Tài liệu Ví dụ và bài tập phương trình, bất phương trình và hệ phương trình – trần văn toàn

Mục lục Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai 2 1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chủ đề 2. Phương trình chứa căn 35 2.1 Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Sử dụng lượng liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4 Phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.5 Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.6 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.7 Sử dụng hàm hợp và hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.8 Phương pháp hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.9 Phương pháp lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Chủ đề 3. Bất phương trình 130 3.1 Giải bất phương trình nhờ tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Chủ đề 4. Hệ phương trình 137 4.1 Biến đổi hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.2 Sử dụng phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.4 Hệ phương trình đối xứng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.5 Hệ phương trình phản xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.6 Hệ phương trình đối xứng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Tài liệu tham khảo 168 1 Chủ đề 1 Phương trình quy về bậc hai 1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai Bài tập 1.1. Giải các phương trình sau: 1) 1 1 2 ; + = ( x + 2)2 ( x − 4)2 9 Hướng dẫn. Đặt t = © p p ª Đáp số. 1; 1 − 3 3; 1 + 3 3 . ( x + 2) + ( x − 4) = x − 1. 2 1 4 2) + = 5; 2 (2 x − 3) (4 x − 7)2 ½ ¾ 5 Đáp số. 2; . 4 Hướng dẫn. Viết phương trình đã cho dưới dạng 1 1 + ³ = 5. ´ ³ 2 3 7 ´2 4 x− 4 x− 2 4 Đặt ³ x− t= 3´ ³ 7´ + x− 2 4 = x − 13 . 2 8 Với phương trình dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c, ta đặt t= ( x + a) + ( x + b ) a+b = x+ . 2 2 Chú ý 1) (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 ; 2) (a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4 . Bài tập 1.2. Giải các phương trình sau: 1) ( x − 6)4 + ( x − 8)4 = 16; Đáp số. {6; 8}. 2 1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 3 2) ( x − 2)4 + ( x − 4)4 = 16; Đáp số. x = 2 ∨ x = 4. 3) ( x − 1)4 + ( x − 3)4 = 16. Đáp số. x = 1 ∨ x = 3. Phương trình có dạng ( x + a) · ( x + b) · ( x + c) · ( x + d ) = A, với a < b < c < d và a + d = b + c. Ta đặt t= ( x + a) + ( x + b ) + ( x + c ) + ( x + d ) a+b+c+d = x+ . 4 4 Bài tập 1.3. Giải các phương trình sau: 1) x · ( x + 1) · ( x − 1) · ( x + 2) = 24 Đáp số. {−3; 2}. 2) ( x − 4) · ( x − 5) · ( x − 6) · ( x − 7) = 1680; Đáp số. {−1; 12}. ¾ ½ 1 1 Đáp số. − ; . 12 2 3) (12 x − 1) · (6 x − 1) · (4 x − 1) · (3 x − 1) = 5; Hướng dẫn. Viết phương trình đã cho dưới dạng ³ x− 1´ ³ 1´ ³ 1´ 5 1´ ³ · x− · x− · x− = . 12 6 4 3 3 · 4 · 6 · 12 Phương trình có dạng (ax2 + b 1 x + c)(ax2 + b 2 x + c) = dx2 , c 6= 0. • Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình. • Chia phương trình cho x2 , ta được ³ ax + b 1 + c´ ³ c´ · ax + b 2 + = d. x x c x Đặt t = ax + . Chú ý. Ta cũng có thể đặt t = ax2 + Bài tập 1.4. 1 Giải các phương trình sau: 1) ( x − 2)( x − 3)( x − 6)( x − 9) = 1 Trần b1 + b2 x + c. 2 Văn Toàn 45 x2 . 4 Đáp số. x = 3 ∨ x = 12. 2 Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai 4 2) ( x − 1)( x − 2)( x − 4)( x − 8) = 10 2 x . 9 Đáp số. x = 3) 2 x2 − 3 x + 1 2 x2 − 4 x + 1 = ¡ ¢¡ ¢ p ¢ p ¢ 8 1¡ 1¡ ∨ x = 3 ∨ x = 14 − 2 31 ∨ x = 14 + 2 31 . 3 3 3 3 x2 ; 4 Đáp số. x = 1 ∨ x = 2. 4 4) ( x − 1) · ( x − 2) · ( x − 6) · ( x − 12) = 6 x2 ; p p Đáp số. x = 3 ∨ x = 4 ∨ x = 7 − 37 ∨ x = 7 + 37. 5) ( x2 − 5 x + 1) · ( x2 − 4) = −4( x − 1)2 . Đáp số. x = 0 ∨ x = 4 ∨ x = p ´ p ´ 1³ 1³ 1 − 13 ∨ x = 1 + 13 . 2 2 Hướng dẫn. Đặt u = x − 1. Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, (a 6= 0) và 4 3 2 ax + bx + cx + dx + e = 0, Bài tập 1.5. 2 a, b 6= 0, µ ¶2 e d = . a b Giải các phương trình sau: 1) 6 x4 − 35 x3 + 62 x2 − 35 x + 6 = 0; Đáp số. x = 1 1 ∨ x = ∨ x = 2 ∨ x = 3. 