Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%–%Thầy:%Đặng%Thành%Nam%
Môn:%Toán;%ĐỀ%SỐ%01/50%
Thời%gian%làm%bài:%180%phút,%không%kể%thời%gian%giao%đề%
%
Liên%hệ%đăng%ký%khoá%học%–%Hotline:%0976%266%202%%
2x −1
(1) .%
Câu%1(4,0%điểm)%Cho%hàm%số% y =
x −1
1. Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).%
2. Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.%
3. Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.%
Câu%2(4,0%điểm)%Giải%các%phương%trình%%
1
2 tan x(1− cos x ) =
−1 .%
1.
cos x
2.
4 + ln(x +1) + x 3 − 2x 2 + x − 2 = 0 .%%%
Câu%3(1,5%điểm)%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường% y = x 2 −3x +1; y = −4x + 3 .%Tính%
thể%tích%khối%tròn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hoành.%%
Câu%4(1,5%điểm)%Gọi% z1 , z 2 %là%hai%nghiệm%của%phương%trình% (1+ i)z 2 − 2iz − 21+ i = 0 .%Tính%
A = z12 − z 22 .%%%
Câu%5(1,0%điểm)%Một%trò%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%tròn%được%chia%
đều%thành%10%ô%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%
liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ô%đã%được%đánh%
số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%của%hai%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%
chia%hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%%
Câu% 6(1,5% điểm)% Cho% hình% lăng% trụ% ABC.A’B’C’% có% đáy% ABC% là% tam% giác% vuông% cân% tại% A,%
BC = 2a .%Hình%chiếu%vuông%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung%điểm%cạnh%AB,%góc%giữa%
đường% thẳng% A’C% và% mặt% đáy% bằng% 600.% Tính% thể% tích% khối% lăng% trụ% ABC.A’B’C’% và% khoảng%
cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).%
Câu%7(3,5%điểm)%%
1. Trong% không% gian% với% hệ% toạ% độ% Oxyz% cho% điểm% A(1;0;Ç1)% và% mặt% phẳng%
(P ) : 2x + 2y − z −12 = 0 .% Viết% phương% trình% đường% thẳng% d% đi% qua% A% vuông% góc% với% (P).%
Tìm%toạ%độ%hình%chiếu%vuông%góc%của%A%trên%(P).%%
2. Trong%mặt%phẳng%với%trục%toạ%độ%Oxy%cho%hình%chữ%nhật%ABCD%có%đỉnh%A(Ç4;8).%Gọi%M%là%
điểm%thuộc%tia%BC%thoả%mãn% CM = 2BC ,%N%là%hình%chiếu%vuông%góc%của%B%trên%DM.%Tìm%
toạ%độ%điểm%B,%biết% N (83/13;−1/13) và%đỉnh%C%thuộc%đường%thẳng% 2x + y + 5 = 0 .%%%
⎧
⎪4x − xy 2 − x 3 = (x 2 + y 2 − 4)( x + y −1)
Câu%8(1,5%điểm)%Giải%hệ%phương%trình ⎪
(x, y ∈ !) .%
⎨
⎪
(x
−
y)(x
−1)(
y
−1)(xy
+
x
+
y)
=
4
⎪
⎩
Câu%9(1,5%điểm)%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn% a ≥ 7.max {b,c };a + b + c =1 .%
Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức% P = a(b − c)5 + b(c −a)5 + c(a −b)5 .%
%
kkkHẾTkkk%
ĐÁP%ÁN%–%THANG%ĐIỂM%–%BÌNH%LUẬN%ĐỀ%01/50%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%1/9%
Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Thang%điểm%tương%ứng:%%
%
Câu%1:%1.1(2,0%điểm);%1.2%và%1.3%mỗi%ý%1,0%điểm%
Câu%2:%2.1%và%2.2%mỗi%ý%2,0%điểm%
Câu%7:%7.1(2,0%điểm);%7.2(1,5%điểm)%
2x −1
(1) .%
x −1
Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).%
Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.%
Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.%
Học%sinh%tự%làm.%
Đường%thẳng%AB%có%pt%là% y = 2 ;%trung%điểm%của%AB%là%điểm%I(3;2).%
Câu%1(4,0%điểm)%Cho%hàm%số% y =
1.
2.
3.
1.
2.
Giả%sử%tiếp%điểm% M (m;
2m −1
1
2m −1
),m ≠1 .Tiếp%tuyến%có%dạng:% y = −
.%
(x − m) +
2
m −1
m −1
(m −1)
Để%d%cách%đều%A,B%có%2%trường%hợp:%
1
+%Nếu%d//AB%khi%đó% kd = kAB ⇔ −
= 0 (vô%nghiệm).%
(m −1) 2
1
2m −1
(3− m) +
⇔ m − 2 = 0 ⇔ m = 2 .%
2
m −1
(m −1)
Suy%ra%tiếp%tuyến%cần%tìm%là% y = −x + 5 .%%%%
+%Nếu%d%đi%qua%I%khi%đó% 2 = −
3. Giả%sử% M (m;
2m −1
2m −1
),m ≠1 .%Khi%đó% d(M ;Ox ) =
;d(M ;Oy) = m .%
m −1
m −1
Ta%cần%tìm%GTNN%của%biểu%thức% P =
2m −1
+ m .%
m −1
1
1
+%Nếu% m > ⇒ P > m > .%
2
2
2m −1
+%Nếu% m < 0 ⇒ P >
>1 .%
m −1
1
2m −1
m 2 + m −1 (2m −1)(m +1) 1 1
+m =
=
+ ≥ .%
+%Nếu% 0 ≤ m ≤ ⇒ P =
2
m −1
m −1
2(m −1)
2 2
⎛1 ⎞
1
So%sánh%có%giá%trị%nhỏ%nhất%bằng%½.%Dấu%bằng%xảy%ra%khi% m = ⇒ M ⎜⎜ ;0⎟⎟⎟ .%%%%%
⎜⎝ 2 ⎟⎠
2
Vậy%điểm%cần%tìm%là% M (1/ 2;0) .%
Câu%2(4,0%điểm)%Giải%các%phương%trình%%
1
2 tan x(1− cos x ) =
−1 .%
1.
cos x
2.
