Tài liệu Vierbein và trường gauge với chiều không gian phụ trội (lv01004)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 -------------- VŨ THỊ HƯƠNG VIERBEIN VÀ TRƯỜNG GAUGE VỚI CHIỀU KHÔNG GIAN PHỤ TRỘI Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. ĐÀO VỌNG ĐỨC HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đào Vọng Đức, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng Sau Đại Học, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Người thực hiện Vũ Thị Hương 0 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 0 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu............................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu........................................................... 1 5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 2 CẤU TRÚC LUẬN VĂN ................................................................................. 3 NỘI DUNG ....................................................................................................... 4 CHƯƠNG 1 : NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN GAUGE.......................................... 4 1.1. Biến đổi toàn cục và biến đổi định xứ .................................................... 4 1.2. Biến đổi gauge phi abel........................................................................... 6 1.3. Lagrangian bất biến................................................................................. 9 1.4. Tương tác gauge .................................................................................... 11 CHƯƠNG 2: BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT ................................ 14 2.1. Phép biến đổi tương đối tổng quát ........................................................ 14 2.2. Các đại lượng tensor ............................................................................. 15 2.3. Liên thông affine .................................................................................. 17 2.4. Metric và Vierbein .............................................................................. 19 2.5. Tiên đề Vierbein.................................................................................... 22 CHƯƠNG 3: KHÔNG - THỜI GIAN PHỤ TRỘI ........................................ 24 3.1. Trường gauge trong mô hình Kaluza - Klein....................................... 24 3.2. Co gọn chiều không gian phụ trội ...................................................... 28 3.3. Vierbein và Metric trong không - thời gian 5 chiều ............................ 32 3.4. Không - thời gian trong lý thuyết dây.................................................. 34 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 41 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xây dựng lý thuyết thống nhất các tương tác cơ bản là phương hướng nghiên cứu có tính thời sự bậc nhất của Vật lý học hiện đại. Những cách tiếp cận được nhìn nhận có nhiều triển vọng nhất hiện nay là: Thứ nhất là: Lý thuyết siêu dây Thứ hai là: Lý thuyết mô hình chuẩn xây dựng trên cơ sở nguyên lý bất biến