3 2 2) 6 x4 − 25 x3 + 12 x2 + 25 x + 6 = 0; 1 2 1 3 Đáp số. x = − ∨ x = − ∨ x = 2 ∨ x = 3. 3) x4 + x3 − 10 x2 + x + 1 = 0; p p Đáp số. x = −2 − 3 ∨ x = 3 − 2 ∨ x = p ´ p ´ 1³ 1³ 3− 5 ∨ x = 3+ 5 . 2 2 4) x4 − 6 x3 + 6 x2 + 6 x + 1 = 0; p p p p Đáp số. x = 1 − 2 ∨ x = 1 + 2 ∨ x = 2 − 5 ∨ x = 2 + 5. 5) 2 x4 − x3 − 14 x2 + x + 2 = 0; p p Đáp số. x = −1 − 2 ∨ x = 2 − 1 ∨ x = p ´ p ´ 1³ 1³ 5 − 41 ∨ x = 5 + 41 . 4 4 6) 16 x4 − 48 x3 + 24 x2 + 12 x + 1 = 0. Đáp số. x = 2 Trần Văn Toàn p ´ p ´ p ´ p ´ 1³ 1³ 1³ 1³ 1− 2 ∨ x = 1+ 2 ∨ x = 2− 5 ∨ x = 2+ 5 . 2 2 2 2 1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 4 3 2 7) 2 x + 9 x − x − 18 x + 8 = 0. 8) 2 x4 − 7 x3 − 34 x2 + 21 x + 18 = 0. 5 ¶ 1 Đáp số. x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = ∨ x = 1 . 2 µ ¶ 1 Đáp số. x = −3 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = 6 . 2 µ 9) x4 − 3 x3 − 8 x2 + 12 x + 16 = 0. Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 4). 10) x4 + 3 x3 − 8 x2 − 12 x + 16 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 2). 11) x4 − 12 x3 + 47 x2 − 72 x + 36 = 0. Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 ∨ x = 6). 12) x4 − 6 x3 − 7 x2 + 36 x + 36 = 0. Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 6). 13) x4 − 4 x3 − 17 x2 + 24 x + 36 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 6). 14) x4 + 2 x3 − 23 x2 + 12 x + 36 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 3). 15) x4 − 2 x3 − 23 x2 − 12 x + 36 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 6). 16) x4 + 4 x3 − 17 x2 − 24 x + 36 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 3). 17) x4 + 6 x3 − 7 x2 − 36 x + 36 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 1 ∨ x = 2). 18) x4 + 12 x3 + 47 x2 + 72 x + 36 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = −1). 19) x4 − 9 x3 − 2 x2 + 72 x + 64 = 0. Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 8). 20) x4 − 5 x3 − 30 x2 + 40 x + 64 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 8). 21) x4 + 3 x3 − 38 x2 + 24 x + 64 = 0. Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 4). 22) x4 − 3 x3 − 38 x2 − 24 x + 64 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 8). 23) x4 + 5 x3 − 30 x2 − 40 x + 64 = 0. Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 4). 24) x4 + 9 x3 − 2 x2 − 72 x + 64 = 0. Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = 1 ∨ x = 2). 25) x4 + 15 x3 + 70 x2 + 120 x + 64 = 0. Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = −1). 26) x4 − 8 x3 − 18 x2 + 72 x + 81 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 9). 27) x4 + 8 x3 − 18 x2 − 72 x + 81 = 0. Đáp số. ( x = −9 ∨ x = −3 ∨ x = 1 ∨ x = 3). 28) x4 − 12 x3 + 7 x2 + 120 x + 100 = 0. Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 10). 29) x4 − 6 x3 − 47 x2 + 60 x + 100 = 0. Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 10). 30) x4 + 4 x3 − 57 x2 + 40 x + 100 = 0. Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 5). 31) x4 − 4 x3 − 57 x2 − 40 x + 100 = 0. Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 10). 6 32) x4 + 6 x3 − 47 x2 − 60 x + 100 = 0. 33) x4 + 18 x3 + 97 x2 + 180 x + 100 = 0. Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 5). Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = −1). 34) x4 − 5 x3 − 20 x2 + 60 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 6). 35) x4 − 3 x3 − 28 x2 + 36 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 6). 36) x4 + x3 − 32 x2 + 12 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 4). 37) x4 − x3 − 32 x2 − 12 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = 2 ∨ x = 6). 38) x4 + 3 x3 − 28 x2 − 36 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 2 ∨ x = 4). 39) x4 + 5 x3 − 20 x2 − 60 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = 2 ∨ x = 3). 40) x4 + 15 x3 + 80 x2 + 180 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = −2). 41) x4 − 15 x3 + 20 x2 + 180 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 6 ∨ x = 12). 42) x4 − 7 x3 − 68 x2 + 84 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 12). 