Tài liệu Xấp xỉ tuyến tính và áp dụng vào bài toán khai triển tiệm cận của nghiệm phương trình sóng phi tuyến tính

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑAÏI HOÏC CAÀN THÔ NGUYEÃN THÒ THAÛO TRUÙC XAÁP XÆ TUYEÁN TÍNH VAØ AÙP DUÏNG VAØO BAØI TOAÙN KHAI TRIEÅN TIEÄM CAÄN CUÛA NGHIEÄM PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN TÍNH LUAÄN VAÊN THAÏC SYÕ TOAÙN HOÏC CHUYEÂN NGAØNH TOAÙN GIAÛI TÍCH MAÕ SOÁ: 60.46.01 Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc: 1. TS. NGUYEÃN THAØNH LONG 2. TS. NGUYEÃN COÂNG TAÂM THAØNH PHOÁ CAÀN THÔ 03-2003 Luaän vaên ñöôïc hoaøn thaønh taïi: Tröôøng Ñaïi hoïc Caàn Thô. Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc: 1. TS. Nguyeãn Thaønh Long 2. TS. Nguyeãn Coâng Taâm Khoa Toaùn- tin hoïc, Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. Ngöôøi nhaän xeùt 1 : TS. Ñinh Ngoïc Thanh Khoa Toaùn- tin hoïc, Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. Ngöôøi nhaän xeùt 2 : TS. Ñaëng Ñöùc Troïng Khoa Toaùn- tin hoïc, Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Tp. Hoà Chí Minh. Hoïc vieân cao hoïc: Nguyeãn Thò Thaûo Truùc Boä moân Toaùn- Khoa Sö phaïm, Tröôøng Ñaïi hoïc Caàn Thô. Luaän vaên seõ ñöôïc baûo veä taïi Hoäi Ñoàng chaám luaän aùn caáp Tröôøng taïi Tröôøng Ñaïi hoïc Caàn Thô, vaøo luùc ……giôø, ngaøy 19 thaùng 4 naêm 2003. Coù theå tìm hieåu luaän vaên taïi Phoøng Sau Ñaïi hoïc, thö vieän Tröôøng Ñaïi Hoïc Caàn Thô. THAØNH PHOÁ CAÀN THÔ 3- 2003 Lôøi ñaàu tieân, toâi xin kính gôûi ñeán Thaày Nguyeãn Thaø nh Long vaø Thaà y Nguyeã n Coâng Taâ m lôøi caûm ôn saâu saéc nhaát veà söï giuùp ñôõõ cuûa quyù Thaà y trong vieäc hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Chaân thaønh caûm ôn Thaà y Ñinh Ngoï c Thanh vaø Thaà y Ñaë ng Ñöù c Troï ng, ñoïc caån thaän luaän vaên cuûa toâi vaø cho toâi nhieàu nhaän xeùt boå ích. Xin chaân thaønh caûm ôn quyù Thaà y Coâ Khoa Toaùn- Tin hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân Thaønh Phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình giaûng daïy toâi trong suoát khoùa hoïc. Xin caûm ôn quyù Thaà y Coâ thuoäc Khoa Sö Phaïm - Tröôøng Ñaïi Hoïc Caàn Thô noùi chung, quyù Thaà y Coâ Boä moân Toaùn- Khoa Sö Phaïm noùi rieâng ñaõ trang bò cho toâi kieán thöùc neàn taûng vaø luoân ñoäng vieân giuùp ñôõ toâi trong thôøi gian qua. Xin caûm ôn quyù Thaà y Coâ thuoäc Phoøng quaûn lyù Khoa hoïc vaø ñaøo taïo Sau Ñaïi hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Caàn Thô ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi giuùp toâi hoaøn thaønh chöông trình hoïc. Caûm ôn caùc Baï n hoï c vieâ n lôùp cao hoïc Khoaù 7 ñaõ hoã trôï cho toâi nhieàu maët trong thôøi gian hoïc. Lôøi thaân thöông nhaát xin ñöôïc gôûi ñeán gia ñình toâi, nôi ñaõ taïo cho toâi moïi ñieàu kieän thuaän lôïi ñeå hoïc taäp vaø hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Nguyeãn Thò Thaûo Truùc MUÏC LUÏC Trang 0 1. Muïc luïc 2. Phaàn môû ñaàu 1 3. Chöông 1. Moät soá coâng cuï chuaån bò 5 1.1. Caùc kyù hieäu veà khoâng gian haøm 5 1.2. Caùc boå ñeà quan troïng 6 4. Chöông 2. Khaûo saùt phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp 2.1. Giôùi thieäu 8 8 2.2. Thuaät giaûi xaáp xæ tuyeán tính 10 2.3. Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 19 5. Chöông 3. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm 24 6. Chöông 4. Khaûo saùt moät tröôøng hôïp cuï theå 33 7. Keát luaän 43 8. Taøi lieäu tham khaûo 45 1 PHAÀN MÔÛ ÑAÀU Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi khaûo saùt phöông trình soùng phi tuyeán moät chieàu lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân khoâng thuaàn nhaát. Chuùng toâi thu ñöôïc nghieäm baèng caùch thieát laäp moät daõy qui naïp hoäi tuï maïnh trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp. Moät soá tính chaát veà khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm theo tham soá beù cuõng ñöôïc khaûo saùt sau ñoù. Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi xeùt phöông trình soùng phi tuyeán sau ñaây. u tt − u xx = f ( x, t , u , u x , u t ), x ∈ Ω = (0,1), 0 < t < T , (0.1) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát u x (0, t ) − h0 u (0, t ) = g 0 (t ), u (1, t ) = g1 (t ), (0.2) vaø ñieàu kieän ñaàu u ( x,0) = u~0 ( x), u t ( x,0) = u~1 ( x), (0.3) trong ñoù h0 laø haèng soá khoâng aâm cho tröôùc vaø f , g 0 , g1 , u~0 , u~1 laø caùc haøm cho tröôùc. Phöông trình (0.1) vôùi caùc daïng khaùc nhau cuûa f vaø caùc ñieàu kieän khaùc nhau ñaõ ñöôïc khaûo saùt bôûi nhieàu taùc giaû. Cuï theå laø moät soá tröôøng hôïp sau: Trong [5] Ficken vaø Fleishman ñaõ thieát laäp söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm toaøn cuïc vaø tính oån ñònh cuûa nghieäm naøy cho phöông trình utt − u xx − 2α1ut − α 2 u = εu 3 + b, ε > 0 beù. (0.4) Trong [12] Rabinowitz ñaõ chöùng minh söï toàn taïi cuûa nghieäm tuaàn hoaøn cho phöông trình u tt − u xx + 2α1u t = ε f ( x, t , u , u x , u t ), (0.5) 2 trong ñoù ε laø tham soá beù vaø f tuaàn hoaøn theo thôøi gian. Trong [2] Caughey vaø Ellison ñaõ hôïp nhaát caùc tröôøng hôïp tröôùc ñoù ñeå baøn veà söï toàn taïi duy nhaát vaø oån ñònh tieäm caän cuûa caùc nghieäm coå ñieån cho moät lôùp caùc heä ñoäng löïc lieân tuïc phi tuyeán. Trong [3] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh ñaõ chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát cuûa moät nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (0.1), (0.3) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát (0.6) u (0, t ) = u (1, t ) = 