gauge Thứ ba là: Lý thuyết thống nhất xây dựng trên cơ sở mở rộng lý thuyết tương đối tổng quát. Các công trình nghiên cứu thuộc các phương hướng trên đã chứng tỏ sự cần thiết tồn tại các chiều không gian phụ trội. Với lý thuyết Siêu Dây thì ít nhất phải có 6 chiều không gian phụ trội. Với cách tiếp cận thứ ba thì số chiều phụ trội phụ thuộc vào nhóm đối xứng gauge, trong đó các trường gauge được gắn liền với metric ứng với các chiều phụ trội thông qua vierbein. Vì những lý do trên tôi chọn đề tài “Vierbein và trường gauge với chiều không gian phụ trội”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu và nghiên cứu một số vấn đề về trường gauge thể hiện trong vierbein trong không thời gian nhiều chiều  D  4 trong lý thuyết tương đối tổng quát mở rộng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Vierbein và trường gauge với chiều không gian phụ trội. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về trường gauge thể hiện qua vierbein với các chiều không gian phụ trội. 2 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán đặc biệt là:  Lý thuyết trường lượng tử và hạt cơ bản.  Lý thuyết nhóm đối xứng gauge.  Lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều. 3 CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn được trình bày thành 03 chương với nội dung của từng chương như sau:  Chương 1: Trình bày những nguyên lý cơ bản về trường gauge abel và phi abel, đặc biệt là Lagrangian tương tác gauge.  Chương 2: Trình bày những nguyên lý cơ bản về Lý thuyết tương đối tổng quát đặc biệt là hình thức luận Vierbein.  Chương 3: Nghiên cứu về lý thuyết tương đối tổng quát trong không thời gian với các chiều phụ trội, các thành phần vierbein và metric gắn với các chiều phụ trội và các trường gauge. 4 NỘI DUNG CHƯƠNG 1: NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN GAUGE 1.1. Biến đổi toàn cục và biến đổi định xứ Đến nay các kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm cho phép ta khẳng định rằng các tương tác giữa các hạt cơ bản - mạnh, điện từ, yếu (và có thể cả hấp dẫn) đều có cùng một bản chất bắt nguồn từ nguyên lý bất biến gauge Trong mục này trình bày về phép biến đổi gauge đơn giản nhất - tương ứng với nhóm gauge một thông số U(1), chẳng hạn phép biến đổi điện tích. Dưới tác dụng của phép biến đổi điện tích trường  ( x) ứng với hạt mang điện tích q biến đổi theo quy luật  ( x)   '( x)  eiq ( x) (1.1.1) Trong đó:  là thông số của phép biến đổi. Khi  không phụ thuộc vào x thì Lagrangian của các trường tích điện bất biến đối với phép biến đổi (1.1.1). Khi  không phụ thuộc vào x thì ta có phép biến đổi toàn cục. Khi    ( x) ta có phép biến đổi:  ( x)   '( x)  eiq ( x ) ( x) (1.1.2) Được gọi là biến đổi định xứ. Số hạng khối lượng dạng  *( x) ( x), *( x)  ( x), ( x) ( x) của Lagrangian vẫn bất biến nhưng các số hạng động năng (chứa đạo hàm không thời gian không còn bất biến nữa). Để khôi phục lại tính bất biến của Lagrangian ta tiến hành như sau:  Đưa vào trường  ( x) ; gọi là trường gauge.  