43) x4 + 5 x3 − 80 x2 + 60 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 6). 44) x4 − 5 x3 − 80 x2 − 60 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 12). 45) x4 + 7 x3 − 68 x2 − 84 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 6). 46) x4 + 21 x3 + 128 x2 + 252 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = −1). 47) x4 − 12 x3 − 13 x2 + 144 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 12). 48) x4 − 10 x3 − 35 x2 + 120 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 12). 49) x4 + 6 x3 − 67 x2 + 72 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 4). 50) x4 − 6 x3 − 67 x2 − 72 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = 1 ∨ x = 12). 51) x4 + 20 x3 + 115 x2 + 240 x + 144 = 0. Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = −1). 52) x4 − 18 x3 + 37 x2 + 252 x + 196 = 0. Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 7 ∨ x = 14). 53) x4 − 8 x3 − 93 x2 + 112 x + 196 = 0. Đáp số. ( x = −7 ∨ x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 14). 54) x4 − 16 x3 − 2 x2 + 240 x + 225 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 15). 55) x4 − 12 x3 − 58 x2 + 180 x + 225 = 0. Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 15). 56) x4 + 8 x3 − 98 x2 + 120 x + 225 = 0. Đáp số. ( x = −15 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 5). 1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 7 57) x4 − 6 x3 − 32 x2 + 96 x + 256 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 8). 58) x4 + 6 x3 − 32 x2 − 96 x + 256 = 0. Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = 2 ∨ x = 4). 59) x4 − 21 x3 + 58 x2 + 336 x + 256 = 0. Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 8 ∨ x = 16). 60) x4 − 15 x3 − 32 x2 + 240 x + 256 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 16). 61) x4 − 10 x3 − 15 x2 + 180 x + 324 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 6 ∨ x = 9). 62) x4 − 4 x3 − 57 x2 + 72 x + 324 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 9). 63) x4 + 2 x3 − 63 x2 + 36 x + 324 = 0. Đáp số. ( x = −9 ∨ x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 6). 64) x4 − 2 x3 − 63 x2 − 36 x + 324 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 2 ∨ x = 9). 65) x4 + 4 x3 − 57 x2 − 72 x + 324 = 0. Đáp số. ( x = −9 ∨ x = −3 ∨ x = 2 ∨ x = 6). 66) x4 + 20 x3 + 135 x2 + 360 x + 324 = 0. Đáp số. ( x = −9 ∨ x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = −2). 67) x4 − 24 x3 + 83 x2 + 432 x + 324 = 0. Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 9 ∨ x = 18). 68) x4 − 20 x3 + 15 x2 + 360 x + 324 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 6 ∨ x = 18). 69) x4 − 14 x3 − 87 x2 + 252 x + 324 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 18). 70) x4 − 9 x3 − 32 x2 + 180 x + 400 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 5 ∨ x = 10). 71) x4 − 7 x3 − 48 x2 + 140 x + 400 = 0. Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 10). 72) x4 + 3 x3 − 68 x2 + 60 x + 400 = 0. Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 5). 73) x4 − 3 x3 − 68 x2 − 60 x + 400 = 0. Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −4 ∨ x = 2 ∨ x = 10). 74) x4 + 21 x3 + 148 x2 + 420 x + 400 = 0. Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −5 ∨ x = −4 ∨ x = −2). 75) x4 − 27 x3 + 112 x2 + 540 x + 400 = 0. Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 10 ∨ x = 20). 76) x4 − 20 x3 − 21 x2 + 400 x + 400 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 20). 77) x4 − 18 x3 − 59 x2 + 360 x + 400 = 0. Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 20). 78) x4 − 24 x3 + 38 x2 + 504 x + 441 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 7 ∨ x = 21). 79) x4 − 30 x3 + 145 x2 + 660 x + 484 = 0. Đáp số. ( x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 11 ∨ x = 22). 80) x4 − 15 x3 + 2 x2 + 360 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 8 ∨ x = 12). 81) x4 − 5 x3 − 98 x2 + 120 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 12). 