0, vôùi soá haïng phi tuyeán trong (0.1) coù daïng (0.7) f = ε f (t , u ). Baèng söï toång quaùt cuûa [4] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh vaø Nguyeãn Thaønh Long ñaõ xeùt baøi toaùn (0.1), (0.3), (0.6) vôùi soá haïng phi tuyeán coù daïng (0.8) f = f (t , u , u t ), Trong [7], [8] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh vaø Nguyeãn Thaønh Long ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn (0.1), (0.3) vôùi soá haïng phi tuyeán coù daïng (0.9) f = f (u, u t ). Trong [7] caùc taùc giaû ñaõ xeùt baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát u x (0, t ) = h u (0, t ) + g (t ), u (1, t ) = 0, (0.10) trong ñoù h > 0 laø haèng soá cho tröôùc; trong [8] vôùi ñieàu kieän bieân ñöôïc xeùt toång quaùt hôn t u x (0, t ) = g (t ) + h u (0, t ) − ∫ k (t − s ) u (0, s ) ds , u (1, t ) = 0. 0 (0.11) 3 Trong [9] Nguyeãn Thaønh Long vaø Traàn Ngoïc Dieãm ñaõ xeùt baøi toaùn (0.1), (0.3) vôùi tröôøng hôïp u x (0, t ) − h0 u (0, t ) = u x (1, t ) + h1 u (1, t ) = 0, (0.12) trong ñoù h0 , h1 laø haèng soá khoâng aâm cho tröôùc vôùi h0 + h1 > 0. Trong phaàn thöù nhaát (chöông 2) chuùng toâi lieân keát vôùi phöông trình (0.1) moät daõy qui naïp tuyeán tính bò chaën trong moät khoâng gian haøm thích hôïp. Söï toàn taïi nghieäm cuûa (0.1), (0.2), (0.3), (0,12) ñöôïc chöùng minh baèng phöông phaùp Galerkin vaø compat yeáu. Chuù yù raèng phöông phaùp tuyeán tính hoùa trong caùc baøi baùo [4, 9] khoâng duøng ñöôïc trong caùc baøi baùo [7, 8]. Phaàn thöù hai (chöông 3 vaø 4) chuùng toâi nghieân cöùu caùc khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm theo moät tham soá nhieãu ε cho baøi toaùn sau:  u εtt − ∆u ε = f ( x, t , u ε , u εx , u εt )  + ε f 1 ( x, t , u ε , u εx , u εt ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,  ( Pε )   u εx (0, t ) − h0 u ε (0, t ) = g 0 (t ), u ε (1, t ) = g1 (t ),  u ε ( x,0) = u~0 ( x), u εt ( x,0) = u~1 ( x). Neáu caùc haøm soá f ∈ C 3 ( [0,1] × IR+ × IR 3 ), f1 ∈ C 2 ( [0,1] × IR+ × IR 3 ) vaø moät soá ñieàu kieän phuï, thì nghieäm uε cuûa baøi toaùn ( Pε ) coù moät khai trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo ε , vôùi ε ñuû nhoû. Trong tröôøng hôïp f ≡ 0, f1 = f1 (u ) vôùi f1 ∈ C N ( IR), chuùng toâi thieát laäp keát quaû khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm ñeán caáp N + 1 theo ε (chöông 4). Caùc keát quaû treân ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái cuûa [1, 3, 4, 9 -11]. Toaøn boä luaän vaên naøy seõ chia thaønh caùc chöông muïc sau ñaây: Phaàn môû ñaàu nhaèm giôùi thieäu toång quaùt veà baøi toaùn vaø neâu ra caùc keát quaû tröôùc ñoù, ñoàng thôøi giôùi thieäu toùm taét caùc chöông tieáp theo. Chöông 1 giôùi thieäu moät soá kieán thöùc chuaån bò, caùc kyù hieäu