Tài liệu 4. bài tập khoang cach giua hai duong thang

Chia sẻ tài liệu miễn phí cho học sinh mất gốc đạt 8-9đ Kết bạn, theo dõi và chia sẻ để nhận nhiều tài liệu hơn nhé :) Trần Hoài Thanh FB:fb.com/tranhoaithanhvicko 02. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC Bài 1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy a điểm M sao cho AM = , cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a. 2 Tính thể tích khối chóp S.HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
ABC = 600 , hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với
= 1200 , tính thể tích của mặt phẳng (ABC), lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MC = 2MB. Biết BAC khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a.
= 600 , cạnh AC = Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại B và góc BAC 2a. Cạnh bên AA ' tạo với đáy một góc bằng 600 và chân đường vuông góc hạ từ A ' xuống mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách giữa đường thẳng B ' C ' và AA ' theo a. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có AB // CD, tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = CD = 2a, SA = SB = SC = a 2 . Tính thể tích khối S.BCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA vuông góc với (ABCD) và SA = a. Mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc SD. Tính thể tích khối chóp có đỉnh là S và đáy là thiết diện của (P) với hình chóp S.ABCD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a. Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều và AB = BC = CD = a. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích của khối chóp a 3 . 2 Bài 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a, cạnh AB = 2a, đặt cạnh AD = x (a không đổi, x thay đổi). Tính theo a và x thể tích khối chóp S.ABCD. Khi thể tích đó lớn nhất tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC), (SCD) và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC. S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Ta có DH ⊥ AC (tính chất góc có cạnh tương ứng vuông góc của hình vuông). 1 Do đó, S HCD = DH .HC 2 2 2 AC = AD + DC 2 ⇒ AC = a 5. Hệ thức lượng cho ∆ADC: DH.AC = DA.DC DC.DA 2a ⇒ DH = = AC 5 4a ⇒ HC = DC 2 − DH 2 = . 5 1 4a 2 DH .HC = . 2 5 1 4a 3 Thể tích khối chóp S.HCD: VS . HCD = SH .S HCD = (đvtt) 3 15 Dựng HE ⊥ SD. Ta có SH ⊥ (ABCD) nên SH ⊥AC và DH ⊥ AC , do đó AC ⊥(SHD) Mà HE ⊂ (SHD) nên HE ⊥ AC Tù đó HE là đoạn vuông góc chung của SD và AC nên HE = d ( SD; AC ) Do đó diện tích ∆HCD là S HCD = ∆SHD vuông tại H nên 1 1 1 2a 2a = + ⇒ HE = . Vậy, d ( SD; AC ) = HE = . 2 2 2 3 3 HE SH HD Bài 2: Gọi O = AC ∩ BD , M là trung điểm AB và I là trung điểm của AM. Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên CM ⊥ AB, OI ⊥ AB Ta có CM = a 3 a 3 a2 3 , OI = , S ABCD = 2 4 2 Do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) và ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO ⇒ SO ⊥ ( ABCD )
= 300 Kẻ OI ⊥ AB; AB ⊥ SO ⇒ AB ⊥ ( SOI ). Khi đó (
SAB, ABCD ) = (
OI , SI ) = SIO Xét tam giác vuông SOI ta được SO = OI .t an300 = a 3 3 a . = 4 3 4 1 1 a a 2 3 a3 3 Suy ra VS . ABCD = SO.S ABCD = . . = (đvtt) 3 3 4 2 24 Gọi J = OI ∩ CD và H là hình chiếu vuông góc của J trên SI a 3 Suy ra IJ = 2OI = và JH ⊥ ( SAB ) . Do CD // AB ⇒ CD // ( SAB ) . 2 Suy ra d ( SA, CD ) = d CD, ( SAB )  = d  J , ( SAB )  = JH Xét tam giác vuông IJH ta được JH = IJ .sin300 = a 3 a 3 1 a 3 . = . Vậy d ( SA, CD ) = . 2 2 4 4 Bài 3: Hình chiếu của SB và SC trên (ABC) là AB và AC, mà SB = SC nên AB = AC. Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABC ta có : BC2 = 2AB2 – 2AB2cos1200 ⇔ a2 = 3AB2 ⇔ AB = Mà SA2 =SB 2 -AB 2 = a 2 − a2 3 ⇒ SA = a 2 3 a 3 S ; l H a2 3 1 1 a2 3 A S ∆ABC = AB. AC .sin1200 = = 2 2 3 2 12 1 a 2 a2 3 a3 2 ⇒ VS > ABC = = (dvtt) M 3 3 12 36 B Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABM ta có: a2 a a 2 2 2 0 AM = AB + MB − 2 AB.MB cos120 = ⇒ AM = ⇒ AM = BM = . 9 3 3 0 0


Do đó tam giác AMB cân tại M nên BAM = ABM = 30 ⇒ MAC = 90 ⇒ AM ⊥ AC (1) Mặt khác: SA ⊥ SC (do SA ⊥ ( ABC )) ⇒ SA ⊥ AC (2) Từ (1) và (2) ta có: AC ⊥ ( SAM ) (3) Kẻ AH ⊥ SM ( H ∈ SM ) (4) Từ (3) và (4) ta được: d ( AC , SM ) = AH = SA. AM SA + AM 2 2 =a C 2 (dvdd ) 21 Bài 4: Gọi H là trung điểm của AC, do tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Theo bài ta có A ' H ⊥ ( ABC ). ⇒ (
A ' A;( ABC ) ) = (
A ' A; A ' H ) =
A ' AH = 600 Ta có AB = a; BC = a 3 ⇒ S ∆ABC = a2 3 1 AB.BC = 2 2 Mặt khác A ' H = AH .tan 600 = a 3. Thể tích của khối lăng trụ là V = S ABC . A ' H = a2 3 3a 3 .a 3 = (đvtt). 2 2  B ' C ' ⊂ ( BCC ' B ') Ta có  ⇒ d ( B ' C '; A ' A ) = d ( A ';( BCC ' B ') )  A ' A // ( BCC ' B ') Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và A ' B '.  BC ⊥ HI Ta có  ⇒ BC ⊥ ( A ' HI )  BC ⊥ A ' H Do HI // AB // A ' B ' nên A ' HIB ' là một mặt phẳng. Trong ( A ' HIB ') dựng A ' K ⊥ B ' I  BC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ BC ⊥ A ' K Ta  ⇒ A ' K ⊥ ( BCC ' B ') hay A ' K = d ( A ';( BCC ' B ') ) .  A' K ⊥ B ' I a 3 a 15 1 AB = = A ' J ; B ' I = IJ 2 + B ' J 2 = 2 2 2 1 1 IJ . A ' B ' 6a Diện tích tam giác S∆A ' IB = A ' K .B ' I = IJ . A ' B ' ⇒ A ' K = = . 2 2 B'I 15 6a Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C ' bằng . 15 Ta có HI = Bài 5: (Các em tự vẽ hình nhé) 2 1 a 1 a 5a 2 1 5a 2 5a 3 3 S NDCM = a 2 −   − a= (đvtt).  →VS .NDCM = a 3 = 2 2 2 2 8 3 8 24 a2 a 5

= ; NCD = ADM ⇒ DM ⊥ NC. 4 2 a2 2a = Suy ra DC 2 = HC.NC ⇒ HC = a 5 5 2 Ta có tam giác SHC vuông tại H, và khoảng cách của DM và SC chính là chiều cao h vẽ từ H trong tam giác SHC 1 1 1 5 1 19 2a 3 T ừ đó 2 = + = 2+ 2 = ⇒h= 2 2 2 h HC SH 4a 3a 12a 19 Ta có NC = a 2 + Bài 6:
Ta có: AB / /( SCD ) ⊃ SC ⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ))
Gọi H hình chiếu S trên mp(ABCD). Vì SA = SB = SC, nên: HA = HB = HC Suy ra: H là trung điểm BC (vì tam giác ABC vuông tại A)
Qua H dựng đường thẳng song song AC cắt CD, AB tại E, F Ta có CD ⊥ EF , CD ⊥ SH ⇒ ( SEF ) ⊥ ( SCD) Kẻ FK ⊥ SE ⇒ FK ⊥ ( SCD) ⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD)) = FK Trong tam giác ABC có:  = 1 ⇒C  = 300 ⇒ BCD
= 1200 sin C 2 Trong tam giác BCD có: BD = 2a 3 Gọi M là trung điểm BD, ta có BD ⊥ CM CM = a a3 3 S△ BCD = a 2 3 ; SH = a . Do đó VS . BCD = . 3 SH .EF
Trong tam giác SEF, ta có: SH .EF = FK .SE ⇒ FK = SE Với SH = SA2 − AH 2 = a , EF = AC = a, SE = SF = SA2 − AF 2 = a.a 2a = a 7 7 2 Bài 7: Ta dễ dàng tính được ⇒ FK = 2a 3 . 15  BC ⊥ CD + Ta có  ⇒ BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD.  BC ⊥ SB +V= Khi đó d ( SB; CD ) = BC = 2a. Bài 8: a 7 2 Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD). Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng SD. Do ABCD là nửa lục giác đều nên AB vuông góc với BD, kết hợp với AB vuông góc với SH suy ra AB ⊥ ( SBD ) ⇒ AB ⊥ BK ⇒ BK là đoạn vuông góc S K A chung của AB và SD suy ra BK = D a 3 2 H B C Mặt khác ta có 2 S SBD = SH .BD = BK .SD ⇒ SH .a 3 = ⇒ 2SH = SH 2 + a 3 . SH 2 + HB 2 2 4a 2 4a 2 2a ⇒ 4SH 2 = SH 2 + ⇒ SH = 3 3 3 1 1 3 3a 2 AB.BD + BC.CD.sin1200 = 2 2 4 1 2a 3a 2 3 a 3 3 = . . = 3 3 4 6 Ta có S ABCD = S ABD + S BCD = Vậy VABCD = 1 SH .S ABCD 3 Bài 9: + Gọi O = AC ∩ BD từ giả thiết suy ra SO ⊥ ( ABCD ) và ABCD là hình chữ nhật. 1 32a 2 − x 2 ĐK: 0 < x < 4 2a Khi đó SO = SA2 − AO 2 = 9a 2 − (4a 2 + x 2 ) = 4 2 1 Từ đó VS . ABCD = 32a 2 − x 2 .2a.x 3 1 a 32a 3 32a 2 − x 2 .2a.x ≤ (32a 2 − x 2 + x 2 ) = + Ta có VS . ABCD = 3 3 3 3 32a Vậy maxVS . ABCD = ⇔ x = 4a . Khi đó SO = 2a 3 z S A D y O B C x + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ thì: O(0;0;0), B(a;-2a;0), C(a;2a;0), D(-a;2a;0), A(-a;-2a;0),  S(0;0;2a). Khi đó VTPT của (SBC) là: n SBC (2;0;1)  VTPT của (SCD) là: n SCD (0;1;1)   n SBC .n SCD 2.0 + 0.1 + 1.1 10 Gọi α là góc giữa hai mp (SBC) và (SCD) thì: cosα =  = =  10 5. 2 n SBC . n SCD     SB, AC  .SC a 6   Ta có d ( SB, AC ) = =   3  SB, AC    // Các em dùng pp hình cổ điển tính lại để so sánh nhé//