www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
CẨM NANG CHO MÙA THI 2016
TÌM HIỂU
CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
PHIÊN BẢN 2016
NGUYỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979
Email:
[email protected]
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
x 3 − x 3 + 3y 2 − 3x − 2 = 0 (1)
Bài 1: Giải hệ phương trình: 2
2
2
x + 1 − x − 3 2y − y + 2 = 0 (2)
Phân tích và hướng dẫn
2
−1 ≤ x ≤ 1
1 − x ≥ 0
⇔
2
0 ≤ y ≤ 2
2y − y ≥ 0
* Điều kiện:
Ở phương trình (1) ta thấy do cô lập được x, y sang từng vế, vậy ta nghĩ đến việc
sử dụng phương pháp hàm số, thật vậy:
3
2
+ Phương trình (1) ⇔ x 3 − 3x − 2 = y3 − 3y 2 ⇔ ( x + 1) − 3 ( x + 1) = y3 − 3y 2 (*)
- Xét hàm số f (t) = t 3 − 3t 2
−1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x + 1 ≤ 2
⇔
⇒ t ∈ [ 0; 2]
0 ≤ y ≤ 2
0 ≤ y ≤ 2
- Do
⇒ f ' (t) = 3t 2 − 6t; f '(t) = 0 ⇔ t = 0; t = 2 , ta có bảng biến thiên sau:
x
f '(t)
f (t)
+
0
0
-
2
0
+
ց
⇒ f (t) nghịch biến trên [ 0; 2]
2
Vậy từ (*) ⇔ x + 1 = y thay vào (2) ta có: x 2 + 1 − x 2 − 3 2 ( x + 1) − ( x + 1) + 2 = 0
⇔ x2 + 1− x2 − 3 1− x2 + 2 = 0 ⇔ x2 − 2 1− x2 + 2 = 0
(
)
⇔ − 1 − x 2 − 2 1 − x 2 + 3 = 0 ⇔ (1 − x 2 ) + 2 1 − x 2 − 3 = 0
Đặt a = 1 − x 2 ≤ 1 mà a ≥ 0 ⇒ 0 ≤ a ≤ 1
a = 1 (tháa m·n) ⇒ x = 0 ⇒ y = 1 (tháa m·n)
⇒ a 2 + 2a − 3 = 0 ⇔
a = −3 (lo¹i)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 0;1)
x 2 + 4y ( x − 5 ) − 1 = 4y 2 − x + 2 2y (1)
Bài 2: Giải hệ phương trình
4y ( x − 4 ) + x = 2 x − 1 (2)
Phân tích và hướng dẫn
* Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ 0
+ Phương trình (1) ⇔ x 2 + 4xy − 20y − 1 = 4y 2 − x + 2 2y (*)
+ Phương trình (2) :
⇔ 4xy − 16y + x = 2 x − 1 ⇔ 4xy = 16y + 2 x − 1 − x thay vµo (*)
⇒ x 2 + 16y + 2 x − 1 − x − 2xy − 1 = 4y 2 − x + 2 2y
2
⇔ x 2 + 2 x − 1 = 4y 2 + 4y + 1 + 2 2y ⇔ x 2 + 2 x − 1 = ( 2y + 1) + 2
( 2y + 1) − 1
(*)
x ≥ 1
x ≥ 0
⇔
⇒ t ≥1
y ≥ 0
2y + 1 ≥ 1
+ Xét hàm số f (t) = t 2 + 2 t − 1 do:
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
1
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
1
> 0, ∀t > 1 ⇒ hµm sè f(t) ®ång biÕn
t −1
+ Từ (**) ⇔ x = 2y + 1 ⇔ thay vµo (2)
⇒ f '(t) = 2t +
⇒ 4y ( 2y + 1 − 4 ) + 2y + 1 = 2 2y + 1 − 1
⇔ 8y 2 − 12y + 2y + 1 = 2 2y ⇔ 8y 2 − 10y + 1 = 2 2y
2
⇔ 2 4y 2 − 4y + 1 − 2y − 1 = 2 2y ⇔ 2 ( 2y − 1) = 2y + 1 + 2 2y
2
⇔ 2 ( 2y − 1) =
(
)
2
2y + 1 ⇔
(
2 ( 2y − 1)
2
) =(
)
2y + 1
2
3−2 2
5−2 2
⇒x=
(tháa m·n)
2(2y − 1) = 2y + 1 ⇒ y =
4
2
⇔
3+ 2 2
5+ 2 2
(tháa m·n)
⇒x=
2 ( 2y − 1) = − 2y − 1 ⇒ y =
4
2
5− 2 2 3− 2 2 5+ 2 2 3+ 2 2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) =
;
;
;
2
4
2
4
1
2
3xy 1 + 9y + 1 = x + 1 − x (1)
Bài 3: Giải hệ phương trình:
x3 ( 9y 2 + 1) + 4 ( x 2 + 1) . x = 10 (2)
(
)
Phân tích và hướng dẫn
* Điều kiện: x ≥ 0
+ Phương trình (1) ⇔ 3xy + 3xy 9y 2 + 1 = x + 1 + x (*) (do nhân liên hợp vế phải)
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (*), vậy từ (*) ta có:
x +1
x
+
x
x
1
1 1
2
⇔ (3y) + (3y) ( 3y ) + 1 =
+
+
x x2
x
⇔ 3y + 3y 9y 2 + 1 =
1
1 1
1
1
1
⇔ (3y) + (3y) ( 3y ) + 1 =
+
+
1+
1 + =
x x
x
x
x
x
2
2
(**)
+ Xét hàm số f (t) = t + t. t 2 + 1 . Do x > 0 và từ (**) ⇒ y > 0 ⇒ t > 0
⇒ f '(t) = 1 + t 2 + 1 +
t2
t2 +1
> 0 ⇒ f (t) lu«n ®ång biÕn ∀t > 0
1
thay vµo (2)
x
1
⇒ x 3 + 1 + 4 ( x 2 + 1) x = 10 ⇔ x 2 + x 3 + 4 ( x 2 + 1) x = 10 (3*)
x
+ Tõ (**) ⇒ 3y =
+ Ta thấy phương trình (3*) có vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hằng số, mà x = 1
là nghiệm của (3*) ⇒ x = 1 lµ duy nhÊt ⇒ y =
1
(thỏa mãn)
3
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
2
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = 1;
3
2y3 + y + 2x 1 − x = 3 1 − x (1)
Bài 4: Giải hệ phương trình
2
2
2
(2)
9 − 4y = 2x + 6y − 7
Phân tích và hướng dẫn
3 3
* Điều kiện: x ≤ 1; y ∈ − ;
2 2
+ Phương trình (1) ⇔ 2y3 + y = 3 1 − x − 2x 1 − x ⇔ 2y3 + y = 2 1 − x. (1 − x ) + 1 − x
⇔ 2y3 + y = 2
(
1− x
)
3
+ 1− x
y ≥ 0