8 Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai 82) x4 − 12 x3 − 28 x2 + 288 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 6 ∨ x = 12). 83) x4 − 8 x3 − 68 x2 + 192 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 12). 84) x4 + 4 x3 − 92 x2 + 96 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −12 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 6). 85) x4 − 4 x3 − 92 x2 − 96 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = 2 ∨ x = 12). 86) x4 − 7 x3 − 38 x2 + 168 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = 6 ∨ x = 8). 87) x4 − 3 x3 − 58 x2 + 72 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 4 ∨ x = 8). 88) x4 + x3 − 62 x2 + 24 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −3 ∨ x = 4 ∨ x = 6). 89) x4 − x3 − 62 x2 − 24 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = 3 ∨ x = 8). 90) x4 + 3 x3 − 58 x2 − 72 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −8 ∨ x = −4 ∨ x = 3 ∨ x = 6). 91) x4 − 28 x3 + 67 x2 + 672 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 8 ∨ x = 24). 92) x4 − 25 x3 − 2 x2 + 600 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 6 ∨ x = 24). 93) x4 − 21 x3 − 94 x2 + 504 x + 576 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 24). 94) x4 − 24 x3 − 50 x2 + 600 x + 625 = 0. Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 25). 95) x4 − 32 x3 + 102 x2 + 864 x + 729 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −1 ∨ x = 9 ∨ x = 27). 96) x4 − 15 x3 − 20 x2 + 420 x + 784 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 7 ∨ x = 14). 97) x4 − 9 x3 − 92 x2 + 252 x + 784 = 0. Đáp số. ( x = −7 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 14). 98) x4 − 30 x3 + 25 x2 + 840 x + 784 = 0. Đáp số. ( x = −4 ∨ x = −1 ∨ x = 7 ∨ x = 28). 99) x4 − 20 x3 + 31 x2 + 600 x + 900 = 0. Đáp số. ( x = −3 ∨ x = −2 ∨ x = 10 ∨ x = 15). 100) x4 − 14 x3 − 47 x2 + 420 x + 900 = 0. Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = 6 ∨ x = 15). 101) x4 − 12 x3 − 73 x2 + 360 x + 900 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −2 ∨ x = 5 ∨ x = 15). 102) x4 − 8 x3 − 53 x2 + 240 x + 900 = 0. Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −3 ∨ x = 6 ∨ x = 10). 103) x4 − 6 x3 − 67 x2 + 180 x + 900 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 5 ∨ x = 10). 104) x4 + 2 x3 − 83 x2 + 60 x + 900 = 0. Đáp số. ( x = −10 ∨ x = −3 ∨ x = 5 ∨ x = 6). 105) x4 − 2 x3 − 83 x2 − 60 x + 900 = 0. Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −5 ∨ x = 3 ∨ x = 10). 106) x4 − 30 x3 − 31 x2 + 900 x + 900 = 0. Đáp số. ( x = −5 ∨ x = −1 ∨ x = 6 ∨ x = 30). 1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 107) x4 − 28 x3 − 89 x2 + 840 x + 900 = 0. Bài tập 1.6. 3 9 Đáp số. ( x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 30). Giải các phương trình sau: x4 + 100 29 ¢= 1) ¡ 2 . 3 x x − 10 ¶ p ¢ ¢ 1 ¡p 1¡ 190 + 10 . Đáp số. x = −2 ∨ x = 5 ∨ x = 10 − 190 ∨ x = 3 3 x4 + 100 89 ¢= 2) ¡ 2 . 6 x x − 10 ¶ p ¢ ¢ 1¡ p 5 1¡ Đáp số. x = − ∨ x = 4 ∨ x = 20 − 7 10 ∨ x = 7 10 + 20 . 2 3 3 µ µ x4 + 81 17 3) ¡ 2 ¢ = . 2 x x −9 ¶ p p 3 Đáp số. x = − ∨ x = 6 ∨ x = 2 − 13 ∨ x = 13 + 2 . 2 x4 + 81 41 4) ¡ 2 ¢ = . 4 x x −9 ¶ p ¢ ¢ 1¡ p 1¡ Đáp số. x = −1 ∨ x = 9 ∨ x = 9 − 3 73 ∨ x = 3 73 + 9 . 8 8 x4 + 81 97 5) ¡ 2 ¢ = . 10 x x −9 ¶ p ¢ ¢ 9 1¡ 1¡ p Đáp số. x = −2 ∨ x = ∨ x = 18 − 3 61 ∨ x = 3 61 + 18 . 2 5 5 x4 + 64 ¡ ¢ = 10. x x2 − 8 Đáp số. x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 4 − 2 6 ∨ x = 2 6 + 4 . 65 x4 + 64 7) ¡ 2 ¢ = . 7 x x −8 ¶ p ¢ ¢ 1¡ 1¡ p Đáp số. x = −1 ∨ x = 8 ∨ x = 8 − 2 114 ∨ x = 2 114 + 8 . 7 7 65 x4 + 49 8) ¡ 2 ¢ = . 3 x x −7 ¶ p ¢ ¢ 1 ¡p 7 1¡ 469 + 21 . Đáp số. x = − ∨ x = 3 ∨ x = 21 − 469 ∨ x = 3 2 2 65 x4 + 49 9) ¡ 2 ¢ = . 6 x x −7 ¶ p ¢ ¢ 7 1¡ 1 ¡p Đáp số. x = −2 ∨ x = ∨ x = 14 − 259 ∨ x = 259 + 14 . 2 3 3 x4 + 36 ¡ ¢ = 13. x x2 − 6 Đáp số. x = −2 ∨ x = 3 ∨ x = 6 − 42 ∨ x = 42 + 6 . x4 + 36 37 11) ¡ 2 ¢ = . 5 x x −6 ¶ p ¢ ¢ 1¡ 1 ¡p Đáp số. x = −1 ∨ x = 6 ∨ x = 6 − 186 ∨ x = 186 + 6 . 5 5 73 x4 + 36 12) ¡ 2 ¢ = . 