4 + ln(x +1) + x 3 − 2x 2 + x − 2 = 0 .%%%
1. Điều%kiện:% cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
π
+ k2π .%
2
Phương%trình%tương%đương%với:
2 sin x(1− cos x ) 1− cos x
.%
=
cos x
cos x
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%2/9%
Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
⎡
⎢ x = k2π
⎢
⎡ cos x =1
⎢
⎢
π
⎢
⎢
%
⇔ (1− cos x )( 2 sin x −1) = 0 ⇔ ⎢
1 ⇔ ⎢ x = + k2π .%%
4
⎢
⎢sin x =
⎢
2
⎣
3π
⎢x =
+ k2π
⎢⎣
4
π
3π
+ k2π,k ∈ ! .%%%
Vậy%nghiệm%của%phương%trình%là% x = k2π; x = + k2π; x =
4
4
⎧
⎪ x >−1
2. Điều%kiện:% ⎪
⇔ x >−1+ e −4 .%
⎨
⎪
⎪
⎩ln(x +1) + 4 > 0
Phương%trình%tương%đương%với:% 4 + ln(x +1) + x(x −1) 2 − 2 = 0 .%
+%Nếu% x > 0 khi%đó%VT > 4 + ln(x +1) − 2 > 0 ,%pt%vô%nghiệm.%
+%Nếu% x < 0 %khi%đó%VT ≤ 4 + ln(x +1) − 2 < 0 ,%pt%vô%nghiệm.%%%%
Nhận%thấy% x = 0 %thoả%mãn.%Vậy%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất% x = 0 .%
Chú%ý.%Có%thể%giải%bằng%pp%hàm%số.%%
Câu%3(1,5%điểm)%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường% y = x 2 −3x +1; y = −4x + 3 .%Tính%
thể%tích%khối%tròn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hoành.%%
⎡ x = −2
Phương%trình%hoành%độ%giao%điểm:% x 2 −3x +1 = −4x + 3 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ ⎢
.%
⎢ x =1
⎣
Vì%vậy%%
1
1
V = π ∫ (x −3x +1) −(−4x + 3) dx = π ∫ (x −1)(x + 2)(x 2 −7x + 4) dx
2
2
2
−2
−2
7− 33
2
=π
∫
.%%%
−(x −1)(x + 2)(x 2 −7x + 4)dx +
−2
⎛ 7856 847 33 ⎞⎟
⎜⎜
2
⎟
(x
−1)(x
+
2)(x
−7x
+
4)dx
=
⎜⎜ 15 − 10 ⎟⎟⎟ π
∫
⎝
⎠
7− 33
1
2
Chú%ý.%Thể%tích%khối%tròn%xoay%sinh%ra%khi%quay%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%đồ%thị%của%hai%hàm%số%
y = f (x ); y = g(x ) và%các%đường%thẳng% x = a; x = b(a < b) được%tính%theo%công%thức%
b
%
V = π ∫ f 2 (x ) − g 2 (x ) dx .%
a
b
Nhiều%học%sinh%mắc%sai%lầm%khi%sử%dụng%công%thức%tự%chế%V = π ∫ ( f (x ) − g(x )) 2 dx .%Các%em%
a
cần%chú%ý.%%%%%
Câu%4(1,5%điểm)%Gọi% z1 , z 2 %là%hai%nghiệm%của%phương%trình% (1+ i)z 2 − 2iz − 21+ i = 0 .%Tính%
A = z12 − z 22 .%%%
Ta%có% Δ' = i 2 −(1+ i)(−21+ i) = 21+ 20i = (5 + 2i) 2 .%
Suy%ra% z = −3+ 2i; z = 4 −i .%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%3/9%
Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Vì%vậy% A = (−3+ 2i) 2 −(4 −i) 2 = (5−12i) −(15−8i) = 10 + 4i = 2 29 .%%%%
Chú%ý.%Một%số%học%sinh%tính%toán%sai%giá%trị%của%A%nên%bước%tính%toán%các%em%đặc%biệt%lưu%ý.%
Câu%5(1,0%điểm)%Một%trò%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%tròn%được%chia%
đều%thành%10%ô%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%
liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ô%đã%được%đánh%
số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%2%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%
hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%%
+%)%Số%cách%xuất%hiện%kết%quả%của%trò%chơi%là% 10.10 =100 .%%
+%)%Ta%tìm%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3.%
Trước%tiên%phân%chia%10%số%ban%đầu%thành%3%loại:%Loại%I%gồm%các%số%chia%hết%cho%3%có%3%số%
(3,6,9);%loại%II%gồm%các%số%chia%3%dư%1%có%4%số%(1,4,7,10);%loại%III%gồm%các%số%chia%3%dư%2%số%có%3%số%
(%2,5,8).%Vậy%có%các%khả%năng%sau:%
+%Cả%2%lần%kim%quay%đều%chỉ%số%loại%I%có%3.3=9%cách.%
+%Có%1%lần%quay%chỉ%số%loại%II%và%1%lần%quay%chỉ%số%loại%III%có%2!.4.3=24%cách.%
Vậy%số%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3%là%
9+24=33%cách.%
Vậy%xác%suất%cần%tính%là% P = 33/100 = 0,33 .%%%
Chú%ý.%Có%thể%giải%bằng%cách%liệt%kê%số%phần%tử.%Xem%thêm%bình%luận%cuối%đề.%%
Câu%6(1,5%điểm)%Cho%hình%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%có%đáy%ABC%là%tam%giác%vuông%cân%tại%A,%
BC = 2a .%Hình%chiếu%vuông%góc%của%A’%lên%mặt%phẳng%(ABC)%là%trung%điểm%cạnh%AB,%góc%giữa%
đường%thẳng%A’C%và%mặt%đáy%bằng%600.%Tính%thể%tích%khối%lăng%trụ%ABC.A’B’C’%và%khoảng%
cách%từ%điểm%B%đến%mặt%phẳng%(ACC’A’).%
Gọi%H%là%trung%điểm%cạnh%AB%theo%giả%thiết%ta%có%
A' H ⊥ (ABC ) .%
Tam%giác%ABC%vuông%cân%tại%A,%suy%ra% AB = AC = a 2 .%
Tam%giác%AHC%vuông%có:%
% HC = AC 2 + AH 2 = 2a 2 +
a 2 a 10
=
.%%
2
2
! = 600 .%
Có%HC%là%hình%chiếu%của%A’C%trên%(ABC)%nên% A'CH
Suy%ra% A' H = HC.tan 600 =
a 30
.%
2
%
a 30 1
a 3 30
Vì%vậy%VABC .A' B 'C = A' H .S ABC =
(đvtt).%%%%
. .(a 2) 2 =
2 2
2
Kẻ%HK%vuông%góc%với%AA’%tại%K%có% AC ⊥ (ABB ' A') ⇒ AC ⊥ HK .%
Suy%ra% HK ⊥ (ACC ' A'),HK = d(H ;(ACC ' A')) .%
Ta%có%
1
1
1
2
2
a 30
=
+
= 2+
⇒ HK =
.%
2
2
2
2
8
HK
AH
A' H
a
15a
Vì%vậy% d(B;(ACC ' A')) =
BA
a 30
.d(H ;(ACC ' A')) = 2HK =
.%%%%%
HA
4
Câu%7(3,5%điểm)%%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%4/9%
Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
1. Trong%không%gian%với%hệ%toạ%độ%Oxyz%cho%điểm%A(1;0;Ç1)%và%mặt%phẳng%
(P ) : 2x + 2y − z −12 = 0 .%Viết%phương%trình%đường%thẳng%d%đi%qua%A%vuông%góc%với%(P).%
Tìm%toạ%độ%hình%chiếu%vuông%góc%của%A%trên%(P).%%
2. Trong%mặt%phẳng%với%hệ%trục%toạ%độ%Oxy%cho%hình%chữ%nhật%ABCD%có%đỉnh%A(Ç4;8).%Gọi%M%
là%điểm%thuộc%tia%BC%thoả%mãn% CM = 2BC ,%N%là%hình%chiếu%vuông%góc%của%B%trên%DM.%Tìm%
toạ%độ%điểm%B,%biết% N (83/13;−1/13) và%đỉnh%C%thuộc%đường%thẳng% 2x + y + 5 = 0 .%%%%%%
!
1. Đường%thẳng%d%vuông%góc%với%(P)%nên%d%nhân%vtpt% n = (2;2;−1) %của%(P)%làm%véc%tơ%chỉ%
⎧⎪ x =1+ 2t
⎪⎪
(t ∈ !) .%
phương.%%Vì%vậy% d : ⎪
⎨ y = 2t
⎪⎪
⎪⎪⎩ z = −1−t
Thay%x,y,z%từ%phương%trình%của%d%vào%pt%của%(P)%ta%được:%
%
2(1+ 2t ) + 2.2t −(−1−t ) −12 = 0 ⇔ 9t −9 = 0 ⇔ t =1 .%
Suy%ra%toạ%độ%hình%chiếu%vuông%góc%của%A%trên%(P)%là%điểm%H(3;2;Ç2).%
2.%Gọi% C (t;−2t −5) .%Gọi%I%là%tâm%hình%chữ%nhật%ABCD,%suy%ra%I%là%
trung%điểm%của%AC%và%BD.%
⎛ t − 4 −2t + 3 ⎞⎟
⎟ .%Tam%giác%BDN%vuông%tại%N%có%I%là%trung%
Do%đó% I ⎜⎜
;
⎜⎝ 2
2 ⎟⎟⎠
BD
= IB = IA .%
2
2
2
2
2
⎛ 83 t − 4 ⎞⎟ ⎛ 1 −2t + 3 ⎞⎟ ⎛
t − 4 ⎞⎟ ⎛⎜ −2t + 3 ⎞⎟
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
Ta%có%pt:% ⎜ −
+ ⎜− −
= ⎜−4 −
+ ⎜8−
⇔ t =1 .%
⎜⎝ 13
2 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 13
2 ⎟⎟⎠ ⎜⎝
2 ⎟⎟⎠ ⎜⎝
2 ⎟⎟⎠
%
điểm%BD%nên% IN =
⎛ 3 1⎞
Suy%ra% I ⎜⎜− ; ⎟⎟⎟;C (1;−7) .%
⎜⎝ 2 2 ⎟⎠
!!!"
