Tài liệu [vnmath.com] cuc tri ham trung phuong

Lê Mạnh Cường – Biên Hòa, Đồng Nai Tel: 0969 925 745 CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG y  f  x   ax4  bx2  c; a , b  0 Cho hàm số y  f  x   ax4  bx2  c với a, b  0 liên tục và xác định trên  .  Có đạo hàm y  4ax3  2bx  2x 2ax2  b . x  0 Cho y  0  2 x 2ax 2  b  0   2  2ax  b  0    AT H. CO M *  Trường hợp 1: Nếu a.b  0 thì phương trình  *  không có nghiệm. Suy ra hàm số f  x  chỉ có duy nhất một cực trị tại x  0 . Trường hợp 2: Nếu a.b  0 thì phương trình  *  có 2 nghiệm phân biệt là: x    b . 2a     b b 2 b b 2  c , C  ;  c . Suy ra đồ thị của hàm số f  x  có ba điểm cực trị là: A  0; c  , B    ;     2a 4a 2a 4a     Chúng ta có chú ý cơ bản sau đây: Đồ thị của hàm số f  x  có ba điểm cực trị là A, B, C như trên lập thành một tam giác, thì tam giác đó luôn là tam giác cân tại A . Từ đây, tùy vào yêu cầu của bài toán. Chúng ta “CHỌN” và biến đổi sao cho phù hợp. Giả sử hàm số y  f  x   ax4  bx2  c với a, b  0 có ba điểm cực trị. NM 1) Bài toán 1: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều. A A .V Điều kiện B C C W B AB = BC W   b b 2  b b4 b  2b 2 ; BC   2  ; 0   BC 2   .   AB    Ta có: AB     ; 2   2a 4a  2 a 16 a 2a  a     Bài toán tương đương với điều kiện: b b4 2b 8ba  b 4 32ba AB  BC  AB2  BC 2        b 4  24ba  0  24 a  b 3  0 . 2 a 16 a 2 a 16 a 2 16 a 2 Xét các ví dụ sau: W Tìm tham số m để đồ thị (C m ) của các hàm số sau có ba điểm cực trị A, B, C lập thành một tam giác đều. 1.1) y  x 4  2 m2 x 2  1; Đáp số: m   6 3. 1.2) y  x4  2  m  1 x2  1; Đáp số: m  3 3  1. 1.3) y  x4  2  m  3  x2  m  3; Đáp số: m  3 3  3. 1.4) y  x 4  2mx 2  2m  m4 ; Đáp số: m  3 3 . Trang 1 Lê Mạnh Cường – Biên Hòa, Đồng Nai Tel: 0969 925 745 2) Bài toán 2: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. A A AT H. CO M Điều kiện AB.AC = 0 B C  b b 2 Ta có: AB     ;  2a 4a    b b 2  , AC    ;   2a 4a   AB. AC  0  B C   . Bài toán tương đương với điều kiện:   b b4   0  8 ab  b4  0  8 a  b 3  0 . 2 2 a 16 a Xét các ví dụ sau: Tìm tham số m để đồ thị (C m ) của các hàm số sau có ba điểm cực trị A, B, C lập thành một tam giác vuông cân. 1.1) 1.2)  A,2012  y  x  2  m  1 x y  x   m  2  x  m  1; 4 4 2   m 2  m2 ; Đáp số: m  4. 2   6 x Đáp số: m  2 . 2 2 NM 1.3) y  x4  2 m2  3 x2  m  1; 1.4) y  x4 Đáp số: m  0. Đáp số: m  2 .  m  2; .V 3) Bài toán 3: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có các góc đều là góc nhọn. A A W A Điều kiện mBAC = 120.00° BAC < 900 B C B C B C W Bài toán tương đương với điều kiện: BAC  900  AB.AC AB . AC  0  AB. AC  0  b b4   0  8 ab  b4  0  8a  b3  0 2a 16a2 W Xét các ví dụ sau: Tìm tham số m để đồ thị (C m ) của các hàm số sau có ba điểm cực trị A, B, C sao cho các góc của tam giác ABC đều là góc nhọn. 3.1) y  x4  2  m  1 x2  m  2; Đáp số: m  2 . 3.2) y  x  2  m  3 x  2m  1; Đáp số: m  4 . 3.3) y  x4  2  2m  5  x2  m  1; Đáp số: m  3 . 4 2 Trang 2 Lê Mạnh Cường – Biên Hòa, Đồng Nai Tel: 0969 925 745 3.4) y  x4  2  m  3 x2  3m; Đáp số: m  4 . 4) Bài toán 4: Ba điểm cực trị tạo thành ABC có diện tích bằng S0 . Xét các ví dụ sau: AT H. CO M  b 2   b 2  b4 2 Gọi H là trung điểm của B,C . Ta có H  0; .  c  . Suy ra AH   0;   AH  16 a 2  4a   4a  Bài toán tương đương với điều kiện: 1 1 1 b 4  2b  b5 2 2 2 SABC  AH .BC  S0  SABC  AH 2 .BC 2  . .      S0  32 a 3 .S0  b 5  0 . 2 3 2 4 4 16 a  a  32 a Tìm tham số m để đồ thị (C m ) của các hàm số sau có ba điểm cực trị A, B, C lập thành một tam giác có diện tích bằng S trong các trường hợp sau: 4.1) y  x 4  2mx 2  2m2  4m, S  1; 4.2) y  2x4  4  m  4  x2  m  1, S  2; 4.3) y  3x 4  6mx 2  m  2, S  3; 4.4) y  x 4  4mx 2  m2  m , S  32; 4.5) y  x  2  m  4  x  2m  1, S  32; 4.6) y  mx 4  2 x 2  2m  3, S  1; 4 2 Đáp số: m  1 . Đáp số: m  5 . Đáp số: m  1 . Đáp số: m  2 . Đáp số: m  8 . Đáp số: m  1 . NM 5) Bài toán 5: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.   b  b  3.0 0          b 2 2a  2a   Bài toán tương đương với điều kiện:    3c  0  b2  6 ac  0 . 2a  b 2 b 2 c  c  3.0 c  4a 4a  .V Xét các ví dụ sau: Tìm tham số m để đồ thị (C m ) của các hàm số sau có ba điểm cực trị A, B, C lập thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. Đáp số: m  5. 5.2) y  x4  2  m  1 x2  m  2; Đáp số: m  4. 5.3) y  x4  2  m  4  x2  m  5; Đáp số: m  1. 5.4) y  x4  2  m  1 x2  2m  10; Đáp số: m  7. 5.5) y  x4  2  m  1 x2  3m  3; Đáp số: m  7. W W 5.1) y  x4   m  1 x2  m  11; 6) Bài toán 6: Ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành hình thoi. W    b b 2  b b4 b b 2 b b4 2b 2 c 2 AB     ;  AB2    ; OB     ;  c   OB 2    c  Ta có:    2a 4a  2 a 16 a 2 2a 4a 2 a 16 a 2 4a     Bài toán tương đương với điều kiện: AB  OB  AB 2  OB 2  b b4 b b4 2b 2 c      c2 2 2 2 a 16 a 2 a 16 a 4a Trang 3 Lê Mạnh Cường – Biên Hòa, Đồng Nai Tel: 0969 925 745 c  0  ac 2  b 2 c  0   2  b  2 ac  0  l  b 2  2 ac  0 . A AT H. CO M A Điều kiện AB = BO B B C Xét các ví dụ sau: C O Tìm tham số m để đồ thị (C m ) của các hàm số sau có ba điểm cực trị A, B, C sao cho điểm A thuộc trục tung, điểm B có hoành độ âm và tứ giác ABOC là hình thoi trong các trường hợp sau: 6.1) y  x4   m  1 x2  m  3; Đáp số: m  1. 6.2) y  x4   m  2  x2  2m  4; 6.3) y  x4  2  m  6  x2  3m  27; 6.4) y  x4  2  m  1 x2  m  54; Đáp số: m  2. Đáp số: m  3. Đáp số: m  4. AB.AC BAC    AB . AC NM 7) Bài toán 7: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng  . Bài toán tương đương với điều kiện:  cos  AB.AC  AB . AC .cos  0 .V  AB.AC  AB2 .cos  0    cos  1 .  b b b4 b4    2 a 16 a 2  2 a 16 a 2   .cos  0  b b4  . 1  cos   0  a  cos  1  b3  1  cos   0 . 2  2 a 16 a W Xét các ví dụ sau: Tìm tham số m để đồ thị (C m ) của các hàm số sau có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 1200 trong các trường hợp sau: 3 9 4 . 3 1 Đáp số: m   . 3 3 7.1) y  x4  2  m  4  x2  m  3; W Đáp số: m  7.2) y  x 4  2mx 2  m  2; 7.3) y  x4  2  m  1 x2  m  2; W Đáp số: 1  8) Bài toán 8: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm. Bài toán tương đương với điều kiện:   b b 2 b b 2  OB. AC  0     ;  c  .  ; 0   2a 4a 2a 4a     Trang 4 1 3 3 . Lê Mạnh Cường – Biên Hòa, Đồng Nai Tel: 0969 925 745  b b4 b2 c    0  8 ab  b 4  4b 2 c  0  b 3  8 a  4bc  0 . 2 a 16 a 2 4 a Xét các ví dụ sau: Tìm tham số m để đồ thị (C m ) của các hàm số sau có ba điểm cực trị A, B, C lập thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm. 8.1) y  x4  2  3m  2  x2  m  1; AT H. CO M Đáp số: m  1. 8.2) y  y  x4  2  4m  1 x2  2m; Đáp số: m  0. 8.3) y  x4  2  2m  3  x2  m  1; Đáp số: m  1. 8.4) y  x4  2  m  1 x2  m  2; Đáp số: m  2. 9) Bài toán 9: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp. Bài toán tương đương với điều kiện: OB  OA  OB 2  OA 2  b b4 2b 2 c 2    c  c 2  b 4  8ab 2 c  8ab  0  b 3  8 abc  8 a  0 . 2 2 a 16 a 4a Xét các ví dụ sau: Tìm tham số m để đồ thị (C m ) của các hàm số sau có ba điểm cực trị A, B, C lập thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp: 9.1) y  x4  2  m  1 x2  m  2; Đáp số: m  NM 9.2) y  x4  2  m  3 x2  1; 1 5 . 2 Đáp số: m  4  m  5 5 . 2 9.3) y  x4  2  m  2  x2  2m  3; Đáp số: m  1  m  9.4) y  x4  2  2m  1 x2  3m  4; Đáp số: m  1  m  13  1 . 2 5 1 . 2 .V 10) Bài toán 10: Ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp được. Bài toán tương đương với điều kiện: W  b b 2 ABO  90 0  AB.OB  0     ;  2a 4a    b b 2 b b4 b2c  c  0     0  b 3  8 a  4 abc  0 .   ;   2a 4a 2 a 16 a 2 4 a   Xét các ví dụ sau: Tìm tham số m để đồ thị (C m ) của các hàm số sau có ba điểm cực trị đồng thòi ba điểm này cùng với gốc W tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp được: 1 5 . 2 Đáp số: m  1  m  10.2) y  x4  2mx 2  m  1; Đáp số: m  1. 10.3) y   x 4  2mx 2  3m  1; Đáp số: m  1  m  1  2 . 10.4) y  x 4  2mx 2  2m  m2   10.5) y  x4  2mx 2  m  1; 1 Đáp số: m  1  m   . 2 Đáp số: m  1. 10.6) y  x 4  2mx 2  m2  1; Đáp số: m  1  m  1 . W 10.1) y  x 4  2mx 2  2m; Trang 5 Lê Mạnh Cường – Biên Hòa, Đồng Nai Tel: 0969 925 745 11) Bài toán 11: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R . Bài toán tương đương với điều kiện: 1 AB. AC.BC AH .BC   2 R. AH  AB.AC  2 R 2 . AH 2  AB4 2 4R 2 2 2  b b4 b4  16 a 2 b 4  b 2 2 a  1  b2 2a  2  2R .    .    R    2R  4 .    . b  b  2a 4 16 a 2  2 a 16 a 2  b 16 a 4  4 Xét các ví dụ sau: AT H. CO M 2 Tìm tham số m để đồ thị (C m ) của các hàm số sau có ba điểm cực trị A, B, C lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. 11.1) y  x4  2  m  3 x2  m  1; Đáp số: m  4  m   5 . 2 Đáp số: m  3  m  11.3) y  x4  2  m  3 x2  2m  1; 9  5 . 4 Đáp số: m  2  m  11.2) y  x4  2  2m  5  x2  m  1; 7  5 . 2 Đáp số: m  1  m  11.5) y  x4  2mx 2  m  1;  3 5 . 6 Đáp số: m  1  m  11.4) y  x4  2  3m  2  x2  m  1; 1  5 . 2  NM 12) Bài toán 12: Cho hàm số y  x4  2 1  m2 x2  m  1 có đồ thị là (C m ). Tìm m để đồ thị (C m ) có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích lớn nhất. Dùng điều kiện của bài toán 4 và thay đổi cho phù hợp với yêu cầu mới:  b5  b5   S0 max    3  32 a 3  32 a  max W W W .V 2 32 a 3 .S0  b 5  0  S0   Trang 6 Đáp số: m  0 .