10 x x −6 ¶ p ¢ ¢ 3 1¡ 1¡ p Đáp số. x = − ∨ x = 4 ∨ x = 12 − 7 6 ∨ x = 7 6 + 12 . 2 5 5 x4 + 25 13 13) ¡ 2 ¢ = . 2 x x −5 ¶ p ¢ ¢ 1¡ 1 ¡p Đáp số. x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 5 − 105 ∨ x = 105 + 5 . 4 4 x4 + 25 41 14) ¡ 2 ¢ = . 2 x x −5 ¶ p p 5 Đáp số. x = −2 ∨ x = ∨ x = 10 − 105 ∨ x = 105 + 10 . 2 x4 + 25 53 15) ¡ 2 ¢ = . 6 x x −5 ¶ p ¢ ¢ 5 1¡ 1 ¡p Đáp số. x = − ∨ x = 3 ∨ x = 15 − 305 ∨ x = 305 + 15 . 3 4 4 6) 10) 3 Trần Văn Toàn µ µ µ ¡ p p ¢ µ µ µ ¡ p p ¢ µ µ µ µ µ Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai 10 x4 + 16 17 16) ¡ 2 ¢ = . 3 x x −4 ¶ p ¢ ¢ 1¡ 1¡ p Đáp số. x = −1 ∨ x = 4 ∨ x = 4 − 2 13 ∨ x = 2 13 + 4 . 3 3 x4 + 16 41 17) ¡ 2 ¢ = . 6 x x −4 ¶ p ¢ ¢ 2 1¡ 1 ¡p Đáp số. x = − ∨ x = 6 ∨ x = 3 − 73 ∨ x = 73 + 3 . 3 4 4 x4 + 16 97 18) ¡ 2 ¢ = . 15 x x −4 ¶ p ¢ ¢ 4 1¡ 1¡ p Đáp số. x = − ∨ x = 3 ∨ x = 12 − 2 61 ∨ x = 2 61 + 12 . 3 5 5 x4 + 9 19) ¡ 2 ¢ = 5. x x −3 x4 + 9 25 20) ¡ 2 ¢ = . 2 x x −3 21) µ µ µ ¶ p ¢ ¢ 1¡ 1 ¡p Đáp số. x = −1 ∨ x = 3 ∨ x = 3 − 21 ∨ x = 21 + 3 . 2 2 µ ¶ p p 3 Đáp số. x = − ∨ x = 2 ∨ x = 6 − 39 ∨ x = 39 + 6 . 2 µ x4 + 4 ¡ ¢ = 5. x x2 − 2 ¡ p p ¢ Đáp số. x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 2 − 6 ∨ x = 6 + 2 . 65 x4 + 4 22) ¡ 2 ¢ = . 14 x x −2 ¶ p ¢ ¢ 1 ¡p 1 1¡ 114 + 4 . Đáp số. x = − ∨ x = 4 ∨ x = 4 − 114 ∨ x = 2 7 7 85 x4 + 4 23) ¡ 2 ¢ = . 21 x x −2 ¶ p ¢ ¢ 1 ¡p 2 1¡ Đáp số. x = − ∨ x = 3 ∨ x = 6 − 134 ∨ x = 134 + 6 . 3 7 7 x4 + 1 17 24) ¡ 2 ¢ = . 6 x x −1 ¶ p ¢ ¢ 1 ¡p 1 1¡ 13 + 2 . Đáp số. x = − ∨ x = 2 ∨ x = 2 − 13 ∨ x = 2 3 3 x4 + 1 41 25) ¡ 2 ¢ = . 12 x x −1 ¶ p ¢ ¢ 1 1¡ 1 ¡p Đáp số. x = − ∨ x = 3 ∨ x = 3 − 73 ∨ x = 73 + 3 . 3 8 8 26) x4 + 1 ¡ ¢ = 1. x x2 + 1 17 x4 + 1 27) ¡ 2 ¢ = . 10 x x +1 28) x4 + 1 41 ¡ ¢= . 15 x x2 + 1 29) x4 + 4 5 ¡ ¢= . 3 x x2 + 2 µ µ µ µ Đáp số. x = 1. ¶ 1 Đáp số. x = ∨ x = 2 . 2 µ µ Đáp số. x = ¶ 1 ∨x=3 . 3 Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 2). x4 + 4 65 30) ¡ 2 ¢ = . 18 x x +2 ¶ 1 Đáp số. x = ∨ x = 4 . 2 x4 + 4 85 ¡ ¢= 31) . 2 33 x x +2 ¶ 2 Đáp số. x = ∨ x = 3 . 3 32) x4 + 9 5 ¡ ¢= . 2 x x2 + 3 µ µ Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 3). 1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai x4 + 9 25 33) ¡ 2 ¢ = . 14 x x +3 34) x4 + 16 ¡ ¢ = 2. x x2 + 4 11 ¶ 3 Đáp số. x = ∨ x = 2 . 2 µ Đáp số. x = 2. x4 + 16 17 35) ¡ 2 ¢ = . 5 x x +4 Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 4). x4 + 16 82 36) ¡ 2 ¢ = . 15 x x +4 ¶ 2 Đáp số. x = ∨ x = 6 . 3 x4 + 16 97 37) ¡ 2 ¢ = . 39 x x +4 ¶ 4 Đáp số. x = ∨ x = 3 . 3 13 x4 + 25 ¡ ¢= . 2 3 x x +5 Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 5). x4 + 25 41 39) ¡ 2 ¢ = . 18 x x +5 ¶ 5 Đáp số. x = 2 ∨ x = . 2 53 x4 + 25 40) ¡ 2 ¢ = . 21 x x +5 ¶ 5 Đáp số. x = ∨ x = 3 . 3 41) x4 + 36 13 ¡ ¢= . 2 5 x x +6 Đáp số. ( x = 2 ∨ x = 3). 42) x4 + 36 37 ¡ ¢= . 7 x x2 + 6 Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 6). x4 + 36 73 43) ¡ 2 ¢ = . 22 x x +6 ¶ 3 Đáp số. x = ∨ x = 4 . 2 44) x4 + 49 25 ¡ ¢= . 2 4 x x +7 Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 7). 45) x4 + 49 65 ¡ ¢= . 22 x x2 + 7 38) µ µ µ µ µ µ Đáp số. x = 2 ∨ x = ¶ 7 . 2 x4 + 49 65 46) ¡ 2 ¢ = . 24 x x +7 ¶ 7 Đáp số. x = ∨ x = 3 . 3 x4 + 64 10 ¡ ¢= . 2 3 x x +8 Đáp số. ( x = 2 ∨ x = 4). x4 + 64 65 48) ¡ 2 ¢ = . 9 x x +8 Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 8). x4 + 64 65 ¡ ¢= . 9 x x2 + 8 Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 8). 47) 49) µ Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai 12 50) x4 + 81 ¡ ¢ = 3. x x2 + 9 51) x4 + 81 41 ¡ ¢= . 2 5 x x +9 Đáp số. ( x = 1 ∨ x = 9). x4 + 81 51 52) ¡ 2 ¢ = . 10 x x +9 ¶ 3 Đáp số. x = ∨ x = 6 . 2 x4 + 81 97 53) ¡ 2 ¢ = . 26 x x +9 ¶ 9 Đáp số. x = 2 ∨ x = . 2 Đáp số. x = 3. µ µ x4 + 100 29 ¡ ¢= . 2 7 x x + 10 Đáp số. ( x = 2 ∨ x = 5). x4 + 100 89 ¢= . 55) ¡ 2 26 x x + 10 ¶ 5 Đáp số. x = ∨ x = 4 . 2 54) Bài tập 1.7. 4 µ Giải các phương trình sau: 11 x + 6 1) x = . 6 x + 11 ¶ 1 Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 . 2 µ ¶ 1 Đáp số. x = −3 ∨ x = − ∨ x = 1 . 