Tài liệu Bất phương trình logarit - phương trình mũ logarit

VAÁN ÑEÀ 6 BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARITMUÕ VAØ HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT-MUÕ 121 Vaán ñeà 6 Baát phöông trình Logarit-Muõ vaø heä baát phöông trình Logarit-Muõ A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT I. Giaû söû f(x) vaø g(x) laø hai haøm soá xaùc ñònh treân moät taäp con D cuûa R, khi ñoù : a) Neáu a > 1 thì baát phöông trình logaf(x) > logag(x) ⎧g ( x ) > 0 ⎪ (1) töông ñöông vôùi heä baát phöông trình ⎨ f ( x ) > g ( x ) ⎪ ⎩( x ∈ D ) b) Neáu 0 < a < 1 thì baát phöông trình (1) töông ñöông vôùi heä baát phöông trình : ⎧ f ( x) > 0 ⎪ ⎨ f ( x) < g( x) ⎪ ⎩( x ∈ D ) II. Giaû söõ f(x) , g(x) vaø α(x) laø höõng haøm soá treân moät taäp hôïp con D cuûa R .Khi ñoù baát phöông trình logα(x)f(x) > logα(x)g(x) töông ñöông vôùi 2 heä baát phöông trình : ⎧α ( x ) > 1 ⎧0 < α ( x ) < 1 ⎪ ⎪ ⎪g ( x ) > 0 ⎪ f ( x) > 0 hay ⎨ ⎨ ⎪ f ( x) > g( x) ⎪ f ( x) < g( x) ⎪ x∈D ⎪ x∈D ) ) ⎩( ⎩( 122 B. BAØI TAÄP COÙ HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI . Baøi 1 Giaûi baát phöông trình sau : log x (3 x ) ≤ ( ) log 3x 3 Giaûi Ñieàu kieän x > 0 vaø x ≠ 1 ⎡⎧log3x < 0 (1) ⎢⎨ 3 ⎢⎩log(3x ) ≥ 0 Bpt ⇔ ⎢ log 3x ≥ 0 ⎢⎧⎪ x (2) ⎨ ⎢⎪[log x (3x )]2 ≤ log x (3x 2 ) ⎣⎩ ⎧log x 3 x < log x 1 ⎧(x − 1)(3 x − 1) < 0 ⇔ ⎨ ⇔x> Giaûi (1) ⇔ ⎨ 3 3 ⎩(x − 1)(3 x − 1) < 0 ⎩log(3x ) ≥ log x 1 3 1 (a) 3 ⎧x > 0 ⎪ Giaûi (2) ⇔ ⎨(x − 1)(3 x − 2 ) > 0 ⎪ 2 ⎩(log x 3 + 1) ≤ log x 3 + 3 (*) (*) ⇔ log 2x 3 + log x 3 − 2 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ logx ≤ 1 1 ⎧ ⎪0 < x < ∨ x > 1 (2) ⇔ ⎨ 3 ⎪⎩− 2 ≤ log x 3 ≤ 1 ⎡⎧ 1 < < 0 x ⎢ ⎪⎪ ⎡⎧ 1 3 ⎢⎨ ⎢⎪0 < x < 3 ⎢⎪ 1 ≥ 3 ≥ x ⎢⎨ ⎪ − 2 ≤ log 3 ≤ 1 ⇔ ⎢⎩ ⇔ ⇔ ⎢⎪⎩ x 2 x ⎢ ⎢ ⎢⎧ x > 1 ⎢⎧ x > 1 ⎨ ⎢⎪⎨ 1 ⎢⎣⎩− 2 ≤ log x 3 ≤ 1 ⎢⎪ 2 ≤ 3 ≤ x ⎣⎩ x ⎡ 1 ⎢0 < x ≤ 3 ⎢ ⎢⎣ x ≥ 3 (b ) (c ) Hôïp (a) vaø (b) vaø (c) ta coù x > 0 Baøi 2 123 log2(1 + log 1 x – log9x) < 1 Giaûi baát phöông trình sau : 9 Giaûi Ñieàu kieän : x > 0 ⇔ 1 – log9x – log9x < 1 (vôùi x > 0) ⇔ 1 – 2log9x < 1 ⇔ log9x > − 1 1 1 ⇔ log 9x > − log33 ⇔ x > 2 2 3 Baøi 3 Giaûi baát phöông trình sau : 3 lg x + 2 < 3 lg x Giaûi Ñieàu kieän : x > 0 (1) ⇔ 3lgx.9 < 32lgx.35 – 2 (vôùi x > 0) ñaët t = 3lgx 2 +5 − 2 (1) ⎡ 1 ⎢t > 9 2 2 bpt ⇔ 9t < 243t – 2 ⇔ 243t – 9t – 2 > 0 ⇔ ⎢ ⎢t < − 2 27 ⎣⎢ 1 • Vôùi t > : 9 1 ⎛1⎞ 3 > ⇔⎜ ⎟ 9 ⎝3⎠ − lg x 2 ⎛1⎞ > ⎜ ⎟ ⇔ -lgx < 2 ⇔ lgx > -2 = -2lg10 ⎝ 3⎠ 1 ⇔ x > 10-2 ⇔ x > 100 2 : • Vôùi t < − 27 2 3lgx < − : baát phöông trình voâ nghieäm 27 1 KL : nghieäm cuaû baát phöông trình laø : x > 100 lgx 124 Baøi 5 Giaûi baát phöông trình : log7x > log3(2 + x ) (**) Giaûi Ñieàu kieän x > 0 , ñaët log7x = t ⇔ x = 7t Baát phöông trình (**) t ⇔ t > log3(2 + t ⎛ 1 ⎞ ⎛⎜ 7 ⎞⎟ t 7 ) ⇔ 3 > 2 + 7 ⇔ 1 > 2. ⎜ ⎟ + ⎜ = f(t) ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ t t Do f(t) laø haøm nghòch bieán treân R , f(2) = 1 neân baát phöông trình (**) ⇔ f(t) < f(2) ⇔ t > 2 ⇔log7x > 2 ⇔ x > 72 = 49 . Baøi 6 Giaûi baát phöông trình : 2-x Xeùt f(x) = 3 32− x + 3 − 2x ≥ 0 (*) 4x − 2 (Ñaïi hoïc luaät 1996) Giaûi - 2x + 3 nghòch bieán treân R , f(2) = 0 , g(x) = 4x – 2 ñoàng ⎛1⎞ ⎝2⎠ bieán treân R , g ⎜ ⎟ = 0 Baát phöông trình (*) ⇔ f (x) ≥0 g( x ) ⎧⎧f ( x ) ≥ 0 = f (2) ⎧⎧ x ≤ 2 ⎪⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎨g( x ) > 0 = g⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎪⎨ x> ⎪ ⎪⎪⎪⎩ 2 ⎝ ⎠ ⎪⎩ 1 2 ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔ 0 (*) , ∀x ∈ R 1 • m = -1 : 0.x2 + 2x + 1 > 0 ⇔ x > 2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ − ,+∞ ⎟ ⊂ R neân khoâng thoûa yeâu caàu (*) ñuùng ∀x ∈ R. ⎝ 2 ⎠ ⎧⎪m 2 + m + 1 < 0 ⎧m ∈ ∅ ⎧∆ ' < 0 • m ≠ -1 (*) ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎪⎩m > −1 ⎩m + 1 > 0 ⎩m > −1 ⇔m∈∅ Keát luaän : m ∈ ∅ Baøi 8 Giaûi baát phöông trình : 2 ( x 4 − 8e x −1 > x x 2 e x −1 − 8 ) (Ñaïi Hoïc Xaây Döïng 2001) ( ) Giaûi x 4 − 8e x −1 > x x 2 e x −1 − 8 ⇔ x(x3 + 8) – ex-1(x3 + 8) > 0 ⇔ (x3 + 8) (x – ex-1) > 