Lập đạo hàm hiệp biến theo công thức: 5 D ( x)  (   iqA ) ( x) Và buộc trường gauge  ( x) phải biến đổi theo quy luật: ' ( x)   ( x)    ( x) (1.1.3) Để cho D ( x) biến đổi giống như  ( x) . ( D ( x))'    '( x)  i' ( x) '( x)  eiq ( x ) D ( x) Thay thế đạo hàm trường   ( x) trong L bằng đạo hàm hiệp biến D ( x) Kết quả cho ta Lagrangian trường  ( x) tự do cùng với Lagrangian mô tả tương tác giữa trường  ( x) và trường gauge  ( x) . Chẳng hạn với trường vô hướng tích điện xuất phát từ Lagrangian tự do L0 ( x)    * ( x).  ( x)  m2 * ( x) ( x) Ta có: L  D * ( x).D  ( x)  m2 * ( x) ( x) L( ,  )  L0 ( )  Lint ( ,  ) Xét trường spinor. Thay cho Lagrangian tự do ta phải dùng lagrangian: i L( x)  (  D   D    )  m 2  L0 ( x)  q    .   L0 ( x)  Lint ( , A ) Với (1.1.4) i L0 ( )       m 2 Lint ( , A )  q  . A Trong đó: Lint mô tả tương tác giữa trường spinor và trường gauge   . 6 Như vậy, nguyên lý bất biến gauge cho phép xác định một cách đơn trị Lagrangian mô tả tương tác giữa giữa trường vật chất mang điện và trường gauge   (ở đây được đồng nhất với trường điện từ). Ta thấy F '   F tức tensor cường độ trường gauge (cũng là trường điện từ) F       v  bất biến với các phép biến đổi, trong khi đó  '  '    tức không bất biến và do đó lagrangian bất biến không thể có chứa số hạng khối lượng, điều đó có nghĩa là trường gauge phải là không khối lượng. Lagrangian đầy đủ mô tả hệ trường vật chất  ( x) và trường gauge có dạng: 1 L( , A )  L0 ( )  F ( x) F( x)  Lint ( , A ) 4 Trong đó: L0 ( ) tự do, Lint ( , A ) mô tả tương tác giữa trường vật chất  ( x) và trường gauge A . 1.2. Biến đổi gauge phi abel. Ta tổng quát hóa các kết quả ở mục trên cho nhóm bất kỳ G với đại số gồm n vi tử Ta , a = 1, 2, 3…n tuân theo hệ thức giao hoán: Ta ,Tb   ifabcTc (1.2.1) ( f abc là hằng số cấu trúc của nhóm G) Giả sử dưới tác dụng của các phép biến đổi thuộc G với các thông số a  x  một đa tuyến r các trường  i  x  , i = 1, 2, 3…r, biến đổi theo quy luật: j  ig a ( x ) M a     i ( x)   i '( x)  e a 1   j ( x)  i n (1.2.2) 7 Trong đó: M a là các ma trận r  r tuân theo hệ thức giao hoán như (1.2.1):  M a , M b   ifabc M c Đưa vào n trường gauge   a , a = 1, 2, ….n, lập thành đạo hàm hiệp biến n D i    i  ig   a  M a i  j j (1.2.3) a 1 Với đòi hỏi biến đổi theo quy tắc: j  ig a ( x ) M a    ( D i ( x))'  e a 1  D j ( x)  i n (1.2.4) Có thể chứng tỏ rằng để thỏa mãn (1.2.4) các trường gauge   a phải biến đổi theo quy tắc sau: '  ( x)  i S ( x)  S ( x)  S ( x)   ( x) S 1 ( x) g (1.2.5) Trong đó: n       a ( x ) a (1.2.6) a 1 S ( x)  e  ig n a ( x ) M a a 1 (1.2.7) Tensor cường độ trường gauge được định nghĩa là: Fva    va   v a  g  f abc b vc (1.2.8) b .c Trong trường hợp nhóm phi abelian (G  U(1)) Fva không bất biến mà biến đổi theo quy luật: F 'v ( x)  S ( x) Fv S 1( x) (1.2.9) 8 Trong đó: n Fv   Fva M a    Av   v A  ig  A , Av  (1.2.10) a 1 Khai triển theo  , các phương trình (1.2.5) và (1.2.9) ta có: A' a  A a  a  gf abcb A c ... (1.2.11) Từ (1.2.9) ta thấy rằng TrFv F v là bất biến và Lagrangian mô tả hệ gồm trường vật chất  i và trường gauge   a có dạng: 1 L( i , A a )  L0 ( i , D i )  TrFv F v 2 1  L0 ( i , D i )  TrFv F v  Lint ( i , A a ) 2 (1.2.12) Ví dụ: Với G là SU(2) hoặc SU(3), và trường vật chất thực hiện biểu diễn cơ sở. Tức  i là spinor SU(2) hoặc SU(3).  