+ Xét f (t) = 2t 3 + t; f '(t) = 6t 2 + 1 > 0 ∀t ∈ R ⇒ f (t) ®ång biÕn ⇒ y = 1 − x ⇔
2
y = 1− x
+ Thay vào (2) ⇒ 9 − 4 (1 − x ) = 2x 2 + 6 (1 − x ) − 7 ⇔ 5 + 4x = 2x 2 − 6x − 1
⇔ 2 5 + 4x = 4x 2 − 12x − 2 ⇔ ( 5 + 4x ) + 1 + 2 5 + 4x = 4x 2 − 8x + 4
⇔
(
)
2
5 + 4x + 1 = 4 ( x 2 − 2x + 1) ⇔
(
)
2
5 + 4x + 1 = ( 2 ( x − 1) )
2
5 + 4x + 1 = 2 ( x − 1) (v« nghiÖm)
⇔
5 + 4x + 1 = 2 (1 − x ) ⇔ 5 + 4x = 1 − 2x
1
x ≤ 2
⇔
x = 1 + 2 (lo¹i) y = 4 2
⇒
x = 1 - 2
y = − 4 2
(
)(
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là ( x; y ) = 1 − 2; 4 2 ; 1 − 2; − 4 2
)
x − y 2 − x + 2y 2 = 2 (1)
Bài 5: Giải hệ phương trình:
2 x + 2 − 4y + 8 y xy + 2y = 34 − 15x (2)
(
)
Phân tích và hướng dẫn
* Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2; y ≥ 0
+ Phương trình (1) ⇔ ( 2 − x ) +
(
)
2 − x y − 2y 2 = 0. §Æt t = 2 − x ≥ 0 ⇒ t 2 + ty − 2y 2 = 0
t
y =1
2−x = y
t t
⇔ + −2 = 0 ⇔
⇔
t
y y
2 − x = −2y
y = −2
2
+ Với y = 2 − x thay vµo (2) ⇒ 2( x + 2 − 4 2 − x ) + 8 4 − x 2 = 34 − 15x (3)
+ Đặt t = x + 2 − 4 2 − x ⇒ t 2 = 34 − 15x − 8 4 − x 2
+ Phương trình (3) :
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
t = 0
x + 2 − 4 2 − x = 34 − 15x − 8 4 − x 2 ⇒ 2t = t 2 ⇔
t = 2
16 ( 2 − x ) = x + 2
x +2 −4 2−x = 0
4 2 − x = x + 2
⇔
⇔
⇔
16 ( 2 − x ) + 4 + 16 2 − x = x + 2
x + 2 − 4 2 − x = 2
4 2 − x + 2 = x + 2
30
2 17
17x = 30
x=
⇒y=
⇔
⇔
17
17 (thỏa mãn)
16 2 − x = 17 ( x − 2 )
x = 2 ⇒ y = 0
⇔2
+ Với
(
)
y ≤ 0
2 − x = 2y ⇔
, trong trường hợp này hệ vô nghiệm.
2
2 − x = 4y
30 2 17
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm ( x; y ) = ;
; ( 2;0 )
17 17
3y 2 + x + 8 2 + x = 10y − 3xy + 12 (1)
Bài 6: Giải hệ phương trình:
3
2
3
5y . 2 − x − 8 = 6y + xy . 2 − x (2)
Phân tích và hướng dẫn
* Điều kiện: x ∈ [ −2; 2]
(
)
+ Phương trình (2) ⇔ y3 . 5 2 − x − x 2 − x − 6y2 = 8 (*)
+ Do y = 0 không là nghiệm của phương trình (*) nên từ (*):
3
2
2
6 8
2 − x − = 3 ⇔ ( 2 − x ) + 3 2 − x = + 3.
y y
y
y
⇔ (5 − x )
3
2
2
⇔ 2 − x + 3 2 − x = + 3.
y
y
+ Xét hàm số f (t) = t 3 + 3t ⇒ f'(t) =3t 2 + 3 > 0 ∀t ∈ R
2
⇒ Hàm số đồng biến ⇒ 2 − x =
y
(
)
3
(
)
+ Phương trình (1) ⇔ y 3 2 + x − 10 + 3x + 8 2 + x − 12 = 0
2
2
⇔ 3 2 + x − 10 + 3x + 4. . 2 + x − 6. = 0
y
y
⇔ 3 2 + x − 10 + 3x + 4 2 − x. 2 + x − 6 2 − x = 0
⇔3
(
)
2 + x − 2 2 − x + 4 4 − x 2 + 3x − 10 = 0
+ Đặt t = 2 + x − 2 2 − x ⇒ t 2 = 10 − 3x − 4 4 − x 2 = −(4 4 − x 2 − 3x − 10)
t = 0
⇒ 3t − t 2 = 0 ⇔
t = 3
6
- Với t = 0 ⇒ x = ⇒ y = 5 (thỏa mãn)
5
+ Với t = 3
⇒ 2+ x − 2 2− x = 3 ⇔ 2+ x = 3+ 2 2− x
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
4
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
⇔ 15x − 15 = 12 2 − x ⇔ 5x − 5 = 4 2 − x (phương trình này vô nghiệm)
6
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ; 5
5
3
2
3
x − 6x + 13x = y + y + 10 (1)
Bài 7: Giải hệ phương trình:
3
2
2x + y + 5 − 3 − x − y = x − 3x − 10y + 6 (2)
Phân tích và hướng dẫn
2x + y + 5 ≥ 0
3 − x − y ≥ 0
+ Điều kiện:
2
+ Phương trình (1) ⇔ ( x − 2 ) + ( x − 2 ) = y3 + y
+ Xét hàm số f (t) = t 3 + t ⇒ f '(t) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ R
⇒ f (t) ®ång biÕn ⇔ x - 2 = y thay vµo (2)
⇒ 2x + x − 2 + 5 − 3 − x − ( x − 2 ) = x 3 − 3x 2 − 10 ( x − 2 ) + 6
⇔ 3x + 3 − 5 − 2x = x 3 − 3x 2 − 10x + 26 (*); -1 ≤ x ≤
5
2
+ Đặt f (x) = 3x + 3 − 5 − 2x và g(x) = x 3 − 3x 2 − 10x + 26
3
1
5
+
> 0; ®ång biÕn ∀x ∈ −1;
2 3x + 3
5 − 2x
2
3 + 39 5
∉ −1;
x1 =
3
2
2
⇒ g '(x) = 3x − 6x − 10; g'(x) = 0 ⇔
3 − 39 5
x2 =
∉ −1;
3
2
⇒ f’(t) =
+ Ta xét bảng biến thiên sau:
x1
x −∞
g '(x)
g(x)
+
0
5
2
−1
-
-
|
x2
-
0
+∞
+
|
ց
⇒ g(x) nghịch biến ⇒ x = 2 (thỏa mãn) là nghiệm duy nhất của (*)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2; 0 )
Bài 8: Giải phương trình:
Phân tích và hướng dẫn
* Điều kiện: x ≥ 1
+ Phương trình biến đổi:
⇔
( 2x − 1) + 2 + 4 2x − 1 =
⇔
(
4
)
x −1 +
4
2x + 1 + 4 2x − 1 = x − 1 + x 2 − 2x + 3
( x − 1)
2 x − 1 + 2 + 4 2x − 1 = x − 1 +
(
2
+2
)
4
x −1 + 2
+ Xét hàm số f (t) = t 4 + 2 + t; t ≥ 0
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
2t 3
⇒ f '(t) =
t4 + 2
+ 1 > 0, ∀t ≥ 0 ⇒ f'(t) ®ång biÕn ∀t ≥ 0
⇒ 4 2x − 1 = x − 1 ⇔ 2x − 1 = (x − 1)2 ⇔ x 2 − 4x + 2 = 0
x = 2 − 2
⇔
(tháa m·n ®iÒu kiÖn)
x = 2 + 2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 2 − 2; x 2 = 2 + 2
Bài 9: Giải phương trình ( x + 1) x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 = x 2 + 7x + 12
Phân tích và hướng dẫn
x + 2 ≥ 0
⇔ x ≥ −1
x + 7 ≥ 0
+ Điều kiện:
+ Do phương trình nhẩm được 1 nghiệm là x = 2 nên ta sẽ nghĩ tới việc tạo ra nhân tử
chung là x − 2 . Ta thực hiện các bước tính nháp thử nghiệm như sau:
* x + 2 − a → (a − 2) → 2 + 2 − a = 0 ⇔ a = 2 → x + 2 − 2
*
x + 7 − b → ( x − 2) → 2 + 7 − b = 0 ⇔ b = 3 → x + 7 − 3
Qua các bước nhẩm trên, vậy phương trình đã cho tương đương với:
( x + 1) ( x + 2 − 2 ) + ( x + 6 ) ( x + 7 − 3) = x 2 + 7x + 12 − 2 ( x + 1) − 3 ( x + 6 )
( x + 1)( x − 2 ) + ( x + 6 )( x − 2 ) − x − 2 x + 4 = 0
⇔
(
)(
)
x+2 +2
x +7 +3
x+6
x +1
⇔ ( x − 2)
+
− x − 4 = 0 (*)
x +7 +3
x+2 +2
x+2
x+2
x+2
x + 2 + 2 ≥ 0
x + 2 + 2 ≤ 2 (do x + 2 + 2 ≥ 2)
+ Ta thấy với x ≥ −2 ⇒
, mà
x
+
6
x + 6 ≤ x + 6 (do x + 7 + 3 > 2)
>0
x + 7 + 3
x + 7 + 3
2
⇒
x +1
x+6
x+2 x+6
x+6
1
x+2
+
−x−4=
−
+
−
−
<0
2 x +7 +3
2
x+2 +2
x+7 +3
x + 2 +
2
x
2
2
+
+
≤0
≤0
<0
Vậy từ (*) thì x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
x + x x 2 − 3x + 3 = 3 y + 2 + y + 3 + 1 (1)
Bài 10: Giải hệ phương trình
3 x − 1 − x 2 − 6x + 6 = 3 y + 2 + 1 (2)
(
)
Phân tích và hướng dẫn
x x 2 − 3x + 3 ≥ 0
y + 3 ≥ 0
1 ≤ x ≤ 3 − 3; x ≥ 3 + 3
+ Điều kiện:
⇔
y ≥ −3
x − 1 ≥ 0
x 2 − 6x + 6 ≥ 0
(
)
+ Quan sát ta thấy (1) đã cô lập được biến x, y sang từng vế, hơn nữa mỗi vế có sự tương
đồng về hình thức nên ta biến đổi (1) để sử dụng phương pháp “hàm đại diện”:
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
6
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
(
)
x + x x 2 − 3x + 3 = 3 y + 2 + y + 3 + 1 ⇔ ( x − 1) +
+ Xét hàm số f (t) = t + t 3 + 1 ⇒ f '(t) = 1 +
( x − 1)
2
+1 = 3 y + 2 +
(
3
y+2
)
3
+ 1 (*)
3t 2
2 t3 + 1
1 ≤ x ≤ 3 − 3; x ≥ 3 + 3 0 ≤ x − 1 ≤ 2 − 3; x − 1 ≥ 2 + 3
⇒
⇒ t ≥ −1
y ≥ −3
3 y + 2 ≥ −1
⇒ f '(t) > 0, ∀t > −1 ⇒ f (t) đồng biến với t ≥ −1
+ Do
+ Từ (*) ⇒ x − 1 = 3 y + 2 thay vào (2) ta được:
3 x − 1 − x 2 − 6x + 6 = ( x − 1) + 1 ⇔ 3 x − 1 −
( x − 1)
2
− 4 ( x − 1) + 1 = ( x − 1) + 1 (**)
+ Ta thấy x = 1 không là nghiệm của (**) x ≠ 1 , mặt khác căn cứ điều kiện ⇒ x > 1 , chia
cả 2 vế của (**) cho
x − 1 > 0 ta được: 3 −
( x − 1) − 4 +
1
1
= x −1 +
x −1
x −1
1
1
> 2 ⇒ x −1+
= t2 − 2 ⇒ 3 − t2 − 6 = t
x −1
x −1
5
1
5
t ≤ 3
⇔ t2 − 6 = 3 − t ⇔ 2
⇒ x −1 +
=
2 ⇔ t =
3
x −1 2
t − 6 = ( 3 − t )
x −1 = 2
x = 5 ⇒ y = 62
⇔
⇔
x −1 = 1
x = 5 ⇒ y = − 127
4
64
2
+ Đặt t = x − 1 +
x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3 x − 2 = 0(1)
Bài 11: Giải hệ phương trình 2
x + 1 − x 2 − 3 2 y − y 2 + 2 = 0(2)
Phân tích và hướng dẫn
1 − x 2 ≥ 0
− 1 ≤ x ≤ 1
⇔
2 y − y 2 ≥ 0
0 ≤ y ≤ 2
Điều kiện:
(1) ⇔ x 3 − 3x − 2 = y 3 − 3 y 2 ⇔ (x + 1)3 − 3(x + 1)2 = y 3 − 3 y 2 (*)
- Xét hàm số f (t ) = t 3 − 3t 2
− 1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ x + 1 ≤ 2
⇔
⇒ t ∈ [0;2]
0 ≤ y ≤ 2
0 ≤ y ≤ 2
- Do
⇒ f ' (t ) = 3t 2 − 6t ; f ' (t ) = 0 ⇔ t = 0; t = 2
t
0
2
f’(t) +
0
0
+
f(t)
ց
⇒ f (t ) nghịch biến trên [0;2]
Vậy từ (*) ⇔ x + 1 = y thay vào (2) ta có:
2
x 2 + 1 − x 2 − 3 2( x + 1) − ( x + 1) + 2 = 0
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
⇔ x2 + 1− x2 − 3 1− x2 + 2 = 0
⇔ x2 − 2 1− x2 + 2 = 0
(
)
⇔ − 1− x2 − 2 1− x2 + 3 = 0
(
)
⇔ 1− x2 + 2 1− x2 − 3 = 0
- Đặt a = 1 − x 2 ≤ 1 mà a ≥ 0 ⇒ 0 ≤ a ≤ 1
a = 1 (tm)
⇒ a 2 + 2a − 3 = 0 ⇔
⇒ x = 0 ⇒ y = 0 (tmđk)
a = −3
2
2
x + 4 y (x − 5) − 1 = 4 y − x + 2 2 y (1)
Bài 12: Giải hệ phương trình
4 y ( x − 4 ) + x = 2 x − 1(2)
Phân tích và hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ 0
(1) ⇔ x 2 + 4 xy − 20 y − 1 = 4 y 2 − x + 2 2 y (*)
(2) ⇔ 4 xy − 16 y + x = 2 x − 1
⇔ 4 xy = 16 y + 2 x − 1 − x thay vào (*)
⇔ x 2 + 16 y + 2 x − 1 − x − 20 y − 1 = 4 y 2 − x + 2 2 y
⇔ x2 + 2 x −1 = 4y2 + 4y +1+ 2 2y
2
⇔ x 2 + 2 x − 1 = (2 y + 1) + 2 (2 y + 1) − 1 (**)
x ≥ 1
x ≥ 0
⇔
⇒ t ≥1
y ≥ 0
2 y + 1 ≥ 1
- Xét hàm số f (t ) = t 2 + 2 t − 1 do:
1
> 0, ∀t > 1 ⇒ hàm số f(t) đồng biến
t −1
- Từ (**) ⇔ x = 2 y + 1 ⇔ thay vào (2)
f ' (t ) = 2t +
⇒ 4y ( 2y + 1 − 4 ) + 2y + 1 = 2 2y + 1 − 1
⇔ 8y 2 − 12y + 2y + 1 = 2 2y
⇔ 8y 2 − 10y + 1 = 2 2y
⇔ 2 4y 2 − 4y + 1 − 2y − 1 = 2 2y
2
⇔ 2 ( 2y − 1) = 2y + 1 + 2 2y
2
( 2y + 1)
⇔ ( 2 ( 2y − 1) ) = ( 2y + 1)
2
⇔ 2 ( 2y − 1) =
2
Chú ý: 2(2 y )2
2
5− 2 2 3− 2 2
;
2 ( 2y − 1) = 2y + 1, ⇒ y =
2
4
⇔
2 ( 2y − 1) = − 2 − 1, ⇒ y = 5 + 2 2 ; 3 + 2 2
2
4
− 5(2 y ) + 1 = 2 2 y
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
8
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
- Đặt t = 2 y ≥ 0 ⇒ 2t 4 − 5t 2 + 1 − 2t = 0
1
t = 1 − 2
2
⇔ (t + 1) 2t 2 − 4t + 1 = 0 ⇔
1
t = 1 + 2
1
3 2 2
3 2 2
2y = 1 + − 2 ⇔ 2y = −
⇔y= −
⇔
2
2
2
4
4
(t−¬ng tù )..
(
)
)
1
2
(1)
3 xy 1 + 9 y + 1 =
x +1 − x
Bài 13: Giải hệ phương trình:
x 3 9 y 2 + 1 + 4 x 2 + 1 . x = 10(2)
(
(
) (
)
Phân tích và hướng dẫn
* Điều kiện: x ≥ 0
(1) ⇔ 3xy + 3 xy 9 y 2 + 1 = x + 1 + x
x +1
x
+
(do x = 0 không là nghiệm của phương trình)
x
x
1
1 1
2
( 3y ) + 1 = + + 2
x x
x
⇔ 3y + 3y 9 y 2 + 1 =
⇔ ( 3y ) + ( 3y )
⇔ ( 3y ) + ( 3y )
( 3y )
2
+1 =
=
1
1 1
+
1+
x x
x
1
x
+
1
. 1 +
x
x
1
2
(*)
* Xét hàm số f (t ) = t + t. t 2 + 1
- Do x > 0 và từ (*) ⇒ y > 0 ⇒ t > 0
⇒ f ' (t ) = 1 + t 2 + 1 +
+ Từ (*) ⇒ 3 y =
1
x
t2
t2 +1
> 0 ⇒ f ' (t ) luôn đồng biến ∀t > 0
1
x
thay vào (2) ⇒ x 3 + 1 + 4(x 2 + 1) x = 10
⇔ x 2 + x 3 + 4(x 2 + 1) x = 10 ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất ⇒ y =
(t =
)
1
3
x ⇒ x 3 = t 6 ; x 2 = t 4 ⇒ t 4 + t 6 + 4 ( t 4 + 1) t = 10
2 y 3 + y + 2 x 1 − x = 3 1 − x (1)
Bài 14: Giải hệ phương trình
9 − 4 y 2 = 2 x 2 + 6 y 2 − 7(2)
Phân tích và hướng dẫn
3 3
+ Điều kiện: x ≤ 1; y ∈ − ;
2 2
(1) ⇔ 2 y 3 + y = 3 1 − x − 2 x 1 − x
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
⇔ 2 y 3 + y = 2. 1 − x .(1 − x ) + 1 − x
(
)
3
⇔ 2 y 3 + y = 2. 1 − x + 1 − x
+ Xét hàm số f (t ) = 2t 3 + t , f ' (t ) = 6t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ R
y ≥ 0
⇒ f ' (t ) đồng biến ⇒ y = 1 − x ⇔ 2
y = 1− x
2
+ Thay vào (2) ⇒ 9 − 4(1 − x ) = 2 x + 6(1 − x ) − 7
⇔ 5 + 4x = 2x 2 − 6x − 1
⇔ 2 5 + 4 x = 4 x 2 − 12 x − 2
⇔ (5 + 4 x ) + 1 + 2 5 + 4 x = 4 x 2 − 8 x + 4
(
⇔(
⇔
)
5 + 4 x + 1)
2
(
)
5 + 4x + 1 = 4 x 2 − 2x + 1
2
= (2( x − 1))
2
5 + 4 x + 1 = 2( x − 1)(vôly )
⇔
5 + 4 x + 1 = 2(1 − x ) ⇔ 5 + 4 x = 1 − 2 x
1
x ≤ 2
⇔
x = 1 + 2 (loai ) y = 4 2
⇒
x = 1 − 2
y = − 4 2
x − y 2 − x + 2y 2 = 2 (1)
Bài 15: Giải hệ phương trình:
2 x + 2 − 4y + 8 y. xy + 2y = 34 − 15x (2)
(
)
Phân tích và hướng dẫn
* Điều kiện: − 2 ≤ x ≤ 2; y ≥ 0
+ Ta có (1) ⇔ (2 − x ) + 2 − x y − 2 y 2 = 0
+ Đặt t = 2 − x ≥ 0 ⇒ t 2 + ty − 2 y 2 = 0
(
t
⇔
y
)
2
t
y =1
t
+ − 2 = 0 ⇔
⇔
t
y
y = −2
(
2−x = y
2 − x = −2 y
)
* Với y = 2 − x thay vào (2) ⇒ 2 x + 2 − 4 2 − x + 8 4 − x 2 = 34 − 15 x(3)
+ Đặt t =
x + 2 − 4 2 − x ⇒ t 2 = 34 − 15 x − 8 4 − x 2
t = 0
x + 2 − 4 2 − x = 34 − 15x − 8 4 − x 2 ⇒ 2t = t 2 ⇔
t = 2
x+2 −4 2− x =0
4 2 − x = x + 2
16(2 − x ) = x + 2
⇔
⇔
⇔
x + 2 − 4 2 − x = 2
16(2 − x ) + 4 + 16 2 − x = x + 2
4 2 − x + 2 = x + 2
+ Từ (3) ⇒ 2
(
)
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
10
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
30
2 17
⇒y=
x =
17
17
x = 2 ⇒ y = 0
y ≤ 0
(chú ý 2 − x = −2 y ⇔
2
2 − x = 4 y
17 x = 30
⇔
⇔
16 2 − x = 17( x − 2 )
3y 2 + x + 8 2 + x = 10y − 3xy + 12 (1)
Bài 16: Giải hệ phương trình
3
2
3
5y . 2 − x − 8 = 6y + xy . 2 − x (2)
Phân tích và hướng dẫn
* Điều kiện: x ∈ [− 2;2]
* (2) ⇔ y 3 . 5 2 − x − x 2 − x − 6 y 2 = 8
(
)
⇔ (5 − x ) 2 − x −
6
8
= 3 (do y = 0 không là nghiệm của phương trình)
y y
3
2
2
⇔ [(2 − x ) + 3] 2 − x = + 3.
