Mô tả:
XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại một điểm xo
-B1: Tìm tập xác định của hàm số.
-B2: Xét sự tồn tại của f(xo)
lim f ( x )
-B3: Xét sự tồn tại của
x � xo
lim f ( x)
x � xo
-B4: So sánh
và f(xo)
�g ( x) nêu x �x o
f ( x) �
�h( x) nêu x = x o
Nếu hàm số có dạng
lim f ( x) lim g ( x)
x � xo
x � xo
thì tìm
lim f ( x ) f x o �
x �xo
Nếu
hàm số liên tục tại xo.
lim f ( x) �f x o �
x �xo
Nếu
hàm số gián đoạn tại xo.
�lim f ( x) lim g ( x)
x �xo
�x �xo
�
f ( x) lim h( x)
�xlim
x � xo
��xo
�g ( x) nêu x �x o
f ( x) �
�h( x ) nêu x < x o
Nếu hàm số có dạng
VD: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
�x 2 16
nêu x �4
�
f ( x) �x 4
�x 4 nêu x 4
�
a)
tại x = 4
2
�x 4 x 4 nêu x �1
f ( x) �2
nêu x < 1
�x
c)
tại x= 1
a)
Tập xác định:
thì tìm
f ( x)
b)
x2 2 x 1
x
tại x = 0
Giải
D=R
Ta có: f(4) = 8
lim x 2−16
l ℑ f ( x )=
x→ 4
x→ 4
x−4
lim ( x−4 ) ( x+ 4 )
= x →4
x−4
=lim ( x+ 4 )=8
x →4
� lim f ( x) f (4)
x �4
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 4.
b)
Tập xác định:
¿
D=R {0¿ ¿
Ta có hàm số f ( x ) không xác định tại x = 0 nên không tồn tại f ( 0 )
Vậy hàm số f ( x ) không liên tục tại x= 0.
c) Tập xác định:
Ta có:
D=R
f ( 1) = 1
(1)
x → 1+¿ ( x2 + 4 x−4 ) =1
x → 1+¿ f ( x )=l ℑ
¿
lℑ
¿
x → 1−¿ x 2=1
x → 1−¿ f ( x )=l ℑ
¿
lℑ
¿
x →1−¿ f ( x ) =1
x → 1+¿ f ( x )=l ℑ
¿
⇒l ℑ
¿
⇒ l ℑ f ( x )=1(2)
x →1
lim f ( x) f (1)
x �1
Từ (1) và (2) ta có
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1.
Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên một khoảng (một đoạn)
Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0 (a; b) f(x) liên tục trên (a; b)
lim f ( x) f ( a), lim f ( x) f (b)
Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0 (a; b) và
x �a
x �b
f(x) liên tục trên [a; b]
2
VD : Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
Giải. Tập xác định: D=R
x −5 x + 6
khi x > 3
x −3
2 x + 1 khi x ≤3
¿
f ( x )= ¿ { ¿ ¿ ¿
¿
2
-
Với x >3: f(x) =
x −5 x+6
x−3
2
-
do đó hàm số
¿
R {3 ¿ ¿
f(x) liên tục trên (3; +) (1)
Với x < 3: f(x) = 2x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là R do đó hàm số f(x)= 2x+1 liên tục trên
R
f(x) =
-
x −5 x+6
x−3
là hàm phân thức hữu tỉ nên có tập xác định là
¿
R {3 ¿ ¿
liên tục trên
f(x) liên tục trên (Với x = 3:
∞
;3) .
2
*
( x−3 )( x−2)
x −5 x +6
lim f ( x )=lim
= lim
= lim ( x−2)=1
+
+
+
x−3
x−3
x → 3+
x →3
x→3
x→ 3
lim f ( x )=lim ( 2 x +1)=7
x → 3−
−
x→ 3
*
lim f ( x )≠lim f ( x )
Vì
x → 3+
−
x →3
nên hàm số đã cho không có giới hạn hữu hạn khi x
Do đó nó không liên tục tại x = 3.