3 µ ¶ 1 Đáp số. x = −4 ∨ x = − ∨ x = 1 . 4 µ ¶ 1 Đáp số. x = −1 ∨ x = ∨ x = 2 . 2 µ ¶ 1 Đáp số. x = −1 ∨ x = ∨ x = 3 . 3 µ ¶ 1 Đáp số. x = −1 ∨ x = ∨ x = 4 . 4 µ 4 2) x4 = 61 x + 21 . 21 x + 61 3) x4 = 205 x + 52 . 52 x + 205 4) x4 = 11 x − 6 . 6 x − 11 5) x4 = 61 x − 21 . 21 x − 61 6) x4 = 205 x − 52 . 52 x − 205 Bài tập 1.8. 1) x3 = 5 Giải các phương trình sau: 14 x2 + 13 x + 2 . 2 x2 + 13 x + 14 ¶ ¢ ¢ 1 1¡ p 1 ¡p 21 − 5 . Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = − 21 − 5 ∨ x = 2 2 2 µ 2) x3 = 17 x2 + 15 x + 2 . 2 x2 + 15 x + 17 ¶ p p 1 Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = −2 2 − 3 ∨ x = 2 2 − 3 . 2 µ 4 Trần 5 Trần Văn Toàn Văn Toàn 1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 3) x3 = 13 20 x2 + 17 x + 2 . 2 x2 + 17 x + 20 ¶ ¢ ¢ 1¡ p 1 1¡ p Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = −3 5 − 7 ∨ x = 3 5 − 7 . 2 2 2 µ 4) x3 = 23 x2 + 19 x + 2 . 2 x2 + 19 x + 23 ¶ p p 1 Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = − 15 − 4 ∨ x = 15 − 4 . 2 µ 5) x3 = 25 x2 + 24 x + 4 . 4 x2 + 24 x + 25 ¶ ¢ ¢ 1¡ p 1 1 ¡p Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = − 65 − 9 ∨ x = 65 − 9 . 2 4 4 µ 6) x3 = 26 x2 + 21 x + 2 . 2 x2 + 21 x + 26 ¶ ¢ ¢ 1 1 ¡p 1¡ p Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = − 77 − 9 ∨ x = 77 − 9 . 2 2 2 µ 29 x2 + 23 x + 2 . 7) x = 2 2 x + 23 x + 29 3 ¶ p p 1 Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = 1 ∨ x = −2 6 − 5 ∨ x = 2 6 − 5 . 2 µ Bài tập 1.9. 1) x4 = 6 Giải các phương trình sau: 23 x2 − 16 x + 3 . 3 x2 − 16 x + 23 ¶ 1 Đáp số. x = −1 ∨ x = ∨ x = 1 ∨ x = 3 . 3 µ 33 x2 − 19 x + 3 2) x = 2 . 3 x − 19 x + 33 4 ¶ p ¢ ¢ 1 1¡ 1 ¡p Đáp số. x = −1 ∨ x = ∨ x = 1 ∨ x = 3 ∨ x = 3 − 5 ∨ x = 5+3 . 3 2 2 µ 3) x4 = 36 x2 − 29 x + 6 . 6 x2 − 29 x + 36 ¶ 1 Đáp số. x = −1 ∨ x = ∨ x = 1 ∨ x = 3 . 3 µ 4) x4 = 43 x2 − 22 x + 3 . 3 x2 − 22 x + 43 ¶ p p 1 Đáp số. x = −1 ∨ x = ∨ x = 1 ∨ x = 3 ∨ x = 2 − 3 ∨ x = 3 + 2 . 3 µ 6 Trần Văn Toàn Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai 14 5) x4 = 49 x2 − 42 x + 9 . 9 x2 − 42 x + 49 ¶ 1 Đáp số. x = −1 ∨ x = ∨ x = 1 ∨ x = 3 . 3 µ Bài tập 1.10. 1) x2 = 7 Giải các phương trình sau: 20 x3 + x2 + x + 2 . 2 x3 + x2 + x + 20 ¶ p p 1 Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 3 − 2 ∨ x = 3 − 2 . 2 µ 2) x2 = 21 x3 + 2 x2 + x + 2 . 2 x3 + x2 + 2 x + 21 ¶ p p 1 Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 3 − 2 ∨ x = 3 − 2 . 2 µ 3) x2 = 22 x3 + 3 x2 + x + 2 . 2 x3 + x2 + 3 x + 22 ¶ p p 1 Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 3 − 2 ∨ x = 3 − 2 . 2 µ 4) x2 = 23 x3 + 4 x2 + x + 2 . 2 x3 + x2 + 4 x + 23 µ Đáp số. x = 5) x2 = ¶ p p 1 ∨ x = 1∨ x = 2∨ x = − 3−2∨ x = 3−2 . 2 24 x3 + 5 x2 + x + 2 . 2 x3 + x2 + 5 x + 24 ¶ p p 1 Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 3 − 2 ∨ x = 3 − 2 . 2 µ 25 x3 + 6 x2 + x + 2 6) x = 3 2 . 2 x + x + 6 x + 25 2 ¶ p p 1 Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 3 − 2 ∨ x = 3 − 2 . 2 µ 7) x2 = 26 x3 + 7 x2 + x + 2 . 2 x3 + x2 + 7 x + 26 ¶ p p 1 Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 3 − 2 ∨ x = 3 − 2 . 2 µ 8) x2 = 27 x3 + x2 + 3 x + 2 . 2 x3 + 3 x2 + x + 27 ¶ ¢ ¢ 1 1 ¡p 1¡ p Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 21 − 5 ∨ x = 21 − 5 . 2 2 2 µ 7 Trần Văn Toàn 1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 9) x2 = 15 27 x3 + 8 x2 + x + 2 . 2 x3 + x2 + 8 x + 27 ¶ p p 1 Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 3 − 2 ∨ x = 3 − 2 . 2 µ 10) x2 = 28 x3 + 2 x2 + 3 x + 2 . 2 x3 + 3 x2 + 2 x + 28 ¶ ¢ ¢ 1¡ p 1 1 ¡p Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 21 − 5 ∨ x = 21 − 5 . 2 2 2 µ 11) x2 = 28 x3 + 9 x2 + x + 2 . 2 x3 + x2 + 9 x + 28 ¶ p p 1 Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 3 − 2 ∨ x = 3 − 2 . 2 µ 12) x2 = 29 x3 + 3 x2 + 3 x + 2 . 2 x3 + 3 x2 + 3 x + 29 ¶ ¢ ¢ 1 1¡ p 1 ¡p Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 21 − 5 ∨ x = 21 − 5 . 2 2 2 µ 13) x2 = 29 x3 + 10 x2 + x + 2 . 2 x3 + x2 + 10 x + 29 ¶ p p 1 Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 3 − 2 ∨ x = 3 − 2 . 