!!!"
Gọi%B(a;b)%ta%có% CM = 2BC = 2(1−a;−7−b) ⇒ M (3− 2a;−21− 2b) .%
!!!" ⎛ 83−13a 1+13b ⎞ !!!!" ⎛ 44 + 26a 272 + 26b ⎞
⎟⎟,MN = ⎜⎜
⎟⎟ .%
Ta%có% BN = ⎜⎜
;−
;
⎟⎟
⎜⎝ 13
⎜⎝ 13
13 ⎟⎟⎠
13
⎠
Do%BN%vuông%góc%với%MN%nên:%
!!!" !!!!"
BN .MN = 0 ⇔ (83−13a)(44 + 26a) −(1+13b)(272 + 26b) = 0 (1) .%
2
2
125 ⎛⎜
3⎞ ⎛
1 ⎞ 125
Mặt%khác:% IB = IC =
⇔ ⎜a + ⎟⎟⎟ + ⎜⎜b − ⎟⎟⎟ =
(2) .%%%%%%%%
⎜⎝
2
2 ⎟⎠ ⎜⎝
2 ⎟⎠
2
2
2
Từ%(1)%và%(2)%ta%có:%
⎡a = −4,b = −7
⎧⎪a 2 + b 2 + 3a −b = 60
⎧⎪2a −3b =13
⎢
⎪
⎪
%
.%
⇔⎨ 2
⇔⎢
⎨
2
2
2
⎪⎪13(a + b ) −61a +137b −130 = 0 ⎪⎪a + b + 3a −b = 60 ⎢a = 83 ,b = − 1
⎩
⎩
⎢⎣
13
13
Đối%chiếu%B%khác%N%suy%ra%B(Ç4;Ç7).%%%%
⎧
⎪4x − xy 2 − x 3 = (x 2 + y 2 − 4)( x + y −1)
Câu%8(1,5%điểm)%Giải%hệ%phương%trình ⎪
.%
⎨
⎪
⎪
⎩(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = 4
Điều%kiện:% x ≥ 0; y ≥1 .%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%5/9%
Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Phương%trình%thứ%nhất%của%hệ%tương%đương%với:%
⎡ x + x + y −1 = 0
.%
( x + y −1 + x )(x 2 + y 2 − 4) = 0 ⇔ ⎢⎢
⎢⎣ x 2 + y 2 = 4
⎧x = 0
⎪
+%Với% x + x + y −1 = 0 ⇔ ⎪⎨
(thử%lại%thấy%không%thoả%mãn).%
⎪
⎪
⎩ y =1
⎪⎧ x 2 + y 2 = 4
+%Với% x 2 + y 2 = 4 %ta%có%hệ%phương%trình% ⎪
(1) .%
⎨
⎪⎪(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = 4
⎩
%
Viết%lại%pt%thứ%hai%của%hệ%dưới%dạng:%
%
( y 2 −1)x 3 −( y 3 −1)x 2 + y 3 − y 2 − 4 = 0
⇔ ( y 2 −1)x 2 −( y 3 −1)(4 − y 2 ) + y 3 − y 2 − 4 = 0
⇔ ( y 2 −1)x 3 + y 2 ( y − 2)( y +1) 2 = 0
⇔ ( y 2 −1)(4 − y 2 )x + y 2 ( y − 2)( y +1) 2 = 0
.%
⇔ ( y +1)( y − 2) ⎡⎢ y 2 ( y +1) −( y −1)( y + 2)x ⎤⎥ = 0
⎣
⎦
⎡ y = −1(l )
⎢
⇔ ⎢⎢ y = 2(t / m) ⇒ x = 0
⎢ y 2 ( y +1) = ( y −1)( y + 2)x
⎢⎣
%
Ta%xét%phương%trình:% y 2 ( y +1) = ( y −1)( y + 2)x ⇔ y 2 ( y +1) = ( y −1)( y + 2) 4 − y 2 .%
Mặt%khác: 1≤ y ≤ 2 %suy%ra%:%%
y 2 = y 2 + y − 2 + (2− y) ≥ y 2 + y − 2;
%
y +1 = y 2 + 2y +1 = (4 − y 2 ) + (2y 2 + 2y −3) > 4 − y 2
.%
Suy%ra%VT >VP .Tức%phương%trình%trên%vô%nghiệm.%%%
Vậy%hệ%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất% (x; y) = (0;2) .%%
Chú%ý.%Ta%có%thể%giải%(1)%bằng%2%cách%khác%sau:%
Cách%2:%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:% (x − y)(x −1) ≥ 0 .%
Khi%đó%sử%dụng%bất%đẳng%thức%AM%–GM%ta%có:%
VT = ( y −1) ⎡⎢(xy + x + y)(x 2 − xy − x + y)⎤⎥
⎣
⎦
%
≤
4( y −1) 2 .(5−( y −1) 2 ) 4
( y −1)(x 2 + 2y) 2 ( y −1)(4 − y 2 + 2y) 2
.%
=
=
4
4
8
5
≤
⎛ 4( y −1) 2 + 4(5−( y −1) 2 ) ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎠
⎜⎜⎝
5
8
=4
⎧
⎪
4( y −1) 2 = 5−( y −1) 2
⎪
⎪
2
Đẳng%thức%xảy%ra%khi%và%chỉ%khi% ⎪
⎨ x − xy − x + y = xy + x + y ⇔ x = 0; y = 2 .%%
⎪
⎪
⎪
x 2 + y2 = 4
⎪
⎩
( y −1)(4 − y 2 + 2y) 2
≤ 4 bằng%biến%đổi%tương%đương%hoặc%
Chú%ý.%Bước%cuối%có%thể%chứng%minh%
4
hàm%số.%%%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%6/9%
Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
⎡ x ≥ y ≥1
Cách%3:%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:% (x − y)(x −1) ≥ 0 ⇔ ⎢
.%
⎢ x ≤1≤ y
⎣
TH1:%Nếu% x ≥ y ≥1 %khi%đó%sử%dụng%AM%–GM%ta%có:%
2
⎛ x − y + y −1⎞⎟
(x −1) 2
⎟⎟ =
.%
(x − y)( y −1) ≤ ⎜⎜
⎜⎝
⎟⎠
2
4
(x −1)3
(xy + x + y) .%
4
Chú%ý%sử%dụng%bất%đẳng%thức%Cauchy%–Schwarz%ta%có:%
1
(x − y) 2 + ( y −1) 2 ≥ (x −1) 2
2
3
⇒ (x −1) 2 ≤ (x −1) 2 + (x − y) 2 + ( y −1) 2 =10− 2(x + y + xy) .%
2
4
⇒ (x −1) 2 ≤ (5− xy − x − y)
3
2
2
Đặt% t = x + y + xy ≤ x + y +1 = 5 ⇒ t ∈ ⎡⎢⎣3;5⎤⎥⎦ .%
Suy%ra% P = (x − y)( y −1)(x −1)(xy + x + y) ≤
(x −1)6
43 (5−t )3 2 4t 2 (5−t )3
(xy + x + y) 2 ≤. 3
t =
.%
16
16
27
3
4t 2 (5−t )3
Xét%hàm%số% f (t ) =
%trên%đoạn%[3;5]%ta%có:%
27
20t(t − 2)(t −5) 2
32
f '(t ) = −
< 0 ⇒ f (t ) ≤ f (3) = <16 .%
27
3
Suy%ra% P < 4 %(mẫu%thuẫn%với%phương%trình%thứ%hai%của%hệ)%vậy%trường%hợp%này%vô%nghiệm.%
TH2:%Nếu% y ≥1≥ x %khi%đó%sử%dụng%bất%đẳng%thức%AM%–GM%ta%có:%
Khi%đó% P 2 ≤
2
⎛ y − x ⎞⎟
⎟ .%
( y −1)(1− x ) ≤ ⎜⎜
⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠
%
Lập%luận%tương%tự%trên%ta%có:%
( y − x )6
4t 2 (5−t )3
(xy + x + y) ≤
,t = xy + x + y ∈ ⎡⎢⎣1;3⎤⎥⎦ .%
16
27
4t 2 (5−t )3
; f max = f (2) =16 .%
Xét%hàm%trên%đoạn%[1;3]%ta%có% f (t ) =
27
⎧⎪t = xy + x + y = 2
⎪⎪
⎪⎧ x = 0
⇔ ⎪⎨
Tức%là% P 2 ≤16 ⇒ P ≤ 4 .%Dấu%bằng%xảy%ra%khi%và%chỉ%khi% ⎪⎨ y −1 =1− x
.%%%%%%%%
⎪⎪ 2
⎪⎪⎩ y = 2
2
⎪⎪⎩ x + y = 4
Vậy%hệ%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất% (x; y) = (0;2) .%%%%
%
P2 ≤
Câu%9(1,5%điểm)%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn% a ≥ 7.max {b,c };a + b + c =1 .%
Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức% P = a(b − c)5 + b(c −a)5 + c(a −b)5 .%
Ta%có%%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%7/9%
Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
P = (a −b)(b − c)(c −a)(a 3 + b 3 + c 3 + ab(a + b) + bc(c + a) + ca(c + a) −9abc)
⎡1
⎤
2
= (a −b)(b − c)(c −a) ⎢ (a + b + c)3 + (a 3 + b 3 + c 3 ) −11abc ⎥
.%
⎢3
⎥
3
⎣
⎦
⎡2
1⎤
= (a −b)(b − c)(c −a) ⎢ (a 3 + b 3 + c 3 ) −11abc + ⎥
⎢3
3 ⎥⎦
⎣
Trước%tiên%chuyển%về%biểu%thức%đối%xứng%3%biến%để%dễ%xử%lý.%
Lấy%trị%tuyệt%đối%ta%được:%
2
1
P = (a −b)(b − c)(c −a) . (a 3 + b 3 + c 3 ) + −11abc
3
3
2
1
≤ (a −b)(b − c)(c −a) . (a 3 + b 3 + c 3 ) +
3
3
.%
Bởi%vì%%
3
⎛ a + b + c ⎞⎟
1
⎟⎟ = ;
0 ≤ abc ≤ ⎜⎜
⎜⎝
⎟
3
27
⎠
.%
2 3
1
2
1
1
(a + b 3 + c 3 ) + −11abc ≥ .3abc + −11abc = −9abc ≥ 0
3
3
3
3
3
Ta%đi%tìm%giá%trị%lớn%nhất%của% P %khi%đó%a,b,c%vai%trò%như%nhau%kết%hợp%với%giả%thiết%nên%ta%có%
thể%giả%sử% a ≥ b ≥ c .%
(a −b)(b − c)(a − c) ⎡ 3
2(a + b 3 + c 3 ) +1⎤⎥ .%
Khi%đó% P ≤
⎢
⎣
⎦
3
+%Ta%có%các%đánh%giá%cơ%bản:%
(a −b)(b − c)(a − c) ≤ ab(a −b) ≤ b(1−b)(1− 2b);
2(a 3 + b 3 + c 3 ) = 2b 3 + 2(a 3 + c 3 ) ≤ 2b 3 + 2(a + c)3 = 2b 3 + 2(1−b)3
%
Suy%ra%%
b(1−b)(1− 2b)(2b 3 + 2(1−b)3 +1) b(1−b)(1− 2b)(2b 2 − 2b +1)
=
.%
3
3
⎡ 1⎤
Chú%ý.%Điều%kiện% a ≥ 7.max {b,c };a + b + c =1 ⇒ b ∈ ⎢0; ⎥ .%
⎢ 8⎥
⎣
⎦
2
b(1−b)(1− 2b)(2b − 2b +1)
Xét%hàm%số% f (b) =
trên%đoạn%[0;1/8]%ta%có%
3
f '(b) = 20b 4 − 40b 3 + 30b 2 −10b +1;
⎡ 1 ⎤ .%
%
f ''(b) = 80b 3 −120b 2 + 60b −10 = 40b 2 (2b −3) +10(6b −1) < 0,∀b ∈ ⎢0; ⎥
⎢ 8⎥
⎣ ⎦
⎛ 1 ⎞⎟ 149
Suy%ra% f '(b) ≥ f ⎜⎜ ⎟⎟ =
> 0 .%Vì%vậy%f(b)%đồng%biến%trên%đoạn%[0;1/8]%.%%
⎜⎝ 8 ⎟⎠ 1024
P ≤
⎛ 1 ⎞ 525
1
7
525
525
Suy%ra% P ≤ f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ =
.%Dấu%bằng%đạt%tại% b = ;c = 0;a = .%
⇔−
≤P≤
⎜⎝ 8 ⎟⎠ 8192
8
8
8192
8192
Vậy%giá%trị%nhỏ%nhất%của%P%bằng%Ç525/8192.%%
Chú%ý.%Câu%hỏi%đặt%ra%là%tại%sao%phân%tích%được%P%như%trên.%Nhận%thấy%khi% a = b = c ⇒ P = 0 .%
Do%đó%P%có%các%nhân%tử% (a −b)(b − c)(c −a) .%Nói%thêm%có%thể%không%cần%điều%kiện%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%8/9%
Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
a ≥ 7.max {b,c } .%Việc%chặn%thêm%điều%kiện%này%chỉ%nhằm%mục%đính%bài%toán%có%kết%quả%đẹp.%
Dạng%toán%này%bạn%đọc%tham%khảo%cuốn%“Kỹ$thuật$giải$Bất$đẳng$thức$bài$toán$Min8Max”%
cùng%tác%giả.%Để%rèn%luyện%bạn%đọc%thử%sức%với%bài%toán%mức%độ%vừa%phải%%sau%
Bài%toán.%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn% a + b + c =1 .%Tìm%giá%trị%lớn%nhất%và%nhỏ%
nhất%của%biểu%thức% P = a(b − c)3 + b(c −a)3 + c(a −b)3 .%%
Đánh%giá%chung%về%đề%thi%và%bài%làm%của%học%sinh%cho%đề%số%01/50:%%
Lưu$ý:%Phần%đánh%giá%này%dựa%vào%phản%hồi%của%học%sinh%khi%làm%bài.%
Đề%thi%ở%mức%tương%đối%khó%với%đa%số%thí%sinh%và%nếu%không%có%cách%trình%bày%tốt%sẽ%
không%có%đủ%thời%gian%để%làm%các%câu%khó.%Các%câu%từ%câu%1%đến%7.1%đề%cho%mức%độ%vừa%phải%
riêng%có%câu%1.3%;%câu%2.2%và%câu%5%đòi%hỏi%tư%duy.%Với%câu%2.2%cần%so%sánh%nghiệm%với%0%(có%thể%
xét%hàm%số%tuy%nhiên%dài).%Câu%5%đòi%hỏi%các%em%phải%tư%duy%phân%chia%tập%hợp%10%số%thành%3%
loại%%với%số%dư%khi%chia%cho%3.%Chú%ý%nếu%yêu%cầu%thay%đổi%chia%cho%m%thì%ta%phân%chia%tập%hợp%
thành%các%loại%với%số%dư%khi%chia%cho%m%(có%thể%giải%bằng%pp%liệt%kê%số%kết%quả%Ç%tuy%nhiên%khi%
tăng%số%lần%quay%lên%3,4,…%lần%thì%sẽ%dài%thì%theo%lời%giải%trên%ta%có%cách%giải%tối%ưu)%.%Đây%là%
một%bài%toán%cũng%tương%tự%như%khi%tung%đồng%thời%các%con%xúc%sắc%vậy.%Tuy%nhiên%thầy%thấy%
một%số%bạn%trình%bày%cách%dài%do%vậy%chiếm%phần%lớn%thời%gian%để%giải%quyết%các%câu%này%mà%
chưa%có%thời%gian%tập%trung%suy%nghĩ%các%bài%khó%từ%(7.2%đến%9).%Câu%7.2%nút%thắt%quan%trọng%
của%bài%toán%là%phát%hiện%IN=IA.%Câu%số%8%về%hệ%phương%trình%sẽ%khá%lạ%với%nhiều%bạn.%Hầu%
hết%tìm%được%x^2+y^2=4%từ%phương%trình%đầu%tuy%nhiên%không%xử%lý%được%vế%còn%lại(chiếm%
80%%số%điểm%của%câu%hỏi)%–%Bằng%kỹ%năng%biến%đổi%kết%hợp%đánh%giá%cơ%bản%ta%có%kết%quả%bài%
toán.%Chú%ý%thêm%câu%8%là%điều%kiện%x>=0%và%y>=1%là%cần%thiết%để%hoàn%thiện%lời%giải%cho%hệ%
(1).%Riêng%câu%số%3%một%số%bạn%mắc%sai%lầm%ở%công%thức%tính%thể%tích%khối%tròn%xoay%về%điểm%
này%các%em%cần%lưu%ý.%Câu%9%thầy%xuất%phát%từ%một%ý%tưởng%cũ%+%bài%toán%mới%tuy%nhiên%đòi%
hỏi%khéo%léo%trong%quá%trình%tiếp%cận%và%hiểu%đề%đến%trình%bày%lời%giải.%%
Cấu%trúc%đề%cho%đề%số%01/50%
Nhận%biết,%thông%hiểu:%Câu%1.1;1.2;2.1;3;4(chiếm%8%điểm/20%điểm%=40%)%