1   1      hoặc    2   2     3 Lúc này ở các công thức trên ta đặt tương ứng M a  các ma trận Pauli (a = 1, 2, 3) ). 0 1  0 i  1 0  ; 2   ; 3      1 0 i 0   0 1 1   a là các ma trận Gell – Mann (a = 1, 2,…8); a 2 hoặc a ( a là 2 9 0 1   1 0  0 4   0 1  0 7   0 0  1 0  0 i  0 0  ; 2   i 0 0 0 0 0   0 1 0 0 0 0  ; 5   0 0 1 0 0 0   0 0 1 1   0 i  ; 8  0 3 0 i 0   0 1  0  ; 3   0 0 0   i  0 0  ; 6   0 0 0   0 0 1 0  . 0 2  0 0 1 0  0 0  0 0 0 1  1 0  Do Tr a a  Trab  2 ab nên: TrF F   1 F a F  a  2 a (1.2.13) Trong trường hợp  cũng đồng thời là spinor Dirac ta có: Lint ( i , Aa )  1.3. g   M a . Aa  2 a (1.2.14) Lagrangian bất biến. Lý thuyết trường lượng tử mô tả sự tương tác giữa các hạt cơ bản dựa trên cơ sở xây dựng trước các Lagrangian mô tả các trường tương ứng với các lượng tử của trường . Đó là các trường khác nhau có dạng Lagrangian khác nhau. Tuy nhiên các Lagrangian cần phải dựa vào một số đòi hỏi bắt buộc như:  Lagrangian phải bất biến đối với phép biến đổi Lorentz trong đó có phép quay tọa độ  Lagrangian phải là một vô hướng  Lagrangian phải là hàm thực. Tuy nhiên ngoài tính bất biến phổ cập là bất biến Lorentz, tùy vào từng loại tương tác cụ thể mà đòi hỏi Lagrangian phải bất biến đối với các phép 10 biến đổi khác. Trong mục này ta xét Lagrangian phải thỏa mãn đòi hỏi là bất biến đối với phép biến đổi gauge. Chẳng hạn phép biến đổi điện tích. Xét trường vô hướng tích điện. Dưới tác dụng của phép biến đổi Gauge U(1) trường này biến đổi theo quy luật:  ( x)   '( x)  eiq ( x) ; *   *'  eiq * (1.3.1) Lagrangian tự do của trường  ( x) : L0    *.   m2 * Nếu  phụ thuộc vào tọa độ x thì Lagrangian này không bất biến nữa. Thật vậy, ta có: L '    * '.  ' m2 * ' '    (eiq * ).  (eiq * )  m2 (eiq * )(eiq )  iq eiq *  eiq   *   iq e iq  e iq     m 2 *  q 2   *  iq  *   iq   *    *   m2 * (1.3.2)  q 2   *  iq  *  L0  L0 Tức Lagrangian không bất biến đối với phép biến đổi điện tích (1.3.1). Để khôi phục lại tính bất biến của Lagrangian như trên đã nói ta thêm vào trường gauge A và lập thành đạo hàm hiệp biến theo công thức: D     iqA D *    *  iqA (1.3.3) Trường gauge A thêm vào phải biến đổi sao cho D và D * biến đổi theo quy luật như  và  * , tức là: ( D )'  eiq D    ' iqA '  ( D * )'  eiq D  *    *  iqA '  Bây giờ ta tìm quy luật biến đổi của A thỏa mãn (1.3.4): (1.3.4) 11 Ta có: eiq (   iqA )    (eiq )  iqA '  iq eiq  eiq    iqA '  iqA  iq   iqA '  A '  A    Khi đó Lagrangian L0 ở trên được thay bằng: L  D  *.D  m2 *  (  *  iqA * )(   iqA )  m 2 *    *   iq  * A  iqA *   m 2 *  L0  iqA *   q 2 A * A  L0  Lint Trong đó: Lint  iqA *   q 2 A * A Lagrangian thu được này bất biến đối với phép biến đổi gauge, trong đó Lint mô tả tương tác giữa các trường vô hướng tích điện và trường gauge A . Như trên ta đã nói, để Lagrangian vẫn bất biến thì trường gauge này phải không khối lượng 1.4. Tương tác gauge Các kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ rằng các tương tác giữa các hạt cơ bản mạnh, điện từ, yếu (có thể cả hấp dẫn) đều có cùng một bản chất bắt nguồn từ nguyên lý bất biến gauge. Đối với phép biến đổi gauge đơn giản nhất, tương ứng với nhóm gauge một thông số U(1) chẳng hạn phép biến đổi điện tích. Dưới tác dụng của phép biến đổi điện tích trường  ( x) ứng với hạt mang điện tích q biến đổi theo quy luật:  ( x)   '( x)  eiq ( x) (1.4.1) 12 Trong đó:  là thông số của phép biến đổi. Khi  không phụ thuộc vào x thì Lagrangian của các trường vô hướng, vector, spinor tích điện bất biến đối với phép biến đổi (1.4.1) Khi    ( x) ta có phép biến đổi:  ( x)   '( x)  eiq ( x ) ( x) Theo tính toán ở phần 1.1 ta đưa ra được kết quả: i L( x)  (  D   D      )  m 2  L0 ( x)  q   .   L0 ( x)  Lint (, A ) i Với L0 ( )       m ; Lint ( , A )  q  . A 2 Trong đó Lint mô tả tương tác giữa trường spinor và trường gauge   . Như vậy, nguyên lý bất biến gauge cho phép xác định một cách đơn trị Lagrangian mô tả tương tác giữa giữa trường vật chất mang điện và trường gauge   (ở đây được đồng nhất với trường điện từ). Trên đây ta đã xét phép biến đổi gauge đơn giản nhất bây giờ ta tổng quát hóa các kết quả vừa tìm được cho nhóm bất kỳ G với đại số gồm n vi tử Ta , a = 1, 2 ,3…,n tuân theo hệ thức giao hoán: Ta ,Tb   ifabcTc ( f abc là hằng số cấu trúc của nhóm G) Giả sử dưới tác dụng của các phép biến đổi thuộc G với các thông số a  x  một đa tuyến r các trường  i  x  , i = 1, 2, 3…r, biến đổi theo quy luật. j  ig a ( x ) M a     i ( x)   i '( x)  e a 1   j ( x)  i n Trong đó: M a là các ma trận r  r tuân theo hệ thức giao hoán:  M a , M b   ifabc M c 13 Với các đòi hỏi của bài toán các trường gauge A a phải biến đổi theo quy tắc sau: 3 2 L  , x    g W ( ) 1 2   g  D ( n )  Dv (n) n  n2  2 (1  F ( ) ( n ) ( n ) )  R5  Trong đó: n       a ( x ) a a 1 S ( x)  e  ig n a ( x ) M a a 1 Từ đó ta suy ra Lagrangian mô tả hệ gồm trường vật chất  i và trường gauge   a có dạng: 1 L( i , A a )  L0 ( i , D i )  TrFv F v 2 1  L0 ( i , D i )  TrFv F v  Lint ( i , A a ) 2 14 CHƯƠNG 2: BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT 2.1. Phép biến đổi tương đối tổng quát Nguyên lý bất biến tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình vật lý đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu, và do đó các phương trình vật lý tương ứng phải bất biến đối với phép biến đổi tổng quát. x   x '   f  ( x) (2.1.1) Biến đổi Lorentz x'    x  a  Chỉ là một trường hợp đặc biệt của (2.1.1)  ( x) được gọi là vô hướng nếu bất biến đối với phép biến đổi (2.1.1)  '( x ')   ( x) (2.1.2) F  ( x) được gọi là contravariant vector nếu biến đổi theo quy luật: F ' ( x ')  x '   F ( x) x (2.1.3) x  không phải là cotravariant vector, nhưng dx  là cotravariant vector vì: dx   x   dx x (2.1.4) G ( x) được gọi là convariant vector nếu biến đổi theo quy luật: G' ( x ')  x G ( x) x '  (2.1.5) Cotravariant tensor cấp n là đại lượng biến đổi theo quy luật: F ' 12 ... n x ' 1 x' n 1... n ( x ')  1 ...  