0 (*) Xeùt haøm soá : f(x) = x – ex-1 f’(x) = 1 – ex-1 = 0 ⇔ x = 1 Baûng bieán thieân : 1 +∞ x -∞ f’(x) + 0 f(x) 0 +∞ -∞ Baûng bieán thieân cho : f(x) ≤ 0 ; ∀x ∈ R (f(x)=0⇔x=1) Deå thaáy x = 1 khoâng thoûa (*) Vaäy : f(x) < 0 ∀x ≠ 1 . Khi ñoù : (*) ⇔ x3 + 8 < 0 ⇔ x < -2 126 Baøi 9 Tìm m sao cho baát phöông trình sau ñaây ñöôïc nghieäm ñuùng vôùi moïi x logm (x2 – 2x + m + 1) > 0 (Ñaïi hoïc Ñaø Naúng ) Giaûi Ta coù : Logm (x2 – 2x + m + 1) > 0 ⎡⎧0 < m < 1 ⎢⎨ 2 ⎢⎩x − 2 x + m + 1 < 1 ⇔ ⎢ m >1 ⎢⎧⎨ ⎢⎣⎩x 2 − 2 x + m + 1 < 1 ⎡⎧0 < m < 1 (1) ⎢⎨ 2 ⎢⎩x − 2 x + m < 0 ⇔ ⎢ m >1 ⎢⎧⎨ ( 2) ⎢⎣⎩x 2 − 2 x + m > 0 Xeùt (1) : ta thaáy x2 –2x +m < 0 khoâng theå xaûy ra vôi moïi x Xeùt (2) :x2 – 2x + m > 0 nghieäm ñuùng vôùi moïi x thuoäc R ⇔ ∆ ' < 0 ⇔ 1 – m < 0 ⇔ m >1 Vaäy: m > 1 thì baát phöông trình ñaõ cho nghieäm ñuùng vôùi moïi x. Baøi 10 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa x thoaû x > 1 nghieäm ñuùng baát phöông trình sau : log 2( x2 + x ) ( x + m − 1) < 1 vôùi moïi giaù trò cuûa m : 0 < m ≤ 4 m (Ñaïi hoïc Giao thoâng vaän taûi ) Giaûi Vì x > 1 ⇒ 2(x2 + x) > 4 ; cuøng vôùi 0 < m ≤ 4 ⇒ 2( x 2 + x ) > 1 vaø x + m – 1 > 0. m Baát phöông trình ñaõ cho ñöôïc vieát thaønh : 127 x+ m –1 < 2( x 2 + + x ) m ⇔ 2x2 + (2 – m) x – m2 + m > 0 ⇔ (x – m + 1) (2x + m) > 0 ⇔x>m–1 ( vì 2x + m > 0) Vì x > 1 vaø 0 < m ≤ 4 ⇒ x > 3 Baøi 10 Giaûi baát phöông trình : 2x + 23-x ≤ 9 (Ñaïi hoïc Kyõ thuaät coâng ngheä thaønh phoá Hoà Chí Minh , khoái A naêm1998 – 1999) Giaûi Ñaët t = 2x vôùi t > 0 ta ñöôïc : t2 – 9t + 8 = 0 Tam thöùc baäc hai theo t aáy coù 2 nghieäm laø 1 vaø 8 .Tam thöùc aáy aâm khi vaø chæ khi 1 ≤ t ≤ 8 Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa baát phöông trình laø 0 ≤ x ≤ 3 Baøi 11 a) Giaûi baát phöông trình 22x+1 – 9.2x + 4 ≤ 0 (1) b) Ñònh m ñeå moïi nghieäm cuûa baát phöông trình (1) cuõng laø nghieäm cuûa baát phöông trình : (m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (Ñaïi hoïc An ninh – Ñaïi hoïc caûnh saùt , khoái G naêm 1998 – 1999) Giaûi a) Ta coù : 22x+1 – 9.2x + 4 ≤ 0 (1) ⇔ 2.22x = 9.2x + 4 ≤ 0 Ñaët t = 2x > 0 , ta seõ coù : (1) ⇔ 2t2 – 9t + 4 ≤ 0 1 vaø 4. 2 1 Tam thöùc aâm hoaëc baèng 0 khi : ≤t≤4 2 1 ≤ 2x ≤ 4 hay 2-1 ≤ 2x ≤ 22 Do ñoù ta coù : 2 Nghieäm cuûa tam thöùc theo t laø Ñaùp soá : –1 ≤ x ≤ 2 b) (m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (2) 128 ⇔ (m2 + m + 1)x + 3m + 1 > 0 Ñaët f(x) = (m2 + m + 1)x + 3m + 1 Moïi nghieäm cuûa (1) laø nghieäm cuûa (2) khi vaø chæ khi f(x) > 0, ∀x ∈ [-1 , 2] ⎧ f (− 1) > 0 ⇔0 0 ⇔ ⎨ Ñaùp soá : 0 < m < 2 Baøi 12 Giaûi baát phöông trình : log x 3 x−5 6x ≥− 1 3 (Ñaïi hoïc An ninh – Ñaïi hoïc caûnh saùt , khoái A naêm 1998 – 1999) Giaûi Ta phaûi coù ñieàu kieän x > 0 vaø x ≠ 1 log x 3 Tröôøng hôïp 0 < x < 1 (1) ⇔ x−5 6x ≤ x−5 6x ≥− 1 1 = log x3 (1) 3 x 1 ⇔ ⏐5 - x⏐ ≤ 6 ⇔ x ≥ -1 ⇔ 0 < x < 1 (vì 0 < x ≠ 1) x Tröôøng hôïp x > 1 ⎡ x ≤ −1 ⎣ x ≥ 11 (1) ⇔ ⏐x - 5⏐ ≥ 6 ⇔ ⎢ Do ñoù ta coù 0 < x < 1 hay x ≥ 11 Baøi 13 Tìm tham soá a sao cho 2 baát phöông trình sau ñaây töông ñöông : ⎧(a − 1)x − a + 3 > 0 ⎨ ⎩(a + 1)x − a + 2 > 0 (Cao ñaúng Haûi quan naêm 1998) Giaûi Xeùt a = -1. Hai baát phöông trình ñaõ cho seõ coù daïng –2x > -4 ; Ox > -3 . Hai baát phöông trình aáy khoâng töông ñöông 129 Xeùt a > 1 : Nghieäm cuûa baát phöông trình thöù nhaát laø x > nghieäm cuûa baát phöông tình thöù hai laø x > a−2 a +1 a−3 vaø a −1 Muoán cho 2 baát phöông trình ñoù töông ñöông thì phaûi coù : a−3 a−2 = ⇒a=5 a −1 a +1 Baèng caùch töông töï khi a < -1 hay –1 < a < 1 ta coù hai phöông trình khoâng töông ñöông . Keát luaän : Hai baát phöông trình töông ñöông khi a = 5 Baøi 14 Giaûi baát phöông trình : log2x + log3x < 1 + log2x.log3x (Ñaïi hoïc ngoaïi thöông , khoái A naêm 1998 – CSII) Giaûi Baát phöông trình töông ñöông vôùi : log2x(1 – log3x) – (1 - log3x) < 0 ; (x > 0) ⇔ (1 - log3x)(log2x – 1) < 0 Coù theå xaûy ra 2 tröôøng hôïp : • ⎧1 − log 3 x > 0 ⇔03 ⎨ ⎩log 2 x − 1 > 0 ⎡0 < x < 2 ⎣x > 3 Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình laø : ⎢ 130 Baøi 15 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m sao cho baát phöông trình sau ñaây ñöôïc thoaû maõn vôùi moïi x ≤ 0 ; x ≥ 1 2 2 m. 4 x − x + (m+1). 10 x − x - 251+ x − x 2 >0 Giaûi Ta coù : 2 2 m. 4 x − x + (m+1). 10 x − x - 251+ x − x ⎛5⎞ ⇔ m + (m + 1). ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛5⎞ Ñaët : y = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ x−x2 ⎡⎛ 5 ⎞ x − x - 25 ⎢⎜ ⎟ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ 2 ⎤ ⎥ ⎥⎦ 2 >0 2 >0 x−x2 >0 Khi x ≥ 1 , x ≤ 0 , ta coù : x – x2 ≤ 0 . Vaäy 0 < y ≤ 1 . Ta ñöa veà baøi toaùn : Tìm m ñeå baát phöông trình f(y) = 25y2 - (m + 1) y – m < 0 thoaû maõn vôùi moïi y sao cho 0 < y ≤ 1 ⇔ f(y) coù 2 nghieäm y1 ; y2 thoaû y1 ≤ 0 < 1 < y2 ⎧f (0) ≤ 0 ⎩f (1) < 0 ⇔ ⎨ ⎧− m ≤ 0 ⎩− 2m + 24 < 0 ⇔ ⎨ ⇔ m > 12 131 Baøi 16 1. Giaûi baát phöông trình : log 21 ( x − 5) + 3 log 5 5 ( x − 5) + 6 log 1 ( x − 5) − 4 log 25 ( x − 5) + 2 ≤ 0 5 25 2. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì baát phöông trình treân vaø baát phöông trình sau: (x – m)(x – 35) ≥ 0 chæ coù moät nghieäm chung duy nhaát . Giaûi 2 1/ log1 (x − 5) + 3log5 5 (x − 5) + 6 log 1 (x − 5) − 4 log25 (x − 5) + 2 ≤ 0 (1) 5 25 ⇔ log 52 ( x − 5) + 2 log 5 ( x − 5) − 3 log 5 ( x − 5) − 2 log 5 ( x − 5) + 2 ≤ 0 Ñaët y = log5(x – 5) . (1) ⇔ y2 – 3y + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 2 Vaäy 1 ≤ log5(x – 5) ≤ 2 ⇔ 5 ≤ x – 5 ≤ 25 ⇔ 10 ≤ x ≤ 30 2/ (x – m)(x – 35) ≥ 0 (1) • Tröôøng hôïp 1 : khi m ≥ 35 ⎡x ≥ m ⎣ x ≤ 35 (khoâng thoaû) (1) ⇔ ⎢ • Tröôøng hôïp 2 : khi m < 35 ⎡x ≤ m ⎣ x ≥ 35 (1) ⇔ ⎢ (1) coù nghieäm duy nhaát trong [10;30] ⇔ m = 10 132 Baøi 17 Giaûi baát phöông trình : log2 log2 (x 2 (x 2 ) + 3 − x 2 − 1 + 2 log 2 x ≤ 0 Giaûi ) + 3 − x 2 − 1 + 2 log 2 x ≤ 0 ⎧⎪ x 2 + 3 − x 2 − 1 > 0 ⎪⎩x > 0 Ñieàu kieän cuûa nghieäm: ⎨ Khi ñoù : log2x < 0 vaø ⇒ log2 (x 2 ⇔ 0 1 (1) ⇔ Giaûi Log2(2x – x + 2m – 4m2) = log2(x2 + mx – 2m2) 2 ⎧⎪2 x 2 − x + 2m − 4m 2 = x 2 + mx − 2m 2 ⎪⎩x 2 + mx − 2m 2 > 0 ⇔ ⎨ ⎧ ⎡ x = 2m ⎧⎪x 2 − (m + 1) x + 2m(1 − m) = 0 ⎪⎢ ⇔ ⎨ 2 ⇔ ⎨⎣ x = 1 − m 2 ⎪⎩x + mx − 2 x > 0 ⎪ 2 2 ⎩x + mx − 2m > 0 Ñieàu kieän cuûa baøi toaùn : 133 ⎧4 m 2 > 0 ⎧(2m) 2 + m(2m) − 2m 2 > 0 ⎪ ⎪ − 2m 2 − m + 1 > 0 2 2 ⎪ ( 1 m ) m ( 1 m ) 2 m 0 − + − − > ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨5m 2 − 2m > 0 2 2 ⎪(2m) + (1 − m) > 1 ⎪ ⎪2 m ≠ 1 − m ⎪m ≠ 1 ⎩ ⎪⎩ 3 ⎡− 1 < m < 0 ⇔ ⎢2 ⎢ 0) (1) ⇔ t 2 − 2mt + 3 − 2m ≤ 0 ⇔ t2 + 3 ≤ 2m t +1 Ñaët : f (t) = t2 + 3 t1 f '(t) = 0 ⇔ t=1 vaäy : f (t) ≤ 2m (t > 0) Ta coù : f '(t) = ∀t > 0 ⇔ 2 ≤ 2m t 2 + 2t − 3 (t + 1) 2 ⇔ 1≤ m Löu yù : Daïng 1 : g(T) ≤ m, T ∈ Dg (*), luoân coù nghieäm khi m ≥ Ming(T)T ∈ Dg Daïng 2 : g(T) ≥ m, T ∈ Dg (*) lu6n coù nghieäm) ⇔ m ≤ Maxg(T), T ∈ Dg 134 Baøi 20 Cho baát phöông trình : 2 2 2 m.92x − x − (2m + 1).62x − x + m.42x − x ≤ 0 Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå baát phöông trình coù nghieäm . Giaûi 2 2 2 m.92x − x − (2m + 1).62x − x + m.42x − x ≤ 0 ⎛3⎞ (1) ⇔ m ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2x 2 − x ⎛3⎞ − ( 2m + 1) ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2x 2 − x (1) +m≤0 ⎧g ( x ) = 2x 2 − x ⎪⎪ g( x ) Ñaët : ⎨ ⎛3⎞ ⎪t = ⎜ ⎟ ⎩⎪ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1⎤ ⎡1 ⎞ Ta khaûo saùt y = g ( x ) vôùi x ∈ ⎜ −∞, − ⎥ ∪ ⎢ , +∞ ⎟ 2⎦ ⎣2 ⎝ ⎠ g ' ( x ) = 4x − 1 Ta coù : x ≥ o 1 ⎛3⎞ ⇒ g(x) ≥ 0 ⇒ t ≥ ⎜ ⎟ = 1 2 ⎝2⎠ (1) ⇔ mt 2 − ( 2m + 1) t + m ≤ 0 ( ) ⇔ m t 2 − 2t + 1 ≤ t ⇔ m ≤ t ( t − 1)2 ∀t > 1 Baïn ñoïc coù theå laøm töông töï nhö baøi treân ……. Baøi 21 Giaûi baát phöông trình : log a2 + log a x + 2 > 1 (cô soá a döông vaø khaùc 1 .) log a x (Ñeà ÑH Baùch Khoa Haø Noäi ) Giaûi log a2 + log a x + 2 > 1 ( a > 0 ; a ≠ 1) log a x − 2 135 ⎧x > 0 log a x ≠ 2 ⇔ ⎨x ≠ a 2 ⎩ Ñaët t = log a x , ta coù baát phöông trình theo t : t2 + t + 2 t2 + 4 >1⇔ >0 ⇔t–2>0⇔ t>2 t−2 t−2 2 ⎡ a >1 Vaäy log a x > 2 ⇔ ⎢ x > a 2 neáu 0 < x <1 < < 0 x a ⎣ Baøi 22 Tìm nghieäm cuûa phöông trình : sin4x + cos4x = cos2x thoaû maõn baát phöông trrình : 1 + log 1 (2 + x − x 2 ) > 0 2 (Ñeà ÑH Baùch Khoa Haø Noäi ) Giaûi 1 2 sin 2x = cos2x ⇔ cos22x – 2cos2x + 1 = 0 2 ⇔ cos2x = 1 ⇔ x = k π; k ∈ Z ⎧⎪2 + x − x 2 > 0 2 ⎧ (2) ⇔ ⎨log 1 (2 + x − x 2 ) ≥ −1 ⇔ ⎨2 + x 2− x > 0 ⎩x − x ≤ 0 ⎪⎩ 2 ⎧⎪− 1 < x < 2 ⇔ ⎨⎡ x ≥ 1 ⇔ ⎧⎨− 1 < x ≤ 0 ⎩1 ≤ x < 2 ⎪⎩⎢⎣ x ≤ 0 (1) ⇔ 1 − Nghieäm cuûa (1) thoaû maõn (2) khi ⎡ − 1 < kπ ≤ 0 ⇔ k = 0 ⎢⎣1 ≤ kπ ≤ 2 Vaäy x = 0 . 136 Baøi 23 Giaûi caùc baát phöông trình : b) x − x −1 ⎛1⎞ ≥⎜ ⎟ ⎝3⎠ log 2 ( x + 1) 2 − log 3 ( x + 1) 3 a) 3 x 2 −2 x x 2 − 3x − 4 > 0 (Ñeà ÑH Baùch Khoa Haø Noäi ) Giaûi a) Ñieàu kieän cuaû nghieäm : x2 – 2x ≥ 0 ⇔ ⎡ x ≥ 2 ⎢⎣ x ≤ 0 3 ⇔ x 2 −2x ⎛1⎞ ≥⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ x − x −1 ⇔ 3 x 2 −2 x ≥3 x −1 − x x 2 − 2x ≥ − x + x − 1 (**) Vì ( x – 1)2 = x2 –2x + 1 > x2 – 2x ⇒ x − 1 > x 2 − 2x ∀x ≥ 2 hoaëc x ≤ 0 Vì theá (**) khoâng theå xaûy ra , khi − x ≥ 0 hay x ≤ 0 Vaäy phaûi coù x > 0 ,do ñoù x > 2 . Luùc ñoù , (**) trôû thaønh : x 2 − 2x ≥ − x + x − 1 = − 1 , laø hieån nhieân ñuùng . Vaäy nghieäm cuûa (*) laø : x ≥ 2. Caùch khaùc : Xeùt x > 1 : ñöa veà daïng A ≥ B hoaëc A ≤ B Xeùt x < 1 : baïn haõy töï giaûi , raát deã seõ ⇒ ñaùp soá b) Ñieàu kieän x + 1 > 0 . Neáu x + 1 = 1 thì töû thöùc baèng 0 , voâ lyù ; Neân phaûi coù x + 1 ≠ 1. Luùc ñoù : 2 log x +1 3 − 3 log x +1 2 2 3 log2(x +1)2 – log3(x + 1)3 = − = log x +1 2 log x +1 3 log x +1 2. log x +1 3 ⎛9⎞ log x +1 ⎜ ⎟ ⎛9⎞ ⎝8⎠ = log 3 ⎜ ⎟. log 2 ( x + 1) = (log x +1 2)(log x +1 3) ⎝8⎠ 137 Do ñoù : log 2 ( x + 1) 2 − log 3 ( x + 1) 3 x 2 − 3x − 4 > 0 (1) trôû thaønh : ⎛9⎞ ⎡⎧x > 4 log 3 ⎜ ⎟. log x +1 2 ⎢⎨x + 1 > 1 ⎝8⎠ ⇔ ⎡x > 4 > 0 ⇔ (x – 4)logx+12 > 0 ⇔ ⎢⎩ ⎢⎣ x < 0 x < 4 ⎧ ( x + 1)( x − 4) ⎢⎨x + 1 < 1 ⎣⎩ Ñoái chieáu ñieàu kieän − 1 < x ≠ 0 ta coù nghieäm cuûa (1) laø : x > 4 hoaëc − 1 < x < 0. Baøi 24 Giaûi baát phöông trình : 1 log 3 x 2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 > log 1 ( x + 3) 2 3 3 (Ñeà ÑH Baùch