 3  (với C  r0 v0 là momen động lượng của vật lúc ban đầu) F  r  m & r& r&2  m  r& r      r 2v 2  & 0 3 0  F  r   m  r& r   Xét sự lê ăch nhỏ so với quỹ đạo tròn, ta viết: r  r0 1    t   . Khai triển lực F (r ) quanh trị F (r0 ) ta được: F  r0  m   r0 . F '  r0  m &  ...  r0& Sử dụng kết quả: m v02  1  3  ... r0 v02   F  r0  ta viết lại biểu thức trên: r0  3v 2 F '  r0    1  3F  r0  &  &&  20   F '  r0    0   0  & m  m  r0  r0  Vậy điều kiện để vật chuyển động trong quỹ đạo ổn định là: 3F  r0  r0  F '  r0   0 Tần số góc dao đô ăng của hạt quanh quỹ đạo cân bằng là:   1  3F  r0   F '  r0    m  r0  Bài 2: Mô ăt chất điểm khối lượng m chuyển đô ăng trong trường xuyên tâm O có biểu thức lực xuyên tâm có dạng F  r   K . Mô ăt tác đô ăng nhỏ làm hạt lê ăch khỏi quỹ đạo ổn định. Tìm điều kiê ăn để hạt dao rn đô ăng quanh quỹ đạo ổn định. Giải Các phương trình chuyển động của hạt viết trong hê ă tọa đô ă cực là: K m & r& r&2  n  0 và r 2& h  const r    h2  K r& 3   n  0 Suy ra m  & r  r  Phương trình nhiễu loạn của vật là:  3mh 2 nK   2mh  & & m r   4  n 1  r   3  h  0 r   r   r (1) Tại quỹ đạo tròn ổn định ta có: K mh 2 2 &  mr  3  rn r K  mh 2 r n 3 3mh 2 mh 2 n Điều kiện để quỹ đạo ổn định là hê ă số của r phải dương:  4  n3 r4 r Bài 3: Xét chuyển động của các e trong 1 từ trường đối xứng trục. Giả thiết tại z = 0 (xOy), thành phần ur ur bán kính của từ trường bằng 0 ( B( z 0)  Br k ). Các electron tại z = 0 chuyển động tròn bán kính R. a) Xác định mối quan hệ giữa động lượng và bán kính quỹ đạo. b) Trong máy Betatron, các e được gia tốc bởi 1 từ trường biến thiên. Lấy Bav là giá trị trung bình của từ trường trên mặt phẳng quỹ đạo( trong quỹ đạo), từ thông qua quỹ đạo là  B  Bav R 2 . Tại bán kính R, lấy từ trường là B0 b1) Giả thiết Bav thay đổi 1 lượng Bav và B0 , hỏi phải có liên hệ gì giữa Bav và B0 để e vẫn chuyển động trên quỹ đạo tròn bán kính R khi động lượng của chúng tăng. b2) Giả thiết thành phần z của từ trường biến thiên theo quy luật Bz ( r )  A . Tìm tần số dao rn động theo phương bán kính (xét sự lệch nhỏ khỏi VTCB theo phương bán kính ). Tìm điều kiện n để có ổn định Giải a)Phương trình chuyển động quay của vật theo phương bán kính: mV 2 eBV  R eBR  V (1) m Mômen động lượng của hạt: L  mVR  eBR 2 b) Khi Bav thay đổi dBav thi B0 thay đổi dB0 Trên quỹ đạo của hạt e xuất hiện điện trường E tiếp tuyến quỹ đạo: dBav . R 2 E 2 R  dt dB R  Edt  av 2 Lực điện do E tác dụng lên e gây ra 1 xung lực X: X  Fdt  eEdt  mdV eRdBav  dV  2m Vi phân phương trình trên ta được: dV  eR dB0 m eRdBav eR  dB0 2m m B  B0  av 2 c)Ở VTCB vật có hạt chuyển đô ăn trên đường tròn bán kính r0 V0  eBr0 eA  m mr0 n1 Khi vật lệch 1 đoạn rất nhỏ x theo phương bán kính: r  r0  x Bảo toàn mômen đô ăng lượng: mV0 r0  mVr  V= V0 r0 V0 r0  r r0  x Xét hệ quy chiều gắn với bán kính: Phương trình chuyển động hướng tâm: mV 2  eBv  mx r e 2 A2 1 1 e 2 A2 1 1    mx m r0 2 n4 (r0  x)3 m r0 n 2 (r0  