n .F ( x) x x Convariant tensor cấp n là đại lượng biến đổi theo quy luật: (2.1.6) 15 G' 12...n ( x ')  x1 x n ... G  ... ( x) x' 1 x' n 1 2 n (2.1.7) Một cách tổng quát, tensor hỗn hợp cotravarian cấp m và convariant cấp n là đại lượng biến đổi theo quy luật: ' 1 ... m 1 ... n T x '1 x 'm x1 x n 1...m ( x ')  1 ... m . '1 ... ' n T1... n ( x ') x x x x (2.1.8) Sử dụng các hệ thức:  x  x ' x   x ' .    ;  .     x ' x x x ' Từ (2.1.8) người ta suy ra công thức biến đổi ngược: ' 1 ...m 1 ... n T x1 xm x '1 x ' n ' 1...m ( x)  1 ... m . 1 ...  n T1... n ( x ') x ' x ' x x (2.1.9) Và tính bất biến của các tích dạng: T1...1... nm ( x) S11......nm ( x) 2.2. Các đại lượng tensor Tensor contravariant hạng r là tập hợp 4r thành phần T 12 ...r ( x);   0,1,2,3 biến đổi theo quy luật: T '12 ...r ( x ')  11 22 ...rr T 1 2 ... r ( x) (2.2.1) Dưới tác dụng của phép biến đổi Lorentz L Đặc biệt với r = 0 ta có: T '( x ')  T ( x) (2.2.2) Được gọi là vô hướng - bất biến Lorentz Với r = 1 ta có: T ' ( x ')  T  ( x) Được gọi là contravariant vector, ví dụ đó là x  . (2.2.3) 16 Tensor covariant hạng r là tập hợp 4r thành phần T12 ...r ( x) biến đổi theo quy luật: T '12 ...r ( x ')  11 22 ...rr T1 2 ... r ( x) (2.2.4) Với r = 1 ta có: T ' ( x ')  T ( x) (2.2.5) Được gọi là covariant vector , ví dụ đó là x   x Tensor hỗn hợp covariant hạng r và contravariant hạng s là tập hợp 4r  s thành phần T1122......rr ( x) biến đổi theo quy luật: T1122......sr ( x ')  11 ...ss .11 ...rr T1122......rs ( x ') (2.2.6) Tensor (2.2.6) cũng thường được gọi tắt là (s,r) tensor. Từ các tensor có thể lập các đại lượng bất biến Lorentz theo quy tắc: S ( x)  1122......s r ( x).B112 2...... s r ( x) (2.2.7) Tức là “co” các chỉ số trên và dưới lại (lấy vết) Tính bất biến của S(x), S '( x ')  S ( x) có thể dễ dàng chứng minh từ quy luật (2.2.6) và sử dụng       Nếu có Lagrangian L(x) bất biến thì tác dụng: A   d 4 x.L( x); d 4 x  dx0 .dx1.dx 2 .dx3 (2.2.8)  Lấy theo thể tích bốn chiều bất kỳ cũng bất biến . Thực vậy ta có: x' A '   d 4 x '.L '( x ')   d 4 x D( ) L( x)   d 4 x.L( x)  A x '   x' Trong đó D( ) là Jacobian của phép biến đổi x   x ' x 17   00  1 x '  0 D( )    02 x  3  0 10 11 12 13  30   13   det   1  32    33   02 12  22  32 Ta còn phân biệt tensor với pseudotensor tùy theo quy luật biến đổi của chúng dưới tác dụng của phép đảo tọa độ không gian. Ta gọi là tensor nếu: r T '12 ...r ( x0 ,  x )  i i .T12 ...r ( x) (2.2.9) i 1 Và gọi là pseudotensor nếu: r T '12 ...r ( x 0 ,  x )  i i .T12 ...r ( x) (2.2.10) i 1 Chẳng hạn,  ( x) là vô hướng nếu:  '( x0 ,  x )   ( x) Và là giả vô hướng nếu:  '( x0 ,  x )   ( x) .  A0' ( x 0 ,  x )  A0 ( x) ; i  1;2;3. A ( x) là vector nếu :  ' 0  Ai ( x ,  x )   Ai ( x) Và là giả vector nếu dấu ngược lại. 2.3. Liên thông affine Để tạo nên tensor từ các vector F  ( x) và G ( x) ta phải lập đạo hàm hiệp biến trong đó xuất hiện đại lượng  v được gọi là liên thông affine biến đổi theo qui luật: x ' x x    2 x ' x x   ' ( x ')   .  .   ( x)    .  .  x x ' x ' x .x x ' x '   (2.3.1) Quy luật này chưa xác định tính liên thông affine một cách đơn trị. Đặc biệt, nếu (1)  ( x) và (2)  ( x) là hai liên thông affine thì: