Tài liệu Bài toán cực trị, r,l,c,f thay đổi

http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] CHỦ ĐỀ 4: MẠCH CÓ R, L, C, w, f THAY ĐỔI PHƯƠNG PHÁP CHUNG Viết biểu thức đại lượng cần xét cực trị (I, P, UL, UC) theo đại lượng cần tìm (R, L, C, ω). + Xét điều kiện cộng hưởng: nếu trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng thì lập luận để suy ra đại lượng cần tìm. + Nếu không có cộng hưởng thì biến đổi biểu thức để đưa về dạng của bất đẳng thức Côsi hoặc dạng của tam thức bậc hai có chứa biến số để tìm cực trị. Sau khi giải các bài tập loại này ta có thể rút ra một số công thức sau để sử dụng khi cần giải nhanh các câu trắc nghiệm dạng này: BÀI TOÁN 1: ĐOẠN MẠCH R,L,C CÓ R THAY ĐỔI (đã gặp ở bài toán Công suất nay ôn lại, xếp vô đây cho đủ bộ) PHƯƠNG PHÁP Biện luận công suất theo R: ( Tìm R để PMax, tìm PMax ) TH cuộn dây thuần cảm Ta có: P = RI 2 = RU 2 RU 2 U2 . = = Z2 R 2 + ( Z L − ZC )2 R + ( Z L − ZC ) R Ta có: U = const. Do đó PMax khi mẫu số Min, ta có: Đặt: y = R + (Z L − Z C ) 2 R (Z L − Z C ) 2 (Z L − Z C ) 2 Áp dụng bất đẳng thức côsi : y = R + ≥ 2. R. = 2 Z L − ZC . R R ( Z L − Z C )2 U2 U2 Với R = ⇒ R = Z L − Z C Vậy ta có: PMax = = R 2 Z L − zC 2 R *KẾT LUẬN: Khi R = Z L − Z C Lúc này PMax = U2 U2 = 2 Z L − ZC 2R - Tổng trở Z = Zmin = R 2 - Cường độ dòng điện trong mạch Imax = - Hệ số công suất cos ϕ = U R 2 2 2 * Khi R=R1 hoặc R=R2 thì P có cùng giá trị. Ta có Và khi R = R1 R2 thì PMax = R1 + R2 = U2 2 R1 R2 U2 ; R1 R2 = ( Z L − Z C )2 P * Trường hợp cuộn dây có điện trở R0 U2 U2 = 2 Z L − Z C 2( R + R0 ) Khi R = Z L − Z C − R0 ⇒ PMax = Khi R = R02 + ( Z L − Z C )2 ⇒ PRMax = ( Rmin =0) U2 2 R02 + ( Z L − Z C )2 + 2 R0 = U2 2( R + R0 ) Chú ý: R Thay đổi để URmax khi R=∞. DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 1 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VÍ DỤ MINH HỌA VD1: Cho mạch xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp. U = 120 2 . cos(100π .t )(V ) ; L = 1 4.10 −4 (H ) ; C = ( F ) . R là một biến trở. Thay đổi giá trị của R 10π π sao cho công suất mạch lớn nhất. Tìm R và Công suất lúc này? A. R = 15(Ω); P = 480(W ) B. R = 25(Ω); P = 400(W ) C. R = 35(Ω); P = 420(W ) D. R = 45(Ω); P = 480(W ) HD: Z L = 10(Ω) ; Z C = 25(Ω) Công suất toàn mạch : P = I 2 .R = Đặt: y = R + U2 U2 . R = .R = Z2 ( R 2 + (Z L − Z C ) 2 U2 (Z − Z C ) 2 R+ L R (Z L − Z C ) 2 R (Z L − Z C ) 2 (Z − Z C ) 2 ≥ 2. R. L = 2 Z L − ZC . R R Dấu bằng xảy ra khi a=b => R = Z L − Z C = 10 − 25 = 15(Ω) Áp dụng bất đẳng thức côsi : y = R + Và công suất cực đại lúc này: Pmax = U2 U2 U 2 120 2 = = = = 480(W ) => ĐÁP ÁN A R 2 Z L − ZC 2 R 2.15 VD2: Cho đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh, cuộn dây có điện trở r = 15(Ω) , độ tự cảm 1 ( H ) Và một biến trở R mắc như hình vẽ. Hiệu điện thế hai đầu mạch là : 5π r, R U = 80. cos(100π .t )(V ) . . L L= Thay đổi biến trở tới R= ? thì công suất toàn mạch đạt giá trị cực đại bằng? A. 80(W) B. 200(W) C. 240(W) D. 50(W) HD: Ta có công suất toàn mạch: P = I 2 .(r + R ) = U2 U2 r R .( + ) = .(r + R ) = Z2 ((r + R) 2 + ( Z L ) 2 U2 2 Z (r + R) + L r + R (1) 2 2 2 Z Z Z y = r + R + L ≥ 2. (r + R). L = 2.Z L y =r+R+ L r+R r+R r + R Áp dụng bất đẳng thức cosi: Đặt . r + R = Z → R = Z − r = 20 − 15 = 5 ( Ω ) L L khi a=b . Hay: Pmax = U2 ( 40 2 ) 2 = = 80(W ) 2( r + R ) 2 2(15 + 5) VD3: Cho đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh, cuộn dây có điện trở r = 15(Ω) , độ tự cảm 1 ( H ) Và một biến trở R mắc như hình vẽ. Hiệu điện thế hai đầu mạch là : 5π r, R U = 80. cos(100π .t )(V ) . . L L= Thay đổi biến trở tới R = ? để công suất trên biến trở đạt giá trị cực đại. A. 25(Ω) B. 15(Ω) C. 80(Ω) D. 50(Ω) DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 2 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] HD: Công suất tỏa nhiệt trên biến trở R là : P = I 2 .R = U2 U2 U2 U2 .R = .R = = 2 2 2 2 2 2 Z (( r + R ) + ( Z L ) (r + R ) + Z L r + 2 r .R + R 2 + Z 2 L R R 2 Đặt y= 2 r .R + R 2 + ( r 2 + Z L ) R 2 BĐT Côsi: R+ r +Z R 2 L ≥2 => y = 2r + R + r 2 + Z 2L R . R.Z 2 L . = 2.Z L R Để Pmax => R = r 2 + Z L2 =25 Ω VD4 (CĐ 2010). Đặt điện áp u = 200cos100πt (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm 1 π H. Điều chỉnh biến trở để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt cực đại, khi đó cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch bằng A. 1 A. HD. B. 2 A. C. 2 A. D. 2 A. 2 Để P = Pmax thì R = |ZL – ZC| = ZL = ωL = 100 Ω; Z = R 2 + Z L2 = 100 2 Ω; I = U0 Z 2 = 1 A. Đáp án A. VD5 (CĐ 2011). Đặt điện áp u = U0cosωt; (U0 và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch xoay chiều nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần L và tụ điện có điện dung C điều chỉnh được. Khi dung kháng là 100 Ω thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt cực đại là 100 W. Khi dung kháng là 200 Ω thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện là 100 2 V. Giá trị của điện trở thuần R là A. 100 Ω. B. 150 Ω. C. 160 Ω D. 120 Ω. HD. Công suất đạt giá trị cực đại khi ZL = ZC = 100 Ω; khi đó P = U2 R UC 2 = A. ZC 2 1 1 100R = R2 + .1002 2 2 U2 = P.R; Khi ZC = 200 Ω = 2ZL thì I = U2 = P.R = I2R2 + I2(ZL – ZC)2 R2 – 200R + 1002 = 0 R = 100 Ω. => Đáp án A. VD6 (ĐH 2010). Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C. Gọi điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện, giữa hai đầu biến trở và hệ số công suất của đoạn mạch khi biến trở có giá trị R1 lần lượt là UC1, UR1 và cosφ1; khi biến trở có giá trị R2 thì các giá trị tương ứng nói trên là UC2, UR2 và cosφ2. Biết UC1 = 2UC2, UR2 = 2UR1. Giá trị của cosφ1 và cosφ2 là 1 1 , cosϕ2 = . 5 3 1 2 C. cosϕ1 = , cosϕ2 = . 5 5 A. cosϕ1 = DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU 2 1 , cosϕ2 = . 3 5 1 1 D. cosϕ1 = , cosϕ2 = . 2 2 2 B. cosϕ1 = CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 3 http://lophocthem.com HD. UC1 = 2UC2 Z2 = 2Z1; UR2 = 2UR1 Phone: 01689.996.187 R2 R =2 1 Z2 Z1 [email protected] R2 R =2 1 2 Z1 Z1 R2 = 4R1; Z2 = R22 + Z C2 = 2Z1 = 2 R12 + Z C2 R 22 + Z C2 = 4R 12 + 4Z C2 16R 12 + Z C2 = 4R 12 + 4Z C2 ZC = 2R1 = 1 R2 2 Z1 = R12 + Z C2 = 3 R1; Z2 = R22 + Z C2 = cosϕ1 = 5 R2 2 R1 R 1 2 = ; cosϕ2 = 2 = . => Đáp án B. Z1 Z2 3 5 VD7:Một mạch điện R, L, C nối tiếp R - là một biến trở. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều . Tại 2 giá trị R1 = 18Ω và R2 = 32Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau. Tìm công suất P đó HD: Ta có P1 = P2 thay số => VD8: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, có R là biến trở. Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế xoay chiều có biểu thức u = 120 2 cos(120π t ) V. Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở :R1=18 Ω ,R2=32 Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mach như nhau. Công suất của đoạn mạch có thể nhận giá trị nào sau đây: A.144W B.288W HD: Áp dụng viét : R1 R2 = ( Z L − ZC ) P= C.576W 2 D.282W ⇒ Z L − Z C = R1 R2 = 24Ω U2 U2 R = R2 = 288W 1 R1 2 + ( Z L − ZC ) 2 R2 2 + ( Z L − ZC ) 2 Vậy => CHỌN B . VD9: Cho mạch điện RLC nối tiếp, trong đó cuộn L thuần cảm, R là biến trở .Hiệu điện thế hiệu dụng U=200V, f=50Hz, biết ZL = 2ZC,điều chỉnh R để công suất của hệ đạt giá trị lớn nhất thì dòng điện trong mạch có giá trị là I= . Giá trị của C, L là: 1 2 m H A. 10π F và π DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU 3 4 H B. 10π mF và π 1 2 mH C. 10π F và π 1 4 H D. 10π mF và π CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 4 http://lophocthem.com P= HD : P = UI hay U2 = Z R 2 + ( Z L − Z C )2 R = Z L − ZC Khi đó, tổng trở của mạch là ⇔ 1 ZCω = Z= hay R = Z C ( doZ L = 2 Z C ) U = 100 2(Ω) I .Hay 1 mF 10π ; R 2 + ( Z L − Z C )2 = 100 2 Z L = 2 ZC = 200Ω ⇒ L = ZL ω = 2 π H VD10. Cho mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn thuần cảm L = 10 −4 π [email protected] U2 Vậy P max khi và chỉ khi: Z C = 100Ω ⇒ C = Phone: 01689.996.187 1 H, tụ điện C = 2π F mắc nối tiếp với nhau. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều u = 220 2 cos100πt (V). Xác định điện trở của biến trở để công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó. HD: Ta có: ZL = ωL = 50 Ω; ZC = 1 U 2R U 2R = 100 Ω; P = I2R = 2 = 2 = Z R + ( Z L − Z C )2 ωC U2 . Vì (Z L − ZC )2 R+ R ( Z L − Z C )2 U, ZL và ZC không đổi=> để P = Pmax dùng Côsi cho mẫu =>R = R 2 U R = |ZL – ZC| = 50 Ω. => Pmax = = 484 W. 2R VD11. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó cuộn dây có điện trở thuần r = 90 Ω, có độ tự cảm L = 1,2 π H, R là một biến trở. Đặt vào giữa hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều ổn định uAB = 200 2 cos100πt (V). Định giá trị của biến trở R để công suất toả nhiệt trên biến trở đạt giá trị cực đại. Tính công suất cực đại đó. HD: Ta có: ZL = ωL = 120 Ω; PR = I2R = => PR = PRmax khi: R = U2 ; Vì U, r và ZL không đổi r 2 + Z L2 R + 2r + R U2 R = r 2 + Z L2 = 150 Ω. Khi đó: PRmax = = 2( R + r ) U 2R = ( R + r ) 2 + Z L2 r 2 + Z L2 (theo bđt Côsi) R 83,3 W. DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 5 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] BÀI TOÁN 2: BIỆN LUẬN L THAY ĐỔI PHƯƠNG PHÁP Biện luận công suất theo L để PMax, tìm PMax I,UR,UC,URC đạt giá trị cực đại P = RI 2 = RU 2 RU 2 = Z2 R 2 + ( Z L − ZC )2 - Ta có: U = const, R = const. Do đó PMax 1 ωC mẫu số Min. => Z L − Z C = 0 ⇔ Z L = ZC ⇔ ω.L = 1 ( Hiện tượng cộng hưởng điện) ω .C U2 Vậy công suất Max: PMax = R 2 U R ; L → ∞ ⇒ ZL → ∞ ⇒ P → 0 L = 0 ⇒ ZL = 0 ⇒ P = 2 R + Z C2 => L = 2 Tìm L để ULmax ( bài toán quan trọng thường gặp) - Vẽ giản đồ véc tơ, lấy trục dòng điện làm gốc, các véc tơ chỉ các giá trị hiệu dụng. Ta có: U = U R + U L + U C = U RC + U L U Lmax - Áp dụng định lí hàm sin trong tam giác U AB OA OB UL U = = ⇔ = = RC sin β sin B sin A sin β sin B sin A A U + Tìm UL max: ⇒ U L = sin β U sin B Ta có: U = const, sinB = UR = U RC R 2 R + Z C2 = const. O π U R 2 + Z C2 2 R UL max khi sin β đạt giá trị