y
y
3
2
2
⇔ 2 − x + 3 2 − x = + 3.
y
y
Xét hàm số f (t ) = t 3 + 3t ⇒ f ' (t ) = 3t 2 + 3 > 0, ∀t ∈ R
2
⇒ hàm số đồng biến /R ⇒ 2 − x =
y
(
)
3
(
)
* (1) ⇔ y 3 2 + x − 10 + 3x + 8 2 + x − 12 = 0
2
2
⇔ 3 2 + x − 10 + 3 x + 4. . 2 + x − 6. = 0
y
y
⇔ 3 2 + x − 10 + 3 x + 4 2 − x . 2 + x − 6 2 − x = 0
(
)
⇔ 3 2 + x − 2 2 − x + 4 4 − x 2 + 3 x − 10 = 0
+ Đặt t =
(
2 + x − 2 2 − x ⇒ t 2 = 10 − 3 x − 4 4 − x 2 = − 4 4 − x 2 − 3 x − 10
t = 0
6
⇒ 3t − t 2 = 0 ⇔
⇒x= ⇒ y= 5
5
t = 3
- Với t = 3 ⇒ 2 + x − 2 2 − x = 3 ⇔ 2 + x = 3 + 2 2 − x
)
⇔ 15 x − 15 = 12 2 − x ⇔ 5 x − 5 = 4 2 − x ... phương trình vô nghiệm
x 3 − 6x 2 + 13x = y3 + y + 10 (1)
Bài 17: Giải hệ phương trình:
3
2
2x + y + 5 − 3 − x − y = x − 3x − 10y + 6 (2)
Phân tích và hướng dẫn
+ Từ (1) ⇔ (x − 2)3 + (x − 2) = y 3 + y
- Xét hàm số f (t ) = t 3 + t ⇒ f ' (t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ R
⇒ f (t ) đồng biến ⇔ x − 2 = y thay vào (2)
⇒ 2 x + x − 2 + 5 − 3 − x − ( x − 2 ) = x 3 − 3x 2 − 10( x − 2) + 6
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
11
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
⇔ 3 x + 3 − 5 − 2 x = x 3 − 3 x 2 − 10 x + 26; − 1 ≤ x ≤
5
2
3
1
5
+
> 0, đồng biến / − 1;
2
2 3x + 3
5 − 2x
3 + 39
5
∉ − 1;
x1 =
3
2
* g ' ( x) = 3x 2 − 6 x − 10; g ' ( x) = 0 ⇔
3 − 39
5
x2 =
∉ − 1;
3
2
⇒ g ( x ) nghịch biến ⇒ x = 2 là nghiệm duy nhất của (*)
⇒ Đáp số: x = 2; y = 0
* f '(x) =
Bài 18: Giải phương trình: (x + 1) x + 2 + (x + 6) x + 7 = x 2 + 7 x + 12
Phân tích và hướng dẫn
* Điều kiện: x ≥ −2
* Nhẩm được nghiệm x = 2 ⇒ nhân tử chung là x - 2
+ Phương trình đã cho:
(
)
(
)
⇔ ( x + 1) x + 2 − 2 + ( x + 6 ) x + 7 − 3 = x 2 + 7 x + 12 − 2( x + 1) − 3( x + 6 )
( x + 1)( x − 2 ) + ( x + 6 )( x − 2 ) − x − 2 x + 4 = 0
⇔
(
)(
)
x+2 +2
x +7 +3
x+6
x +1
⇔ ( x − 2)
+
− x − 4 = 0 (*)
x +7 +3
x+2 +2
x+2
x+2 +2 ≥0
* Với x ≥ −2 ⇒
x+6 >0
x + 7 + 3
x+2
x+2
x+6
x+6
+ Mà
≤
(do x + 2 + 2 ≥ 2) ;
≤
(do x + 7 + 3 > 2)
2
2
x+2 +2
x+7 +3
x +1
x+6
x+2 x+6
x+6
1
x+2
⇒
+
−x−4=
−
+
−
−
<0
2 x +7 +3
2
x+2 +2
x+7 +3
x+2 +2
x+2 +2
Vậy từ (*) ⇒ x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
x 4y3 + 3y + 5y 2 − x 2 = y 2 ( x 2 + 4y 2 + 8 ) (1)
Bài 19: Giải hệ phương trình
x + 12 − 2x = 2y 2 − 2 y − 4 (2)
(
)
Phân tích và hướng dẫn
x 2 ≤ 5y 2
+ ĐK: 0 < x ≤ 6
y ≥ 0
+ Trước hết quan sát ta thấy phương trình (2) có hình thức đơn giản hơn (1). Tuy rằng (2)
có biến x và y cô lập ở từng vế nhưng ta không thể biến đổi để sử dụng “hàm đại diện”
được. Vì vậy, ta sẽ “mò nghiệm” để tìm quan hệ của x và y. Thật vậy:
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
- Từ (2) ta cho y = 4 ⇒ x + 12 − 2x = 24 , bấm máy ta thấy phương trình này vô nghiệm,
vì vậy ta bỏ qua việc suy luận từ (2)
+ Bây giờ ta chỉ còn cách quay về (1) để “nghiên cứu”. Ta thấy như sau:
(
- Từ (1) ta cho y = 2 ⇒ x ( 38 +
)
- Từ (1) ta cho y = 1 ⇒ x 7 + 5 − x 2 = x 2 + 12 , bấm máy giải phương trình này có x = 2
)
(
)
20 − x 2 = 4 x 2 + 24 , bấm máy giải phương trình có x = 4
Vậy với 2 giá trị ta nhận thấy dự đoán x = 2y ⇔ x − 2y = 0 , điều này khiến ta có
suy luận rằng, nếu biến đổi (1) một cách khéo léo, ta sẽ ép được nhân tử chung là
( x − 2y ) . Bây giờ ta sẽ “ép nhân tử chung” từ (1) như sau:
)
(
(
x 4y3 + 3y + 5y 2 − x 2 = y 2 x 2 + 4y 2 + 8
)
⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y 2 − x 2 = x 2 y 2 + 4y 4 + 8y 2
(
)
)
(
(
− y ) + y ( 4x + 2xy
)
⇔ 2xy3 − 4y 4 + x 5y 2 − x 2 − xy + 4xy + 2xy3 − 8y 2 − x 2 y 2 = 0
⇔ 2y3 ( x − 2y ) + x
⇔ 2y3 ( x − 2y ) −
(
5y 2 − x 2
x ( x − 2y )( x + 2y )
5y 2 − x 2 − y
2
)
− 8y − x 2 y = 0
+ y ( x − 2y )( 4 + xy ) = 0
x ( x + 2y )
⇔ ( x − 2y ) 3y3 −
+ y ( 4 + xy ) = 0
5y 2 − x 2 + y
+ Như vậy ta đã ép được nhân tử chung ( x − 2y ) từ (1), tuy nhiên cái ngoặc vuông
“khổng lồ” gắn kèm kia ta rất khó để chứng minh được nó khác 0. Có lẽ cách làm này
vẫn không khả thi cho lắm.
+ Sau một hồi suy luận mất khá nhiều thời gian và công sức, ta cũng chỉ mới biết được
x = 2y ⇔ x − 2y = 0 . Bây giờ con đường cuối cùng là ta đổi hướng làm theo kiểu “đánh
giá”, chú ý phải “biến đổi ép” để có ( x − 2y ) nhé. Thật vậy, từ (1) ta biến đổi như sau:
)
(
(
x 4y3 + 3y + 5y 2 − x 2 = y 2 x 2 + 4y 2 + 8
)
⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y 2 − x 2 = x 2 y 2 + 4y 4 + 8y 2
⇔ 3xy + x 5y 2 − x 2 − 8y 2 = x 2 y 2 + 4y 4 − 4xy3
(
⇔ 3xy + x 5y 2 − x 2 − 8y 2 = 2y 2 − xy
)
2
(3)
2
+ Nhận thấy ( 2y 2 − xy ) ≥ 0 , vậy từ (3) ⇒ 3xy + x 5y 2 − x 2 − 8y 2 ≥ 0
2
x x
x
⇔ 3 +
5− −8 ≥ 0
y y
y
2
x
x
x
⇔
5 − ≥ 8 − 3 (4)
y
y
y
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
13
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
2
x
x
x
+ Mặt khác, từ ĐK x ≤ 5y ⇔ ≤ 5 ⇔ 0 < ≤ 5 ⇒ 8 − 3 > 0 , vậy BPT (4) có 2 vế
y
y
y
2
2
không âm nên bình phương 2 vế và biến đổi ta được kết quả:
4
2
x
x
x
x
+ 4 − 48 + 64 ≤ 0 , đặt t = ≥ 0
y
y
y
y
2
(
)
⇒ t 4 + 4t 2 − 48t + 64 ≤ 0 ⇔ ( t − 2 ) t 2 + 4t + 16 ≤ 0
2
⇔ ( t − 2 ) ≤ 0 (do t 2 + 4t + 16 > 0, ∀t ≥ 0)
2
⇔ ( t − 2) = 0 ⇔ t = 2 ⇒
x
= 2 ⇔ x = 2y
y
+ Cuối cùng ta đã tìm được hướng làm đúng, bây giờ thì thay x = 2y vào (2) ta có:
2y + 12 − 4y = 2y 2 − 2 y − 4
⇔ 3 − y + y = y2 − y − 2
y 2 − y − 2 ≥ 0 ⇔ y ≥ 2 (do y ≥ 0)
⇔
2
2
2
3 − y + y = y − y − 2 (5)
(
) (
)
+ Từ (5) biến đổi ta được: y 4 − 2y3 − 3y 2 + 4y + 1 = 2 y ( 3 − y ) (6)
+ Phương trình (6) quả thật không dễ gì giải quyết được, nếu bình phương 2 vế tiếp tục,
sẽ được phương trình bậc 8 (ghê gớm quá) nên không ai đi làm thế cả !!!
+ Bây giờ bạn hãy quan sát căn bậc 2 bên phải, ta đoán rằng sẽ tạo ra lượng thích hợp để
nhân liên hợp rồi đoán nhân tử chung, vậy trước hết ta sẽ nghĩ đến việc tạo ra lượng
(
) (y (3 − y ) − 1)
) (
y (3 − y ) −1 ⇒
y (3 − y ) −1 =
− y 2 − 3y + 1
⇒ đoán nhân tử chung là ( y 2 − 3y + 1) .
+ Vậy vấn đề là ta phải ép cho vế trái của (6) có được nhân tử chung là ( y 2 − 3y + 1) :
y 4 − 2y3 − 3y 2 + 4y − 1 = 2
(
)
y (3 − y ) −1
⇔ y 4 + y3 − y 2 − 3y3 − 3y 2 + 3y + y 2 + y − 1 = 2
2
(
)
2
(
) (
2
(
)
2
⇔ y y + y − 1 − 3y y + y − 1 + y + y − 1 =
(
)(
)
⇔ y 2 + y − 1 y 2 − 3y + 1 +
(
)
y (3 − y ) −1
(
)
−2 y 2 − 3y + 1
y (3 − y ) + 1
) =0
2 y 2 − 3y + 1
y (3 − y ) + 1
2
=0
⇔ y 2 − 3y + 1 y 2 + y − 1 +
y
3
−
y
+
1
(
)
2
⇔ y 2 − 3y + 1 = 0 do y 2 + y + 1 +
>0
y (3 − y ) + 1
(
)
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
14
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
3− 5
<2
y =
2
⇔
3+ 5
⇒ x = 3+ 5
y =
2
* Chú ý: Các bạn có thể phân tích đa thức y 4 − 2y3 − 3y 2 + 4y − 1 thành nhân tử với nhân tử
chung là y 2 − 3y + 1 bằng 1 trong 2 cách sau:
- Cách 1: Chia đa thức y 4 − 2y3 − 3y 2 + 4y − 1 cho đa thức y 2 − 3y + 1
- Cách 2: Dùng hệ số bất định y 4 − 2y3 − 3y 2 + 4y − 1 = ( y 2 − 3y + 1)( y 2 + my − 1) ⇒ m ?
Vậy HPT có nghiệm (x; y) = 3 + 5;
3+ 5
2
x 2 + y + 3 = y 2 − 3x + 7 (1)
Bài 20: Giải hệ phương trình
2
2
y − 1 + 2y + 1 = x + x + xy + 3y (2)
Phân tích và hướng dẫn
y 2 ≥ 3x
+ ĐK y ≥ 1
x ≥ 0
+ Ở bài này ta sẽ không xuất phát từ (1), bởi vì có 2 số 3 và 7 rời nhau nên nếu giải
thường sẽ cho nghiệm không phải số nguyên.
+ Xét phương trình (2) để “xử lý” ta thấy:
- Nếu cho y = 1 ⇒ x + x 2 + x = 0 ⇔ x 1 + x x + x = 0 ⇔ x = 0
(
)
- Nếu cho y = 2 ⇒ x + x 2 + 2x = 4 , bấm máy giải phương trình ⇒ x = 1
+ Như vậy đến đây ta dự đoán y = x + 1 ⇔ y − x − 1 = 0 , vậy nhân tử chung dự đoán sẽ là
( y − x − 1) , bây giờ ta tìm cách ép nhân tử chung từ phương trình (2) như sau:
y − 1 + 2y 2 + 1 = x + x 2 + xy + 3y
⇔ y − 1 − x = x 2 + xy + 3y − 2y 2 − 1
⇔
y −1 − x
= x 2 + xy + 3y − 2y 2 − 1 (3)
y −1 + x
+ Ta cần phân tích đa thức ở vế phải của (3) thành nhân tử với nhân tử chung là
( y − x − 1) , công việc này không hề đơn giản. Cách xử lý khéo léo là ta coi VP của (3) là
phương trình bậc 2 ẩn x: x 2 + xy + ( 3y − 2y 2 − 1) = 0
2
- Tính ∆ = y 2 = 4.1. ( 3y − 2y 2 − 1) = ( 3y − 2 ) ≥ 0 , vậy phương trình x 2 + xy + ( 3y − 2y 2 − 1) = 0
có 2 nghiệm là :
− y + 3y − 2
x =
x − y + 1 = 0
2
⇔
⇒ x 2 + xy + 3y − 2y 2 − 1 = ( x − y − 1)( x + 2y − 1)
x + 2y − 1 = 0
x = − y − 3y + 2
2
(
)
- Vậy (3)
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
15
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
⇔
y −1 − x
= ( x − y − 1)( x + 2y − 1)
y −1 + x
1
⇔ ( y − x − 1)
+ x + 2y − 1 = 0
y −1 + x
1
- Ta thấy với ĐK x ≥ 0; y ≥ 1 ⇒
+ x + 2y − 1 > 0 ⇒ y − x − 1 = 0 ⇒ y = x + 1 thay
y −1 + x
vào (1) ta được:
x 2 + x + 1 + 3 = x 2 − x + 1 + 7 (4) , bấm máy thấy phương trình này có nghiệm x = 2 ,
vậy ta sẽ biến đổi để xuất hiện nhân tử chung là ( x − 2 ) : Bình phương 2 vế và biến đổi ta
được:
x − 2 = 7x 2 − 7x + 7 − 3x 2 + 3x + 3
4x 2 − 10x + 4
⇔ x−2=
7x 2 − 7x + 7 + 3x 2 + 3x + 3
2 ( x − 2 )( 2x − 1)
⇔ x−2=
7x 2 − 7x + 7 + 3x 2 + 3x + 3
4x − 2
⇔ ( x − 2 ) 1 −
=0
2
2
7x
−
7x
+
7
+
3x
+
3x
+
3
+ Đến đây mặc dù đã xuất hiện nhân tử chung là ( x − 2 ) , tuy nhiên đại lượng trong dấu
ta không thể chứng minh cho nó ≠ 0 ,
7x − 7x + 7 + 3x + 3x + 3
4x − 2
hơn nữa nếu xét phương trình 1 −
= 0 thì việc giải phương
7x 2 − 7x + 7 + 3x 2 + 3x + 3
4x − 2
ngoặc thứ hai là 1 −
2
2
trình này là rất khó.
+ Bây giờ ta phải quay trở về phương trình (4) để đổi hướng làm bài như sau:
x 2 + x + 1 + 3 = x 2 − x + 1 + 7 (4) ⇔ x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = 7 − 3 (5)
+ Ý tưởng làm bài lúc này là ta sẽ chứng minh cho VT của (5) là hàm đơn điệu để suy ra
x = 2 là nghiệm duy nhất của (5).
- Xét hàm số :
f (x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 ⇒ f '(x) =
2x + 1
⇔ f '(x) =
( 2x + 1)
- Xét hàm số f (t) =
t
t2 + 3
2
2
2 x + x +1
−
2x − 1
2 x2 − x +1
2x − 1
−
+3
2x + 1
( 2x − 1)
2
+3
3
, t ∈ R ⇒ f '(t) =
(t
2
+3
)
2
> 0, ∀t ⇒ f (t) là hàm đồng biến
- Mặt khác ta có 2x + 1 > 2x − 1 ⇒ g(2x + 1) > g(2x − 1) ⇒
2x + 1
( 2x + 1)
2
>
+3
2x − 1
( 2x − 1)
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
2
+3
16
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
2x + 1
⇒ f '(x) =
2x − 1
−
2
> 0 ⇒ f (x) là hàm đồng biến.
2
( 2x + 1) + 3
( 2x − 1) + 3
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của (5). KL: (x; y) = (2;3)
x 4 + x 3 − x 2 + 1 = x ( y − 1)3 + 1 (1)
Bài 21: Giải hệ phương trình
3
3
2
2
4
2
3
3
x − y + 2 x + x + y = 2y y − 1 x + x (2)
(
)
Phân tích và hướng dẫn
x3 − x 2 + 1 ≥ 0
+ ĐK:
y ≥ 1
+ Ở bài này đối với phương trình (1) trong căn là đa thức có 3 hạng tử nên ta loại trừ PP
nhân lượng liên hợp, vậy ta xuất phát từ (2) để biến đổi mấy căn rắc rối kia xem hình
dạng biểu thức thu được ra sao nhé !
+ Từ (2) ta biến đổi:
(
x 2 − y 2 + 2 3 x 4 + 3 x 2 + y3 = 2y y − 1 x + 3 x
⇔ x 2 + 2x. 3 x +
(
⇔ (x +
⇔ x+3
3
)
( x ) − 2y y − 1 ( x + x ) + y − y = 0
x ) − 2y y − 1 ( x + x ) + ( y y − 1 ) = 0
x − y y −1) = 0
2
3
3
3
2
2
3
2
⇔ x + 3 x − y y −1 = 0
( x)
⇔( x)
3
⇔
3
3
3
+ 3 x = ( y − 1 + 1) . y − 1
+3x=
(
)
3
y − 1 + y − 1 (3)
+ Như vậy sau khi biến đổi (2) thì kết quả thu được tự nhiên rất tốt, do đó đây là điều hết
sức may mắn và ngẫu nhiên.