Vận%dụng:%1.3;%2.2;%5;%6;%7.1%(7,5%điểm/20%điểm%=37,5%)%
Vận%dụng%cao:%7.2;8;9%(4,5%điểm/20%điểm%=22,5%)%
Thầy%dự%đoán%mức%độ%nhận%biết,%thông%hiểu%năm%nay%chiếm%50S60%.%Tuy%nhiên%vì%là%đề%luyện%nên%
thầy%sẽ%giữ%ở%mức%độ%cao%hơn%một%chút%khoảng%40S50%.%
Mức%điểm%trong%khoảng%14k16%điểm%sẽ%đạt%yêu%cầu.%
%
Qua%đây%có%một%kinh%nghiệm%là%các%loại%toán%quen%thuộc%các%em%cố%gắng%hoàn%thiện%
lời%giải%theo%hướng%tối%ưu%để%tiết%kiệm%thời%gian%làm%bài.%Để%làm%được%điều%này%đòi%hỏi%các%
em%cần%rèn%luyện%ngay%từ%bây%giờ%bằng%cách%giải%chi%tiết%+%suy%nghĩ%mở%rộng%các%hướng%có%
thể%tiếp%cận%bài%toán%+%theo%dõi%khoá%học%sát%sao%để%giải%đề%ngay%khi%đề%được%phát%hành%với%
việc%căn%thời%gian%làm%bài%đúng%180%phút.%Sau%đó%so%sánh%đáp%án%chi%tiết%kèm%Video%thầy%
phát%hành%sau%đó!%%%%
Chúc$các$em$có$kết$quả$tốt$trong$các$đề$tiếp$theo!$
Thân$ái!$
Đông$Hà$Nội$ngày$22.01.2015$
Đặng$Thành$Nam$
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%9/9%
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam
Môn: Toán; ĐỀ SỐ 02/50
Ngày thi : 25/01/2015
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Liên hệ đăng ký khoá học – Hotline: 0976 266 202
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x 3 −3x 2 +1 (1) .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). Gọi A,B là 2 điểm cực trị của (1). Chứng
minh rằng tam giác AOB vuông cân (với O là gốc toạ độ).
2. Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (1) tại điểm có hoành độ x1 > 0 và cắt (1) tại
điểm có hoành độ x 2 thoả mãn 2x1 x 2 = −1 .
Câu 2 (1,0 điểm). Giải các phương trình
1
1. log 2 (x 2 −1) − log 2 (x +1) 2 = log 2 (x − 2) 2 .
2
2. 2(1+ sin x ) + 3 cot x = 0 .
π
2
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫
0
sin 3x
dx .
1+ cos x
Câu 4 (1,0 điểm).
1. Cho số phức z thoả mãn (1+ i).z + i.z −1−3i = 0 . Viết z 3 dưới dạng lượng giác.
1
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = − x 2 + ln(x +1) trên [0;2].
4
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = a 3, BC = 2a,SA = SB = SC và tam giác
SBC vuông. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Câu 6(1,0 điểm). Trong không gian với trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P ) : x + y − z +1 = 0 và
đường thẳng d :
x − 2 y −1 z −1
=
=
. Tìm toạ độ giao điểm I của d và (P). Viết phương trình
1
−1
−3
7 3
.d(H ;(P )) .
9
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là y −3 = 0 . Gọi M (1;4), N (3;1) lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng
⎛11 8 ⎞
AB,AC. Tìm toạ độ các điểm B,C biết trọng tâm tam giác ABC là điểm G ⎜⎜ ; ⎟⎟⎟ .
⎜⎝ 3 3 ⎠⎟
đường thẳng d’ vuông góc với (P) và cắt d tại H sao cho IH =
⎧ x (3− y) + y − 2x =1
⎪
⎪
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ⎨
.
2
⎪
x
−(
x
−
2y)x
=
5−
2y
+
3
⎪
⎪
⎩
Câu 9 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a,b,c ∈ ⎡⎣⎢0;2⎤⎦⎥ ;a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P =
2
a3 + b 3 + c 3
−
.
11−a 2 −b 2 − c 2 ab + bc + ca + 5
-‐‑-‐‑-‐‑HẾT-‐‑-‐‑-‐‑
Hotline: 0976 266 202
Chi tiết: Mathlinks.vn
Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Page 1
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN – BÌNH LUẬN
Thang điểm tương ứng:
Câu 1: 1.1(1,5 điểm); 1.2 (0,5 điểm)
Câu 2: 2.1 và 2.2 mỗi ý 0,5 điểm
Câu 4: 4.1; 4.2 mỗi ý (0,5 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x 3 −3x 2 +1 (1) .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). Gọi A,B là 2 điểm cực trị của (1). Chứng
minh rằng tam giác AOB vuông cân (với O là gốc toạ độ).
2. Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (1) tại điểm có hoành độ x1 > 0 và cắt (1) tại
điểm có hoành độ x 2 thoả mãn x1 x 2 = −1/ 2 .
1. Bước khảo sát vẽ đồ thị học sinh tự làm.
+ Hai điểm cực trị của hàm số là A(0;1), B(1;0) ⇒ A ∈ Oy, B ∈ Ox ⇒ OA ⊥ OB,OA = OB =1 .
Vậy tam giác AOB vuông cân tại O (đpcm).
2. Phương trình đường thẳng d là tiếp tuyến của (1) tại điểm x1 .
Suy ra d : y = 6(x12 − x1 )(x − x1 ) + 2x13 −3x12 +1 .
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (1):
6(x12 − x1 )(x − x1 ) + 2x13 −3x12 +1 = 2x 3 −3x 2 +1
⇔ 2(x 3 − x13 ) −3(x 2 − x12 ) −6(x12 − x1 )(x − x1 )= 0
⇔ (x − x1 )(2x 2 + (2x1 −3)x − 4x12 + 3x1 ) = 0
.
⎡x = x
1
⎢
⇔ (x − x1 ) 2 (2x + 4x1 −3) = 0 ⇔ ⎢
⎢ x = 3− 4x1
⎢
2
⎣
3− 4x1
1
; x1 ≠ x 2 ⇔ x1 ≠ .
Ta phải có x 2 =
2
2
Theo giả thiết ta có:
⎡ x =1(t / m)
⎢ 1
3− 4x1
1
2
.
x1 .