max ⇒ sin β = 1( β = ) ⇒ U L (max) = UR B I U RC + Tìm L: U L = sin β ⇒ UL = U RC . Vì tam giác ABO vuông ở O nên sinA = CosB = sin A U RC ZC R 2 + Z C2 ⇔ Z L = * Kết luận: L= và Khi Z L = 2 2 2 2 2 2 U LM ax = U + U R + U C ; U LMax − U CU LMax − U = 0 và R 2 + Z C2 U R 2 + Z C2 thì U LMax = ZC R U 2L max = U 2 + U 2RC = U 2 + U 2R + U C2 U L max .U R = U.U RC và 1 1 1 = 2+ 2 2 UR U URC Với L = L1 hoặc L = L2 thì UL có cùng giá trị thì ULmax khi Z C + 4 R 2 + Z C2 2 DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU R + Z C2 R 2 + Z C2 R 2 + Z C2 ⇒ L= = C ( R 2 + Z C2 ) 1 ZC ω ωC 1 thì IMax ; URmax; PMax còn ULCMin ω 2C Khi Z L = ZC 2 1 1 1 1 2 L1 L 2 = ( + ) ⇒ L = ZL 2 Z L1 Z L2 L1 + L 2 2UR thì U RLMax = 4 R 2 + Z 2 − Z C C CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 6 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VÍ DỤ MINH HỌA VD1: Cho mạch như hình vẽ. Cuộn dây thuần cảm và có độ tự cảm L thay đổi được. Hiệu điện thế hiệu dụng 2 đầu AB là không đổi, f=60(Hz). R = 40(Ω) ; C = 10 −3 ( F ) . Điều chỉnh L sao cho 6π U L đạt giá trị cực đại . Độ tự cảm của L lúc này là: A. 0,0955(H) HD B. 0,127(H) Khi L thay đổi để U LMax C. 0,217(H) D. 0,233(H) R 2 + Z 2 C 40 2 + 50 2 => Z L = = = 82(Ω) => L=0,217(H) => đáp án C ZC 50 10−4 VD2: cho mạch R,L,C nối tiếp có C = π ; R = 100Ω ; u = U 2 cos100π t (V)L thay đổi, khi L = Lo thì Pmax = 484W a. Tính Lo = ? ,tính U = ? b. Viết biểu thức i. HD: Do L biến đổi Pmax trong mạch có cộng hưởng do đó ZL 0 = ZC, 1 1 1 ω 2 LoC = 1 ⇒ Lo = 2 = = (H) −4 2 10 ωC π (100π ) . π 2 Công suất cực đại Pmax = U ⇒ U = Pmax .R = 484.100 = 220 (V) R b. Vì xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện nên i và u cùng pha ⇒ ϕu = ϕi = 0 U 220 2 Ta có: Io = o = = 3,11 (A) R 100 Vậy biểu thức i = 3,11cos100π t (A). VD3: Hiệu điện thế hai đầu mạch là: U AB = 120. cos(ωt )(V ) ( ω không đổi) R = 100(Ω) , cuộng dây có độ tự cảm L thay đổi được và điện trở r = 20(Ω) , tụ có dung kháng : Z C = 50(Ω) . Điều chỉnh L r R C B L để U L đạt giá trị cực đại . Gía trị của U L. max là? A A. 65(V) B. 80(V) C. 91,9(V) D.130(V) HD: U L = I .Z L = = U AB ,ZL = Z AB U AB (R + r) + Z 2 L − 2 Z L .Z C + Z 2 C Z 2L [ Nhận xét: (1) đạt giá trị cực đại khi ymin DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU 2 .Z L = U AB ( R + r ) + (Z L − Z C ) 2 Z 2L U AB U AB = = (1) 1 1 y(Z L ) 2 2 1 − 2.Z C . + (R + r) + Z C . 2 ZL Z L (R + r ) + (Z L − Z C ) U AB 2 2 Đặt X = 2 ] 1 >0 ZL 2 2 2 => y ( X ) = [( R + r ) + Z C ]. X − 2 Z C . X + 1 CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 7 http://lophocthem.com Ymin tại x = -b/2a => X = ZC (R + r) 2 + Z 2C Thay : Phone: 01689.996.187 X = [email protected] 1 >0 ZL ZC 1 ( R + r ) 2 + Z 2 C 120 2 + 50 2 = ↔ Z = = = 338(Ω) L 2 2 Z Z 50 ( R + r ) + Z C L C ta có : U U AB 60 2 U L = I .Z L = AB .Z L = .Z L = .338 = 91,9(V ) 2 2 2 Z AB (R + r ) + (Z L − Z C ) 120 + (338 − 50) 2 => đáp án C VD4 (CĐ 2012). Đặt điện áp u = U0cos(ωt + ϕ) (U0 và ϕ không đổi) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần, tụ điện và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Khi L = L1 hoặc L = L2 thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mặt bằng nhau. Để cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch giá trị cực đại thì L bằng A. 1 ( L1 + L2 ) . 2 B. L1 L2 . L1 + L2 C. 2L1 L2 . L1 + L2 D. 2(L1 + L2). 1 2 1 2 ) = R2 + (ωL2 ); ωC ωC 1 1 2 vì L1 ≠ L2 ωL1 = - (ωL2 ) L1 + L2 = 2 ; ωC ωC ω C 1 1 1 để I = Imax thì ZL = ZC hay ωL = L = 2 = (L1 + L2). ωC ω C 2 HD. I1 = I2 Z1 = Z2 R2 + (ωL1 - VD5: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là . Các giá trị . Tìm L để: a. Mạch có công suất cực đại. Tính Pmax b. Mạch có công suất P = 80W c. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. HD: Tính a. Công suất của mạch P = I2.R. Do R không đổi nên: Khi đó b. Từ đó ta tìm được hai giá trị của L thỏa mãn đề bài là c. Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại khi Giá trị cực đại DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi . 8 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] BÀI TOÁN 3: BIỆN LUẬN KHI C THAY ĐỔI Phương pháp: Biện luận công suất theo C: ( Tìm C để PMax, tìm PMax ) RU 2 RU 2 = Z2 R 2 + ( Z L − ZC )2 - - ADCT: P = RI 2 = - Ta có: U = const, R = const. Do đó PMax khi và chỉ khi mẫu số Min. Vậy ta có: Z L − Z C = 0 ⇔ Z L = ZC ⇔ ω.L = 1 ωC 1 ( Hiện tượng cộng hưởng điện xảy ra) ω 2 .L U2 Vậy công suất Max: PMax = R ⇒ C= - Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất vào C. C = 0 ⇒ Z C → ∞ ⇒ P = 0 ; C → ∞ ⇒ ZC = 0 ⇒ P = U 2R R 2 + Z L2 1 KẾT LUẬN: C = ω 2 L => cộng hưởng điện IMax ; URmax; PMax còn ULCMin Biện luận điện áp theo C: - Vẽ giản đồ véc tơ, lấy trục dòng điện làm gốc, các véc tơ chỉ các giá trị hiệu dụng. Ta có: U = U R + U L + U C = U C + U RL U RL - Áp dụng định lí hàm sin trong tam giác ABO. UL A UC AB OA OB U U RL = = ⇔ = = UC sin β sin B sin A sin β sin A sin B + Tìm UC max: ⇒ U C = sin β U U sin A Ta có: U = const, sinA= UC UR O UR = U RL R 2 R + Z L2 B = const. Vậy U R 2 + Z L2 π max khi sin β đạt giá trị max ⇒ sin β = 1( β = ) ⇒ U C (max) = R 2 + Tìm C: U C = sin β ⇒ UC = U RL ZL U RL sin B . Vì tam giác ABO vuông ở O nên sinB = CosA = R 2 + Z L2 ⇔ Z C = ZL 2 R + Z L2 R 2 + Z L2 1 R 2 + Z L2 L ⇒ = ⇒C = 2 ZL ωC ωL R + Z L2 * KẾT LUẬN: R 2 + Z L2 U R 2 + Z L2 2 2 2 2 2 2 thì U CMax = và U CMax = U + U R + U L ; U CMax − U LU CMax − U = 0 ZL R C1 + C2 1 1 1 1 Khi C = C1 hoặc C = C2 thì UC có cùng giá trị thì UCmax khi Z = 2 ( Z + Z ) ⇒ C = 2 C C1 C2 ZC = 2UR Z L + 4 R 2 + Z L2 Khi ZC = thì U RCMax = 4 R 2 + Z 2 − Z 2 L L DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 9 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VÍ DỤ MINH HỌA VD1 (TN 2012). Đặt điện áp u = U0cos100πt (U0) không đổi) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần 50 Ω cuộn cảm thuần có độ tự cảm 0,318 H và tụ điện có điện dung thay đổi được. Để cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch đạt giá trị cực đại thì phải điều chỉnh điện dung của tụ điện tới giá trị bằng A. 31,86 µF. B. 63,72 µF. C. 47,74 µF. D. 42,48 µF. HD Để I = Imax (có cộng hưởng điện) thì ZC = ZL = ωL = 99,9 Ω C= 1 = 31,86.10-6 F. => Đáp án A. ωZ C VD2(ĐH 2011). Đặt điện áp xoay chiều u = U 2 cos100π t vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại thì thấy giá trị cực đại đó bằng 100 V và điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện bằng 36 V. Giá trị của U là A. 80 V. B. 136 V. C. 64 V. D. 48 V. 2 2 C 2 2 2 HD. UL – UC = 64 V U R = U – (UL – U ) = U – 64 . Điều chỉnh L để UL = ULmax; Khi đó U 2L max = U2 + U 2R + U C2 = U2 + U2 – 642 + U C2 U= U L2 max + 64 2 − U C2 = 80 V. Đáp án A. 2 VD3 (ĐH 2010). Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi, tần số 50 Hz vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần L và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Điều chỉnh điện dung C đến giá trị 10 −4 10 −4 F hoặc F thì công suất tiêu thụ trên 4π 2π đoạn mạch đều có giá trị bằng nhau. Giá trị của L bằng A. HD. 1 H. 3π B. ZC1 = 1 H. 2π C. 3 π H. D. 2 π H. 1 1 = 400 Ω; ZC2 = = 200 Ω. 2πfC1 2πfC 2 Vì R và f không đổi nên để P1 = P2 thì Z1 = Z2 ZL - ZC1 = - (ZL - ZC2) 2ZL = ZC1 + ZC2 = 600 Ω ZL = 300 Ω L= ZL 3 = H. Đáp án C. π 2πf VD4 (ĐH 2009). Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 120 V, tần số 50 Hz vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần 30 Ω, cuộn cảm thuần có độ tự cảm 0,4 π H và tụ điện có điện dung thay đổi được. Điều chỉnh điện dung của tụ điện thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại bằng A. 150 V. B. 160 V. C. 100 V. D. 250 V. HD. UL = ULmax khi có cộng hưởng điện. Khi đó I = Imax = U = 4 A; R ULmax = Imax2πfL = 160 V. Đáp án B. DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 10 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VD5 (ĐH 2011). Đặt điện áp xoay chiều u = U 2 cos100πt (U không đổi, t tính bằng s) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm 1 H và tụ 5π điện có điện dung C thay đổi được. Điều chỉnh điện dung của tụ điện để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt giá trị cực đại. Giá trị cực đại đó bằng U 3 . Điện trở R bằng A. 10 Ω. B. 20 2 Ω. C. 10 2 Ω. D. 20 Ω. HD. ZL = ωL = 20 Ω; UCmax = R 2 + Z L2 R = 3 ZL R= 2 U R 2 + Z L2 =U 3 R = 10 2 Ω. Đáp án C. VD6 (ĐH 2012). Trong giờ thực hành, một học sinh mắc đoạn mạch AB gồm điện trở thuần 40 Ω, tụ điện có điện dung C thay đổi được và cuộn dây có độ tự cảm L nối tiếp nhau theo đúng thứ tự trên. Gọi M là điểm nối giữa điện trở thuần và tụ điện. Đặt vào hai đầu đoạn mạch AB một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 200V và tần số 50 Hz. Khi điều chỉnh điện dung của tụ điện đến giá trị Cm thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch MB đạt giá trị cực tiểu bằng 75 V. Điện trở thuần của cuộn dây là A. 24 Ω. B. 16 Ω. C. 30 Ω. D. 40 Ω. HD. UMB = IZMB = = U R 2 + 2 Rr +1 r 2 + (Z L − Z C ) 2 U r 2 + (Z L − Z C ) 2 UZ MB = Z ( R + r ) 2 + (Z L − Z C ) 2 . Để UMB = UMBmin thì ZL = ZC; đoạn mạch có cộng hưởng điện. Khi đó U = UR + UMB UR = U – UMB = 125 V I= UR U = 3,125 A; r = MB = 24 Ω. Đáp án A. R I VD7: Cho mạch điện như hình vẽ: U = 120 . cos(100π .t )(V ) ; R = 15(Ω) ; L = 2 (H ) 25π C là tụ điện biến đổi. Điện trở vôn kế lớn vô cùng. Điều chỉnh C để số chỉ vôn kế lớn nhất. Tìm C và số chỉ vôn kế lúc này? C R,L 10 −2 10 −2 B A. C = ( F );U V = 136(V ) B. C = ( F );U V = 163(V ) 8π 4π A C. C = 10 −2 ( F );U V = 136(V ) 3π D. C = 10 −2 ( F );U V = 186(V ) 5π V Giải: Vôn kế chỉ U hai đầu cuộn dây: U V = U d = I .Z d = U .Z d = Z U 2 R + (Z L − Z C ) 2 .Z d Do Zd không phụ thuộc C nên nó không đôi. số chỉ Vôn kế lớn nhất khi mẫu số bé nhất . 2 R + (Z L − Z C ) Và 2 min 10 −2 Điều này xảy ra khi : Z C = Z L = 8(Ω) Suy ra : C = (F ) 8π số DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU chỉ vôn kế CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi : 11 http://lophocthem.com U V = I .Z d = U .Z d = Z U .Z d = R 2 + (Z L − Z C ) 2 Phone: 01689.996.187 U R 2 + (Z L − Z C ) 2 2 . R2 + ZL = [email protected] 120.17 = 136(V ) => đáp án A 15 VD8: Cho mạch điện như hình vẽ: U AB = 120(V ) ; f=50(Hz), R = 40(Ω) ; L = 3 ( H ) ; Điện trở 10π vôn kế lớn vô cùng. Điều chỉnhC để số chỉ vôn kế đạt giá trị lớn nhất. Tìm Z C và số chỉ vôn kế C L R lúc này? B A 10 −2 ( F );U V = 136(V ) 8π 10 −2 C. C = ( F );U V = 136(V ) 3π . A. C = B. C = 3,82.10 −5 ( F );U V = 150(V ) 10 −2 D. C = ( F );U V = 186(V ) 5π V HD : Tính Z L = 30(Ω) Ta có: U C = I .Z C = => U C = => U C = U AB , ZC = Z AB U AB R 2 + (Z L − Z C ) 2 Z 2C U AB 1− = 2.Z L R 2 + Z 2 L + ZC Z 2C U AB R 2 + (Z L − Z C ) 2 U AB R 2 + Z 2 L + Z 2 C − 2.Z L .Z C Z 2C 1 Đặt : X = > 0 Hay y ( X ) = ( R 2 + Z 2 L ) X 2 − 2.Z L . X + 1 ZC Hàm số bậc 2 có ymin Khi : X = => .Z C . Z −b = 2 L 2 2.a R + Z C Thay X = 1 >0 ZC Z 1 R2 + Z 2L . = 2 L 2 → ZC = ZC R + Z C ZL R 2 + Z 2 L 40 2 + 30 2 250 = = (Ω) => C = 3,82.10 −5 ( F ) ZL 3 3 250 120. U AB U AB 3 U C = I .Z C = , ZC = .Z C = = 150(V ) 2 2 Z AB 250 2 R + (Z L − Z C ) 2 40 + (30 − ) 3 => Z C = VD9. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó R = 60 Ω, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1 H, tụ điện có điện dung C thay đổi được. 2π Đặt vào giữa hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều ổn định: uAB = 120 2 cos100πt (V). Xác định điện dung của tụ điện để cho công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó. HD: Ta có: ZL = ωL = 50 Ω. Để P = Pmax thì ZC = ZL = 50 Ω C= DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU 2.10 −4 U2 1 = F. Khi đó: Pmax = = 240 W. ωZ C π R CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 12 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VD10. Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 200 V và tần số không đổi vào hai đầu A và B như hình vẽ. Trong đó R là biến trở, L là cuộn cảm thuần và C là tụ điện có điện dung thay đổi. Các giá trị R, L, C hữu hạn và khác không. Với C = C1 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu biến trở R có giá trị không đổi và khác không khi thay đổi giá trị R của biến trở. Tính điện áp hiệu dụng giữa A và N khi C = C1 . 2 HD: Khi C = C1 thì UR = IR = Khi C = C2 = ZAB = U .R R 2 + ( Z L − Z C1 ) 2 C1 thì ZC2 = 2ZC1; ZAN = 2 R 2 + (Z L − ZC 2 )2 = . Để UR không phụ thuộc R thì ZL = ZC1. R 2 + Z L2 = R 2 + Z C21 ; R 2 + Z C21 = ZAN UAN = IZAN = UZAB = UAB = 200 V. VD11: Một đoạn mạch gồm điện trở R nối tiếp với cuộn thuần cảm L và tụ xoay C. R=100Ω , L=0,318H. Đặt vào 2 đầu đoạn mạch một điện áp u=200√2 cos 100πt (V).Tìm điện dung C để điện áp giữa 2 bản tụ điện đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó. HD: TÍNH ZL=ωL=100Ω Khi C thay đổi, L và f không đổi để UC cực đại thì ZC = Điện áp giữa 2 bản tụ điện : U C = I .Z C = R2 + Z L2 U . với UCmax =. R2 + ZL2 ZL R U .Z C 2 2 L R + Z − 2 Z L .Z C + Z UC max khi y = y min mà y là hàm parabol với đối số là x = vậy ymin khi x = y min = 2 C = U 2 2 L R +Z 2Z − L +1 2 ZC ZC = U y 1 ZC Z 1 = 2 L 2 (đỉnh parabol) Z C R + ZL R R 2 + Z L2 khiZ C = 1 R 2 + Z L2 10 −4 = = 200Ω vậy C = F và UC max = 200√2 (V) x ZL 2π VD12: Cho mạch điện gồm RLC nối tiếp.Điện áp hai đầu mạch u = 120 2 cos100 π t (V). Điện trở R = 50 3 Ω , L là cuộn dây thuần cảm có L = 1 π H , điện dung C thay đổi được.Thay đổi C cho điện áp hai đầu đoạn mạch nhanh pha hơn hai đầu tụ một góc A. C= 10−4 π F B. C= 10 −4 π C. C= µF 104 π π 2 . Tìm C . D. C= µF 1000 π µF HD: Ta có pha của HĐT hai đầu mạch nhanh hơn HĐT hai đầu tụ vì HĐT hai đầu tụ chậm hơn CĐDĐ DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU π 2 π 2 ;nghỉa là cùng pha CĐDĐ; => xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Khi đó ZL = ZC CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 13 http://lophocthem.com ⇔ ZL = Phone: 01689.996.187 [email protected] 1 1 1 10 −4 F ⇒C= = = ω.C ω.Z L 100π .100 π VD13. Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó R = 60 Ω, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1 H, tụ điện có điện dung C thay đổi được. Đặt vào giữa hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay 2π chiều ỗn định: uAB = 120 2 cos100πt (V). Xác định điện dung của tụ điện để điện áp giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó. HD: Ta có: ZL = ωL = 50 Ω; UC = IZC = khi 1 − 2Z L =ZC 2( R 2 + Z L2 ) ZC = UZ C 2 R + (Z L − ZC ) R 2 + Z L2 = 122 Ω ZL C= 2 = U ; UC = UCmax 1 1 2 2 ( R + Z L ) 2 − 2Z L +1 ZC ZC U R 2 + Z L2 10 −4 1 = F. Khi đó: UCmax = = R ωZ C 1,22π 156 V. VD14: Đặt điện áp u = U 2 cos(ωt + φ) (V) vào hai đầu mạch RLC nối tiếp, cuộn dây thuần cảm, điện dung C thay đổi được. Khi điện dung có C = C1, đo điện áp hai đầu cuộn dây, tụ điện và điện trở lần lượt UL = 310V và UC = UR = 155V. Khi thay đổi C = C2 để UC2 = 155 2 V thì điện áp hai đầu cuộn dây khi đó bằng A. 175,3V. B. 350,6V. C. 120,5V. D. 354,6V  