→
3.
Vấn đề 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM.
Phương pháp: Dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.
√ 3 x +4 −1 khi x ≠−1
x +1
m khi x =−1
¿
f ( x )=¿ { ¿ ¿ ¿
¿
VD1:Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x= -1:
Giải.Tập xác định: D=R
Ta có: f (−1 )=m
lim f ( x )= lim
x →−1
√3 x+4−1 = lim
x →−1
3 x +4−1
3
3
= lim
=
x →−1 ( x+1 )( √ 3 x +4 +1) x →−1 √ 3 x +4 +1 2
x+1
⇔ lim f ( x )=f (−1)⇔m=
Hàm số trên liên tục tại x = -1
VD2: Định a để hàm số liên tục:
Tập xác định:
-
x →−1
3
2
�5 ax 2 nêu x > 2
f ( x) �
�x 1 nêu x �2
trên R
Giải
D=R
2
Với x >2: f ( x )=5−a x là hàm đa thức nên có tập xác định là
R do đó hàm số f ( x )=5−a x 2 liên tục trên
R f(x) liên tục trên (2; +) (1)
-
Với x < 2: f(x) = x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là
-
f(x) liên tục trên (Với x =2:
f(2) = 3
∞
;2)
R do đó hàm số f(x) = x+1 liên tục trên R
(2)
lim f ( x) lim (5 ax 2 ) 5 4a
x �2
x �2
lim f ( x) lim (x + 1) 2 1 3
x �2
x �2
Từ (1) và (2) Hàm số f(x) liên tục trên R\{2} (f(x) liên tục trên R f(x) liên tục tại x = 2
� lim f ( x) lim f ( x) f (2)
x �2
x �2
� 5 4a 3 � 4a 2 � a
1
2
1
2
Vậy a =
thì f(x) liên tục trên R.
Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn [a; b]
-B1: Biến đổi để vế phải là số 0. Đặt f(x) là vế trái.
-B2: Tìm tập xác định của f(x). Chứng tỏ f(x) là hàm số liên tục trên [a; b].
-B3: Tìm 2 số c, d thuộc [a; b] (c < d) sao cho f(c).f(d)<0.
có xo (c; d): f(xo) = 0.
Kết luận phương trình có nghiệm thuộc [a; b].
Chú ý: Muốn chứng minh f(x) = 0 có 2, 3, … nghiệm trên [a; b] thì cần tìm 2, 3, …khoảng rời nhau mà trên mỗi
khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm.
o Để chứng minh phương trình có nghiệm, cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
và f(a).f(b)<0.
o Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho:
+ Các giá trị f(a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
+ Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0.
o Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm, cần tìm được k cặp số ai và bi sao cho các khoảng (ai;bi) rời
nhau, f(ai).f(bi)<0 và hàm số y = f(x) liên tục trên tất cả các đoạn [ai;bi].
VD1: Chứng tỏ phương trình
a) 3x4 + 4x3 – x2 + 2x – 1 = 3x +4 có nghiệm thuộc (-1; 3)
b) x4 – x2 + 4x = 2x2 + 6 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2)
Giải
a) Ta có: 3x4 + 4x3 – x2 + 2x – 1 = 3x +4 3x4 + 4x3 – x2 – x – 2 = 0
Đặt f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 – x – 2
-
TXĐ:
D=R
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R f(x) liên tục trên [-1; 3]
Ta lại có: f(0) = 2 ; f(1) = 3
f(0).f(1) = - 6 < 0
f(x) có nghiệm xo (0; 1).
Vậy phương trình có nghiệm thuộc (-1;3)
b) Ta có: x4 – x2 + 4x = 2x2 + 6 x4 – 3x2 + 4x – 6 = 0
Đặt f(x) = x4 – 3x2 + 4x – 6
-
TXĐ:
D=R
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R f(x) liên tục trên [1; 2]
Ta lại có: f(1) = - 4 ; f(2) = 6
f(1).f(2) =- 24 < 0
f(x) có nghiệm xo (1; 2).
Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2)
VD2: Chứng minh rằng phương trình 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2)
Giải: Đặt f(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2
-
TXĐ:
D=R
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R f(x) liên tục trên các đoạn [-2;0], [0;1], [1; 2].
Ta lại có: f(- 2) = - 19; f(0) = 3; f(1) = - 1; f(2) = 1
nên f(-2).f(0) = -57 < 0 f(x) có nghiệm x1 (-2; 0)
f(0).f(1) = -3 < 0 f(x) có nghiệm x2 (0; 1)
f(1).f(2) = -1 < 0 f(x) có nghiệm x3 (1; 2)
Vậy phương trình 2x3 – 3x2 – 3x + 2= 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2).
VD3: CMR phương trình: 2x3- 5x2 +x +1=0 có ít nhất hai nghiệm.
Giải: Xét hàm số f(x)= 2x3-5x2+x+1.
-
TXĐ:
D=R
Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] và [1;3].
Ta lại có: f(0)=1; f(1)= -1; f(3)=13.
Do đó f(0).f(1)<0 f(x) có nghiệm x1 0; 1)
f(1).f(3)<0 f(x) có nghiệm x2 (1; 3)
Vậy phương trình: 2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.
VD4. Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m2- 4)(x-1)6+ 5x2 -7x+1=0
Giải. Xét hàm số f(x)=(m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1.
Ta có f(x) liên tục trên R, suy ra f(x) liên tục trên [1;2].
Ta có f(1)= -1; f(2) = m2+3.
Do đó f(1).f(2)<0
Vậy phương trình (m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1= 0 có một nghiệm thuộc khoảng (1;2), nghĩa là có nghiệm.
BÀI TẬP
x2+ 4 x +3
khi x >−3
x +3
A . x −1 khi x ≤−3
¿
f ( x )= ¿ { ¿ ¿ ¿
¿
Bài 1. Phải chọn A bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R.
2
x + 3 x +2
khi x >−1
x+ 1
1 khi x ≤−1
¿
f ( x )=¿ { ¿ ¿ ¿
¿
Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.
Bài 3.Chứng minh rằng phương trình:
a) 2x5 +3x4 +3x2 -1= 0 có ít nhất 3 nghiệm.
c) 2x3 +3x2 +10x +200= 0 luôn có nghiệm.
4
2
b) 4x +2x –x -28= 0 luôn có nghiệm
� 3x 1 2
�
f x � x 1
�
ax 3
�
Bài 4
khi x �1
khi x 1
:Cho hàm số
. Tìm a để hàm số liên tục tại
x 3
.
�x 2 1
�
f ( x ) �x 1 khi x 1
�
mx 2 khi x �1
�
Bài 5: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1
�x 3 1
�
f ( x ) �x 1 khi x �1
�
2m 1 khi x 1
�
Bài 6: Cho hàm số f(x) =
. Xác định m để hàm số liên tục trên R..
�x 2 5 x 6
�
f (x) � x 3
�
2x 5
�
x0 3
Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại
khi x �3
khi x 3
:
Bài 8: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
�x 2 4
�
f ( x ) �x 2
�4
�
voi x �2
voi
x 2
1,
tại x = -2
2, f(x) =
Bài 9: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
{
1− √1− x
x
f (x )=
1
2
tại x = 3
�x 2 x 2
�
f x � x 2
� 5 x
�
, x≠0
, x=0
a)
khi x > 2
khi x �2
b)
� x 7 3
�
f ( x) � x 2
� a 1
�
khi x �2
khi x 2
Bài 10: Tìm điều kiện của số thực a sao cho hàm số sau liên tục tại x 0.
với x0 = 2
2 x 10 x 7 0
3
Bài 11:a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
x 3 1000 x 0,1 0
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
d) Chứng minh phương trình
x 2 sin x x cos x 1 0
có ít nhất một nghiệm
x0 � 0;
.
m x 1
e) Chứng minh phương trình
3
x 2 2x 3 0
luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
- Xem thêm -