= − ⇔ 4x1 −3x1 −1 = 0 ⇔ ⎢
⎢ x = − 1 (l )
2
2
⎢ 1
4
⎣
Suy ra tiếp điểm M(1;0) và có đường thẳng d cần tìm là tiếp tuyến của (1) tại M suy ra d: y = 0 .
Câu 2 (1,0 điểm). Giải các phương trình
1
1. log 2 (x 2 −1) − log 2 (x +1) 2 = log 2 (x − 2) 2 .
2
2. 2(1+ sin x ) + 3 cot x = 0 .
⎧
⎪
x 2 −1> 0
⎪
⎡1< x ≠ 2
⎪
1. Điều kiện: ⎪
.
⎨ x +1 ≠ 0 ⇔ ⎢⎢
⎪
x
<−1
⎪
⎣
x −2 ≠ 0
⎪
⎪
⎩
Phương trình tương đương với:
Hotline: 0976 266 202
Chi tiết: Mathlinks.vn
Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Page 2
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
1
log 2 (x 2 −1) − log 2 (x +1) 2 = log 2 (x − 2) 2
2
2
x −1
x −1
⇔ log 2
= log 2 x − 2 ⇔ log 2
= log 2 x − 2 .
2
x +1
(x +1)
⎡⎪⎧ x > 2
⎢⎪⎪
⎢⎨ x −1
⎡x = − 3
⎢⎪
⎢
=
x
−
2
⎢⎪⎪ x +1
⎢
x −1
⎪
⎩
⎢
⇔
= x −2 ⇔ ⎢
⇔ ⎢x = 3
⎢
x +1
⎢⎪⎧⎪ x < 2
⎢ x =1+ 2
⎢⎪⎨
⎢⎪ x −1 = −x + 2 ⎢⎣
⎢⎪⎪
⎢⎣⎪⎩ x +1
Vậy phương trình có nghiệm là x = − 3; x = 3; x =1+ 2 .
2. Điều kiện: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ,k ∈ ! .
Phương trình tương đương với:
cos x
2(1+ sin x ) + 3.
= 0 ⇔ 2sin x(1+ sin x ) = − 3 cos x
sin x
⇒ 4sin 2 x(1+ sin x ) 2 = 3cos2 x = 3(1−sin 2 x )
⇔ (sin x +1)(2sin x −1)(2sin 2 x + 3sin x + 3) = 0
⎡
⎢ x = − π + k2π
⎢
2
⎡sin x = −1 ⎢
⎢
⎢
π
⇔⎢
⇔ ⎢ x = + k2π
1
⎢sin x =
⎢
6
⎢⎣
⎢
2
5π
⎢
+ k2π
⎢x =
6
⎢⎣
.
π
5π
+ k2π .
Thử lại chỉ nhận nghiệm x = − + k2π; x =
2
6
π
5π
+ k2π,k ∈ ! .
Vậy phương trình có nghiệm là x = − + k2π; x =
2
6
Chú ý. Có thể đưa về pt với tan(x/2) như sau:
2
⎛
x
x⎛ x
x⎞
x
x⎞
4sin cos ⎜⎜sin + cos ⎟⎟⎟ + 3 ⎜⎜cos2 −sin 2 ⎟⎟⎟ = 0
⎜⎝
2
2 ⎜⎝ 2
2 ⎟⎠
2
2 ⎟⎠
2
⎞
⎛
x⎛
x
x
x
x ⎞
⇔ 4 tan ⎜⎜tan +1⎟⎟⎟ + 3 ⎜⎜1+ tan 2 − tan 2 (1+ tan 2 )⎟⎟⎟ = 0
⎜⎝
⎟⎠
2 ⎜⎝
2
2
2
2 ⎟⎠
.
x
x
π
5π
= −1;tan = 2 + 3 ⇔ x = − + k2π; x =
+ k2π,k ∈ !
2
2
2
6
Nhận xét. Phương trình lượng giác hình thức khá đơn giản nhưng đòi hỏi kỹ năng xử lý nhất
định. Trong trường hợp phương trình chỉ có sinx, cosx mà không phân tích được thành nhân
tử có thể bình phương hai vế để đưa về phương trình đa thức một ẩn (của sinx hoặc của cosx).
⇔ tan
π
2
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫
0
Hotline: 0976 266 202
Chi tiết: Mathlinks.vn
sin 3x
dx .
1+ cos x
Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Page 3
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
π
2
Ta có : I = ∫
0
π
2
3
2
3sin x − 4sin x
sin x(3− 4sin x )
sin x(4 cos2 x −1)
dx = ∫
dx = ∫
dx .
1+ cos x
1+
cos
x
1+
cos
x
0
0
Đặt !t = cos x ⇒ dt = − sin xdx và khi đó
1
π
2
I=∫
!
Câu 4 (1,0 điểm).
0
(
4t 2 − 1
t+1
1
dt = ∫
0
4(t 2 − 1) + 3
t+1
)
1
⎛
3 ⎞
dt = ∫ ⎜ 4(t − 1) +
⎟ dt
t + 1⎠
0⎝
1
= 2t − 4t + 3ln t + 1 = −2 + 3ln 2
0
2
.
1. Cho số phức z thoả mãn (1+ i).z + i.z −1−3i = 0 . Viết z 3 dưới dạng lượng giác.
1
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = − x 2 + ln(x +1) trên [0;2].
4
1. Giả sử z = x + y.i(x, y ∈ !) theo giả thiết ta có:
(1+ i)(x + yi) + i.(x − yi) −1−3i = 0
⎧⎪ x −1 = 0
⎧⎪ x =1
.
⇔ x −1+ (2x + y −3)i = 0 ⇔ ⎪⎨
⇔ ⎪⎨
⇒ z =1+ i
⎪⎪⎩2x + y −3 = 0 ⎪⎪⎩ y =1
⎛ 1
⎛
1 ⎞⎟
3π
3π ⎞
Vì vậy z 3 = (1+ i)3 = −2 + 2i = 2 2 ⎜⎜⎜−
+
i ⎟⎟ = 2 2 ⎜⎜cos + i sin ⎟⎟⎟ .
⎜⎝
4
4 ⎟⎠
⎝⎜
2
2 ⎠⎟
⎡ x =1∈ ⎡0;2⎤
x
1
⎢⎣ ⎥⎦
⎢
; y ' = 0 ⇔ 2− x(x +1) = 0 ⇔ ⎢
2. Ta có: y ' = − +
.
2 x +1
⎢ x = −2 ∉ ⎡⎢0;2⎤⎥
⎣ ⎦
⎣
1
Tính được: y(0) = 0; y(1) = ln 2− ; y(2) = ln 3−1 .
4
1
Vì vậy ymax = y(1) = ln 2− ; ymin = y(0) = 0 .
4
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = a 3, BC = 2a,SA = SB = SC và tam giác
SBC vuông. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Ta có AB 2 + AC 2 = BC 2 = 4a 2 nên tam giác ABC vuông tại
A.
Mặt khác do SA = SB = SC nên S nằm trên đường thẳng
đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông
góc với mặt đáy (ABC).
Gọi H là trung điểm cạnh BC, thì H là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. Suy ra SH ⊥ (ABC ) .
Tam giác SBC vuông nên SH =
BC
= a .
2
1
1 1
a3 3
Vì vậy V
=
SH
.S
=
.a.
a.a.
3
=
(đvtt).
S .ABC
ABC
3
3 2
6
Hotline: 0976 266 202
Chi tiết: Mathlinks.vn
Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Page 4
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Kẻ Ax song song với BC và kẻ HK vuông góc với Ax tại K; kẻ HT vuông góc với SK tại T dễ có
AB.AC a.a 3 a 3
=
=
.
BC
2a
2
Chú ý. BC / /Ax ⇒ d(BC;SA) = d(BC;(SAK )) = d(H ;(SAK )) = HT .
HT ⊥ (SAK ) . Kẻ AI vuông góc với BC tại I. Ta có HK = AI =
Tam giác vuông SHK có
1
1
1
4
1
a 21
=
+
= 2 + 2 ⇒ HT =
.