2 µ 14) x2 = 30 x3 + 4 x2 + 3 x + 2 . 2 x3 + 3 x2 + 4 x + 30 ¶ ¢ ¢ 1 ¡p 1 1¡ p 21 − 5 . Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 21 − 5 ∨ x = 2 2 2 µ 15) x2 = 30 x3 + 11 x2 + x + 2 . 2 x3 + x2 + 11 x + 30 ¶ p p 1 Đáp số. x = ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = − 3 − 2 ∨ x = 3 − 2 . 2 µ Phương trình đẳng cấp bậc hai theo f ( x) và g( x) dạng A · [ f ( x)]2 + B · f ( x) · g( x) + C · [ g( x)]2 = 0, A · B · C 6= 0. • Nếu g( x) = 0, từ phương trình đã cho ta phải có f ( x) = 0. • Nếu g( x) 6= 0, chia hai vế phương trình cho [ g( x)]2 , ta được f ( x) A· g ( x) · rồi đặt t = ¸2 +B· f ( x) + C = 0. g ( x) f ( x) . g ( x) * Cũng có thể xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai theo f ( x) hoặc g( x). Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai 16 Bài tập 1.11. Giải các phương trình sau: ¢2 1) x2 + 4 x + 18 + 12 x · x2 + 4 x + 18 + 35 x2 = 0; ¡ ¡ ¢ Đáp số. x = −9 ∨ x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = −2. 2) ( x2 + 6 x − 12)2 − 7 x · ( x2 + 6 x − 12) + 10 x2 = 0; Đáp số. x = −6 ∨ x = −4 ∨ x = 2 ∨ x = 3. 3) ( x2 + 6 x − 12)2 − 9 x · ( x2 + 6 x − 12) + 14 x2 = 0; Đáp số. x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 2 ∨ x = 4. 4) ( x2 + 10 x − 12)2 − 5 x · ( x2 + 10 x − 12) − 6 x2 = 0; Đáp số. x = −12 ∨ x = −6 ∨ x = 1 ∨ x = 2. x−2 5) 3 x+1 µ ¶2 x+2 +4 x+3 µ ¶2 ¶ x2 − 4 +8 2 = 0; x + 4x + 3 µ Đáp số. x = − x−2 6) 20 x+1 µ ¶2 x+2 −5 x−1 µ ¶2 ¶ x2 − 4 + 48 2 = 0; x −1 µ 7) 2( x2 + x + 1)2 − 7( x − 1)2 = 13( x3 − 1); ´ p ´ 14 1³ 1 ³p ∨ x = 1 ∨ x = −7 − 73 ∨ x = 73 − 7 . 5 6 6 ¾ ½ 2 Đáp số. 3; . 3 ¾ ½ 1 Đáp số. −1; − ; 2; 4 . 2 8) 2( x2 + 6 x + 1)2 + 5( x2 + 6 x + 1)( x2 + 1) + 2( x2 + 1)2 = 0; p ª © Đáp số. −1; −2 ± 3 . 9) ( x2 + 4 x + 8)2 + 3 x3 + 14 x2 + 24 x = 0; Đáp số. {−4; −2}; Hướng dẫn. ( x2 + 4 x + 8)2 + 3 x( x2 + 4 x + 8) + 2 x2 = 0. p 10) 6 x + 7 x · 1 + x = 24 · (1 + x). ¾ 8 Đáp số. 3; − . 9 ½ 2 Bài tập 1.12. Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 1 x2 − 2 x + 2 1 x2 − 3 x + 3 3 x2 + 2 x − 8 + + + 1 x2 − 2 x + 3 2 x2 − 3 x + 4 2 x2 + 2 x − 3 = = 9 2( x2 − 2 x + 4) 6 x2 − 3 x + 5 5 =− ; 6 ; ; Đáp số. {1}. Đáp số. {1; 2}. p p Đáp số. x = −1 ∨ x = −1 − 7 ∨ x = 7 − 1. 4) 2 3 1 − =− . ( x + 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 4) 3 Đáp số. x = −5 ∨ x = 2. 1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 17 Phương trình dạng Ax ax2 + b 1x + c + Bx ax2 + b 2x + c = C, với ABC 6= 0, ac 6= 0. Viết phương trình đã cho tương đương với B c+ c =C ax + b 1 + ax + b 2 + x x A c x rồi đặt t = ax + . Chú ý. Cũng có thể đặt t = ax2 + c. Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai theo ẩn t, tham số x. Bài tập 1.13. 1) 2) 8 2x 2 x2 − 5 x + 3 Giải các phương trình sau: + 13 x 2 x2 + x + 3 Đáp số. x = = 6. 4x 5x 10 ; − = 9 x2 + 2 x + 3 x2 + 4 x + 3 2x 4 x2 − 8 x + 7 − 3x 4 x2 − 10 x + 7 =− 1 2 ¾ Đáp số. x = −6 ∨ x = − . 4x 3x 3) + 2 = 1; 2 4 x − 8 x + 7 4 x − 10 x + 7 4) 3 ∨ x = 2. 4 ½ Đáp số. 10 . 7 Đáp số. x = 1 7 ; . 2 2 7 ∨ x = 2. 8 Phương trình dạng ax2 + b 1 x + c ax2 + b 3 x + c ± = A, ax2 + b 2 x + c ax2 + b 4 x + c A 6= 0 hay ax2 + b 1 x + c A = 2 , 2 ax + b 2 x + c ax + b 3 x + c A 6= 0. • Kiểm tra x = 0 có là nghiệm của phương trình hay không? c • Chia cả tử và mẫu mỗi số hạng ở vế trái của phương trình cho x, rồi đặt t = ax + . x Chú ý. Cũng có thể đặt t = ax2 + c. Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai theo ẩn t, tham số x. Bài tập 1.14. Giải các phương trình sau: 1) x2 + 2 x + 3 x2 + 5 x + 3 3 + = ; x2 + 4 x + 3 x2 + 6 x + 3 4 8 Trần Văn Toàn 3 5 Đáp số. x = −5 ∨ x = − . Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai 18 2) x2 − 13 x + 15 x2 − 15 x + 15 7 + = ; x2 − 14 x + 15 x2 − 12 x + 15 4 p p Đáp số. x = 1 ∨ x = 15 ∨ x = 9 − 66 ∨ x = 9 + 66. 3) x2 − 13 x + 15 x2 − 15 x + 15 5 − = ; x2 − 14 x + 15 x2 − 12 x + 15 4 Đáp số. x = 1 ∨ x = 15 ∨ x = ´ ´ p p 1³ 1³ 33 − 714 ∨ x = 33 + 714 . 5 5 4) x2 − 10 x + 15 −6 x = ; x2 − 6 x + 15 x2 − 2 x + 15 Đáp số. x = 3 ∨ x = 5. 