+ Đến đây ta xét hàm số f (t) = t 3 + t ⇒ f '(t) = 3t 2 + 1 > 0 ⇒ f (t) là hàm đồng biến
Vậy từ (3) ⇒ f
( x)=f (
3
)
3
y − 1 ⇒ 3 x = y − 1 ⇒ ( y − 1) = x 2 thay vào (1) ta được:
x 4 + x3 − x 2 + 1 = x3 + 1
⇔
(
)
x3 − x 2 + 1 − x 4
⇔
(
)
x3 − x 2 + 1 − x 2 + x 4 − x3 + x 2 −1 = 0
3
2
x − x +1 + x
2
(
)
+ x 4 − x3 + x 2 −1 = 0
1
⇔ x 4 − x 3 + x 2 − 1 1 −
=0
x3 − x 2 + 1 + x 2
(
)
x 4 − x3 + x 2 −1 = 0
⇔
x 3 − x 2 + 1 + x 2 = 1
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
17
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
x = 1
2
⇔ 1 − x ≥ 0
3
2
2
x − x + 1 = 1 − x
KL: HPT có nghiệm (x; y) = (1; 2), (0;1)
(
)
2
x = 1 ⇒ y = 2
⇔
x = 0 ⇒ y = 1
3x 2 + 3y 2 + 8 = ( y − x ) ( y 2 + xy + x 2 + 6 ) (1)
Bài 22: Giải hệ phương trình
( x + y − 13) 3y − 14 − x + 1 = 5 (2)
(
)
Phân tích và hướng dẫn
x ≥ −1
+ ĐK: 14
y ≥ 3
+ Quan sát phương trình (1), nếu ta thực hiện mở dấu ngoặc và chuyển vế thì sẽ cô lập
được x và y sang từng vế, thật vậy:
(
3x 2 + 3y 2 + 8 = ( y − x ) y 2 + xy + x 2 + 6
)
⇔ 3x 2 + 3y 2 + 8 = ( y − x ) y 2 + xy + x 2 + 6
⇔ 3x 2 + 3y 2 + 8 = y3 − x 3 + 6 ( y − x )
(
)
⇔ x 3 + 3x 2 + 6x + 8 = y3 − 3y 2 + 6y (3)
+ Ở phương trình (3) đã cô lập x và y sang từng vế, mặt khác mỗi vế đều có dạng đa thức
bậc ba, với hình thức phương trình kiểu này, ta thường nghĩ đến phương pháp sử dụng
“hàm đại diện”.
x 3 + 3x 2 + 6x + 8 = y3 − 3y 2 + 6y
3
3
⇔ ( x + 1) + 3 ( x + 1) = ( y − 1) + 3 ( y − 1) (4)
+ Đến đây ổn rồi, xét hàm số f (t) = t 3 + 3t ⇒ f '(t) = 3t 2 + 3 > 0 ⇒ f (t) là hàm đồng biến
Vậy từ (4) ⇒ f (x + 1) = f (y − 1) ⇔ x + 1 = y − 1 ⇔ y = x + 2 thay vào (2) ta được:
( 2x − 11) (
)
3x − 8 − x + 1 = 5 ⇔ 3x − 8 − x + 1 =
⇔ 3x − 8 − x + 1 −
5
2x − 11
5
8
11
=0 (5); ≤ x ≠
2x − 11
3
2
+ Ở phương trình (5) ta nhẩm thấy (hoặc dùng máy tính) phương trình có 2 nghiệm
x = 3; x = 8 , tuy nhiên việc giải phương trình (5) là rất khó. Trong trường hợp này ta sẽ
dùng phương pháp đồ thị để chứng tỏ phương trình (5) chỉ có đúng 2 nghiệm x = 3; x = 8 .
5
8
11
; ≤x≠
2x − 11 3
2
3
1
10
⇒ f '(x) =
−
+
2
2 3x − 8 2 x + 1 ( 2x − 1)
+ Xét hàm số f (x) = 3x − 8 − x + 1 −
⇔ f '(x) =
3 x + 1 − 3x − 8
10
8
11
+
> 0, ∀x ≥ ; x ≠
2
3
2
2 3x − 8. x + 1 ( 2x − 1)
+ Ta có bảng biến thiên sau:
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
18
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
x
8
11
3
2
+∞
+
f'(x)
+
f(x)
+ Từ BBT ta thấy hàm số f(x) cắt Ox tại tối đa 2 điểm, vậy phương trình (5) chỉ có 2
nghiệm x = 3; x = 8
KL: HPT có nghiệm là (x; y) = (3;5); (8;10)
Nhận xét: Nếu ta giải phương trình ( 2x − 11)
(
)
3x − 8 − x + 1 = 5 bằng phương pháp
nhân liên hợp thì ta sẽ biến đổi như sau:
( 2x − 11) (
)
3x − 8 − x + 1 = 5
⇔ ( 2x − 11)
⇔
(
)
3x − 8 − 1 − ( 2x − 11)
(
)
x + 1 − 2 − 2 ( x − 3) = 0
( 2x − 11) .3 ( x − 3) ( 2x − 11) . ( x − 3)
(
)
3x − 8 + 1
−
(
3 2x − 11
(
)
⇔ ( x − 3)
−
3x − 8 + 1
(
x +1 + 2
)
− 2 ( x − 3) = 0
− 2 = 0
x +1 + 2
( 2x − 11)
) (
)
+ Tuy nhiên đến đây ta gặp khó khăn khi lý luận cho phương trình ở dấu ngoặc vuông kia
có nghiệm duy nhất x = 8
3 2x − 11
)
(
−
3x − 8 + 1
(
) (
− 2 = 0
x +1 + 2
( 2x − 11)
)
y + y2 + 5
6 ln
= ( x − y ) x 2 + xy + y 2 − 1 (1)
x + x2 + 5
Bài 23: Giải hệ phương trình
4
3
2
4y − 6y + 2 3 − 4x − = 0 (2)
4
(
)
Phân tích và hướng dẫn
+ ĐK: 0 < x ≤
3
4
+ Nhận thấy (1) có dạng đặc biệt nên biến đổi (1) ta được:
(
⇔ 6 ln ( y +
+ Xét hàm số f (t) = 6 ln ( t +
) (
)
y + 5 ) + y − 2y = 6 ln ( x + x + 5 ) + x − 2x (3)
6
t + 5 ) + t − 2t, t ∈ R ⇒ f '(t) =
+ 3t − 2
t +5
⇔ 6 ln y + y 2 + 5 − 6 ln x + x 2 + 5 = x 3 − y3 − 2x + 2y
2
3
2
3
2
3
2
2
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
19
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
.PDF 
88 
256 
146 