vaø caùc khoâng gian haøm thoâng duïng. Moät soá keát quaû veà pheùp nhuùng cuõng ñöôïc nhaéc laïi ôû ñaây. 4 Chöông 2 chuùng toâi khaûo saùt baøi toaùn (0.1) – (0.3), keát quaû chính cuûa chöông naøy laø chöùng minh moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm yeáu trong tröôøng hôïp f ∈ C 1 ( [0,1] × IR+ × IR 3 ), u~0 ∈ H 2 (0,1), g 0 , g1 ∈ C 3 ( IR+ ), vôùi haèng soá h0 ≥ 0. Phöông phaùp söû duïng laø xaây döïng moät daõy qui naïp tuyeán tính hoäi tuï maïnh. Keát quaû naøy ñaõ toång quaùt keát quaû trong [1, 3, 4, 9 - 11] vaø chuaån bò coâng boá. Chöông 3 laø phaàn nghieân cöùu veà khai trieån tieäm caän theo moät tham soá beù ε ñeán moät caáp thích hôïp cho nghieäm baøi toaùn (0.1), (0.2), (0.3) vôùi soá haïng phi tuyeán f coù daïng sau: f ( x, t , u, u x , u t ) = f ( x, t , u , u x , u t ) + ε f1 ( x, t , u , u x , u t ), (0.13) trong ñoù f , f1 ∈ C 1 ( [0,1] × IR+ × IR 3 ) coù tính trôn thích hôïp. Chöông 4 laø phaàn nghieân cöùu veà khai trieån tieäm caän cho moät baøi toaùn (0.1), (0.2), (0.3) cuï theå vôùi f = ε u 2 . Keát quaû naøy ñaõ toång quaùt töông ñoái caùc keát quaû trong [1, 3, 4, 9 - 11] vaø chuaån bò coâng boá. Phaàn cuoái cuøng laø keát luaän veà caùc keát quaû thu ñöôïc trong luaän vaên. Sau cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo. 5 CHÖÔNG 1 MOÄT SOÁ COÂNG CUÏ CHUAÅN BÒ 1.1. Caùc kyù hieäu veà khoâng gian haøm Chuùng ta boû qua ñònh nghóa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng vaø söû duïng caùc kyù hieäu goïn laïi nhö sau: L p = L p (Ω), Ω = (0,1), H m = H m (Ω), H 0m = H 0m (Ω), QT = Ω × (0, T ) = (0,1) × (0, T ), T > 0 . Caùc kyù hieäu 〈⋅,⋅〉 vaø . duøng ñeå chæ tích voâ höôùng vaø chuaån sinh bôûi tích voâ höôùng töông öùng treân L2 . Kyù hieäu 〈⋅,⋅〉 cuõng duøng ñeå chæ caëp tích ñoái ngaãu giöõa phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc vaø moät phaàn töû trong khoâng gian haøm naøo ñoù naèm trong L2 . Ta kyù hieäu . X laø chuaån treân khoâng gian Banach X . Goïi X / laø ñoái ngaãu cuûa X . Ta kyù hieäu L p (0, T ; X ),1 ≤ p ≤ ∞ laø khoâng gian Banach caùc haøm u : (0, T ) → X , ño ñöôïc sao cho u Lp (0,T ; X ) T =  ∫ u (t )  0 1/ p p X  dt    < +∞, vôùi 1 ≤ p < ∞, vaø u Lp ( 0,T ; X ) = ess sup u (t ) 0 0 : a(v, v) ≥ α v 2 V V v V ∀u , v ∈ V . ∀v ∈ V . Khi ñoù ta coù keát quaû sau: Boå ñeà 1.3 ( [13], Ñònh lyù 6.2.1, p.137) Döôùi giaû thieát (1.3), (1.4). Khi ñoù, toàn taïi moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert {w j } cuûa H goàm caùc haøm rieâng w j töông öùng vôùi giaù trò rieâng λ j sao cho lim λ j = +∞, (1.5) ~ , v) = λ 〈 w ~ , v〉 ∀v ∈ V , ∀j = 1,2... a( w j j j (1.6) 0 < λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ j ≤ ..., j →∞ ~ / λ } cuõng laø moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert cuûa V ñoái Hôn nöõa, daõy {w j j vôùi tích voâ höôùng a (⋅,⋅). Chöùng minh boå ñeà 1.3 coù theå tìm thaáy trong [13, Ñònh lyù 6.2.1, p.137]. 