5) x2 − 2 x + 15 3x = 2 . 2 x − 4 x + 15 x − 6 x + 15 Đáp số. x = 3 ∨ x = 5. Phương trình có dạng a 1 ( bx2 + c 1 x + d )2 + a 2 ( bx2 + c 2 x + d )2 = ex2 . • Kiểm tra xem x = 0 có là nghiệm phương trình hay không. • Với x 6= 0, chia phương trình cho x2 . Bài tập 1.15. 9 Giải các phương trình sau: ¡ ¢2 ¡ ¢2 1) 3 x2 + 6 x + 5 + 2 3 x2 + 8 x + 5 = 4 x2 . ¢2 ¢2 2) 3 x2 + 7 x + 5 + 2 3 x2 + 8 x + 5 = x2 . ¡ ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 3) 3 3 x2 + 7 x + 5 + 2 3 x2 + 8 x + 5 = 3 x2 . ¡ ¢2 4) 5 3 x2 + 7 x + 5 + 2 3 x2 + 8 x + 5 = 5 x2 . ¡ ¢2 ¶ 5 Đáp số. x = − ∨ x = −1 . 3 ¶ µ 5 Đáp số. x = − ∨ x = −1 . 3 µ ¶ 5 Đáp số. x = − ∨ x = −1 . 3 µ ¶ 5 Đáp số. x = − ∨ x = −1 . 3 µ ¢2 5) 3 x2 + 7 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 3 x2 . ¡ ¡ ¶ ¢ ¢ 5 1 ¡p 1¡ p Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x = − 34 − 13 ∨ x = 34 − 13 . 3 9 9 µ ¢2 ¢2 6) 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 2 x2 . ¡ ¡ ¶ ¢ ¢ 5 1¡ p 1 ¡p Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x = − 61 − 14 ∨ x = 61 − 14 . 3 9 9 µ ¶ ¡ 2 ¢2 ¡ 2 ¢2 5 2 7) 3 3 x + 7 x + 5 + 2 3 x + 9 x + 5 = 5 x . Đáp số. x = − ∨ x = −1 . 3 µ 9 Trần Văn Toàn 1.1. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai ¢2 19 ¢2 8) 3 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 2 x2 . ¡ ¡ ¶ ¢ ¢ 5 1 ¡ p 1 ¡p Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x = − 109 − 22 ∨ x = 109 − 22 . 3 15 15 ¡ ¢2 ¡ ¢2 5 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 2 x2 . ¶ µ ¢ ¢ 1 ¡p 5 1 ¡ p 165 − 30 . Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x = − 165 − 30 ∨ x = 3 21 21 ¡ ¢2 ¡ ¢2 7 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 2 x2 . µ ¶ ¢ ¢ 5 1 ¡ p 1 ¡p Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x = − 229 − 38 ∨ x = 229 − 38 . 3 27 27 ¡ ¢2 ¡ ¢2 9 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 2 x2 . µ ¶ ¢ ¢ 5 1 ¡ p 1 ¡p Đáp số. x = − ∨ x = −1 ∨ x = − 301 − 46 ∨ x = 301 − 46 . 3 33 33 ¡ ¢2 ¡ ¢2 10 3 x2 + 8 x + 5 + 2 3 x2 + 9 x + 5 = 3 x2 . ¶ µ 10 5 3 Đáp số. x = −2 ∨ x = − ∨ x = − ∨ x = − . 2 9 6 µ 9) 10) 11) 12) Bài tập 1.16. 1) x2 + 10 Giải các phương trình sau: ³ x ´2 = 8; x−1 p © p ª Đáp số. 2; −1 + 3; −1 − 3 . Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với x2 + 2 x ³ ⇔ x+ ³ x ´2 x x + − 2x = 8. x−1 x−1 x−1 ³ x2 ´2 x2 x2 x ´2 −2 =8⇔ −2 = 8. x−1 x−1 x−1 x−1 2) 4 x2 + x2 = 5. ( x + 2)2 Đáp số. x = −1 ∨ x = 2. 3) x2 5 + x2 = . 2 4 ( x + 1) Đáp số. x = − ∨ x = 1. 4) x2 + x2 = 8. ( x + 1)2 Đáp số. x = −2 ∨ x = 1 − 3 ∨ x = 3 + 1. 5) 36 x2 + x2 = 13. ( x + 6)2 Đáp số. x = −2 ∨ x = 3. 6) 9 x2 13 2 + x = . 4 ( x + 3)2 Đáp số. x = −1 ∨ x = . 7) 4 x2 13 2 + x = . 9 ( x + 2)2 Đáp số. x = − ∨ x = 1. 10 Trần Văn Toàn 1 2 p p 3 2 2 3 Chủ đề 1. Phương trình quy về bậc hai 20 8) 16 x2 + x2 = 20. ( x + 4)2 Đáp số. x = −2 ∨ x = 4. 9) 25 36 x2 + x2 = . 2 4 ( x + 6) Đáp số. x = − ∨ x = 2. 10) 25 16 x2 + x2 = . 2 9 ( x + 4) Đáp số. x = −1 ∨ x = . 11) 9 x2 25 . + x2 = 2 16 ( x + 3) Đáp số. x = − ∨ x = 1. 12) 4 x2 + x2 = 32. ( x + 2)2 Đáp số. x = −4 ∨ x = 2 − 2 3 ∨ x = 2 3 + 2. 13) 9 x2 + x2 = 40. 2 ( x + 3) Đáp số. x = −2 ∨ x = 6. 14) x2 40 2 = . + x 9 ( x + 1)2 Đáp số. x = − ∨ x = 2. 15) 100 x2 41 + x2 = . 2 4 ( x + 10) Đáp số. x = −2 ∨ x = . 16) 25 x2 41 + x2 = . 2 16 ( x + 5) Đáp số. x = −1 ∨ x = . 17) 16 x2 41 + x2 = . 2 25 ( x + 4) Đáp số. x = − ∨ x = 1. 18) 4 x2 + x2 = 45. ( x + 2)2 3 2 4 3 3 4 p 2 3 5 2 5 4 4 5 Đáp số. x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = 36 x2 19) + x2 = 45. ( x + 6)2 20) x2 45 2 + x = . 4 ( x + 1)2 21) 9 x2 45 2 + x = . 4 ( x + 3)2 Bài tập 1.17. 11 p p ¢ ¢ 1 ¡p 1¡ 5 − 65 ∨ x = 65 + 5 . 2 2 Đáp số. x = −3 ∨ x = 6. 3 2 Đáp số. x = −3 ∨ x = − ∨ x = p ¢ ¢ 1¡ 1 ¡p 5 − 65 ∨ x = 65 + 5 . 4 4 µ ¶ 3 Đáp số. x = − ∨ x = 3 . 2 Giải các phương trình sau: x2 5 2 1) + x = . 4 ( x − 1)2 ¶ 1 Đáp số. x = −1 ∨ x = . 2 x2 + x2 = 8. ( x − 1)2 Đáp số. x = 2 ∨ x = − 3 − 1 ∨ x = 3 − 1 . 2) x2 40 3) + x2 = . 2 9 ( x − 1) 11 Trần Văn Toàn µ ¡ p p ¢ ¶ 2 Đáp số. x = −2 ∨ x = . 3 µ