ZL = 2R HD:  ⇒ 155 2  U = 155 2 ( ) 2 2 U  =  L  + U L − 155 2  2  ( ) 2 ⇒ U L = 350, 6V BÀI TOÁN 4: W, f THAY ĐỔI PHƯƠNG PHÁP a.Biện luận công suất theo ω , f: ( Tìm f để PMax, tìm PMax ) Làm tương tự như biện luận công suất theo L và C 1 1 1 U2 ⇒ 4π 2 f 2 = ⇒ f = ⇒ PMax = LC LC R 2π LC 1 * Khi ω = LC thì IMax ; URmax; PMax còn ULCMin P(W) PMax ω2 = Lưu ý: L và C mắc nối tiếp nhau ω= 1 C O 1 f(Hz ) 2U .L L R 2 thì U LMax = − R 4 LC − R 2C 2 C 2 2U .L 1 L R2 ω = − * Khi thì U CMax = R 4 LC − R 2C 2 L C 2 * Với ω = ω1 hoặc ω = ω 2 thì I hoặc P hoặc UR có cùng một giá trị thì IMax hoặc PMax hoặc * Khi URMax khi ω = ω1ω2 tần số f = DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU f1 f 2 CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 14 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VÍ DỤ MINH HỌA VD1: cho mạch R,L,C nối tiếp có L = 0,159H ; C = 10−4 π ; R = 50Ω ; u AB = 100 2 cos 2π ft (V).Tần số f thay đổi để Pmax. Tính f và Pmax.? 1 1 HD: f thay đổi Pmax => cộng hưởng => ZL = ZC ⇒ f = = = 70,7 HZ 2π LC 10−4 2π 0,519. π 2 2 U 100 = = 200 W R 50 VD2 (CĐ 2009). Đặt điện áp xoay chiều u = U0cos2πft, có U0 không đổi và f thay đổi được vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Khi f = f0 thì trong đoạn mạch có cộng hưởng điện. Giá trị của f0 là Pmax = A. 2 . LC B. 2π . LC C. 1 . LC D. 1 . 2π LC HD. Để có cộng hưởng điện thì ZL = ZC hay 2πf0L = 1 1 => f0 = . =>Đáp án D. 2πf 0 C 2π LC VD3 (CĐ 2012). Đặt điện áp u = U0cos(ωt + ϕ) (U0 không đổi, ω thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần, cuộn cảm thuần và tụ điện mắc nối tiếp. Điều chỉnh ω = ω1 thì cảm kháng của cuộn cảm thuần bằng 4 lần dung kháng của tụ điện. Khi ω = ω2 thì trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng điện. Hệ thức đúng là A. ω1 = 2ω2. B. ω2 = 2ω1. C. ω1 = 4ω2. D. ω2 = 4ω1. HD: Khi ω = ω1 thì ω = ω1L = 4 1 ω1C ω1 = Khi ω = ω2 thì có cộng hưởng điện nên ω2 = 2 LC 1 ; LC ω1 = 2ω2. => Đáp án A. VD4 (ĐH 2009). Đặt điện áp xoay chiều u = U0cosωt có U0 không đổi và ω thay đổi được vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Thay đổi ω thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch khi ω = ω1 bằng cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch khi ω = ω2. Hệ thức đúng là 2 1 . D. ω1.ω2 = . LC LC 1 1 HD: I1 = I2 Z1 = Z2 ω1L = - (ω2L ) ω1C ω2C ω +ω 1 1 1 1 1 (ω1 + ω2)L = ( + ). = 2 1 . ω1.ω2 = . => Đáp án B. ω1 ω2 C ω1ω 2 C LC A. ω1 + ω2 = 2 . LC B. ω1.ω2 = 1 . LC C. ω1 + ω2 = VD5 (ĐH 2010). Đặt điện áp u = U 2 cosωt vào hai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AN và NB mắc nối tiếp. Đoạn AN gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, đoạn NB chỉ có tụ điện, điện dung C. Đặt ω1 = 1 . Để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn 2 LC mạch AN không phụ thuộc vào R thì tần số góc ω bằng DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 15 http://lophocthem.com A. ω1 2 B. . HD. UAN ω1 2 2 Phone: 01689.996.187 C. 2ω1. . U R 2 + Z L2 UZ AN = IZAN = = Z 2 R + (Z L − Z C ) = 2 [email protected] D. ω1 2 . U 2 C Z − 2Z L Z C 1+ R 2 + Z L2 . Để UAN không phụ thuộc vào R thì Z C2 - 2ZLZC = 0 1 ω= ZC = 2ZL 2 LC = ω1 2 . => Đáp án D. VD6 (ĐH 2012). Đặt điện áp xoay chiều u = U0cosωt (U0 không đổi, ω thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Khi ω = ω 1 thì cảm kháng và dung kháng của đoạn mạch lần lượt là Z1L và Z1C . Khi ω = ω 2 thì trong đoạn mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Hệ thức đúng là A. ω1 = ω2 Z1L . Z1C HD. Z1L = ω1L B. ω1 = ω2 Z1L . Z1C L= Z1L ω1 . Z1C = Khi có cộng hưởng ω2L = 1 ω 1C C. ω1 = ω2 Z1C . Z1L D. ω1 = ω2 Z1C . Z1L 1 . ω1Z1C Z1L 1 1 LC = 2 = 2 2 ω2 ω1 Z1C ω2 1 ω2C C= ω1 = ω2 Z1L . => Đáp án B. Z1C VD7 (CĐ 2012). Đặt điện áp u = U0cos(ωt + ϕ) (U0 không đổi, tần số góc ω thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần, cuộn cảm thuần và tụ điện mắc nối tiếp. Điều chỉnh ω = ω1 thì đoạn mạch có tính cảm kháng, cường độ dòng điện hiệu dụng và hệ số công suất của đoạn mạch lần lượt là I1 và k1. Sau đó, tăng tần số góc đến giá trị ω = ω2 thì cường độ dòng điện hiệu dụng và hệ số công suất của đoạn mạch lần lượt là I2 và k2. Khi đó ta có A. I2 > I1 và k2 > k1. B. I2 > I1 và k2 < k1. C. I2 < I1 và k2 < k1. D. I2 < I1 và k2 > k1. HD. Khi ω = ω1; đoạn mạch có tính cảm kháng nên ZL1 > ZC1. Khi tăng tần số góc đến giá trị ω = ω2 > ω1 thì ZL2 > ZL1 và ZC2 < ZC1 nên Z2 > Z1 I2 < I1 và k1 = R R > k2 = . => Đáp án C. Z1 Z2 VD8 (ĐH 2011). Đặt điện áp u = U 2 cos2πft (U không đổi, tần số f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C. Khi tần số là f1 thì cảm kháng và dung kháng của đoạn mạch có giá trị lần lượt là 6 Ω và 8 Ω. Khi tần số là f2 thì hệ số công suất của đoạn mạch bằng 1. Hệ thức liên hệ giữa f1 và f2 là A. f2 = HD. 2 f1. 3 B. f2 = ZL = 2πf1L = 6 Ω Khi cosϕ = 1 thì f2 = DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU 1 2π LC = 3 3 4 f1. C. f2 = f1. D. f2 = f1. 