8 CHÖÔNG 2 KHAÛO SAÙT PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN LIEÂN KEÁT VÔÙI ÑIEÀU KIEÄN BIEÂN HOÃN HÔÏP 2.1. Giôùi thieäu Trong chöông 2, chuùng toâi xeùt baøi toaùn giaù trò bieân vaø ban ñaàu sau ñaây: u tt − u xx = f ( x, t , u , u x , u t ), 0 < x < 1, 0 < t < T , (2.1) u x (0, t ) − h0 u (0, t ) = g 0 (t ), u (1, t ) = g1 (t ), (2.2) u x ( x,0) = u~0 ( x), u t ( x,0) = u~1 ( x), (2.3) trong ñoù h0 laø haèng soá khoâng aâm cho tröôùc; g 0 , g1 , u~0 , u~1 laø caùc haøm cho tröôùc, soá haïng phi tuyeán f cuõng laø haøm cho tröôùc thuoäc lôùp C 1 ([0,1] × IR+ × IR 3 ) thoûa moät soá ñieàu kieän naøo ñoù maø ta seõ chæ ra sau. Trong chöông naøy, ta seõ thieát laäp moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (2.1)-(2.3) baèng phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính keát hôïp vôùi phöông phaùp Galerkin vaø phöông phaùp compact yeáu. Keát quaû thu ñöôïc ôû ñaây laø söï toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû trong [3, 4, 9-11] vaø chuaån bò ñöôïc coâng boá. Tröôùc heát chuùng ta ñaët: V = {v ∈ H 1 (0,1) : v(1) = 0}, (2.4) vaø moät daïng song tuyeán tính treân V × V 1 a (u , v) = ∫ u / ( x)v / ( x)dx + h0 u (0)v(0). (2.5) 0 V laø moät khoâng gian con ñoùng cuûa H 1 , do ñoù cuõng laø moät khoâng gian Hilbert ñoái vôùi tích voâ höôùng cuûa H 1. Khi ñoù ta coù caùc boå ñeà sau ñaây. 9 Boå ñeà 2.1 Cho h0 ≥ 0. Khi ñoù pheùp nhuùng V  C 0 ([0,1]) laø compact vaø v 1 2 C 0 ([0,1]) v H 1 ≤ v/ ≤ v/ ≤ v ≤ v V V , ≤ max{1, h0 } v H 1 (2.6) , vôùi moïi v ∈ V . Boå ñeà 2.2 Cho h0 ≥ 0. Khi ñoù daïng song tuyeán tính ñoái xöùng a(⋅,⋅) ñöôïc xaùc ñònh bôûi (2.5), lieân tuïc treân V × V vaø cöôõng böùc treân V . Caùc boå ñeà 2.1, 2.2 laø keát quaû quen thuoäc maø chöùng minh cuûa noù coù theå tìm thaáy trong nhieàu taøi lieäu lieân quan ñeán lyù thuyeát veà khoâng gian Sobolev, chaúng haïn [6]. Chuù thích 2.1 Ta suy töø (2.6) raèng, treân V caû ba chuaån v H1 , v / vaø v V = a(v, v) laø töông ñöông. Boå ñeà 2.3 ~ } cuûa L2 goàm Cho h0 ≥ 0. Khi ñoù toàn taïi moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert {w j ~ töông öùng vôùi giaù trò rieâng λ sao cho caùc haøm rieâng w j j lim λ j = +∞, (2.7) ∀v ∈ V , ∀j = 1,2... (2.8) 0 < λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ j ≤ ..., ~ , v) = λ 〈 w ~ , v〉 a( w j j j j →+∞ ~ / λ } cuõng laø moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert cuûa V ñoái Hôn nöõa, daõy {w j j vôùi tích voâ höôùng a (⋅,⋅). ~ thoûa baøi toaùn bieân döôùi ñaây Maët khaùc, ta cuõng coù w j 10      ~ = λ w ~ − ∆w j j j , trong (0,1), ~ (0) − h w ~ ( 0) = w ~ (1) = 0, w jx 0 j j (2.9) ~ ∈ V ∩ C ∞ ( [0,1] ). w j Chöùng minh cuûa boå ñeà naøy ñöôïc suy töø boå ñeà 1.3, vôùi H = L2 , vaø V , a(⋅,⋅) ñöôïc xaùc ñònh bôiû (2.4), (2.5). 