2
2
2
7
HT
HK
SH
3a
a
a 21
.
7
Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng
x − 2 y −1 z −1
=
=
. Tìm toạ độ giao điểm I của d và
(P ) : x + y − z +1 = 0 và đường thẳng d :
1
−1
−3
(P). Viết phương trình đường thẳng d’ vuông góc với (P) và cắt d tại H sao cho
Vì vậy d(BC;SA) =
7 3
.d(H ;(P )) .
9
Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:
⎧⎪ x + y − z +1 = 0
⎧⎪ x =1
⎧⎪ x + y − z +1 = 0
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨ x − 2 y −1 z −1 ⇔ ⎪⎨−(x − 2) −( y −1) = 0 ⇔ ⎪⎨ y = 2 .
⎪⎪
⎪⎪
⎪
=
=
⎪⎩ 1
⎪⎪⎩−3(x − 2) −(z −1) = 0 ⎪⎪⎪⎩ z = 4
−1
−3
IH =
Vậy I(1;2;4).
⎧⎪ x = 2 + t
⎪⎪
Chuyển d về dạng tham số d : ⎪⎨ y =1−t ⇒ H (2 + t;1−t;1−3t ) .
⎪⎪
⎪⎪⎩ z =1−3t
Ta có
d(H ;(P )) =
(2 + t ) + (1−t ) −(1−3t ) +1
12 +12 + (−1) 2
=
3t + 3
3
;
.
IH = (t +1) 2 + (t +1) 2 + (3t + 3) 2 = 11t 2 + 22t +11
Theo giả thiết ta có:
3t + 3 7 3
.
= 11t 2 + 22t +11 ⇔ 49(t +1) 2 = 9(11t 2 + 22t +11) ⇔ t = −1 ⇒ H (1;2;4) .
9
3
!
Đường thẳng cần tìm đi qua H và nhận véc tơ pháp tuyến n = (1;1;−1) của (P) làm vtcp.
x −1 y − 2 y − 4
=
=
.
1
1
−1
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là y −3 = 0 . Gọi M (1;4), N (3;1) lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng
⎛11 8 ⎞
AB,AC. Tìm toạ độ các điểm B,C biết trọng tâm tam giác ABC là điểm G ⎜⎜ ; ⎟⎟⎟ .
⎜⎝ 3 3 ⎟⎠
Vậy đường thẳng cần tìm d ' :
Gọi M’,N’ lần lượt là các điểm đối xứng của M,N qua phân giác trong góc A. Ta có M’ thuộc
AC, N’ thuộc AB.
Hotline: 0976 266 202
Chi tiết: Mathlinks.vn
Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Page 5
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Dễ tìm được M '(1;2), N '(3;5) .
Đường thẳng AB đi qua M,N’ có phương trình là x − 2y + 7 = 0 .
Đường thẳng AC đi qua điểm N,M’ có phương trình là x + 2y −5 = 0 .
⎧ x − 2y + 7 = 0 ⎪
⎧ x = −1
⎪
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình ⎪⎨
⇔⎪
⇒ A(−1;3) .
⎨
⎪
⎪
x
+
2y
−5
=
0
y
=
3
⎪
⎪
⎩
⎩
Gọi B(2b −7;b) ∈ AB,C (−2c + 5;c) ∈ AC .
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:
⎧
⎧
⎪
⎪b + c = 5 ⎧
⎪b = 6
⎪ B(5;6)
−1+ (2b −7) + (−2c + 5) =11 ⎧
⎪
.
⇔⎪
⇔⎪
⇒⎪
⎨
⎨
⎨
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩3+ b + c = 8
⎩b − c = 7 ⎪
⎩c = −1 ⎪
⎩C (7;−1)
Vậy toạ độ điểm cần tìm là B(5;6),C (7;−1) .
Nhận xét: Đề bài thầy chỉ yêu cầu các em cần vận dụng tính chất đối xứng của điểm qua
đường phân giác trong của tam giác.
⎧
⎪
⎪ x (3− y) + y − 2x =1
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ⎨
.
2
⎪
x
−(
x
−
2y)x
=
5−
2y
+
3
⎪
⎪
⎩
5
Điều kiện: x ≥ 0; y ≤ .
2
Nhân thêm 2 vào phương trình đầu của hệ rồi cộng theo vế với phương trình thứ hai của hệ ta
được:
x 2 −( x − 2y)x − 4x + 6 x −5− 2 x y + 2y − 5− 2y = 0
⇔ (x + 2y −5)(x − x +1) + x − 5− 2y = 0
⎛
⎞⎟
1
⎜⎜
⎟⎟ = 0
⇔ (x + 2y −5)⎜ x − x +1+
.
⎟
⎜⎜⎝
x + 5− 2y ⎟⎠
⎛
⎞⎟
1
⎜
⇔ x = 5− 2y ⎜⎜do x − x +1+
> 0 ⎟⎟⎟
⎜⎜⎝
⎟⎠
x + 5− 2y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
5− x
2.
1− x − 4x + 6 x = 2
2
⎧
.
⎪
⎡ x =1
⎪x ≥ 3
⎢
⇔ (x +1) x = 5x −3 ⇔ ⎪
⇔
⎨
5
⎢
⎪
2
2
⎢⎣ x =11+ 4 7
⎪
x(x
+1)
=
(5x
−3)
⎪
⎪
⎩
(
)
(
)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (x; y) = (1;2); 11+ 4 7;−3− 2 7 .
⎡ x =1
Cách 2: Phương trình đầu của hệ ta có: ( x −1)(2 x + y −1) = 0 ⇔ ⎢⎢
.
⎢⎣ y =1− 2 x
+) Với x = 1 ⇒ y = 2 .
!
+) Với !y = 1 − 2 x thay vào phương trình thứ hai của hệ và đặt t=căn(x) ta được:
Hotline: 0976 266 202
Chi tiết: Mathlinks.vn
Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Page 6
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
t 4 −5t 3 + 2t 2 −3 = 4t + 3
⇔ (t 4 −5t 3 + 2t 2 −t −3) + (t − 4t + 3) = 0
⇔ (t − 4t −3)(t −t +1) +
2
2
t 2 − 4t −3
.
=0
t + 4t + 3
⎛
⎞⎟
1
⎟⎟ = 0 ⇔ t = 2 + 7(t > 0)
⇔ (t 2 − 4t −3)⎜⎜⎜t 2 −t +1+
⎜⎝
t + 4t + 3 ⎟⎟⎠
Bài tập tương tự
⎧2y(x − x +1) − 4x + 6 x = 6
⎪
⎪
Giải hệ phương trình ⎨
. Đ/s: (x;y)=(1;2).
2
⎪
x
−
x
x
=
5−
2y
−1
⎪
⎪
⎩
Câu 9 (1,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a,b,c ∈ ⎡⎢⎣0;2⎤⎥⎦ ;a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P =
2
a3 + b 3 + c 3
−
.
11−a 2 −b 2 − c 2 ab + bc + ca + 5
Vì ba biến đối xứng nên không mất tính tổng quát giả sử a = max {a,b,c } ⇒ a ∈ ⎡⎣⎢1;2⎤⎦⎥ .
Khi đó
a 3 + b 3 + c 3 ≤ a 3 + (b + c)3 = a 3 + (3−a)3 = 9(a − 2)(a −1) + 9 ≤ 9 ;
và 11−a 2 −b 2 − c 2 =11−(a + b + c) 2 + 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1) .
1
9
−
.
ab + bc + ca +1 ab + bc + ca + 5
1
9
−
Đặt t = ab + bc + ca . Ta có P ≥ f (t ) =
.
t +1 t + 5
Suy ra P ≥
9
1
8t 2 + 8t −16
Ta có f '(t ) =
−
=
> 0 .
(t + 5) 2 (t +1) 2 (t +1) 2 (t + 5) 2
9−a 2 −b 2 − c 2 9−a 2 −(b + c) 2
≥
= 3a −a 2 = (a − 2)(1−a) + 2 ≥ 0 .