Khoa Haø Noäi ) Giaûøi ⎧⎡ x > 3 ⎧x 2 − 5x + 6 > 0 ⎪⎢⎣ x < 2 ⎪ ⎪ Ñieàu kieän : ⎨x − 2 > 0 ⇔ ⎨x > 2 ⇔ x > 3 ⎪x > −3 ⎪⎩x + 3 > 0 ⎪⎩ Vôùi ñieàu kieän treân : 1 log 3 x 2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 > log 1 ( x + 3) 2 3 3 1 1 1 ⇔ 2 log 3 ( x − 2)( x − 3) − 2 log 3 ( x − 2) > − 2 log 3 ( x + 3) ⎡ ( x − 2)( x − 3) ⎤ ⇔ log 3 ⎢ ⎥ + log 3 ( x + 3) > 0 x−2 ⎣ ⎦ ⇔ log 3 ( x − 3) + log 3 ( x + 3) > 0 ( vì x > 3 ) ⇔ log 3 ( x − 3)(x + 3) > 0 ⇔ x2 – 9 > 0 ⇔ x > 10 ⇔ x > 10 Ñaùp soá : x > 10 138 ( vì x > 3 ) Baøi 25 Tìm m ñeå baát phöong trình log 1 ( x 2 − 2 x + m) > −3 coù nghieäm. 2 Giaûi log 1 ( x 2 − 2x + m) > −3 2 ⎧ 2 ⇔ log 2 ( x 2 − 2x + m) > 3 ⇔ ⎨x 2 − 2x + m > 0 ⎩x − 2 x + m < 8 ⎧m > 2 x − x 2 = f 1 ( x ) ⇔ ⎨ 2 ⎩m < x + 2 x + 8 = f 2 ( x ) Xeùt caùc ñieåm M(x,m) thuoäc mieàn trong cuûa (f2) vaø mieàn ngoaøi cuûa (f1). Do f2(x) > f1(x) ∀ x neân (f1) ôû beân trong (f2) , vì vaäy ñeå baát phöông trình treân coù nghieäm caàn vaø ñuû laø : m < max(f2) ⇔ m < 9 Vaäy khi m < 9 thì : log 1 ( x 2 − 2 x + m) > −3 coù nghieäm . 2 Baøi 26 Giaûi baát phöông trrình sau : 4 x 2 + x .2 x 1-\ 4x + x.2 2 x 2 +1 + 3.2 x2 2 +1 2 2 + 3.2 x > x 2 .2 x + 8x + 12 Giaûi > x .2 + 8x + 12 2 x2 2 2 ⇔ 4( x − 2x − 3) + 2 x (2 x + 3 − x 2 ) > 0 [ ⇔ ( x 2 − 2 x − 3) 4 − 2 x 2 ] ⎡⎧x 2 ⎢⎨x 2 > 0 ⇔ ⎢⎩ 2 ⎢⎧x ⎢⎣⎨⎩x 2 − 2x − 3 > 0 <2 − 2x − 3 < 0 >2 139 ⎡⎧⎡ x > 3 ⎢⎪⎨⎢⎣ x < −1 ⎢⎪ − 2 2 ⎢⎪⎢ x < − 2 ⎣⎩⎣ Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho laø : (− 2 ;−1) U ( 2 ;3) Baøi 27 Vôùi 0 < x < π , chöùng minh : 2 3 2 2 sin x + 2 tgx > 2 2 x +1 (Ñeà Ñaïi Hoïc Döôïc Haø Noäi ) Giaûi 2 2 sin x + 2 tgx > 2 2 2 sin x + tgx = 2 sin x + tgx +1 2 2 Ta xeùt haøm f(x) = 2sinx + tgx – 3x f’(x) = 2cosx + 0 0 2 cos x = ⇒ f(x) laø haøm taêng , f(x) > f(0) = 0 vôùi 0 < x < Suy ra Baøi 28 2 2 sin x +2 tgx > 3 x +1 22 (ñpcm). ⎛ 2x − 1 ⎞ Giaûi baát phöông trình sau : log x ⎜ ⎟ > 1 ⎝ x −1 ⎠ Giaûi 2 x − 1 2 x − 1 ⎛ ⎞ > log x x log x ⎜ ⎟ > 1 ⇔ log x x −1 ⎝ x −1 ⎠ 140 π 2