2.2. Thuaät giaûi xaáp xæ tuyeán tính Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau ( H1 ) h0 ≥ 0; (H 2 ) g 0 , g1 ∈ C 3 ( IR+ ); (H 3 ) u~ 0 ∈ V ∩ H 2 , u~1 ∈ V ; f ∈ C 1 ([0,1] × IR+ × IR 3 ) thoûa caùc ñieàu kieän sau (H 4 ) f (1, t , u, v, w) = 0 vôùi moïi t ≥ 0 vaø (u , v, w) ∈ IR 3 . Thay vì xeùt baøi toaùn (2.1)-(2.2), ta seõ xeùt ñöa noù veà moät baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát nhö sau: Ñaët ϕ ( x, t ) = 1 ( x − 1) g 0 (t ) + e h0 ( x −1) g1 (t ), x ∈ [0,1], t ≥ 0. 1 + h0 (2.10) Khi ñoù pheùp ñoåi bieán v( x, t ) = u ( x, t ) − ϕ ( x, t ), (2.11) ta coù v thoûa maõn phöông trình ~ vtt − v xx = f ( x, t , v, v x , vt ), 0 < x < 1, 0 < t < T , (2.12) vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát v x (0, t ) − h0 v(0, t ) = v(1, t ) = 0, (2.13) vaø ñieàu kieän ñaàu v( x,0) = v~0 ( x), vt ( x,0) = v~1 ( x), (2.14) 11 trong ñoù ~ f ( x, t , v, v x , vt ) = f ( x, t , v + ϕ , v x + ϕ x , vt + ϕ t ) + ϕ xx − ϕ tt , (2.15) v~0 ( x) = u~0 ( x) − ϕ ( x,0), v~1 ( x) = u~1 ( x) − ϕ t ( x,0), (2.16) cuøng vôùi ñieàu kieän nhaát quaùn g 0 (0) = u x (0,0) − h0 u (0,0) = u~0/ (0) − h0 u~0 (0), g (0) = u (1,0) = u~ (1). 1 (2.17) 0 thoûa ~ f ∈ C 1 ([0,1] × IR+ × IR 3 ), v~0 ∈ V ∩ H 2 , v~1 ∈ V . Vaäy vôùi pheùp ñoåi aån haøm (2.10), (2.11), baøi toaùn (2.1)-(2.3) vôùi ñieàu kieän bieân khoâng thuaàn nhaát töông ñöông vôùi baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát (2.12)-(2.14). Cho tröôùc M > 0, T > 0, ta ñaët ~ ~ ~ K 0 = K 0 ( M , T , f ) = sup{ f ( x, t , u , v, w) : ( x, t , u , v, w) ∈ A}, (2.18) ~ K1 = K1 ( M , T , f ) ~ ~ ~ ~ ~ = sup{( f x/ + f u/ + f v/ + f w/ )( x, t , u , v, w) : ( x, t , u , v, w) ∈ A}, (2.19) ~ trong ñoù A = { ( x, t , u, v, w) ∈ IR 5 : 0 ≤ t ≤ T , 0 ≤ x ≤ 1, u + v + w ≤ M }. (2.20) Vôùi moïi M > 0 vaø T > 0, ta ñaët W ( M , T ) = {v ∈ L∞ (0, T ;V ∩ H 2 ) : vt ∈ L∞ (0, T ;V ), vtt ∈ L2 (QT ), v L∞ ( 0 ,T ;V ∩ H 2 ) , vt L∞ ( 0 ,T ;V ) , vtt W1 ( M , T ) = {v ∈ W ( M , T ) : vtt ∈ L∞ (0, T ; L2 )}, L2 ( QT ) ≤ M }, (2.21) (2.22) trong ñoù QT = (0,1) × (0, T ). Tieáp theo, ta xaây döïng daõy {vm } trong W1 ( M , T ) baèng qui naïp vaø chöùng minh noù hoäi tuï veà nghieäm cuûa baøi toaùn (2.1)-(2.3) vôùi söï choïn löïa M > 0 vaø T > 0. Ta xeùt thuaät giaûi xaáp xæ tuyeán tính sau: 12 Choïn soá haïng ban ñaàu: v0 ∈ W1 ( M , T ). Giaû söû raèng: (2.23) v m−1 ∈ W1 ( M , T ). Ta lieân keát baøi toaùn (2.12)-(2.14) vôùi toaùn bieán phaân tuyeán tính sau: Tìm v m ∈ W1 ( M , T ) thoûa baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính sau: 〈 v&&m (t ) , w〉 + a (v m (t ) , w) = 〈 Fm (t ), w〉 ∀w ∈ V , (2.24) v m (0) = v~0 , v&m (0) = v~1 , (2.25) ~ Fm ( x, t ) = f ( x, t , v m−1 (t ), ∇v m−1 (t ), v&m−1 (t )). (2.26) trong ñoù Söï toàn taïi cuûa vm cho bôûi ñònh lyù sau ñaây. Ñònh lyù 2.1 Giaû söû ( H 1 ) − ( H 4 ) laø ñuùng. Khi ñoù, toàn taïi caùc haèng soá döông M , T vaø moät daõy qui naïp tuyeán tính {v m } ⊂ W1 ( M , T ) xaùc ñònh bôûi (2.24)-(2.26). Chöùng minh. Goàm caùc böôùc sau ñaây: Böôùc 1. Xaáp xæ Galerkin. ~ / λ . Ñaët Xeùt moät cô sôû {w j } cuûa V nhö boå ñeà 2.3, vôùi w j = w j j k (k ) v m( k ) (t ) = ∑ c mj (t ) w j (2.27) j =1 (k ) (t ) thoûa caùc heä phöông trình vi phaân tuyeán tính trong ñoù c mj (k ) (t ), w j ) = 〈 Fm (t ), w j 〉, 1 ≤ j ≤ k , 〈 v&&m( k ) (t ), w j 〉 + a(v m (2.28) v m( k ) (0) = v~0k , v&m( k ) (0) = v~1k , (2.29) trong ñoù k (k ) v~0 k ≡ ∑ α mj w j → v~0 j =1 maïnh trong V ∩ H 2 , (2.30) 13 k (k ) v~1k ≡ ∑ β mj w j → v~1 maïnh trong V . (2.31) j =1 Giaû söû raèng v m−1 thoûa (2.23). Khi ñoù, ta deã daøng suy ra raèng heä phöông trình vi phaân (2.28), (2.29) coù nghieäm duy nhaát v m( k ) (t ) treân moät khoaûng 0 ≤ t ≤ Tm( k ) ≤ T . Caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm sau ñaây cho pheùp ta laáy Tm( k ) = T , vôùi moïi m vaø k . Böôùc 2. Ñaùnh giaù tieân nghieäm. Ñaët S m( k ) (t ) = X m( k ) (t ) + Ym( k ) (t ) + t ∫ 2 v&&m( k ) ( s ) ds, (2.32) 0 trong ñoù (k ) X m( k ) (t ) = v& m (t ) 2 + a(v m( k ) (t ), v m( k ) (t )), (2.33) 2 (2.34) Ym( k ) (t ) = a (v&m( k ) (t ), v&m( k ) (t )) + ∆v m( k ) (t ) . Khi ñoù, ta coù boå ñeà sau Boå ñeà 2.4. S m( k ) (t ) = S m( k ) (0) + 2 Fm (1,0) ∇v~0 k (1) t t 0 0 + 2 ∫ 〈 Fm ( s ), v&m( k ) ( s )〉 ds + 2 ∫ a ( Fm ( s ), v&m( k ) ( s ))ds t 2 t + ∫ v&&m( k ) ( s ) ds + 2 ∫ 0 t − 2∫ 0 0 ∂ ( Fm (1, s ))∇v m( k ) (1, s )ds ∂s ∂ ( Fm (1, s ))ds.∇v m( k ) (1, t ) − 2 Fm (1,0)∇v m( k ) (1, t ). ∂s Chöùng minh boå ñeà 2.4. (k ) (t ), sau ñoù laáy toång theo j , ta ñöôïc Nhaân (2.28) bôûi c&mj (2.35) 14 1 d (k ) 1 d (k ) X m (t ) = [ v&m (t ) 2 dt 2 dt 2 + a(v m( k ) (t ), v m( k ) (t ))] = 〈 Fm (t ), v&m( k ) (t )〉. Tích phaân theo t ta ñöôïc X m( k ) (t ) = X m( k ) (0) + 2 t ∫ 〈 Fm (s), v&m (k ) (2.36) ( s )〉 ds. 0 Trong (2.28) thay w j = −1 λj ∆w j , sau ñoù ñôn giaûn λ j , ta ñöôïc (k ) (t ),−∆w j ) = 〈 Fm (t ),−∆w j 〉. 〈 v&&m( k ) (t ),−∆w j 〉 + a(v m (2.37) Chuù yù raèng caùc coâng thöùc sau ñaây laø ñuùng 〈 v&&m( k ) (t ),−∆w j 〉 = a(v&&m( k ) (t ), w j ), (2.38) a(v m( k ) (t ),−∆w j ) = 〈 ∆v m( k ) (t ), ∆w j 〉 , (2.39) 1 〈 Fm (t ),−∆w j 〉 = − ∫ Fm ( x, t )∆w j ( x)dx 0 1 = − Fm (1, t )∇w j (1) + h0 w j (0) + ∫ ∇Fm ( x, t )∇w j ( x)dx (2.40) 0 = − Fm (1, t )∇w j (1) + a ( Fm (t ), w j ). Vaäy, nhôø vaøo (2.38)- (2.40), ta vieát