x ) n1 e 2 A2 1 3x e 2 A2 1 (n+1)x  (1  )  (1  )  mx 2 n 1 2 n 1 m r0 r0 m r0 r0 e2 A2 3x (n+1)x  x+ 2 2 n1 (  )0 m r0 r0 r0  x+ e 2 A2 (2  n) x  0 m 2 r0 2 n eA 2n 2 mr n Vậy hạt dao động với tần số: f  Điều kiện để hạt có dao động ổn định: n  2 Bài 4: Một vật khối lượng m, điện tích q chỉ có thể dịch chuyển không ma sát trong mặt phẳng trong của nón có góc mở 2 . Một điện tích –q đặt cố định tại đỉnh nón. Bỏ qua tác dụng trọng lực. Tìm tần số dao động nhỏ của vâ ăt quanh quỹ đạo tròn. Giải r r Khi chuyển động vật chịu tác dụng của 2 lực: Flt , Fd Gọi 0 , r0 là vận tốc góc và bán kính quỹ đạo vật tại quỹ đạo tròn ổn định. Flt  Fd  kq 2 sin 2   m02 r0 sin  2 r0 kq 2 sin   m02 r03 (1) Gọi  , r là vận tốc góc và bán kính quỹ đạo khi vật lêch khỏi quỹ đạo cân bằng đoạn x nhỏ theo đường sinh. Ta viết: r  r0  x sin  2 2 Bảo toàn momen động lượng: m r  m0 r0    0 r02 r2 Phương trình chuyển động của vật theo phương đường sinh: mx     kq 2 sin 2   m 2 r sin  2 r kq 2 sin 2   r0  x sin   2 m kq 2 sin 2  2  x sin   r02 1   r0   02 r04  r0  x sin   m 3 sin  02 r04 3  x sin   r03 1   r0   sin  kq 2 sin 2   r0  x sin    m02  r0  3 x sin   sin  ( do x << r0 ) (2) 3 r0 Thay (1) vào(2) được: mx  xm02 sin 2  x  x02 sin 2  Vậy vật dao động nhỏ với tần số f  0 sin  2 Bài 5: Một hạt chuyển động không ma sát trong vách mô ăt hình đối xứng được cho bởi phương trình z b 2 x  y 2 với b là hệ số cố định. Hạt đang chuyển động ổn định ở độ cao z = z0 nhưng bị hơi ấn 2   xuống dưới. Tìm tần số góc dao động nhỏ của hạt quanh quỹ đạo tròn ổn định Giải b 2 Cắt tiết diện Oxz. Do y = 0 nên z  .x 2 2 z0 b Bán kính quỹ đạo ở vị trí cân bằng z0  .x02  x0  2 b Hệ số góc tiếp tuyến: tanα0 = b.x0 Chiếu các lực theo phương tiếp tuyến: mg sin  0  m02 .x0 .cos  0  02  gb Khi ấn xuống đoạn nhỏ dz << z z0 2 x0 b 2 Ta có: z0  dz  .( x0  dx)  2 ( x0  2 xo .dx)  dx  dz. 2 x0 2 z0 Bảo toàn momen động lượng có  2dx  2 0 .x02  . x 2    x0  dx     x02  2 x0 .dx     0 . 1   x0   Chiếu các lực theo phương tiếp tuyến mg sin   m 2 x.cos   & mx& cos   4dx   g sin  .cos   02 x.cos 2  1  x&  & x0    4dx   g tan  .cos 2   gbx.cos 2  1  x&  & x 0    4dx   gbx.cos 2   gbx.cos 2  1  x&  & x0     gbx.cos 2  0 . 4dx & x&(do cos α ≈ cos α0) x0 2 Suy ra   4 gb cos  0  4 gb 4 gb  2 2 1  b .x0 1  2bz0 Bài 6: Hai chất điểm m1 , m2 nối với nhau bằng một sợi dây dài L đi qua 1 lỗ tròn trên bàn. Dây và chất điểm m1 chuyển động không ma sát trên mặt bàn, m2 chuyển động theo phương thẳng đứng. a) Tốc độ m1 bằng bao nhiêu để m2 đứng yên cách bàn d ? b) Tìm tần số góc dao đô ăng nhỏ của m2 quanh quỹ đạo tròn ổn định. Giải a) Phương trình đô ăng lực học của hê ă viết trong hê ă tọa đô ăc cực.  r r2   T m1 (1)  E 2r  r m1 ( 2) ở quỹ đạo tròn E  0 ; r 0 ,  r 0 r  ro  l  d m2 đứng yên  T  m2 g , v1r  0 thay vào (1) ta có mg mg ro .2  2  2  2  v1  v1   .ro  m1 m1ro b) Phương trình nhiễu loạn có m2 g (l  d ) m1 ,    o  d r  ro  dr   Từ ( 2)  2dr . o  ro .d  0  d  2 dr . o   ro . dt  d Từ (1) dt  2.dr. o ro (3) 2  r ( ro  dr )(  d o  d ) 2   2 r ro  d o  2.ro . o d  dr . o   2 r 2.ro .  d o d  dr. o  T m1 T m1  T m2 g  m1 m1 2 2  T  m2 g r 4.dr. Thay (3) vào ta có  d o  dr. o  m1 m1 2 r 3.dr.  d o   T m2 g  m1 m1  m1 m (m2 g  T ) 2 d r 3. 1 dr.  a2   d r o  m2 m2 m1  m1  m2 3g d r dr  0 m2 ld Vậy m2 dao động nhỏ với   3m2 g (l  d )( m1  m2 ) Bài 7: Một vệ tinh khối lượng m lúc đầu chuyển động ở quỹ đạo tròn bán kính 2R đối với Trái Đất. Sau 4 đó vệ tinh chịu một lực đẩy độ lớn 10 mg 0 theo phương e trong khoảng thời gian một vòng quay. Tính sự thay đổi nhỏ của vận tốc và bán kính quỹ đạo vệ tinh giữa 2 thời điểm bắt đầu và ngừng tác dụng lực Giải - Ta có các phương trình chuyển động của vệ tinh: ar  r  r 2  Fhd g R2   02 m r a  2r   r  (1) F m (2) - Ở quỹ đạo trong ban đầu: F  0,   0, r  0, r  0 nên: r  r0  2 R g0 R 2 g0 2 R.    4R 2 4 2    0  (3) g0 v  0  v0  8R 2 R g0 R 2 4 - Xét sự nhiễu loạn do xuất hiện lực F  10 mg 0 theo phương tiếp tuyến. Giả sử: r  r0   r và    0  . Khi đó các pt (1), (2) trở thành: (1):  r   r0   r  .   0     2 g0 R 2  r0   r  2  r   r0   r  .   02  2 0.   2    g0 R 2 2g0 R 2  r r02 r03  r  r0 02  2r00   r. 02  20 r   g0 R 2 2 g0 R 2  r r02 r03 Bỏ qua số hạng rất nhỏ 2 0 r  và thay (3) vào ta được:  r  2r0 0   r. 02   r  2r0 0  2 g0 R 2 r r03 3g 0 r  0 8R (4) (2): 2 r   0     r0   r    F m 2 r . 0  2 r   r0   r .  104 g 0 Bỏ qua số hạng rất bé, ta được: 2 r . 0 r0  104 g 0 Lấy tích phân 2 vế theo thời gian: 2 r. 0  r0  104 g 0t  r0  104 g 0t  2 r. 0 (5) Thay (5) vào (4) được:  r  2 0 104 g 0t  2 r. 0   r  2 104 g 0t  4 02 r  3g0 r  0 8R 3g0 r  0 8R Thay (3) vào có:  r  g0 g  r  2 g 0104 t 0  0 8R 8R Phương trình trên cho nghiệm có dạng:  r  A cos  t     4 2 g 0 R104 t Tại t  0 :  r  A cos   0  r   A sin   4 2 g 0 R104  0 4.104 2 g 0 R    , A   16.104 R Suy ra: 2 g0 8R Sau 1 vòng quay  t  T  : Mặt khác: v  r  r  r0 4.104 2 g 0 R .2 8 R  v  r     v0 r0  0 2R g0  16 .104 Từ(5) có: 2 Suy ra:  r   104 g 0t 104 g 0t    r0  0 r0 0 v0  v 104 g 0t  r   v0 v0 r0 v  v0 104 g 0 2 8 R g0 R g0  16 104  8 10 4  16 10 4  8 10 4 2 Bài 8: Ba hạt cùng khối lượng m được đặt ở 3 đỉnh của 1 tam giác đều cạnh l . Ban đầu truyền cho chúng vận tốc đầu v0  GM có phương và chiều như hình ve. Giả sử rẳng chỉ có trọng lực tác dụng. Tính rmin l và rmax trong chuyển động tiếp theo của các vật. Tính chu kì chuyển động của hệ. Giải - Rõ ràng theo tính đối xứng của hệ ban đầu và vận tốc, 3 hạt se luôn tạo thành 1 tam giác đều. Khoảng cách l se thay đổi, tốc độ góc &se thay đổi nhưng vẫn bảo toàn động lượng hệ. - Giờ ta se đi tính năng lượng tổng cộng của hệ: - Thế năng của hệ ( l  r 3 ): Wt   3Gm 2 3Gm 2  l r - Động năng của hệ: Wd  3 2 3 mv  m(r&2  r 2&2 ) 2 2 - Bảo toàn năng lượng: 3 3Gm 2 3 Gm 2 m(r&2  r 2&2 )   mv0 2  3 2 r 2 c Momen động lượng hệ được bảo toàn: (1) L  3mr 2& 3 mv0 c 2 (2) cv0  & 2 3r 2 Khi r