2 4 3 3 1 1 L= ; ZC = =8Ω C= . πf1 2πf1C 16πf1 2 3 f1. Đáp án A. CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 16 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VD9 (ĐH 2012). Đặt điện áp u = U0 cosωt (V) (U0 không đổi, ω thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm 4 H và tụ điện mắc nối tiếp. 5π Khi ω = ω0 thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch đạt cực đại Im. Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2 thì cường độ dòng điện cực đại qua đoạn mạch bằng nhau và bằng Im. Biết ω1 – ω2 = 200π rad/s. Giá trị của R bằng A. 150 Ω. B. 200 Ω. C. 160 Ω. D. 50 Ω. U ; R HD. Khi có cộng hưởng điện I = Imax = Im = ω 02 = 1 LC C= 1 2 0 ω L 5π 4ω02 = Khi ω1 = ω2 thì I01 = I02 = Im = và Z = R + ( Z L − Z C ) 2 I 0m 2 = U0 R 2 ω 02 = ω1ω2 2 R = ZL – ZC = ω1L - 1 4 1 4 = ω1 = (ω1 – ω2) = 160 Ω. =>Đáp án C. 5π 5π 5π ω1C ω1 . 4ω1ω 2 VD9. Cho một mạch nối tiếp gồm một cuộn thuần cảm L = điện dung C= 10 −4 π 2 π H, điện trở R = 100 Ω, tụ điện có F. Đặt vào mạch một điện áp xoay chiều u = 200 2 cosωt (V). Tìm giá trị của ω để: a) Điện áp hiệu dụng trên R đạt cực đại. b) Điện áp hiệu dụng trên L đạt cực đại. c) Điện áp hiệu dụng trên C đạt cực đại. HD:) Ta có: UR = IR = URmax khi I = Imax; mà I = Imax khi ZL = ZC hay ω = b) UL = IZL = UZ L = Z UωL R 2 + (ωL − 1 2 ) ωC = 1 = 70,7π rad/s. LC U .L . 1 1 L 1 2 2 . − (2 − R ). 2 + L C2 ω4 C ω L − R2 ) 2 C UL = ULmax khi 2 = ω= = 81,6π rad/s. 1 ω 2 LC − R 2C 2 2 2 C 1 U U.L UZC ωC c) UC = IZC = = = . Z L 2 2 1 1 2 2 4 2 L ω − (2 − R )ω + 2 R + (ωL − ) C C ωC L − (2 − R 2 ) 1 R2 2 C − UC = UCmax khi ω = ω = = 61,2π rad/s. 2 L2 LC 2 L2 1 DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU − (2 CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 17 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] VD10 (ĐH 2011). Lần lượt đặt các điện áp xoay chiều u1 = U 2 cos(100πt + ϕ1); u2 = U 2 cos(120πt + ϕ2); và u3 = U 2 cos(110πt + ϕ3); vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp thì cường độ dòng điện trong đoạn mạch có biểu thức tương ứng là: i1 = I 2 cos100π t ; i2 = I 2 cos(120π t + 2π 2π ) và i3 = I ' 2 cos(110π t − ) . So sánh I và I’, ta có 3 3 B. I = I ' 2 . C. I < I’. A. I = I’. D. I > I’. HD. Với ω = ω1 và ω = ω2 thì I1 = I2 = I Có cộng hưởng khi: ω0 = ω1ω 2 = 109,4π rad/s. Vì ω3 gần ω0 hơn ω1 và ω2 nên I3 = I’ > I1 = I2 = I. => Đáp án C. VD11: Đặt điện áp u = U 2 cosωt vào hai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AN và NB mắc nối tiếp. Đoạn AN gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, đoạn NB chỉ có tụ điện với điện dung C. Đặt ω1 = 1 . Xác định tần số góc ω để điện áp hiệu 2 LC dụng giữa hai đầu đoạn mạch AN không phụ thuộc vào R. HD: Để UAN = IZAN = U . R 2 + Z L2 R 2 + (Z L − ZC ) 2 R2 + Z 2L = R2 + (ZL – ZC)2 ω= không phụ thuộc vào R thì: ZC = 2ZL hay 1 ωC = 2ωL 2 1 = = ω1 2 . 2 LC 2 LC VD12. Đặt điện áp u = U 2 cos 2π ft (U không đổi, tần số f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C. Khi tần số là f1 thì cảm kháng và dung kháng của đoạn mạch có giá trị lần lượt là 6 Ω và 8 Ω. Khi tần số là f2 thì hệ số công suất của đoạn mạch bằng 1. Tìm hệ thức liên hệ giữa f1 và f2. HD: Ta có: Z L1 2π f1L Z 2π f 2 L 6 3 = = (2π f1)2 LC = = và L 2 = = (2π f1)2 LC = 1 1 1 4 ZC1 8 ZC 2 2π f1C 2π f 2C f 22 4 = f12 3 f2 = 2 f1. 3 VD13 (ĐH 2011). Đặt điện áp xoay chiều u = U0cosωt (U0 không đổi và ω thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp, với CR2 < 2L. Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện có cùng một giá trị. Khi ω = ω0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt cực đại. Hệ thức liên hệ giữa ω1, ω2 và ω0 là 1 2 A. ω02 = (ω12 + ω22 ) . DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU 1 2 B. ω0 = (ω1 + ω2 ) . C. ω0 = ω1ω2 . D. 1 1 1 1 = ( 2 + 2). 2 ω0 2 ω1 ω2 CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 18 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] HD. Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2 thì UC1 = UC2 U R 2 + (ω1 L − 1 2 ) ω1C . 1 = ω1C U R 2 + (ω 2 L − 1 2 ) ω2C . 1 ω2C 1 L 1 ) = ω 22 (R2 + ω 22 L2 - 2 + 2 2 ) 2 ω C C ω2 C L 1 L 1 ω 12 R2 + ω 14 L2 - 2ω 12 + 2 = ω 22 R2 + ω 42 L2 - 2ω 22 + 2 C C C C L 2 R2 (ω 12 - ω 22 )(R2 - 2 ) = - (ω 14 - ω 42 )L2 ω 12 + ω 22 = - 2. C LC L 2 1 R Để UC = Ucmax thì ω = ω0 = − 2 LC 2 L 2 1 R 1 2 R2 1 hay ω 02 = - 2 = ( - 2 ) = (ω 12 + ω 22 ). Đán án A. LC 2L 2 LC L 2 L C ω 12 (R2 + ω 12 L2 - 2 + 2 1 II. ĐỀ TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP. Câu 1: Cho mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp . Cho R = 100 Ω ; C = 100/ π ( µ F). Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế uAB = 200sin100 π t(V). Để UL đạt giá trị cực đại thì độ tự cảm L có giá trị bằng A. 1/ π (H). B. 1/2 π (H). C. 2/ π (H). D. 3/ π (H). Câu 2: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, điện áp hai đầu đoạn mạch có dạng u = 80 2 cos100πt (V ) . Điều chỉnh điện dung C để điện áp hiệu dụng trên tụ điện đạt giá trị cực đại là 100V. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch RL bằng A. 100V. B. 200V. C. 60V. D. 120V. Câu 3: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, biết R = 100 3 Ω ; điện áp xoay chiều giữa hai đầu đoạn mạch có dạng u = U 2 . cos 100πt (V) , mạch có L biến đổi được. Khi L = 2 / π (H) thì ULC = U/2 và mạch có tính dung kháng. Để ULC = 0 thì độ tự cảm có giá trị bằng A. 3 (H). π B. 1 (H). 2π C. 1 (H). 3π D. 2 (H). π A R L, r M C B Câu 4: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, biết R = 30 Ω , r = 10 Ω , L = 0,5 / π (H), tụ có điện dung C biến đổi. Đặt giữa hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có dạng u = 100 2 . cos 100πt (V) . Điều chỉnh C để điện áp UMB đạt giá trị cực tiểu khi đó dung kháng ZC bằng A. 50 Ω . B. 30 Ω . C. 40 Ω . D. 100 Ω . L C R Câu 5: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Điện áp xoay A B M chiều đặt vào hai đầu đoạn mạch có dạng u = 160 2 . cos 100πt (V ) . Điều chỉnh L đến khi điện áp (UAM) đạt cực đại thì UMB = 120V. Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm cực đại bằng A. 300V. B. 200V. C. 106V. D. 100V. Câu 6: Một đoạn mạch nối tiếp gồm một điện trở R = 1000 2 Ω , một tụ điện với điện dung C = 1 µ F và một cuộn dây thuần cảm với độ tự cảm L = 2H. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch giữ không đổi, thay đổi tần số góc của dòng điện. Với tần số góc bằng bao nhiêu thì điện DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 19 http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 [email protected] áp hiệu dụng trên cuộn dây cực đại ? A. 103rad/s. B. 2 π .103rad/s. C. 103/ 2 rad/s. D. 103. 2 rad/s. Câu 7: Đoạn mạch RLC mắc vào mạng điện có tần số f1 thì cảm kháng là 36 Ω và dung kháng là 144 Ω . Nếu mạng điện có tần số f2 = 120Hz thì cường độ dòng điện cùng pha với điện áp ở hai đầu đoạn mạch. Giá trị của tần số f1 là A. 50(Hz). B. 60(Hz). C. 85(Hz). D. 100(Hz). Câu 8: Hiệu điện thế 2 đầu AB: u = 120sin ωt (V). R = 100 Ω ; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi và r = 20 Ω ; tụ C có dung kháng 50 Ω . Điều chỉnh L để ULmax, giá trị ULmax là C. 92V. D.130V. A. 65V. B. 80V. Câu 9: Cho mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp. Biết L = 1/ π H; R = 100 Ω ; tần số dòng điện f = 50Hz. Điều chỉnh C để UCmax. Điện dung C có giá trị bằng A. 10-4/ π (F). B. 10-4/2 π (F). C. 10-4/4 π (F). D. 2.10-4/ π (F). Câu 10: Cho mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp. R = 50 Ω ; cuộn dây thuần cảm có ZL = 50 Ω . Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế u = 100 2 sin ω t(V). Hiệu điện thế hai đầu tụ điện cực đại khi dung kháng ZC bằng A. 50 Ω . B. 70,7 Ω . C. 100 Ω . D. 200 Ω . Câu 11: Cho mạch RLC nối tiếp, cuộn dây không thuần cảm. Biết R = 80 Ω ; r = 20 Ω ; L = 2/ π (H). Tụ C có điện dung biến đổi được. Hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch uAB = 120 2 sin(100 π t)(V). Để dòng điện i chậm pha so với uAB góc π /4 thì điện dung C nhận giá trị bằng A. 100/ π ( µ F). B. 100/4 π ( µ F). C. 200/ π ( µ F). D. 300/2 π ( µ F). Câu 12: Cho mạch RLC nối tiếp. R = 100 Ω ; cuộn dây thuần cảm L = 1/2 π (H), tụ C biến đổi. Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế u = 120 2 sin(100 π t)(V). Để UC = 120V thì C bằng A. 100/3 π ( µ F). B. 100/2,5 π ( µ F). C. 200/ π ( µ F). D. 80/ π ( µ F). Câu 13: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, điện áp giữa hai đầu đoạn mạch có biểu thức dạng u = 200 cos100πt (V) ; điện trở thuần R = 100 Ω ; C = 31,8 µF . Cuộn cảm có độ tự cảm L thay đổi được (L > 0). Mạch tiêu thụ công suất 100W khi cuộn cảm có độ tự cảm L bằng 3 (H) . π Câu 14: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, biết L = 2 / 25π(H) , R = 6 Ω , điện áp hai A. 1 (H) . π B. 1 (H) . 2π C. 2 (H ) . π D. đầu đoạn mạch có dạng u = U 2 cos 100πt (V) . Điều chỉnh điện dung C để điện áp hiệu dụng trên tụ điện đạt giá trị cực đại là 200V. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch bằng A. 100V. B. 200V. C. 120V. D. 220V. Câu 15: Cho mạch RLC mắc nối tiếp, biết R = 100 3 Ω ; C = 50 / π(µF) ; độ tự cảm L thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định u = 200. cos100πt (V ) . Để hệ số công suất cos ϕ = 1 thì độ tự cảm L bằng 1 2 (H). D. (H). 3π π Câu 16: Cho mạch RLC mắc nối tiếp, biết R = 100 3 Ω ; C = 50 / π(µF) ; độ tự cảm L thay đổi A. 1 (H). π B. 1 (H). 2π C. được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định u = 200. cos100πt (V ) . Để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm cực đại thì cảm kháng bằng A. 200 Ω . B. 300 Ω . C. 350 Ω . D. 100 Ω . Câu 17: Cho mạch RLC mắc nối tiếp, biết R = 100 Ω ; C = 50 / π(µF) ; độ tự cảm L thay đổi được. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định u = 200. cos 100πt (V ) . Điều chỉnh L để Z = 100 Ω khi đó điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở bằng DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ - R,L,C,w,f thay đổi 20