laïi (2.37) nhö sau: a (v&&m( k ) (t ), w j ) + 〈 ∆v m( k ) (t ), ∆w j 〉 = a ( Fm (t ), w j ) − Fm (1, t )∇w j (1). (2.41) Trong (2.41) thay w j bôûi v&m( k ) (t ), ta ñöôïc a (v&&m( k ) (t ), v&m( k ) (t )) + 〈 ∆v m( k ) (t ), ∆v&m( k ) (t )〉 = a ( Fm (t ), v&m( k ) (t )) − Fm (1, t )∇v&m( k ) (1, t ). (2.42) hay 2 1 d (k ) 1 d Ym (t ) = [a(v&m( k ) (t ), v&m( k ) (t )) + ∆v m( k ) (t ) ] 2 dt 2 dt = a( Fm (t ), v&m( k ) (t )) − Fm (1, t )∇v&m( k ) (1, t ). Tích phaân theo t , ta ñöôïc (2.43) 15 t t 0 0 Ym( k ) (t ) = Ym( k ) (0) + 2 ∫ a ( Fm ( s ), v&m( k ) ( s ))ds − 2 ∫ Fm (1, s )∇v&m( k ) (1, s )ds. (2.44) Vieát laïi tích phaân cuoái cuøng cuûa veá phaûi trong (2.44): t − 2∫ Fm (1, s )∇v&m( k ) (1, s )ds 0 t ∂ = −2 Fm (1, s )∇v m( k ) (1, s ) + 2 ∫ ( Fm (1, s ))∇v m( k ) (1, s )ds 0 ∂s 0 t (2.45) = −2 Fm (1, t )∇v m( k ) (1, t ) + 2 Fm (1,0)∇v m( k ) (1,0) t ∂ ( Fm (1, s ))∇v m( k ) (1, s )ds ∂ s 0 + 2∫ = −2[ Fm (1, t ) − Fm (1,0)]∇v m( k ) (1, t ) − 2 Fm (1,0)∇v m( k ) (1, t ) t ∂ ( Fm (1, s ))∇v m( k ) (1, s )ds ∂ s 0 + 2 Fm (1,0)∇v m( k ) (1,0) + 2 ∫ t ∂ ( Fm (1, s ))ds.∇v m( k ) (1, t ) − 2 Fm (1,0)∇v m( k ) (1, t ) ∂ s 0 = −2 ∫ t ∂ + 2 Fm (1,0)∇v~0 k (1) + 2 ∫ ( Fm (1, s ))∇v m( k ) (1, s )ds. ∂s 0 Vieát laïi (2.44): t Ym( k ) (t ) = Ym( k ) (0) + 2 ∫ a ( Fm ( s ), v&m( k ) ( s ))ds 0 t ∂ ( Fm (1, s ))ds.∇v m( k ) (1, t ) − 2 Fm (1,0)∇v m( k ) (1, t ) ∂s 0 − 2∫ (2.46) t ∂ + 2 Fm (1,0)∇v~0k (1) + 2 ∫ ( Fm (1, s ))∇v m( k ) (1, s )ds. ∂s 0 Coäng hai ñaúng thöùc (2.36), (2.46) cuøng vôùi t ∫ v&&m 0 ñoù boå ñeà 2.4 ñöôïc chöùng minh. Ta vieát (2.35) döôùi daïng (k ) 2 ( s ) ds, ta thu ñöôïc (2.35) vaø do 16 S m( k ) (t ) = S m( k ) (0) + 2 Fm (1,0) ∇v~0 k (1) (2.47) + I1 + ... + I 5 − 2 Fm (1,0) ∇v m( k ) (1, t ), trong ñoù caùc kyù hieäu I1 ,..., I 5 laø 5 tích phaân theo thöù töï xuaát hieän trong coâng thöùc (2.35). Sau ñaây, ta seõ laàn löôït ñaùnh giaù caùc tích phaân trong veá phaûi cuûa (2.47). Tích phaân thöù nhaát. Töø (2.15), (2.18), (2.23), (2.32) vaø (2.33), chuùng ta suy ra raèng t I1 = 2 t 〈 Fm ( s ) , v&m( k ) ( s )〉 ds ≤ 2 ∫ Fm ( s ) ∫ 0 v&m( k ) ( s ) ds 0 t ≤ 2K 0 ∫ (2.46) S m( k ) ( s ) ds. 0 Tích phaân hai. Ta suy töø (2.15), (2.18), (2.19), (2.23) vaø (2.33) raèng 2 Fm ( s ) V = ∇Fm ( s ) 2 + h0 Fm2 (0, s ) ≤ 4 K12 (1 + 3M 2 ) + h0 K 02 . (3.49) Khi ñoù, töø (2.32), (2.34) vaø (2.49), ta thu ñöôïc t I2 = 2 ∫ a ( Fm ( s ), v&m( k ) ( s ))ds 0 t ≤ 2 ∫ Fm ( s ) V v&m( k ) ( s ) ds 0 V t ≤ 2[2 K1 1 + 3M 2 + h0 K 0 ]∫ S m( k ) ( s ) ds. (2.50) 0 Tích phaân thöù ba. Phöông trình (2.28) ñöôïc vieát laïi nhö sau 〈 v&&m( k ) (t ), w j 〉 − 〈 ∆v m( k ) (t ), w j 〉 = 〈 Fm (t ), w j 〉 , 1 ≤ j ≤ k . Do ñoù, sau khi thay theá w j bôûi v&&m( k ) (t ) vaø tích phaân, ta suy ra raèng (2.51)