Bởi vì t = ab + bc + ca =
2
2
20
Vì vậy f(t) đồng biến trên [2;3] suy ra f (t ) ≥ f (2) = − .
21
Đẳng thức xảy ra khi a = 2;b =1;c = 0 hoặc các hoán vị.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -‐‑20/21.
Chú ý. Nút thắt của bài toán là đánh giá a 3 + b 3 + c 3 ≤ 9;ab + bc + ca ≥ 2 . Nhiều học sinh mắc sai
lầm khi chỉ ra f(t) đạt min tại t=1. Bởi vì khi đó dấu bằng không xảy ra.
4 + abc
≥ 2 .
Ta có thể chỉ ra (2 − a)(2 − b)(2 − c) ≥ 0 ⇒ ab + bc + ca =
2
!
Ngoài ra bằng cách tương tự chứng minh được các bất đẳng thức khác:
ab + bc + ca ≥ 2;a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5 ; a 4 + b 4 + c 4 ≤17 .
Bài tập tương tự
Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a,b,c ∈ ⎡⎣⎢0;2⎤⎦⎥ ,a + b + c = 3 .
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Hotline: 0976 266 202
Chi tiết: Mathlinks.vn
2
ab + bc + ca
+ 3
.
2
2
11−a −b − c
a + b3 + c 3
2
Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Page 7
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
a2 + b 2 + c 2
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
.
ab + bc + ca
2(18−a 4 −b 4 − c 4 )
a3 + b 3 + c 3
−
.
ab + bc + ca + 7
11−a 2 −b 2 − c 2
4) Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a,b,c ∈ ⎡⎣⎢0;2⎤⎦⎥ ;a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
thức P =
2
a3 + b 3 + c 3
−
.
11−a 2 −b 2 − c 2 ab + bc + ca + 7
Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử a = max {a,b,c } ⇒ a ∈ ⎡⎣⎢1;2⎤⎦⎥ .
Khi đó
a 3 + b 3 + c 3 ≤ a 3 + (b + c)3 = a 3 + (3−a)3 = 9(a − 2)(a −1) + 9 ≤ 9 ;
và 11−a 2 −b 2 − c 2 =11−(a + b + c) 2 + 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1) .
Hotline: 0976 266 202
Chi tiết: Mathlinks.vn
Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Page 8
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Khoá)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam)
Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)03/50)
Ngày)thi):)29/01/2015)
Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề)
Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202))
Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = x 4 − 2x 2 +1 (1) .!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình! x 4 − 2x 2 = m có!bốn!
nghiệm!phân!biệt.!!
2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.!
Câu)2)(1,0)điểm).)
3
a) Giải!phương!trình! log 2 (x 2 + 6x +1) − log 2 x 2 +1 = + log 2 (x +1) .!
2
⎛
⎞
⎛
π
π⎞
b) Giải!phương!trình! sin ⎜⎜2x − ⎟⎟⎟ cos2x = 2 2 cos⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ .!!
⎜⎝
⎜⎝
3 ⎟⎠
4 ⎟⎠
4
Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân! I = ∫ x 2 −7x + 6 dx .!
0
Câu)4)(1,0)điểm).)
a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn! z −1−i.z =1 !và! z 2 −3 là!số!thuần!ảo.!!!
n
⎛
2
nx 2 ⎞⎟
⎟⎟ = a0 + a1 x +...+ a 2 x n .!Tìm!số!hạng!
b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển! ⎜⎜⎜ x n −
n
⎜⎝
2 ⎟⎠
chứa! x 20 trong!khai!triển,!biết! 4an 2−2n+2 + an 2−3n+6 = 0 .!
Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,!
AB = 2a, AD = a .!Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!vuông!góc!
với!mặt!đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc! 600 .!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!
và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!!
Câu)6)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;3;1),!B(0;2;1)!và!
mặt!phẳng! (P ) : x + y + z −7 = 0 .!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!nằm!trong!(P)!và!cách!đều!
hai!điểm!A,B.!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!để!tam!giác!MAB!có!diện!tích!nhỏ!nhất.!!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD.!Gọi!F!là!điểm!trên!
cạnh!AB!thoả!mãn! 7BF = 5FA ,!đường!thẳng!đi!qua!trung!điểm!E!của!cạnh!AD!và!trọng!tâm!
⎛ 13 3 ⎞
G!của!tam!giác!ABC!có!phương!trình!là! 11x −7y + 6 = 0 .!Biết! F ⎜⎜− ; ⎟⎟⎟ !và!đỉnh!B!có!tung!độ!
⎜⎝ 6 2 ⎟⎠
âm.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!vuông!ABCD.!
⎧⎪(x − y + 2xy )( y − x )x 2 =1
⎪
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình! ⎪⎨
.!
⎪⎪ 2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) + y − x = 2x + x
⎪⎩
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!
P=
(a + b)3
3
2
2
(2(a + b)(a + b )
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!
+
(b + c)3
3
2
2
2(b + c)(b + c )
+
(c + a)3
3
2
2
2(c + a)(c + a )
−16.
ab + bc + ca
.!
ab + bc + ca +1
Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
1!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
lllHẾTlll)
PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Thang)điểm)tương)ứng)cho)từng)ý)nhỏ:)
Câu)1:)Khảo)sát)1,0)điểm;)Tìm)m)0,5)điểm;)1.2:)0,5)điểm)
Câu)2:)2.1)và)2.2)mỗi)ý)0,5)điểm)
Câu)4:)a)và)b)mỗi)ý)0,5)điểm)
Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = x 4 − 2x 2 +1 (1) .!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình! x 4 − 2x 2 = m có!bốn!
nghiệm!phân!biệt.!!
2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.!
1. Bước!khảo!sát!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!học!sinh!tự!làm.!
+)!Phương!trình!tương!đương!với: m +1 = x 4 − 2x 2 +1 .!
Vậy!số!nghiệm!của!phương!trình!là!số!giao!điểm!của!đường!
thẳng! y = m +1 với!đồ!thị!hàm!số!(1).!
Dựa!vào!đồ!thị!hàm!số!suy!ra!để!phương!trình!có!3!nghiệm!phân!
biệt!khi!và!chỉ!khi! 0 < m +1<1 ⇔ −1< m < 0 .!!!!
!
!
2. Giả!sử!tiếp!điểm! M (m;m 4 − 2m 2 +1) .!
Phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tại!M!là! y = 4(m 3 − m)(x − m) + m 4 − 2m 2 +1 .!
Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm!của!d!và!(1):!
x 4 − 2x 2 +1 = 4(m 3 − m)(x − m) + m 4 − 2m 2 +1
!
⇔ (x − m) 2 (x 2 + 2mx + 3m 2 − 2) = 0
.!
⎡x = m
⇔ ⎢⎢ 2
2
⎣ x + 2mx + 3m − 2 = 0 (2)
Để!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!(2)!có!nghiệm!khép!khác!m.!
⎧⎪Δ' = m 2 −(3m 2 − 2) = 0 ⎡ m = −1
.!
⇔ ⎪⎨
⇔⎢
⎢ m =1
⎪⎪−m ≠ m
⎣
⎩
Từ!đó!suy!ra!có!một!tiếp!tuyến!duy!nhất!thoả!mãn!bài!toán!là! d : y = 0 .!!!!
Câu)2)(1,0)điểm).)
3
a) Giải!phương!trình! log 2 (x 2 + 6x +1) − log 2 x 2 +1 = + log 2 (x +1) .!
2
⎛
⎞
⎛
π
π⎞
b) Giải!phương!trình! sin ⎜⎜2x − ⎟⎟⎟ cos2x = 2 2 cos⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ .!!
⎜⎝
⎜⎝
3 ⎟⎠
4 ⎟⎠
⎧⎪ x +1> 0
1. Điều!kiện:! ⎪⎨ 2
⇔ x > 2 2 −3 .!
⎪⎪ x + 6x +1> 0
⎩
Phương!trình!tương!đương!với:!!
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!
Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))
2!
- Xem thêm -