đạt cực đại hay cực tiểu, r& 0 , thay vào (1), kết hợp với (2) ta có: mv0 2 ( c2 3 3 3  )  Gm 2 (  ) 2 8r 2 r c Thay giá trị v0 ta nhận: 2c c2 r 0 12 3 1 1   rmin  c ( 3  2 )  0, 077c    r  c( 1  1 )  1, 077c  max 3 2 r2  - Giờ chúng ta hãy nói đến lực tác dụng lên từng hạt. Các lực này có phương bán kính. - Gọi Fr là lực tác dụng lên từng vật, ta có: 1  Wt Gm 2 Fr    3 r 3r 2 - Như vậy mỗi vật chịu 1 lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ vật tới tâm O - Từ lực Fr ta suy ra hệ số hấp dẫn của hệ là:   Gm 3 - Mỗi hạt chuyển động theo quỹ đạo hình elip với bán kính trục lớn: a r min  rmax c  2 3 - Từ đó ta tìm được chu kì chuyển động của hệ: T  2 a3 c3  2  3Gm Phần III: Bài tâ ôp ôn luyê ôn Bài 1: Mô ăt dây kim loại cứng mảng được uốn sao cho nếu đă ăt trục Oy thẳng đứng trùng với mô ăt phần của dây thì phần còn lại của nó trùng với đồ thị hàm số y  ax 3 với x > 0. Quay đều dây quanh trục Oy với tốc đô ă góc  . Mô ăt hạt có khối lượng m được đă ăt sao cho có thể chuyển đô ăng không ma sát dọc theo dây. Tìm tọa đô ă của hạt ở VTCB M (x0, y0) vàytìm chu kì dao đô ăng bé của hạt xung quanh vị trí cân bằng.  O x 4  2  2 Đáp số: T  9a 2   1   3ag  Bài 2: Mô ăt bánh xe có momen quán tính I có thể quay quanh trục nằm ngang đi qua tâm O. Vâ ăt khối lượng m có thể trượt tự do dọc theo mô ăt lan hoa, vâ ăt này được gắn với lò xo lồng qua lan hoa, đầu còn lại lò xo gắn vào tâm O. Cho lò xo có chiều dài tự nhiên là L và đô ă cứng k. Cho bánh xe quay với tốc đô ă góc 0 . Gọi r0 là khoảng cách từ vâ ăt đến tâm O khi nó nằm cân bằng trong hê ă quy chiếu gắn với bánh xe. Tìm tần số góc dao đô nă g nhỏ của vâ tă quanh quỹ đạo tròn ổn định. Đáp số:   k  3mr02  I  m  I  mr02  2  0  Bài 3: Mô ăt con lắc đơn có chiều dài dây là l quay đều để dây treo quét nên hình nón có góc ở đỉnh 20 . Tìm tần số dao đô nă g nhỏ của vâ tă nă nă g m khi góc0 lê că h giá trị nhỏ. Đáp số:   sin 2 0 g (4cos 0  ) a cos 0 Bài 4: Mô ăt hạt khối lượng m, điê ăn tích e chuyển đô ăng treo quỹ đạo tròn cân bằng bán kính 0r trong mă ăt phẳng nằm ngang. Từ trường có phương thẳng đứng và có tính đối xứng trụ. Biết từ trường giảm theo khoảng cách đến trục theo công thức Bz (r )  A (với 0 < n <1). Xác định tần số dao đô ăng thẳng đứng z rn của hạt trên quỹ đạo cân bằng này trong trường hợp hạt bị lắc nhẹ theo phương ngang. Đáp số: Z  eBz ( r0 ) n m Bài 5: Trong trường xuyên tâm, mô ăt vâ ăt đang chuyển đô ăng theo quỹ đạo elip ổn định thì vâ nă tốc tiếp tuyến biến thiên mô ăt lượng nhỏ v thì se dẫn đến sự biến đổi nhỏ của bán kính trục lớn (a) và chu kì (T) như thế nào ? Đáp số: a  2v 3v ; T  ' .T0 ' 0 r00 Bài 6: Hai hạt có cùng khối lượng m, được nối với nhau bởi mô ăt thanh cứng nhẹ, dài L. Khối tâm của hệ thống thanh quay này thuộc vào 1 quỹ đạo tròn bán kính r xung quanh Trái Đất. Hãy tính tần số các dao động nhỏ của tọa độ φ trong mặt phẳng quỹ đạo. Giả sử l << r và |  | << 1. Đáp số:   3g 0 R 2 r3